Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.

Zvážte iné metódy riešenia systémov lineárne rovnice. Tieto metódy využívajú koncepciu hodnosti matice a redukujú riešenie akéhokoľvek kĺbového systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.

Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúcej sústavy lineárnych rovníc pomocou základnej sústavy riešení redukovanej homogénnej sústavy a partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy.

1. Vyrobíme maticu A a rozšírená matica systému (1)

2. Preskúmajte systém (1) kvôli kompatibilite. Aby sme to urobili, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia konzistencie je založená na Kronecker-Capelliho vete).

a. nachádzame rA.

Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.

M1=1≠0 (1 je prevzaté z ľavého horného rohu matice A).

Hraničný M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. . Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu М2′ druhá objednávka.

Máme: (pretože prvé dva stĺpce sú rovnaké)

(pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne).

To vidíme rA=2, A - základné menšie matice A.

b. nachádzame .

Dostatočne základné drobné М2′ matice A hranica so stĺpcom voľných členov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).

. Z toho vyplýva, že М3′′ zostáva základom minor matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Pretože М2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre М2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).

(3)

Keďže základná menšia je https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 A x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .

O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:

.

Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť Cramerovým pravidlom alebo akoukoľvek inou metódou). Odčítaním prvej rovnice od druhej rovnice dostaneme:

Jej rozhodnutie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 A x4 , ktoré sme uviedli, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .

Teraz vložíme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:

.

Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:

.

Získame druhé základné riešenie systému (2) : .

Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tu C1 , C2 sú ľubovoľné konštanty.

4. Nájdite jednu súkromné Riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) zvážiť ekvivalentný systém (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .

(5)

Voľné neznáme prenášame na pravú stranu x2 A x4.

(6)

Dajme zadarmo neznáme x2 A x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a zapojte ich do (6) . Zoberme si systém

Tento systém má jedinečné riešenie (pretože jeho determinant М2′0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 A x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teraz zostáva písať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné ​​rozhodnutie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica stane identitou ( C1 A C2 by mala byť zničená), potom sa riešenie nájde správne.

Nahradíme (7) napríklad len v poslednej rovnici sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde -1=-1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .

Komentujte. Overovanie je zvyčajne dosť ťažkopádne. Môžeme odporučiť nasledovné „čiastočné overenie“: v celkovom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné konkrétne riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) ktoré nie sú zahrnuté (5) ). Ak získate identity, potom skôr, riešenie systému (1) nájdené správne (ale takáto kontrola nedáva úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice systému (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce hlavné neznáme z hľadiska voľných.

Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej moll (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ktorý je ekvivalentný systému (1).

Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.

systém (9) riešime Gaussovou metódou, pričom správne časti považujeme za voľné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnosť 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnosť 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnosť 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnosť 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogénne lineárne sústavy algebraické rovnice

V rámci lekcií Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvoja technických metód bude veľa nové informácie, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne Riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nerozumejú významu prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - koniec koncov, čokoľvek urobíte s nulami, zostanú nulové:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).

Zahrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Z článku Ako zistiť hodnosť matice? pripomíname racionálnu metódu náhodného znižovania čísel matice. V opačnom prípade budete musieť poraziť veľké a často hryzavé ryby. Ukážka Ukážkaúloha na konci hodiny.

Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vzhľad všeobecného riešenia:

Príklad 3

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: napíšeme maticu sústavy a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jedinej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:

(1) Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku, vynásobený -1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie premeny.

(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol odstránený. Úprimne povedané, neupravil som rozhodnutie - stalo sa. Ak vykonávate transformácie v šablóne, potom lineárna závislosť riadky sa objavia o niečo neskôr.

(3) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 3.

(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný systém:

Algoritmus funguje presne rovnako ako pre heterogénne systémy. Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „kroky“, je voľná.

Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:

Odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Triviálne riešenie je zahrnuté vo všeobecnom vzorci a nie je potrebné ho písať samostatne.

Overenie sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí nahradiť do ľavá strana každú rovnicu systému a získajte legitímnu nulu pre všetky substitúcie.

S tým by sa dalo pokojne skončiť, ale riešenie homogénnej sústavy rovníc je často potrebné znázorniť vo vektorovej forme používaním základný rozhodovací systém. Prosím, dočasne zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som mierne otvoril v článku o maticová hodnosť. Terminológiu nie je potrebné tieňovať, všetko je celkom jednoduché.

Nechaj M 0 je množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc.

Definícia 6.12. vektory s 1 ,s 2 , …, s p, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy lineárnych rovníc, sa nazývajú základný súbor riešení(skrátene FNR) ak

1) vektory s 1 ,s 2 , …, s p lineárne nezávislé (to znamená, že žiadna z nich nemôže byť vyjadrená ako ostatné);

2) akékoľvek iné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc možno vyjadriť pomocou riešení s 1 ,s 2 , …, s p.

Všimnite si, že ak s 1 ,s 2 , …, s p je nejaký f.n.r., potom výrazom k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + kp× s p dokáže opísať celý súbor M 0 riešení k systému (4), tak sa nazýva celkový pohľad na systémové riešenie (4).

Veta 6.6. Akýkoľvek neurčitý homogénny systém lineárnych rovníc má základnú množinu riešení.

Spôsob, ako nájsť základný súbor riešení, je nasledujúci:

Nájdite všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc;

Stavať ( n – r) čiastkové riešenia tohto systému, pričom hodnoty voľných neznámych musia tvoriť maticu identity;

Napíšte všeobecnú formu riešenia, ktoré je súčasťou M 0 .

Príklad 6.5. Nájdite základnú sadu riešení nasledujúceho systému:

Riešenie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Tento systém má päť neznámych ( n= 5), z ktorých sú dve hlavné neznáme ( r= 2), tri voľné neznáme ( n – r), to znamená, že základná množina riešení obsahuje tri vektory riešenia. Poďme si ich postaviť. Máme X 1 a X 3 - hlavné neznáme, X 2 , X 4 , X 5 - voľné neznáme

Hodnoty voľných neznámych X 2 , X 4 , X 5 tvoria maticu identity E tretieho rádu. Mám tie vektory s 1 ,s 2 , s 3 formulár f.n.r. tento systém. Potom bude množina riešení tohto homogénneho systému M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Zistime teraz podmienky existencie nenulových riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc, inými slovami, podmienky existencie fundamentálnej množiny riešení.

Homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia, to znamená, že je neurčitá, ak

1) poradie hlavnej matice systému menej ako číslo neznámy;

2) v homogénnom systéme lineárnych rovníc je počet rovníc menší ako počet neznámych;

3) ak sa v homogénnom systéme lineárnych rovníc počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa rovná nule (t.j. | A| = 0).

Príklad 6.6. Pri akej hodnote parametra a homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia?

Riešenie. Zostavme si hlavnú maticu tohto systému a nájdime jej determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinant tejto matice sa rovná nule, kedy a = –4.

Odpoveď: –4.

7. Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor

Základné pojmy

V predchádzajúcich častiach sme sa už stretli s pojmom množina reálnych čísel usporiadaných v určitom poradí. Toto je riadková matica (alebo stĺpcová matica) a riešenie systému lineárnych rovníc s n neznámy. Tieto informácie sa dajú zhrnúť.

Definícia 7.1. n-rozmerový aritmetický vektor sa nazýva usporiadaná množina n reálne čísla.

Prostriedky A= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n je všeobecný pohľad na vektor. číslo n volal rozmer vektor a čísla a i zavolal ho súradnice.

Napríklad: A= (1, –8, 7, 4, ) je päťrozmerný vektor.

Všetko nachystané n-rozmerné vektory sa zvyčajne označujú ako R n.

Definícia 7.2. Dva vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) rovnakej dimenzie rovný vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné súradnice rovnaké, t.j. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definícia 7.3.súčet dva n-rozmerné vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) sa nazýva vektor a + b= (a1 + b1, a2 + b2, …, a n+b n).

Definícia 7.4. práca Reálne číslo k na vektor A= (a 1, a 2, …, a n) sa nazýva vektor k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definícia 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) sa volá nula(alebo nulový vektor).

Je ľahké skontrolovať, či akcie (operácie) sčítania vektorov a ich násobenia reálnym číslom majú nasledujúce vlastnosti: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1x a = a 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definícia 7.6. Kopa R n s operáciami sčítania vektorov a ich násobením reálnym číslom na ňom uvedeným sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor.

Maticové údaje

Nájdite: 1) aA - bB,

Riešenie: 1) Nájdeme sekvenčne, pomocou pravidiel pre násobenie matice číslom a sčítanie matíc ..

2. Nájdite A*B, ak

Riešenie: Použite pravidlo násobenia matice

odpoveď:

3. Pre danú maticu nájdite vedľajšiu M 31 a vypočítajte determinant.

Riešenie: Vedľajší M 31 je determinant matice, ktorá sa získa z A

po vymazaní riadku 3 a stĺpca 1. Nájsť

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformujme maticu A bez zmeny jej determinantu (urobme nuly v riadku 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Teraz vypočítame determinant matice A expanziou pozdĺž riadku 1

Odpoveď: M 31 = 0, detA = 0

Riešte pomocou Gaussovej metódy a Cramerovej metódy.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Riešenie: Skontrolujme to

Môžete použiť Cramerovu metódu

Systémové riešenie: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Aplikujeme Gaussovu metódu.

Rozšírenú maticu systému zredukujeme na trojuholníkový tvar.

Pre pohodlie výpočtov vymeníme riadky:

Vynásobte druhý riadok (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) a pridajte k 3.:

	1 / 2		7 / 2

Vynásobte prvý riadok (k = -2 / 2 = -1 ) a pridajte k 2.:

Teraz môže byť pôvodný systém napísaný ako:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Od 2. riadku vyjadrujeme

Od 1. riadku vyjadrujeme

Riešenie je rovnaké.

Odpoveď: (2; -5; 3)

Nájdite všeobecné riešenie systému a FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Riešenie: Použite Gaussovu metódu. Rozšírenú maticu systému zredukujeme na trojuholníkový tvar.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Vynásobte 1. riadok číslom (-11). Vynásobte 2. riadok číslom (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

	-2		-2	-3

Vynásobte 2. riadok (-5). Vynásobte 3. riadok číslom (11). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobte 3. riadok číslom (-7). Vynásobte 4. riadok číslom (5). Pridajme 4. riadok k 3.:

Druhá rovnica je lineárna kombinácia zvyšok

Nájdite hodnosť matice.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Vybraná vedľajšia skupina má najvyššie poradie (zo všetkých možných vedľajších položiek) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na recipročnej diagonále), preto zazvonil(A) = 2.

Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1, x 2, čo znamená, že neznáme x 1, x 2 sú závislé (základné) a x 3, x 4, x 5 sú voľné.

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Metódou eliminácie neznámych nájdeme spoločné rozhodnutie:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Nájdeme základný systém riešení (FSR), ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n=5, r=2, teda základný systém riešenia pozostávajú z 3 riešení, pričom tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.

Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, t.j. 3.

Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3 , x 4 , x 5 z riadkov determinantu 3. rádu odlišného od nuly a vypočítať x 1 , x 2 .

Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica identity.

Ale tu je pohodlnejšie vziať

Nájdeme pomocou všeobecného riešenia:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I rozhodnutie FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II rozhodnutie FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III rozhodnutie FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Dané: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Nájdite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Riešenie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z1z2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i2 = -1) = 12 + 26i

Odpoveď: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Aj v škole sa každý z nás učil rovnice a pre istotu aj sústavy rovníc. Málokto však vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes si podrobne rozoberieme všetky metódy riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú z viac ako dvoch rovníc.

Príbeh

Dnes je známe, že umenie riešenia rovníc a ich sústav má svoj pôvod v starovekom Babylone a Egypte. Rovnosti vo svojej obvyklej podobe sa však objavili po objavení sa znaku rovnosti „=“, ktorý v roku 1556 zaviedol anglický matematik Record. Mimochodom, toto znamenie bolo vybrané z nejakého dôvodu: znamená dva paralelné rovnaké segmenty. A pravda je taká najlepší príklad rovnosť si nemožno predstaviť.

Zakladateľ moderny písmená neznámych a znakov stupňov je francúzsky matematik Jeho zápis sa však výrazne líšil od dnešného. Napríklad druhú mocninu neznámeho čísla označil písmenom Q (lat. „quadratus“) a kocku písmenom C (lat. „cubus“). Tieto zápisy sa teraz zdajú trápne, ale vtedy to bol najzrozumiteľnejší spôsob písania systémov lineárnych algebraických rovníc.

Nevýhodou vtedajších metód riešenia však bolo, že matematici uvažovali len o kladných koreňoch. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemali žiadne praktické uplatnenie. Tak či onak, boli to talianski matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, ktorí ako prví uvažovali o negatívnych koreňoch v 16. storočí. A moderný vzhľad, hlavná metóda riešenia (cez diskriminant) vznikla až v 17. storočí vďaka práci Descarta a Newtona.

V polovici 18. storočia našiel švajčiarsky matematik Gabriel Cramer Nová cesta s cieľom uľahčiť riešenie sústav lineárnych rovníc. Táto metóda bola následne po ňom pomenovaná a používame ju dodnes. O Cramerovej metóde si však povieme o niečo neskôr, no zatiaľ budeme diskutovať o lineárnych rovniciach a metódach ich riešenia oddelene od systému.

Lineárne rovnice

Lineárne rovnice sú najjednoduchšie rovnosti s premennou (premennými). Sú klasifikované ako algebraické. zapíšte si všeobecný pohľad takže: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Ich reprezentáciu v tejto podobe budeme potrebovať pri ďalšom zostavovaní systémov a matíc.

Systémy lineárnych algebraických rovníc

Definícia tohto pojmu je nasledovná: ide o súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznáme a spoločné riešenie. Spravidla sa v škole všetko riešilo sústavami s dvomi alebo aj tromi rovnicami. Existujú však systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme najprv zistiť, ako ich zapísať, aby bolo vhodné ich neskôr vyriešiť. Po prvé, systémy lineárnych algebraických rovníc budú vyzerať lepšie, ak budú všetky premenné napísané ako x s príslušným indexom: 1,2,3 atď. Po druhé, všetky rovnice by sa mali uviesť do kanonického tvaru: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Po všetkých týchto akciách môžeme začať hovoriť o tom, ako nájsť riešenie systémov lineárnych rovníc. Matice sú na to veľmi užitočné.

Matrice

Matica je tabuľka, ktorá pozostáva z riadkov a stĺpcov a na ich priesečníkoch sú jej prvky. Môžu to byť špecifické hodnoty alebo premenné. Najčastejšie sa na označenie prvkov pod ne umiestňujú dolné indexy (napríklad 11 alebo 23). Prvý index znamená číslo riadku a druhý číslo stĺpca. Cez matice, ako aj cez akýkoľvek iný matematický prvok, môžete vykonávať rôzne operácie. Takto môžete:

2) Vynásobte maticu nejakým číslom alebo vektorom.

3) Transponovať: premeňte riadky matice na stĺpce a stĺpce na riadky.

4) Vynásobte matice, ak sa počet riadkov jednej z nich rovná počtu stĺpcov druhej.

Všetky tieto techniky si rozoberieme podrobnejšie, pretože sa nám budú hodiť v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Keďže berieme matice rovnakej veľkosti, každý prvok jednej tabuľky zodpovedá každému prvku inej. Tieto dva prvky teda sčítame (odčítame) (dôležité je, aby boli vo svojich maticiach na rovnakých miestach). Pri násobení matice číslom alebo vektorom jednoducho musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom (alebo vektorom). Transponovať - ​​veľmi zaujímavý proces. Niekedy je veľmi zaujímavé vidieť ho v ňom skutočný život, napríklad keď zmeníte orientáciu tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú maticou a keď zmeníte polohu, transponuje sa a rozšíri sa, ale výška sa zníži.

Rozoberme si taký proces ako Hoci to pre nás nebude užitočné, stále bude užitočné ho poznať. Dve matice môžete vynásobiť iba vtedy, ak sa počet stĺpcov v jednej tabuľke rovná počtu riadkov v druhej tabuľke. Teraz si vezmime prvky riadku jednej matice a prvky zodpovedajúceho stĺpca inej matice. Vzájomne ich vynásobíme a potom sčítame (to znamená, že napríklad súčin prvkov a 11 a a 12 b 12 a b 22 sa bude rovnať: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Takto sa získa jeden prvok tabuľky a ten sa ďalej vyplní podobnou metódou.

Teraz môžeme začať uvažovať, ako je vyriešený systém lineárnych rovníc.

Gaussova metóda

Táto téma začína už v škole. Dobre poznáme pojem "systém dvoch lineárnych rovníc" a vieme ich riešiť. Ale čo ak je počet rovníc viac ako dve? Toto nám pomôže

Samozrejme, túto metódu je vhodné použiť, ak zo systému vytvoríte maticu. Ale nemôžete ho premeniť a vyriešiť v jeho čistej forme.

Ako je teda systém lineárnych Gaussových rovníc vyriešený touto metódou? Mimochodom, hoci je táto metóda pomenovaná po ňom, bola objavená už v staroveku. Gauss navrhuje nasledovné: vykonávať operácie s rovnicami s cieľom prípadne zredukovať celú množinu na stupňovitú formu. To znamená, že je potrebné, aby zhora nadol (ak je správne umiestnené) od prvej rovnice po poslednú klesala jedna neznáma. Inými slovami, musíme sa uistiť, že dostaneme, povedzme, tri rovnice: v prvej - tri neznáme, v druhej - dve, v tretej - jedna. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvú neznámu, dosadíme jej hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdeme zvyšné dve premenné.

Cramerova metóda

Na zvládnutie tejto metódy je životne dôležité ovládať zručnosti sčítania, odčítania matíc a tiež musíte vedieť nájsť determinanty. Preto, ak toto všetko robíte zle alebo vôbec neviete ako, budete sa musieť učiť a cvičiť.

Čo je podstatou tejto metódy a ako ju urobiť tak, aby sa získala sústava lineárnych Cramerových rovníc? Všetko je veľmi jednoduché. Maticu musíme zostrojiť z číselných (takmer vždy) koeficientov sústavy lineárnych algebraických rovníc. Aby sme to urobili, jednoducho vezmeme čísla pred neznáme a vložíme ich do tabuľky v poradí, v akom sú zapísané v systéme. Ak je pred číslom znak „-“, zapíšeme záporný koeficient. Zostavili sme teda prvú maticu koeficientov neznámych, bez čísel za znamienkami rovnosti (prirodzene, rovnica by sa mala zredukovať na kanonickú formu, keď je len číslo vpravo a všetky neznáme s koeficienty sú vľavo). Potom musíte vytvoriť niekoľko ďalších matíc - jednu pre každú premennú. Aby sme to dosiahli, v prvej matici postupne nahradíme každý stĺpec koeficientmi stĺpcom čísel za znamienkom rovnosti. Takto získame niekoľko matíc a potom nájdeme ich determinanty.

Keď sme našli determinanty, záležitosť je malá. Máme počiatočnú maticu a existuje niekoľko výsledných matíc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Aby sme získali riešenia sústavy, vydelíme determinant výslednej tabuľky determinantom počiatočnej tabuľky. Výsledné číslo je hodnota jednej z premenných. Podobne nachádzame všetky neznáme.

Iné metódy

Existuje niekoľko ďalších metód na získanie riešenia systémov lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná Gauss-Jordanova metóda, ktorá sa používa na hľadanie riešení systému kvadratické rovnice a súvisí aj s používaním matríc. Existuje aj Jacobiho metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Najľahšie sa prispôsobuje počítaču a používa sa vo výpočtovej technike.

Ťažké prípady

Zložitosť zvyčajne vzniká, keď je počet rovníc menší ako počet premenných. Potom môžeme s istotou povedať, že buď je systém nekonzistentný (to znamená, že nemá korene), alebo počet jeho riešení má tendenciu k nekonečnu. Ak máme druhý prípad, musíme si zapísať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude obsahovať aspoň jednu premennú.

Záver

Tu sa dostávame ku koncu. Aby som to zhrnul: analyzovali sme, čo je systém a matica, naučili sme sa nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho sa zvažovali aj iné možnosti. Zistili sme, ako sa rieši sústava lineárnych rovníc: Gaussova metóda a Hovorili sme o zložitých prípadoch a iných spôsoboch hľadania riešení.

V skutočnosti je táto téma oveľa rozsiahlejšia a ak jej chcete lepšie porozumieť, odporúčame vám prečítať si odbornejšiu literatúru.