Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.

Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné steny formulár bočný povrch hranola .

Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .

Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).

Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchvatu označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, iba vrcholy ležiace v jedna základňa je označená písmenami bez indexu a v druhej - s indexom)

Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)

Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.

Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.

Rovnobežníkovité

kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.

Myšlienka hranolu je daná:

• rôzne architektonických štruktúr;
• Detské hračky;
• krabice na balenie;
• dizajnérske predmety atď.

Celková a bočná plocha hranola

S plná \u003d S strana + 2S hlavná,

Kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha

Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.

S strana\u003d P hlavná * h,

Kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,

P hlavná - obvod základne rovného hranolu,

h je výška priameho hranola, rovná bočnej hrane.

Prism Volume

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné pre úspech absolvovanie skúšky v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie komplexné koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Definícia 1. Prizmatický povrch
Veta 1. O paralelné úseky prizmatický povrch
Definícia 2. Kolmý rez hranolovou plochou
Definícia 3. Hranol
Definícia 4. Výška hranola
Definícia 5. Priamy hranol
Veta 2. Plocha bočného povrchu hranola

Rovnobežníky:
Definícia 6. Rovnobežník
Veta 3. O priesečníku uhlopriečok rovnobežnostena
Definícia 7. Pravý rovnobežnosten
Definícia 8. Obdĺžnikový hranol
Definícia 9. Rozmery rovnobežnostena
Definícia 10. Kocka
Definícia 11. Kosoštvorcový
Veta 4. O uhlopriečkach pravouhlého rovnobežnostena
Veta 5. Objem hranola
Veta 6. Objem priameho hranolu
Veta 7. Objem pravouhlého rovnobežnostena

hranol nazýva sa mnohosten, v ktorom dve plochy (základne) ležia v rovnobežných rovinách a hrany, ktoré v týchto plochách neležia, sú navzájom rovnobežné.
Tváre iné ako základne sú tzv bočné.
Strany bočných plôch a základne sa nazývajú hrany hranolov, konce okrajov sa nazývajú vrcholy hranola. Bočné rebrá nazývané hrany, ktoré nepatria k základniam. Spojenie bočných plôch sa nazýva bočný povrch hranola, a spojenie všetkých tvárí sa nazýva celý povrch hranola. Výška hranola nazývaná kolmica spadnutá z bodu hornej základne do roviny spodnej základne alebo dĺžka tejto kolmice. rovný hranol nazývaný hranol, v ktorom sú bočné hrany kolmé na roviny podstav. Správne nazývaný rovný hranol (obr. 3), na ktorého základni leží pravidelný mnohouholník.

Označenia:
l - bočné rebro;
P - obvod základne;
S o - základná plocha;
H - výška;
P ^ - obvod kolmého rezu;
S b - plocha bočného povrchu;
V - objem;
S p - plocha celkového povrchu hranola.

Definícia 2 . Kolmý rez hranolovou plochou je rez touto plochou rovinou kolmou na jej hrany. Na základe predchádzajúcej vety budú všetky kolmé rezy toho istého hranolového povrchu rovnaké polygóny.

Definícia 3 . Hranol je mnohosten ohraničený hranolovým povrchom a dvoma rovinami navzájom rovnobežnými (ale nie rovnobežnými s okrajmi hranolového povrchu)
Tváre ležiace v týchto posledných rovinách sa nazývajú hranolové základne; tváre patriace k prizmatickému povrchu - bočné steny; okraje prizmatickej plochy - bočné okraje hranola. Na základe predchádzajúcej vety sú základy hranola rovnaké polygóny. Všetky bočné strany hranola rovnobežníky; všetky bočné hrany sú si navzájom rovné.
Je zrejmé, že ak sú základňa hranola ABCDE a jedna z hrán AA" daná veľkosťou a smerom, potom je možné zostrojiť hranol nakreslením hrán BB", CC", .., rovnakých a rovnobežných s okraj AA“.

Definícia 4 . Výška hranola je vzdialenosť medzi rovinami jeho podstav (HH“).

Definícia 5 . Hranol sa nazýva priamka, ak jeho základňami sú kolmé úseky hranolovej plochy. V tomto prípade je výška hranola samozrejme jeho bočné rebro; bočné okraje budú obdĺžniky.
Hranoly možno klasifikovať podľa počtu bočných plôch, rovnaký počet strany mnohouholníka, ktorý slúži ako jeho základňa. Hranoly teda môžu byť trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď.

Veta 2 . Plocha bočnej plochy hranola sa rovná súčinu bočnej hrany a obvodu kolmej časti.
Nech ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde je jeho kolmý rez, takže úsečky ab, bc, .. sú kolmé na jeho bočné hrany. Plocha ABA"B" je rovnobežník; jeho plocha sa rovná súčinu základne AA" do výšky, ktorá sa zhoduje s ab; plocha plochy VSV "C" sa rovná súčinu základne BB "o výške bc atď. Preto je bočná plocha (t. j. súčet plôch bočných plôch) rovná súčinu bočnej hrany, inými slovami, celkovej dĺžky segmentov AA", BB" .., súčtom ab+bc+cd+de+ea.

Všeobecné informácie o priamom hranole

Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet bočné oblasti tváre. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.

Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany.

Dôkaz. Bočné plochy rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kde a 1 a n sú dĺžky rebier základne, p je obvod základne hranola a I je dĺžka bočných rebier. Veta bola dokázaná.

Praktická úloha

Úloha (22) . V naklonenom hranole oddiele, kolmo na bočné hrany a pretínajúce všetky bočné hrany. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je p a bočné hrany sú l.

Riešenie. Rovina nakresleného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu, ktorý spája základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, v ktorom časť pôvodného hranola slúži ako základ a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.

Zovšeobecnenie témy

A teraz si skúsme s vami zhrnúť tému hranol a pripomenúť si, aké vlastnosti má hranol.

Vlastnosti hranola

Po prvé, pre hranol sú všetky jeho základne rovnaké polygóny;
Po druhé, pre hranol sú všetky jeho bočné strany rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrázku, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;

Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné a naklonené.

Čo je priamy hranol?

Ak je bočná hrana hranola kolmá na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva priamka.

Nebude zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.

Čo je to šikmý hranol?

Ak však bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme bezpečne povedať, že ide o naklonený hranol.

Aký je správny hranol?

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol pravidelný.

Teraz si pripomeňme vlastnosti, ktoré má bežný hranol.

Vlastnosti pravidelného hranola

Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základne pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, potom sú vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáme veľkosti bočných rebier, potom v správnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, pravidelný hranol je vždy rovný;
Po piate, ak sú bočné strany v pravidelnom hranole vo forme štvorcov, potom sa takýto obrazec spravidla nazýva polopravidelný mnohouholník.

Hranolový úsek

Teraz sa pozrime na prierez hranola:

Domáca úloha

A teraz sa pokúsme upevniť študovanú tému riešením problémov.

Nakreslíme šikmý trojuholníkový hranol, v ktorom bude vzdialenosť medzi jeho okrajmi: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranola bude rovná 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu daného hranolu.

Viete, že geometrické obrazce nás neustále obklopujú nielen na hodinách geometrie, ale aj v Každodenný život existujú predmety, ktoré sa podobajú jednému alebo druhému geometrickému útvaru.

Každá domácnosť, škola alebo práca má počítač, ktorého systémová jednotka má podobu rovného hranola.

Ak vezmete do ruky jednoduchú ceruzku, uvidíte, že hlavnou časťou ceruzky je hranol.

Kráčajúc po hlavnej ulici mesta vidíme, že pod našimi nohami leží dlaždica, ktorá má tvar šesťhranného hranola.

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

1. Najmenší počet hrany má štvorsten - 6.

2. Hranol má n plôch. Aký polygón leží na jeho základni?

(n - 2) - štvorec.

3. Je hranol rovný, ak jeho dve susedné bočné strany sú kolmé na rovinu podstavy?

Áno, je.

4. V ktorom hranole sú bočné hrany rovnobežné s jeho výškou?

v priamom hranole.

5. Je hranol pravidelný, ak sú všetky jeho hrany navzájom rovné?

Nie, nemusí to byť priame.

6. Môže byť výška jednej z bočných plôch šikmého hranola zároveň výškou hranola?

Áno, ak je táto plocha kolmá na základne.

7. Existuje hranol, v ktorom: a) bočná hrana je kolmá len na jednu hranu podstavy; b) iba jedna bočná plocha je kolmá na základňu?

a) áno. b) č.

8. Pravidelný trojuholníkový hranol je rozdelený rovinou prechádzajúcou stredovými osami podstav na dva hranoly. Aké sú plochy bočných plôch týchto hranolov?

Podľa vety 27 to získame bočné plochy vzťahovať ako 5:3

9. Bude pyramída pravidelná, ak jej bočné strany tvoria pravidelné trojuholníky?

10. Koľko stien kolmých na základnú rovinu môže mať pyramída?

11. Existuje štvorhranný ihlan, ktorého protiľahlé strany sú kolmé na základňu?

Nie, inak by cez vrchol pyramídy prešli aspoň dve priame čiary, kolmé na základne.

12. Môžu byť všetky strany trojuholníkovej pyramídy pravouhlé trojuholníky?

Áno (obrázok 183).