Budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénny systém lineárne rovnice .
Materiál môže podľa prvých odstavcov pôsobiť nudne a obyčajne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho rozvoja technických metód bude veľa nové informácie, preto sa snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen každý systémová rovnica je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade tzv triviálne Riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nerozumejú významu prídavného mena, znamená bespontovoe. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ... Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Všimnite si, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných členov - koniec koncov, čokoľvek urobíte s nulami, zostanú nulové:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený -2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a použitím spätného pohybu Gaussovej metódy je ľahké overiť, že riešenie je jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade 3 ks).

Zahrievame a ladíme naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Aby sme konečne opravili algoritmus, analyzujme poslednú úlohu:

Príklad 7

Vyriešte homogénnu sústavu, odpoveď napíšte vo vektorovej forme.

Riešenie: napíšeme maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) Znamienko prvého riadku bolo zmenené. Opäť upozorňujem na opakovane sa stretávajúcu techniku, ktorá vám umožňuje výrazne zjednodušiť nasledujúci úkon.

(1) Prvý riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku. Prvý riadok vynásobený 2 bol pridaný k 4. riadku.

(3) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich boli odstránené.

V dôsledku toho sa získa štandardná kroková matica a riešenie pokračuje pozdĺž vrúbkovanej dráhy:

– základné premenné;
sú voľné premenné.

Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľných premenných. Z druhej rovnice:

- nahradiť v 1. rovnici:

Takže všeobecné riešenie je:

Keďže v uvažovanom príklade sú tri voľné premenné, základný systém obsahuje tri vektory.

Nahraďte trojnásobok hodnôt do všeobecného riešenia a získajte vektor, ktorého súradnice vyhovujú každej rovnici homogénneho systému. A opäť opakujem, že je veľmi žiaduce skontrolovať každý prijatý vektor - nezaberie to toľko času, ale stopercentne ušetrí chyby.

Pre trojnásobok hodnôt nájsť vektor

A nakoniec pre trojku dostaneme tretí vektor:

Odpoveď: , Kde

Tí, ktorí sa chcú vyhnúť zlomkovým hodnotám, môžu zvážiť triplety a získajte odpoveď v ekvivalentnom tvare:

Keď už hovoríme o zlomkoch. Pozrime sa na maticu získanú v úlohe a polož si otázku - je možné zjednodušiť ďalšie riešenie? Napokon, najprv sme základnú premennú vyjadrili v zlomkoch, potom základnú premennú v zlomkoch a musím povedať, že tento proces nebol najjednoduchší a nie najpríjemnejší.

Druhé riešenie:

Cieľom je vyskúšať vyberte iné základné premenné. Pozrime sa na maticu a všimnime si dve jednotky v treťom stĺpci. Tak prečo nedostať nulu na vrchole? Urobme ešte jednu elementárnu transformáciu:

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie a nejaký základný systém riešení pre systém

Riešenie nájsť pomocou kalkulačky. Algoritmus riešenia je rovnaký ako pre lineárne systémy homogénne rovnice.
Pri práci iba s riadkami nájdeme poradie matice, základné menšie; deklarujeme závislé a voľné neznáme a nájdeme všeobecné riešenie.

Prvý a druhý riadok sú proporcionálne, jeden z nich bude vymazaný:

.
Závislé premenné - x 2, x 3, x 5, voľné - x 1, x 4. Z prvej rovnice 10x 5 = 0 nájdeme x 5 = 0, teda
; .
Všeobecné riešenie vyzerá takto:

Nájdeme základný systém riešení, ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n=5, r=3 teda fundamentálny systém riešení pozostáva z dvoch riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé. Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, teda 2. Stačí dať voľným neznámym x 1 a x 4 hodnoty z riadkov determinantu druhého rádu, ktorý sa líši od nuly, a vypočítajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednoduchší nenulový determinant je .
Takže prvé riešenie je: , druhy - .
Tieto dve rozhodnutia tvoria základný systém rozhodovania. Všimnite si, že základný systém nie je jedinečný (iné determinanty ako nula môže byť zložených koľko chcete).

Príklad 2. Nájdite všeobecné riešenie a základný systém riešení systému
Riešenie.



,
z toho vyplýva, že poradie matice je 3 a sa rovná číslu neznámy. To znamená, že systém nemá žiadne voľné neznáme, a preto má unikátne riešenie – triviálne.

Cvičenie . Preskúmajte a riešte systém lineárnych rovníc.
Príklad 4

Cvičenie . Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia pre každý systém.
Riešenie. Napíšeme hlavnú maticu systému:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Maticu privedieme do trojuholníkového tvaru. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobenie riadku matice iným číslom ako nula a pridanie do ďalšieho riadku pre sústavu znamená vynásobenie rovnice rovnakým číslom a pridanie do inej rovnice, čím sa riešenie sústavy nemení. .
Vynásobte 2. riadok (-5). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Vynásobte 2. riadok číslom (6). Vynásobte 3. riadok číslom (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:
Nájdite hodnosť matice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Vybraná vedľajšia skupina má najvyššie poradie (zo všetkých možných vedľajších položiek) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na recipročnej diagonále), preto zazvonil(A) = 2.
Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1, x 2, čo znamená, že neznáme x 1, x 2 sú závislé (základné) a x 3, x 4, x 5 sú voľné.
Maticu transformujeme, pričom vľavo ponecháme iba základnú mollovú.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metódou eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 ,x 2 cez voľné x 3 ,x 4 ,x 5 , čiže sme našli spoločné rozhodnutie:
x2 = 0,64 x 4 – 0,0455 x 3 – 1,09 x 5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Nájdeme základný systém riešení, ktorý pozostáva z (n-r) riešení.
V našom prípade n=5, r=2 teda fundamentálny systém riešení pozostáva z 3 riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.
Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, t.j. 3.
Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3 , x 4 , x 5 z riadkov determinantu 3. rádu odlišného od nuly a vypočítať x 1 , x 2 .
Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica identity.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Úloha . Nájdite základnú množinu riešení homogénneho systému lineárnych rovníc.

Maticové údaje

Nájdite: 1) aA - bB,

Riešenie: 1) Nájdeme sekvenčne, pomocou pravidiel pre násobenie matice číslom a sčítanie matíc ..

2. Nájdite A*B, ak

Riešenie: Použite pravidlo násobenia matice

odpoveď:

3. Pre danú maticu nájdite vedľajšiu M 31 a vypočítajte determinant.

Riešenie: Vedľajší M 31 je determinant matice, ktorá sa získa z A

po vymazaní riadku 3 a stĺpca 1. Nájsť

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformujme maticu A bez zmeny jej determinantu (urobme nuly v riadku 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Teraz vypočítame determinant matice A expanziou pozdĺž riadku 1

Odpoveď: M 31 = 0, detA = 0

Riešte pomocou Gaussovej metódy a Cramerovej metódy.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Riešenie: Skontrolujme to

Môžete použiť Cramerovu metódu

Systémové riešenie: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Aplikujeme Gaussovu metódu.

Rozšírenú maticu systému zredukujeme na trojuholníkový tvar.

Pre pohodlie výpočtov vymeníme riadky:

Vynásobte druhý riadok (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) a pridajte k 3.:

	1 / 2		7 / 2

Vynásobte prvý riadok (k = -2 / 2 = -1 ) a pridajte k 2.:

Teraz môže byť pôvodný systém napísaný ako:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Od 2. riadku vyjadrujeme

Od 1. riadku vyjadrujeme

Riešenie je rovnaké.

Odpoveď: (2; -5; 3)

Nájdite všeobecné riešenie systému a FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Riešenie: Použite Gaussovu metódu. Rozšírenú maticu systému zredukujeme na trojuholníkový tvar.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Vynásobte 1. riadok číslom (-11). Vynásobte 2. riadok číslom (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

	-2		-2	-3

Vynásobte 2. riadok (-5). Vynásobte 3. riadok číslom (11). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobte 3. riadok číslom (-7). Vynásobte 4. riadok číslom (5). Pridajme 4. riadok k 3.:

Druhá rovnica je lineárnou kombináciou zvyšku

Nájdite hodnosť matice.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Vybraná vedľajšia skupina má najvyššie poradie (zo všetkých možných vedľajších položiek) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na recipročnej diagonále), preto zazvonil(A) = 2.

Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1, x 2, čo znamená, že neznáme x 1, x 2 sú závislé (základné) a x 3, x 4, x 5 sú voľné.

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Metódou eliminácie neznámych nájdeme spoločné rozhodnutie:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Nájdeme základný systém riešení (FSR), ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n=5, r=2 teda fundamentálny systém riešení pozostáva z 3 riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.

Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, t.j. 3.

Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3 , x 4 , x 5 z riadkov determinantu 3. rádu odlišného od nuly a vypočítať x 1 , x 2 .

Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica identity.

Ale tu je pohodlnejšie vziať

Nájdeme pomocou všeobecného riešenia:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I rozhodnutie FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II rozhodnutie FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III rozhodnutie FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Dané: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Nájdite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Riešenie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z1z2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i2 = -1) = 12 + 26i

Odpoveď: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Lineárna rovnica sa nazýva homogénne ak je jeho priesečník nulový a inak nehomogénny. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecná forma:

Je zrejmé, že každý homogénny systém je konzistentný a má nulové (triviálne) riešenie. Preto vo vzťahu k homogénnym sústavám lineárnych rovníc treba často hľadať odpoveď na otázku existencie nenulových riešení. Odpoveď na túto otázku možno formulovať ako nasledujúca veta.

Veta . Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie menej ako číslo neznámy .

Dôkaz: Predpokladajme, že systém, ktorého poradie je rovnaké, má nenulové riešenie. Je zrejmé, že nepresahuje . V prípade, že systém má unikátne riešenie. Keďže sústava homogénnych lineárnych rovníc má vždy nulové riešenie, je to práve nulové riešenie, ktoré bude týmto jedinečným riešením. Nenulové riešenia sú teda možné len pre .

Dôsledok 1 : Homogénna sústava rovníc, v ktorej je počet rovníc menší ako počet neznámych, má vždy nenulové riešenie.

Dôkaz: Ak sústava rovníc má , tak hodnosť sústavy nepresahuje počet rovníc , t.j. . Podmienka je teda splnená, a preto má systém nenulové riešenie.

Dôsledok 2 : Homogénna sústava rovníc s neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jej determinant nulový.

Dôkaz: Predpokladajme sústavu lineárnych homogénnych rovníc, ktorých matica s determinantom má nenulové riešenie. Potom, podľa dokázanej vety, , čo znamená, že matica je degenerovaná, t.j. .

Kroneckerova-Capelliho veta: SLE je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice tohto systému. Systém ur-th sa nazýva kompatibilný, ak má aspoň jedno riešenie.

Homogénny systém lineárnych algebraických rovníc.

Sústava m lineárnych rovníc s n premennými sa nazýva sústava lineárnych homogénnych rovníc, ak sú všetky voľné členy rovné 0. Sústava lineárnych homogénnych rovníc je vždy kompatibilná, pretože ona má vždy najmenej, nulové riešenie. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak hodnost jeho matice koeficientov pri premenných je menšia ako počet premenných, t.j. pre úroveň A (n. Akákoľvek lineárna kombinácia

riešenia sústavy liniek. homogénne ur-ii je tiež riešením tohto systému.

Systém lineárne nezávislých riešení e1, e2,…,ek sa nazýva fundamentálny, ak každé riešenie systému je lineárnou kombináciou riešení. Veta: ak je poradie r matice koeficientov pri premenných sústavy lineárnych homogénnych rovníc menšie ako počet premenných n, potom každá fundamentálna sústava riešení sústavy pozostáva z n-r riešenia. Preto je všeobecné riešenie sústavy liniek. slobodný ur-th má tvar: c1e1+c2e2+…+ckek, kde e1, e2,…, ek je ľubovoľná základná sústava riešení, c1, c2,…,ck sú ľubovoľné čísla a k=n-r. Všeobecné riešenie sústavy m lineárnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu

spoločné riešenie jemu zodpovedajúci systém je homogénny. lineárnych rovníc a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy.

7. Lineárne priestory. Podpriestormi. Základ, rozmer. Lineárna škrupina. Lineárny priestor je tzv n-rozmerný, ak obsahuje sústavu lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľná sústava viacerých vektorov je lineárne závislá. Číslo sa volá dimenzia (počet dimenzií) lineárny priestor a označuje sa . Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v tomto priestore. Ak takéto číslo existuje, potom sa hovorí, že priestor je konečný-dimenzionálny. Ak pre nejaké prirodzené číslo n v priestore existuje systém pozostávajúci z lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (napíš: ). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú brať do úvahy konečne-dimenzionálne priestory.

Základom n-rozmerného lineárneho priestoru je usporiadaná množina lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).

Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základ n-rozmerného lineárneho priestoru, potom každý vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+sk
a navyše jedinečným spôsobom, t.j. koeficienty sú jednoznačne určené. Inými slovami, každý priestorový vektor môže byť základne a navyše jedinečným spôsobom rozšírený.

Skutočne, rozmer priestoru je . Systém vektorov je lineárne nezávislý (to je základ). Po pripojení ľubovoľného vektora k základu dostaneme lineárne závislý systém (keďže tento systém pozostáva z vektorov v n-rozmernom priestore). Vlastnosťou 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.

Homogénny systém lineárnych rovníc nad poľom

DEFINÍCIA. Základná sústava riešení sústavy rovníc (1) je neprázdna lineárna nezávislý systém jeho riešenia, ktorých lineárne rozpätie sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Všimnite si, že homogénny systém lineárnych rovníc, ktorý má iba nulové riešenie, nemá fundamentálny systém riešení.

NÁVRH 3.11. Akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému lineárnych rovníc pozostávajú z rovnakého počtu riešení.

Dôkaz. V skutočnosti sú akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému rovníc (1) ekvivalentné a lineárne nezávislé. Preto podľa výroku 1.12 sú ich pozície rovnaké. Preto sa počet riešení zahrnutých v jednom základnom systéme rovná počtu riešení zahrnutých v akomkoľvek inom základnom systéme riešení.

Ak je hlavná matica A homogénneho systému rovníc (1) nula, potom akýkoľvek vektor z je riešením pre systém (1); v tomto prípade je základný systém riešení akýkoľvek súbor lineárne nezávislých vektorov. Ak je poradie stĺpca matice A , potom systém (1) má iba jedno riešenie - nulu; preto v tomto prípade sústava rovníc (1) nemá fundamentálnu sústavu riešení.

TEOREMA 3.12. Ak je poradie hlavnej matice homogénneho systému lineárnych rovníc (1) menšie ako počet premenných, potom systém (1) má základný systém riešení pozostávajúci z riešení.

Dôkaz. Ak sa hodnosť hlavnej matice A homogénneho systému (1) rovná nule alebo , potom sa vyššie ukázalo, že veta je pravdivá. Preto sa ďalej predpokladá, že Za predpokladu , budeme predpokladať, že prvé stĺpce matice A sú lineárne nezávislé. V tomto prípade je matica A po riadkoch ekvivalentná redukovanej krokovej matici a systém (1) je ekvivalentný nasledujúcej redukovanej krokový systém rovnice:

Je ľahké skontrolovať, či ľubovoľný systém hodnôt voľných premenných systému (2) zodpovedá jednému a iba jednému riešeniu systému (2), a teda systému (1). Predovšetkým iba nulové riešenie sústavy (2) a sústavy (1) zodpovedá sústave nulových hodnôt.

V systéme (2) priradíme jeden z voľných variabilná hodnota, rovná 1, a zvyšok premenných - nulové hodnoty. Výsledkom je, že dostaneme riešenia sústavy rovníc (2), ktoré zapíšeme ako riadky nasledujúcej matice C:

Riadkový systém tejto matice je lineárne nezávislý. Vskutku, pre všetky skaláre z rovnosti

nasleduje rovnosť

a teda rovnosť

Dokážme, že lineárne rozpätie sústavy riadkov matice C sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Ľubovoľné riešenie systému (1). Potom vektor

je tiež riešením systému (1), a