Hyperbola je miesto bodov, ktorých rozdiel vo vzdialenosti k dvom daným bodom, nazývaným ohniská, je konštantná hodnota (táto konštanta musí byť kladná a menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).

Označme túto konštantu 2a, vzdialenosť medzi ohniskami a zvoľme súradnicové osi rovnako ako v § 3. Nech je ľubovoľný bod hyperboly.

Podľa definície hyperboly

Na pravej strane rovnosti musíte vybrať znamienko plus if a znamienko mínus, ak

Keďže posledná rovnosť môže byť zapísaná ako:

Toto je rovnica hyperboly vo zvolenom súradnicovom systéme.

Oslobodením sa od radikálov v tejto rovnici (ako v § 3) môžeme rovnicu zredukovať na najjednoduchšiu formu.

Prenesenie prvého radikálu do pravá strana rovnosť a kvadratúra oboch strán, po zrejmých transformáciách dostaneme:

Opäť porovnaním oboch strán rovnosti, uvedením podobných podmienok a vydelením voľným termínom dostaneme:

Od , hodnota je kladná. Označenie cez , t.j. za predpokladu

získame kanonickú rovnicu hyperboly.

Poďme preskúmať formu hyperboly.

1) Symetrie hyperboly. Keďže rovnica (3) obsahuje iba druhé mocniny aktuálnych súradníc, súradnicové osi sú osami symetrie hyperboly (pozri podobné tvrdenie pre elipsu). Os symetrie hyperboly, na ktorej sa ohniská nachádzajú, sa nazýva ohnisková os. Priesečník osí symetrie – stred symetrie – sa nazýva stred hyperboly. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) sa ohnisková os zhoduje s osou Ox a stred je počiatok.

2) Priesečníky s osami symetrie. Nájdite priesečníky hyperboly s osami symetrie – vrcholy hyperboly. Za predpokladu, že v rovnici nájdeme úsečky priesečníkov hyperboly s osou

Body sú teda vrcholmi hyperboly (obr. 51); vzdialenosť medzi nimi je 2a. Aby sme našli priesečníky s osou Oy, dosadíme rovnicu. Na určenie súradníc týchto bodov získame rovnicu

to znamená, že pre y sme získali imaginárne hodnoty; to znamená, že os Oy nepretína hyperboly.

V súlade s tým sa os symetrie, ktorá pretína hyperbolu, nazýva reálna os symetrie (ohnisková os), os symetrie, ktorá hyperbolu nepretína, sa nazýva imaginárna os symetrie. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) je skutočnou osou symetrie os, imaginárnou osou symetrie je os Úsečka spájajúca vrcholy hyperboly, ako aj jej dĺžka 2a sa nazýva reálna os hyperbola. Ak na imaginárnu os symetrie hyperboly vynesieme úsečky OB a dĺžku b po oboch stranách jej stredu O, potom úsečku a jej dĺžku nazývame imaginárna os hyperboly. Veličiny a a b sa nazývajú skutočné a imaginárne poloosi hyperboly.

3) Forma hyperboly. Pri štúdiu tvaru hyperboly stačí zvážiť kladné hodnoty x a y, pretože krivka je symetricky umiestnená vzhľadom na súradnicové osi.

Keďže z rovnice (3) vyplýva, že 1, potom sa môže meniť z a na Keď sa zvyšuje z a na potom Y rastie aj z 0 na Krivka má tvar znázornený na obr. 51. Nachádza sa mimo pásu ohraničeného priamkami a pozostáva z dvoch samostatných vetiev. Pre ľubovoľný bod M jednej z týchto vetiev (pravá vetva), pre ľubovoľný bod M inej vetvy (ľavá vetva).

4) Asymptoty hyperboly. Aby ste si jasnejšie predstavili typ hyperboly, zvážte dve priame čiary, ktoré s ňou úzko súvisia - takzvané asymptoty.

Za predpokladu, že x a y sú kladné, riešime rovnicu (3) hyperboly vzhľadom na súradnicu y:

Porovnajme rovnicu s rovnicou priamky, pričom nazvime zodpovedajúce dva body, ktoré sa nachádzajú na tejto priamke a na hyperbole a majú rovnakú úsečku (obr. 51). Je zrejmé, že rozdiel Y - y súradníc zodpovedajúcich bodov vyjadruje vzdialenosť medzi nimi, t.j.

Ukážme, že pri neobmedzenom náraste sa vzdialenosť MN, zabíjanie, blíži k nule. Naozaj,

Po zjednodušení dostaneme:

Z posledného vzorca vidíme, že s neobmedzeným nárastom úsečky sa vzdialenosť MN zmenšuje a má tendenciu k nule. Z toho vyplýva, že keď sa bod M, pohybujúci sa pozdĺž hyperboly v prvom kvadrante, pohybuje do nekonečna, potom sa jeho vzdialenosť od priamky zmenšuje a má tendenciu k nule. Rovnaká okolnosť nastane, keď sa bod M pohybuje pozdĺž hyperboly v treťom kvadrante (v dôsledku symetrie vzhľadom na počiatok O).

Nakoniec, vďaka symetrii hyperboly vzhľadom na os Oy, získame druhú priamku symetricky umiestnenú s priamkou, ku ktorej sa bude bod M tiež neobmedzene približovať, keď sa pohybuje pozdĺž hyperboly a vzďaľuje sa do nekonečna (v druhý a štvrtý kvadrant).

Tieto dve priamky sa nazývajú asymptoty hyperboly a, ako sme videli, majú rovnice:

Je zrejmé, že asymptoty hyperboly sú umiestnené pozdĺž uhlopriečok obdĺžnika, ktorého jedna strana je rovnobežná s osou Ox a rovná sa 2a, druhá je rovnobežná s osou Oy a rovná sa a stred leží v počiatok súradníc (pozri obr. 51).

Pri kreslení hyperboly pomocou jej rovnice sa odporúča najprv zostrojiť jej asymptoty.

Rovnostranná hyperbola. V prípade hyperboly sa nazýva rovnostranná; jeho rovnica je získaná z (3) a má tvar:

Je zrejmé, že uhlové koeficienty asymptot pre rovnostrannú hyperbolu budú V dôsledku toho sú asymptoty rovnostrannej hyperboly navzájom kolmé a pretínajú uhly medzi jej osami symetrie.

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Okrem jednoduchosti aj toto univerzálna metóda pomôže zlepšiť viditeľnosť webových stránok vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určité pravidlo, ktorý sa postupne aplikuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Definícia. Asymptota grafu funkcie je priamka, ktorá má tú vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na grafe funkcie k tejto priamke má tendenciu k nule, keď sa bod grafu pohybuje od začiatku neurčito..

Podľa metód ich nájdenia sa rozlišujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne, šikmé.

Je zrejmé, že vodorovné sú špeciálnymi prípadmi naklonených (v ).

Hľadanie asymptot grafu funkcie je založené na nasledujúcich tvrdeniach.

Veta 1. Nech je funkcia definovaná aspoň v nejakom polookolí bodu a aspoň jedna jej jednostranná limita v tomto bode je nekonečná, t.j. vyrovnaný. Potom je priamka vertikálnou asymptotou grafu funkcie.

Vertikálne asymptoty grafu funkcie by sa teda mali hľadať v bodoch diskontinuity funkcie alebo na koncoch jej definičného oboru (ak sú to konečné čísla).

Veta 2. Nech je funkcia definovaná pre hodnoty argumentov dostatočne veľké v absolútnej hodnote a existuje konečný limit funkcie . Potom je priamka horizontálnou asymptotou grafu funkcie.

Môže sa to stať , A , a sú konečné čísla, potom má graf dve rôzne horizontálne asymptoty: ľavotočivé a pravotočivé. Ak existuje alebo existuje iba jedna z konečných limitov, potom má graf buď jednu ľavotočivú alebo jednu pravotočivú horizontálnu asymptotu.

Veta 3. Nech je funkcia definovaná pre hodnoty argumentu, ktoré sú dostatočne veľké v absolútnej hodnote a existujú konečné limity A . Potom je priamka šikmou asymptotou grafu funkcie.

Všimnite si, že ak je aspoň jedna z týchto limitov nekonečná, potom neexistuje žiadna šikmá asymptota.

Šikmá asymptota, podobne ako horizontálna, môže byť jednostranná.

Príklad. Nájdite všetky asymptoty grafu funkcie.

Riešenie .

Funkcia je definovaná na . Nájdime jej jednostranné limity v bodoch.

Pretože A (ďalšie dve jednostranné limity sa už nemusia nájsť), potom sú priamky zvislé asymptoty grafu funkcie.

Poďme počítať

(aplikujte L'Hopitalovo pravidlo) = .

To znamená, že priamka je horizontálna asymptota.

Keďže horizontálna asymptota existuje, už nehľadáme sklonené (neexistujú).

Odpoveď: Graf má dve vertikálne asymptoty a jednu horizontálnu.

Výskum všeobecných funkcií r = f(X).

Rozsah funkcie. Nájdite jeho doménu definície D(f). Ak to nie je príliš ťažké, je užitočné nájsť aj rozsah E(f). (V mnohých prípadoch je však otázka nájdenia E(f) sa odloží, kým sa nenájdu extrémy funkcie.)

Špeciálne vlastnosti funkcie. Zistite všeobecné vlastnosti funkcie: párnosť, nepárnosť, periodicita atď. Nie každá funkcia má vlastnosti ako párne alebo nepárne. Funkcia zjavne nie je ani párna, ani nepárna, ak je jej doména definície asymetrická vzhľadom na bod 0 na osi Vôl. Rovnakým spôsobom pre každú periodickú funkciu doména definície pozostáva buď z celej reálnej osi, alebo zo spojenia periodicky sa opakujúcich systémov intervalov.

Vertikálne asymptoty. Zistite, ako sa funkcia správa, keď sa argument priblíži k hraničným bodom definičného oboru D(f), ak takéto hraničné body existujú. V tomto prípade sa môžu objaviť vertikálne asymptoty. Ak má funkcia body diskontinuity, v ktorých nie je definovaná, potom by sa tieto body mali tiež skontrolovať na prítomnosť vertikálnych asymptot funkcie.

Šikmé a horizontálne asymptoty. Ak doména definície D(f) obsahuje lúče v tvare (a;+) alebo (−;b), potom môžete skúsiť nájsť šikmé asymptoty (alebo vodorovné asymptoty) pre x+ alebo x−, t.j. nájsť limxf(x). Šikmé asymptoty: r = kx + b, kde k=limx+xf(x) a b=limx+(f(x)−x). Asymptoty sú horizontálne: r = b, kde limxf(x)=b.

Nájdenie priesečníkov grafu s osami. Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene). Rovnicu možno často vyriešiť len približne, ale oddelenie koreňov pomáha lepšie pochopiť štruktúru grafu. Ďalej musíte určiť znamienko funkcie na intervaloch medzi koreňmi a bodmi prerušenia.

Nájdenie priesečníkov grafu s asymptotou. V niektorých prípadoch môže byť potrebné nájsť charakteristické body grafu, ktoré neboli uvedené v predchádzajúcich odsekoch. Napríklad, ak má funkcia šikmú asymptotu, môžete sa pokúsiť zistiť, či má graf priesečníky s touto asymptotou.

Hľadanie intervalov konvexnosti a konkávnosti. To sa robí skúmaním znamienka druhej derivácie f(x). Nájdite inflexné body na križovatkách konvexných a konkávnych intervalov. Vypočítajte hodnotu funkcie v inflexných bodoch. Ak má funkcia iné body spojitosti (okrem inflexné body), pri ktorej sa druhá derivácia rovná 0 alebo neexistuje, potom je v týchto bodoch užitočné vypočítať aj hodnotu funkcie. Po nájdení f(x) vyriešime nerovnosť f(x)0. Na každom z intervalov riešenia bude funkcia konvexná smerom nadol. Riešením inverznej nerovnosti f(x)0 nájdeme intervaly, na ktorých je funkcia konvexná smerom nahor (teda konkávna). Inflexné body definujeme ako tie body, v ktorých funkcia mení smer konvexnosti (a je spojitá).

Asymptoty grafu funkcie

Duch asymptoty sa po stránke potuloval už dlho, aby sa nakoniec zhmotnil v samostatnom článku a priniesol obzvlášť potešenie čitateľom, ktorí sú zmätení úplným štúdiom funkcie. Hľadanie asymptot grafu je jednou z mála častí zadanej úlohy, ktorá je v školskom kurze pokrytá len prehľadne, keďže udalosti sa točia okolo výpočtu limitov funkcií a stále sa týkajú vyššia matematika. Pre návštevníkov, ktorí málo rozumejú matematickej analýze, myslím, že nápoveda je jasná ;-) ...prestaň, prestaň, kam ideš? Limity sú jednoduché!

Príklady asymptot sa objavili hneď v prvej lekcii o grafoch elementárnych funkcií a teraz sa tejto téme podrobne venuje.

Čo je teda asymptota?

Predstavte si variabilný bod, ktorý „cestuje“ po grafe funkcie. Asymptota je priamka ku ktorej na neurčito zavrieť graf funkcie sa približuje, keď sa jej premenný bod pohybuje do nekonečna.

Poznámka : Definícia má zmysel, ak potrebujete formuláciu v matematickej notácii, pozrite si učebnicu.

V rovine sú asymptoty klasifikované podľa ich prirodzeného umiestnenia:

1) Vertikálne asymptoty, ktoré sú dané rovnicou v tvare , kde „alfa“ je reálne číslo. Populárny predstaviteľ definuje samotnú ordinátovú os,
s miernym pocitom nevoľnosti si spomíname na hyperbolu.

2) Šikmé asymptoty sa tradične zapisujú rovnicou priamky s sklon. Niekedy samostatná skupina prideliť špeciálny prípad– horizontálne asymptoty. Napríklad rovnaká hyperbola s asymptotou.

Poďme rýchlo, zasiahneme tému krátkym výbuchom guľometnej paľby:

Koľko asymptot môže mať graf funkcie?

Nie jeden, jeden, dva, tri,... alebo nekonečne veľa. Pre príklady nepôjdeme ďaleko, spomeňme si na základné funkcie. Parabola, kubická parabola a sínusová vlna nemajú vôbec asymptoty. Graf exponenciálnej logaritmickej funkcie má jedinú asymptotu. Arkustangens a arkotangens ich majú dve a tangens a kotangens ich má nekonečne veľa. Nie je nezvyčajné, že graf má horizontálne aj vertikálne asymptoty. Hyperbola, vždy ťa bude milovať.

Čo znamená ? Vertikálne asymptoty grafu funkcie

Vertikálna asymptota grafu sa spravidla nachádza v bode nekonečnej diskontinuity funkcie. Je to jednoduché: ak má funkcia v určitom bode nekonečnú diskontinuitu, potom je priamka určená rovnicou vertikálnou asymptotou grafu.

Poznámka : Všimnite si, že záznam sa používa na označenie dvoch úplne odlišných konceptov. Či ide o bod alebo rovnicu priamky, závisí od kontextu.

Na zistenie prítomnosti vertikálnej asymptoty v bode teda stačí ukázať, že aspoň jedna z jednostranných limitov nekonečné. Najčastejšie je to bod, kde je menovateľ funkcie nula. Vertikálne asymptoty sme v podstate už našli v posledných príkladoch lekcie o spojitosti funkcie. Ale v niektorých prípadoch existuje len jedna jednostranná hranica, a ak je nekonečná, potom znova - milujte a uprednostňujte vertikálnu asymptotu. Najjednoduchšia ilustrácia: a ordináta osi (pozri Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií).

Z vyššie uvedeného tiež vyplýva zrejmý fakt: ak je funkcia spojitá na , potom neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Z nejakého dôvodu mi napadla parabola. Ozaj, kde tu môžete „prilepiť“ rovnú čiaru? ...áno...rozumiem... Priaznivci strýka Freuda začali byť hysterické =)

Opačné tvrdenie je vo všeobecnosti nepravdivé: napríklad funkcia nie je definovaná na celej číselnej osi, ale je úplne zbavená asymptot.

Šikmé asymptoty grafu funkcie

Šikmé (ako špeciálny prípad - horizontálne) asymptoty možno nakresliť, ak argument funkcie smeruje k „plus nekonečnu“ alebo k „mínus nekonečnu“. Preto graf funkcie nemôže mať viac ako dve šikmé asymptoty. Napríklad graf exponenciálna funkcia má jednu vodorovnú asymptotu v , a graf arkustangens v má dve takéto asymptoty a rôzne.

Keď sa graf na oboch miestach približuje k jedinej šikmej asymptote, potom sa „nekonečná“ zvyčajne kombinujú pod jeden záznam. Napríklad ...uhádli ste správne: .

Všeobecné pravidlo:

Ak sú dve Konečný limit , potom je priamka šikmá asymptota grafu funkcie v . Ak je aspoň jedna z uvedených limitov nekonečná, potom neexistuje žiadna šikmá asymptota.

Poznámka : vzorce zostávajú platné, ak „x“ smeruje iba k „plus nekonečnu“ alebo iba k „mínus nekonečnu“.

Ukážme, že parabola nemá žiadne šikmé asymptoty:

Limita je nekonečná, čo znamená, že neexistuje žiadna šikmá asymptota. Všimnite si, že pri hľadaní limitu potreba zmizla, keďže odpoveď už bola prijatá.

Poznámka : Ak máte (alebo budete mať) ťažkosti s porozumením znamienkam plus-mínus, mínus-plus, pozrite si pomoc na začiatku lekcie
o infinitezimálnych funkciách, kde som hovoril o tom, ako správne interpretovať tieto znaky.

Je zrejmé, že pre akúkoľvek kvadratiku, kubická funkcia, polynóm 4. a vyššie stupne neexistujú ani šikmé asymptoty.

Teraz sa presvedčíme, že graf tiež nemá šikmú asymptotu. Na odhalenie neistoty používame L'Hopitalovo pravidlo:
, čo bolo potrebné skontrolovať.

Keď funkcia rastie donekonečna, no neexistuje priamka, ku ktorej by sa jej graf približoval nekonečne blízko.

Prejdime k praktickej časti lekcie:

Ako nájsť asymptoty grafu funkcie?

Presne tak je formulovaná typická úloha a zahŕňa nájdenie VŠETKÝCH asymptot grafu (vertikálne, naklonené/horizontálne). Aj keď, aby sme boli presnejší pri položení otázky, hovoríme o výskume prítomnosti asymptot (napokon vôbec nemusia byť). Začnime niečím jednoduchým:

Príklad 1

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie možno pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

1) Najprv skontrolujeme, či existujú vertikálne asymptoty. Menovateľ ide na nulu a je okamžite jasné, že v tomto bode funkcia trpí nekonečnou diskontinuitou a priamka určená rovnicou je vertikálna asymptota grafu funkcie. Pred vyvodením takéhoto záveru je však potrebné nájsť jednostranné limity:

Pripomínam techniku ​​výpočtu, na ktorú som sa podobne zameral v článku Spojitosť funkcie. Body zlomu. Vo výraze pod limitným znakom dosadíme . V čitateli nie je nič zaujímavé:
.

Ale v menovateli to dopadá nekonečne malý záporné číslo :
, určuje osud limitu.

Ľavá hranica je nekonečná a v zásade je už možné urobiť úsudok o prítomnosti vertikálnej asymptoty. Ale nielen na to sú potrebné jednostranné limity – POMÁHAJÚ POCHOPIŤ, AKO sa nachádza graf funkcie a SPRÁVNE ho zostrojiť. Preto musíme vypočítať aj pravotočivý limit:

Záver: jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že priamka je vertikálna asymptota grafu funkcie v .

Prvý limit konečný, čo znamená, že je potrebné „pokračovať v konverzácii“ a nájsť druhý limit:

Aj druhý limit konečný.

Naša asymptota je teda:

Záver: priamka určená rovnicou je horizontálna asymptota grafu funkcie v .

Na nájdenie horizontálnej asymptoty
môžete použiť zjednodušený vzorec:

Ak existuje konečný limita, potom je priamka horizontálnou asymptotou grafu funkcie v .

Je ľahké si všimnúť, že čitateľ a menovateľ funkcie sú rovnakého rádu rastu, čo znamená, že hľadaný limit bude konečný:

odpoveď:

Podľa stavu nie je potrebné robiť výkres, ale ak sme uprostred skúmania funkcie, okamžite urobíme náčrt na návrhu:

Na základe troch nájdených limitov skúste sami prísť na to, ako by mohol byť umiestnený graf funkcie. Je to vôbec ťažké? Nájdite 5-6-7-8 bodov a označte ich na výkrese. Graf tejto funkcie je však zostrojený pomocou transformácií grafu elementárnej funkcie a čitatelia, ktorí pozorne skúmali príklad 21 vyššie uvedeného článku, ľahko uhádnu, o aký druh krivky ide.

Príklad 2

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Pripomínam, že je vhodné rozdeliť proces na dva body – vertikálne asymptoty a šikmé asymptoty. Vo vzorovom riešení sa horizontálna asymptota nájde pomocou zjednodušenej schémy.

V praxi sa najčastejšie stretávame s frakčnými racionálnymi funkciami a po tréningu na hyperbolách si úlohu skomplikujeme:

Príklad 3

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: Raz, dva a hotovo:

1) Vertikálne asymptoty sú v bodoch nekonečnej diskontinuity, takže musíte skontrolovať, či menovateľ ide na nulu. Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu:

Diskriminant je kladný, takže rovnica má dva skutočné korene a práca sa výrazne zvyšuje =)

Aby sme ďalej našli jednostranné limity, je vhodné rozložiť štvorcový trinom:
(pre kompaktný zápis bolo „mínus“ zahrnuté v prvej zátvorke). Aby sme boli na bezpečnej strane, skontrolujeme to otvorením zátvoriek v duchu alebo na koncepte.

Prepíšme funkciu vo formulári

Nájdime jednostranné limity v bode:

A v bode:

Priame čiary sú teda zvislé asymptoty grafu príslušnej funkcie.

2) Ak sa pozriete na funkciu , potom je celkom zrejmé, že limita bude konečná a máme horizontálnu asymptotu. Ukážme si jeho prítomnosť v krátkosti:

Priamka (os úsečky) je teda horizontálnou asymptotou grafu tejto funkcie.

odpoveď:

Nájdené limity a asymptoty poskytujú veľa informácií o grafe funkcie. Skúste si v duchu predstaviť kresbu s prihliadnutím na nasledujúce skutočnosti:

Načrtnite svoju verziu grafu vo svojom koncepte.

Samozrejme, nájdené limity neurčujú jednoznačne vzhľad grafu a môžete sa pomýliť, ale samotné cvičenie vám poskytne neoceniteľnú pomoc pri kompletnom štúdiu funkcie. Správny obrázok je na konci hodiny.

Príklad 4

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Príklad 5

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Sú to úlohy na samostatné riešenie. Oba grafy majú opäť vodorovné asymptoty, ktoré sú okamžite zistené nasledujúcimi znakmi: v príklade 4 poradie rastu menovateľa viac, ako je poradie rastu čitateľa, a v príklade 5 majú čitateľ a menovateľ rovnaké poradie rastu. Vo vzorovom riešení sa prvá funkcia skúma na prítomnosť šikmých asymptot v plnom rozsahu a druhá cez limit.

Horizontálne asymptoty sú podľa môjho subjektívneho dojmu výrazne bežnejšie ako tie, ktoré sú „skutočne naklonené“. Dlho očakávaný všeobecný prípad:

Príklad 6

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: klasika žánru:

1) Keďže menovateľ je kladný, funkcia je spojitá pozdĺž celej číselnej osi a neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. …Je to dobré? Nie je to správne slovo - vynikajúce! Bod č.1 je uzavretý.

2) Skontrolujte prítomnosť šikmých asymptot:

Prvý limit konečný, tak poďme ďalej. Pri výpočte druhej limity na odstránenie neistoty „nekonečno mínus nekonečno“ zredukujeme výraz na spoločného menovateľa:

Aj druhý limit konečný Preto má graf príslušnej funkcie šikmú asymptotu:

záver:

Keď teda graf funkcie nekonečne blízko blíži sa k priamke:

Všimnite si, že pretína svoju šikmú asymptotu na začiatku a takéto priesečníky sú celkom prijateľné - je dôležité, aby „všetko bolo normálne“ v nekonečne (v skutočnosti tu hovoríme o asymptotách).

Príklad 7

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: Nie je tu nič zvláštne na komentár, takže to formalizujem približná vzorka konečné riešenie:

1) Vertikálne asymptoty. Poďme preskúmať pointu.

Priamka je vertikálna asymptota grafu v .

2) Šikmé asymptoty:

Priamka je šikmá asymptota grafu v .

odpoveď:

Nájdené jednostranné limity a asymptoty nám umožňujú s vysokou istotou predpovedať, ako vyzerá graf tejto funkcie. Správna kresba na konci hodiny.

Príklad 8

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia; pre uľahčenie výpočtu niektorých limitov môžete rozdeliť čitateľa menovateľom výrazom. Pri analýze výsledkov sa opäť pokúste nakresliť graf tejto funkcie.

Je zrejmé, že vlastníkmi „skutočných“ šikmých asymptot sú grafy tých zlomkových racionálnych funkcií, v ktorých je vedúci stupeň čitateľa o jeden väčší ako vedúci stupeň menovateľa. Ak je to viac, nebude existovať žiadna šikmá asymptota (napríklad ).

Ale v živote sa dejú aj iné zázraky:

Príklad 9

Príklad 11

Preskúmajte graf funkcie na prítomnosť asymptot

Riešenie: jasné , preto uvažujeme len pravú polrovinu, kde je graf funkcie.

Priamka (ordináta osi) je teda vertikálna asymptota pre graf funkcie v .

2) Štúdia o šikmej asymptote môže byť vykonaná podľa úplnej schémy, ale v článku L'Hopitalove pravidlá sme zistili, že lineárna funkcia vyšší rád rastu ako logaritmický, preto: (Pozri príklad 1 tej istej lekcie).

Záver: os x je horizontálna asymptota grafu funkcie v .

odpoveď:
, Ak ;
, Ak .

Kreslenie pre prehľadnosť:

Je zaujímavé, že zdanlivo podobná funkcia nemá vôbec žiadne asymptoty (kto chce, môže si to overiť).

Dva záverečné príklady Pre samoštúdium:

Príklad 12

Preskúmajte graf funkcie na prítomnosť asymptot

V mnohých prípadoch je zostrojenie grafu funkcie jednoduchšie, ak najprv zostrojíte asymptoty krivky.

Definícia 1. Asymptoty sú tie priame čiary, ku ktorým sa graf funkcie ľubovoľne približuje, keď premenná smeruje k plus nekonečnu alebo mínus nekonečnu.

Definícia 2. Priamka sa nazýva asymptota grafu funkcie, ak vzdialenosť od premenného bodu M graf funkcie až po túto čiaru má tendenciu k nule, keď sa bod nekonečne vzďaľuje M od začiatku pozdĺž ktorejkoľvek vetvy funkčného grafu.

Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.

Vertikálne asymptoty

Definícia . Rovno X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie, ak bod X = a je bod nespojitosti druhého druhu pre túto funkciu.

Z definície vyplýva, že priamka X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie f(X) ak je splnená aspoň jedna z podmienok:

V tomto prípade funkcia f(X) nemusí byť vôbec definované, respektíve kedy X ≥ a A X ≤ a .

komentár:

Príklad 1. Graf funkcie r=ln X má vertikálnu asymptotu X= 0 (t. j. zhoduje sa s osou Oj) na hranici definičného oboru, keďže limita funkcie, keďže x smeruje sprava k nule, sa rovná mínus nekonečnu:

(obrázok vyššie).

sami a potom uvidíte riešenia

Príklad 2. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

Príklad 3. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Horizontálne asymptoty

If (limita funkcie ako argument má tendenciu k plus alebo mínus nekonečnu sa rovná určitej hodnote b), To r = b – horizontálna asymptota nepoctivý r = f(X) (vpravo, keď má X tendenciu k plus nekonečnu, vľavo, keď má X tendenciu k mínus nekonečnu, a obojstranné, ak sú limity, keďže X smeruje k plus alebo mínus nekonečnu, rovnaké).

Príklad 5. Graf funkcie

pri a> 1 opustila horizontálnu asympototu r= 0 (t. j. zhoduje sa s osou Vôl), pretože limit funkcie ako „x“ má tendenciu k mínus nekonečnu je nula:

Krivka nemá pravú horizontálnu asymptotu, pretože limit funkcie ako „x“ má tendenciu k plus nekonečnu sa rovná nekonečnu:

Šikmé asymptoty

Vertikálne a horizontálne asymptoty, ktoré sme skúmali vyššie, sú rovnobežné so súradnicovými osami, takže na ich konštrukciu sme potrebovali iba určitý počet- bod na osi x alebo y, ktorým prechádza asymptota. Pre šikmú asymptotu je potrebný väčší sklon k, ktorý ukazuje uhol sklonu čiary a voľný termín b, ktorý ukazuje, koľko je riadok nad alebo pod počiatkom. Tí, ktorí nezabudli na analytickú geometriu az nej na rovnice priamky, si všimnú, že pre šikmú asymptotu nájdu rovnicu priamky s uhlovým koeficientom. Existenciu šikmej asymptoty určuje nasledujúca veta, na základe ktorej sa nachádzajú práve uvedené koeficienty.

Veta. Aby ste urobili krivku r = f(X) mal asymptotu r = kx + b, je potrebné a postačujúce, aby existovali konečné limity k A b uvažovanej funkcie ako má premenná tendenciu X do plus nekonečna a mínus nekonečna:

(1)

(2)

Takto zistené čísla k A b a sú šikmé asymptotné koeficienty.

V prvom prípade (keďže x smeruje k plus nekonečnu) sa získa pravá naklonená asymptota, v druhom prípade (keďže x smeruje k mínus nekonečnu) sa získa ľavá šikmá asymptota. Pravá šikmá asymptota je znázornená na obr. nižšie.

Pri hľadaní rovnice pre šikmú asymptotu je potrebné vziať do úvahy tendenciu X k plus nekonečnu aj mínus nekonečnu. Pre niektoré funkcie, napríklad zlomkové racionálne, sa tieto limity zhodujú, ale pre mnohé funkcie sú tieto limity odlišné a môže existovať iba jedna z nich.

Ak sa limity zhodujú a x má tendenciu k plus nekonečnu a mínus nekonečnu, priamka r = kx + b je obojstranná asymptota krivky.

Ak je aspoň jedna z limít definujúcich asymptotu r = kx + b, neexistuje, potom graf funkcie nemá šikmú asymptotu (ale môže mať zvislú).

Je ľahké vidieť, že horizontálna asymptota r = b je špeciálny prípad šikmého r = kx + b pri k = 0 .

Ak teda v akomkoľvek smere krivka má horizontálna asymptota, potom v tomto smere nie je sklon a naopak.

Príklad 6. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia je definovaná na celej číselnej osi okrem X= 0, t.j.

Preto v bode zlomu X= 0 krivka môže mať vertikálnu asymptotu. V skutočnosti, limit funkcie, pretože x má tendenciu k nule zľava, sa rovná plus nekonečnu:

teda X= 0 – vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Graf tejto funkcie nemá vodorovnú asymptotu, pretože limit funkcie, keďže x má tendenciu k plus nekonečnu, sa rovná plus nekonečnu:

Zistime prítomnosť šikmej asymptoty:

Má konečné limity k= 2 a b= 0. Rovno r = 2X je obojsmerná šikmá asymptota grafu tejto funkcie (obrázok v príklade).

Príklad 7. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia má jeden bod prerušenia X= -1. Vypočítajme jednostranné limity a určme typ diskontinuity:

Záver: X= −1 je bod nespojitosti druhého druhu, teda priamka X= −1 je vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Hľadáme šikmé asymptoty. Keďže táto funkcia je zlomkovo-racionálna, limity pri a pri sa zhodujú. Nájdeme teda koeficienty na dosadenie priamky - šikmej asymptoty do rovnice:

Dosadením nájdených koeficientov do rovnice priamky koeficientom sklonu dostaneme rovnicu šikmej asymptoty:

r = −3X + 5 .

Na obrázku je graf funkcie označený bordovou farbou a asymptoty sú označené čiernou farbou.

Príklad 8. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Keďže táto funkcia je spojitá, jej graf nemá žiadne vertikálne asymptoty. Hľadáme šikmé asymptoty:

.

Graf tejto funkcie má teda asymptotu r= 0 at a nemá asyptot at .

Príklad 9. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Najprv hľadáme vertikálne asymptoty. Aby sme to dosiahli, nájdeme doménu definície funkcie. Funkcia je definovaná, keď nerovnosť a . Znak premennej X zodpovedá znameniu. Zvážte preto ekvivalentnú nerovnosť. Z toho dostaneme definičný obor funkcie: . Vertikálna asymptota môže byť len na hranici definičného oboru funkcie. ale X= 0 nemôže byť vertikálna asymptota, pretože funkcia je definovaná v X = 0 .

Zvážte pravostranný limit pri (neexistuje žiadny ľavý limit):

.

Bodka X= 2 je bod nespojitosti druhého druhu, teda priamka X= 2 - vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Hľadáme šikmé asymptoty:

takže, r = X+ 1 - šikmá asymptota grafu tejto funkcie pri . Hľadáme šikmú asymptotu na:

takže, r = −X− 1 - šikmá asymptota pri .

Príklad 10. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia má doménu definície . Keďže vertikálna asymptota grafu tejto funkcie môže byť len na hranici definičného oboru, jednostranné limity funkcie nájdeme v .