1. Najmenší počet hrany má štvorsten - 6.
2. Hranol má n plôch. Aký polygón leží na jeho základni?
(n - 2) - štvorec.
3. Je hranol rovný, ak jeho dve susedné bočné strany sú kolmé na rovinu podstavy?
Áno, je.
4. V ktorom hranole sú bočné hrany rovnobežné s jeho výškou?
v priamom hranole.
5. Je hranol pravidelný, ak sú všetky jeho hrany navzájom rovné?
Nie, nemusí to byť priame.
6. Môže byť výška jednej z bočných plôch šikmého hranola zároveň výškou hranola?
Áno, ak je táto plocha kolmá na základne.
7. Existuje hranol, v ktorom: a) bočná hrana je kolmá len na jednu hranu podstavy; b) iba jedna bočná plocha je kolmá na základňu?
a) áno. b) č.
8. Pravidelný trojuholníkový hranol je rozdelený rovinou prechádzajúcou stredovými osami podstav na dva hranoly. Aké sú plochy bočných plôch týchto hranolov?
Podľa vety z bodu 27 dostaneme, že bočné plochy sú vo vzťahu 5:3
9. Bude pyramída pravidelná, ak jej bočné strany tvoria pravidelné trojuholníky?
10. Koľko stien kolmých na základnú rovinu môže mať pyramída?
11. Existuje štvorhranný ihlan, ktorého protiľahlé strany sú kolmé na základňu?
Nie, inak by cez vrchol pyramídy prešli aspoň dve priame čiary, kolmé na základne.
12. Môžu byť všetky strany trojuholníkovej pyramídy pravouhlé trojuholníky?
Áno (obrázok 183).
Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky potrebné témy úspešné doručenie POUŽITIE v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.
Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie komplexné koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.
Všeobecné informácie o priamom hranole
Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet bočné oblasti tváre. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.
Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany.
Dôkaz. Bočné plochy rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kde a 1 a n sú dĺžky rebier základne, p je obvod základne hranola a I je dĺžka bočných rebier. Veta bola dokázaná.
Praktická úloha
Úloha (22) . V naklonenom hranole oddiele, kolmo na bočné hrany a pretínajúce všetky bočné hrany. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je p a bočné hrany sú l.
Riešenie. Rovina nakresleného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu, ktorý spája základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, v ktorom časť pôvodného hranola slúži ako základ a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.
Zovšeobecnenie témy
A teraz si skúsme s vami zhrnúť tému hranol a pripomenúť si, aké vlastnosti má hranol.
Vlastnosti hranola
Po prvé, pre hranol sú všetky jeho základne rovnaké polygóny;
Po druhé, hranol má všetko svoje bočné steny sú rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrázku, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;
Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné a naklonené.
Čo je priamy hranol?
Ak je bočná hrana hranola kolmá na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva priamka.
Nebude zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.
Čo je to šikmý hranol?
Ak však bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme bezpečne povedať, že ide o naklonený hranol.
Aký je správny hranol?
Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol pravidelný.
Teraz si pripomeňme vlastnosti, ktoré má bežný hranol.
Vlastnosti pravidelného hranola
Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základne pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, potom sú vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáme veľkosti bočných rebier, potom v správnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, pravidelný hranol je vždy rovný;
Po piate, ak sú v pravidelnom hranole bočné strany vo forme štvorcov, potom sa takýto obrazec spravidla nazýva polopravidelný mnohouholník.
Hranolový úsek
Teraz sa pozrime na prierez hranola:
Domáca úloha
A teraz sa pokúsme upevniť študovanú tému riešením problémov.
Nakreslíme šikmý trojuholníkový hranol, v ktorom bude vzdialenosť medzi jeho okrajmi: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranola bude rovná 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu daného hranolu.
Viete, že geometrické obrazce nás neustále obklopujú nielen na hodinách geometrie, ale aj v Každodenný život existujú predmety, ktoré sa podobajú jednému alebo druhému geometrickému útvaru.
Každá domácnosť, škola alebo práca má počítač, ktorého systémová jednotka má podobu rovného hranola.
Ak vezmete do ruky jednoduchú ceruzku, uvidíte, že hlavnou časťou ceruzky je hranol.
Kráčajúc po hlavnej ulici mesta vidíme, že pod našimi nohami leží dlaždica, ktorá má tvar šesťhranného hranola.
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
Polyhedra
Hlavným predmetom štúdia stereometrie sú trojrozmerné telesá. Telo je časť priestoru ohraničená nejakou plochou.
mnohosten Teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu rovinných mnohouholníkov, sa nazýva. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny každého plochého mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a povrch mnohostenu sa nazýva hrana. Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany tvárí sú tzv okraje mnohostenu a vrcholy vrcholy mnohostenu.
Napríklad kocka pozostáva zo šiestich štvorcov, ktoré sú jej plochami. Obsahuje 12 hrán (strany štvorcov) a 8 vrcholov (vrcholy štvorcov).
Najjednoduchšie mnohosteny sú hranoly a pyramídy, ktoré budeme ďalej študovať.
Hranol
Definícia a vlastnosti hranola
hranol sa nazýva mnohosten pozostávajúci z dvoch plochých polygónov ležiacich v rovnobežné roviny kombinované paralelným posunom a všetky segmenty spájajúce zodpovedajúce body týchto polygónov. Polygóny sa nazývajú hranolové základne a segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy polygónov sú bočné okraje hranola.
Výška hranola nazývaná vzdialenosť medzi rovinami jeho základov (). Segment spájajúci dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva hranolová uhlopriečka(). Hranol je tzv n-uhlie ak je jeho základňa n-uholník.
Každý hranol má nasledujúce vlastnosti, ktoré vyplývajú zo skutočnosti, že základne hranola sú spojené paralelným posunom:
1. Základy hranola sú rovnaké.
2. Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké.
Povrch hranola je tvorený podstavcami a bočný povrch. Bočnú plochu hranola tvoria rovnobežníky (vyplýva to z vlastností hranola). Plocha bočnej plochy hranola je súčtom plôch bočných plôch.
rovný hranol
Hranol je tzv rovno ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol nazýva šikmé.
Plochy rovného hranolu sú obdĺžniky. Výška rovného hranola sa rovná jeho bočným stranám.
plný hranolový povrch je súčet plochy bočného povrchu a plôch báz.
Správny hranol sa nazýva pravý hranol s pravidelným mnohouholníkom na základni.
Veta 13.1. Plocha bočnej plochy rovného hranola sa rovná súčinu obvodu a výšky hranola (alebo ekvivalentne bočnej hrane).
Dôkaz. Bočné plochy rovného hranola sú obdĺžniky, ktorých základňami sú strany mnohouholníkov na základniach hranola a výškami sú bočné hrany hranola. Potom, podľa definície, plocha bočného povrchu je:
,
kde je obvod podstavy priameho hranolu.
Rovnobežníkovité
Ak rovnobežníky ležia na základniach hranola, potom sa nazýva rovnobežnosten. Všetky strany rovnobežnostena sú rovnobežníky. V tomto prípade sú protiľahlé strany rovnobežnostena rovnobežné a rovnaké.
Veta 13.2. Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a priesečník je rozdelený na polovicu.
Dôkaz. Zoberme si napríklad dve ľubovoľné uhlopriečky a . Pretože strany rovnobežnostena sú rovnobežníky, potom a , čo znamená, že podľa T asi dve priamky rovnobežné s treťou . Okrem toho to znamená, že čiary a ležia v rovnakej rovine (rovine). Táto rovina pretína rovnobežné roviny a pozdĺž rovnobežných čiar a . Štvoruholník je teda rovnobežník a podľa vlastnosti rovnobežníka sa jeho uhlopriečky a pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu, čo bolo potrebné dokázať.
Pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva kváder. Všetky steny kvádra sú obdĺžniky. Dĺžky nerovnobežných hrán pravouhlého rovnobežnostena sa nazývajú jeho lineárne rozmery (rozmery). K dispozícii sú tri veľkosti (šírka, výška, dĺžka).
Veta 13.3. V kvádri, štvorec ľubovoľnej uhlopriečky sa rovná súčtuštvorce jeho troch rozmerov 
(dokázané dvojitým aplikovaním pytagorejského T).
Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten, v ktorom sú všetky hrany rovnaké kocka.
Úlohy
13.1 Koľko má uhlopriečok n- uhlíkový hranol
13.2 V naklonenom trojuholníkovom hranole sú vzdialenosti medzi bočnými okrajmi 37, 13 a 40. Nájdite vzdialenosť medzi väčšou bočnou plochou a protiľahlou bočnou hranou.
13.3Cez stranu spodnej základne správneho trojboký hranol nakreslí sa rovina, ktorá pretína bočné plochy pozdĺž segmentov, pričom uhol medzi nimi je . Nájdite uhol sklonu tejto roviny k základni hranola.
Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.
Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Všetky bočné plochy tvoria bočný povrch hranola .
Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .
Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).
Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .
Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchvatu označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, len vrcholy ležiace v jedna základňa je označená písmenami bez indexu a v druhej - s indexom)
Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)
Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.
Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.
Rovnobežníkovité
Rovnobežníkovité- Toto je štvorhranný hranol, na ktorého základni leží rovnobežník (šikmý rovnobežnosten). Pravý rovnobežnosten- rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na roviny podstavy.kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.
Vlastnosti a vety:
Niektoré vlastnosti rovnobežnostenu sú podobné známym vlastnostiam rovnobežníka Obdĺžnikový rovnobežnosten s rovnakými rozmermi sa nazýva kocka
.Kocka má všetky strany rovnaké štvorce. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov. 
,
kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.
Myšlienka hranolu je daná:
- rôzne architektonických štruktúr;
- Detské hračky;
- krabice na balenie;
- dizajnérske predmety atď.
Celková a bočná plocha hranola
Celková plocha hranola je súčet plôch všetkých jej plôch Bočný povrch sa nazýva súčet plôch jeho bočných plôch. základne hranola sú rovnaké mnohouholníky, potom sú ich plochy rovnaké. PretoS plná \u003d S strana + 2S hlavná,
Kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha
Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.
S strana\u003d P hlavná * h,
Kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,
P hlavná - obvod základne rovného hranolu,
h je výška priameho hranola, rovná bočnej hrane.
Prism Volume
Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.
