Funkcia LN v Exceli je určená na výpočet prirodzený logaritmusčísla a vráti zodpovedajúcu číselnú hodnotu. Prirodzený logaritmus je základný e logaritmus (Eulerovo číslo približne 2,718).

Funkcia LOG v Exceli sa používa na výpočet logaritmu čísla, pričom základ logaritmu možno špecifikovať explicitne ako druhý argument tejto funkcie.

Funkcia LOG10 v Exceli je určená na výpočet logaritmu čísla so základom 10 ( desiatkový logaritmus).

Príklady použitia funkcií LN, LOG a LOG10 v Exceli

Archeológovia našli pozostatky pradávneho zvieraťa. Na určenie ich veku bolo rozhodnuté použiť metódu rádiokarbónovej analýzy. Výsledkom meraní sa ukázalo, že obsah rádioaktívneho izotopu C 14 bol 17 % množstva, ktoré sa bežne nachádza v živých organizmoch. Vypočítajte vek zvyškov, ak je polčas rozpadu izotopu uhlíka 14 5760 rokov.

Pohľad na pôvodnú tabuľku:

Na riešenie používame nasledujúci vzorec:

Tento vzorec bol získaný na základe vzorca x=t*(lgB-lgq)/lgp, kde:

• q je množstvo izotopu uhlíka v počiatočnom okamihu (v okamihu smrti zvieraťa), vyjadrené ako jednotka (alebo 100 %);
• B je množstvo izotopu v čase analýzy zvyškov;
• t je polčas rozpadu izotopu;
• p je číselná hodnota udávajúca, koľkokrát sa množstvo látky (izotopu uhlíka) zmení za čas t.

Ako výsledok výpočtov dostaneme:

Nájdené pozostatky sú staré takmer 15 tisíc rokov.



Vkladová kalkulačka so zloženým úrokom v Exceli

Klient banky vložil vklad vo výške 50 000 rubľov s úrokovou sadzbou 14,5 % (zložený úrok). Zistite, ako dlho bude trvať zdvojnásobenie investovanej sumy?

Zaujímavý fakt! Na rýchle vyriešenie tohto problému môžete použiť empirickú metódu aproximácie časového rámca (v rokoch) pre zdvojnásobenie investícií investovaných so zloženým úrokom. Takzvané pravidlo 72 (alebo 70 alebo pravidlo 69). Ak to chcete urobiť, musíte použiť jednoduchý vzorec - číslo 72 vydelené úrokovou sadzbou: 72 / 14,5 \u003d 4,9655 rokov. Hlavnou nevýhodou pravidla „magického“ čísla 72 je chyba. Čím vyššia je úroková sadzba, tým vyššia je chyba v pravidle 72. Napríklad pri úrokovej sadzbe 100 % ročne dosahuje chyba v rokoch až 0,72 (a v percentách je to až 28 %!).

Na presný výpočet načasovania zdvojnásobenia investícií použijeme funkciu LOG. Po prvé, skontrolujme chybu pravidla 72 pri úrokovej sadzbe 14,5 % ročne.

Pohľad na pôvodnú tabuľku:

Na výpočet budúcej hodnoty investície pri známej úrokovej sadzbe môžete použiť nasledujúci vzorec: S=A(100%+n%) t , kde:

• S je očakávaná suma na konci obdobia;
• A je výška vkladu;
• n - úroková sadzba;
• t je doba uchovávania vkladových prostriedkov v banke.

V tomto príklade možno tento vzorec zapísať ako 100000=50000*(100%+14,5%) t alebo 2=(100%+14,5%) t . Potom, aby ste našli t, môžete rovnicu prepísať ako t=log (114,5 %) 2 alebo t=log 1,1452 .

Na zistenie hodnoty t napíšeme v Exceli nasledujúci vzorec pre zložené úročenie vkladu:

LOG(B4/B2;1+B3)

Popis argumentov:

• B4/B2 - pomer očakávaného a počiatočného množstva, ktorý je ukazovateľom logaritmu;
• 1+B3 - úrokový zisk (základ logaritmu).

Ako výsledok výpočtov dostaneme:

Vklad sa po niečo vyše 5 rokoch zdvojnásobí. Pre presná definícia roky a mesiace používame vzorec:

Funkcia SELECT zahodí všetko za desatinnou čiarkou v zlomkovom čísle, podobne ako funkcia INTEGER. Rozdiel medzi funkciami SELECT a WHOLE je len vo výpočtoch so záporom zlomkové čísla. Okrem toho má OTBR druhý argument, kde môžete zadať počet desatinných miest, ktoré sa majú ponechať. Preto v tomto prípade môžete použiť ktorúkoľvek z týchto dvoch funkcií podľa výberu používateľa.

Ukázalo sa to 5 rokov a 1 mesiac a 12 dní. Teraz porovnáme presné výsledky s pravidlom 72 a určíme mieru chyby. Pre tento príklad je vzorec:

Hodnotu bunky B3 musíme vynásobiť 100, pretože jej aktuálna hodnota je 0,145, ktorá sa zobrazuje v percentách. Ako výsledok:

Potom, čo skopírujeme vzorec z bunky B6 do bunky B8 a do bunky B9:

Vypočítajme chybové výrazy:

Potom do bunky B10 znova skopírujte vzorec z bunky B6. V dôsledku toho dostaneme rozdiel:

A nakoniec vypočítajme percentuálny rozdiel, aby sme skontrolovali, ako sa mení veľkosť odchýlky a ako výrazne zvýšenie úrokovej sadzby ovplyvňuje úroveň nesúladu medzi pravidlom 72 a skutočnosťou:

Teraz pre prehľadnosť proporcionálna závislosť zvýšenie chyby a zvýšenie úrovne úrokovej sadzby, zvýšime úrokovú sadzbu na 100 % ročne:

Na prvý pohľad rozdiel v chybovosti nie je významný v porovnaní so 14,5 % ročne – len asi 2 mesiace a 100 % ročne – do 3 mesiacov. Podiel chýb v dobe návratnosti je však viac ako ¼, respektíve 28 %.

Urobme si jednoduchý graf pre vizuálnu analýzu toho, ako závislosť zmeny úrokovej sadzby a percenta chyby pravidla 72 koreluje so skutočnosťou:

Čím vyššia je úroková sadzba, tým horšie funguje pravidlo 72. Z toho môžeme vyvodiť nasledujúci záver: do 32,2 % ročne môžete pokojne použiť pravidlo 72. Potom je chyba menšia ako 10 percent. Bude to stačiť, ak nie sú potrebné presné, ale zložité výpočty doby návratnosti investícií 2 krát.

Investičná zložená úroková kalkulačka s kapitalizáciou v Exceli

Klientovi banky bol ponúknutý vklad s priebežným zvyšovaním celkovej sumy (kapitalizácia so zloženým úrokom). Úroková sadzba je 13% ročne. Určite, ako dlho bude trvať strojnásobenie pôvodnej sumy (250 000 rubľov). O koľko by sa mala zvýšiť úroková sadzba, aby sa čakacia doba skrátila na polovicu?

Poznámka: Keďže v tomto príklade strojnásobíme objem investícií, pravidlo 72 tu nefunguje.

Pohľad na pôvodnú tabuľku údajov:

Nepretržitý rast možno opísať vzorcom ln(N)=p*t, kde:

• N je pomer konečnej výšky vkladu k počiatočnej;
• p je úroková sadzba;
• t je počet rokov, ktoré uplynuli od vykonania vkladu.

Potom t=ln(N)/p. Na základe tejto rovnosti napíšeme vzorec v Exceli:

Popis argumentov:

• B3/B2 - pomer konečnej a počiatočnej sumy vkladu;
• B4 - úroková sadzba.

Strojnásobenie počiatočnej sumy vkladu bude trvať takmer 8,5 roka. Na výpočet sadzby, ktorá skráti čakaciu dobu na polovicu, použijeme vzorec:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

výsledok:

To znamená, že je potrebné zdvojnásobiť počiatočnú úrokovú sadzbu.

Vlastnosti používania funkcií LN, LOG a LOG10 v Exceli

Funkcia LN má nasledujúcu syntax:

LN(číslo)

• číslo je jediný povinný argument, ktorý akceptuje reálne čísla z rozsahu kladných hodnôt.

Poznámky:

1. Funkcia LN je inverzná funkcia EXP. Ten vráti hodnotu získanú zvýšením čísla e na zadanú mocninu. Funkcia LN určuje mocninu, na ktorú sa musí číslo e (základ) zvýšiť, aby sa získal logaritmický exponent (argument čísla).
2. Ak je argumentom číslo číslo v rozsahu záporných hodnôt alebo nuly, výsledkom funkcie LN je kód chyby #NUM!.

Syntax funkcie LOG je nasledovná:

LOG(číslo ;[základ])

Popis argumentov:

• číslo - povinný argument, ktorý charakterizuje číselnú hodnotu exponentu logaritmu, to znamená číslo získané v dôsledku zvýšenia základne logaritmu na určitú mocninu, ktorú vypočíta funkcia LOG;
• [základ] je voliteľný argument, ktorý charakterizuje číselnú hodnotu základu logaritmu. Ak argument nie je explicitne špecifikovaný, predpokladá sa, že logaritmus je desiatkový (to znamená, že základ je 10).

Poznámky:

1. Aj keď výsledkom funkcie LOG môže byť záporné číslo (napríklad funkcia =LOG(2;0,25) vráti -0,5), argumenty tejto funkcie musia byť prevzaté z rozsahu kladných hodnôt. Ak je niektorý z argumentov záporné číslo, funkcia LOG vráti kód chyby #NUM!.
2. Ak sa ako argument [základ] odošle 1, funkcia LOG vráti kód chyby #DIV/0!, pretože výsledok zvýšenia 1 na ľubovoľnú mocninu bude vždy rovnaký a rovný 1.

Funkcia LOG10 má nasledujúci zápis syntaxe:

LOG10(číslo)

• číslo je jediný a povinný argument, ktorého význam je zhodný s rovnomenným argumentom funkcií LN a LOG.

Poznámka: Ak bolo zadané záporné číslo alebo 0 ako argument čísla, funkcia LOG10 vráti kód chyby #NUM!.

Lekcia a prezentácia na tému: "Prirodzené logaritmy. Báza prirodzeného logaritmu. Logaritmus prirodzeného čísla"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 11
Interaktívna príručka pre triedy 9-11 "Trigonometria"
Interaktívna príručka pre ročníky 10-11 "Logaritmy"

Čo je prirodzený logaritmus

Chlapci, v minulej lekcii sme sa naučili nové, špeciálne číslo - e. Dnes budeme pokračovať v práci s týmto číslom.
Študovali sme logaritmy a vieme, že základom logaritmu môže byť množina čísel väčších ako 0. Dnes sa budeme zaoberať aj logaritmom, ktorý je založený na čísle e. Takýto logaritmus sa zvyčajne nazýva prirodzený logaritmus . Má svoj vlastný zápis: $\ln(n)$ je prirodzený logaritmus. Tento zápis je ekvivalentný: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Exponenciálna a logaritmická funkcia sú inverzné, potom prirodzený logaritmus je inverzný k funkcii: $y=e^x$.
Inverzné funkcie sú symetrické vzhľadom na priamku $y=x$.
Nakreslite prirodzený logaritmus vynesením exponenciálnej funkcie vzhľadom na priamku $y=x$.

Za zmienku stojí, že sklon dotyčnice ku grafu funkcie $y=e^x$ v bode (0;1) je 45°. Potom bude sklon dotyčnice ku grafu prirodzeného logaritmu v bode (1; 0) tiež rovný 45°. Obe tieto dotyčnice budú rovnobežné s priamkou $y=x$. Načrtneme dotyčnice:

Vlastnosti funkcie $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nie je párne ani nepárne.
3. Zvyšuje sa v celej oblasti definície.
4. Neobmedzený zhora, neobmedzený zdola.
5. Najväčšia hodnota nie, najmenšia hodnota Nie
6. Priebežné.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konvexné nahor.
9. Všade rozlíšiteľné.

V priebehu vyššej matematiky sa to dokázalo derivát inverzná funkcia je prevrátená hodnota derivácie danej funkcie.
Nemá veľký zmysel vŕtať sa v dôkaze, napíšme len vzorec: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Príklad.
Vypočítajte hodnotu derivácie funkcie: $y=\ln(2x-7)$ v bode $x=4$.
Riešenie.
Vo všeobecnosti je naša funkcia reprezentovaná funkciou $y=f(kx+m)$, môžeme vypočítať derivácie takýchto funkcií.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Vypočítajme hodnotu derivácie v požadovanom bode: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
odpoveď: 2.

Príklad.
Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie $y=ln(x)$ v bode $x=e$.
Riešenie.
Rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode $x=a$ si dobre pamätáme.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Postupne vypočítajme požadované hodnoty.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Rovnica dotyčnice v bode $x=e$ je funkcia $y=\frac(x)(e)$.
Nakreslíme prirodzený logaritmus a tangens.

Príklad.
Preskúmajte funkciu pre monotónnosť a extrémy: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riešenie.
Doména funkcie $D(y)=(0;+∞)$.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivácia teda existuje pre všetky x z oblasti definície kritických bodov Nie Poďme nájsť stacionárne body:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Bod $х=-1$ nepatrí do oblasti definície. Potom máme jeden stacionárny bod $х=1$. Nájdite intervaly nárastu a poklesu:

Bod $x=1$ je minimálny bod, potom $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odpoveď: Funkcia je klesajúca na segmente (0;1], funkcia rastie na lúči $)