Geometria je veľmi mnohostranná veda. Rozvíja logiku, predstavivosť a inteligenciu. Samozrejme, pre svoju zložitosť a obrovské množstvo teorémov a axióm sa školákom nie vždy páči. Okrem toho je potrebné neustále dokazovať svoje závery pomocou všeobecne uznávaných noriem a pravidiel.

Súvisiace a vertikálne uhly je neoddeliteľnou súčasťou geometrie. Určite ich mnohí školáci jednoducho zbožňujú z toho dôvodu, že ich vlastnosti sú jasné a ľahko dokázateľné.

Tvorba rohov

Akýkoľvek uhol je vytvorený priesečníkom dvoch čiar alebo nakreslením dvoch lúčov z jedného bodu. Môžu sa nazývať jedno písmeno alebo tri, ktoré postupne označujú body konštrukcie rohu.

Uhly sa merajú v stupňoch a môžu sa (v závislosti od ich hodnoty) nazývať inak. Existuje teda pravý uhol, ostrý, tupý a nasadený. Každému z názvov zodpovedá určitá miera stupňa alebo jej interval.

Ostrý uhol je uhol, ktorého veľkosť nepresahuje 90 stupňov.

Tupý uhol je uhol väčší ako 90 stupňov.

Uhol sa nazýva pravý, keď je jeho miera 90.

V prípade, že je tvorená jednou súvislou priamkou a jej miera stupňov je 180, nazýva sa rozmiestnená.

Uhly, ktoré majú spoločnú stranu, ktorej druhá strana na seba nadväzuje, sa nazývajú susedné. Môžu byť ostré alebo tupé. Priesečník priamky tvorí susedné uhly. Ich vlastnosti sú nasledovné:

1. Súčet takýchto uhlov sa bude rovnať 180 stupňom (existuje veta, ktorá to dokazuje). Preto sa jeden z nich dá ľahko vypočítať, ak je známy druhý.
2. Z prvého bodu vyplýva, že susedné uhly nemôžu byť vytvorené dvoma tupými alebo dvoma ostrými uhlami.

Vďaka týmto vlastnostiam môžete vždy vypočítať mieru stupňa uhla s hodnotou iného uhla alebo podľa najmenej, vzťah medzi nimi.

Vertikálne uhly

Uhly, ktorých strany sú vzájomným pokračovaním, sa nazývajú vertikálne. Ako taký pár môže pôsobiť ktorákoľvek z ich odrôd. Vertikálne uhly sú vždy rovnaké.

Vznikajú pri pretínaní čiar. Spolu s nimi sú vždy prítomné susedné rohy. Uhol môže byť priľahlý pre jednu a vertikálny pre druhú.

Pri prechode ľubovoľnou čiarou sa zvažuje aj niekoľko ďalších typov uhlov. Takáto čiara sa nazýva sečna a tvorí zodpovedajúce, jednostranné a priečne ležiace uhly. Navzájom sú si rovní. Možno ich vidieť vo svetle vlastností, ktoré majú vertikálne a susedné uhly.

Téma rohov sa teda zdá byť celkom jednoduchá a zrozumiteľná. Všetky ich vlastnosti sa dajú ľahko zapamätať a dokázať. Riešenie problémov nie je ťažké, pokiaľ uhly zodpovedajú číselnej hodnote. Už ďalej, keď začne štúdium hriechu a cos, budete si musieť veľa zapamätať zložité vzorce, ich závery a dôsledky. Dovtedy si môžete užiť len jednoduché hádanky, v ktorých musíte nájsť priľahlé rohy.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú komplementárne lúče. Na obrázku 20 sú uhly AOB a BOC priľahlé.

Súčet susedných uhlov je 180°

Veta 1. Súčet susedných uhlov je 180°.

Dôkaz. Lúč OB (pozri obr. 1) prechádza medzi stranami rozvinutého uhla. Preto ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Z vety 1 vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú.

Vertikálne uhly sú rovnaké

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú komplementárnymi lúčmi strán druhého uhla. Uhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvorené v priesečníku dvoch priamok, sú vertikálne (obr. 2).

Veta 2. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Dôkaz. Zvážte vertikálne uhly AOB a COD (pozri obr. 2). Uhol BOD susedí s každým z uhlov AOB a COD. Podľa vety 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Dospeli sme teda k záveru, že ∠ AOB = ∠ COD.

Dôsledok 1. Uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.

Uvažujme dve pretínajúce sa priamky AC a BD (obr. 3). Tvoria štyri rohy. Ak je jeden z nich pravý (uhol 1 na obr. 3), potom sú aj ostatné uhly pravé (uhly 1 a 2, 1 a 4 susedia, uhly 1 a 3 sú vertikálne). V tomto prípade sa hovorí, že tieto čiary sa pretínajú v pravom uhle a nazývajú sa kolmé (alebo vzájomne kolmé). Kolmosť priamok AC a BD je označená nasledovne: AC ⊥ BD.

Kolmica úsečky je priamka kolmá na túto úsečku a prechádzajúca jej stredom.

AN - kolmá na čiaru

Uvažujme priamku a a bod A, ktorý na nej neleží (obr. 4). Spojte bod A úsečkou s bodom H priamkou a. Úsek AH sa nazýva kolmica vedená z bodu A k priamke a, ak sú priamky AN a a kolmé. Bod H sa nazýva základňa kolmice.

Kreslenie štvorca

Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 3. Z akéhokoľvek bodu, ktorý neleží na priamke, možno nakresliť kolmicu na túto priamku a navyše iba jednu.

Na kreslenie kolmice z bodu na priamku na výkrese sa používa kresliaci štvorec (obr. 5).

Komentujte. Výrok vety sa zvyčajne skladá z dvoch častí. Jedna časť hovorí o tom, čo je dané. Táto časť sa nazýva podmienka vety. Druhá časť hovorí o tom, čo treba dokázať. Táto časť sa nazýva záver vety. Napríklad podmienkou vety 2 sú vertikálne uhly; záver - tieto uhly sú rovnaké.

Akákoľvek veta môže byť podrobne vyjadrená slovami, takže jej podmienka začína slovom „ak“ a záver slovom „potom“. Napríklad veta 2 môže byť podrobne vyjadrená takto: "Ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké."

Príklad 1 Jeden zo susedných uhlov je 44°. Čomu sa rovná ten druhý?

Riešenie. Označme mieru stupňa iného uhla x, potom podľa vety 1.
44° + x = 180°.
Pri riešení výslednej rovnice zistíme, že x \u003d 136 °. Preto je druhý uhol 136°.

Príklad 2 Nech je uhol CHSK na obrázku 21 45°. Aké sú uhly AOB a AOC?

Riešenie. Uhly COD a AOB sú vertikálne, preto sú podľa vety 1.2 rovnaké, t.j. ∠ AOB = 45°. Uhol AOC susedí s uhlom COD, teda podľa vety 1.
∠ AOC = 180 ° - ∠ CHSK = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Príklad 3 Nájdite susedné uhly, ak je jeden z nich 3-krát väčší ako druhý.

Riešenie. Označte mieru menšieho uhla x. Potom miera stupňa väčšieho uhla bude Zx. Keďže súčet susedných uhlov je 180° (Veta 1), potom x + 3x = 180°, odkiaľ x = 45°.
Takže susedné uhly sú 45° a 135°.

Príklad 4 Súčet dvoch vertikálnych uhlov je 100°. Nájdite hodnotu každého zo štyroch uhlov.

Riešenie. Podmienke úlohy zodpovedá obrázok 2. Vertikálne uhly COD k AOB sú rovnaké (Veta 2), čo znamená, že aj ich miery sú rovnaké. Preto ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (ich súčet je 100° podľa podmienky). Uhol BOD (tiež uhol AOC) susedí s uhlom COD, a preto podľa vety 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia exaktná veda, ktorá celkom určiteštudoval na školách, vysokých školách, inštitútoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy stanovené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť ťažké úlohy a rodičia mu nevedia pomôcť, pretože jednoducho zabudli niektoré veci z matematiky. Napríklad, ako nájsť susedný uhol podľa hodnoty hlavného uhla atď. Úloha je jednoduchá, ale môže byť ťažké ju vyriešiť, pretože neviete, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Pozrime sa bližšie na definíciu a vlastnosti susedných rohov, ako aj na to, ako ich vypočítať z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných rohov

Dva lúče vychádzajúce z toho istého bodu tvoria obrazec nazývaný "plochý uhol". V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak jeden z lúčov pokračuje ďalej ako začiatočný bod pozdĺž priamky, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

• Priľahlé rohy majú spoločný vrchol a jednu stranu;
• Súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov alebo pi, ak je výpočet v radiánoch;
• Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
• Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť priľahlé rohy

Na nájdenie hodnoty susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty úloh

• Udáva sa hodnota hlavného uhla;
• Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
• Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Zvážme ich.

Vzhľadom na hodnotu hlavného uhla

Ak je v úlohe uvedená hodnota hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Na to stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto riešenie vychádza z vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.

Ak je hodnota hlavného uhla udaná v radiánoch a v úlohe je potrebné nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Vzhľadom na pomer hlavného a susedného uhla

V úlohe možno namiesto stupňov a radiánov veľkosti hlavného uhla uviesť pomer hlavného a susedného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

1. Podiel podielu hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
2. Podiel súvisiaci so susedným rohom je označený ako premenná "X".
3. Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, označujeme napríklad „a“.
4. Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
5. Spoločný činiteľ rovnice "a" nájdeme podľa vzorca a=180/(X+Y).
6. Potom získanú hodnotu spoločného činiteľa "a" vynásobíme zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom stačí previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch pi a vydeľte ho 180 stupňami. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Vzhľadom na hodnotu vertikálneho uhla

Ak v úlohe nie je uvedená hodnota hlavného uhla, ale je uvedená hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla. .

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, ale zároveň smeruje presne opačným smerom. Tak sa ukazuje zrkadlový odraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte hodnotu vertikály od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si tiež prečítať naše užitočné články a.

Úvod do rohov

Dajme nám dva ľubovoľné lúče. Položíme ich na seba. Potom

Definícia 1

Uhol je názov pre dva lúče, ktoré majú rovnaký pôvod.

Definícia 2

Bod, ktorý je začiatkom lúčov v rámci Definície 3, sa nazýva vrchol tohto uhla.

Uhol budeme označovať jeho tromi bodmi: vrchol, bod na jednom z lúčov a bod na druhom lúči, pričom vrchol uhla je napísaný v strede jeho označenia (obr. 1).

Teraz definujme, aká je hodnota uhla.

Na to je potrebné zvoliť nejaký "referenčný" uhol, ktorý budeme brať ako jednotku. Najčastejšie je takýmto uhlom uhol, ktorý sa rovná $\frac(1)(180)$ časti priameho uhla. Táto hodnota sa nazýva stupeň. Po výbere takéhoto uhla s ním porovnávame uhly, ktorých hodnotu treba nájsť.

Existujú 4 typy rohov:

Definícia 3

Uhol sa nazýva ostrý, ak je menší ako $90^0$.

Definícia 4

Uhol sa nazýva tupý, ak je väčší ako $90^0$.

Definícia 5

Uhol sa nazýva rovný, ak sa rovná $180^0$.

Definícia 6

Uhol sa nazýva pravý uhol, ak sa rovná $90^0$.

Okrem takýchto typov uhlov, ktoré sú opísané vyššie, je možné rozlíšiť typy uhlov vo vzájomnom vzťahu, a to vertikálne a susedné uhly.

Priľahlé rohy

Zvážte priamy uhol $COB$. Nakreslite lúč $OA$ z jeho vrcholu. Tento lúč rozdelí ten pôvodný na dva uhly. Potom

Definícia 7

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak jeden pár ich strán je rovný uhol a druhý pár sa zhoduje (obr. 2).

V tomto prípade uhly $COA$ a $BOA$ susedia.

Veta 1

Súčet susedných uhlov je $180^0$.

Dôkaz.

Zvážte obrázok 2.

Podľa definície 7 bude uhol $COB$ v ňom rovný $180^0$. Keďže druhá dvojica strán susedných uhlov sa zhoduje, potom lúč $OA$ rozdelí priamy uhol 2, preto

$∠COA+∠BOA=180^0$

Veta bola dokázaná.

Zvážte riešenie problému pomocou tohto konceptu.

Príklad 1

Nájdite uhol $C$ z obrázku nižšie

Podľa definície 7 dostaneme, že uhly $BDA$ a $ADC$ spolu susedia. Preto vetou 1 získame

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Podľa vety o súčte uhlov v trojuholníku budeme mať

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0 $

Odpoveď: 40 $ ^ 0 $.

Vertikálne uhly

Zvážte rozvinuté uhly $AOB$ a $MOC$. Porovnajme ich vrcholy medzi sebou (to znamená, že bod $O"$ umiestnime na bod $O$) tak, aby žiadna zo strán týchto uhlov nebola zhodná. Potom

Definícia 8

Dva uhly sa budú nazývať vertikálne, ak páry ich strán sú rovné uhly a ich hodnoty sú rovnaké (obr. 3).

V tomto prípade sú uhly $MOA$ a $BOC$ vertikálne a uhly $MOB$ a $AOC$ sú tiež vertikálne.

Veta 2

Vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

Dôkaz.

Zoberme si obrázok 3. Dokážme napríklad, že uhol $MOA$ sa rovná uhlu $BOC$.

Dva uhly umiestnené na rovnakej priamke a majúce jeden vrchol sa nazývajú susedné.

V opačnom prípade, ak súčet dvoch uhlov na tej istej priamke je 180 stupňov a majú jednu stranu spoločnú, ide o susedné uhly.

1 susedný uhol + 1 susedný uhol = 180 stupňov.

Susedné uhly sú dva uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany tvoria ako celok priamku.

Súčet dvoch susedných uhlov je vždy 180 stupňov. Napríklad, ak je jeden uhol 60 stupňov, potom druhý bude nevyhnutne rovný 120 stupňom (180-60).

Uhly AOC a BOC sú susedné uhly, pretože sú splnené všetky podmienky na charakterizáciu susedných uhlov:

1.OS - spoločná strana dvoch rohov

2.AO - strana uhla AOC, OB - strana uhla BOC. Tieto strany spolu tvoria priamku AOB.

3. Existujú dva uhly a ich súčet je 180 stupňov.

Keď si pamätáme kurz školskej geometrie, môžeme o susedných uhloch povedať nasledovné:

susedné uhly majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany patria k tej istej priamke, to znamená, že sú na tej istej priamke. Ak podľa obrázku, potom uhly SOV a BOA sú susedné uhly, ktorých súčet sa vždy rovná 180, pretože zdieľajú priamy uhol, a priamy uhol sa vždy rovná 180.



Susedné uhly sú v geometrii jednoduchým konceptom. Susedné uhly, uhol plus uhol sa sčítajú až o 180 stupňov.

Dva susedné rohy - to bude jeden rozložený roh.

Existuje niekoľko ďalších nehnuteľností. So susednými rohmi je ľahké riešiť problémy a dokázať vety.

Susedné uhly sa vytvárajú, keď je lúč nakreslený z ľubovoľného bodu na priamke. Potom sa tento ľubovoľný bod ukáže ako vrchol rohu, lúč - spoločná strana susedné uhly a čiara, z ktorej je lúč nakreslený - dvoma zostávajúcimi stranami susedných uhlov. Susedné uhly môžu byť buď rovnaké v prípade kolmice, alebo rôzne v prípade šikmého nosníka. Je ľahké vidieť, že súčet susedných uhlov je 180 stupňov alebo len priamka. Tento uhol možno vysvetliť iným spôsobom jednoduchý príklad- najprv ste kráčali jedným smerom po priamke, potom ste si to rozmysleli, rozhodli ste sa vrátiť a otočili ste sa o 180 stupňov a išli ste tou istou priamkou opačným smerom.



Čo je teda susedný uhol? Definícia:

Susedia dva uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou a ďalšie dve strany týchto uhlov ležia na tej istej priamke.



A malá video lekcia, kde je rozumne zobrazené o susedných uhloch, vertikálnych uhloch, plus o kolmých líniách, ktoré sú špeciálnym prípadom susedných a vertikálnych uhlov

Susedné uhly sú uhly, ktoré majú jednu stranu spoločnú a druhú tvoria jednu priamku.

Susedné uhly sú uhly, ktoré na sebe závisia. To znamená, že ak je spoločná strana mierne otočená, potom sa jeden uhol zmenší o niekoľko stupňov a automaticky sa druhý uhol zväčší o rovnaký počet stupňov. Táto vlastnosť susedných uhlov umožňuje v geometrii riešiť rôzne problémy a dokazovať rôzne vety.

Celkový súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.



Z kurzu geometrie, (pokiaľ si pamätám pre 6. ročník), sa nazývajú dva uhly susedné, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany sú dodatočné lúče, súčet susedných uhlov je 180. Každý z dvoch priľahlé uhly dopĺňajú druhý k otočenému uhlu. Príklad susedných rohov:



Susedné uhly sú dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov. Vo všeobecnosti sa to všetko dá veľmi ľahko nájsť v Google alebo v učebnici geometrie.