Algebraický výraz, v ktorom popri operáciách sčítania, odčítania a násobenia používajú aj delenie podľa doslovné výrazy, sa nazýva zlomkový algebraický výraz. Takými sú napríklad výrazy

Algebraickým zlomkom nazývame algebraický výraz, ktorý má tvar podielu delenia dvoch celočíselných algebraických výrazov (napríklad monočlenov alebo mnohočlenov). Takými sú napríklad výrazy

tretí z výrazov).

Identitné transformácie zlomkových algebraických výrazov sú z väčšej časti určené na to, aby ich reprezentovali ako algebraický zlomok. Na nájdenie spoločného menovateľa sa používa faktorizácia menovateľov zlomkov - členov s cieľom nájsť ich najmenší spoločný násobok. Pri redukcii algebraické zlomky môže dôjsť k porušeniu prísnej identity výrazov: je potrebné vylúčiť hodnoty veličín, pri ktorých mizne faktor, ktorým sa redukcia uskutočňuje.

Uveďme príklady identických transformácií zlomkových algebraických výrazov.

Príklad 1: Zjednodušte výraz

Všetky výrazy možno zredukovať na spoločného menovateľa (vhodné je zmeniť znamienko v menovateľovi posledného výrazu a znamienko pred ním):

Náš výraz sa rovná jednej pre všetky hodnoty okrem týchto hodnôt, nie je definovaný a redukcia zlomkov je nezákonná).

Príklad 2. Reprezentujte výraz ako algebraický zlomok

Riešenie. Výraz možno považovať za spoločného menovateľa. Postupne nájdeme:

Cvičenia

1. Nájdite hodnoty algebraických výrazov pre zadané hodnoty parametrov:

2. Faktorizujte.

Doslovný výraz (alebo výraz s premennými) je matematický výraz, ktorý pozostáva z čísel, písmen a znakov matematických operácií. Napríklad nasledujúci výraz je doslovný:

a+b+4

Pomocou doslovných výrazov môžete zapisovať zákony, vzorce, rovnice a funkcie. Schopnosť manipulovať s doslovnými výrazmi je kľúčom k dobrej znalosti algebry a vyššej matematiky.

Akýkoľvek vážny problém v matematike sa týka riešenia rovníc. A aby ste mohli riešiť rovnice, musíte vedieť pracovať s doslovnými výrazmi.

Ak chcete pracovať s doslovnými výrazmi, musíte si dobre naštudovať základné aritmetiky: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, základné matematické zákony, zlomky, akcie so zlomkami, proporcie. A nielen študovať, ale dôkladne pochopiť.

Obsah lekcie

Premenné

Písmená, ktoré sú obsiahnuté v doslovných výrazoch, sa nazývajú premenných. Napríklad vo výraze a+b+4 písmená sú premenné a A b. Ak namiesto týchto premenných dosadíme ľubovoľné čísla, potom doslovný výraz a+b+4 aplikovať na číselný výraz, ktorej hodnotu možno nájsť.

Zavolajú sa čísla, ktoré sú nahradené premennými premenné hodnoty. Napríklad zmeňme hodnoty premenných a A b. Na zmenu hodnôt použite znamienko rovnosti

a = 2, b = 3

Zmenili sme hodnoty premenných a A b. premenlivý a priradená hodnota 2 , variabilný b priradená hodnota 3 . V dôsledku toho doslovný výraz a+b+4 prevedie na normálny číselný výraz 2+3+4 ktorých hodnotu možno nájsť:

2 + 3 + 4 = 9

Keď sa premenné vynásobia, zapíšu sa spolu. Napríklad vstup ab znamená to isté ako záznam a×b. Ak dosadíme namiesto premenných a A bčísla 2 A 3 , potom dostaneme 6

2 x 3 = 6

Spolu môžete napísať aj násobenie čísla výrazom v zátvorkách. Napríklad namiesto a×(b + c) dá sa napísať a(b + c). Aplikovaním distributívneho zákona násobenia dostaneme a(b + c)=ab+ac.

Odds

V doslovných výrazoch sa často môžete stretnúť so zápisom, v ktorom sa napríklad spolu zapisuje číslo a premenná 3a. V skutočnosti je to skratka pre násobenie čísla 3 premennou. a a tento vstup vyzerá 3×a .

Inými slovami, výraz 3a je súčin čísla 3 a premennej a. číslo 3 v tejto práci je tzv koeficient. Tento koeficient ukazuje, koľkokrát sa premenná zvýši a. Tento výraz možno čítať ako „ a trikrát alebo trikrát A", alebo "zvýšiť hodnotu premennej a trikrát“, ale najčastejšie sa číta ako „tri a«

Napríklad, ak premenná a rovná sa 5 , potom hodnotu výrazu 3a sa bude rovnať 15.

3 x 5 = 15

rozprávanie jednoduchý jazyk, koeficient je číslo, ktoré sa nachádza pred písmenom (pred premennou).

Môže tam byť viacero písmen, napr 5abc. Tu je koeficient číslo 5 . Tento koeficient ukazuje, že súčin premenných abc zvyšuje päťkrát. Tento výraz možno čítať ako „ abc päťkrát“ alebo „zvýšiť hodnotu výrazu abc päťkrát“ alebo „päť abc«.

Ak namiesto premenných abc dosaďte čísla 2, 3 a 4, potom hodnotu výrazu 5abc sa bude rovnať 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Môžete si v duchu predstaviť, ako sa čísla 2, 3 a 4 prvýkrát vynásobili a výsledná hodnota sa zvýšila päťkrát:

Znamienko koeficientu sa vzťahuje len na koeficient a neplatí pre premenné.

Zvážte výraz -6b. Mínus pred koeficientom 6 , vzťahuje sa len na koeficient 6 , a nevzťahuje sa na premennú b. Pochopenie tejto skutočnosti vám umožní v budúcnosti nerobiť chyby so znakmi.

Nájdite hodnotu výrazu -6b pri b = 3.

-6b −6×b. Pre prehľadnosť napíšeme výraz -6b v rozšírenej forme a nahradiť hodnotu premennej b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu -6b pri b = -5

Napíšeme výraz -6b v rozšírenej forme

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu −5a+b pri a = 3 A b = 2

−5a+b je skrátená forma pre −5 × a + b, preto pre názornosť píšeme výraz −5×a+b v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a A b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Niekedy sa písmená píšu napríklad bez koeficientu a alebo ab. V tomto prípade je koeficient jeden:

ale jednotka sa tradične nezapisuje, tak len píšu a alebo ab

Ak je pred písmenom mínus, potom je koeficient číslo −1 . Napríklad výraz -a v skutočnosti vyzerá −1a. Toto je súčin mínus jedna a premennej a. Vyšlo to takto:

−1 × a = −1a

Tu je malý trik. Vo výraze -a mínus pred premennou a v skutočnosti odkazuje na "neviditeľnú jednotku" a nie na premennú a. Preto by ste pri riešení problémov mali byť opatrní.

Napríklad vzhľadom na výraz -a a žiada sa od nás, aby sme našli jeho hodnotu na a = 2, potom sme v škole namiesto premennej dosadili dvojku a a získajte odpoveď −2 , v skutočnosti sa nesústredím na to, ako to dopadlo. V skutočnosti došlo k vynásobeniu mínus jedna kladným číslom 2

-a = -1 x a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ak je daný výraz -a a je potrebné nájsť jeho hodnotu na a = -2, potom nahradíme −2 namiesto premennej a

-a = -1 x a

−1 × a = −1 × (–2) = 2

Aby sa predišlo chybám, najskôr neviditeľné jednotky môžu byť napísané explicitne.

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu abc pri a=2 , b = 3 A c=4

Výraz abc 1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšeme výraz abc a , b A c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Príklad 5 Nájdite hodnotu výrazu abc pri a = -2, b = -3 A c=-4

Napíšeme výraz abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a , b A c

1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24

Príklad 6 Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a=3, b=5 a c=7

Výraz − abc je skrátená forma pre −1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšeme výraz − abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a , b A c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Príklad 7 Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a = -2, b = -4 a c = -3

Napíšeme výraz − abc rozšírené:

−abc = −1 × a × b × c

Dosaďte hodnotu premenných a , b A c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (–2) × (–4) × (–3) = 24

Ako určiť koeficient

Niekedy je potrebné vyriešiť problém, v ktorom je potrebné určiť koeficient výrazu. V zásade je táto úloha veľmi jednoduchá. Stačí vedieť správne násobiť čísla.

Ak chcete určiť koeficient vo výraze, musíte samostatne vynásobiť čísla v tomto výraze a oddelene vynásobiť písmená. Výsledným číselným faktorom bude koeficient.

Príklad 1 7m × 5a × (-3) × n

Výraz sa skladá z niekoľkých faktorov. To možno jasne vidieť, ak je výraz napísaný v rozšírenej forme. To znamená, že funguje 7 m A 5a napíšte do formulára 7 × m A 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplikujeme asociatívny zákon násobenia, ktorý nám umožňuje násobiť faktory v ľubovoľnom poradí. Konkrétne vynásobte samostatne čísla a oddelene vynásobte písmená (premenné):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Koeficient je −105 . Po dokončení je časť písmena prednostne usporiadaná v abecednom poradí:

-105 hod

Príklad 2 Určte koeficient vo výraze: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Príklad 3 Určte koeficient vo výraze:

Vynásobme čísla a písmená oddelene:

Koeficient je -1. Upozorňujeme, že jednotka sa nezaznamenáva, pretože koeficient 1 sa zvyčajne nezaznamenáva.

Tieto zdanlivo jednoduché úlohy si s nami môžu zahrať veľmi krutý vtip. Často sa ukáže, že znamienko koeficientu je nastavené nesprávne: buď sa vynechá mínus, alebo sa naopak nastaví márne. Aby sa predišlo týmto nepríjemným chybám, musí sa študovať na dobrej úrovni.

Termíny v doslovných výrazoch

Keď sčítate niekoľko čísel, dostanete súčet týchto čísel. Čísla, ktoré sa sčítavajú, sa nazývajú pojmy. Termínov môže byť viacero, napr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Keď výraz pozostáva z členov, je oveľa jednoduchšie ho vypočítať, pretože je jednoduchšie sčítať ako odčítať. Ale výraz môže obsahovať nielen sčítanie, ale aj odčítanie, napríklad:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tomto výraze sú čísla 3 a 5 odčítané, nie sčítané. Ale nič nám nebráni nahradiť odčítanie sčítaním. Potom opäť dostaneme výraz pozostávajúci z výrazov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nezáleží na tom, že čísla -3 a -5 sú teraz so znamienkom mínus. Hlavná vec je, že všetky čísla v tomto výraze sú spojené znakom sčítania, to znamená, že výraz je súčet.

Oba výrazy 1 + 2 − 3 + 4 − 5 A 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sa rovnajú rovnakej hodnote - mínus jedna

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Hodnota výrazu teda neutrpí tým, že odčítanie niekde nahradíme sčítaním.

Odčítanie môžete nahradiť aj sčítaním v doslovných výrazoch. Zvážte napríklad nasledujúci výraz:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Pre akékoľvek hodnoty premenných a B C d A s výrazov 7a + 6b - 3c + 2d - 4s A 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) sa bude rovnať rovnakej hodnote.

Musíte byť pripravení na to, že učiteľ v škole alebo učiteľ na ústave môže nazývať termínmi aj tie čísla (alebo premenné), ktoré nimi nie sú.

Napríklad, ak je rozdiel napísaný na tabuli a-b, tak to učiteľ nepovie a je minuend a b- odpočítateľný. Nazve obe premenné jedným spoločným slovom - podmienky. A to všetko kvôli vyjadreniu formy a-b matematik vidí ako súčet a + (-b). V tomto prípade sa výraz stane súčtom a premennými a A (-b) stať sa komponentmi.

Podobné výrazy

Podobné výrazy sú výrazy, ktoré majú rovnakú časť písmena. Zvážte napríklad výraz 7a + 6b + 2a. Podmienky 7a A 2a majú rovnakú písmennú časť - premennú a. Takže podmienky 7a A 2a sú podobné.

Zvyčajne sa podobné výrazy pridávajú na zjednodušenie výrazu alebo vyriešenie rovnice. Táto operácia sa nazýva zníženie podobných podmienok.

Ak chcete získať podobné výrazy, musíte pridať koeficienty týchto výrazov a vynásobiť výsledok spoločnou písmenom.

Napríklad vo výraze uvádzame podobné výrazy 3a + 4a + 5a. V tomto prípade sú všetky pojmy podobné. Spočítame ich koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou písmenovou časťou – premennou a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takéto výrazy sa zvyčajne uvádzajú v mysli a výsledok sa okamžite zaznamená:

3a + 4a + 5a = 12a

Môžete tiež argumentovať takto:

Boli tam 3 premenné a , 4 ďalšie premenné a a k nim bolo pridaných 5 premenných a. V dôsledku toho sme dostali 12 premenných a

Uvažujme o niekoľkých príkladoch redukcie podobných výrazov. Vzhľadom na to, že táto téma je veľmi dôležitá, najprv si podrobne zapíšeme každý detail. Napriek tomu, že je tu všetko veľmi jednoduché, väčšina ľudí robí veľa chýb. Väčšinou kvôli nepozornosti, nie nevedomosti.

Príklad 1 3a + 2a + 6a + 8 a

V tomto výraze spočítame koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou časťou písmena:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

dizajn (3 + 2 + 6 + 8)×a nemôžete zapísať, takže odpoveď ihneď zapíšeme

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Príklad 2 Do výrazu uveďte podobné výrazy 2a+a

Druhý termín a napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti mu predchádza koeficient 1 , ktorý nevidíme vďaka tomu, že nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + 1a

Teraz uvádzame podobné pojmy. To znamená, že spočítame koeficienty a vynásobíme výsledok spoločnou časťou písmena:

2a + 1a = (2 + 1) x a = 3a

Napíšme riešenie v skratke:

2a + a = 3a

2a+a, môžete argumentovať iným spôsobom:

Príklad 3 Do výrazu uveďte podobné výrazy 2a - a

Nahraďte odčítanie sčítaním:

2a + (-a)

Druhý termín (-a) napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti to tak vyzerá (-1a). Koeficient −1 opäť neviditeľný kvôli tomu, že nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + (-1a)

Teraz uvádzame podobné pojmy. Spočítame koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou časťou písmena:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

Zvyčajne sa píše kratšie:

2a − a = a

Uvedenie podobných výrazov do výrazu 2a-a Môžete argumentovať aj inak:

Boli tam 2 premenné a , odpočítaná jedna premenná a , výsledkom čoho bola len jedna premenná a

Príklad 4 Do výrazu uveďte podobné výrazy 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Teraz uvádzame podobné pojmy. Koeficienty sčítame a výsledok vynásobíme spoločnou písmenovou časťou

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Napíšme riešenie v skratke:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Existujú výrazy, ktoré obsahujú niekoľko rôzne skupiny podobné výrazy. Napríklad, 3a + 3b + 7a + 2b. Pre takéto výrazy platia rovnaké pravidlá ako pre ostatné, a to sčítanie koeficientov a vynásobenie výsledku spoločnou písmenovou časťou. Ale aby sa predišlo chybám, je to pohodlné rôzne skupiny podčiarknite pojmy rôznymi čiarami.

Napríklad vo výraze 3a + 3b + 7a + 2b tie výrazy, ktoré obsahujú premennú a, môžu byť podčiarknuté jedným riadkom a tie výrazy, ktoré obsahujú premennú b, možno podčiarknuť dvoma riadkami:

Teraz môžeme priniesť podobné podmienky. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledok spoločnou časťou písmena. Toto je potrebné urobiť pre obe skupiny výrazov: pre výrazy obsahujúce premennú a a pre výrazy obsahujúce premennú b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Znova opakujeme, že výraz je jednoduchý a v mysli sa dajú uviesť podobné výrazy:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Príklad 5 Do výrazu uveďte podobné výrazy 5a - 6a - 7b + b

Kde je to možné, nahrádzame odčítanie sčítaním:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podčiarknite podobné výrazy rôznymi čiarami. Výrazy obsahujúce premenné a podčiarknite jedným riadkom a výrazy obsah sú premenné b, podčiarknuté dvoma riadkami:

Teraz môžeme priniesť podobné podmienky. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledok spoločnou časťou písmena:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ak výraz obsahuje obyčajné čísla bez abecedných faktorov, pridajú sa samostatne.

Príklad 6 Do výrazu uveďte podobné výrazy 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

Uveďme si podobné pojmy. čísla −5 A 7 nemajú doslovné faktory, ale sú to podobné pojmy - stačí ich spočítať. A termín 2b zostane nezmenený, pretože ako jediný v tomto výraze má koeficient písmen b, a k tomu nie je čo dodať:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

Napíšme riešenie v skratke:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termíny môžu byť usporiadané tak, že termíny, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nachádzajú v rovnakej časti výrazu.

Príklad 7 Do výrazu uveďte podobné výrazy 5t+2x+3x+5t+x

Keďže výraz je súčtom niekoľkých pojmov, umožňuje nám to hodnotiť ho v ľubovoľnom poradí. Preto výrazy obsahujúce premennú t, možno napísať na začiatok výrazu a výrazy obsahujúce premennú X na konci výrazu:

5t+5t+2x+3x+x

Teraz môžeme pridať podobné výrazy:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Napíšme riešenie v skratke:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Súčet opačných čísel je nula. Toto pravidlo funguje aj pre doslovné výrazy. Ak výraz obsahuje rovnaké výrazy, ale s opačnými znamienkami, môžete sa ich zbaviť vo fáze znižovania podobných výrazov. Inými slovami, jednoducho ich vypustite z výrazu, pretože ich súčet je nula.

Príklad 8 Do výrazu uveďte podobné výrazy 3t − 4t − 3t + 2t

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Podmienky 3t A (-3t) sú opačné. Súčet opačných členov sa rovná nule. Ak túto nulu z výrazu odstránime, potom sa hodnota výrazu nezmení, preto ju odstránime. A odstránime ho obvyklým vymazaním podmienok 3t A (-3t)

V dôsledku toho budeme mať výraz (-4t) + 2t. V tomto výraze môžete pridať podobné výrazy a získať konečnú odpoveď:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Napíšme riešenie v skratke:

Zjednodušenie výrazov

"zjednodušiť výraz" a nasleduje výraz, ktorý sa má zjednodušiť. Zjednodušte výraz znamená to zjednodušiť a skrátiť.

V podstate sme sa už zaoberali zjednodušovaním výrazov pri redukcii zlomkov. Po zmenšení sa zlomok skrátil a bol ľahšie čitateľný.

Zvážte nasledujúci príklad. Zjednodušte výraz.

Túto úlohu možno doslova chápať takto: "Urobte všetko, čo môžete s týmto výrazom, ale urobte to jednoduchšie" .

V tomto prípade môžete zlomok zmenšiť, konkrétne vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku 2:

Čo sa dá ešte urobiť? Môžete vypočítať výsledný zlomok. Potom dostaneme desatinnú hodnotu 0,5

V dôsledku toho sa zlomok zjednodušil na 0,5.

Prvá otázka, ktorú si treba položiť pri riešení takýchto problémov, by mala byť "čo sa dá robiť?" . Pretože sú veci, ktoré môžeš a sú veci, ktoré nemôžeš.

Ďalší dôležitý bod Treba mať na pamäti, že hodnota výrazu sa po zjednodušení výrazu nesmie zmeniť. Vráťme sa k výrazu. Tento výraz je delenie, ktoré možno vykonať. Po vykonaní tohto delenia dostaneme hodnotu tohto výrazu, ktorá sa rovná 0,5

Výraz sme však zjednodušili a dostali sme nový zjednodušený výraz . Hodnota nového zjednodušeného výrazu je stále 0,5

Ale snažili sme sa výraz zjednodušiť aj výpočtom. Výsledkom bolo, že konečná odpoveď bola 0,5.

Nech už teda výraz zjednodušíme akokoľvek, hodnota výsledných výrazov je stále 0,5. To znamená, že zjednodušenie bolo v každej fáze vykonané správne. O to sa musíme pri zjednodušovaní výrazov snažiť – význam výrazu by nemal trpieť naším konaním.

Často je potrebné zjednodušiť doslovné výrazy. Pre nich platia rovnaké pravidlá zjednodušenia ako pre číselné výrazy. Môžete vykonať akúkoľvek platnú akciu, pokiaľ sa hodnota výrazu nezmení.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1 Zjednodušte výraz 5,21 s × t × 2,5

Pre zjednodušenie tohto výrazu môžete násobiť čísla oddelene a násobiť písmená oddelene. Táto úloha je veľmi podobná tej, ktorú sme zvažovali, keď sme sa naučili určovať koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Takže výraz 5,21 s × t × 2,5 zjednodušené na 13,025 st.

Príklad 2 Zjednodušte výraz −0,4×(−6,3b)×2

Druhá práca (-6,3b) možno preložiť do pre nás zrozumiteľnej formy, a to napísanej vo forme ( −6,3)×b, potom oddelene vynásobte čísla a oddelene vynásobte písmená:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 = 5,04b

Takže výraz −0,4×(−6,3b)×2 zjednodušené na 5.04b

Príklad 3 Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobíme čísla oddelene a vynásobíme písmená oddelene:

Takže výraz zjednodušené na −abc. Toto riešenie možno napísať kratšie:

Pri zjednodušovaní výrazov je možné zlomky zmenšiť v procese riešenia a nie až na konci, ako sme to urobili pri bežné zlomky. Napríklad, ak v priebehu riešenia narazíme na výraz vo forme , potom vôbec nie je potrebné počítať čitateľa a menovateľa a robiť niečo také:

Zlomok možno zmenšiť výberom faktora v čitateli a menovateli a znížením týchto faktorov o ich najväčšie spoločný deliteľ. Inými slovami, použite , v ktorom podrobne nepopisujeme, na čo sa delil čitateľ a menovateľ.

Napríklad v čitateli, súčiniteľ 12 a v menovateli možno súčiniteľ 4 zmenšiť o 4. Majme na pamäti štvoricu a vydelením 12 a 4 touto štvorkou napíšeme odpovede k týmto číslam, pričom predtým ich prečiarkol

Teraz môžete výsledné malé faktory vynásobiť. V tomto prípade ich nie je veľa a môžete si ich v duchu znásobiť:

Postupom času sa vám môže stať, že pri riešení konkrétneho problému výrazy začnú „tučnieť“, preto je vhodné zvyknúť si na rýchle výpočty. Čo sa dá vypočítať v mysli, musí sa spočítať v mysli. Čo sa dá rýchlo rezať, treba rýchlo rezať.

Príklad 4 Zjednodušte výraz

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 5 Zjednodušte výraz

Čísla násobíme zvlášť a písmená zvlášť:

Takže výraz zjednodušené na mn.

Príklad 6 Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobíme čísla zvlášť a písmená zvlášť. Pre uľahčenie výpočtov je možné desatinný zlomok -6,4 a zmiešané číslo previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na

Riešenie tohto príkladu možno napísať oveľa stručnejšie. Bude to vyzerať takto:

Príklad 7 Zjednodušte výraz

Samostatne násobíme čísla a zvlášť písmená. Pre jednoduchosť výpočtu je zmiešané číslo a desatinné miesta 0,1 a 0,6 je možné previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na a B C d. Ak preskočíte podrobnosti, toto riešenie možno napísať oveľa kratšie:

Všimnite si, ako sa zlomok zmenšil. Nové multiplikátory, ktoré sa získajú znížením predchádzajúcich multiplikátorov, môžu byť tiež znížené.

Teraz si povedzme, čo nerobiť. Pri zjednodušovaní výrazov je prísne zakázané násobiť čísla a písmená, ak je výrazom súčet a nie súčin.

Napríklad, ak chcete zjednodušiť výraz 5a + 4b, potom to nemôže byť napísané takto:

To je ekvivalentné skutočnosti, že keby sme boli požiadaní o sčítanie dvoch čísel, namiesto sčítania by sme ich vynásobili.

Pri nahrádzaní akýchkoľvek hodnôt premenných a A b výraz 5a+4b sa zmení na jednoduchý číselný výraz. Predpokladajme premenné a A b majú nasledujúce významy:

a = 2, b = 3

Potom bude hodnota výrazu 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprv sa vykoná násobenie a potom sa pridajú výsledky. A ak by sme sa pokúsili tento výraz zjednodušiť vynásobením čísel a písmen, dostali by sme nasledovné:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Ukazuje sa úplne iný význam výrazu. V prvom prípade sa to ukázalo 22 , v druhom prípade 120 . To znamená, že zjednodušenie výrazu 5a + 4b bola vykonaná nesprávne.

Po zjednodušení výrazu by sa jeho hodnota nemala meniť s rovnakými hodnotami premenných. Ak sa pri nahradení akýchkoľvek hodnôt premenných do pôvodného výrazu získa jedna hodnota, potom po zjednodušení výrazu by sa mala získať rovnaká hodnota ako pred zjednodušením.

S výrazom 5a + 4b vlastne sa nedá nič robiť. Ľahšie to už nejde.

Ak výraz obsahuje podobné výrazy, možno ich pridať, ak je naším cieľom výraz zjednodušiť.

Príklad 8 Zjednodušte výraz 0,3a-0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

alebo kratšie: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Takže výraz 0,3a-0,4a+a zjednodušené na 0,9a

Príklad 9 Zjednodušte výraz −7,5a − 2,5b + 4a

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

alebo kratšie −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termín (-2,5b) zostal nezmenený, keďže ho nebolo čím zložiť.

Príklad 10 Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Koeficient bol pre pohodlie výpočtu.

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 11. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

V tomto príklade by bolo zmysluplnejšie najprv pridať prvý a posledný koeficient. V tomto prípade by sme dostali krátke riešenie. Vyzeralo by to takto:

Príklad 12. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

Termín zostal nezmenený, keďže k nemu nebolo čo dodať.

Toto riešenie možno napísať oveľa kratšie. Bude to vyzerať takto:

Krátke riešenie vynecháva kroky nahradenia odčítania sčítaním a podrobný záznam toho, ako boli zlomky zredukované na spoločného menovateľa.

Ďalším rozdielom je, že v detailnom riešení vyzerá odpoveď takto , ale v skratke ako . V skutočnosti je to rovnaký výraz. Rozdiel je v tom, že v prvom prípade je odčítanie nahradené sčítaním, pretože na začiatku, keď sme si riešenie zapísali v podrobnom tvare, sme odčítanie všade tam, kde to bolo možné, nahradili sčítaním a toto nahradenie zostalo pre odpoveď zachované.

identity. Identické rovnaké výrazy

Po zjednodušení akéhokoľvek výrazu sa stáva jednoduchším a kratším. Na kontrolu, či je výraz správne zjednodušený, stačí dosadiť ľubovoľné hodnoty premenných najprv do predchádzajúceho výrazu, ktorý sa mal zjednodušiť, a potom do nového, ktorý bol zjednodušený. Ak je hodnota v oboch výrazoch rovnaká, potom je výraz správne zjednodušený.

Zvážte najjednoduchší príklad. Nech sa vyžaduje zjednodušenie výrazu 2a x 7b. Na zjednodušenie tohto výrazu môžete samostatne vynásobiť čísla a písmená:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Skontrolujeme, či sme výraz zjednodušili správne. Ak to chcete urobiť, nahraďte ľubovoľné hodnoty premenných a A b najprv na prvý výraz, ktorý bolo potrebné zjednodušiť a potom na druhý, ktorý sa zjednodušil.

Nechajte hodnoty premenných a , b bude nasledovný:

a = 4, b = 5

Nahraďte ich v prvom výraze 2a x 7b

Teraz dosadíme rovnaké hodnoty premenných do výrazu, ktorý vyplynul zo zjednodušenia 2a × 7b, a to vo výraze 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vidíme to na a=4 A b = 5 hodnotu prvého výrazu 2a × 7b a hodnotu druhého výrazu 14ab rovný

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

To isté sa stane s akýmikoľvek inými hodnotami. Napríklad nech a=1 A b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Teda pre akékoľvek hodnoty premenných, výrazy 2a × 7b A 14ab sa rovnajú rovnakej hodnote. Takéto výrazy sa nazývajú identicky rovnaké.

Usudzujeme, že medzi výrazmi 2a × 7b A 14ab môžete dať znamienko rovnosti, pretože sa rovnajú rovnakej hodnote.

2a × 7b = 14ab

Rovnosť je akýkoľvek výraz, ktorý je spojený znakom rovnosti (=).

A rovnosť formy 2a × 7b = 14ab volal identity.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných.

Ďalšie príklady identít:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Áno, zákony matematiky, ktoré sme študovali, sú identity.

Skutočné číselné rovnosti sú tiež identity. Napríklad:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri riešení zložitého problému sa pre uľahčenie výpočtu nahradí zložitý výraz jednoduchším výrazom, ktorý je identicky rovnaký ako predchádzajúci. Takáto náhrada je tzv identická transformácia výrazu alebo jednoducho konverzia výrazu.

Napríklad sme zjednodušili výraz 2a x 7b a získajte jednoduchší výraz 14ab. Toto zjednodušenie možno nazvať transformáciou identity.

Často môžete nájsť úlohu, ktorá hovorí "dokázať, že rovnosť je identita" a potom je daná rovnosť, ktorá sa má dokázať. Zvyčajne sa táto rovnosť skladá z dvoch častí: ľavej a pravej časti rovnosti. Našou úlohou je vykonať identické transformácie s jednou z častí rovnosti a získať druhú časť. Alebo vykonajte identické transformácie s oboma časťami rovnosti a uistite sa, že obe časti rovnosti obsahujú rovnaké výrazy.

Dokážme napríklad, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Zjednodušte ľavú stranu tejto rovnosti. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla a písmená oddelene:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

V dôsledku malej identickej transformácie, ľavá strana rovnosť sa rovnala pravej strane rovnosti. Takže sme dokázali, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Z identických transformácií sme sa naučili sčítať, odčítať, násobiť a deliť čísla, zmenšovať zlomky, prinášať podobné pojmy a tiež zjednodušovať niektoré výrazy.

Ale to zďaleka nie sú všetky identické transformácie, ktoré existujú v matematike. Rovnakých premien je oveľa viac. V budúcnosti to znova a znova uvidíme.

Úlohy na samostatné riešenie:

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách

Je známe, že v matematike sa nezaobídete bez zjednodušujúcich výrazov. Je to potrebné pre správne a rýchle riešenie širokej škály úloh, ako aj rôzne druhy rovnice. Diskutované zjednodušenie znamená zníženie počtu opatrení potrebných na dosiahnutie cieľa. V dôsledku toho sú výpočty výrazne uľahčené a výrazne sa šetrí čas. Ako však zjednodušiť výraz? Na tento účel sa používajú zavedené matematické vzťahy, často označované ako vzorce alebo zákony, ktoré umožňujú oveľa kratšie výrazy, čím sa zjednodušia výpočty.

Nie je žiadnym tajomstvom, že dnes nie je ťažké zjednodušiť výraz online. Tu sú odkazy na niektoré z najpopulárnejších:

Nie je to však možné pri každom výraze. Preto sa budeme podrobnejšie zaoberať tradičnejšími metódami.

Vyňatie spoločného deliteľa

V prípade, že v jednom výraze sú monomiály, ktoré majú rovnaké faktory, môžete nájsť súčet koeficientov s nimi a potom ich vynásobiť spoločným faktorom. Táto operácia sa tiež nazýva "odčítanie spoločného deliteľa". Dôsledne používať túto metódu, niekedy je možné výraz výrazne zjednodušiť. Algebra je napokon vo všeobecnosti ako celok postavená na zoskupovaní a preskupovaní faktorov a deliteľov.

Najjednoduchšie vzorce na skrátené násobenie

Jedným z dôsledkov vyššie opísanej metódy sú obmedzené vzorce násobenia. Ako si s ich pomocou výrazy zjednodušiť, je oveľa jasnejšie tým, ktorí sa tieto vzorce ani nenaučili naspamäť, ale vedia, ako sú odvodené, teda odkiaľ pochádzajú, a teda aj ich matematická podstata. V zásade platí predchádzajúce tvrdenie vo všetkých moderných matematikách, od prvého ročníka až po vyššie kurzy katedier mechaniky a matematiky. Rozdiel štvorcov, druhá mocnina rozdielu a súčtu, súčet a rozdiel kociek - všetky tieto vzorce sú široko používané v základných, ako aj v vyššia matematika v tých prípadoch, keď je na riešenie úloh potrebné zjednodušiť výraz. Príklady takýchto transformácií možno ľahko nájsť v ktorejkoľvek školskej učebnici algebry alebo, ešte jednoduchšie, na rozsiahlom celosvetovom webe.

Korene stupňov

Základná matematika, ak sa na ňu pozriete ako celok, je vyzbrojená nie toľkými spôsobmi, ktorými môžete výraz zjednodušiť. Tituly a akcie s nimi sú spravidla pre väčšinu študentov relatívne jednoduché. Až teraz má veľa moderných školákov a študentov značné ťažkosti, keď je potrebné zjednodušiť výraz s koreňmi. A je to úplne neopodstatnené. Pretože matematickej povahy korene sa nelíši od povahy rovnakých stupňov, s ktorými je spravidla oveľa menej ťažkostí. To je známe Odmocninačíslo, premenná alebo výraz nie je nič iné ako rovnaké číslo, premenná alebo výraz umocnený na polovicu, odmocnina je rovnaká na jednu tretinu atď.

Zjednodušenie výrazov so zlomkami

Zvážte tiež bežný príklad, ako zjednodušiť výraz pomocou zlomkov. V prípadoch, keď sú výrazy prírodné frakcie, mali by ste vybrať spoločný faktor z menovateľa a čitateľa a potom oň zlomok znížiť. Keď majú jednočleny rovnaké násobiče umocnené na mocniny, je potrebné pri ich sčítaní sledovať rovnosť mocnín.

Zjednodušenie najjednoduchších goniometrických výrazov

Odlišuje sa rozhovor o tom, ako zjednodušiť trigonometrický výraz. Najširšia časť trigonometrie je možno prvým stupňom, v ktorom sa študenti matematiky stretnú s trochu abstraktnými pojmami, problémami a metódami ich riešenia. Tu sú zodpovedajúce vzorce, z ktorých prvý je základná trigonometrická identita. S dostatočným matematickým myslením je možné vysledovať systematické odvodenie od tejto identity všetkých hlavných trigonometrické identity a vzorce, vrátane vzorcov pre rozdiel a súčet argumentov, dvojité, trojité argumenty, redukčné vzorce a mnohé ďalšie. Samozrejme, netreba tu zabúdať na úplne prvé metódy, ako je vyňatie spoločného faktora, ktoré sa naplno využívajú spolu s novými metódami a vzorcami.

Aby som to zhrnul, tu je niekoľko všeobecných tipov pre čitateľa:

• Polynómy by mali byť faktorizované, to znamená, že by mali byť reprezentované vo forme súčinu určitého počtu faktorov - monomálov a polynómov. Ak takáto možnosť existuje, je potrebné vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.
• Je lepšie zapamätať si všetky skrátené vzorce násobenia bez výnimky. Nie je ich až tak veľa, ale sú základom pre zjednodušenie matematických výrazov. Nemali by ste zabudnúť ani na metódu zvýrazňovania dokonalých štvorcov v trojčlenkách, čo je inverzná akcia k jednému zo skrátených vzorcov násobenia.
• Všetky existujúce zlomky vo výraze by sa mali redukovať tak často, ako je to možné. Pritom nezabúdajte, že sa znížia iba multiplikátory. V prípade, že sa menovateľ a čitateľ algebraických zlomkov vynásobí rovnakým číslom, ktoré sa líši od nuly, hodnoty zlomkov sa nezmenia.
• Vo všeobecnosti môžu byť všetky výrazy transformované akciami alebo reťazou. Prvá metóda je vhodnejšia, pretože. výsledky prechodných akcií sa dajú ľahšie overiť.
• Pomerne často musíte v matematických výrazoch extrahovať korene. Malo by sa pamätať na to, že korene párnych stupňov možno extrahovať iba z nezáporného čísla alebo výrazu a korene nepárnych stupňov možno úplne extrahovať z akýchkoľvek výrazov alebo čísel.

Dúfame, že náš článok vám v budúcnosti pomôže pochopiť matematické vzorce a naučí vás ich aplikovať v praxi.

Poznámka 1

Logická funkcia môže byť napísaná pomocou logického výrazu a potom môžete prejsť na logický obvod. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V podstate logická funkcia, logický výraz a logický obvod sú tri rôzne jazyky, vypovedajúci o jednej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony algebry logiky.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré klasické algebrické operácie nemajú (použitie distributívneho zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, lepenia, de Morganových pravidiel atď.).

Zákony algebry logiky sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, potom sa logická hodnota nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3

To znamená, že $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

odpoveď:študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, XOR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa de Morganových pravidiel takým spôsobom, že iba jednotlivé premenné majú negačné operácie.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou rozšírenia zátvoriek, uzavierania spoločných faktorov a iných zákonov logiky.

Príklad 2

Tu sa postupne používa de Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.

Jedným z nich je zjednodušenie algebraických výrazov Kľúčové body učenie algebry a mimoriadne užitočná zručnosť pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje zredukovať zložitý alebo dlhý výraz na jednoduchý výraz, s ktorým sa ľahko pracuje. Základné zjednodušovacie schopnosti sú dobré aj pre tých, ktorí nie sú nadšení z matematiky. Ponechať si niekoľko jednoduché pravidlá, môžete zjednodušiť mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov bez špeciálnych matematických znalostí.

Kroky

Dôležité definície

1. Podobní členovia. Ide o členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo o voľné členy (členy, ktoré neobsahujú premennú). Inými slovami, podobné výrazy zahŕňajú jednu premennú v rovnakom rozsahu, zahŕňajú niekoľko rovnakých premenných alebo neobsahujú premennú vôbec. Na poradí výrazov vo výraze nezáleží.

   • Napríklad 3x 2 a 4x 2 sú podobné výrazy, pretože obsahujú premennú "x" druhého rádu (v druhej mocnine). Avšak x a x 2 nie sú podobné členy, pretože obsahujú premennú "x" rôznych rádov (prvý a druhý). Podobne -3yx a 5xz nie sú podobné členy, pretože obsahujú rôzne premenné.

2. Faktorizácia. Ide o nájdenie takých čísel, ktorých súčin vedie k pôvodnému číslu. Akékoľvek pôvodné číslo môže mať niekoľko faktorov. Napríklad číslo 12 možno rozložiť na nasledujúce série faktorov: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory číslo 12. Faktory sú rovnaké ako delitele , teda čísla, ktorými je pôvodné číslo deliteľné.

   • Napríklad, ak chcete vynásobiť číslo 20, napíšte ho takto: 4×5.
   • Upozorňujeme, že pri faktoringu sa berie do úvahy premenná. Napríklad 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla sa nedajú rozdeliť, pretože sú deliteľné iba samými sebou a 1.

3. Pamätajte si a dodržiavajte poradie operácií, aby ste sa vyhli chybám.

   • Zátvorky
   • stupňa
   • Násobenie
   • divízie
   • Doplnenie
   • Odčítanie

   Casting Like Members

   1. Zapíšte si výraz. Protozoa algebraické výrazy(ktoré neobsahujú zlomky, odmocniny a pod.) možno vyriešiť (zjednodušene) v niekoľkých krokoch.

      • Napríklad zjednodušiť výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo voľné členy).

      • Nájdite podobné výrazy v tomto výraze. Výrazy 2x a 4x obsahujú premennú rovnakého rádu (prvú). Taktiež 1 a -3 sú voľné členy (neobsahujú premennú). Teda v tomto výraze termíny 2x a 4x sú podobné a členovia 1 a -3 sú tiež podobné.

   3. Dajte podobných členov. To znamená ich pridanie alebo odčítanie a zjednodušenie výrazu.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepíšte výraz s prihliadnutím na dané výrazy. Získate jednoduchý výraz s menším počtom výrazov. Nový výraz sa rovná pôvodnému.

      • V našom príklade: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že pôvodný výraz je zjednodušený a ľahšie sa s ním pracuje.

   5. Pri prehadzovaní podobných výrazov dodržujte poradie, v ktorom sa vykonávajú operácie. V našom príklade bolo jednoduché priniesť podobné výrazy. V prípade zložitých výrazov, v ktorých sú členy uzavreté v zátvorkách a sú prítomné zlomky a odmocniny, však nie je také jednoduché uviesť takéto výrazy. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií.

      • Zoberme si napríklad výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tu by bolo chybou hneď definovať 3x a 2x ako podobné pojmy a citovať ich, pretože najprv treba rozbaliť zátvorky. Preto vykonávajte operácie v ich poradí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Teraz, keď výraz obsahuje iba operácie sčítania a odčítania, môžete pretypovať ako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Zátvorky násobiteľa

   1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) všetkých koeficientov výrazu. NOD je najväčší počet, ktorým sa delia všetky koeficienty výrazu.

      • Uvažujme napríklad rovnicu 9x 2 + 27x - 3. V tomto prípade gcd=3, pretože každý koeficient tohto výrazu je deliteľný 3.

   2. Vydeľte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budú obsahovať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

      • V našom príklade vydeľte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo sa, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná sa pôvodnému výrazu.

   3. Napíšte pôvodný výraz ako rovný súčinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že výsledný výraz uzavrite do zátvoriek a GCD vložte mimo zátvorky.

      • V našom príklade: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušenie zlomkových výrazov odstránením násobiteľa zo zátvoriek. Prečo len vytiahnuť násobiteľ zo zátvoriek, ako to bolo predtým? Potom sa naučíte, ako zjednodušiť zložité výrazy, ako sú napríklad zlomkové výrazy. V tomto prípade môže vyňatie faktora zo zátvoriek pomôcť zbaviť sa zlomku (z menovateľa).

      • Uvažujme napríklad zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tohto výrazu použite zátvorky.
        • Vypočítajte faktor 3 (ako ste to urobili predtým): (3 (3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimnite si, že v čitateli aj v menovateli je teraz číslo 3. Dá sa to zmenšiť a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Keďže každý zlomok, ktorý má v menovateli číslo 1, sa rovná čitateľovi, pôvodný zlomkový výraz sa zjednoduší na: 3x2 + 9x-1.

   Ďalšie techniky zjednodušenia

4. Uvažujme jednoduchý príklad: √(90). Číslo 90 možno rozložiť na nasledujúce faktory: 9 a 10 a od 9 vezmite druhú odmocninu (3) a vyberte 3 spod odmocniny.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušenie výrazov pomocou právomocí. V niektorých výrazoch sú operácie násobenia alebo delenia pojmov so stupňom. V prípade násobenia členov s jedným základom sa ich stupne sčítajú; v prípade delenia členov s rovnakým základom sa ich stupne odčítajú.

   • Zoberme si napríklad výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V prípade násobenia pridajte exponenty a v prípade delenia ich odčítajte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Nasleduje vysvetlenie pravidla pre násobenie a delenie pojmov s titulom.
     • Násobenie výrazov mocninami je ekvivalentné násobeniu výrazov samotných. Napríklad, keďže x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, potom x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), alebo x 8.
     • Podobne delenie pojmov pomocou právomocí je ekvivalentné deleniu pojmov samotných. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Keďže podobné členy, ktoré sú v čitateli aj v menovateli, možno redukovať, súčin dvoch „x“ alebo x 2 zostáva v čitateli.

• Vždy si dávajte pozor na znamienka (plus alebo mínus) pred pojmami výrazu, pretože veľa ľudí má problém vybrať si správne znamienko.
• V prípade potreby požiadajte o pomoc!
• Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, no ak sa vám to dostane do rúk, môžete túto zručnosť využívať celý život.