Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) v helikoptére, streľbu na určité body z dela na veľké vzdialenosti a výber veľmi špeciálne body z týchto bodov za kontrolné výstrely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa určité pravidlá. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.
Ak funkcia r = f(X) je spojitá na intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom z nich vyberte najmenší a najväčší.
Nechajte, napríklad, musíte určiť najvyššia hodnota funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Aby ste to dosiahli, musíte to všetko nájsť kritických bodov, ležiace na [ a, b] .
Kritický bod nazývaný bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát buď sa rovná nule alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na segmente [a, b] .
Problémy s nájdením najmenšie funkčné hodnoty .
Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie
Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente [-1, 2]
.
Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie. Prirovnajme deriváciu k nule () a získajme dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode, pretože bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú: , , . Z toho vyplýva najmenšia hodnota funkcie(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), rovná sa 9, - v kritickom bode.
Ak je funkcia v určitom intervale spojitá a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusí byť najmenšia a najväčšia. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.
Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.
Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .
Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:
.
Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najvyššia hodnota rovná 1 v bode .
Naďalej spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie
Sú učitelia, ktorí pri téme hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú študentom na riešenie príklady, ktoré sú zložitejšie ako tie, o ktorých sme práve hovorili, teda také, v ktorých je funkcia polynóm alebo zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Nebudeme sa však obmedzovať na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú takí, ktorí radi nútia študentov premýšľať v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmická a goniometrická funkcia.
Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .
Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :
Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najvyššia hodnota, rovné e², v bode.
Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente .
Riešenie. Nájdite deriváciu tejto funkcie:
Derivát prirovnáme k nule:
Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:
Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najvyššia hodnota, rovný , v bode .
V aplikovaných extrémnych problémoch hľadanie najmenších (maximálnych) hodnôt funkcie spravidla vedie k nájdeniu minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale tie hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalšia ťažkosť - skladanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.
Príklad 8. Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Akú veľkosť by mala mať nádrž, aby sa na jej zakrytie spotrebovalo čo najmenej materiálu?
Riešenie. Nechaj X- základná strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:
Poďme preskúmať túto funkciu do jej extrému. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a
.
Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho, keď derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v oblasti definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže toto je jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum 
. Od tohto minimum je jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by mala byť 2 m a jej výška by mala byť .
Príklad 9. Z bodu A nachádza na železničnej trati, do bodu S, ktorý sa nachádza v určitej vzdialenosti od neho l, treba prepraviť náklad. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice mala by sa postaviť diaľnica na prepravu nákladu z A V S bola najhospodárnejšia (oddiel AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?
Vo fyzike a matematike je často potrebné nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Teraz vám povieme, ako to urobiť.
Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie: inštrukcie
- Na výpočet najmenšej hodnoty nepretržitá funkcia na danom segmente musíte postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Nájdite na danom segmente body, v ktorých sa derivácia rovná nule, ako aj všetky kritické body. Potom zistite hodnoty funkcie v týchto bodoch, to znamená vyriešte rovnicu, kde x sa rovná nule. Zistite, ktorá hodnota je najmenšia.
- Identifikujte, akú hodnotu má funkcia na koncových bodoch. Určte najmenšiu hodnotu funkcie v týchto bodoch.
- Porovnajte získané údaje s najnižšou hodnotou. Menšie z výsledných čísel bude najmenšou hodnotou funkcie.
Všimnite si, že ak funkcia na segmente nemá najmenšie body, to znamená, že v danom segmente sa zvyšuje alebo znižuje. Preto by mala byť najmenšia hodnota vypočítaná na konečných segmentoch funkcie.
Vo všetkých ostatných prípadoch sa funkčná hodnota vypočíta podľa daného algoritmu. V každom bode algoritmu budete musieť vyriešiť jednoduché lineárna rovnica s jedným koreňom. Vyriešte rovnicu pomocou obrázka, aby ste sa vyhli chybám.
Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na polootvorenom segmente? Pri polootvorenej alebo otvorenej perióde funkcie by mala byť najmenšia hodnota nájdená nasledovne. V koncových bodoch funkčnej hodnoty vypočítajte jednostrannú hranicu funkcie. Inými slovami, vyriešte rovnicu, v ktorej sú orientačné body dané hodnotami a+0 a b+0, kde a a b sú názvy kritických bodov.
Teraz viete, ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Hlavná vec je robiť všetky výpočty správne, presne a bez chýb.
V tomto článku budem hovoriť o algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, minimálny a maximálny počet bodov.
Z teórie sa nám to určite bude hodiť derivačná tabuľka A pravidlá diferenciácie. Všetko je na tomto tanieri:
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.
Je pre mňa pohodlnejšie to vysvetliť konkrétny príklad. Zvážte:
Príklad: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x^5+20x^3–65x na segmente [–4;0].
Krok 1. Berieme derivát.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Krok 2. Hľadanie extrémnych bodov.
Extrémny bod nazývame tie body, v ktorých funkcia dosiahne svoju najväčšiu alebo minimálnu hodnotu.
Ak chcete nájsť extrémne body, musíte prirovnať deriváciu funkcie k nule (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Teraz riešime túto bikvadratickú rovnicu a nájdené korene sú našimi extrémnymi bodmi.
Takéto rovnice riešim nahradením t = x^2, potom 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Zmenšíme rovnicu o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Urobíme opačnú zmenu x^2 = t:
X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylučujeme, nemôže existovať záporné čísla ak samozrejme nehovoríme o komplexných číslach)
Celkom: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to sú naše extrémne body.
Krok 3. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.
Substitučná metóda.
V podmienke sme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 nie je zahrnutý v tomto segmente. Takže o tom neuvažujeme. Ale okrem bodu x=-1 musíme zvážiť aj ľavú a pravá hranica nášho segmentu, teda body -4 a 0. Na to dosadíme všetky tieto tri body do pôvodnej funkcie. Všimnite si, že pôvodný je ten, ktorý je uvedený v podmienke (y=x^5+20x^3–65x), niektorí ľudia ho začnú dosadzovať do derivátu...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To znamená, že najväčšia hodnota funkcie je [b]44 a je dosiahnutá v bode [b]-1, ktorý sa nazýva maximálny bod funkcie na segmente [-4; 0].
Rozhodli sme sa a dostali odpoveď, sme skvelí, môžete si oddýchnuť. Ale prestaň! Nezdá sa vám, že vypočítať y(-4) je nejako príliš náročné? V podmienkach obmedzeného času je lepšie použiť inú metódu, nazývam ju takto:
Prostredníctvom intervalov stálosti znamienka.
Tieto intervaly nájdeme pre deriváciu funkcie, teda pre našu bikvadratickú rovnicu.
Ja to robím takto. Nakreslím nasmerovaný segment. Body umiestňujem: -4, -1, 0, 1. Napriek tomu, že 1 v danom segmente nie je zahrnutá, treba si to ešte všimnúť, aby sa správne určili intervaly stálosti znamienka. Zoberme si nejaké číslo mnohonásobne väčšie ako 1, povedzme 100, a v duchu ho dosaďte do našej bikvadratickej rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Aj bez toho, aby sme čokoľvek spočítali, je zrejmé, že v bode 100 funkcia má znamienko plus. To znamená, že pre intervaly od 1 do 100 má znamienko plus. Pri prechode cez 1 (ideme sprava doľava) funkcia zmení znamienko na mínus. Pri prechode cez bod 0 si funkcia zachová svoje znamienko, pretože toto je len hranica segmentu a nie koreň rovnice. Pri prechode cez -1 funkcia opäť zmení znamienko na plus.
Z teórie vieme, že kde je derivácia funkcie (a presne pre ňu sme to nakreslili) zmení znamienko z plus na mínus (v našom prípade bod -1) funkcia dosiahne jeho lokálne maximum (y(-1)=44, ako bolo vypočítané skôr) na tomto segmente (to je logicky veľmi pochopiteľné, funkcia sa prestala zvyšovať, pretože dosiahla maximum a začala klesať).
V súlade s tým, kde derivácia funkcie zmení znamienko z mínus na plus, je dosiahnutý lokálne minimum funkcie. Áno, áno, tiež sme zistili, že bod lokálneho minima je 1 a y(1) je minimálna hodnota funkcie na segmente, povedzme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že toto je len MIESTNE MINIMUM, teda minimum na určitom segmente. Keďže skutočné (globálne) minimum funkcie dosiahne niekde tam, na -∞.
Podľa môjho názoru je prvý spôsob jednoduchší teoreticky a druhý je jednoduchší z hľadiska aritmetických operácií, ale oveľa zložitejší z hľadiska teórie. Koniec koncov, niekedy existujú prípady, keď funkcia pri prechode cez koreň rovnice nezmení znamienko a vo všeobecnosti sa môžete s týmito lokálnymi, globálnymi maximami a minimami pomýliť, aj keď to budete musieť aj tak dobre ovládať, ak plánovať vstúpiť na technickú univerzitu (a prečo inak absolvovať profilovú jednotnú štátnu skúšku a vyriešiť túto úlohu). Ale prax a len prax vás naučí takéto problémy raz a navždy vyriešiť. A cvičiť môžete na našej stránke. Tu .
Ak máte nejaké otázky alebo vám niečo nie je jasné, určite sa pýtajte. Rád vám odpoviem a urobím zmeny a doplnky v článku. Pamätajte, že túto stránku tvoríme spoločne!
Pozrime sa, ako skúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pri pohľade na graf môžeme zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:
- doména funkcie
- funkčný rozsah
- funkčné nuly
- intervaly zvyšovania a znižovania
- maximálny a minimálny počet bodov
- najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente.
Ujasnime si terminológiu:
Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
Abscisová os- vodorovná os, najčastejšie nazývaná os.
os Y- vertikálna os, alebo os.
Argument- nezávislá premenná, od ktorej závisia funkčné hodnoty. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, vyberieme , dosadíme funkcie do vzorca a dostaneme .
doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia existuje.
Označené: alebo .
Na našom obrázku je doménou definície funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Toto je jediné miesto, kde táto funkcia existuje.
Rozsah funkcií je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – od najnižšej po najvyššiu hodnotu.
Funkčné nuly- body, kde je hodnota funkcie nula, tzn. Na našom obrázku sú to body a .
Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Pre nás je to interval (alebo interval) od do .
Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcie na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.
Funkcia zvyšuje
Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.
Funkcia klesá na množine, ak pre nejaké a patriace do množiny, nerovnosť implikuje nerovnosť .
Pre klesajúcu funkciu vyššiu hodnotu zodpovedá menšej hodnote. Graf ide doprava a dole.
Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .
Definujme, čo to je maximálne a minimálne body funkcie.
Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je bod, v ktorom je hodnota funkcie viac ako v susedných. Toto je miestny „kopec“ na mape.
Na našom obrázku je maximálny bod.
Minimálny bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v jeho susedoch. Toto je lokálna „diera“ na grafe.
Na našom obrázku je minimálny bod.
Pointa je hranica. Nie je vnútorným bodom domény definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť minimálny bod.
Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spolu extrémnych bodov funkcie. V našom prípade je to a .
Čo robiť, ak potrebujete nájsť napr. minimálna funkcia v segmente? V tomto prípade je odpoveď: . Pretože minimálna funkcia je jeho hodnota v minimálnom bode.
Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .
Môžeme povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .
Niekedy problémy vyžadujú hľadanie najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.
V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na segmente sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.
V každom prípade sa najväčšie a najmenšie hodnoty spojitej funkcie na segmente dosiahnu buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.
S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s riešením naformátovaným vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných. Môžete tiež nájsť intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.
Pravidlá pre zadávanie funkcií:
Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej
Rovnica f" 0 (x *) = 0 je nevyhnutná podmienka extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Identifikuje stacionárne body x c, v ktorých funkcia nerastie ani neklesá.Dostatočná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej
Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D. Ak je v bode x * splnená podmienka:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Potom bod x * je lokálny (globálny) minimálny bod funkcie.
Ak je v bode x * splnená podmienka:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Potom bod x * je lokálne (globálne) maximum.
Príklad č.1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente.
Riešenie. 
Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f’(x) = 0). Tento bod patrí do segmentu. (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pri x = 2; f max = 9 pri x = 1
Príklad č.2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y’’=2sin(x), vypočítame , čo znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; 
, čo znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.
Príklad č.3. Preskúmajte extrémnu funkciu v blízkosti bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nevyčerpajú sa možné situácie ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií v extréme.
