(z gréckeho λόγος - "slovo", "vzťah" a ἀριθμός - "číslo") b podľa rozumu a(log α b) sa nazýva takéto číslo c, A b= a c, teda log α b=c A b=ac sú ekvivalentné. Logaritmus má zmysel, ak a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Inými slovami logaritmusčísla b podľa rozumu A formulovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x= log α b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x =b.

Napríklad:

log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 .

Upozorňujeme, že uvedená formulácia logaritmu umožňuje okamžite určiť logaritmickú hodnotu keď číslo pod znamienkom logaritmu je určitá mocnina základu. Formulácia logaritmu skutočne umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou stupeň čísla.

Odvolávame sa na výpočet logaritmu logaritmus. Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov transformuje na súčty členov.

Potencovanie je matematická operácia inverzná k logaritmu. Pri potenciácii sa daný základ pozdvihne na silu výrazu, na ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov transformujú na súčin faktorov.

Pomerne často sa používajú reálne logaritmy so základmi 2 (binárne), e Eulerovým číslom e ≈ 2,718 (prirodzený logaritmus) a 10 (desatinné).

V tejto fáze to stojí za zváženie vzorky logaritmov denník 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

A položky lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nedávajú zmysel, pretože v prvom z nich je záporné číslo umiestnené pod znamienkom logaritmu, v druhom - záporné číslo v základe a v treťom - záporné číslo pod znamienkom logaritmu a jednotka v základe.

Podmienky na určenie logaritmu.

Samostatne sa oplatí zvážiť podmienky a > 0, a ≠ 1, b > 0. definícia logaritmu. Pozrime sa, prečo sú tieto obmedzenia prijaté. To nám pomôže s rovnosťou tvaru x = log α b, nazývaná základná logaritmická identita, ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.

Vezmite si podmienku a≠1. Keďže jedna sa rovná jednej akejkoľvek mocnine, potom rovnosť x=log α b môže existovať len vtedy b = 1, ale log 1 1 bude akékoľvek reálne číslo. Aby sme túto nejednoznačnosť odstránili, berieme a≠1.

Dokážme nevyhnutnosť podmienky a>0. O a=0 podľa formulácie logaritmu môže existovať len vtedy b = 0. A potom podľa toho log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Na odstránenie tejto nejednoznačnosti podmienka a≠0. A kedy a<0 museli by sme odmietnuť analýzu racionálnych a iracionálnych hodnôt logaritmu, pretože exponent s racionálnym a iracionálnym exponentom je definovaný len pre nezáporné základy. Práve z tohto dôvodu je podmienka a>0.

A posledná podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0, pretože x=log α b, a hodnotu stupňa s kladným základom a vždy pozitívny.

Vlastnosti logaritmov.

Logaritmy vyznačujúce sa výrazným Vlastnosti, čo viedlo k ich širokému použitiu, čo výrazne uľahčilo starostlivé výpočty. Pri prechode „do sveta logaritmov“ sa násobenie premení na oveľa jednoduchšie sčítanie, delenie na odčítanie, umocňovanie a odmocňovanie na násobenie a delenie exponentom.

Formulácia logaritmov a tabuľka ich hodnôt (napr goniometrické funkcie) prvýkrát publikoval v roku 1614 škótsky matematik John Napier. Logaritmické tabuľky, rozšírené a podrobné inými vedcami, boli široko používané vo vedeckých a technických výpočtoch a zostali relevantné, kým sa nezačali používať elektronické kalkulačky a počítače.

Logaritmus čísla N podľa rozumu A sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť A získať číslo N

Za predpokladu, že
,
,

Z definície logaritmu vyplýva, že
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.

Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto
písať
.

základné logaritmy e sa nazývajú prirodzené a označované
.

Základné vlastnosti logaritmov.

Logaritmus jednoty pre akúkoľvek základňu je nula

Logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmy faktorov.

3) Logaritmus podielu sa rovná rozdielu logaritmy

Faktor
sa nazýva modul prechodu z logaritmov na báze a na logaritmy na základni b .

Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.

Napríklad,

Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie recipročné voči logaritmom sa nazývajú potenciácia.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

1. Limity

limit funkcie
je konečné číslo A, ak pri snažení xx 0 pre každú vopred určenú
, je tam číslo
že hneď ako
, To
.

Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo:
, kde - b.m.w., t.j.
.

Príklad. Zvážte funkciu
.

Pri snažení
, funkcia r ide na nulu:

1.1. Základné teorémy o limitách.

Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote

.

Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.

Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií.

Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limity týchto funkcií, ak limita menovateľa nie je rovná nule.

Pozoruhodné limity

,
, Kde

1.2. Príklady výpočtu limitov

Nie všetky limity sú však vypočítané tak jednoducho. Častejšie sa výpočet limitu redukuje na zverejnenie typovej neistoty: alebo .

.

2. Derivácia funkcie

Nech máme funkciu
, kontinuálne na segmente
.

Argument dostal nejakú podporu
. Potom sa funkcia zvýši
.

Hodnota argumentu zodpovedá hodnote funkcie
.

Hodnota argumentu
zodpovedá hodnote funkcie .

Preto, .

Nájdime hranicu tohto vzťahu na
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.

Definícia 3derivácie danej funkcie
argumentom nazývaná hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.

Derivácia funkcie
možno označiť takto:

; ; ; .

Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa volá diferenciácie.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Zvážte priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.

Nech v určitom okamihu pohyblivý bod
bol na diaľku z východiskovej pozície
.

Po určitom čase
posunula sa na diaľku
. Postoj =- priemerná rýchlosť hmotný bod
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy
.

V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.

2.2. Geometrická hodnota derivátu

Predpokladajme, že máme graficky definovanú nejakú funkciu
.

Ryža. 1. Geometrický význam derivácie

Ak
, potom bod
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu
.

Preto
, t.j. hodnota derivátu daná hodnotou argumentu číselne sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného dotyčnicou v danom bode s kladným smerom osi
.

2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.

Funkcia napájania

Exponenciálna funkcia

logaritmická funkcia

goniometrická funkcia

Inverzná goniometrická funkcia

2.4. Pravidlá diferenciácie.

Derivát z

Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií

Derivácia súčinu dvoch funkcií

Derivácia podielu dvoch funkcií

2.5. Derivát z komplexná funkcia.

Nechajte funkciu
tak, aby mohol byť reprezentovaný ako

A
, kde je premenná je teda prechodný argument

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na x.

Príklad 1.

Príklad2.

3. Funkčný diferenciál.

Nech je tam
, diferencovateľné na nejakom intervale
nechaj to tak pri táto funkcia má deriváciu

,

potom môžeš písať

(1),

Kde - nekonečne malé množstvo,

pretože pri

Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o
máme:

Kde
- b.m.v. vyššia moc.

Hodnota
sa nazýva diferenciál funkcie
a označené

.

3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.

Nechajte funkciu
.

Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.

.

Je zrejmé, že diferenciál funkcie
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.

3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.

Ak tu
, Potom
sa nazýva prvý derivát.

Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a zapisuje sa
.

Derivácia n-tého rádu funkcie
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:

.

Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu.

.

.

3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.

Úloha1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom
, Kde N - počet mikroorganizmov (v tisícoch), t – čas (dni).

b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?

Odpoveď. Kolónia bude rásť vo veľkosti.

Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na kontrolu obsahu patogénnych baktérií. Cez t dní po testovaní je koncentrácia baktérií určená pomerom

.

Kedy bude v jazere minimálna koncentrácia baktérií a bude sa v ňom dať plávať?

Riešenie Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nulová.

,

Stanovme si, že maximum alebo minimum bude za 6 dní. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu.

Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.

základné vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

rovnaké dôvody

log6 4 + log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaný logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete vedieť a presná hodnota vystavovateľov a dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.

3.

4. Kde .

Príklad 2 Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Na základe tejto skutočnosti mnohí testovacie papiere. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Vzorce logaritmov. Logaritmy sú príklady riešení.

Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v bežných číselné výrazy. Ako sú pohodlné, je možné vyhodnotiť až pri rozhodovaní logaritmické rovnice a nerovnosti.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako vzorce pre prechod na novú základňu, hlavné logaritmická identita niekedy je to jediné možné riešenie.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá pre násobenie právomocí s rovnaký základ, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k akejkoľvek základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus čísla b so základom a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť takú mocninu x (), pri ktorej platí rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Vyššie uvedené vlastnosti je potrebné poznať, pretože na ich základe sa takmer všetky problémy a príklady riešia na základe logaritmov. Zostávajúce exotické vlastnosti možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorcov pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) sa stretávame pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dvojkový.
Logaritmus základnej desiatky sa zvyčajne nazýva logaritmus základnej desiatky a jednoducho sa označuje lg(x).

Zo záznamu je vidieť, že základy nie sú v zázname zapísané. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus základne dva je

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený závislosťou

Vyššie uvedený materiál je dostatočný na to, aby ste vyriešili širokú triedu problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Pre pochopenie materiálu uvediem len niekoľko bežných príkladov z školské osnovy a univerzity.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.
Podľa rozdielovej vlastnosti logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. Kde .

Podľa výzoru zložený výraz pomocou série pravidiel sa zjednoduší formulár

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2 Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet používame vlastnosti 5 a 13 až do posledného termínu

Náhradník v zázname a smútiť

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberte logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet členov

Toto je len začiatok oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – nadobudnuté vedomosti budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti ...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k akejkoľvek základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovná základni, sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre akékoľvek a , potom podľa definície logaritmus logaritmu a a=1.

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5 = 1 , log 5,6 5,6 a lne = 1 .

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzené logaritmyčísla 4 , e , a .

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu podielu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná a p log a b . Dostávame sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. , kde a>0 , a≠1 , n – prirodzené číslo, väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý . Na to stačí dokázať platnosť log c b = log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b·log c a, čiže je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.

Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prepnutie na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.

Často používané špeciálny prípad vzorce na prechod na nový základ logaritmu pre c=b formulára . To ukazuje, že log a b a log b a – . napr. .

Často sa používa aj vzorec , čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Aby sme potvrdili naše slová, ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme . Na dôkaz vzorca stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.

Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1

Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako A v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom, pomocou vlastností mocnín s rovnakými základmi, musia byť splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z gréckeho jazyka zo slova „číslo“ alebo „stupeň“ a znamená stupeň, o ktorý je potrebné zvýšiť číslo na základni, aby sa zistilo konečné číslo.

Typy logaritmov

• log a b je logaritmus čísla b k základu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - desiatkový logaritmus (základ logaritmu 10, a = 10);
• ln b - prirodzený logaritmus (základ logaritmu e, a = e).

Ako vyriešiť logaritmy?

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, ktorý vyžaduje, aby základ a bol zvýšený na číslo b. Výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na základňu a“. Riešením logaritmických problémov je, že daný stupeň musíte určiť číslami podľa zadaných čísel. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na transformáciu samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce a vlastnosti:

Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.

• a log a b = b je základná logaritmická identita
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pre prechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom

• Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.

Poznámka: ak je základný logaritmus 10, záznam sa skráti a získa sa desiatkový logaritmus. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme na prirodzený logaritmus. Znamená to, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.

Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.

Pri sčítaní a odčítaní logaritmov s dvoma rôznymi číslami, ale s rovnakým základom, nahraďte jediným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť prechodový vzorec na iný základ (pozri vyššie).

Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, musíte si uvedomiť určité obmedzenia. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.

Existujú prípady, keď po zjednodušení výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus v číselnej forme. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé stupne sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.