komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými trikmi a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Pre tých čitateľov, ktorí nízky level príprava, pozri článok Ako nájsť derivát? Príklady riešeníčo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej musíte starostlivo preštudovať stránku Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa pozície „Kde inde? A to je dosť!", pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočnosti kontrolné práce a v praxi sa s nimi často stretávame.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie zvážili sme niekoľko príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných častí matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) maľovať príklady veľmi podrobne. Preto sa precvičíme v ústnom zisťovaní derivátov. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexná funkcia :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno bola a hovor, a príjemný hlas sa spýtal: "Aká je derivácia dotyčnice dvoch x?". Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si už nespomenula). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak budú pochopené (niekto trpí), potom takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočná technika: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu zložených funkcií aplikované v opačnom poradí od vonkajšia funkcia, do toho najvnútornejšieho. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chyby...

(1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.

(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude ľahšie kontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Vyjadrenie čitateľa prinášame do spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu zlomkového stupňa a potom aj zlomku.

Preto predtým ako vziať derivát „fantastického“ logaritmu, bol predtým zjednodušený pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, nakreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov z lekcií sa bude točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť formulované takto:

Transformujme funkciu:

Nájdeme derivát:

Predbežná transformácia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa navrhuje podobný logaritmus na diferenciáciu, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.

logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Podobné príklady sme nedávno zvažovali. Čo robiť? Postupne možno aplikovať pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame ťahom:

Derivácia pravej strany je celkom jednoduchá, nebudem sa k nej vyjadrovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste to s istotou zvládnuť.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „y“?

Faktom je, že toto „jedno písmeno y“ - JE FUNKCIOU SAMA O SEBE(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus externou funkciou a "y" je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie zložených funkcií :

Na ľavej strane akoby vlnou Kúzelná palička máme derivát . Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomenieme, o akej "hernej" funkcii sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Vzorový návrh príkladu tohto typu na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá má a stupeň a základ závisia od "x". Klasický príklad, ktorý dostanete v ktorejkoľvek učebnici alebo na akejkoľvek prednáške:

Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:

Nasledujúce kroky sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorá transformácia nie je úplne jasná, pozorne si znovu prečítajte vysvetlenia príkladu #11.

V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (ďalší logaritmus je vnorený pod logaritmus). Pri derivovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ju hneď vyňať zo znamienka derivácie, aby neprekážala; a samozrejme použiť známe pravidlo :

Ako vidíte, algoritmus na aplikáciu logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky alebo triky a nájdenie derivácie exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „trápením“.

Je uvedený dôkaz vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie. Podrobne sa zvažujú prípady, keď komplexná funkcia závisí od jednej alebo dvoch premenných. Zovšeobecnenie sa robí na prípad ľubovoľného počtu premenných.

Tu uvádzame odvodenie nasledujúcich vzorcov pre deriváciu komplexnej funkcie.
Ak potom
.
Ak potom
.
Ak potom
.

Derivácia komplexnej funkcie jednej premennej

Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
kde a tam sú nejaké funkcie. Funkcia je diferencovateľná pre nejakú hodnotu premennej x . Funkcia je diferencovateľná pre hodnotu premennej .
Potom je komplexná (zložená) funkcia diferencovateľná v bode x a jej derivácia je určená vzorcom:
(1) .

Vzorec (1) možno napísať aj takto:
;
.

Dôkaz

Uveďme si nasledujúci zápis.
;
.
Tu je funkcia premenných a , je funkcia premenných a . Ale vynecháme argumenty týchto funkcií, aby sme nezaťažili výpočty.

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bodoch x a , potom v týchto bodoch existujú derivácie týchto funkcií, ktoré sú nasledujúcimi limitmi:
;
.

Zvážte nasledujúcu funkciu:
.
Pre pevnú hodnotu premennej u je funkciou . To je zrejmé
.
Potom
.

Pretože funkcia je diferencovateľná funkcia v bode , potom je v tomto bode spojitá. Preto
.
Potom
.

Teraz nájdeme derivát.

.

Vzorec bol osvedčený.

Dôsledok

Ak funkcia premennej x môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia komplexnej funkcie
,
potom je jeho derivácia určená vzorcom
.
Tu a tam sú niektoré diferencovateľné funkcie.

Aby sme dokázali tento vzorec, sekvenčne vypočítame deriváciu podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie.
Zvážte komplexnú funkciu
.
Jeho derivát
.
Zvážte pôvodnú funkciu
.
Jeho derivát
.

Derivácia zloženej funkcie v dvoch premenných

Teraz nech komplexná funkcia závisí od niekoľkých premenných. Najprv zvážte prípad komplexnej funkcie dvoch premenných.

Nech je funkcia závislá od premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia dvoch premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je funkciou dvoch premenných, diferencovateľných v bode , . Potom je komplexná funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a má deriváciu, ktorá je určená vzorcom:
(2) .

Dôkaz

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bode , sú definované v nejakom susedstve tohto bodu, sú v bode spojité a v bode existujú ich derivácie, čo sú nasledujúce limity:
;
.
Tu
;
.
Vzhľadom na kontinuitu týchto funkcií v určitom bode máme:
;
.

Keďže funkcia je diferencovateľná v bode , je definovaná v nejakom susedstve tohto bodu, v tomto bode je spojitá a jej prírastok možno zapísať v nasledujúcom tvare:
(3) .
Tu

- prírastok funkcie, keď sa jej argumenty zvýšia o hodnoty a ;
;

- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premenné a .
Pre pevné hodnoty a existujú funkcie premenných a . Majú tendenciu k nule pri a:
;
.
Odvtedy a potom
;
.

Prírastok funkcie:

. :
.
Náhradník (3):



.

Vzorec bol osvedčený.

Derivácia komplexnej funkcie viacerých premenných

Vyššie uvedená derivácia sa dá ľahko zovšeobecniť na prípad, keď počet premenných komplexnej funkcie je viac ako dve.

Napríklad, ak f je funkcia troch premenných, To
,
Kde
, a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je diferencovateľná funkcia v troch premenných v bode , , .
Potom z definície diferencovateľnosti funkcie máme:
(4)
.
Keďže z dôvodu kontinuity,
; ; ,
To
;
;
.

Delením (4) a prekročením limitu dostaneme:
.

A nakoniec zvážte najvšeobecnejší prípad.
Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia n premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
- diferencovateľná funkcia n premenných v bode
, , ... , .
Potom
.

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak budú pochopené (niekto trpí), potom takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočný trik: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu "x" a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do "strašného výrazu".

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu zložených funkcií sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chýb:

1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude ľahšie kontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď?

Prinášame vyjadrenie čitateľa k spoločnému menovateľovi a zbavíme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Funkcie komplexný typ nie vždy zodpovedajú definícii komplexnej funkcie. Ak existuje funkcia tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nemožno ju považovať za komplexnú, na rozdiel od y \u003d sin 2 x.

Tento článok ukáže koncept komplexnej funkcie a jej identifikáciu. Pracujme so vzorcami na nájdenie derivácie s príkladmi riešení v závere. Použitie tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie výrazne skracujú čas na nájdenie derivátu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné definície

Definícia 1

Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argument je tiež funkciou.

Označuje sa takto: f (g (x)) . Máme, že funkcia g (x) sa považuje za argument f (g (x)) .

Definícia 2

Ak existuje funkcia f a je funkciou kotangens, potom g (x) = ln x je funkcia prirodzený logaritmus. Dostaneme, že komplexnú funkciu f (g (x)) zapíšeme ako arctg (lnx). Alebo funkcia f, čo je funkcia umocnená na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 sa považuje za celú racionálnu funkciu, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Je zrejmé, že g(x) môže byť zložité. Z príkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je zrejmé, že hodnota g má odmocninu kocky so zlomkom. Tento výraz možno označiť ako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odkiaľ máme, že f je sínusová funkcia a f 1 je funkcia nachádzajúca sa pod odmocnina, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - zlomková racionálna funkcia.

Definícia 3

Stupeň hniezdenia je definovaný ľubovoľným prirodzené číslo a zapíše sa ako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

Definícia 4

Koncept zloženia funkcie sa týka počtu vnorených funkcií podľa zadania problému. Pre riešenie vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie tvaru y = (2 x + 1) 2 .

Riešenie

Predpokladom je jasné, že f je kvadratická funkcia a g(x) = 2 x + 1 sa považuje za lineárnu funkciu.

Aplikujeme derivačný vzorec pre komplexnú funkciu a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je potrebné nájsť deriváciu so zjednodušeným počiatočným tvarom funkcie. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Preto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky sa zhodovali.

Pri riešení problémov tohto druhu je dôležité pochopiť, kde sa bude nachádzať funkcia tvaru f a g (x).

Príklad 2

Mali by ste nájsť deriváty komplexných funkcií vo forme y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

Riešenie

Prvý záznam funkcie hovorí, že f je funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus. Potom to dostaneme

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sínusová funkcia a g (x) = x 2 označuje výkonová funkcia. Z toho vyplýva, že súčin komplexnej funkcie možno zapísať ako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pre deriváciu y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) sa zapíše ako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) ))))). . . f n "(x)

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Riešenie

Tento príklad ukazuje zložitosť zápisu a určovania umiestnenia funkcií. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označuje, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkcia sínus, funkcia zvýšenia na 3 stupne, funkcia s logaritmom a základom e, funkcia arkustangens a lineárna.

Zo vzorca na definíciu komplexnej funkcie to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získanie toho, čo nájsť

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ako derivácia sínusu v tabuľke derivácií, potom f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ako derivácia mocninovej funkcie, potom f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ako logaritmická derivácia, potom f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ako derivácia arkustangens, potom f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri hľadaní derivácie f 4 (x) \u003d 2 x odoberte 2 zo znamienka derivácie pomocou vzorca pre deriváciu mocninovej funkcie s exponentom, ktorý sa rovná 1, potom f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Skombinujeme medzivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takýchto funkcií pripomína hniezdiace bábiky. Diferenciačné pravidlá nemožno vždy použiť explicitne pomocou derivačnej tabuľky. Často je potrebné použiť vzorec na nájdenie derivátov komplexných funkcií.

Medzi komplexným pohľadom a komplexnou funkciou sú určité rozdiely. S jasnou schopnosťou rozlíšiť to bude hľadanie derivátov obzvlášť jednoduché.

Príklad 4

Je potrebné zvážiť uvedenie takéhoto príkladu. Ak existuje funkcia tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1, potom ju možno považovať za komplexnú funkciu tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zrejmé, že je potrebné použiť vzorec pre komplexný derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcia tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 sa nepovažuje za komplexnú, pretože má súčet t g x 2, 3 t g x a 1 . Avšak t g x 2 sa považuje za komplexnú funkciu, potom dostaneme mocninnú funkciu tvaru g (x) \u003d x 2 a f, ktorá je funkciou dotyčnice. K tomu je potrebné rozlišovať podľa sumy. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 čo 2 x

Prejdime k hľadaniu derivácie komplexnej funkcie (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexné funkcie môžu byť zahrnuté do komplexných funkcií a samotné komplexné funkcie môžu byť zloženými funkciami komplexnej formy.

Príklad 5

Uvažujme napríklad komplexnú funkciu v tvare y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Táto funkcia môže byť reprezentovaná ako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkciou logaritmu so základom 3 a g (x) sa považuje za súčet dvoch funkcií tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zrejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Zvážte funkciu h(x) . Toto je pomer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je súčet dvoch funkcií n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexná funkcia s číselným koeficientom 3 a p 1 je funkcia kocky, p 2 kosínusová funkcia, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineárna funkcia.

Zistili sme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je súčet dvoch funkcií q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexná funkcia, q 1 je funkcia s exponentom, q 2 (x) = x 2 je mocninová funkcia.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prechode na výraz v tvare k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkcia je reprezentovaná ako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s racionálnym celým číslom t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkcia druhej mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmická so základom e.

Z toho vyplýva, že výraz bude mať tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Potom to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podľa štruktúr funkcie sa ukázalo, ako a aké vzorce treba použiť na zjednodušenie výrazu pri jeho derivácii. Aby ste sa zoznámili s takýmito problémami a porozumeli ich riešeniu, je potrebné odkázať na bod diferenciácie funkcie, to znamená nájsť jej deriváciu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter