Tento článok popisuje, ako nájsť hodnoty matematických výrazov. Začnime jednoduchými číselnými výrazmi a potom budeme uvažovať o prípadoch, keď sa ich zložitosť zvýši. Na konci uvádzame výraz obsahujúci písmenové označenia, zátvorky, korene, špeciálne matematické znaky, stupne, funkcie atď. Celá teória bude podľa tradície vybavená bohatými a podrobnými príkladmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako zistiť hodnotu číselného výrazu?

Číselné výrazy, okrem iného pomáhajú opísať stav problému v matematickom jazyku. Vôbec matematické výrazy môžu byť buď veľmi jednoduché, pozostávajúce z dvojice čísel a aritmetických znamienok, alebo veľmi zložité, obsahujúce funkcie, stupne, korene, zátvorky atď. V rámci úlohy je často potrebné nájsť hodnotu výrazu. Ako to urobiť, bude diskutované nižšie.

Najjednoduchšie prípady

Toto sú prípady, keď výraz neobsahuje nič iné ako čísla a aritmetiku. Na úspešné nájdenie hodnôt takýchto výrazov budete potrebovať znalosti o poradí, v ktorom sa vykonávajú aritmetické operácie bez zátvoriek, ako aj schopnosť vykonávať operácie s rôznymi číslami.

Ak výraz obsahuje iba čísla a aritmetické znamienka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , operácie sa vykonávajú zľava doprava v tomto poradí: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. Uveďme príklady.

Príklad 1. Hodnota číselného výrazu

Nech je potrebné nájsť hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Najprv urobme násobenie a delenie. Dostaneme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Teraz odpočítame a získame konečný výsledok:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Príklad 2. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Najprv vykonáme prevod zlomkov, delenie a násobenie:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Teraz urobme sčítanie a odčítanie. Zoskupíme zlomky a privedieme ich k spoločnému menovateľovi:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Nájde sa požadovaná hodnota.

Výrazy so zátvorkami

Ak výraz obsahuje zátvorky, určujú poradie akcií v tomto výraze. Najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách a potom všetky ostatné. Ukážme si to na príklade.

Príklad 3. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Výraz obsahuje zátvorky, takže najskôr vykonáme operáciu odčítania v zátvorkách a až potom násobenie.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hodnota výrazov obsahujúcich zátvorky v zátvorkách sa zistí podľa rovnakého princípu.

Príklad 4. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vykonáme akcie od najvnútornejších zátvoriek až po vonkajšie.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Pri hľadaní hodnôt výrazov so zátvorkami je hlavnou vecou sledovať postupnosť akcií.

Výrazy s koreňmi

Matematické výrazy, ktorých hodnoty musíme nájsť, môžu obsahovať koreňové znaky. Okrem toho samotný výraz môže byť pod znakom koreňa. Ako byť v takom prípade? Najprv musíte nájsť hodnotu výrazu pod koreňom a potom extrahovať koreň z výsledného čísla. Ak je to možné, je lepšie zbaviť sa koreňov v číselných výrazoch a nahradiť ich číselnými hodnotami.

Príklad 5. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Najprv vypočítame radikálne výrazy.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Teraz môžeme vypočítať hodnotu celého výrazu.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Na nájdenie hodnoty výrazu s koreňmi je často potrebné najprv transformovať pôvodný výraz. Vysvetlime si to na inom príklade.

Príklad 6. Hodnota číselného výrazu

Koľko je 3 + 1 3 - 1 - 1

Ako vidíte, nemáme možnosť nahradiť koreň presnou hodnotou, čo komplikuje proces počítania. V tomto prípade však môžete použiť skrátený vzorec násobenia.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Takto:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Výrazy s mocnosťami

Ak výraz obsahuje mocniny, ich hodnoty sa musia vypočítať pred pokračovaním vo všetkých ostatných akciách. Stáva sa, že samotný exponent alebo základ stupňa sú výrazy. V tomto prípade sa najprv vypočíta hodnota týchto výrazov a potom hodnota stupňa.

Príklad 7. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Začneme počítať v poradí.

2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4

16 1 – 1 2 3, 5 – 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Zostáva iba vykonať operáciu sčítania a zistiť hodnotu výrazu:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Často je tiež vhodné zjednodušiť výraz pomocou vlastností stupňa.

Príklad 8. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme hodnotu nasledujúceho výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenty sú opäť také, že nie je možné získať ich presné číselné hodnoty. Zjednodušte pôvodný výraz, aby ste našli jeho hodnotu.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Výrazy so zlomkami

Ak výraz obsahuje zlomky, potom pri výpočte takéhoto výrazu musia byť všetky zlomky v ňom vyjadrené ako obyčajné zlomky a vypočítať ich hodnoty.

Ak sú v čitateli a menovateli zlomku výrazy, najprv sa vypočítajú hodnoty týchto výrazov a zaznamená sa konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operácie sa vykonávajú v štandardnom poradí. Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad 9. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu obsahujúceho zlomky: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Ako vidíte, v pôvodnom výraze sú tri zlomky. Najprv vypočítajme ich hodnoty.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Prepíšme náš výraz a vypočítajme jeho hodnotu:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Pri hľadaní hodnôt výrazov je často vhodné zmenšiť zlomky. Existuje nevyslovené pravidlo: pred nájdením jeho hodnoty je najlepšie zjednodušiť akýkoľvek výraz na maximum a zredukovať všetky výpočty na najjednoduchšie prípady.

Príklad 10. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nemôžeme úplne extrahovať koreň päťky, ale môžeme zjednodušiť pôvodný výraz pomocou transformácií.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Pôvodný výraz má tvar:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vypočítajme hodnotu tohto výrazu:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Výrazy s logaritmami

Ak sú vo výraze prítomné logaritmy, ich hodnota, ak je to možné, sa počíta od úplného začiatku. Napríklad do výrazu log 2 4 + 2 4 môžete okamžite zapísať hodnotu tohto logaritmu namiesto log 2 4 a potom vykonať všetky akcie. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Číselné výrazy možno nájsť aj pod znamienkom logaritmu a na jeho základe. V tomto prípade je prvým krokom zistenie ich hodnôt. Zoberme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Máme:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Ak nie je možné vypočítať presnú hodnotu logaritmu, zjednodušenie výrazu pomôže nájsť jeho hodnotu.

Príklad 11. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Podľa vlastnosti logaritmov:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Opäť použitím vlastností logaritmov pre posledný zlomok vo výraze dostaneme:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Teraz môžete pristúpiť k výpočtu hodnoty pôvodného výrazu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Výrazy s goniometrickými funkciami

Stáva sa, že vo výraze sú goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, ako aj funkcie, ktoré sú k nim inverzné. Z hodnoty sa vypočítajú pred vykonaním všetkých ostatných aritmetických operácií. V opačnom prípade je výraz zjednodušený.

Príklad 12. Hodnota číselného výrazu

Nájdite hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Najprv vypočítame hodnoty goniometrické funkcie zahrnuté vo výraze.

hriech - 5 π 2 \u003d - 1

Nahraďte hodnoty vo výraze a vypočítajte jeho hodnotu:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Hodnota výrazu sa nájde.

Aby sme našli hodnotu výrazu s goniometrickými funkciami, musíme ho často najskôr previesť. Vysvetlíme si to na príklade.

Príklad 13. Hodnota číselného výrazu

Je potrebné nájsť hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Na transformáciu použijeme trigonometrické vzorce kosínus dvojitého uhla a kosínus súčtu.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1 - 1 = 0.

Všeobecný prípad číselného výrazu

Vo všeobecnom prípade môže goniometrický výraz obsahovať všetky vyššie opísané prvky: zátvorky, stupne, korene, logaritmy, funkcie. Poďme formulovať všeobecné pravidlo nájsť hodnoty takýchto výrazov.

Ako nájsť hodnotu výrazu

1. Odmocniny, mocniny, logaritmy atď. sú nahradené ich hodnotami.
2. Vykonajú sa akcie v zátvorkách.
3. Zostávajúce kroky sa vykonávajú v poradí zľava doprava. Najprv - násobenie a delenie, potom - sčítanie a odčítanie.

Vezmime si príklad.

Príklad 14. Hodnota číselného výrazu

Vypočítajme, aká je hodnota výrazu - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Výraz je dosť zložitý a ťažkopádny. Nie náhodou sme vybrali práve takýto príklad a snažili sme sa doň vtesnať všetky vyššie opísané prípady. Ako zistiť hodnotu takéhoto výrazu?

Je známe, že pri výpočte hodnoty komplexnej zlomkovej formy sa najprv hodnoty čitateľa a menovateľa zlomku nachádzajú oddelene. Tento výraz budeme postupne transformovať a zjednodušovať.

Najprv vypočítame hodnotu radikálového výrazu 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu sínusu a výraz, ktorý je argumentom goniometrickej funkcie.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Teraz môžete zistiť hodnotu sínusu:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Vypočítame hodnotu radikálneho výrazu:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

So menovateľom zlomku je všetko jednoduchšie:

Teraz môžeme zapísať hodnotu celého zlomku:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

S ohľadom na to napíšeme celý výraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konečný výsledok:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

V tomto prípade sa nám podarilo vypočítať presné hodnoty korene, logaritmy, sínusy atď. Ak to nie je možné, môžete sa ich pokúsiť zbaviť matematickými transformáciami.

Počítanie výrazov racionálnymi spôsobmi

Číselné hodnoty musia byť vypočítané konzistentne a presne. Tento proces je možné racionalizovať a urýchliť využitím rôznych vlastností operácií s číslami. Napríklad je známe, že súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Vzhľadom na túto vlastnosť môžeme okamžite povedať, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 sa rovná nule. V tomto prípade nie je vôbec potrebné vykonávať kroky v poradí opísanom v článku vyššie.

Je tiež vhodné použiť vlastnosť odčítania rovnaké čísla. Bez vykonania akýchkoľvek úkonov je možné nariadiť, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 bola tiež rovná nule.

Ďalšou technikou, ktorá vám umožňuje urýchliť proces, je použitie identických transformácií, ako je zoskupovanie výrazov a faktorov a vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek. Racionálnym prístupom k výpočtu výrazov so zlomkami je zredukovať rovnaké výrazy v čitateli a menovateli.

Vezmime si napríklad výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Bez vykonania akcií v zátvorkách, ale zmenšením zlomku môžeme povedať, že hodnota výrazu je 1 3 .

Nájdenie hodnôt výrazov s premennými

Význam doslovný výraz a výrazy s premennými sa nachádzajú pre konkrétne dané hodnoty písmen a premenných.

Nájdenie hodnôt výrazov s premennými

Ak chcete nájsť hodnotu doslovného výrazu a výrazu s premennými, musíte dané hodnoty písmen a premenných nahradiť pôvodným výrazom a potom vypočítať hodnotu výsledného číselného výrazu.

Príklad 15. Hodnota výrazu s premennými

Vypočítajte hodnotu výrazu 0, 5 x - y za predpokladu x = 2 , 4 a y = 5 .

Hodnoty premenných dosadíme do výrazu a vypočítame:

0,5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3,8.

Niekedy je možné transformovať výraz takým spôsobom, aby získal jeho hodnotu bez ohľadu na hodnoty písmen a premenných, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Na to je potrebné zbaviť sa písmen a premenných vo výraze, ak je to možné, pomocou rovnakých transformácií, vlastností aritmetických operácií a všetkých možných iných metód.

Napríklad výraz x + 3 - x má samozrejme hodnotu 3 a na výpočet tejto hodnoty nie je potrebné poznať hodnotu x. Hodnota tohto výrazu sa rovná trom pre všetky hodnoty premennej x z jej rozsahu platných hodnôt.

Ešte jeden príklad. Hodnota výrazu x x sa rovná jednej pre všetky kladné x.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Určte postup. Vykonajte prvú akciu vo vnútorných zátvorkách 489–296=193. Potom vynásobte 193∙8=1544 a 34∙10=340. Ďalšia akcia: 340+1544=1884. Ďalej vydeľte 1884:4=461 a potom odčítajte 461–410=60. Našli ste hodnotu tohto výrazu.

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Zjednodušte tento výraz. Na to použite vzorec tg α∙ctg α=1. Získajte: 2 sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Je známe, že sin 30º=1/2 a cos 30º=√3/2. Preto 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Našli ste hodnotu tohto výrazu.

Hodnota algebraického výrazu z . Ak chcete nájsť hodnotu algebraického výrazu daného premennými, výraz zjednodušte. Nahraďte premenné špecifickými hodnotami. Dokončiť potrebné opatrenia. Vo výsledku dostanete číslo, ktoré bude hodnotou algebraického výrazu pre dané premenné.

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10. Zjednodušte tento výraz a získajte: a–2y. Zapojte príslušné hodnoty premenných a vypočítajte: a–2y=21–2∙10=1. Toto je hodnota výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10.

Poznámka

Existujú algebraické výrazy, ktoré pre určité hodnoty premenných nedávajú zmysel. Napríklad výraz x/(7–a) nedáva zmysel, ak a=7, pretože menovateľ zlomku zmizne.

Zdroje:

• Nájsť najmenšia hodnota výrazov
• Nájdite hodnoty výrazov na s 14

Naučiť sa, ako zjednodušiť výrazy v matematike, je jednoducho potrebné na správne a rýchle riešenie problémov, rôznych rovníc. Zjednodušenie výrazu znamená zníženie počtu krokov, čo uľahčuje výpočty a šetrí čas.

Inštrukcia

Naučte sa počítať mocniny pomocou . Keď vynásobíte mocniny c, dostanete čísla, ktorých základ je rovnaký a exponenty sa sčítajú b^m+b^n=b^(m+n). Pri delení právomocí s rovnaké dôvody získa sa exponent čísla, ktorého základ zostáva rovnaký a exponenty sa odčítajú a exponent deliteľa b^m:b^n=b^(m-n) sa odpočíta od exponentu deliteľa. Keď sa mocnina zvýši na mocninu, získa sa mocnina čísla, ktorého základ zostáva rovnaký a exponenty sa vynásobia (b^m)^n=b^(mn)Keď sa umocní, každý faktor sa zvýši na túto mocninu. (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorizujte polynómy, t.j. predstavujú ich ako produkt viacerých faktorov – a monomálov. Odstráňte spoločný faktor zo zátvoriek. Naučte sa základné vzorce pre skrátené násobenie: rozdiel druhých mocnín, druhá mocnina rozdielu, súčet, rozdiel kociek, kocka súčtu a rozdielu. Napríklad m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Práve tieto vzorce sú hlavné pri zjednodušení. Použite metódu zvýraznenia celého štvorca v trojčlenke v tvare ax^2+bx+c.

Znižujte zlomky tak často, ako je to možné. Napríklad (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ale pamätajte, že iba multiplikátory sa dajú znížiť. Ak je čitateľ a menovateľ algebraický zlomok vynásobte rovnakým číslom iným ako nula, potom sa hodnota zlomku nezmení. Existujú dva spôsoby transformácie výrazov: reťazou a akciami. Druhá metóda je vhodnejšia, pretože. je jednoduchšie kontrolovať výsledky medzikrokov.

Vo výrazoch je často potrebné extrahovať korene. Dokonca aj korene sú prevzaté iba z nezáporných výrazov alebo čísel. Korene nepárneho stupňa sa extrahujú z akýchkoľvek výrazov.

Zdroje:

• zjednodušenie výrazov s mocninami

Goniometrické funkcie najskôr vznikli ako nástroje na abstraktné matematické výpočty závislostí veličín ostré rohy V správny trojuholník z dĺžok jeho strán. Teraz sú veľmi široko používané vo vedeckých aj technických oblastiach ľudskej činnosti. Na praktické výpočty goniometrických funkcií z daných argumentov môžete použiť rôzne nástroje – niektoré z najdostupnejších z nich sú popísané nižšie.

Inštrukcia

Použite napríklad predvolený s operačný systém program kalkulačky. Otvára sa výberom položky "Kalkulačka" v priečinku "Utilities" z podsekcie "Štandard" umiestnenej v sekcii "Všetky programy". Túto časť je možné otvoriť kliknutím na tlačidlo „Štart“ v hlavnom menu operačnej sály. Ak používate verziu Windows 7, môžete jednoducho zadať „Kalkulačka“ do poľa „Hľadať programy a súbory“ v hlavnej ponuke a potom kliknúť na príslušný odkaz vo výsledkoch vyhľadávania.

Spočítajte počet potrebných krokov a premýšľajte o poradí, v akom by sa mali vykonať. Ak vám to táto otázka sťažuje, všimnite si, že najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách, potom delenie a násobenie; a odčítanie sa vykoná ako posledné. Aby ste si ľahšie zapamätali algoritmus vykonaných akcií, do výrazu nad každým znakom operátora akcie (+, -, *, :) si tenkou ceruzkou zapíšte čísla zodpovedajúce vykonaniu akcií.

Pokračujte prvým krokom a dodržujte ho zavedený poriadok. Počítajte mentálne, ak sa akcie dajú ľahko vykonať verbálne. Ak sú potrebné výpočty (v stĺpci), napíšte ich pod výraz s označením sériové číslo akcie.

Jasne sledovať postupnosť vykonaných akcií, vyhodnocovať, čo treba od čoho odpočítať, čo na čo rozdeliť atď. Veľmi často sa odpoveď vo výraze ukáže ako nesprávna kvôli chybám v tejto fáze.

Výrazná vlastnosť výraz je prítomnosť matematické operácie. Označuje sa určitými znakmi (násobenie, delenie, odčítanie alebo sčítanie). Postupnosť vykonávania matematických operácií, ak je to potrebné, je opravená pomocou zátvoriek. Vykonávať matematické operácie znamená nájsť.

Čo nie je výraz

Nie každý matematický zápis možno klasifikovať ako výraz.

Rovná sa nie sú výrazy. Nezáleží na tom, či sú v rovnici prítomné matematické operácie alebo nie. Napríklad a=5 je rovnosť, nie výraz, ale 8+6*2=20 tiež nemožno považovať za výraz, hoci násobenie je v ňom prítomné. Aj tento príklad patrí do kategórie rovnosti.

Pojmy výraz a rovnosť sa navzájom nevylučujú, prvý je súčasťou druhého. Znamienko rovnosti spája dva výrazy:
5+7=24:2

Táto rovnica sa dá zjednodušiť:
5+7=12

Výraz vždy predpokladá, že je možné vykonať matematické operácie, ktoré predstavuje. 9+:-7 nie je výraz, aj keď existujú znaky matematických operácií, pretože tieto operácie nie je možné vykonať.

Existujú aj matematické, ktoré sú formálnymi výrazmi, ale nedávajú zmysel. Príklad takéhoto výrazu:
46:(5-2-3)

Číslo 46 musí byť vydelené výsledkom akcií v zátvorkách a rovná sa nule. Nemôžete deliť nulou, akcia sa považuje za zakázanú.

Numerické a algebraické výrazy

Existujú dva druhy matematických výrazov.

Ak výraz obsahuje iba čísla a znaky matematických operácií, takýto výraz sa nazýva číselný výraz. Ak sú vo výraze spolu s číslami aj premenné označené písmenami, alebo neexistujú žiadne čísla, výraz pozostáva len z premenných a znakov matematických operácií, nazýva sa algebraický.

Zásadný rozdiel medzi číselnou hodnotou a algebraickou hodnotou je v tom, že číselný výraz má iba jednu hodnotu. Napríklad hodnota číselného výrazu 56–2*3 bude vždy 50, nič sa nedá zmeniť. Algebraický výraz môže mať veľa hodnôt, pretože namiesto neho možno nahradiť ľubovoľné číslo. Ak teda vo výraze b–7 namiesto b nahradíme 9, hodnota výrazu bude 2, a ak 200, bude to 193.

Zdroje:

• Numerické a algebraické výrazy

Číselné vyjadrenie je akýkoľvek záznam čísel, aritmetických znamienok a zátvoriek. Číselný výraz môže pozostávať aj z jedného čísla. Pripomeňme, že základné aritmetické operácie sú "sčítanie", "odčítanie", "násobenie" a "delenie". Tieto akcie zodpovedajú znamienkam "+", "-", "∙", ":".

Samozrejme, aby sme dostali číselné vyjadrenie, zápis z čísel a aritmetických znamienok musí byť zmysluplný. Takže napríklad taký záznam 5: + ∙ nemožno nazvať číselným výrazom, keďže ide o náhodnú množinu znakov, ktorá nedáva zmysel. Naopak, 5 + 8 ∙ 9 je už skutočné číselné vyjadrenie.

Hodnota číselného výrazu.

Povedzme hneď, že ak vykonáme akcie uvedené v číselnom výraze, výsledkom bude číslo. Toto číslo sa volá hodnotu číselného výrazu.

Pokúsme sa vypočítať, čo dostaneme v dôsledku vykonania akcií nášho príkladu. Podľa poradia vykonávania aritmetických operácií najskôr vykonáme operáciu násobenia. Vynásobte číslo 8 číslom 9. Dostaneme 72. Teraz spočítame 72 a 5. Získame 77.
Takže 77- významčíselné vyjadrenie 5 + 8 ∙ 9.

Numerická rovnosť.

Môžete to napísať takto: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tu sme najprv použili znak "=" ("Equal"). Takýto zápis, v ktorom sú dva číselné výrazy oddelené znamienkom „=“, sa nazýva číselná rovnosť. Navyše, ak sú hodnoty ľavej a pravej časti rovnosti rovnaké, potom sa rovnosť nazýva verný. 5 + 8 ∙ 9 = 77 je správna rovnosť.
Ak napíšeme 5 + 8 ∙ 9 = 100, potom to už bude falošná rovnosť, keďže hodnoty ľavej a pravej strany tejto rovnosti sa už nezhodujú.

Treba si uvedomiť, že v číselnom vyjadrení môžeme použiť aj zátvorky. Zátvorky ovplyvňujú poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú. Takže napríklad upravíme náš príklad pridaním zátvoriek: (5 + 8) ∙ 9. Teraz musíme najprv pridať 5 a 8. Dostaneme 13. A potom vynásobíme 13 číslom 9. Dostaneme 117. Takže (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – významčíselné vyjadrenie (5 + 8) ∙ 9.

Ak chcete správne prečítať výraz, musíte určiť, ktorá akcia sa vykoná ako posledná, aby sa vypočítala hodnota daného číselného výrazu. Ak je teda poslednou akciou odčítanie, potom sa výraz nazýva "rozdiel". V súlade s tým, ak je poslednou akciou súčet - "súčet", delenie - "súkromné", násobenie - "súčin", umocnenie - "stupeň".

Napríklad číselný výraz (1 + 5) (10-3) znie takto: „súčin súčtu čísel 1 a 5 a rozdielu medzi číslami 10 a 3“.

Príklady číselných výrazov.

Tu je príklad zložitejšieho číselného výrazu:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Tento číselný výraz používa základné čísla, obyčajné a desatinné zlomky. Používajú sa aj symboly pre sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Zlomková čiara nahrádza aj znamienko delenia. So zdanlivou zložitosťou je zistenie hodnoty tohto číselného výrazu celkom jednoduché. Hlavnou vecou je byť schopný vykonávať operácie so zlomkami, ako aj starostlivo a presne vykonávať výpočty pri dodržaní poradia akcií.

V zátvorkách máme výraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Poďme sa transformovať desiatkový 3,75 v obyčajnom.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

takže, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ďalej v čitateli zlomku \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] máme výraz 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Aby sme tento výraz zjednodušili, použijeme komutatívny zákon sčítania, ktorý hovorí: "Súčet sa nemení od zmeny miesta členov." To znamená 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

V menovateli zlomku je výraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dostaneme $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Kedy číselné výrazy nedávajú zmysel?

Uvažujme ešte o jednom príklade. V menovateli zlomku $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ hodnota výrazu $3\centerdot 3-9$ je 0. A ako vieme, delenie nulou je nemožné. Preto zlomok $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nemá žiadnu hodnotu. O číselných výrazoch, ktoré nemajú význam, sa hovorí, že „nemajú žiadny význam“.

Ak v číselnom vyjadrení použijeme okrem číslic aj písmená, tak dostaneme

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, znaky aritmetických operácií a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotné písmeno algebraický výraz- výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Uvedené hodnoty dosadíme. Pamätajte, že modul záporné číslo sa rovná svojmu opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto číslu samotnému. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pri akých hodnotách premennej výraz nedáva zmysel?

Riešenie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa nazývajú identicky rovnaké, ak pre nejaký existuje povolené hodnoty premenné, zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov sú rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príklady vám už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, vlastnosť distribúcie.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2r · (-1) = 7r.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Ak je algebraický výraz uvedený ako redukovateľný zlomok, potom pomocou pravidla o redukcii zlomkov ho možno zjednodušiť, t.j. nahradiť identicky sa mu rovnajú jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom) iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) znížiť o A a frakcia 12) znížiť o 7n. Dostaneme:

Na formulovanie vzorcov sa používajú algebraické výrazy.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť, ktorý vyjadruje vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s je prejdená vzdialenosť, v je rýchlosť, t je čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

Strana 1 z 1 1

Formulácia úlohy: Nájdite hodnotu výrazu (akcie so zlomkami).

Úloha je súčasťou POUŽITIA v matematike na základnej úrovni pre ročník 11 na čísle 1 (Úkony so zlomkami).

Pozrime sa, ako sa takéto problémy riešia na príkladoch.

Príklad úlohy 1:

Nájdite hodnotu výrazu 5/4 + 7/6: 2/3.

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

odpoveď: 3

Príklad úlohy 2:

Nájdite hodnotu výrazu (3.9 - 2.4) ∙ 8.2

Odpoveď: 12.3

Príklad úlohy 3:

Nájdite hodnotu výrazu 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

Odpoveď: -8

Príklad úlohy 4:

Nájdite hodnotu výrazu 2,7 / (1,4 + 0,1)

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

Odpoveď: 1.8

Príklad úlohy 5:

Nájdite hodnotu výrazu 1 / (1/9 - 1/12).

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

odpoveď: 36

Príklad úlohy 6:

Nájdite hodnotu výrazu (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

odpoveď: 40

Príklad úlohy 7:

Nájdite hodnotu výrazu (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí:

odpoveď: 10

Príklad úlohy 8:

Nájdite hodnotu výrazu (728^2 - 26^2) : 754.

Vypočítajme hodnotu výrazu. Aby sme to dosiahli, definujeme poradie operácií: najprv násobenie a delenie, potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade sa akcie v zátvorkách vykonajú pred akciami mimo zátvoriek. A vykonáme potrebné akcie v správnom poradí. Aj v tomto prípade musíte použiť vzorec rozdielu štvorcov.