Po získaní prvotných informácií o nerovnostiach s premennými prejdeme k otázke ich riešenia. Budeme analyzovať riešenie lineárnych nerovníc s jednou premennou a všetky spôsoby ich riešenia pomocou algoritmov a príkladov. Zohľadňovať sa budú iba lineárne rovnice s jednou premennou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je lineárna nerovnosť?

Najprv musíte definovať lineárnu rovnicu a zistiť jej štandardný tvar a ako sa bude líšiť od ostatných. Zo školského kurzu máme, že medzi nerovnosťami nie je zásadný rozdiel, preto je potrebné použiť viacero definícií.

Definícia 1

Lineárna nerovnosť s jednou premennou x je nerovnosť tvaru a · x + b > 0, keď sa namiesto > použije ľubovoľný znak nerovnosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definícia 2

Nerovnosti a x< c или a · x >c, kde x je premenná a a a c sú nejaké čísla, sa nazýva lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Keďže sa nič nehovorí o tom, či sa koeficient môže rovnať 0, potom striktná nerovnosť tvaru 0 x > c a 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich rozdiely sú:

• forma zápisu a · x + b > 0 v prvom a a · x > c – v druhom;
• prípustnosť koeficientu a je rovný nule, a ≠ 0 - v prvom a a = 0 - v druhom.

Predpokladá sa, že nerovnosti a · x + b > 0 a a · x > c sú ekvivalentné, pretože sa získajú prenosom člena z jednej časti do druhej. Riešenie nerovnosti 0 x + 5 > 0 povedie k tomu, že ju bude potrebné vyriešiť a prípad a = 0 nebude fungovať.

Definícia 3

Predpokladá sa, že lineárne nerovnosti v jednej premennej x sú nerovnosťami tvaru a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 A a x + b ≥ 0, kde a a b sú reálne čísla. Namiesto x môže byť bežné číslo.

Na základe pravidla máme, že 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sa nazývajú redukovateľné na lineárne.

Ako vyriešiť lineárnu nerovnosť

Hlavným spôsobom riešenia takýchto nerovností je použitie ekvivalentných transformácií na nájdenie elementárnych nerovností x< p (≤ , >, ≥) , p čo je určité číslo pre a ≠ 0 a tvaru a< p (≤ , >, ≥) pre a = 0.

Na vyriešenie nerovností v jednej premennej môžete použiť intervalovú metódu alebo ju znázorniť graficky. Ktorýkoľvek z nich je možné použiť samostatne.

Použitie ekvivalentných transformácií

Na vyriešenie lineárnej nerovnice tvaru a x + b< 0 (≤ , >, ≥), je potrebné použiť ekvivalentné nerovnicové transformácie. Koeficient môže, ale nemusí byť nulový. Zoberme si oba prípady. Aby ste to zistili, musíte sa držať schémy pozostávajúcej z 3 bodov: podstata procesu, algoritmus a samotné riešenie.

Definícia 4

Algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0

• číslo b sa presunie na pravá strana nerovnosti s opačným znamienkom, čo umožní dospieť k ekvivalentu a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Obe strany nerovnosti budú delené číslom, ktoré sa nerovná 0. Navyše, keď je a kladné, znamienko zostáva, ak je a záporné, mení sa na opak.

Uvažujme o aplikácii tohto algoritmu na riešení príkladov.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť tvaru 3 x + 12 ≤ 0.

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť má a = 3 a b = 12. To znamená, že koeficient a x sa nerovná nule. Aplikujme vyššie uvedené algoritmy a vyriešme to.

Je potrebné presunúť člen 12 do inej časti nerovnosti a zmeniť znamienko pred ním. Potom dostaneme nerovnosť v tvare 3 x ≤ − 12. Je potrebné vydeliť obe časti 3. Znamienko sa nezmení, pretože 3 je kladné číslo. Dostaneme, že (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, čo dáva výsledok x ≤ − 4.

Nerovnosť tvaru x ≤ − 4 je ekvivalentná. To znamená, že riešením pre 3 x + 12 ≤ 0 je akékoľvek reálne číslo, ktoré je menšie alebo rovné 4. Odpoveď sa zapíše ako nerovnosť x ≤ − 4, alebo ako číselný interval tvaru (− ∞, − 4].

Celý vyššie opísaný algoritmus je napísaný takto:

3 x + 12 < 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

odpoveď: x ≤ − 4 alebo (− ∞ , − 4 ] .

Príklad 2

Označte všetky dostupné riešenia nerovnosti − 2, 7 · z > 0.

Riešenie

Z podmienky vidíme, že koeficient a pre z sa rovná - 2,7 a b explicitne chýba alebo sa rovná nule. Nemôžete použiť prvý krok algoritmu, ale okamžite prejsť na druhý.

Obe strany rovnice vydelíme číslom - 2, 7. Keďže číslo je záporné, je potrebné obrátiť znamienko nerovnosti. To znamená, že dostaneme, že (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Napíšeme celý algoritmus krátka forma:

- 2,7 z > 0; z< 0 .

odpoveď: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Príklad 3

Vyriešte nerovnosť - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Riešenie

Podľa podmienky vidíme, že je potrebné riešiť nerovnosť s koeficientom a pre premennú x, ktorá sa rovná - 5, s koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku - 15 22. Nerovnosť je potrebné vyriešiť podľa algoritmu, teda: presunúť - 15 22 do inej časti s opačným znamienkom, obe časti vydeliť - 5, zmeniť znamienko nerovnosti:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri poslednom prechode pre pravú stranu sa používa pravidlo na delenie čísla rôznymi znamienkami 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po ktorom vykonáme rozdelenie. spoločný zlomok k prirodzenému číslu - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

odpoveď: x ≥ - 3 22 a [ - 3 22 + ∞) .

Zoberme si prípad, keď a = 0. Lineárne vyjadrenie tvaru a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Všetko je založené na určení riešenia nerovnosti. Pre akúkoľvek hodnotu x získame číselnú nerovnosť tvaru b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Všetky úsudky zvážime vo forme algoritmu na riešenie lineárnych nerovností 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definícia 5

Číselná nerovnosť tvaru b< 0 (≤ , >, ≥) je pravda, potom pôvodná nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu a je nepravdivá, keď pôvodná nerovnosť nemá žiadne riešenia.

Príklad 4

Vyriešte nerovnosť 0 x + 7 > 0.

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť 0 x + 7 > 0 môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu x. Potom dostaneme nerovnosť v tvare 7 > 0. Posledná nerovnosť sa považuje za pravdivú, čo znamená, že jej riešením môže byť akékoľvek číslo.

Odpoveď: interval (− ∞ , + ∞) .

Príklad 5

Nájdite riešenie nerovnosti 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Riešenie

Pri dosadení premennej x akéhokoľvek čísla dostaneme, že nerovnosť má tvar − 12, 7 ≥ 0. Je to nesprávne. To znamená, že 0 x − 12, 7 ≥ 0 nemá žiadne riešenia.

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Uvažujme o riešení lineárnych nerovností, kde sa oba koeficienty rovnajú nule.

Príklad 6

Určte neriešiteľnú nerovnosť z 0 x + 0 > 0 a 0 x + 0 ≥ 0.

Riešenie

Pri dosadení ľubovoľného čísla namiesto x dostaneme dve nerovnosti v tvare 0 > 0 a 0 ≥ 0. Prvý je nesprávny. To znamená, že 0 x + 0 > 0 nemá žiadne riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má nekonečný počet riešení, teda ľubovoľný počet.

Odpoveď: nerovnosť 0 x + 0 > 0 nemá riešenia, ale 0 x + 0 ≥ 0 riešenia má.

Táto metóda uvažované v školskom kurze matematiky. Intervalová metóda je schopná rozlíšenia rôzne druhy nerovnosti, aj lineárne.

Intervalová metóda sa používa pre lineárne nerovnosti, keď sa hodnota koeficientu x nerovná 0. V opačnom prípade budete musieť vypočítať pomocou inej metódy.

Definícia 6

Intervalová metóda je:

• zavedenie funkcie y = a · x + b ;
• hľadanie núl na rozdelenie domény definície na intervaly;
• definícia znakov pre ich pojmy na intervaloch.

Zostavme si algoritmus na riešenie lineárnych rovníc a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0 pomocou intervalovej metódy:

• nájdenie núl funkcie y = a · x + b na vyriešenie rovnice v tvare a · x + b = 0 . Ak a ≠ 0, potom riešením bude jeden koreň, ktorý bude mať označenie x 0;
• konštrukcia súradnicovej čiary s obrazom bodu so súradnicou x 0, pri prísnej nerovnici sa bod označí prepichnutým, pri neprísnom nerovnici – vytieňovaným;
• určenie znamienok funkcie y = a · x + b na intervaloch; na to je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch intervalu;
• riešenie nerovnosti so znamienkami > alebo ≥ na súradnicovej čiare, pridaním tieňovania cez kladný interval,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia lineárnych nerovníc pomocou intervalovej metódy.

Príklad 6

Vyriešte nerovnosť − 3 x + 12 > 0.

Riešenie

Z algoritmu vyplýva, že najprv musíte nájsť koreň rovnice − 3 x + 12 = 0. Dostaneme, že − 3 · x = − 12 , x = 4 . Tam, kde označíme bod 4, je potrebné nakresliť súradnicovú čiaru. Bude to prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna. Zvážte nákres nižšie.

Je potrebné určiť znaky v intervaloch. Na jej určenie na intervale (− ∞, 4) je potrebné vypočítať funkciu y = − 3 x + 12 pri x = 3. Odtiaľ dostaneme, že − 3 3 + 12 = 3 > 0. Znamienko na intervale je kladné.

Znamienko určíme z intervalu (4, + ∞), potom dosadíme hodnotu x = 5. Máme, že − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nerovnosť riešime znamienkom > a tieňovanie sa vykonáva nad kladným intervalom. Zvážte nákres nižšie.

Z nákresu je zrejmé, že požadované riešenie má tvar (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Odpoveď: (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Aby ste pochopili, ako graficky znázorniť, musíte zvážiť príklad 4 lineárne nerovnosti: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 a 0, 5 x − 1 ≥ 0. Ich riešenia budú hodnoty x< 2 , x ≤ 2 , x >2 a x ≥ 2. Aby sme to dosiahli, nakreslíme lineárnu funkciu y = 0, 5 x − 1 znázornenú nižšie.

To je jasné

Definícia 7

• riešenie nerovnosti 0,5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• riešenie 0, 5 x − 1 ≤ 0 sa považuje za interval, kde funkcia y = 0, 5 x − 1 je menšia ako O x alebo sa zhoduje;
• riešenie 0, 5 · x − 1 > 0 považujeme za interval, funkcia sa nachádza nad O x;
• riešenie 0, 5 · x − 1 ≥ 0 sa považuje za interval, kde sa graf nad O x alebo zhoduje.

Zmyslom grafického riešenia nerovností je nájsť intervaly, ktoré je potrebné znázorniť v grafe. V tomto prípade to dostaneme ľavá strana má y = a · x + b a pravý má y = 0 a zhoduje sa s O x.

Nakreslíme graf funkcie y = a x + b:

• pri riešení nerovnosti a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri riešení nerovnosti a · x + b ≤ 0 sa určí interval, kde je graf znázornený pod osou O x alebo sa zhoduje;
• pri riešení nerovnosti a · x + b > 0 sa určí interval, kde je graf znázornený nad O x;
• Pri riešení nerovnosti a · x + b ≥ 0 sa určí interval, kde je graf nad O x alebo sa zhoduje.

Príklad 7

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 3 > 0 pomocou grafu.

Riešenie

Je potrebné zostrojiť graf lineárnej funkcie - 5 · x - 3 > 0. Táto čiara je klesajúca, pretože koeficient x je záporný. Na určenie súradníc jeho priesečníka s O x - 5 · x - 3 > 0 získame hodnotu - 3 5. Znázornime to graficky.

Pri riešení nerovnosti so znamienkom > je potrebné venovať pozornosť intervalu nad O x. Zvýraznite požadovanú časť roviny červenou farbou a získajte to

Požadovaná medzera je časť O x červená. To znamená, že lúč otvoreného čísla - ∞ , - 3 5 bude riešením nerovnosti. Ak by sme podľa podmienky mali nestriktnú nerovnosť, tak aj hodnota bodu - 3 5 by bola riešením nerovnosti. A zhodovalo by sa s O x.

Odpoveď: - ∞ , - 3 5 alebo x< - 3 5 .

Grafické riešenie sa používa vtedy, keď ľavá strana zodpovedá funkcii y = 0 x + b, teda y = b. Potom bude priamka rovnobežná s O x alebo zhodná pri b = 0. Tieto prípady ukazujú, že nerovnosť nemusí mať žiadne riešenia alebo riešením môže byť ľubovoľné číslo.

Príklad 8

Určte z nerovností 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Riešenie

Znázornenie y = 0 x + 7 je y = 7, potom bude daná súradnicová rovina s priamkou rovnobežnou s O x a umiestnenou nad O x. Takže 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcie y = 0 x + 0 sa považuje za y = 0, to znamená, že priamka sa zhoduje s O x. To znamená, že nerovnosť 0 x + 0 ≥ 0 má veľa riešení.

Odpoveď: Druhá nerovnosť má riešenie pre ľubovoľnú hodnotu x.

Nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne

Riešenie nerovností možno zredukovať na riešenie lineárna rovnica, ktoré sa nazývajú nerovnosti, ktoré sa redukujú na lineárne.

Tieto nerovnosti boli zohľadnené v školskom kurze, keďže išlo o špeciálny prípad riešenia nerovností, čo viedlo k otvoreniu zátvoriek a skráteniu podobných výrazov. Uvažujme napríklad, že 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Vyššie uvedené nerovnosti sú vždy redukované do tvaru lineárnej rovnice. Potom sa otvoria zátvorky a uvedú sa a prenesú podobné výrazy rôzne časti, zmenou znamienka na opačný.

Pri redukcii nerovnosti 5 − 2 x > 0 na lineárnu ju znázorníme tak, že má tvar − 2 x + 5 > 0 a pre zmenšenie druhej dostaneme, že 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Je potrebné otvoriť zátvorky, priniesť podobné výrazy, presunúť všetky výrazy na ľavú stranu a priniesť podobné výrazy. Vyzerá to takto:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To vedie k riešeniu lineárnej nerovnosti.

Tieto nerovnosti sa považujú za lineárne, pretože majú rovnaký princíp riešenia, po ktorom je možné ich zredukovať na elementárne nerovnosti.

Na vyriešenie tohto typu nerovnosti je potrebné znížiť ju na lineárnu. Malo by sa to urobiť takto:

Definícia 9

• otvorené zátvorky;
• zbierať premenné vľavo a čísla vpravo;
• dať podobné podmienky;
• vydeľte obe strany koeficientom x.

Príklad 9

Vyriešte nerovnosť 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Riešenie

Otvoríme zátvorky, potom dostaneme nerovnosť v tvare 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Po zmenšení podobných členov máme, že 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Po presunutí členov zľava doprava zistíme, že 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Existuje teda nerovnosť tvaru 32 ≤ 0 od tvaru získaného výpočtom 0 x + 32 ≤ 0. Je vidieť, že nerovnosť je nepravdivá, čo znamená, že nerovnosť daná podmienkou nemá riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Stojí za zmienku, že existuje mnoho ďalších typov nerovností, ktoré je možné redukovať na lineárne alebo nerovnosti vyššie uvedeného typu. Napríklad 5 2 x − 1 ≥ 1 je exponenciálna rovnica, ktorá sa redukuje na riešenie lineárneho tvaru 2 x − 1 ≥ 0. Tieto prípady sa budú brať do úvahy pri riešení nerovností tohto typu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Jednou z tém, ktorá si od žiakov vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť, je riešenie nerovností. Tak podobné rovniciam a zároveň sa od nich veľmi líšia. Pretože ich riešenie si vyžaduje špeciálny prístup.

Vlastnosti, ktoré budú potrebné na nájdenie odpovede

Všetky sa používajú na nahradenie existujúceho záznamu ekvivalentným záznamom. Väčšina z nich je podobná tomu, čo bolo v rovniciach. Existujú však aj rozdiely.

• Funkciu, ktorá je definovaná v ODZ, alebo ľubovoľné číslo možno pridať na obe strany pôvodnej nerovnosti.
• Rovnako je možné aj násobenie, ale len kladnou funkciou alebo číslom.
• Ak sa táto akcia vykoná so zápornou funkciou alebo číslom, znamienko nerovnosti sa musí nahradiť opačným.
• Funkcie, ktoré nie sú negatívne, môžu byť povýšené na kladnú moc.

Niekedy je riešenie nerovností sprevádzané akciami, ktoré poskytujú cudzie odpovede. Treba ich vylúčiť porovnávaním oblasť ODZ a veľa riešení.

Použitie intervalovej metódy

Jej podstatou je zmenšenie nerovnosti na rovnicu, v ktorej je na pravej strane nula.

1. Určite oblasť, v ktorej ležia prípustné hodnoty premenných, teda ODZ.
2. Transformujte nerovnosť pomocou matematických operácií tak, aby pravá strana mala nulu.
3. Nahraďte znamienko nerovnosti „=“ a vyriešte zodpovedajúcu rovnicu.
4. Na číselnej osi vyznačte všetky odpovede, ktoré boli získané pri riešení, ako aj intervaly OD. V prípade striktnej nerovnosti musia byť body nakreslené ako prepichnuté. Ak existuje znamienko rovnosti, mali by byť premaľované.
5. Určte znamienko pôvodnej funkcie na každom intervale získanom z bodov ODZ a odpovedí, ktoré ho delia. Ak sa znamienko funkcie pri prechode bodom nezmení, potom je zahrnuté do odpovede. V opačnom prípade je to vylúčené.
6. Hraničné body pre ODZ je potrebné ďalej kontrolovať a až potom zahrnúť alebo nezaradiť do odpovede.
7. Výsledná odpoveď musí byť napísaná vo forme kombinovaných súborov.

Trochu o dvojitých nerovnostiach

Používajú dva znaky nerovnosti naraz. To znamená, že niektorá funkcia je obmedzená podmienkami dvakrát naraz. Takéto nerovnosti sa riešia systémom dvoch, kedy je originál rozdelený na časti. A v intervalovej metóde sú uvedené odpovede z riešenia oboch rovníc.

Na ich vyriešenie je tiež prípustné použiť vlastnosti uvedené vyššie. S ich pomocou je vhodné znížiť nerovnosť na nulu.

Čo s nerovnosťami, ktoré majú modul?

V tomto prípade riešenie nerovností využíva nasledujúce vlastnosti a platia pre kladnú hodnotu „a“.

Ak zaberie "x". algebraický výraz, potom sú platné nasledujúce náhrady:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a až x< -a или х >a.

Ak nerovnosti nie sú striktné, tak aj vzorce sú správne, len sa v nich okrem väčšieho alebo menšieho znamienka objaví „=“.

Ako sa rieši systém nerovností?

Táto znalosť sa bude vyžadovať v prípadoch, keď je zadaná takáto úloha alebo existuje záznam o dvojitej nerovnosti alebo sa v zázname objaví modul. V takejto situácii budú riešením hodnoty premenných, ktoré by uspokojili všetky nerovnosti v zázname. Ak takéto čísla neexistujú, potom systém nemá riešenia.

Plán, podľa ktorého sa vykonáva riešenie sústavy nerovností:

• vyriešiť každý z nich samostatne;
• znázorniť všetky intervaly na číselnej osi a určiť ich priesečníky;
• zapíšte si odpoveď systému, ktorá bude kombináciou toho, čo sa stalo v druhom odseku.

Čo robiť s zlomkovými nerovnosťami?

Keďže ich riešenie môže vyžadovať zmenu znamienka nerovnosti, musíte veľmi pozorne a pozorne dodržiavať všetky body plánu. V opačnom prípade môžete dostať opačnú odpoveď.

Pri riešení zlomkových nerovností sa využíva aj intervalová metóda. A akčný plán bude takýto:

• Pomocou opísaných vlastností dajte zlomku taký tvar, aby napravo od znamienka zostala iba nula.
• Nahraďte nerovnosť znakom „=“ a určte body, v ktorých sa funkcia bude rovnať nule.
• Označte ich na súradnicovej osi. V tomto prípade budú čísla získané ako výsledok výpočtov v menovateli vždy vyrazené. Všetky ostatné sú založené na podmienke nerovnosti.
• Určte intervaly stálosti znamienka.
• Ako odpoveď zapíšte spojenie tých intervalov, ktorých znamienko zodpovedá znamienku v pôvodnej nerovnosti.

Situácie, keď sa v nerovnosti objavuje iracionalita

Inými slovami, v zápise je matematický koreň. Keďže v kurze školskej algebry väčšina z nichúlohy sú pre druhú odmocninu, potom sa bude brať do úvahy toto.

Riešenie iracionálnych nerovností spočíva v získaní systému dvoch alebo troch, ktorý bude ekvivalentný tomu pôvodnému.

Príklady riešenia rôznych druhov nerovností

Aby bola teória o riešení nerovností objasnená, nižšie sú uvedené príklady.

Prvý príklad. 2x - 4 > 1 + x

Riešenie: Ak chcete určiť ADI, všetko, čo musíte urobiť, je pozorne sa pozrieť na nerovnosť. Tvorí sa z lineárne funkcie, teda definované pre všetky hodnoty premennej.

Teraz musíte odpočítať (1 + x) od oboch strán nerovnosti. Ukazuje sa: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov bude mať nerovnosť tento tvar: x - 5 > 0.

Ak to prirovnáme k nule, je ľahké nájsť riešenie: x = 5.

Teraz musí byť tento bod s číslom 5 označený na súradnicovom lúči. Potom skontrolujte znaky pôvodnej funkcie. Na prvom intervale od mínus nekonečna do 5 môžete vziať číslo 0 a dosadiť ho do nerovnosti získanej po transformáciách. Po výpočtoch to vychádza -7 >0. pod oblúkom intervalu musíte podpísať znamienko mínus.

Na ďalšom intervale od 5 do nekonečna si môžete zvoliť číslo 6. Potom sa ukáže, že 1 > 0. Pod oblúkom je znak „+“. Tento druhý interval bude odpoveďou na nerovnosť.

Odpoveď: x leží v intervale (5; ∞).

Druhý príklad. Je potrebné vyriešiť systém dvoch rovníc: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Riešenie. VA týchto nerovností tiež leží v oblasti ľubovoľných čísel, pretože sú dané lineárne funkcie.

Druhá nerovnosť bude mať tvar nasledujúcej rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformácii: -x - 4 =0. To vytvorí hodnotu pre premennú rovnajúcu sa -4.

Tieto dve čísla je potrebné vyznačiť na osi zobrazujúcej intervaly. Keďže nerovnosť nie je striktná, všetky body musia byť zatienené. Prvý interval je od mínus nekonečna do -4. Nech je zvolené číslo -5. Prvá nerovnosť dá hodnotu -3 a druhá 1. To znamená, že tento interval nie je zahrnutý v odpovedi.

Druhý interval je od -4 do -2. Môžete si zvoliť číslo -3 a dosadiť ho do oboch nerovností. V prvom a druhom je hodnota -1. To znamená, že pod oblúkom „-“.

V poslednom intervale od -2 do nekonečna je najlepšie číslo nula. Musíte ho nahradiť a nájsť hodnoty nerovností. Prvý z nich vytvára kladné číslo a druhý nulu. Táto medzera musí byť tiež vylúčená z odpovede.

Z troch intervalov je len jeden riešením nerovnosti.

Odpoveď: x patrí do [-4; -2].

Tretí príklad. |1 – x| > 2 |x - 1|.

Riešenie. Prvým krokom je určiť body, v ktorých funkcie zmiznú. Pre ľavé bude toto číslo 2, pre pravé - 1. Treba ich označiť na nosníku a určiť intervaly stálosti znamienka.

Na prvom intervale, od mínus nekonečna do 1, funkcia na ľavej strane nerovnosti nadobúda kladné hodnoty a funkcia na pravej strane záporné hodnoty. Pod oblúk musíte napísať dve znamienka „+“ a „-“ vedľa seba.

Ďalší interval je od 1 do 2. Na ňom obe funkcie nadobúdajú kladné hodnoty. To znamená, že pod oblúkom sú dve plusy.

Tretí interval od 2 do nekonečna poskytne nasledujúci výsledok: ľavá funkcia- negatívny, správny - pozitívny.

Berúc do úvahy výsledné znaky, musíte vypočítať hodnoty nerovností pre všetky intervaly.

Prvý spôsobí nasledujúcu nerovnosť: 2 - x > - 2 (x - 1). Mínus pred dvojkou v druhej nerovnosti je spôsobený tým, že táto funkcia je záporná.

Po transformácii nerovnosť vyzerá takto: x > 0. Okamžite dáva hodnoty premennej. To znamená, že z tohto intervalu bude zodpovedaný iba interval od 0 do 1.

Na druhom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformácia poskytne nasledujúcu nerovnosť: -3x + 4 je väčšia ako nula. Jeho nula bude x = 4/3. Ak vezmeme do úvahy znamienko nerovnosti, ukáže sa, že x musí byť menšie ako toto číslo. To znamená, že tento interval sa skráti na interval od 1 do 4/3.

Ten dáva nasledujúcu nerovnosť: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jej transformácia vedie k nasledovnému: -x > 0. To znamená, že rovnica je pravdivá, keď x je menšie ako nula. To znamená, že v požadovanom intervale nerovnosť neposkytuje riešenia.

V prvých dvoch intervaloch sa ukázalo, že limitné číslo je 1. Je potrebné ho skontrolovať samostatne. To znamená, že ju dosaďte do pôvodnej nerovnosti. Ukazuje sa: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Počítanie ukazuje, že 1 je väčšia ako 0. Toto je pravdivé tvrdenie, preto je v odpovedi zahrnuté aj jedno.

Odpoveď: x leží v intervale (0; 4/3).

Zavolá sa každá nerovnosť, ktorá obsahuje funkciu pod koreňom iracionálny. Existujú dva typy takýchto nerovností:

V prvom prípade koreň menej funkcií g (x), v druhom - viac. Ak g(x) - konštantný, nerovnosť je výrazne zjednodušená. Upozorňujeme: navonok sú tieto nerovnosti veľmi podobné, ale schémy ich riešenia sú zásadne odlišné.

Dnes sa naučíme, ako riešiť iracionálne nerovnosti prvého typu – sú najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie. Znak nerovnosti môže byť prísny alebo neprísny. Pre nich platí nasledujúce tvrdenie:

Veta. Akákoľvek iracionálna nerovnosť formy

Ekvivalent k systému nerovností:

Nie slabý? Pozrime sa, odkiaľ tento systém pochádza:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - tu je všetko jasné. Toto je pôvodná nerovnosť na druhú;
2. f (x) ≥ 0 je ODZ koreňa. Dovoľte mi pripomenúť: aritmetika Odmocnina existuje len z nezápornéčísla;
3. g(x) ≥ 0 je rozsah odmocniny. Vyrovnaním nerovnosti spálime negatíva. V dôsledku toho sa môžu objaviť ďalšie korene. Nerovnosť g(x) ≥ 0 ich odreže.

Mnoho študentov sa „zavesí“ na prvú nerovnicu systému: f (x) ≤ g 2 (x) - a úplne zabudnú na ďalšie dve. Výsledok je predvídateľný: nesprávne rozhodnutie, stratené body.

Keďže iracionálne nerovnosti sú pomerne zložitá téma, pozrime sa na 4 príklady naraz. Od základných až po skutočne zložité. Všetky problémy sú prevzaté z prijímacích skúšok Moskovskej štátnej univerzity. M. V. Lomonosov.

Príklady riešenia problémov

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

Pred nami je klasika iracionálna nerovnosť: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konštanta. Máme:

Z troch nerovností zostali na konci riešenia len dve. Pretože nerovnosť 2 ≥ 0 platí vždy. Prejdeme zvyšné nerovnosti:

Takže, x ∈ [−1,5; 0,5]. Všetky body sú zatienené, pretože nerovnosti nie sú prísne.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

Aplikujeme vetu:

Poďme vyriešiť prvú nerovnosť. Aby sme to urobili, odhalíme druhú mocninu rozdielu. Máme:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Teraz vyriešme druhú nerovnosť. Tu tiež kvadratická trojčlenka:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)