V úlohách je často potrebné poskytnúť zjednodušenú odpoveď. Aj keď sú zjednodušené aj nezjednodušené odpovede správne, váš inštruktor vám môže znížiť známku, ak svoju odpoveď nezjednodušíte. Navyše, so zjednodušeným matematickým výrazom sa oveľa ľahšie pracuje. Preto je veľmi dôležité naučiť sa zjednodušovať výrazy.

Kroky

Správne poradie matematických operácií

1. Pamätajte na správne poradie vykonávania matematických operácií. Pri zjednodušovaní matematického výrazu je potrebné dodržať určité poradie, pretože niektoré matematické operácie majú prednosť pred inými a musia byť vykonané ako prvé (v skutočnosti nedodržanie správneho poradia operácií vás povedie k nesprávny výsledok). Zapamätajte si nasledovné poradie matematických operácií: vyjadrenie v zátvorkách, umocnenie, násobenie, delenie, sčítanie, odčítanie.

   • Všimnite si, že znalosť správneho poradia operácií vám umožní zjednodušiť väčšinu najjednoduchších výrazov, ale na zjednodušenie polynómu (výraz s premennou) potrebujete poznať špeciálne triky (pozri nasledujúcu časť).

2. Začnite riešením výrazu v zátvorkách. V matematike zátvorky označujú, že najprv treba vyhodnotiť priložený výraz. Preto pri zjednodušovaní akéhokoľvek matematického výrazu začnite riešením výrazu uzavretého v zátvorkách (nezáleží na tom, aké operácie musíte vykonať v zátvorkách). Pamätajte však, že pri práci s výrazom uzavretým v zátvorkách by ste mali dodržiavať poradie operácií, to znamená, že výrazy v zátvorkách sa najskôr násobia, delia, sčítavajú, odčítavajú atď.

   • Zjednodušme si napríklad výraz 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tu začneme s výrazmi v zátvorkách: 5 + 2 = 7 a 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Výraz v druhom páre zátvoriek sa zjednoduší na 5, pretože 4/2 treba najskôr rozdeliť (podľa správneho poradia operácií). Ak toto poradie nedodržíte, dostanete nesprávnu odpoveď: 3 + 4 = 7 a 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Ak je v zátvorke ďalší pár zátvoriek, začnite so zjednodušením riešením výrazu vo vnútorných zátvorkách a potom prejdite na riešenie výrazu vo vonkajších zátvorkách.

3. Pozdvihnúť k moci. Po vyriešení výrazov v zátvorkách prejdite na mocninu (pamätajte, že mocnina má exponent a základ). Zvýšte príslušný výraz (alebo číslo) na mocninu a dosaďte výsledok do výrazu, ktorý vám bol daný.

   • V našom príklade je jediný výraz (číslo) v mocnine 3 2: 3 2 = 9. Vo výraze, ktorý ste dostali, dosaďte 9 namiesto 3 2 a dostanete: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Vynásobte. Pamätajte, že operácia násobenia môže byť označená nasledujúcimi symbolmi: "x", "∙" alebo "*". Ak však medzi číslom a premennou nie sú žiadne symboly (napríklad 2x) alebo medzi číslom a číslom v zátvorkách (napríklad 4(7)), ide tiež o operáciu násobenia.

   • V našom príklade existujú dve operácie násobenia: 2x (dvakrát x) a 4(7) (štyrikrát sedem). Nepoznáme hodnotu x, preto necháme výraz 2x tak, ako je. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Teraz môžete daný výraz prepísať takto: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Rozdeliť. Pamätajte, že operácia delenia môže byť označená nasledujúcimi symbolmi: "/", "÷" alebo "-" (posledný symbol môžete vidieť v zlomkoch). Napríklad 3/4 sú tri delené štyrmi.

   • V našom príklade už nie je delenie, pretože ste už pri riešení výrazu v zátvorkách delili 4 x 2 (4/2). Preto môžete prejsť na ďalší krok. Pamätajte, že väčšina výrazov nemá všetky matematické operácie naraz (iba niektoré).

6. Zložte. Pri pridávaní výrazov výrazu môžete začať najvzdialenejším (ľavým) výrazom alebo môžete najskôr pridať výrazy, ktoré sa ľahko sčítajú. Napríklad vo výraze 49 + 29 + 51 +71 je najprv jednoduchšie sčítať 49 + 51 = 100, potom 29 + 71 = 100 a nakoniec 100 + 100 = 200. Takto sčítať je oveľa ťažšie : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • V našom príklade 2x + 28 + 9 + 5 sú dve operácie sčítania. Začnime najextrémnejším (ľavým) pojmom: 2x + 28; nemôžete sčítať 2x a 28, pretože nepoznáte hodnotu x. Preto pridajte 28 + 9 = 37. Teraz je možné výraz prepísať takto: 2x + 37 - 5.

7. Odčítať. Toto je posledná operácia v správnom poradí matematických operácií. V tejto fáze môžete tiež pridať záporné čísla alebo to urobiť vo fáze pridávania členov - to nijako neovplyvní konečný výsledok.

   • V našom príklade 2x + 37 - 5 existuje iba jedna operácia odčítania: 37 - 5 = 32.

8. V tejto fáze, po vykonaní všetkých matematických operácií, by ste mali dostať zjednodušený výraz. Ale ak vám daný výraz obsahuje jednu alebo viac premenných, pamätajte, že člen s premennou zostane taký, aký je. Riešenie (skôr ako zjednodušovanie) výrazu s premennou zahŕňa nájdenie hodnoty tejto premennej. Niekedy je možné výrazy s premennou zjednodušiť pomocou špeciálne metódy(pozri nasledujúcu časť).

   • V našom príklade je konečná odpoveď 2x + 32. Nemôžete pridať dva výrazy, kým nepoznáte hodnotu x. Keď poznáte hodnotu premennej, môžete túto binomiu jednoducho zjednodušiť.

   Zjednodušenie zložitých výrazov

   1. Pridanie podobných členov. Pamätajte, že môžete odčítať a pridať iba podobné členy, teda členy s rovnakou premennou a rovnakým exponentom. Môžete napríklad pridať 7x a 5x, ale nemôžete pridať 7x a 5x 2 (pretože exponenty sú tu odlišné).

      • Toto pravidlo platí aj pre členov s viacerými premennými. Môžete napríklad pridať 2xy 2 a -3xy 2 , ale nemôžete pridať 2xy 2 a -3x 2 y alebo 2xy 2 a -3y 2 .
      • Zoberme si príklad: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tu sú podobné výrazy 3x a 8x, takže ich možno sčítať. Zjednodušený výraz vyzerá takto: x 2 - 5x + 6.

   2. Zjednodušte číslo. V takomto zlomku obsahuje čitateľ aj menovateľ čísla (bez premennej). Číselný zlomok zjednodušené niekoľkými spôsobmi. Najprv stačí vydeliť menovateľa čitateľom. Po druhé, vynásobte čitateľa a menovateľa a zrušte rovnaké faktory (pretože keď vydelíte číslo samo o sebe, dostanete 1). Inými slovami, ak čitateľ aj menovateľ majú rovnaký faktor, môžete ho zahodiť a získať zjednodušený zlomok.

      • Uvažujme napríklad zlomok 36/60. Pomocou kalkulačky vydeľte 36 číslom 60 a dostanete 0,6. Tento zlomok však môžete zjednodušiť iným spôsobom rozdelením čitateľa a menovateľa: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Od 6/6 \u003d 1, potom zjednodušený zlomok: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Tento zlomok však možno tiež zjednodušiť: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Ak zlomok obsahuje premennú, pomocou premennej môžete znížiť rovnaké faktory. Faktorujte čitateľa aj menovateľa a zrušte tie isté faktory, aj keď obsahujú premennú (pamätajte, že v tomto prípade rovnaké faktory môžu alebo nemusia obsahovať premennú).

      • Zvážte príklad: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Tento výraz môže byť prepísaný (faktorovaný) ako: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Keďže člen 3x je v čitateli aj v menovateli, možno ho zredukovať a získať tak zjednodušený výraz: (x + 1)/(5 - x). Zvážte ďalší príklad: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Upozorňujeme, že nemôžete zrušiť žiadne výrazy – zrušia sa iba tie isté faktory, ktoré sú prítomné v čitateli aj menovateli. Napríklad vo výraze (x(x + 2))/x je premenná (násobiteľ) "x" v čitateli aj v menovateli, takže "x" možno zmenšiť a získať zjednodušený výraz: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Vo výraze (x + 2)/x však premennú "x" nemožno redukovať (pretože v čitateli "x" nie je činiteľ).

   4. Otvorená zátvorka. Ak to chcete urobiť, vynásobte výraz mimo zátvorky každým výrazom v zátvorke. Niekedy pomôže zjednodušiť zložitý výraz. To platí pre členov, ktorí sú základné čísla a na členov, ktorí obsahujú premennú.

      • Napríklad 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 a 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Upozorňujeme, že v zlomkových výrazoch nie je potrebné otvárať zátvorky, ak čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaký faktor. Napríklad vo výraze (3(x 2 + 8)) / 3x nemusíte rozširovať zátvorky, pretože tu môžete znížiť faktor 3 a získať zjednodušený výraz (x 2 + 8) / x. S týmto výrazom sa ľahšie pracuje; ak by ste rozbalili zátvorky, dostali by ste nasledujúci komplexný výraz: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorizujte polynómy. Pomocou tejto metódy môžete zjednodušiť niektoré výrazy a polynómy. Faktoring je opakom rozšírenia zátvoriek, to znamená, že výraz je napísaný ako súčin dvoch výrazov, z ktorých každý je uzavretý v zátvorkách. V niektorých prípadoch faktoring umožňuje skrátiť rovnaký výraz. IN špeciálne príležitosti(zvyčajne s kvadratické rovnice) faktoring vám umožní vyriešiť rovnicu.

      • Uvažujme výraz x 2 - 5x + 6. Rozložíme ho na faktory: (x - 3) (x - 2). Ak je teda zadaný napríklad výraz (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), potom ho môžete prepísať ako (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), zredukujte výraz (x - 2) a získajte zjednodušený výraz (x - 3) / 2.
      • Faktorizácia polynómov sa používa na riešenie (hľadanie koreňov) rovníc (rovnica je polynóm rovnajúci sa 0). Zoberme si napríklad rovnicu x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Ak ju rozložíte na faktory, dostanete (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Keďže akýkoľvek výraz vynásobený 0 je 0, môžeme ho napísať takto: x - 3 = 0 a x - 2 = 0. Teda x = 3 a x = 2, to znamená, že ste našli dva korene rovnice, ktorú ste dostali.

Jedným z nich je zjednodušenie algebraických výrazov Kľúčové body učenie algebry a mimoriadne užitočná zručnosť pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje zredukovať zložitý alebo dlhý výraz na jednoduchý výraz, s ktorým sa ľahko pracuje. Základné zjednodušovacie schopnosti sú dobré aj pre tých, ktorí nie sú nadšení z matematiky. Ponechanie si niekoľkých jednoduché pravidlá, môžete zjednodušiť mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov bez špeciálnych matematických znalostí.

Kroky

Dôležité definície

1. Podobní členovia. Ide o členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo o voľné členy (členy, ktoré neobsahujú premennú). Inými slovami, podobné výrazy zahŕňajú jednu premennú v rovnakom rozsahu, zahŕňajú niekoľko rovnakých premenných alebo neobsahujú premennú vôbec. Na poradí výrazov vo výraze nezáleží.

   • Napríklad 3x 2 a 4x 2 sú podobné výrazy, pretože obsahujú premennú "x" druhého rádu (v druhej mocnine). Avšak x a x 2 nie sú podobné členy, pretože obsahujú premennú "x" rôznych rádov (prvý a druhý). Podobne -3yx a 5xz nie sú podobné členy, pretože obsahujú rôzne premenné.

2. Faktorizácia. Ide o nájdenie takých čísel, ktorých súčin vedie k pôvodnému číslu. Akékoľvek pôvodné číslo môže mať niekoľko faktorov. Napríklad číslo 12 možno rozložiť na nasledujúce série faktorov: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory číslo 12. Faktory sú rovnaké ako delitele , teda čísla, ktorými je pôvodné číslo deliteľné.

   • Napríklad, ak chcete vynásobiť číslo 20, napíšte ho takto: 4×5.
   • Upozorňujeme, že pri faktoringu sa berie do úvahy premenná. Napríklad 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla sa nedajú rozdeliť, pretože sú deliteľné iba samými sebou a 1.

3. Pamätajte si a dodržiavajte poradie operácií, aby ste sa vyhli chybám.

   • Zátvorky
   • stupňa
   • Násobenie
   • divízie
   • Doplnenie
   • Odčítanie

   Casting Like Members

   1. Zapíšte si výraz. Protozoa algebraické výrazy(ktoré neobsahujú zlomky, odmocniny a pod.) možno vyriešiť (zjednodušene) v niekoľkých krokoch.

      • Napríklad zjednodušiť výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo voľné členy).

      • Nájdite podobné výrazy v tomto výraze. Výrazy 2x a 4x obsahujú premennú rovnakého rádu (prvú). Taktiež 1 a -3 sú voľné členy (neobsahujú premennú). Teda v tomto výraze termíny 2x a 4x sú podobné a členovia 1 a -3 sú tiež podobné.

   3. Uveďte podobné podmienky. To znamená ich pridanie alebo odčítanie a zjednodušenie výrazu.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepíšte výraz s prihliadnutím na dané výrazy. Získate jednoduchý výraz s menším počtom výrazov. Nový výraz sa rovná pôvodnému.

      • V našom príklade: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že pôvodný výraz je zjednodušený a ľahšie sa s ním pracuje.

   5. Pri prehadzovaní podobných výrazov dodržujte poradie, v ktorom sa vykonávajú operácie. V našom príklade bolo jednoduché priniesť podobné výrazy. Avšak v prípade zložité výrazy, v ktorom sú členy uzavreté v zátvorkách a sú prítomné zlomky a odmocniny, nie je také ľahké priniesť takéto členy. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií.

      • Zoberme si napríklad výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tu by bolo chybou hneď definovať 3x a 2x ako podobné pojmy a citovať ich, pretože najprv treba rozbaliť zátvorky. Preto vykonávajte operácie v ich poradí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Teraz, keď výraz obsahuje iba operácie sčítania a odčítania, môžete pretypovať ako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Zátvorky násobiteľa

   1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) všetkých koeficientov výrazu. NOD je najväčší počet, ktorým sa delia všetky koeficienty výrazu.

      • Uvažujme napríklad rovnicu 9x 2 + 27x - 3. V tomto prípade gcd=3, pretože každý koeficient tohto výrazu je deliteľný 3.

   2. Vydeľte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budú obsahovať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

      • V našom príklade vydeľte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo sa, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná sa pôvodnému výrazu.

   3. Napíšte pôvodný výraz ako rovný súčinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že výsledný výraz uzavrite do zátvoriek a GCD vložte mimo zátvorky.

      • V našom príklade: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušenie zlomkových výrazov odstránením násobiteľa zo zátvoriek. Prečo len vytiahnuť násobiteľ zo zátvoriek, ako to bolo predtým? Potom sa dozviete, ako zjednodušiť zložité výrazy, ako sú napríklad zlomkové výrazy. V tomto prípade môže vyňatie faktora zo zátvoriek pomôcť zbaviť sa zlomku (z menovateľa).

      • Uvažujme napríklad zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tohto výrazu použite zátvorky.
        • Vypočítajte faktor 3 (ako ste to urobili predtým): (3 (3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimnite si, že v čitateli aj v menovateli je teraz číslo 3. Dá sa to zmenšiť a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Keďže každý zlomok, ktorý má v menovateli číslo 1, sa rovná čitateľovi, pôvodný zlomkový výraz sa zjednoduší na: 3x2 + 9x-1.

   Ďalšie techniky zjednodušenia

4. Uvažujme jednoduchý príklad: √(90). Číslo 90 možno rozložiť na nasledujúce faktory: 9 a 10 a z 9 extraktu Odmocnina(3) a vyberte 3 spod koreňa.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušenie výrazov pomocou právomocí. V niektorých výrazoch sú operácie násobenia alebo delenia pojmov so stupňom. V prípade násobenia členov s jedným základom sa ich stupne sčítajú; v prípade delenia členov s rovnakým základom sa ich stupne odčítajú.

   • Zoberme si napríklad výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V prípade násobenia pridajte exponenty a v prípade delenia ich odčítajte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Nasleduje vysvetlenie pravidla pre násobenie a delenie pojmov s titulom.
     • Násobenie výrazov mocninami je ekvivalentné násobeniu výrazov samotných. Napríklad, keďže x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, potom x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), alebo x 8.
     • Podobne delenie pojmov pomocou právomocí je ekvivalentné deleniu pojmov samotných. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Keďže podobné členy, ktoré sú v čitateli aj v menovateli, možno redukovať, súčin dvoch „x“ alebo x 2 zostáva v čitateli.

• Vždy si dávajte pozor na znamienka (plus alebo mínus) pred pojmami výrazu, pretože veľa ľudí má problém vybrať si správne znamienko.
• V prípade potreby požiadajte o pomoc!
• Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, no ak sa vám to dostane do rúk, môžete túto zručnosť využívať celý život.

Poznámka 1

Logická funkcia môže byť napísaná pomocou logického výrazu a potom môžete prejsť na logický obvod. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V podstate logická funkcia, logický výraz a logický obvod sú tri rôzne jazyky, vypovedajúci o jednej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony algebry logiky.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré klasické algebrické operácie nemajú (použitie distributívneho zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, lepenia, de Morganových pravidiel atď.).

Zákony algebry logiky sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, potom sa logická hodnota nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3

To znamená, že $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

odpoveď:študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, XOR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa de Morganových pravidiel takým spôsobom, že iba jednotlivé premenné majú negačné operácie.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou rozšírenia zátvoriek, uzavierania spoločných faktorov a iných zákonov logiky.

Príklad 2

Tu sa postupne používa de Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.

Poznámka 1

Logická funkcia môže byť napísaná pomocou logického výrazu a potom môžete prejsť na logický obvod. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V skutočnosti sú logická funkcia, logický výraz a logický obvod tri rôzne jazyky, ktoré hovoria o tej istej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony algebry logiky.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré klasické algebrické operácie nemajú (použitie distributívneho zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, lepenia, de Morganových pravidiel atď.).

Zákony algebry logiky sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, potom sa logická hodnota nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3

To znamená, že $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

odpoveď:študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, XOR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa de Morganových pravidiel takým spôsobom, že iba jednotlivé premenné majú negačné operácie.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou rozšírenia zátvoriek, uzavierania spoločných faktorov a iných zákonov logiky.

Príklad 2

Tu sa postupne používa de Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.

§ 1 Pojem zjednodušenia doslovného vyjadrenia

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom „podobné výrazy“ a na príkladoch sa naučíme, ako vykonať redukciu podobných výrazov, čím si zjednodušíme doslovné výrazy.

Poďme zistiť význam pojmu "zjednodušenie". Slovo „zjednodušenie“ je odvodené od slova „zjednodušiť“. Zjednodušiť znamená urobiť jednoduchým, jednoduchším. Preto zjednodušiť doslovný výraz znamená skrátiť ho s minimálnym počtom akcií.

Zvážte výraz 9x + 4x. Toto je doslovný výraz, ktorý je súčtom. Termíny sú tu prezentované ako súčin čísla a písmena. Číselný faktor takýchto pojmov sa nazýva koeficient. V tomto výraze budú koeficienty čísla 9 a 4. Upozorňujeme, že násobiteľ reprezentovaný písmenom je rovnaký v oboch podmienkach tohto súčtu.

Spomeňte si na distributívny zákon násobenia:

Ak chcete vynásobiť súčet číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom a pridať výsledné produkty.

IN všeobecný pohľad sa píše takto: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Tento zákon platí v oboch smeroch ac + bc = (a + b) ∙ c

Aplikujme to na náš doslovný výraz: súčet súčinov 9x a 4x sa rovná súčinu, ktorého prvý súčin sa rovná súčtu 9 a 4, druhý faktor je x.

9 + 4 = 13 je 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Namiesto troch akcií vo výraze zostala jedna akcia - násobenie. To znamená, že sme zjednodušili naše doslovné vyjadrenie, t.j. zjednodušil to.

§ 2 Zníženie podobných podmienok

Pojmy 9x a 4x sa líšia iba svojimi koeficientmi - takéto pojmy sa nazývajú podobné. Písmenová časť podobných výrazov je rovnaká. Podobné výrazy zahŕňajú aj čísla a rovnaké výrazy.

Napríklad vo výraze 9a + 12 - 15 budú čísla 12 a -15 podobné pojmy a v súčte súčinov 12 a 6a čísla 14 a súčinov 12 a 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), rovnaké členy budú podobné, reprezentované súčinom 12 a 6a.

Je dôležité poznamenať, že pojmy, ktoré majú rovnaké koeficienty a rôzne doslovné faktory, nie sú podobné, aj keď je niekedy užitočné použiť na ne distributívny zákon násobenia, napríklad súčet súčinov 5x a 5y sa rovná súčin čísla 5 a súčtu x a y

5x + 5y = 5(x + y).

Zjednodušme výraz -9a + 15a - 4 + 10.

V tomto prípade sú členy -9a a 15a podobné členy, pretože sa líšia iba svojimi koeficientmi. Majú rovnaký písmenový násobiteľ a výrazy -4 a 10 sú tiež podobné, pretože sú to čísla. Pridávame podobné výrazy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dostaneme: 6a + 6.

Pri zjednodušení výrazu sme našli súčty podobných výrazov, v matematike sa to nazýva redukcia podobných výrazov.

Ak je prinesenie takýchto výrazov ťažké, môžete pre ne vymyslieť slová a pridať objekty.

Zvážte napríklad výraz:

Pre každé písmeno vezmeme svoj vlastný predmet: b-jablko, c-hruška, potom to dopadne: 2 jablká mínus 5 hrušiek plus 8 hrušiek.

Môžeme odpočítať hrušky od jabĺk? Samozrejme, že nie. Ale môžeme pridať 8 hrušiek do mínus 5 hrušiek.

Dávame ako termíny -5 hrušiek + 8 hrušiek. Podobné výrazy majú rovnakú doslovnú časť, preto pri znižovaní podobných výrazov stačí pridať koeficienty a pridať doslovnú časť k výsledku:

(-5 + 8) hrušiek - dostanete 3 hrušky.

Ak sa vrátime k nášmu doslovnému výrazu, máme -5s + 8s = 3s. Po redukcii podobných členov teda dostaneme výraz 2b + 3c.

Takže v tejto lekcii ste sa zoznámili s pojmom „podobné výrazy“ a naučili ste sa, ako zjednodušiť doslovné výrazy tým, že použijete podobné výrazy.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika. 6. ročník: plány hodín pre učebnicu I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov a ďalší / upravil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruská akadémia vied, Ruská akadémia vzdelávania. M.: "Osvietenie", 2010.
4. Matematika. 6. ročník: učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematika. 6. ročník: učebnica / G.K. Muravin, O.V. Ant. – M.: Drop, 2014.

Použité obrázky: