Homogénny systém je vždy konzistentný a má triviálne riešenie 
. Aby mohlo existovať netriviálne riešenie, je potrebné, aby bola matica hodnosť 
bol menšie číslo neznámy:
.
Základný systém riešení
homogénny systém 
nazvať sústavu riešení vo forme stĺpcových vektorov 
, ktoré zodpovedajú kanonickému základu, t.j. základ, v ktorom sú ľubovoľné konštanty 
sú striedavo nastavené rovné jednej, zatiaľ čo ostatné sú nastavené na nulu.
Potom má všeobecné riešenie homogénneho systému tvar:
Kde 
- ľubovoľné konštanty. Inými slovami, celkové riešenie je lineárnou kombináciou základného systému riešení.
Základné riešenia teda možno získať zo všeobecného riešenia, ak voľným neznámym postupne priradíme hodnotu jedna, pričom všetky ostatné nastavíte na nulu.
Príklad. Poďme nájsť riešenie systému
Akceptujme, potom dostaneme riešenie v tvare:
Zostavme teraz základný systém riešení:
.
Všeobecné riešenie bude napísané takto:
Riešenia sústavy homogénnych lineárne rovnice majú vlastnosti:
Inými slovami, akákoľvek lineárna kombinácia riešení do homogénnej sústavy je opäť riešením.
Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou
Riešenie sústav lineárnych rovníc zaujíma matematikov už niekoľko storočí. Prvé výsledky boli získané v 18. storočí. V roku 1750 publikoval G. Kramer (1704–1752) svoje práce o determinantoch štvorcových matíc a navrhol algoritmus na nájdenie inverznej matice. V roku 1809 Gauss načrtol novú metódu riešenia známu ako metóda eliminácie.
Gaussova metóda alebo metóda postupnej eliminácie neznámych spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru. Takéto systémy umožňujú postupne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.
Predpokladajme, že v systéme (1) 
(čo je vždy možné).
(1)
Násobenie prvej rovnice po jednej tzv vhodné čísla
a pridaním výsledku násobenia so zodpovedajúcimi rovnicami systému dostaneme ekvivalentný systém, v ktorom vo všetkých rovniciach okrem prvej nebude žiadna neznáma X 1
(2)
Vynásobme teraz druhú rovnicu sústavy (2) vhodnými číslami, za predpokladu, že 
,
a pridaním k nižším premennú odstránime 
zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Pokračovanie v tomto procese po 
krok dostaneme:
(3)
Ak aspoň jedno z čísel 
sa nerovná nule, potom je príslušná rovnosť protirečivá a systém (1) je nekonzistentný. Naopak, pre akúkoľvek spoločnú číselnú sústavu 
sa rovnajú nule. číslo 
nie je nič iné ako hodnosť matice systému (1).
Prechod zo systému (1) do (3) sa nazýva priamo vpred Gaussova metóda a hľadanie neznámych z (3) – naopak .
Komentujte : Je vhodnejšie vykonávať transformácie nie pomocou samotných rovníc, ale pomocou rozšírenej matice systému (1).
Príklad. Poďme nájsť riešenie systému
.
Napíšme rozšírenú maticu systému:
.
Pridajme prvý k riadkom 2,3,4, vynásobený (-2), (-3), (-2):
.
Vymeňme riadky 2 a 3, potom vo výslednej matici pridajte riadok 2 k riadku 4, vynásobte 
:
.
Pridajte do riadku 4 riadok 3 vynásobte 
:
.
To je zrejmé 
, preto je systém konzistentný. Z výslednej sústavy rovníc
riešenie nájdeme reverznou substitúciou:
,
,
,
.
Príklad 2 Nájdite riešenie pre systém:
.
Je zrejmé, že systém je nekonzistentný, pretože 
, A 
.
Výhody Gaussovej metódy :
Menej náročná na prácu ako Cramerova metóda.
Jednoznačne stanovuje kompatibilitu systému a umožňuje vám nájsť riešenie.
Umožňuje určiť poradie ľubovoľných matíc.
Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :
Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.
Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.
Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.
Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pri ktorých má systém netriviálne riešenia, a nájdite tieto riešenia:
Riešenie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:
Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a za predpokladu, že r=a A z=b, dostaneme x=b-a, t.j.
Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základ vyberieme vedľajšiu:
dostaneme zjednodušený systém
Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Veriaci z=4a, dostaneme
Množina všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležité lineárna vlastnosť : ak stĺpce X 1 a X 2 - riešenia homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1 + b X 2 bude tiež riešením tohto systému. Naozaj, odkedy AX 1 = 0 A AX 2 = 0 , To A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Je to kvôli tejto vlastnosti, že ak má lineárny systém viac ako jedno riešenie, potom bude týchto riešení nekonečný počet.
Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , Ek, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazývajú základný systém riešení homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:
Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, To k = n-r.
Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:
Riešenie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:
Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n-r= 5 - 2 = 3. Ako základ zvolíme moll
.
Potom ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné presunieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:
Veriaci X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme
, 
.
Veriaci a= 1, b = c= 0, dostaneme prvé základné riešenie; veriaceho b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; veriaceho c= 1, a = b= 0, získame tretie základné riešenie. V dôsledku toho normálne základný systém rozhodnutia budú mať formu
Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.
Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B, A Y- všeobecné riešenie heterogénnej sústavy, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akéhokoľvek lineárne systémy(algebraické, diferenciálne, funkčné atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp superpozície. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdy spôsobené každým zdrojom energie samostatne.
Nechaj M 0 – množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc.
Definícia 6.12. vektory s 1 ,s 2 , …, s p, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy lineárnych rovníc sa nazývajú základný súbor riešení(skrátene FNR), ak
1) vektory s 1 ,s 2 , …, s p lineárne nezávislé (t. j. žiadna z nich nemôže byť vyjadrená ako ostatné);
2) akékoľvek iné riešenie homogénneho systému lineárnych rovníc možno vyjadriť pomocou riešení s 1 ,s 2 , …, s p.
Všimnite si, že ak s 1 ,s 2 , …, s p– ľubovoľný f.n.r., potom výraz k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + k p× s p môžete popísať celú sadu M 0 riešení k systému (4), tak sa nazýva celkový pohľad na systémové riešenie (4).
Veta 6.6. Akýkoľvek neurčitý homogénny systém lineárnych rovníc má základnú množinu riešení.
Spôsob, ako nájsť základný súbor riešení, je nasledujúci:
Nájdite všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc;
Stavať ( n – r) čiastkové riešenia tohto systému, pričom hodnoty voľných neznámych musia tvoriť maticu identity;
Vypracovať všeobecná forma riešenia zahrnuté v M 0 .
Príklad 6.5. Nájdite základnú sadu riešení pre nasledujúci systém:
Riešenie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
V tomto systéme je päť neznámych ( n= 5), z ktorých sú dve hlavné neznáme ( r= 2), existujú tri voľné neznáme ( n – r), to znamená, že základná množina riešení obsahuje tri vektory riešenia. Poďme si ich postaviť. Máme X 1 a X 3 – hlavné neznáme, X 2 , X 4 , X 5 – voľné neznáme
Hodnoty voľných neznámych X 2 , X 4 , X 5 tvoria maticu identity E tretieho rádu. Mám tie vektory s 1 ,s 2 , s 3 formulár f.n.r. tohto systému. Potom bude množina riešení tohto homogénneho systému M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Zistime teraz podmienky existencie nenulových riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc, inými slovami, podmienky existencie fundamentálnej množiny riešení.
Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenia, to znamená, že nie je isté, či
1) poradie hlavnej matice systému je menšie ako počet neznámych;
2) v homogénnom systéme lineárnych rovníc je počet rovníc menší ako počet neznámych;
3) ak sa v homogénnom systéme lineárnych rovníc počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa rovná nule (t.j. | A| = 0).
Príklad 6.6. Pri akej hodnote parametra a homogénna sústava lineárnych rovníc 
má nenulové riešenia?
Riešenie. Zostavme si hlavnú maticu tohto systému a nájdime jej determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinant tejto matice sa rovná nule at a = –4.
Odpoveď: –4.
7. Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor
Základné pojmy
V predchádzajúcich častiach sme sa už stretli s pojmom množina reálnych čísel usporiadaných v určitom poradí. Toto je riadková matica (alebo stĺpcová matica) a riešenie systému lineárnych rovníc s n neznámy. Tieto informácie sa dajú zhrnúť.
Definícia 7.1. n-rozmerový aritmetický vektor volal objednaný súbor n reálne čísla.
Prostriedky A= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n– celkový pohľad na vektor. číslo n volal rozmer vektory a čísla a i sa nazývajú jeho súradnice.
Napríklad: A= (1, –8, 7, 4, ) – päťrozmerný vektor.
Všetko nachystané n-rozmerné vektory sa zvyčajne označujú ako Rn.
Definícia 7.2. Dva vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) rovnakej dimenzie rovný práve vtedy, ak sú ich zodpovedajúce súradnice rovnaké, t.j. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definícia 7.3.Suma dva n-rozmerné vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) sa nazýva vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Definícia 7.4. Práca Reálne číslo k na vektor A= (a 1, a 2, …, a n) sa nazýva vektor k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)
Definícia 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) sa volá nula(alebo nulový vektor).
Je ľahké overiť, že akcie (operácie) sčítania vektorov a ich násobenia reálnym číslom majú nasledujúce vlastnosti: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1x a = a 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definícia 7.6. Kopa Rn s operáciami sčítania vektorov a ich násobením reálnym číslom na ňom uvedeným sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor.
Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.
Uvažujme o iných metódach riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto metódy využívajú koncept poradia matice a redukujú riešenie akéhokoľvek konzistentného systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.
Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúceho systému lineárnych rovníc pomocou základného systému riešení redukovaného homogénneho systému a konkrétneho riešenia nehomogénneho systému.
1. Vytvorenie matrice A a rozšírená matica systému (1)
2. Preskúmajte systém (1) pre spolupatričnosť. Aby sme to urobili, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia kompatibility je založená na Kronecker-Capelliho vete).
a. nachádzame rA.
Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.
M1=1≠0 (berieme 1 z ľavého horného rohu matice A).
Hraničíme M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. 
. Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu M2′ druhá objednávka.
Máme: 
(keďže prvé dva stĺpce sú rovnaké)
(keďže druhý a tretí riadok sú proporcionálne).
To vidíme rA=2, a je menšia báza matice A.
b. nachádzame.
Pomerne základné drobné M2′ matice A ohraničenie stĺpcom voľných výrazov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).
. Z toho vyplýva M3′′ zostáva základnou moll matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Pretože M2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre M2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).
(3)
Od základnej malej https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 A x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .
O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:
.
Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť pomocou Cramerovho pravidla alebo akejkoľvek inej metódy). Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme:
Jej riešenie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 A x4 , ktorý sme pridali, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .
Teraz veríme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:
.
Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:
.
Získame druhé základné riešenie systému (2) : .
Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Tu C1 , C2 – ľubovoľné konštanty.
4. Nájdime jeden súkromné Riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) Uvažujme o ekvivalentnom systéme (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .
(5)
Presuňme voľné neznáme na správnu stranu x2 A x4.
(6)
Dajme zadarmo neznáme x2 A x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a vložte ich (6) . Zoberme si systém
Tento systém má jedinečné riešenie (pretože je jeho determinantom M2'0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 A x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).
5. Teraz už zostáva len zapísať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné riešenie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
To znamená: 
(7)
6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica zmení na identitu ( C1 A C2 musia byť zničené), potom sa riešenie nájde správne.
Nahradíme (7) napríklad len posledná rovnica sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Kde –1=–1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .
Komentujte. Kontrola je zvyčajne dosť ťažkopádna. Možno odporučiť nasledujúcu „čiastočnú kontrolu“: vo všeobecnom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné čiastkové riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) , ktoré neboli zahrnuté v (5) ). Ak získate identity, potom skôr, systémové riešenie (1) nájdené správne (takáto kontrola však neposkytuje úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice systému (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.
Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce základné neznáme z hľadiska voľných.
Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej menšej (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ekvivalentný systému (1).
Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.
systém (9) Riešime Gaussovou metódou, pričom pravé strany považujeme za voľné členy.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Možnosť 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Možnosť 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Možnosť 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Možnosť 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Lineárne systémy homogénne rovnice - má tvar ∑a k i x i = 0. kde m > n alebo m Homogénna sústava lineárnych rovníc je vždy konzistentná, keďže rangA = rangB. Očividne má riešenie pozostávajúce z núl, ktoré je tzv triviálne.Účel služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla netriviálne a zásadné riešenie SLAE. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word (pozri príklad riešenia).
Inštrukcie. Vyberte rozmer matrice:
Vlastnosti sústav lineárnych homogénnych rovníc
Aby systém mal netriviálne riešenia, je potrebné a postačujúce, aby hodnosť jeho matice bola menšia ako počet neznámych.Veta. Systém v prípade m=n má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant tohto systému rovný nule.
Veta. Akákoľvek lineárna kombinácia riešení systému je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základný systém riešení, ak táto množina pozostáva z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie sústavy je lineárnou kombináciou týchto riešení.
Veta. Ak je poradie r systémovej matice menšie ako počet n neznámych, potom existuje základný systém riešení pozostávajúci z (n-r) riešení.
Algoritmus riešenia sústav lineárnych homogénnych rovníc
- Nájdenie hodnosti matice.
- Vyberáme základnú moll. Rozlišujeme závislé (základné) a voľné neznáme.
- Prečiarkneme tie rovnice systému, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté v základni minor, pretože sú dôsledkom ostatných (podľa vety o základni minor).
- Členy rovníc obsahujúcich voľné neznáme prenesieme do pravá strana. Výsledkom je sústava r rovníc s r neznámymi, ekvivalentná danej, ktorej determinant je nenulový.
- Výsledný systém riešime elimináciou neznámych. Nachádzame vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom voľných.
- Ak sa poradie matice nerovná počtu premenných, nájdeme základné riešenie systému.
- V prípade rang = n máme triviálne riešenie.
Príklad. Nájdite základ sústavy vektorov (a 1, a 2,...,a m), zoraďte a vyjadrite vektory na základe bázy. Ak 1 = (0,0,1,-1) a 2 = (1,1,2,0) a 3 = (1,1,1,1) a 4 = (3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Zapíšme si hlavnú maticu systému:
Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 4. riadok k 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Vynásobte 4. riadok (-2). Vynásobme 5. riadok (3). Pridajme 5. riadok k 4.:
Pridajme 2. riadok k 1.:
Poďme nájsť hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Pomocou metódy eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , čiže sme našli všeobecné riešenie:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
