Definícia

Mnohosten budeme nazývať uzavretú plochu zloženú z mnohouholníkov a ohraničujúcu určitú časť priestoru.

Segmenty, ktoré sú stranami týchto mnohouholníkov, sa nazývajú rebrá mnohosten a samotné polygóny sú hrany. Vrcholy mnohouholníkov sa nazývajú vrcholy mnohostenov.

Budeme uvažovať iba konvexné mnohosteny (toto je mnohosten, ktorý sa nachádza na jednej strane každej roviny obsahujúcej jeho tvár).

Polygóny, ktoré tvoria mnohosten, tvoria jeho povrch. Časť priestoru, ktorá je ohraničená daným mnohostenom, sa nazýva jeho vnútro.

Definícia: hranol

Uvažujme dva rovnaké polygóny \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) umiestnené v rovnobežné roviny tak, že segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelný. Mnohosten tvorený mnohouholníkmi \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) , ako aj rovnobežníkmi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), sa nazýva (\(n\)-gonal) hranol.

Polygóny \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) sa nazývajú podstavy hranolov, rovnobežníky \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočné plochy, segmenty \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočné rebrá.
Bočné okraje hranola sú teda rovnobežné a navzájom rovnaké.

Pozrime sa na príklad - hranol \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), na základni ktorého leží konvexný päťuholník.

Výška hranoly sú kolmice spadnuté z akéhokoľvek bodu jednej základne do roviny inej základne.

Ak bočné okraje nie sú kolmé na základňu, potom sa takýto hranol nazýva naklonený(obr. 1), inak – rovno. V priamom hranole sú bočné hrany výškami a bočné steny- rovnaké obdĺžniky.

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom sa hranol nazýva správne.

Definícia: pojem objemu

Jednotkou merania objemu je jednotková kocka (kocka merajúca \(1\times1\times1\) jednotiek\(^3\), kde jednotka je určitá jednotka merania).

Môžeme povedať, že objem mnohostenu je veľkosť priestoru, ktorý tento mnohosten obmedzuje. Inak: ide o veličinu, ktorej číselná hodnota ukazuje, koľkokrát sa jednotková kocka a jej časti zmestia do daného mnohostenu.

Objem má rovnaké vlastnosti ako plocha:

1. Objemy rovnakých čísel sú rovnaké.

2. Ak je mnohosten zložený z niekoľkých nepretínajúcich sa mnohostenov, potom jeho objem rovná súčtu objemy týchto mnohostenov.

3. Objem je nezáporná veličina.

4. Objem sa meria v cm\(^3\) (kubických centimetroch), m\(^3\) ( Metre kubické) atď.

Veta

1. Plocha bočnej plochy hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.
Bočná plocha je súčtom plôch bočných plôch hranola.

2. Objem hranola sa rovná súčinu základnej plochy a výšky hranola: \

Definícia: rovnobežnosten

Rovnobežníkovité je hranol s rovnobežníkom na základni.

Všetky strany rovnobežnostena (existuje \(6\) : \(4\) bočné plochy a \(2\) základne) sú rovnobežníky a protiľahlé plochy (vzájomne rovnobežné) sú rovnaké rovnobežníky (obr. 2) .

Uhlopriečka rovnobežnostena je segment spájajúci dva vrcholy kvádra, ktoré neležia na rovnakej ploche (je ich \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) atď.).

Obdĺžnikový rovnobežnosten je pravý rovnobežnosten s obdĺžnikom na základni.
Pretože Keďže ide o pravý rovnobežnosten, bočné strany sú obdĺžnikové. To znamená, že vo všeobecnosti sú všetky strany pravouhlého rovnobežnostena obdĺžniky.

Všetky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké (vyplýva to z rovnosti trojuholníkov \(\trojuholník ACC_1=\trojuholník AA_1C=\trojuholník BDD_1=\trojuholník BB_1D\) atď.).

Komentujte

Rovnobežník má teda všetky vlastnosti hranola.

Veta

Bočný povrch pravouhlého rovnobežnostena je \

Celková plocha pravouhlého rovnobežnostena je \

Veta

Objem kvádra sa rovná súčinu jeho troch hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu (tri rozmery kvádra): \

Dôkaz

Pretože V pravouhlom rovnobežnostene sú bočné hrany kolmé na základňu, potom sú to aj jej výšky, to znamená \(h=AA_1=c\) Pretože základom je potom obdĺžnik \(S_(\text(hlavný))=AB\cdot AD=ab\). Odtiaľ pochádza tento vzorec.

Veta

Uhlopriečku \(d\) pravouhlého kvádra sa zistí pomocou vzorca (kde \(a,b,c\) sú rozmery kvádra) \

Dôkaz

Pozrime sa na Obr. 3. Pretože základňa je obdĺžnik, potom \(\trojuholník ABD\) je pravouhlý, teda podľa Pytagorovej vety \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Pretože všetky bočné hrany sú teda kolmé na základne \(BB_1\perp (ABC) \šípka doprava BB_1\) kolmá na akúkoľvek priamku v tejto rovine, t.j. \(BB_1\perp BD\) . To znamená, že \(\trojuholník BB_1D\) je obdĺžnikový. Potom podľa Pytagorovej vety \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tis.

Definícia: kocka

Kocka je pravouhlý rovnobežnosten, ktorého všetky strany sú rovnaké štvorce.

Tri dimenzie sa teda navzájom rovnajú: \(a=b=c\) . Takže nasledujúce sú pravdivé

Vety

1. Objem kocky s hranou \(a\) sa rovná \(V_(\text(kocka))=a^3\) .

2. Uhlopriečku kocky zistíme pomocou vzorca \(d=a\sqrt3\) .

3. Celkový povrch kocky \(S_(\text(celá kocka))=6a^2\).

V preklade z gréčtiny rovnobežník znamená rovinu. Rovnobežník je hranol s rovnobežníkom na jeho základni. Existuje päť typov rovnobežníka: šikmý, rovný a kvádrový. Kocka a kosodĺžnik tiež patria k rovnobežnostenu a sú jeho odrodou.

Skôr než prejdeme k základným pojmom, dajme si niekoľko definícií:

Uhlopriečka rovnobežnostena je segment, ktorý spája vrcholy rovnobežnostena, ktoré sú oproti sebe.
Ak majú dve plochy spoločnú hranu, môžeme ich nazvať susednými hranami. Ak neexistuje žiadna spoločná hrana, potom sa tváre nazývajú opačné.
Dva vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazývajú opačné.

Aké vlastnosti má rovnobežnosten?

Plochy kvádra ležiaceho na opačných stranách sú navzájom rovnobežné a navzájom si rovné.
Ak nakreslíte uhlopriečky z jedného vrcholu do druhého, priesečník týchto uhlopriečok ich rozdelí na polovicu.
Strany rovnobežnostena ležiace v rovnakom uhle k základni budú rovnaké. Inými slovami, uhly spolu nasmerovaných strán sa budú navzájom rovnať.

Aké typy rovnobežnostenov existujú?

Teraz poďme zistiť, aké druhy rovnobežnostenov existujú. Ako už bolo uvedené vyššie, existuje niekoľko typov tohto obrázku: rovný, obdĺžnikový, šikmý rovnobežnosten, ako aj kocka a kosoštvorec. Ako sa od seba líšia? Všetko je to o rovinách, ktoré ich tvoria, a o uhloch, ktoré zvierajú.

Pozrime sa podrobnejšie na každý z uvedených typov rovnobežnostenov.

Ako je zrejmé už z názvu, šikmý hranol má šikmé plochy, a to tie plochy, ktoré nie sú v uhle 90 stupňov voči základni.
Ale pre pravý rovnobežnosten je uhol medzi základňou a okrajom presne deväťdesiat stupňov. Z tohto dôvodu má tento typ rovnobežnostenu také meno.
Ak sú všetky strany rovnobežnostenu identické štvorce, potom tento obrázok možno považovať za kocku.
Obdĺžnikový rovnobežnosten dostal toto meno kvôli rovinám, ktoré ho tvoria. Ak sú všetky obdĺžniky (vrátane základne), potom ide o kváder. Tento typ rovnobežnostenu sa veľmi často nenachádza. V preklade z gréčtiny rhombohedron znamená tvár alebo základňu. Toto je názov pre trojrozmernú postavu, ktorej tváre sú kosoštvorce.

Základné vzorce pre rovnobežnosten

Objem rovnobežnostena sa rovná súčinu plochy základne a jeho výšky kolmej na základňu.

Plocha bočného povrchu sa bude rovnať súčinu obvodu základne a výšky.
Keď poznáte základné definície a vzorce, môžete vypočítať základnú plochu a objem. Základňu je možné zvoliť podľa vlastného uváženia. Ako základ sa však spravidla používa obdĺžnik.

Hranol a rovnobežnosten

Vlastnosti rovnobežnostenu

Pre rovnobežnosten:

1) protiľahlé plochy sú rovnaké a rovnobežné;

2) všetky štyri diagonály sa pretínajú v jednom bode a v ňom sa pretínajú.

dôkaz:

1) Uvažujme napríklad dve protiľahlé strany rovnobežnostena a (obr. 5).

Pretože všetky strany rovnobežnostena sú rovnobežníky, potom je priamka AD rovnobežná s priamkou BC a priamka je rovnobežná s priamkou. Z toho vyplýva, že roviny uvažovaných plôch sú rovnobežné.

Zo skutočnosti, že strany rovnobežnostena sú rovnobežníky, vyplýva, že AB a CD sú rovnobežné a rovnaké. Z toho usudzujeme, že plocha je kombinovaná paralelným prekladom pozdĺž hrany AB s plochou. Preto sú tieto okraje rovnaké.

2) Zoberme si napríklad dve uhlopriečky rovnobežnostena (obr. 5) a nakreslíme ďalšie priame čiary a. AB a sú rovnaké a rovnobežné s hranou DC, preto sú rovnaké a navzájom rovnobežné; Výsledkom je, že obrázok je rovnobežník, v ktorom sú priamky a uhlopriečky a v rovnobežníku sú uhlopriečky rozdelené na polovicu v priesečníku. Podobne môžeme dokázať, že ďalšie dve uhlopriečky sa pretínajú v jednom bode a sú týmto bodom rozpolené. Priesečník každého páru uhlopriečok leží v strede uhlopriečky. Všetky štyri diagonály kvádra sa teda pretínajú v jednom bode O a sú týmto bodom rozpolené. Priesečník uhlopriečok rovnobežnostena je teda jeho stredom symetrie.

Štvorec uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov.

dôkaz:

Vyplýva to z Pythagorovej priestorovej vety. Ak je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena, potom sú jeho priemety na tri párové kolmé priamky (obr. 6). Preto, .

Poznámka: v pravouhlom rovnobežnostene sú všetky uhlopriečky rovnaké.

Binomické koeficienty

Čísla Cnk majú množstvo pozoruhodných vlastností. Tieto vlastnosti v konečnom dôsledku vyjadrujú rôzne vzťahy medzi podmnožinami danej množiny X. Dajú sa dokázať priamo na základe vzorca (1)...

Binomické koeficienty

1. Súčet expanzných koeficientov (a + b)n sa rovná 2n. Aby sme to dokázali, stačí dať a = b = 1. Potom na pravej strane binomického rozvoja budeme mať súčet binomických koeficientov a na ľavej: (1 + 1)n = 2n. 2.Členské koeficienty...

Typy mnohostenov

Bočný povrch (alebo jednoducho bočný povrch) hranola (rovnobežníka) je súčet plôch všetkých jeho bočných stien...

Viacrozmerné Fibonacciho sekvencie

Zostavme postupnosť a nazvime ju trojrozmerná Fibonacciho postupnosť. Táto postupnosť bude pozostávať z množín M1, M2, ... atď. Sada M1 pozostáva len z jednej aditívnej trojky (2,1,1)...

Multiplikatívne pologrupy nezáporných reálnych čísel

Nech S je komutatívna multiplikatívna ireducibilná pologrupa s 1 a žiadnymi deliteľmi jednoty. Takéto pologrupy sa nazývajú integrálne alebo kužeľosečky. Prvky a prvky S sa považujú za relatívne prvočísla, ak gcd(,)=1...

Neeuklidovská geometria

Uvažujme o niektorých vlastnostiach, konceptoch a faktoch, ktoré platia v Lobačevského geometrii. V tomto prípade som zvažoval vlastnosti podľa Kleinovho modelu. Väčšina z nich bude vykonaná na iných modeloch neeuklidovskej geometrie...

Niektoré úžasné krivky

Normála Pascalovej kochley v jej bode M (obr. 7) prechádza bodom N hlavnej kružnice K, diametrálne opačným k bodu P, kde sa OM pretína s hlavnou kružnicou...

Determinanty a ich aplikácia v algebre a geometrii

Determinant má množstvo vlastností: 1) Determinant sa pri prenose matíc (riadkov a stĺpcov) nemení. 2) Ak jeden zo stĺpcov (riadkov) pozostáva z núl, potom je determinant nula...

Transformácie, ktoré zvyšujú poradie rovinných algebraických kriviek

Uvažujme najjednoduchším spôsobom formovanie cisoidu - krivky objavenej starovekými ľuďmi pri hľadaní riešenia slávneho problému zdvojnásobenia kocky. Zoberme si kružnicu (nazývanú generovanie) s priemerom a dotyčnicou k nej...

Hranol a rovnobežnosten

Ak je základom hranola rovnobežník, potom sa nazýva rovnobežnosten. Všetky strany rovnobežnostenu sú rovnobežníky. Obrázok 3 zobrazuje naklonený rovnobežnosten a obrázok 4 zobrazuje rovný hranol. Tváre rovnobežnostenu...

Rozdelenie prirodzeného radu

V tejto časti si povieme o problémoch venovaných deleniu prirodzeného radu na postupnosti a o vete, ktorá ich dokazuje...

Extrémny problém indexovania tried

Budeme potrebovať dva fakty z . 1. Pre každého je tu jedinečný DF. 2. Ak, tak zostava je jednoprvková. Ak potom existujú spojité rodiny s jedným parametrom (t. j. pre a (symbol označuje slabú konvergenciu)) a DF ako...

V tejto lekcii si každý bude môcť preštudovať tému „Obdĺžnikový rovnobežnosten“. Na začiatku hodiny si zopakujeme, čo sú ľubovoľné a rovné rovnobežnosteny, zapamätajte si vlastnosti ich protiľahlých plôch a uhlopriečok rovnobežnostena. Potom sa pozrieme na to, čo je kváder a rozoberieme jeho základné vlastnosti.

Téma: Kolmosť priamok a rovín

Lekcia: Kocka

Plocha zložená z dvoch rovnakých rovnobežníkov ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a štyroch rovnobežníkov ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sa nazýva rovnobežnosten(obr. 1).

Ryža. 1 rovnobežník

To znamená: máme dva rovnaké rovnobežníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základne), ležia v rovnobežných rovinách tak, že bočné hrany AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sú rovnobežné. Tak sa nazýva plocha zložená z rovnobežníkov rovnobežnosten.

Povrch rovnobežnostena je teda súčtom všetkých rovnobežníkov, ktoré tvoria rovnobežnosten.

1. Protiľahlé strany rovnobežnostena sú rovnobežné a rovnaké.

(tvary sú rovnaké, to znamená, že ich možno kombinovať prekrývaním)

Napríklad:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (rovnaké rovnobežníky podľa definície),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (keďže AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C sú opačné strany rovnobežnostena),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (keďže AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C sú protiľahlé strany rovnobežnostena).

2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a sú v tomto bode rozpolené.

Uhlopriečky rovnobežnostena AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sa pretínajú v jednom bode O a každá uhlopriečka je týmto bodom rozdelená na polovicu (obr. 2).

Ryža. 2 Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

3. K dispozícii sú tri štvorce rovnakých a rovnobežných hrán rovnobežnostena: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva rovný, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne.

Bočná hrana AA 1 nech je kolmá na základňu (obr. 3). To znamená, že priamka AA 1 je kolmá na priamky AD a AB, ktoré ležia v rovine podstavy. To znamená, že bočné plochy obsahujú obdĺžniky. A základne obsahujú ľubovoľné rovnobežníky. Označme ∠BAD = φ, uhol φ môže byť ľubovoľný.

Ryža. 3 Pravý rovnobežnosten

Pravý rovnobežnosten je teda rovnobežnosten, ktorého bočné hrany sú kolmé na základne rovnobežnostenu.

Definícia. Rovnobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základňu. Základy sú obdĺžniky.

Rovnobežník ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravouhlý (obr. 4), ak:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočná hrana kolmá na rovinu základne, teda rovný rovnobežnosten).

2. ∠BAD = 90°, t.j. základňa je obdĺžnik.

Ryža. 4 Obdĺžnikový rovnobežnosten

Obdĺžnikový hranol má všetky vlastnosti ľubovoľného rovnobežnostena. Existujú však ďalšie vlastnosti, ktoré sú odvodené z definície kvádra.

takže, kváder je rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na základňu. Základom kvádra je obdĺžnik.

1. V pravouhlom rovnobežnostene je všetkých šesť plôch obdĺžniky.

ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú podľa definície obdĺžniky.

2. Bočné rebrá kolmo na základňu. To znamená, že všetky bočné strany pravouhlého rovnobežnostena sú obdĺžniky.

3. Všetky dihedrálne uhly pravouhlé rovnobežnostenské priame línie.

Uvažujme napríklad uhol vzpriamenia pravouhlého rovnobežnostena s hranou AB, t.j. uhol vzpriamenia medzi rovinami ABC 1 a ABC.

AB je hrana, bod A 1 leží v jednej rovine - v rovine ABB 1 a bod D v druhej - v rovine A 1 B 1 C 1 D 1. Potom možno uvažovaný dihedrálny uhol označiť aj takto: ∠A 1 ABD.

Zoberme si bod A na hrane AB. AA 1 je kolmá na hranu AB v rovine АВВ-1, AD je kolmá na hranu AB v rovine ABC. To znamená, že ∠A 1 AD je lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. ∠A 1 AD = 90°, čo znamená, že uhol klinu na hrane AB je 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobne je dokázané, že akékoľvek uhly klinu pravouhlého rovnobežnostena sú správne.

Štvorec uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov.

Poznámka. Dĺžky troch hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu kvádra sú rozmermi kvádra. Niekedy sa nazývajú dĺžka, šírka, výška.

Dané: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravouhlý rovnobežnosten (obr. 5).

Dokázať: .

Ryža. 5 Obdĺžnikový rovnobežnosten

dôkaz:

Priamka CC 1 je kolmá na rovinu ABC, a teda na priamku AC. To znamená, že trojuholník CC 1 A je pravouhlý. Podľa Pytagorovej vety:

Uvažujme správny trojuholník ABC. Podľa Pytagorovej vety:

Ale pred naším letopočtom a po Kr. protiľahlé strany obdĺžnik. Takže BC = nl. potom:

Pretože , A , To. Keďže CC 1 = AA 1, toto bolo potrebné dokázať.

Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké.

Rozmery rovnobežnostenu ABC označme ako a, b, c (pozri obr. 6), potom AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =