Inštrukcia

Ak je daný trojuholník rovnoramenný alebo pravidelný, teda má
dve alebo tri strany, potom jeho stred podľa vlastnosti trojuholník, bude tiež mediánom. A preto opak rozdelí os na polovicu.

Odmerajte opačnú stranu pomocou pravítka trojuholník kam bude smerovať osička. Túto stranu rozdeľte na polovicu a do stredu strany vložte bodku.

Nakreslite priamku cez vytvorený bod a opačný vrchol. Toto bude stred trojuholník.

Zdroje:

• Mediány, osi a výšky trojuholníka

Rozdelenie uhla na polovicu a výpočet dĺžky čiary nakreslenej z jej vrcholu na opačnú stranu je potrebný pre rezačov, geodetov, montérov a ľudí niektorých iných profesií.

Budete potrebovať

• Pomôcky Ceruzka Pravítko Uhlomer Tabuľky sínusov a kosínusov Matematické vzorce a pojmy: Definícia osi Sínusové a kosínusové vety Veta o sekere

Inštrukcia

Postavte trojuholník potrebnej veľkosti a veľkosti v závislosti od toho, čo dostanete? dfe strany a uhol medzi nimi, tri strany alebo dva uhly a strana umiestnená medzi nimi.

Označte vrcholy rohov a strán tradičnou latinkou A, B a C. Vrcholy rohov sú označené, protiľahlé strany malými písmenami. Označte rohy gréckymi písmenami?,? a?

Pomocou sínusovej a kosínusovej vety vypočítajte uhly a strany trojuholník.

Pamätajte na bisektory. Bisector - rozdelenie uhla na polovicu. Sektor uhla trojuholník rozdeľuje opak na dva segmenty, čo sa rovná pomeru dvoch susedných strán trojuholník.

Nakreslite osy uhla. Označte výsledné segmenty menami napísaných uhlov malými písmenami, s dolným indexom l. Strana c je rozdelená na segmenty a a b s indexmi l.

Vypočítajte dĺžky výsledných segmentov pomocou sínusovej vety.

Podobné videá

Poznámka

Dĺžka úsečky, ktorá je súčasne stranou trojuholníka tvoreného jednou zo strán pôvodného trojuholníka, osi a samotným úsečkou, sa vypočíta pomocou sínusovej vety. Ak chcete vypočítať dĺžku ďalšieho segmentu rovnakej strany, použite pomer výsledných segmentov a priľahlých strán pôvodného trojuholníka.

Užitočné rady

Aby ste sa neplietli, nakreslite osy rôzne uhly iná farba.

bisector uhol nazývaný lúč, ktorý začína vo vrchole uhol a rozdelí ho na dve rovnaké časti. Tie. stráviť bisector, musíte nájsť stred uhol. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je pomocou kompasu. V tomto prípade nemusíte robiť žiadne výpočty a výsledok nebude závisieť od toho, či je hodnota uhol celé číslo.

Budete potrebovať

• kružidlo, ceruzka, pravítko.

Inštrukcia

Ponechajte šírku otvoru kompasu rovnakú, nastavte ihlu na koniec segmentu na jednej zo strán a nakreslite časť kruhu tak, aby bol umiestnený vo vnútri uhol. Urobte to isté s druhým. Získate dve časti kruhov, ktoré sa budú vo vnútri pretínať uhol- približne v strede. Časti kružníc sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch.

Podobné videá

Užitočné rady

Na vytvorenie osi uhla môžete použiť uhlomer, ale táto metóda vyžaduje väčšiu presnosť. V tomto prípade, ak hodnota uhla nie je celé číslo, zvyšuje sa pravdepodobnosť chýb v konštrukcii osi.

Pri stavbe alebo vývoji projektov domáceho dizajnu je často potrebné stavať rohu rovná už prítomnému. Na pomoc prichádzajú šablóny a školské znalosti z geometrie.

Inštrukcia

Uhol tvoria dve priame čiary vychádzajúce z toho istého bodu. Tento bod sa bude nazývať vrchol rohu a čiary budú strany rohu.

Použite tri na označenie rohov: jeden hore, dva po stranách. sa volajú rohu, začínajúc písmenom, ktoré stojí na jednej strane, potom nazývajú písmeno hore a potom písmenom na druhej strane. Ak chcete inak, použite iné na označenie rohov. Niekedy sa volá len jedno písmeno, ktoré je hore. A uhly môžete označiť gréckymi písmenami, napríklad α, β, γ.

Sú situácie, kedy je to nevyhnutné rohu tak, že je už daný roh. Ak pri stavaní nie je možné použiť uhlomer, vystačíte si len s pravítkom a kružidlom. Predpokladajme, že na riadku označenom písmenami MN musíte postaviť rohu v bode K tak, aby sa rovnal uhlu B. To znamená, že z bodu K je potrebné nakresliť priamku s čiarou MN rohu, ktorý sa bude rovnať uhlu B.

Najprv označte bod na každej strane tohto rohu, napríklad body A a C, potom body C a A spojte priamkou. Získajte tre rohu nik ABC.

Teraz postavte na čiare MN rovnaké tri rohu vrchol B je na priamke v bode K. Použite pravidlo na zostrojenie trojuholníka rohu tri hodiny. Odložte segment KL z bodu K. Musí sa rovnať segmentu BC. Získajte bod L.

Z bodu K nakreslite kružnicu s polomerom rovným segmentu BA. Z L nakreslite kružnicu s polomerom CA. Spojte výsledný bod (P) priesečníka dvoch kružníc s K. Získajte tri rohu nick KPL, ktorý sa bude rovnať trom rohu niku ABC. Takže dostanete rohu K. Bude sa rovnať uhlu B. Aby to bolo pohodlnejšie a rýchlejšie, oddeľte si rovnaké segmenty z vrcholu B pomocou jedného riešenia kompasu, bez pohybu nôh, opíšte z bodu K kružnicu s rovnakým polomerom.

Podobné videá

Tip 5: Ako nakresliť trojuholník s dvoma stranami a stredom

Trojuholník je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy spojené v pároch segmentmi, ktoré tvoria strany tohto mnohouholníka. Úsečka spájajúca vrchol so stredom opačnej strany sa nazýva medián. Keď poznáte dĺžky dvoch strán a medián spájajúci sa v jednom z vrcholov, môžete postaviť trojuholník bez toho, aby ste poznali dĺžku tretej strany alebo uhlov.

Inštrukcia

Nakreslite úsečku z bodu A, ktorej dĺžka je jednou zo známych strán trojuholníka (a). Označte koncový bod tohto segmentu písmenom B. Potom už môže byť jedna zo strán (AB) požadovaného trojuholníka považovaná za postavenú.

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dvojnásobku dĺžky mediánu (2∗m) so stredom v bode A.

Pomocou kružidla nakreslite druhú kružnicu s polomerom rovným dĺžke známej strany (b) a vycentrovanú v bode B. Kružidlo na chvíľu odložte, ale namerané na ňom nechajte – budete ho potrebovať znova o niečo neskôr.

Zostrojte úsečku spájajúcu bod A s priesečníkom dvoch, ktoré ste nakreslili. Polovica tohto segmentu bude tá, ktorú staviate – zmerajte túto polovicu a vložte bod M. V tomto bode máte jednu stranu požadovaného trojuholníka (AB) a jeho stred (AM).

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dĺžke druhej známej strany (b) so stredom v bode A.

Nakreslite úsečku, ktorá by mala začínať v bode B, prechádzať bodom M a končiť v bode priesečníka priamky s kružnicou, ktorú ste nakreslili v predchádzajúcom kroku. Priesečník označte písmenom C. Teraz je na požadovanej strane postavená aj strana BC, neznáma podľa podmienok problému.

Schopnosť rozdeliť ľubovoľný uhol osou je potrebná nielen na získanie „A“ z matematiky. Tieto znalosti budú veľmi užitočné pre staviteľa, dizajnéra, geodeta a krajčíra. V živote je veľa vecí, ktoré treba rozdeliť.

Všetci v škole učili vtip o potkanovi, ktorý behá za rohy a rozdeľuje roh na polovicu. Tento šikovný a inteligentný hlodavec sa nazýval Bisector. Nie je známe, ako potkan rozdelil roh a matematici v školskej učebnici "Geometria" môžu ponúknuť nasledujúce metódy.

S pomocou uhlomeru

Najjednoduchší spôsob, ako nakresliť osičku, je použiť zariadenie na. Je potrebné pripevniť uhlomer na jednu stranu uhla, zarovnať referenčný bod s jeho hrotom O. Potom zmerajte uhol v stupňoch alebo radiánoch a vydeľte ho dvoma. Pomocou toho istého uhlomeru odložte stupne získané z jednej zo strán a nakreslite priamku, ktorá sa stane osou, do bodu, kde začína uhol O.

S pomocou kruhu

Musíte si vziať kompas a rozmnožiť ho na ľubovoľnú veľkosť (v rámci výkresu). Po nastavení hrotu na začiatok uhla O nakreslite oblúk, ktorý pretína lúče a označte na nich dva body. Označte ich A1 a A2. Potom striedavým nastavením kompasu v týchto bodoch by sa mali nakresliť dva kruhy s rovnakým ľubovoľným priemerom (v mierke výkresu). Body ich priesečníka sú označené C a B. Ďalej musíte nakresliť priamku cez body O, C a B, čo bude požadovaná os.

S pravítkom

Aby ste mohli nakresliť osičku uhla pomocou pravítka, musíte oddeliť segmenty rovnakej dĺžky od bodu O na lúčoch (stranách) a označiť ich bodmi A a B. Potom by ste ich mali spojiť priamkou a pomocou pravítka rozdeliť výsledný segment na polovicu, pričom označte bod C. Stred sa ukáže, ak nakreslíte priamku cez body C a O.

Bez náradia

Ak neexistujú žiadne meracie nástroje, môžete použiť vynaliezavosť. Stačí na pauzovací papier alebo obyčajný tenký papier nakresliť uhol a list opatrne zložiť tak, aby boli lúče uhla zarovnané. Čiara ohybu na výkrese bude požadovaná os.

Rozšírený uhol

Uhol väčší ako 180 stupňov možno rozdeliť osou rovnakým spôsobom. Len to nebude potrebné rozdeliť, ale ostrý uhol priľahlý k nemu, zostávajúci z kruhu. Pokračovaním nájdenej osy sa stane požadovaná priamka, ktorá rozdelí rozšírený uhol na polovicu.

Uhly v trojuholníku

Malo by sa pamätať na to, že v rovnostrannom trojuholníku je stredom a výškou aj stred. Preto možno stred v nej nájsť jednoduchým znížením kolmice na stranu opačnú od uhla (výška) alebo rozdelením tejto strany na polovicu a pripojením stredu k opačnému uhlu (medián).

Podobné videá

Mnemotechnické pravidlo „priečna je krysa, ktorá behá okolo rohov a delí ich na polovicu“ popisuje podstatu konceptu, ale nedáva odporúčania na zostavenie osy. Na jeho nakreslenie budete potrebovať okrem pravidla aj kružidlo a pravítko.

Inštrukcia

Povedzme, že potrebujete stavať bisector roh A. Vezmite kružidlo, umiestnite ho bodom do bodu A (uhol) a nakreslite kružnicu ľubovoľného . Tam, kde pretína strany rohu, umiestnite body B a C.

Zmerajte polomer prvého kruhu. Nakreslite ďalší s rovnakým polomerom a umiestnite kružidlo do bodu B.

Nakreslite ďalší kruh (rovnajúci sa veľkosti predchádzajúcich) so stredom v bode C.

Všetky tri kružnice sa musia pretínať v jednom bode – nazvime ho F. Pomocou pravítka nakreslite lúč prechádzajúci bodmi A a F. Toto bude požadovaná os uhla A.

Existuje niekoľko pravidiel, ktoré vám pomôžu nájsť. Napríklad v , je opačný, rovný pomeru dvoch susedných strán. v rovnoramennom

Osa trojuholníka je bežný geometrický koncept, ktorý nespôsobuje veľké ťažkosti pri učení. S vedomím o jeho vlastnostiach sa mnohé problémy dajú vyriešiť bez väčších ťažkostí. Čo je to bisector? Pokúsime sa čitateľa oboznámiť so všetkými tajomstvami tejto matematickej línie.

V kontakte s

Podstata konceptu

Názov konceptu pochádza z používania slov v latinčine, ktorých význam je "bi" - dva, "sectio" - rez. Konkrétne sa odvolávajú na geometrický zmysel koncepty - rozbitie priestoru medzi lúčmi na dve rovnaké časti.

Osa trojuholníka je segment, ktorý vychádza z hornej časti obrázku a druhý koniec je umiestnený na strane, ktorá sa nachádza oproti nemu, pričom priestor rozdeľuje na dve rovnaké časti.

Mnoho učiteľov na rýchle asociatívne zapamätanie si matematických pojmov žiakmi používa inú terminológiu, ktorá sa zobrazuje vo veršoch alebo asociáciách. Samozrejme, táto definícia sa odporúča pre staršie deti.

Ako je označená táto čiara? Tu sa spoliehame na pravidlá pre označovanie segmentov alebo lúčov. Ak rozprávame sa o označení osy uhla trojuholníkového obrazca, potom sa zvyčajne píše ako segment, ktorého konce sú vrchol a priesečník s opačnou stranou vrcholu. Navyše, začiatok označenia je napísaný presne zhora.

Pozor! Koľko osi má trojuholník? Odpoveď je zrejmá: toľko, koľko je vrcholov - tri.

Vlastnosti

Okrem definície nie je v školskej učebnici toľko vlastností tohto geometrického pojmu. Prvou vlastnosťou osi trojuholníka, s ktorou sa školáci zoznamujú, je vpísaný stred a druhou, s ním priamo súvisiacou, je proporcionalita úsečiek. Pointa je toto:

1. Nech je deliaca čiara akákoľvek, sú na nej body, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od strán, ktoré tvoria priestor medzi lúčmi.
2. Aby bolo možné vpísať kruh do trojuholníkového obrazca, je potrebné určiť bod, v ktorom sa tieto segmenty budú pretínať. Tak to je centrálny bod kruhy.
3. Časti strany trojuholníkového geometrického útvaru, na ktorý je rozdelený deliacou čiarou, sú V proporcionálna závislosť zo strán v zákrutách.

Pokúsime sa vniesť zvyšok funkcií do systému a prezentovať ďalšie fakty, ktoré pomôžu lepšie pochopiť podstatu tohto geometrického konceptu.

Dĺžka

Jedným z typov úloh, ktoré školákom spôsobujú ťažkosti, je nájsť dĺžku osy uhla trojuholníka. Prvá možnosť, v ktorej sa nachádza jej dĺžka, obsahuje nasledujúce údaje:

• veľkosť priestoru medzi lúčmi, z ktorého vrcholu vychádza daný segment;
• dĺžky strán, ktoré tvoria tento uhol.

Na vyriešenie problému používa sa vzorec, ktorého významom je nájsť pomer zdvojnásobeného súčinu hodnôt strán, ktoré tvoria uhol, pomocou kosínusu jeho polovice k súčtu strán.

Pozrime sa na konkrétny príklad. Predpokladajme, že máme číslo ABC, v ktorom je segment nakreslený z uhla A a pretína stranu BC v bode K. Hodnotu A označujeme Y. Na základe toho AK \u003d (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

Druhá verzia úlohy, v ktorej sa určuje dĺžka osi trojuholníka, obsahuje nasledujúce údaje:

• hodnoty všetkých strán obrázku sú známe.

Pri riešení problému tohto typu spočiatku určiť semiperimeter. Ak to chcete urobiť, pridajte hodnoty všetkých strán a rozdeľte ich na polovicu: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Ďalej použijeme výpočtový vzorec, ktorý bol použitý na určenie dĺžky tohto segmentu v predchádzajúcej úlohe. V súlade s novými parametrami je potrebné vykonať iba niektoré zmeny v podstate vzorca. Je teda potrebné nájsť pomer dvojnásobku odmocniny druhého stupňa zo súčinu dĺžok strán, ktoré susedia s vrcholom, k polobvodu a rozdielu medzi polobvodom a dĺžkou protiľahlej strany k súčtu strán, ktoré tvoria uhol. To znamená, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Pozor! Aby ste uľahčili zvládnutie materiálu, môžete sa obrátiť na komiksové príbehy dostupné na internete, ktoré hovoria o „dobrodružstvách“ tejto línie.

Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na jednej priamke (pozri obr. 1).

Podstatné prvky trojuholník abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

rohy – α , β, γ tvorené tromi pármi strán. Rohy sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy, písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútri, sa nazýva vnútorný uhol a uhol k nemu susediaci je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa zvažujú aj ďalšie segmenty, ktoré majú zaujímavé vlastnosti: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka sú kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vytvoriť výšku, postupujte takto:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená od vrcholu ostrého uhla v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku od bodu k tejto čiare a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Priesečník nadmorskej výšky so stranou trojuholníka sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšky trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku výška nakreslená z vrcholu pravý uhol, rozdelí ho na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a pri tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na predĺženie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

mediány(z latinského mediana - "stred") - sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, postupujte takto:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka, s opačným vrcholom spojíme úsečkou.

Vlastnosti trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej oblasti.

Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc zhora. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

osy(z lat. bis - dvakrát "a seko - strihám) nazývame segmenty priamych čiar uzavretých vo vnútri trojuholníka, ktoré pretínajú jeho rohy (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osy trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorných a vonkajších rohov sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína pokračovanie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jedného z troch kruhy tento trojuholník.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osy vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné s opačnými stranami, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.

Dnes to bude veľmi ľahká lekcia. Budeme uvažovať iba o jednom objekte - o osi uhla - a dokážeme jeho najdôležitejšiu vlastnosť, ktorá sa nám bude v budúcnosti veľmi hodiť.

Len sa neuvoľnite: niekedy študenti, ktorí chcú získať vysoké skóre na rovnakom OGE alebo USE, na prvej hodine, nedokážu ani sformulovať presnú definíciu osi.

A namiesto toho, aby sme robili naozaj zaujímavé úlohy, trávime čas takýmito jednoduchými vecami. Tak čítajte, pozerajte - a adoptujte. :)

Na začiatok trochu zvláštna otázka: čo je to uhol? Správne: uhol sú len dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu. Napríklad:

Príklady uhlov: ostrý, tupý a pravý

Ako vidíte na obrázku, rohy môžu byť ostré, tupé, rovné - na tom teraz nezáleží. Často je pre pohodlie na každom lúči označený ďalší bod a hovoria, hovoria, že máme uhol $AOB$ (napísaný ako $\uhol AOB$).

Zdá sa, že kapitán naznačuje, že okrem lúčov $OA$ a $OB$ je možné vždy nakresliť veľa lúčov z bodu $O$. Ale medzi nimi bude jedna špeciálna - nazýva sa bisektor.

Definícia. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu tohto uhla a pretína uhol.

Pre vyššie uvedené uhly budú osy vyzerať takto:

Príklady osí pre ostrý, tupý a pravý uhol

Pretože na skutočných výkresoch nie je vždy zrejmé, že určitý lúč (v našom prípade je to lúč $OM$) rozdeľuje počiatočný uhol na dva rovnaké, je v geometrii zvykom označovať rovnaké uhly rovnaký počet oblúkov (na našom výkrese je to 1 oblúk pre ostrý uhol, dva pre tupý, tri pre rovný).

Dobre, prišli sme na definíciu. Teraz musíte pochopiť, aké vlastnosti má bisector.

Základná vlastnosť osy uhla

V skutočnosti má bisektor veľa vlastností. A určite ich zvážime v ďalšej lekcii. Ale je tu jeden trik, ktorý musíte hneď pochopiť:

Veta. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán daného uhla.

Preložené z matematiky do ruštiny to znamená dve skutočnosti naraz:

1. Každý bod ležiaci na osi uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán tohto uhla.
2. A naopak: ak bod leží v rovnakej vzdialenosti od strán daného uhla, potom je zaručené, že bude ležať na osi tohto uhla.

Pred dôkazom týchto tvrdení si vyjasnime jeden bod: čo sa v skutočnosti nazýva vzdialenosť od bodu k strane uhla? Tu nám pomôže stará dobrá definícia vzdialenosti od bodu k priamke:

Definícia. Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice nakreslenej z tohto bodu k tejto priamke.

Uvažujme napríklad priamku $l$ a bod $A$, ktorý na tejto priamke neleží. Nakreslite kolmicu $AH$, kde $H\v l$. Potom bude dĺžka tejto kolmice vzdialenosť od bodu $A$ k priamke $l$.

Grafické znázornenie vzdialenosti od bodu k priamke

Keďže uhol sú len dva lúče a každý lúč je kusom priamky, je ľahké určiť vzdialenosť od bodu k stranám uhla. Sú to len dve kolmice:

Určte vzdialenosť od bodu k stranám uhla

To je všetko! Teraz vieme, čo je vzdialenosť a čo je os. Preto môžeme preukázať hlavnú vlastnosť.

Ako sme sľúbili, rozdeľujeme dôkaz na dve časti:

1. Vzdialenosti od bodu na osi k stranám uhla sú rovnaké

Uvažujme ľubovoľný uhol s vrcholom $O$ a stredom $OM$:

Dokážme, že ten istý bod $M$ je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla.

Dôkaz. Nakreslíme kolmice z bodu $M$ do strán uhla. Nazvime ich $M((H)_(1))$ a $M((H)_(2))$:

Nakreslite kolmice na strany rohu

dostal dve správny trojuholník: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Majú spoločnú preponu $OM$ a rovnaké uhly:

1. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$ podľa predpokladu (keďže $OM$ je os);
2. $\uhol M((H)_(1))O=\uhol M((H)_(2))O=90()^\circ $ podľa konštrukcie;
3. $\uhol OM((H)_(1))=\uhol OM((H)_(2))=90()^\circ -\uhol MO((H)_(1))$ pretože súčet ostré rohy pravouhlého trojuholníka je vždy 90 stupňov.

Preto sú trojuholníky rovnaké v stranách a dvoch susedných uhloch (pozri znaky rovnosti trojuholníkov). Preto najmä $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.j. vzdialenosti od bodu $O$ k stranám uhla sú skutočne rovnaké. Q.E.D. :)

2. Ak sú vzdialenosti rovnaké, potom bod leží na osi

Teraz je situácia opačná. Nech je daný uhol $O$ a bod $M$ rovnako vzdialený od strán tohto uhla:

Dokážme, že lúč $OM$ je os, t.j. $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$.

Dôkaz. Na začiatok nakreslíme tento lúč $OM$, inak nebude čo dokazovať:

Strávil lúč $OM$ v rohu

Opäť máme dva pravouhlé trojuholníky: $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$. Je zrejmé, že sú si rovní, pretože:

1. Prepona $OM$ je bežná;
2. Nohy $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ podľa podmienky (pretože bod $M$ je rovnako vzdialený od strán rohu);
3. Zvyšné nohy sú tiež rovnaké, pretože podľa Pytagorovej vety $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Preto trojuholníky $\vartriangle OM((H)_(1))$ a $\vartriangle OM((H)_(2))$ na troch stranách. Najmä ich uhly sú rovnaké: $\uhol MO((H)_(1))=\uhol MO((H)_(2))$. A to znamená, že $OM$ je stred.

Na záver dôkazu označíme vytvorené rovnaké uhly červenými oblúkmi:

Osa rozdeľuje uhol $\uhol ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva rovnaké

Ako vidíte, nič zložité. Dokázali sme, že os uhla je miestom bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla. :)

Teraz, keď sme sa viac-menej rozhodli pre terminológiu, je čas prejsť na novú úroveň. V ďalšej lekcii budeme analyzovať zložitejšie vlastnosti osi a naučíme sa, ako ich použiť na riešenie skutočných problémov.

Medzi početnými predmetmi strednej školy patrí napríklad „geometria“. Tradične sa verí, že zakladateľmi tejto systematickej vedy sú Gréci. Dnes sa grécka geometria nazýva elementárna, pretože to bola ona, ktorá začala študovať najjednoduchšie formy: roviny, čiary a trojuholníky. My sa zameriame na ten druhý, alebo skôr na stred tohto čísla. Pre tých, ktorí už zabudli, osi trojuholníka je segment osi jedného z uhlov trojuholníka, ktorý ho rozdeľuje na polovicu a spája vrchol s bodom umiestneným na opačnej strane.

Osa trojuholníka má množstvo vlastností, ktoré potrebujete vedieť pri riešení určitých problémov:

• Osa uhla je ťažisko bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od strán susediacich s uhlom.
• Osa v trojuholníku rozdeľuje opačnú stranu uhla na segmenty, ktoré sú úmerné susedným stranám. Napríklad daný trojuholník MKB, kde z uhla K vychádza os, ktorá spája vrchol tohto uhla s bodom A na opačnej strane MB. Po analýze tejto vlastnosti a nášho trojuholníka máme MA/AB=MK/KB.
• Bod, v ktorom sa pretínajú osi všetkých troch uhlov trojuholníka, je stred kružnice, ktorá je vpísaná do toho istého trojuholníka.
• Základňa osí jedného vonkajšieho a dvoch vnútorných uhlov leží na tej istej priamke za predpokladu, že os vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.
• Ak sú dve osi jednej, potom toto

Treba poznamenať, že ak sú dané tri osi, potom je nemožné pomocou nich postaviť trojuholník, dokonca ani pomocou kompasu.

Veľmi často pri riešení úloh je stred trojuholníka neznámy, ale je potrebné určiť jeho dĺžku. Na vyriešenie takéhoto problému je potrebné poznať uhol, ktorý je rozdelený osou na polovicu, a strany susediace s týmto uhlom. V tomto prípade je požadovaná dĺžka definovaná ako pomer dvojitého súčinu strán susediacich s rohom a kosínusu uhla rozdeleného na polovicu k súčtu strán susediacich s rohom. Napríklad vzhľadom na rovnaký trojuholník MKB. Osa opúšťa uhol K a pretína sa opačná strana MV v bode A. Uhol, z ktorého osička odchádza, označíme y. Teraz si všetko, čo je povedané slovami, zapíšme vo forme vzorca: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ak je neznáma hodnota uhla, z ktorého vychádza osi trojuholníka, ale sú známe všetky jeho strany, tak na výpočet dĺžky osi trojuholníka použijeme doplnkovú premennú, ktorú nazveme polobvod a označíme písmenom P: P=1/2*(MK+KB+MB). Potom urobíme niekoľko zmien v predchádzajúcom vzorci, podľa ktorého bola určená dĺžka osy, konkrétne do čitateľa zlomku vložíme dvojnásobok súčinu dĺžok strán susediacich s rohom pomocou pol obvodu a kvocientu, kde sa dĺžka tretej strany odpočíta od pol obvodu. Menovateľa necháme nezmenený. Vo forme vzorca to bude vyzerať takto: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Osa rovnoramenného trojuholníka má spolu so spoločnými vlastnosťami niekoľko vlastných. Pripomeňme si, čo je trojuholník. V takomto trojuholníku sú dve strany rovnaké a uhly susediace so základňou sú rovnaké. Z toho vyplýva, že osi, ktoré klesajú na strany rovnoramenného trojuholníka, sú si navzájom rovné. Okrem toho, osnica znížená na základňu je súčasne výškou aj stredom.