Ryža. 16. Správanie funkcie f(x) = x4 4x3

Pri prechode bodom x = 0 derivácia nemení znamienko: funkcia klesá na intervale (1; 0] aj na intervale. Preto je bod x = 0 sedlovým bodom funkcie).

Ale pri prechode bodom x = 3 derivácia zmení znamienko z () na (+). Medzi 2 .

Anglo-americký systém

Matematici, štatistici a niektorí inžinieri zvyčajne používajú buď "log( X)" alebo "ln( X)" a na označenie logaritmu so základom 10 - "log 10 ( X)».

Niektorí inžinieri, biológovia a iní odborníci vždy píšu „ln( X)“ (alebo príležitostne „log e ( X)), keď znamenajú prirodzený logaritmus a zápis „log( X)“ znamená log 10 ( X).

log e je "prirodzený" logaritmus, pretože sa vyskytuje automaticky a v matematike sa objavuje veľmi často. Zvážte napríklad problém derivácie logaritmickej funkcie:

Ak základ b rovná sa e, potom je derivácia jednoducho 1/ X, a kedy X= 1 táto derivácia sa rovná 1. Ďalšie odôvodnenie, pre ktoré je základ e logaritmus je najprirodzenejší, je, že ho možno celkom jednoducho definovať pomocou jednoduchého integrálu alebo Taylorovho radu, čo sa o iných logaritmoch povedať nedá.

Ďalšie zdôvodnenia prirodzenosti nie sú spojené s číslom. Napríklad existuje niekoľko jednoduchých sérií s prirodzenými logaritmami. Volali ich Pietro Mengoli a Nicholas Mercator logaritmus naturalis niekoľko desaťročí, kým Newton a Leibniz vyvinuli diferenciálny a integrálny počet.

Definícia

Formálne ln( a) možno definovať ako plochu pod krivkou grafu 1/ X od 1 do a, teda ako integrál:

Je to skutočne logaritmus, pretože spĺňa základnú vlastnosť logaritmu:

Dá sa to demonštrovať za predpokladu, že:

Číselná hodnota

Pre výpočet číselná hodnota prirodzený logaritmus čísla, môžete použiť jeho rozšírenie v Taylorovom rade v tvare:

Ak chcete dosiahnuť najlepšiu mieru konvergencie, môžete použiť nasledujúcu identitu:

Pre ln( X), Kde X> 1, čím je hodnota bližšie X na 1, tým rýchlejšia je miera konvergencie. Identity spojené s logaritmom možno použiť na dosiahnutie cieľa:

Tieto metódy sa používali ešte pred príchodom kalkulačiek, pre ktoré sa používali číselné tabuľky a vykonávali sa manipulácie podobné tým, ktoré sú opísané vyššie.

Vysoká presnosť

Na výpočet prirodzeného logaritmu s mnohocifernou presnosťou nie je Taylorov rad efektívny, pretože jeho konvergencia je pomalá. Alternatívou je použiť Newtonovu metódu na invertovanie na exponenciálnu funkciu, ktorej rad rýchlejšie konverguje.

Alternatívou pre veľmi vysokú presnosť výpočtu je vzorec:

Kde M označuje aritmeticko-geometrický priemer 1 a 4/s, a

m zvolený tak, že p dosiahnu známky presnosti. (Vo väčšine prípadov je dostatočná hodnota 8 pre m.) Ak sa použije táto metóda, na efektívny výpočet možno použiť Newtonovu inverziu prirodzeného logaritmu. exponenciálna funkcia. (Konštanty ln 2 a pi môžu byť vopred vypočítané na požadovanú presnosť pomocou ktorejkoľvek zo známych rýchlo konvergentných sérií.)

Výpočtová zložitosť

Výpočtová zložitosť prirodzených logaritmov (pomocou aritmeticko-geometrického priemeru) je O( M(n)ln n). Tu n je počet číslic presnosti, pre ktoré sa má vyhodnotiť prirodzený logaritmus a M(n) je výpočtová zložitosť vynásobenia dvoch n-ciferné čísla.

Pokračujúce zlomky

Aj keď neexistujú jednoduché reťazové zlomky na vyjadrenie logaritmu, možno použiť niekoľko zovšeobecnených reťazových zlomkov, vrátane:

Komplexné logaritmy

Exponenciálna funkcia môže byť rozšírená na funkciu, ktorá dáva komplexné číslo tvaru e X pre ľubovoľné komplexné číslo X, pričom sa používa nekonečný rad s komplexom X. Toto exponenciálna funkcia možno prevrátiť a vytvoriť tak komplexný logaritmus, ktorý bude mať z väčšej časti vlastnosti obyčajných logaritmov. Sú tu však dve ťažkosti: nie je X, pre ktoré e X= 0 a ukázalo sa, že e 2pi = 1 = e 0 Pretože vlastnosť multiplikatívnosti platí pre komplexnú exponenciálnu funkciu e z = e z+2npi pre všetky zložité z a celý n.

Logaritmus nie je možné definovať v celej komplexnej rovine a aj tak je viachodnotový – každý komplexný logaritmus možno nahradiť „ekvivalentným“ logaritmom pridaním ľubovoľného celočíselného násobku 2. pi. Komplexný logaritmus môže mať iba jednu hodnotu na výseku komplexnej roviny. Napríklad ln i = 1/2 pi alebo 5/2 pi alebo -3/2 pi, atď., a hoci i 4 = 1,4 log i možno definovať ako 2 pi, alebo 10 pi alebo -6 pi, a tak ďalej.

pozri tiež

• John Napier - vynálezca logaritmov

Poznámky

1. Matematika pre fyzikálnu chémiu. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Výňatok zo strany 9
2. J J O "Connor a E F RobertsonČíslo e . Archív MacTutor History of Mathematics (september 2001). archivované
3. Cajori Florián História matematiky, 5. vydanie. - Kníhkupectvo AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Odhad integrálov pomocou polynómov . Archivované z originálu 12. februára 2012.

Graf funkcie prirodzeného logaritmu. Funkcia sa pomaly blíži k kladnému nekonečnu ako X a rýchlo sa blíži k zápornému nekonečnu, keď X má tendenciu k 0 („pomaly“ a „rýchlo“ v porovnaní s akoukoľvek mocninovou funkciou X).

prirodzený logaritmus je základný logaritmus , Kde e (\displaystyle e) je iracionálna konštanta rovnajúca sa približne 2,72. Označuje sa ako ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) alebo niekedy len tak log ⁡ x (\displaystyle \log x) ak základ e (\displaystyle e) implicitne . Inými slovami, prirodzený logaritmus čísla X je exponent, na ktorý sa má číslo zvýšiť e, Získať X. Túto definíciu je možné rozšíriť aj na komplexné čísla.

Prirodzený logaritmus možno definovať aj geometricky pre akékoľvek kladné reálne číslo a ako oblasť pod krivkou y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) medzi [1; a ] (\displaystyle ). Jednoduchosť tejto definície, ktorá je v súlade s mnohými ďalšími vzorcami, ktoré používajú tento logaritmus, vysvetľuje pôvod názvu „prirodzený“.

Ak považujeme prirodzený logaritmus za reálnu funkciu reálnej premennej, potom je to inverzná funkcia exponenciálnej funkcie, ktorá vedie k identitám:

Rovnako ako všetky logaritmy, prirodzený logaritmus mapuje násobenie na sčítanie:

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

často brať číslo e = 2,718281828 . Logaritmy v tejto báze sú tzv prirodzené. Pri výpočtoch s prirodzenými logaritmami je bežné pracovať so znamienkom ln, ale nie log; kým číslo 2,718281828 , definujúce základ, neuvádzajú.

Inými slovami, znenie bude vyzerať takto: prirodzený logaritmusčísla X je exponent, na ktorý sa má číslo zvýšiť e, Získať X.

takže, ln(7 389...)= 2 pretože e 2 =7,389... . Prirodzený logaritmus samotného čísla e= 1 pretože e 1 =e a prirodzený logaritmus jednoty sa rovná nule, pretože e 0 = 1.

Samotné číslo e definuje limit monotónnej ohraničenej postupnosti

vypočítal to e = 2,7182818284... .

Pomerne často, aby sa zafixovalo číslo v pamäti, sú číslice požadovaného čísla spojené s nejakým nevybaveným dátumom. Rýchlosť zapamätania si prvých deviatich číslic čísla e za desatinnou čiarkou sa zvýši, ak si všimnete, že rok 1828 je rokom narodenia Leva Tolstého!

Dnes je ich dosť kompletné tabuľky prirodzené logaritmy.

prirodzený log graf(funkcie y=ln x) je dôsledkom grafu exponentu zrkadlový odraz relatívne rovné y = x a vyzerá takto:

Prirodzený logaritmus možno nájsť pre každé kladné reálne číslo a ako oblasť pod krivkou r = 1/X od 1 predtým a.

Elementárna povaha tejto formulácie, ktorá zapadá do mnohých iných vzorcov, v ktorých je zahrnutý prirodzený logaritmus, bola dôvodom na vytvorenie názvu "prírodný".

Ak analyzujeme prirodzený logaritmus, ako reálna funkcia reálnej premennej, potom pôsobí inverzná funkcia na exponenciálnu funkciu, ktorá sa redukuje na identity:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Analogicky so všetkými logaritmami, prirodzený logaritmus prevádza násobenie na sčítanie, delenie na odčítanie:

ln(xy) = ln(X) + ln(r)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmus možno nájsť pre každý kladný základ, ktorý sa nerovná jednej, nielen pre e, ale logaritmy pre iné základy sa líšia od prirodzeného logaritmu iba konštantným faktorom a sú zvyčajne definované v podmienkach prirodzeného logaritmu.

Po analýze prirodzený log graf, dostaneme, že existuje pre kladné hodnoty premennej X. Monotónne rastie na svojej doméne definície.

o X → 0 limit prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno ( -∞ ).V x → +∞ limit prirodzeného logaritmu je plus nekonečno ( + ∞ ). Na slobode X logaritmus sa zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek funkcia napájania x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus. Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy.

Použitie prirodzené logaritmy veľmi racionálne pri prechode vyššia matematika. Preto je použitie logaritmu vhodné na nájdenie odpovedí na rovnice, v ktorých sa neznáme objavujú ako exponent. Použitie prirodzených logaritmov vo výpočtoch umožňuje výrazne uľahčiť veľké množstvo matematické vzorce. základné logaritmy e sú prítomné pri riešení značného množstva fyzikálnych problémov a sú prirodzene zahrnuté v matematickom popise jednotlivých chemických, biologických a iných procesov. Logaritmy sa teda používajú na výpočet konštanty rozpadu pre známy polčas rozpadu alebo na výpočet času rozpadu pri riešení problémov rádioaktivity. Hrajú vedúcu úlohu v mnohých oblastiach matematiky a praktických vied, uchyľujú sa k nim v oblasti financií pri riešení problémov. Vysoké čísloúlohy vrátane výpočtu zloženého úročenia.