Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?

3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.

Čo sú to goniometrické rovnice?

Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.

Goniometrické rovnice– rovnica, v ktorej je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Zopakujme si formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:

1) Ak |a|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ak |a|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:

3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk

Pre všetky vzorce je k celé číslo

Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: T(kx+m)=a, T je nejaká goniometrická funkcia.

Príklad.

Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Riešenie:

A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:

Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n – mínus jedna na mocninu n.

Ďalšie príklady goniometrických rovníc.

Riešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riešenie:

A) Tentoraz prejdime priamo k výpočtu koreňov rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Zapíšeme ho v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene na segmente.

Riešenie:

Rozhodneme sa v všeobecný pohľad naša rovnica: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pri k Pri k=0, x= π/16 sme v danom segmente.
Pri k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 sme narazili znova.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že pre veľké k samozrejme tiež netrafíme.

Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16

Dve hlavné metódy riešenia.

Pozreli sme sa na najjednoduchšie goniometrické rovnice, no existujú aj zložitejšie. Na ich riešenie sa používa metóda zavedenia novej premennej a metóda faktorizácie. Pozrime sa na príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice použijeme metódu zavedenia novej premennej, ktorá označuje: t=tg(x).

V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-1 a t=1/3

Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostaneme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, nájdime jej korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Príklad riešenia rovnice

Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riešenie:

Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša rovnica bude mať tvar: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zavedme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2

Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.

Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogénne goniometrické rovnice.

Definícia: Rovnice tvaru a sin(x)+b cos(x) sa nazývajú homogénne goniometrické rovnice prvého stupňa.

Rovnice formulára

homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.

Ak chcete vyriešiť homogénnu goniometrickú rovnicu prvého stupňa, vydeľte ju cos(x): Nemôžete deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostaneme rozpor, takže môžeme pokojne deliť o nulu.

Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riešenie:

Zoberme si spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potom musíme vyriešiť dve rovnice:

Cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy dodržiavajte tieto pravidlá!

1. Vidieť čo koeficient sa rovná a ak a=0, potom bude mať naša rovnica tvar cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), ktorého príklad riešenia je na predchádzajúcej snímke

2. Ak a≠0, potom musíte obe strany rovnice vydeliť kosínusovou druhou mocninou, dostaneme:

Zmeníme premennú t=tg(x) a dostaneme rovnicu:

Riešte príklad č.:3

Vyriešte rovnicu:
Riešenie:

Vydeľme obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou:

Zmeníme premennú t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nájdime korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Riešte príklad č.:4

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Riešte príklad č.:5

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Zavedme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2

Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problémy na samostatné riešenie.

1) Vyriešte rovnicu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].

3) Vyriešte rovnicu: detská postieľka 2 (x) + 2 detská postieľka (x) + 1 =0

4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0

5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného riešenia každého zo spomínaných problémov je nasledovný: treba si ujasniť, aký typ problému riešite, zapamätať si potrebnú postupnosť úkonov, ktoré povedú k želanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých etáp jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia je s goniometrické rovnice. Nie je vôbec ťažké určiť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Autor: vzhľad rovnice, je niekedy ťažké určiť jej typ. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „identickým funkciám“;
3. rozvinúť ľavá strana faktoringové rovnice atď.

Uvažujme základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2. Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná náhrada

Schéma riešenia

Krok 1. Redukujte rovnicu na algebraický tvar vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3. Napíšte a vyriešte výsledok algebraická rovnica.

Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.

Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2, nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorca na zníženie stupňa:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Zredukujte túto rovnicu do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogénna rovnica prvý stupeň)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Krok 3. Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, čo znamená

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých možných goniometrických vzorcov zredukujte túto rovnicu na rovnicu riešenú metódami I, II, III, IV.

Krok 2. Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

hriech x + hriech 2x + hriech 3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V dôsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosť riešiť goniometrické rovnice je veľmi dobrá dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj zo strany učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc sú spojené mnohé problémy stereometrie, fyziky atď.. Proces riešenia takýchto úloh zahŕňa mnohé z vedomostí a zručností, ktoré sa získavajú štúdiom prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice berú dôležité miesto v procese vyučovania matematiky a rozvoja osobnosti vôbec.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Lekcia integrovanej aplikácie vedomostí.

Ciele lekcie.

1. Zvážte rôzne metódy riešenie goniometrických rovníc.
2. rozvoj tvorivosťžiaci riešením rovníc.
3. Podnecovať žiakov k sebakontrole, vzájomnej kontrole a sebaanalýze svojich vzdelávacích aktivít.

Vybavenie: plátno, projektor, referenčný materiál.

Počas vyučovania

Úvodný rozhovor.

Hlavnou metódou riešenia goniometrických rovníc je ich redukcia na najjednoduchšiu formu. V tomto prípade sa používajú obvyklé metódy, napríklad faktorizácia, ako aj techniky používané iba na riešenie goniometrických rovníc. Týchto techník je pomerne veľa, napríklad rôzne goniometrické substitúcie, uhlové transformácie, transformácie goniometrických funkcií. Nerozlišujúca aplikácia akýchkoľvek goniometrických transformácií zvyčajne rovnicu nezjednodušuje, ale katastrofálne skomplikuje. Cvičiť v všeobecný prehľad plán na riešenie rovnice, načrtnite spôsob, ako znížiť rovnicu na najjednoduchšiu, musíte najprv analyzovať uhly - argumenty goniometrických funkcií zahrnutých v rovnici.

Dnes si povieme niečo o metódach riešenia goniometrických rovníc. Správne zvolená metóda dokáže často výrazne zjednodušiť riešenie, preto treba mať vždy na pamäti všetky nami naštudované metódy, aby sme goniometrické rovnice riešili tou najvhodnejšou metódou.

II. (Pomocou projektora zopakujeme metódy riešenia rovníc.)

1. Metóda redukcie goniometrickej rovnice na algebraickú.

Všetko je potrebné vyjadriť goniometrické funkcie cez jeden, s rovnakým argumentom. Dá sa to urobiť pomocou základnej goniometrickej identity a jej dôsledkov. Získame rovnicu s jednou goniometrickou funkciou. Ak to vezmeme ako novú neznámu, dostaneme algebraickú rovnicu. Nachádzame jeho korene a vraciame sa k starému neznámu, riešime tie najjednoduchšie goniometrické rovnice.

2. Faktorizačná metóda.

Na zmenu uhlov sú často užitočné vzorce na redukciu, súčet a rozdiel argumentov, ako aj vzorce na prevod súčtu (rozdielu) goniometrických funkcií na súčin a naopak.

hriech x + hriech 3x = hriech 2x + hriech4x

3. Spôsob zavedenia dodatočného uhla.

4. Spôsob využitia univerzálnej substitúcie.

Rovnice tvaru F(sinx, cosx, tanx) = 0 sú redukované na algebraické pomocou univerzálnej trigonometrickej substitúcie

Vyjadrenie sínusu, kosínusu a tangens pomocou tangens polovičného uhla. Táto technika môže viesť k rovnici vyššieho rádu. Riešenie ktorého je ťažké.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Nie je žiadnym tajomstvom, že úspech alebo neúspech v procese riešenia takmer akéhokoľvek problému závisí predovšetkým od správneho určenia typu danej rovnice, ako aj od správnej reprodukcie postupnosti všetkých fáz jej riešenia. V prípade goniometrických rovníc však určenie skutočnosti, že rovnica je goniometrická, nie je vôbec ťažké. Ale v procese určovania postupnosti akcií, ktoré by nás mali viesť k správnej odpovedi, sa môžeme stretnúť s určitými ťažkosťami. Poďme prísť na to, ako správne riešiť goniometrické rovnice od samého začiatku.

Riešenie goniometrických rovníc

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať nasledujúce body:

• Všetky funkcie, ktoré sú zahrnuté v našej rovnici, zredukujeme na „identické uhly“;
• Danú rovnicu je potrebné priviesť na „identické funkcie“;
• Ľavú stranu danej rovnice rozložíme na faktory alebo iné potrebné zložky.

Metódy

Metóda 1. Takéto rovnice sa musia riešiť v dvoch etapách. Najprv rovnicu transformujeme, aby sme získali jej najjednoduchší (zjednodušený) tvar. Rovnica: Cosx = a, Sinx = a a podobné sa nazývajú najjednoduchšie goniometrické rovnice. Druhou fázou je riešenie najjednoduchšej získanej rovnice. Treba poznamenať, že najjednoduchšia rovnica sa dá vyriešiť algebraická metóda, ktorý je nám dobre známy z kurzu školskej algebry. Nazýva sa aj metóda substitúcie a variabilnej náhrady. Pomocou redukčných vzorcov musíte najprv transformovať, potom vykonať substitúciu a potom nájsť korene.

Ďalej musíme započítať našu rovnicu do možných faktorov; aby sme to urobili, musíme posunúť všetky členy doľava a potom ju môžeme faktorizovať. Teraz musíme dostať túto rovnicu do homogénnej rovnice, v ktorej sú všetky členy rovnaké v rovnakom stupni a kosínus a sínus majú rovnaký uhol.

Pred riešením goniometrických rovníc musíte posunúť jej členy na ľavú stranu, zobrať ich z pravej strany, a potom dať všetky spoločné menovatele zo zátvoriek. Naše zátvorky a faktory prirovnávame k nule. Naše zložené zátvorky predstavujú homogénnu rovnicu so zníženým stupňom, ktorú je potrebné deliť hriechom (cos) na najvyšší stupeň. Teraz riešime algebraickú rovnicu, ktorá bola získaná vo vzťahu k tan.

Metóda 2. Ďalšou metódou, ktorou môžete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, je prejsť na polovičný uhol. Napríklad riešime rovnicu: 3sinx-5cosx=7.

Musíme prejsť na polovičný uhol, v našom prípade je to: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).A potom zredukujeme všetky členy na jednu časť (pre pohodlie je lepšie vybrať ten správny) a pristúpime k riešeniu rovnice.

V prípade potreby môžete zadať pomocný uhol. Robí sa to v prípade, keď potrebujete nahradiť celočíselnú hodnotu sin (a) alebo cos (a) a znamienko „a“ funguje len ako pomocný uhol.

Produkt v súčte

Ako vyriešiť goniometrické rovnice pomocou súčinu súčtu? Na riešenie takýchto rovníc možno použiť aj metódu známu ako konverzia produktu na súčet. V tomto prípade je potrebné použiť vzorce zodpovedajúce rovnici.

Napríklad máme rovnicu: 2sinx * sin3x= сos4x

Tento problém musíme vyriešiť prevedením ľavej strany na súčet, konkrétne:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ak vyššie uvedené metódy nie sú vhodné a stále neviete, ako vyriešiť jednoduché goniometrické rovnice, môžete použiť inú metódu - univerzálnu substitúciu. Môže sa použiť na transformáciu výrazu a nahradenie. Napríklad: Cos(x/2)=u. Teraz môžete vyriešiť rovnicu s existujúcim parametrom u. A po získaní požadovaného výsledku nezabudnite túto hodnotu previesť na opačnú.

Mnoho „skúsených“ študentov odporúča požiadať ľudí, aby riešili rovnice online. Ako vyriešiť goniometrickú rovnicu online, pýtate sa. Pre online riešeniaúloh, môžete ísť na fóra na príslušné témy, kde vám môžu pomôcť radou alebo pri riešení problému. Ale najlepšie je skúsiť to urobiť sami.

Zručnosti a schopnosti pri riešení goniometrických rovníc sú veľmi dôležité a užitočné. Ich vývoj bude od vás vyžadovať značné úsilie. S riešením takýchto rovníc je spojených veľa problémov vo fyzike, stereometrii atď. A samotný proces riešenia takýchto problémov predpokladá prítomnosť zručností a vedomostí, ktoré možno získať pri štúdiu prvkov trigonometrie.

Učenie goniometrických vzorcov

V procese riešenia rovnice sa môžete stretnúť s potrebou použiť akýkoľvek vzorec z trigonometrie. Môžete to, samozrejme, začať hľadať vo svojich učebniciach a cheatoch. A ak máte tieto vzorce uložené v hlave, ušetríte si nielen nervy, ale aj svoju úlohu oveľa jednoduchšie, bez toho, aby ste strácali čas hľadaním potrebné informácie. Takto budete mať možnosť premyslieť si najracionálnejší spôsob riešenia problému.