Kruh vpísaný do trojuholníka

Existencia kruhu vpísaného do trojuholníka

Pripomeňte si definíciu osi uhla .

Definícia 1 .Sektor uhla nazývaný lúč, ktorý rozdeľuje uhol na dve rovnaké časti.

Veta 1 (Základná vlastnosť osy uhla) . Každý bod osy uhla je v rovnakej vzdialenosti od strán uhla (obr. 1).

Ryža. 1

Dôkaz D ležiace na osnici uhlaBAC , A DE A D.F. po stranách rohu (obr. 1).pravouhlé trojuholníky ADF A ADE rovný pretože majú rovnaké ostré uhlyDAF A DAE a prepona AD - všeobecný. teda

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Veta 2 ( konverzná veta k vete 1) . Ak nejaké , tak leží na osnici uhla (obr. 2).

Ryža. 2

Dôkaz . Zvážte svojvoľný bodD ležiace vo vnútri rohuBAC a nachádza sa v rovnakej vzdialenosti od strán rohu. Pokles z boduD kolmice DE A D.F. po stranách rohu (obr. 2).pravouhlé trojuholníky ADF A ADE rovný , keďže majú rovnaké nohyD.F. A DE a prepona AD - všeobecný. teda

Q.E.D.

Definícia 2 . Kruh sa nazýva kruh vpísaný do uhla ak ide o strany tohto uhla.

Veta 3 . Ak je kruh vpísaný do uhla, potom sú vzdialenosti od vrcholu uhla k bodom dotyku kruhu so stranami uhla rovnaké.

Dôkaz . Nechajte bod D je stred kružnice vpísanej pod uhlomBAC a body E A F - body dotyku kruhu so stranami rohu (obr. 3).

Obr.3

a , b , c - strany trojuholníka
 S -námestie,

r – polomer vpísanej kružnice,
 p - semiperimeter

.

Zobraziť výstup vzorca

a – bočná strana rovnoramenného trojuholníka , 
 b - základňa, r – polomer vpísanej kružnice

a r – polomer vpísanej kružnice

Zobraziť výstup vzorca

,

Kde

,

potom, v prípade rovnoramenného trojuholníka, kedy

dostaneme

čo sa vyžadovalo.

Veta 7 . Pre rovnosť

Kde a - strana rovnostranného trojuholníkar – polomer vpísanej kružnice (obr. 8).

Ryža. 8

Dôkaz .

,

potom v prípade rovnostranného trojuholníka, kedy

b=a,

dostaneme

čo sa vyžadovalo.

Komentujte . Odporúčam odvodiť ako cvičenie vzorec pre polomer kružnice vpísanej do rovnostranného trojuholníka priamo, t.j. bez použitia všeobecných vzorcov pre polomery kružníc vpísaných do ľubovoľného trojuholníka alebo do rovnoramenného trojuholníka.

Veta 8 . Pre správny trojuholník spravodlivá rovnosť

Kde a , b - nohy pravouhlého trojuholníka, c – hypotenzia , r – polomer vpísanej kružnice.

Dôkaz . Zvážte obrázok 9.

Ryža. 9

Od štvoruholníkaCDOF je , ktorý má priľahlé stranyDO A OF sú rovnaké, potom je tento obdĺžnik . teda

CB \u003d CF \u003d r,

Na základe vety 3, rovnosti

Preto, berúc do úvahy aj , dostaneme

čo sa vyžadovalo.

Výber úloh na tému "Kruh vpísaný do trojuholníka."

1.

Kruh vpísaný do rovnoramenného trojuholníka rozdeľuje v bode dotyku jednu zo strán na dva segmenty, ktorých dĺžky sa rovnajú 5 a 3, počítané od vrcholu oproti základni. Nájdite obvod trojuholníka.

2.

3

IN trojuholník ABC AC=4, BC=3, uhol C je 90°. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

4.

Nohy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sú 2+. Nájdite polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

5.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je 2. Nájdite preponu c tohto trojuholníka. Vo svojej odpovedi napíšte c(-1).

Tu je niekoľko úloh zo skúšky s riešeniami.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je . Nájdite preponu c tohto trojuholníka. Uveďte prosím vo svojej odpovedi.

Trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný. Nohy má teda rovnaké. Nech sú všetky nohy rovnaké. Potom je prepona.

Oblasť trojuholníka ABC zapisujeme dvoma spôsobmi:

Porovnaním týchto výrazov dostaneme to. Pretože, chápeme to. Potom.

Ako odpoveď napíšte.

odpoveď:.

Úloha 2.

1. Na ľubovoľných dvoch stranách 10 cm a 6 cm (AB a BC). Nájdite polomery opísaných a vpísaných kružníc
Problém je riešený samostatne s pripomienkovaním.

Riešenie:

IN.

1) Nájdite:
2) Dokážte:a nájsť CK
3) Nájdite: polomery opísanej a vpísanej kružnice

Riešenie:

Úloha 6.

R polomer kruhu vpísaného do štvorca je. Nájdite polomer kružnice opísanej okolo tohto štvorca.Dané :

Nájsť: OS=?
Riešenie: v tomto prípade možno úlohu vyriešiť pomocou Pytagorovej vety alebo vzorca pre R. Druhý prípad bude jednoduchší, keďže vzorec pre R je odvodený z vety.

Úloha 7.

Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je 2. Nájdite preponus tento trojuholník. Uveďte prosím vo svojej odpovedi.

S je plocha trojuholníka

Nepoznáme ani strany trojuholníka, ani jeho obsah. Označme nohy ako x, potom sa prepona bude rovnať:

Plocha trojuholníka bude 0,5x 2 .

Prostriedky

Takže prepona bude:

Odpoveď musí byť napísaná:

odpoveď: 4

Úloha 8.

V trojuholníku ABC, AC = 4, BC = 3, uhol C sa rovná 900. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Dve strany sú známe (to sú nohy), tretiu vieme vypočítať (hypotenúza), vieme vypočítať aj plochu.

Podľa Pytagorovej vety:

Poďme nájsť oblasť:

Takto:

odpoveď: 1

Úloha 9.

Strany rovnoramenného trojuholníka sú 5, základňa je 6. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Všetky strany sú známe a plocha je vypočítaná. Môžeme to nájsť pomocou Heronovho vzorca:

Potom

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

MKOU "Volchikhinsky stredná škola č. 2"

Učiteľ Bakuta E.P.

9. ročník

Lekcia na tému "Vzorce pre polomery vpísaných a opísaných kružníc pravidelných mnohouholníkov"

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: štúdium vzorcov pre polomery vpísaných a opísaných kružníc pravidelných mnohouholníkov;

Rozvíjanie: aktivácia kognitívna aktivitaštudentov cez riešenie praktické úlohy, schopnosť vybrať si správne riešenie, stručne vyjadriť svoje myšlienky, analyzovať a vyvodiť závery.

Vzdelávacie: organizácia spoločných aktivít, výchova záujmu študentov o predmet, dobrá vôľa, schopnosť počúvať odpovede súdruhov.

Vybavenie: Multimediálny počítač, multimediálny projektor, expozičné plátno

Priebeh lekcie:

1. Organizovanie času

Argumentovať správnou vecou,

A mottom našej lekcie budú tieto slová:

Myslite kolektívne!

Rozhodnite sa rýchlo!

Odpoveď - dôkaz!

Tvrdo bojuj!

2. Motivácia hodiny.

3. Aktualizácia základných poznatkov. Kontrola d/z.

Predná anketa:

Aký tvar sa nazýva mnohouholník?

Čo je pravidelný mnohouholník?

Aký je iný názov pre pravouhlý trojuholník?

Aký je iný názov pre pravidelný štvoruholník?

Vzorec pre súčet uhlov konvexného mnohouholníka.

Vzorec uhla pre pravidelný mnohouholník.

4. Učenie sa nového materiálu. (snímky)

Kruh sa nazýva vpísaný do mnohouholníka, ak sa všetky strany mnohouholníka dotýkajú kruhu.

O kružnici sa hovorí, že je opísaná okolo mnohouholníka, ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici.

Kruh môže byť vpísaný alebo opísaný okolo akéhokoľvek trojuholníka a stred kružnice vpísanej do trojuholníka leží v priesečníku priesečníkov trojuholníka a stred kružnice opísanej okolo trojuholníka leží v priesečníku odvesničiek. .

Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka a kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka a stred kruhu opísanom okolo pravidelného mnohouholníka sa zhoduje so stredom kruhu vpísaného do toho istého mnohouholníka.

Vzorce pre polomery vpísanej a opísanej kružnice pravidelného trojuholníka, pravidelného štvoruholníka, pravidelného šesťuholníka.

Polomer vpísanej kružnice v pravidelnom mnohouholníku (r):

a - strana mnohouholníka, N - počet strán mnohouholníka

Polomer kružnice opísanej pravidelného mnohouholníka (R):

a je strana mnohouholníka, N je počet strán mnohouholníka.

Doplňme tabuľku pre pravidelný trojuholník, pravidelný štvoruholník, pravidelný šesťuholník.

5. Konsolidácia nového materiálu.

Riešenie č. 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Fyzická minúta . Jeden - natiahnuť Dva - zohnúť sa

Tri – rozhliadni sa Štyri – sadni si

Päť - ruky hore Šesť - dopredu

Sedem – znížená Osem – sadla si

Deväť - vstal Desať - opäť sa posadil

7. Samostatná prácaštudenti (skupinová práca)

Riešenie # 1093.

8. Výsledky vyučovacej hodiny. Reflexia. D / s.

Aký je váš dojem? (páči sa mi - nepáči sa mi)

Akú máš náladu po vyučovaní? (radostný - smutný)

- Ako sa citis? (unavený - nie unavený)

- Aký je vzťah k preberanému materiálu? (rozumel - nerozumel)

- Aké je vaše sebavedomie po lekcii? (Spokojný – nespokojný)

- Vyhodnoťte svoju aktivitu na hodine. (Skúsil som - neskúšal som).

str. 105-108 opakovanie;

naučiť sa vzorce;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Matematika má povesť

Že si dáva do poriadku myseľ,

Pretože Pekné slová

Ľudia o nej často hovoria.

Dáte nám geometriu

Vyhrať dôležité otužovanie.

Mládež sa učí s vami

Rozvíjajte vôľu aj vynaliezavosť.

Poznámka Prezentácia obsahuje sekcie:

Opakovanie teoretického učiva

Kontrola domácich úloh

Odvodenie základných vzorcov, t.j. nový materiál

Konsolidácia: riešenie problémov v skupinách a samostatne

Zobraziť obsah prezentácie
"9_klass_pravidelnye_mnogougolniki_urok_2"

• Argumentovať správnou vecou,
• Aby sme nepoznali zlyhania v živote,
• Poďme smelo do sveta matematiky,
• Vo svete príkladov a rôznych úloh.

MOTTO LEKCIE

Myslite kolektívne!

Rozhodnite sa rýchlo!

Odpoveď - dôkaz!

Tvrdo bojuj!

A objavy nás čakajú!

Opakovanie.

• Aký geometrický obrazec

zobrazené na obrázku?

D

E

2. Ako sa nazýva mnohouholník

správny?

O

3. Ako sa volá kruh

vpísané do mnohouholníka?

F

S

4. Ako sa volá kruh

ohraničené okolo mnohouholníka?

5. Pomenujte polomer vpísanej kružnice.

A

IN

H

6. Pomenujte polomer kružnice opísanej.

7. Ako nájsť stred vpísaný správne

kruhový mnohouholník?

8. Ako nájsť stred kružnice opísanej okolo

pravidelný mnohouholník?

Kontrola vykonania

domáca úloha ..

№ 1084.

β je uhol zodpovedajúci

oblúk, ktorý ťahá

polygónová strana .

O

A P

A 2

β

Odpovede:

a) 6;

b) 12;

A

A 1

pri 4;

d) 8;

d) 10

e) 20;

e) 7.

e) 5.

PRAVIDELNÝ POLYGÓN

Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky uhly rovnaké a všetky strany sú rovnaké.

Súčet pravých uhlov n - gon

Správny uhol n - námestie

Hovorí sa, že kruh je vpísaný do mnohouholníka,

ak sa všetky strany mnohouholníka dotýkajú kruhu.

Hovoríme, že kruh je opísaný okolo mnohouholníka, ak na ňom ležia všetky jeho vrcholy

kruhy.

Vpísaný a opísaný kruh

Kruh vpísaný do pravidelného mnohouholníka sa dotýka strán mnohouholníka v ich stredoch.

Stred kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka sa zhoduje so stredom kružnice vpísanej do toho istého mnohouholníka.

Odvodíme vzorec pre polomer vpísanej a polomer kružnice opísanej pravidelného mnohouholníka.

Nech r je polomer vpísanej kružnice,

R je polomer kružnice opísanej,

n je počet strán a uhlov mnohouholníka.

Zvážte pravidelný n-uholník.

Nech a je strana n-uholníka,

α je uhol.

Zostrojme bod O – stred vpísanej a opísanej kružnice.

OS je výška ∆AOB.

∟ C \u003d 90 º - (podľa konštrukcie),

Zvážte ∆AOC:

∟ ОАС = α / 2 - (ОА je osnica uhla n-uholníka),

AC \u003d a / 2 - (OS - medián k základni rovnoramenného trojuholníka),

∟ AOB = 360 º: p,

nech ∟AOC = β.

potom β = 0,5 ∙ ∟AOB

0,5∙(360º:p)

2 sin (180º:n)

2 tg (180º: p)

Plocha pravidelného mnohouholníka

Strana pravidelného mnohouholníka

Polomer vpísanej kružnice

Skupina 1 Vzhľadom na to: R , n =3 Nájdite: a

Skupina 2 Vzhľadom na to: R , n =4 Nájdite: a

Skupina 3 Vzhľadom na to: R , n =6 Nájdite: a

Skupina 4 Vzhľadom na to: r , n =3 Nájdite: a

Skupina 5 Vzhľadom na to: r , n = 4 Nájsť

Skupina 6 Vzhľadom na to: r , n = 6 Nájsť

Skupina 1 Vzhľadom na to: R , n =3 Nájdite: a

Skupina 2 Vzhľadom na to: R , n =4 Nájdite: a

Skupina 3 Vzhľadom na to: R , n =6 Nájdite: a

Skupina 4 Vzhľadom na to: r , n =3 Nájdite: a

Skupina 5 Vzhľadom na to: r , n = 4 Nájsť

Skupina 6 Vzhľadom na to: r , n = 6 Nájsť

n = 3

n = 4

n = 6

2 tg (180º: p)

2 sin (180º:n)

potom 180º :p

Pravidelný trojuholník má n = 3,

odkiaľ 2 sin 60 º =

potom 180º :p

Pravidelný štvoruholník má n = 4,

odkiaľ 2 sin 45 º =

Pravidelný šesťuholník má n = 6,

potom 180º :p

odkiaľ 2 sin 30 º =

Pomocou vzorcov pre polomery vpísaných a opísaných kružníc niektorých pravidelných mnohouholníkov odvodíme vzorce na zistenie závislosti strán pravidelných mnohouholníkov od polomerov kružníc vpísaných a opísaných a vyplníme tabuľku:

2 R ∙ sin (180 º: p)

2 r ∙ tg (180 º: p)

trojuholník

šesťuholník

Pp. 105 - 108;

№ 1087;

№ 1088 - priprav stôl.

n=4

R

r

a 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

№ 1087(5)

Vzhľadom na to: S = 16 , n =4

Nájsť: a, r, R, P

Poznáme vzorce:

№ 1088( 5 )

Vzhľadom na to: P = 6 , n = 3

Nájsť: R, a, r, S

Poznáme vzorce:

№ 108 9

Vzhľadom na to:

Nájsť:

Zhrnúť

Poznáme vzorce:

• str. 105-108 opakovanie;
• naučiť sa vzorce;
• № 1090, 1091, 1087(3)

Polomer je úsečka, ktorá spája ľubovoľný bod na kružnici s jej stredom. Toto je jedna z najdôležitejších charakteristík tohto čísla, pretože z neho možno vypočítať všetky ostatné parametre. Ak viete, ako nájsť polomer kruhu, môžete vypočítať jeho priemer, dĺžku a plochu. V prípade, že je tento obrázok napísaný alebo opísaný okolo iného, ​​je možné vyriešiť množstvo ďalších problémov. Dnes budeme analyzovať základné vzorce a vlastnosti ich aplikácie.

Známe množstvá

Ak viete nájsť polomer kruhu, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom R, potom sa dá vypočítať z jednej charakteristiky. Tieto množstvá zahŕňajú:

• obvod (C);
• priemer (D) - segment (alebo skôr tetiva), ktorý prechádza stredovým bodom;
• plocha (S) - priestor, ktorý je ohraničený daným obrazcom.

Po obvode

Ak je v úlohe známa hodnota C, potom R = C / (2 * P). Tento vzorec je odvodený. Ak vieme, aký je obvod, potom sa už nemusí učiť naspamäť. Predpokladajme, že v úlohe C = 20 m Ako zistiť polomer kruhu v tomto prípade? Jednoducho doplňte známu hodnotu do vyššie uvedeného vzorca. Všimnite si, že v takýchto úlohách je vždy implikovaná znalosť čísla P. Pre pohodlie výpočtov budeme brať jeho hodnotu ako 3,14. Riešenie je v tomto prípade nasledovné: zapíšeme si, aké množstvá sú dané, odvodíme vzorec a vykonáme výpočty. V odpovedi píšeme, že polomer je 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m Je dôležité nezabudnúť na to, čo sme zvažovali, a uviesť názov jednotiek merania.

Podľa priemeru

Hneď zdôrazňujeme, že ide o najjednoduchší typ problému, ktorý sa pýta, ako nájsť polomer kruhu. Ak ti takýto príklad napadol na kontrole, tak môžeš byť pokojný. Nepotrebujete ani kalkulačku! Ako sme už povedali, priemer je segment alebo správnejšie tetiva, ktorá prechádza stredom. V tomto prípade sú všetky body kruhu rovnako vzdialené. Preto sa tento akord skladá z dvoch polovíc. Každý z nich je polomer, čo z jeho definície vyplýva ako úsečka, ktorá spája bod na kružnici a jej stred. Ak je v probléme známy priemer, potom na nájdenie polomeru stačí túto hodnotu vydeliť dvoma. Vzorec vyzerá takto: R = D / 2. Napríklad, ak je priemer v úlohe 10 m, potom je polomer 5 metrov.

Podľa oblasti kruhu

Tento typ úloh sa zvyčajne nazýva najťažší. Je to spôsobené predovšetkým neznalosťou vzorca. Ak viete, ako v tomto prípade nájsť polomer kruhu, zvyšok je otázkou techniky. V kalkulačke stačí vopred nájsť ikonu druhej odmocniny. Plocha kruhu je súčinom pi a polomeru, ktorý sa sám vynásobí. Vzorec vyzerá takto: S \u003d P * R 2. Izoláciou polomeru na jednej zo strán rovnice môžete problém ľahko vyriešiť. Bude sa rovnať druhej odmocnine podielu delenia plochy číslom P. Ak S \u003d 10 m, potom R \u003d 1,78 metra. Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách je dôležité nezabudnúť na použité jednotky.

Ako zistiť polomer kružnice opísanej

Predpokladajme, že a, b, c sú strany trojuholníka. Ak poznáte ich veľkosti, môžete nájsť polomer kruhu opísaný okolo neho. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr nájsť polobvod trojuholníka. Aby sa to ľahšie čítalo, označme ho malým písmenom p. Bude sa rovnať polovici súčtu strán. Jeho vzorec je: p = (a + b + c) / 2.

Vypočítame aj súčin dĺžok strán. Pre pohodlie ho označme písmenom S. Vzorec pre polomer opísanej kružnice bude vyzerať takto: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * ( p - c)).

Zvážte príklad úlohy. Máme kruh opísaný okolo trojuholníka. Dĺžky jeho strán sú 5, 6 a 7 cm Najprv vypočítame polobvod. V našom probléme to bude rovných 9 centimetrov. Teraz vypočítame súčin dĺžok strán - 210. Výsledky medzivýpočtov dosadíme do vzorca a zistíme výsledok. Polomer opísanej kružnice je 3,57 centimetra. Odpoveď si zapíšeme, pričom nezabudneme na merné jednotky.

Ako nájsť polomer vpísanej kružnice

Predpokladajme, že a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Ak poznáte ich veľkosti, môžete nájsť polomer kruhu, ktorý je v ňom vpísaný. Najprv musíte nájsť jeho polobvod. Pre ľahšie pochopenie ho označme malým písmenom p. Vzorec na jej výpočet je nasledovný: p = (a + b + c) / 2. Tento typ úlohy je o niečo jednoduchší ako predchádzajúci, takže nie sú potrebné žiadne ďalšie prechodné výpočty.

Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Zvážte to konkrétny príklad. Predpokladajme, že úloha opisuje trojuholník so stranami 5, 7 a 10 cm, do ktorého je vpísaná kružnica, ktorej polomer treba nájsť. Najprv nájdite semi-obvod. V našej úlohe to bude 11 cm, teraz to dosadíme do hlavného vzorca. Polomer bude rovný 1,65 centimetra. Odpoveď si zapíšeme a nezabudneme na správne merné jednotky.

Kruh a jeho vlastnosti

Každý geometrický útvar má svoje vlastné charakteristiky. Správnosť riešenia problémov závisí od ich pochopenia. Existujú aj kruhy. Často sa používajú pri riešení príkladov s opísanými alebo napísanými obrázkami, pretože poskytujú jasnú predstavu o takejto situácii. Medzi nimi:

• Priamka môže mať nula, jeden alebo dva priesečníky s kružnicou. V prvom prípade sa s ním nepretína, v druhom je to dotyčnica, v treťom - sečna.
• Ak vezmete tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom cez ne možno nakresliť iba jeden kruh.
• Priamka môže byť dotyčnicou dvoch číslic naraz. V tomto prípade bude prechádzať bodom, ktorý leží na segmente spájajúcom stredy kruhov. Jeho dĺžka sa rovná súčtu polomerov týchto obrazcov.
• Cez jeden alebo dva body možno nakresliť nekonečné množstvo kruhov.

Kruh je vpísaný do trojuholníka. V tomto článku som pre vás zozbieral úlohy, v ktorých je daný trojuholník s kruhom vpísaným alebo popísaným okolo neho. Podmienka vyvoláva otázku nájdenia polomeru kružnice alebo strany trojuholníka.

Je vhodné tieto úlohy riešiť pomocou uvedených vzorcov. Odporúčam sa ich naučiť, sú veľmi užitočné nielen pri riešení tohto typu úloh. Jeden vzorec vyjadruje spojenie polomeru kružnice vpísanej do trojuholníka s jeho stranami a plochou, druhý je polomer kružnice opísanej trojuholníku aj so stranami a plochou:

S je plocha trojuholníka

Zvážte úlohy:

27900. Bočná strana rovnoramenného trojuholníka je 1, uhol vo vrchole oproti základni je 120 0 . Nájdite priemer kružnice opísanej tohto trojuholníka.

Tu je kruh opísaný v blízkosti trojuholníka.

Prvý spôsob:

Môžeme nájsť priemer, ak je známy polomer. Pre polomer kružnice opísanej trojuholníku použijeme vzorec:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Poznáme dve strany (bočné strany rovnoramenného trojuholníka), tretiu môžeme vypočítať pomocou kosínusovej vety:

Teraz vypočítame plochu trojuholníka:

*Použili sme vzorec (2) z .

Vypočítajte polomer:

Takže priemer bude 2.

Druhý spôsob:

Toto sú slovné výpočty. Pre tých, ktorí majú zručnosť riešiť úlohy so šesťuholníkom vpísaným do kruhu, okamžite určí, že strany trojuholníka AC a BC sa „zhodujú“ so stranami šesťuholníka vpísaného do kruhu (uhol šesťuholníka je presne 120 0, ako v stave problému). A potom, na základe skutočnosti, že strana šesťuholníka vpísaná do kruhu sa rovná polomeru tohto kruhu, nie je ťažké dospieť k záveru, že priemer sa bude rovnať 2AC, teda dvom.

Viac informácií o šesťuholníku nájdete v informáciách v (položka 5).

odpoveď: 2

27931. Polomer kružnice vpísanej do rovnoramenného pravouhlého trojuholníka je 2. Nájdite preponu s tento trojuholník. Uveďte prosím vo svojej odpovedi.

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Nepoznáme ani strany trojuholníka, ani jeho obsah. Označme nohy ako x, potom sa prepona bude rovnať:

A plocha trojuholníka sa bude rovnať 0,5 x 2.

Prostriedky

Takže prepona bude:

Odpoveď musí byť napísaná:

odpoveď: 4

27933. V trojuholníku ABC AC=4, BC=3, uhol C rovná sa 900 . Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Dve strany sú známe (to sú nohy), tretiu vieme vypočítať (hypotenúza), vieme vypočítať aj plochu.

Podľa Pytagorovej vety:

Poďme nájsť oblasť:

Takto:

odpoveď: 1

27934. Strany rovnoramenného trojuholníka sú 5, základňa je 6. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Použime vzorec pre polomer kruhu vpísaného do trojuholníka:

kde a, b, c sú strany trojuholníka

S je plocha trojuholníka

Všetky strany sú známe a plocha je vypočítaná. Môžeme to nájsť pomocou Heronovho vzorca:

Potom

Takto:

Odpoveď: 1.5

27624. Obvod trojuholníka je 12 a polomer vpísanej kružnice je 1. Nájdite plochu tohto trojuholníka. Zobraziť riešenie

27932. Nohy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sú rovnaké. Nájdite polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

Malé zhrnutie.

Ak podmienka obsahuje trojuholník a kružnicu vpísanú alebo opísanú a hovoríme o stranách, ploche, polomere, tak si hneď zapamätajte naznačené vzorce a skúste ich použiť pri riešení. Ak to nefunguje, hľadajte iné spôsoby, ako to vyriešiť.

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.