Hlavné dynamické charakteristiky rotačného pohybu - moment hybnosti vzhľadom na os rotácie z:

a kinetickej energie

Vo všeobecnosti sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, kde je tenzor zotrvačnosti.

V termodynamike

Presne podľa rovnakých úvah ako v prípade pohyb vpred, ekvidistribúcia znamená, že pri tepelnej rovnováhe je priemer rotačná energia každá častica monatomického plynu: (3/2)k B T. Podobne nám ekvipartičný teorém umožňuje vypočítať strednú kvadratickú uhlovú rýchlosť molekúl.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Energia rotačného pohybu“ v iných slovníkoch:

Tento výraz má iné významy, pozri Energia (významy). Energia, Dimenzia... Wikipedia

POHYBY- POHYBY. Obsah: Geometria D....................452 Kinematika D...................456 Dynamika D. . ...................461 Motorické mechanizmy................465 Metódy štúdia ľudského pohybu......471 Patológia človeka D............. 474… … Veľká lekárska encyklopédia

Kinetická energia je energia mechanického systému v závislosti od rýchlosti pohybu jeho bodov. Často sa uvoľňuje kinetická energia translačného a rotačného pohybu. Presnejšie povedané, kinetická energia je rozdiel medzi celkovou... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu značne kolíše, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu značne kolíše, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

- (francúzsky marées, nem. Gezeiten, anglicky prílivy) periodické kolísanie hladiny vody v dôsledku príťažlivosti Mesiaca a Slnka. Všeobecné informácie. P. je najvýraznejší pozdĺž brehov oceánov. Hneď po odlive začína hladina oceánu... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Chladiarenské plavidlo Ivory Tirupati počiatočná stabilita je negatívna Schopnosť stability ... Wikipedia

Počiatočná stabilita chladiarenského plavidla Slonovina Tirupati je negatívna Stabilita je schopnosť plávajúceho plavidla odolávať vonkajším silám, ktoré spôsobujú jeho nakláňanie alebo vyvažovanie a návrat do rovnovážneho stavu po skončení vyrušovania... ... Wikipedia

Kinetická energia je aditívna veličina. Preto sa kinetická energia tela pohybujúceho sa ľubovoľným spôsobom rovná súčtu kinetických energií všetkých n hmotných bodov, na ktoré možno toto teleso mentálne rozdeliť:

Ak sa teleso otáča okolo stacionárnej osi z uhlovou rýchlosťou, potom lineárna rýchlosť i-tý bod , Ri – vzdialenosť k osi otáčania. teda

Pri porovnaní môžeme vidieť, že moment zotrvačnosti telesa I je mierou zotrvačnosti počas rotačného pohybu, rovnako ako hmotnosť m je mierou zotrvačnosti počas translačného pohybu.

Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet dvoch pohybov – translačného s rýchlosťou vc a rotačného s uhlovou rýchlosťou ω okolo okamžitej osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti. Potom celková kinetická energia tohto telesa

Tu Ic je moment zotrvačnosti okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu.

Dynamika rotačného pohybu

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu:

alebo M=Je, kde M je moment sily M = [ r · F ] , J - moment zotrvačnosti je moment hybnosti telesa.

ak M(vonkajšia)=0 - zákon zachovania momentu hybnosti. - kinetická energia rotujúceho telesa.

pracovať v rotačnom pohybe.

Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti (hybnosť) hmotného bodu A vzhľadom na pevný bod O je fyzikálna veličina určená vektorovým súčinom:

kde r je vektor polomeru nakreslený z bodu O do bodu A, p=mv je hybnosť hmotného bodu (obr. 1); L je pseudovektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej vrtule pri jej otáčaní z r do r.

Modul vektora momentu hybnosti

kde α je uhol medzi vektormi r a p, l je rameno vektora p vzhľadom na bod O.

Moment hybnosti vo vzťahu k pevnej osi z je skalárna veličina Lz, ktorá sa rovná priemetu vektora momentu hybnosti definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod O tejto osi na túto os. Moment hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu O na osi z.

Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi z, každý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom ri rýchlosťou vi. Rýchlosť vi a hybnosť mivi sú kolmé na tento polomer, t.j. polomer je ramenom vektorového mivi. To znamená, že môžeme napísať, že moment hybnosti jednotlivej častice je rovný

a smeruje pozdĺž osi v smere určenom pravou skrutkou.

Hybnosť pevného telesa vzhľadom na os je súčtom momentov hybnosti jednotlivých častíc:

Pomocou vzorca vi = ωri dostaneme

Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na os sa teda rovná momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na rovnakú os, vynásobenému uhlovou rýchlosťou. Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Tento vzorec je ďalšou formou rovnice pre dynamiku rotačného pohybu tuhého telesa vzhľadom na pevnú os: derivácia momentu hybnosti tuhého telesa vzhľadom na os sa rovná momentu sily vzhľadom na to isté. os.

Dá sa ukázať, že existuje vektorová rovnosť

V uzavretom systéme je moment vonkajších síl M = 0 a odkiaľ

Výraz (4) predstavuje zákon zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti uzavretého systému je zachovaný, to znamená, že sa v čase nemení.

Zákon zachovania momentu hybnosti, ako aj zákon zachovania energie, je základným zákonom prírody. Je spojená s vlastnosťou symetrie priestoru - jeho izotropie, t.j. s invariantnosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému (vzhľadom na rotáciu uzavretého systému v priestore pri ľubovoľnom uhol).

Tu si ukážeme zákon zachovania momentu hybnosti pomocou Zhukovského lavice. Osoba sediaca na lavičke rotujúca okolo zvislej osi a držiaca činky vo vystretých rukách (obr. 2) je otáčaná vonkajším mechanizmom s uhlovou rýchlosťou ω1. Ak si človek pritlačí činky k telu, zníži sa moment zotrvačnosti systému. Moment vonkajších síl je však nulový, moment hybnosti sústavy je zachovaný a uhlová rýchlosť rotácie ω2 sa zvyšuje. Podobne počas skoku nad hlavou gymnasta tlačí ruky a nohy k telu, aby znížil moment zotrvačnosti a tým zvýšil uhlovú rýchlosť otáčania.

Tlak v kvapaline a plyne.

Molekuly plynu, ktoré vykonávajú chaotický, chaotický pohyb, nie sú spojené, alebo sú skôr slabo spojené interakčnými silami, preto sa pohybujú takmer voľne a v dôsledku zrážok sa rozptyľujú na všetky strany, pričom vyplňujú celý objem, ktorý im je poskytnutý. t.j. objem plynu je určený objemovou nádobou obsadenou plynom.

A kvapalina, ktorá má určitý objem, má tvar nádoby, v ktorej je uzavretá. Ale na rozdiel od plynov v kvapalinách, priemerná vzdialenosť medzi molekulami zostáva v priemere konštantná, takže kvapalina má prakticky nezmenený objem.

Vlastnosti kvapalín a plynov sú v mnohých smeroch veľmi rozdielne, ale vo viacerých mechanických javoch sú ich vlastnosti určené rovnakými parametrami a rovnakými rovnicami. Z tohto dôvodu je hydroaeromechanika odvetvím mechaniky, ktoré študuje rovnováhu a pohyb plynov a kvapalín, interakciu medzi nimi a medzi tuhými telesami, ktoré ich obklopujú, t.j. uplatňuje sa jednotný prístup k štúdiu kvapalín a plynov.

Kvapaliny a plyny sa v mechanike považujú s vysokou presnosťou za pevné látky, ktoré sú súvisle rozložené v časti priestoru, ktorú zaberajú. Pri plynoch hustota výrazne závisí od tlaku. Bola stanovená na základe skúseností. že stlačiteľnosť kvapaliny a plynu možno často zanedbávať a je vhodné použiť jednotný pojem - nestlačiteľnosť kvapaliny - kvapaliny všade s rovnakou hustotou, ktorá sa v čase nemení.

Umiestnime tenkú dosku do pokoja, výsledkom čoho bude, že časti kvapaliny umiestnené na rôznych stranách dosky budú pôsobiť na každý z jej prvkov ΔS silami ΔF, ktoré budú mať rovnakú veľkosť a budú smerovať kolmo na platformu ΔS, bez ohľadu na orientáciu plošiny, inak by prítomnosť tangenciálnych síl uviedla do pohybu častice kvapaliny (obr. 1)

Fyzikálna veličina určená normálovou silou pôsobiacou na časť kvapaliny (alebo plynu) na jednotku plochy sa nazýva tlak p/ kvapaliny (alebo plynu): p=ΔF/ΔS.

Jednotka tlaku - pascal (Pa): 1 Pa rovná tlaku, vytvorený silou 1 N, ktorá je rovnomerne rozložená na k nej kolmej ploche s plochou 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2).

Tlak v rovnováhe kvapalín (plynov) sa riadi Pascalovým zákonom: tlak v ktoromkoľvek mieste kvapaliny v pokoji je rovnaký vo všetkých smeroch a tlak sa rovnako prenáša celým objemom, ktorý kvapalina v pokoji zaberá.

Pozrime sa na vplyv hmotnosti kvapaliny na rozloženie tlaku vo vnútri stacionárnej nestlačiteľnej kvapaliny. Keď je tekutina v rovnováhe, tlak pozdĺž akejkoľvek horizontálnej čiary je vždy rovnaký, inak by rovnováha nebola. To znamená, že voľný povrch kvapaliny v pokoji je vždy vodorovný (neberieme do úvahy príťažlivosť kvapaliny stenami nádoby). Ak je tekutina nestlačiteľná, potom hustota tekutiny nezávisí od tlaku. Potom s prierezom S stĺpca kvapaliny, jeho výškou h a hustotou ρ, hmotnosťou P=ρgSh, pričom tlak na spodnú základňu: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

to znamená, že tlak sa mení lineárne s nadmorskou výškou. Tlak ρgh sa nazýva hydrostatický tlak.

Podľa vzorca (1) bude tlaková sila na spodné vrstvy kvapaliny väčšia ako na horné vrstvy, preto na teleso ponorené v kvapaline pôsobí sila určená Archimedovým zákonom: teleso ponorené do na kvapalinu (plyn) pôsobí usmernená sila zo strany tejto kvapaliny smerom nahor vztlaková sila rovnajúca sa hmotnosti kvapaliny (plynu) vytlačenej telesom: FA = ρgV, kde ρ je hustota kvapaliny, V je objem telesa ponoreného do kvapaliny.

Kinetická energia rotácie

Prednáška 3. Dynamika tuhého telesa

Osnova prednášky

3.1. Moment sily.

3.2. Základné rovnice rotačného pohybu. Moment zotrvačnosti.

3.3. Kinetická energia rotácie.

3.4. Okamih impulzu. Zákon zachovania momentu hybnosti.

3.5. Analógia medzi translačným a rotačným pohybom.

Moment sily

Uvažujme pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi. Nechaj pevný má pevnú os otáčania OO ( Obr.3.1) a pôsobí naň ľubovoľná sila.

Ryža. 3.1

Rozložme silu na dve zložky sily, sila leží v rovine rotácie a sila je rovnobežná s osou rotácie. Potom silu rozložíme na dve zložky: – pôsobiace pozdĺž vektora polomeru a – kolmo naň.

Nie každá sila pôsobiaca na teleso ho otočí. Sily vytvárajú tlak na ložiská, ale neotáčajú ich.

Sila môže alebo nemusí vyviesť telo z rovnováhy v závislosti od toho, kde vo vektore polomeru pôsobí. Preto sa zavádza pojem moment sily okolo osi. Okamih sily vzhľadom na os rotácie sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru a sily.

Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania a je určený krížovým súčinovým pravidlom alebo pravou skrutkou alebo gimletovým pravidlom.

Modul momentu sily

kde α je uhol medzi vektormi a .

Z obr. 3.1. to je jasné .

r 0– najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k pôsobisku sily sa nazýva rameno sily. Potom je možné zapísať moment sily

M = Fr 0 . (3.3)

Z obr. 3.1.

Kde F– premietanie vektora do smeru kolmého na vektor polomeru. V tomto prípade sa moment sily rovná

. (3.4)

Ak na teleso pôsobí viacero síl, potom sa výsledný moment sily rovná vektorovému súčtu momentov jednotlivých síl, ale keďže všetky momenty smerujú pozdĺž osi, možno ich nahradiť algebraický súčet. Moment sa bude považovať za pozitívny, ak sa otáča telom v smere hodinových ručičiek a negatívny, ak sa otáča proti smeru hodinových ručičiek. Ak sú všetky momenty síl () rovné nule, teleso bude v rovnováhe.

Koncept krútiaceho momentu možno demonštrovať pomocou „rozmarnej cievky“. Cievka nite sa ťahá za voľný koniec nite ( ryža. 3.2).

Ryža. 3.2

V závislosti od smeru napätia nite sa cievka odvaľuje jedným alebo druhým smerom. Ak je ťahaný pod uhlom α , potom moment sily okolo osi O(kolmo na obrázok) otáča cievkou proti smeru hodinových ručičiek a otáča sa späť. V prípade napätia pod uhlom β krútiaci moment smeruje proti smeru hodinových ručičiek a navijak sa otáča dopredu.

Pomocou podmienky rovnováhy () je možné zostrojiť jednoduché mechanizmy, ktoré sú „transformátormi“ sily, t.j. Použitím menšej sily môžete zdvíhať a presúvať bremená rôznej hmotnosti. Na tomto princípe sú založené páky, fúriky a rôzne typy blokov, ktoré sú v stavebníctve široko používané. Na udržanie rovnovážneho stavu v stavebných žeriavoch na kompenzáciu momentu sily spôsobeného hmotnosťou bremena je vždy systém protizávaží, ktorý vytvára moment sily opačného znamienka.

3.2. Základná rovnica rotácie
pohyby. Moment zotrvačnosti

Predstavte si absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi OO(Obr.3.3). Rozdeľme mentálne toto telo na prvky s hmotnosťou Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n. Pri otáčaní budú tieto prvky opisovať kruhy s polomermi r 1,r 2 , …,r n. Sily pôsobia na každý prvok zodpovedajúcim spôsobom F 1,F 2 , …,Fn. Rotácia telesa okolo osi OO dochádza pod vplyvom plného krútiaceho momentu M.

M = M1 + M2 + ... + Mn (3.4)

Kde M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Podľa Newtonovho II zákona každá sila F pôsobiace na prvok hmoty D m, spôsobuje zrýchlenie tohto prvku a, t.j.

F i = D m ja a i (3.5)

Nahradením zodpovedajúcich hodnôt do (3.4) dostaneme

Ryža. 3.3

Poznať vzťah medzi lineárnym uhlovým zrýchlením ε () a že uhlové zrýchlenie je rovnaké pre všetky prvky, vzorec (3.6) bude mať tvar

M = (3.7)

=ja (3.8)

ja– moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na pevnú os.

Potom dostaneme

M = Ie (3.9)

Alebo vo vektorovej forme

(3.10)

Táto rovnica je základnou rovnicou pre dynamiku rotačného pohybu. Formou je podobná rovnici II Newtonovho zákona. Z (3.10) sa moment zotrvačnosti rovná

Moment zotrvačnosti daného telesa je teda pomer momentu sily k uhlovému zrýchleniu, ktoré spôsobuje. Z (3.11) je zrejmé, že moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa vzhľadom na rotačný pohyb. Moment zotrvačnosti hrá rovnakú úlohu ako hmotnosť v translačných pohyboch. jednotka SI [ ja] = kg m2. Zo vzorca (3.7) vyplýva, že moment zotrvačnosti charakterizuje rozloženie hmotností častíc telesa vzhľadom na os rotácie.

Moment zotrvačnosti prvku s hmotnosťou ∆m pohybujúceho sa po kružnici s polomerom r sa teda rovná

I = r 2 D m (3.12)

ja= (3.13)

V prípade spojitého rozdelenia hmoty možno súčet nahradiť integrálom

I = ∫ r 2 dm (3.14)

kde sa integrácia vykonáva cez celú telesnú hmotu.

To ukazuje, že moment zotrvačnosti telesa závisí od hmotnosti a jej rozloženia vzhľadom na os rotácie. Dá sa to dokázať experimentálne ( Obr.3.4).

Ryža. 3.4

Dva okrúhle valce, jeden dutý (napríklad kovový), druhý plný (drevený) s rovnakými dĺžkami, polomermi a hmotnosťami sa začnú valiť súčasne. Za pevným bude zaostávať dutý valec, ktorý má veľký moment zotrvačnosti.

Moment zotrvačnosti možno vypočítať, ak je známa hmotnosť m a jeho rozloženie vzhľadom na os otáčania. Najjednoduchším prípadom je krúžok, keď sú všetky prvky hmoty umiestnené rovnako od osi otáčania ( ryža. 3.5):

Ja = (3.15)

Ryža. 3.5

Uveďme výrazy pre momenty zotrvačnosti rôznych symetrických hmotných telies m.

1. Moment zotrvačnosti krúžky, dutý tenkostenný valec vzhľadom na os rotácie zhodnú s osou symetrie.

, (3.16)

r– polomer krúžku alebo valca

2. Pre pevný valec a disk moment zotrvačnosti okolo osi symetrie

(3.17)

3. Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom

(3.18)

r– polomer lopty

4. Moment zotrvačnosti tenkej tyče s dlhou dĺžkou l vzhľadom k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej stredom

(3.19)

l- dĺžka tyče.

Ak os rotácie neprechádza cez ťažisko, potom moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na túto os je určený Steinerovou vetou.

(3.20)

Podľa tejto vety moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi O'O' ( ) sa rovná momentu zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom telesa ( ) plus súčin telesnej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti A medzi osami ( ryža. 3.6).

Ryža. 3.6

Kinetická energia rotácie

Uvažujme rotáciu absolútne tuhého telesa okolo pevnej osi OO s uhlovou rýchlosťou ω (ryža. 3.7). Rozbijeme pevné telo n elementárne hmotnosti ∆ m i. Každý prvok hmoty rotuje pozdĺž kruhu s polomerom RI s lineárnou rýchlosťou (). Kinetická energia sa skladá z kinetických energií jednotlivých prvkov.

(3.21)

Ryža. 3.7

Pripomeňme si to z (3.13). – moment zotrvačnosti vzhľadom na os OO.

Teda kinetická energia rotujúceho telesa

E k = (3.22)

Uvažovali sme o kinetickej energii rotácie okolo pevnej osi. Ak je teleso zapojené do dvoch pohybov: translačného a rotačného pohybu, potom kinetická energia telesa pozostáva z kinetickej energie translačného pohybu a kinetickej energie rotácie.

Napríklad guľa hmoty m rolky; ťažisko lopty sa pohybuje translačne rýchlosťou u (ryža. 3.8).

Ryža. 3.8

Celková kinetická energia lopty sa bude rovnať

(3.23)

3.4. Okamih impulzu. Zákon o ochrane prírody
moment hybnosti

Fyzikálne množstvo rovná súčinu momentu zotrvačnosti ja na uhlovú rýchlosť ω , sa nazýva uhlová hybnosť (uhlová hybnosť) L vzhľadom na os otáčania.

– moment hybnosti je vektorová veličina a jej smer sa zhoduje so smerom uhlovej rýchlosti.

Diferenciačná rovnica (3.24) vzhľadom na čas dostaneme

Kde, M– celkový moment vonkajších síl. V izolovanom systéme neexistuje krútiaci moment vonkajších síl ( M=0) a

1. Zvážte rotáciu tela okolo nehybný os Z. Rozdeľme celé teleso na množinu elementárnych hmôt m i. Lineárna rýchlosť elementárna hmotnosť m i– v i = w R i, kde R i– hmotnostná vzdialenosť m i od osi otáčania. Preto kinetická energia i elementárna hmotnosť sa bude rovnať . Celková kinetická energia tela: , tu je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa teda rovná:

2. Teraz nechajte telo sa otáča vzhľadom k nejakej osi a sebe os sa pohybuje progresívne, pričom zostáva paralelný sám so sebou.

NAPRÍKLAD: Guľa, ktorá sa odvaľuje bez kĺzania, vykonáva rotačný pohyb a jej ťažisko, ktorým prechádza os otáčania (bod „O“), sa posúva translačne (obr. 4.17).

Rýchlosť i-že elementárna telesná hmotnosť sa rovná , kde je rýchlosť niektorého bodu „O“ telesa; – vektor polomeru, ktorý určuje polohu elementárnej hmoty vzhľadom k bodu „O“.

Kinetická energia elementárnej hmoty sa rovná:

POZNÁMKA: vektorový súčin sa zhoduje v smere s vektorom a má modul rovný (obr. 4.18).

Berúc do úvahy túto poznámku, môžeme to napísať , kde je vzdialenosť hmoty od osi rotácie. V druhom člene urobíme cyklické preskupenie faktorov, po ktorom sa dostaneme

Aby sme získali celkovú kinetickú energiu telesa, spočítame tento výraz cez všetky elementárne hmotnosti, pričom konštantné faktory presahujú znamienko súčtu. Dostaneme

Súčet elementárnych hmotností je hmotnosť telesa „m“. Výraz sa rovná súčinu hmotnosti telesa s polomerovým vektorom stredu zotrvačnosti telesa (podľa definície stredu zotrvačnosti). Nakoniec moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu bodom „O“. Preto môžeme písať

.

Ak zoberieme stred zotrvačnosti telesa „C“ ako bod „O“, vektor polomeru sa bude rovnať nule a druhý člen zmizne. Potom, keď označíme cez – rýchlosť stredu zotrvačnosti a cez – moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu bodom „C“, dostaneme:

(4.6)

Kinetická energia telesa v rovinnom pohybe je teda zložená z energie translačného pohybu s rýchlosťou rovnakú rýchlosť stred zotrvačnosti a energiu otáčania okolo osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti telesa.

Práca vonkajších síl pri rotačnom pohybe tuhého telesa.

Nájdite prácu vykonanú silami, keď sa teleso otáča okolo stacionárnej osi Z.

Na hmotu nech pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (výsledná sila leží v rovine kolmej na os rotácie) (obr. 4.19). Tieto sily pôsobia v čase dt práca:

Po vykonaní cyklického preskupenia faktorov v zmiešaných produktoch vektorov zistíme:

kde , sú v tomto poradí momenty vnútorných a vonkajších síl vo vzťahu k bodu „O“.

Zhrnutím všetkých elementárnych hmôt dostaneme elementárnu prácu vykonanú na tele v čase dt:

Súčet momentov vnútorných síl je nulový. Potom, keď označíme celkový moment vonkajších síl cez , dospejeme k výrazu:

.

Je známe, že skalárny súčin dvoch vektorov je skalár rovný súčinu modulu jedného z vektorov vynásobeného priemetom druhého na smer prvého, pričom sa berie do úvahy, že , (smery os Z sa zhoduje), získame

,

ale w dt=d j, t.j. uhol, pod ktorým sa teleso otáča v čase dt. Preto

.

Znak diela závisí od znaku M z, t.j. od znamienka priemetu vektora do smeru vektora.

Takže, keď sa telo otáča vnútorné sily nevykonáva sa žiadna práca a práca vonkajších síl je určená vzorcom .

Práca vykonaná v konečnom časovom období sa nájde integráciou

.

Ak priemet výsledného momentu vonkajších síl do smeru zostáva konštantný, potom ho možno vyňať z integrálneho znamienka:

, t.j. .

Tie. práca vykonaná vonkajšou silou pri rotačnom pohybe telesa sa rovná súčinu priemetu momentu vonkajšej sily na smer a uhol otáčania.

Na druhej strane, práca vonkajšej sily pôsobiacej na teleso vedie k zvýšeniu kinetickej energie telesa (alebo sa rovná zmene kinetickej energie rotujúceho telesa). Ukážme si toto:

;

teda

. (4.7)

Sám za seba:

Elastické sily;

Hookov zákon.

PREDNÁŠKA 7

Hydrodynamika

Prúdové vedenia a rúrky.

Hydrodynamika študuje pohyb kvapalín, no jej zákony platia aj pre pohyb plynov. V stacionárnom prúdení tekutiny je rýchlosť jej častíc v každom bode priestoru veličinou nezávislou od času a je funkciou súradníc. Pri rovnomernom prúdení tvoria trajektórie častíc tekutiny prúdnicu. Kombinácia prúdových vedení tvorí prúdovú elektrónku (obr. 5.1). Predpokladáme, že kvapalina je nestlačiteľná, potom objem kvapaliny pretekajúcej sekciami S 1 a S 2 bude rovnaký. Za sekundu cez tieto úsek prejde objem kvapaliny rovný

, (5.1)

kde a sú rýchlosti tekutín v úsekoch S 1 a S 2 a vektory a sú definované ako a , kde a sú normály k úsekom S 1 a S 2. Rovnica (5.1) sa nazýva rovnica kontinuity prúdu. Z toho vyplýva, že rýchlosť tekutiny je nepriamo úmerná prierezu prúdovej trubice.

Bernoulliho rovnica.

Budeme uvažovať o ideálnej nestlačiteľnej kvapaline, v ktorej nedochádza k vnútornému treniu (viskozita). Vyberme si tenkoprúdovú trubicu v stacionárne prúdiacej kvapaline (obr. 5.2) s rezmi S 1 A S 2, kolmo na prúdnice. V priereze 1 v krátkom čase tčastice sa budú pohybovať na určitú vzdialenosť l 1 a v sekcii 2 - na diaľku l 2. Cez oba úseky v čase t prejdú rovnaké malé objemy kvapaliny V= V 1 = V 2 a preneste veľa tekutiny m=rV, Kde r- hustota kvapaliny. Vo všeobecnosti ide o zmenu mechanickej energie celej tekutiny v prietokovej trubici medzi sekciami S 1 A S 2čo sa stalo počas t, možno nahradiť zmenou objemovej energie V ku ktorému došlo, keď sa presunul z oddielu 1 do oddielu 2. Pri takomto pohybe sa zmení kinetická a potenciálna energia tohto objemu a celková zmena jeho energie

, (5.2)

kde v 1 a v 2 - rýchlosti častíc tekutiny v úsekoch S 1 A S 2 v tomto poradí; g- gravitačné zrýchlenie; h 1 A h 2- výška stredu sekcií.

V ideálnej kvapaline nedochádza k žiadnym stratám trením, takže nárast energie je DE sa musí rovnať práci vykonanej tlakovými silami na pridelený objem. Pri absencii trecích síl táto práca:

Vyrovnaním pravých strán rovnosti (5.2) a (5.3) a prenesením členov s rovnakými indexmi na jednu stranu rovnosti dostaneme

. (5.4)

Oddiely rúr S 1 A S 2 boli brané svojvoľne, preto možno tvrdiť, že v ktorejkoľvek sekcii aktuálnej trubice je výraz platný

. (5.5)

Rovnica (5.5) sa nazýva Bernoulliho rovnica. Pre horizontálne prúdenie h = konšt a rovnosť (5.4) má formu

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

tie. tlak je menší v tých bodoch, kde je rýchlosť väčšia.

Vnútorné trecie sily.

Skutočná kvapalina sa vyznačuje viskozitou, ktorá sa prejavuje tým, že akýkoľvek pohyb kvapaliny a plynu sa spontánne zastaví, ak neexistujú dôvody, ktoré ho spôsobili. Uvažujme o experimente, v ktorom sa vrstva kvapaliny nachádza nad stacionárnym povrchom a na jej vrchu sa pohybuje rýchlosťou , na nej plávajúca doska s povrchom S(obr. 5.3). Prax ukazuje, že na to, aby sa platňa pohybovala konštantnou rýchlosťou, je potrebné na ňu pôsobiť silou. Keďže doska nedostáva zrýchlenie, znamená to, že pôsobenie tejto sily je vyvážené inou, rovnako veľkú a opačne smerujúcou silou, ktorou je trecia sila. . Newton ukázal, že sila trenia

, (5.7)

Kde d- hrúbka vrstvy kvapaliny, h - koeficient viskozity alebo koeficient trenia kvapaliny, znamienko mínus zohľadňuje iný smer vektory F tr A v o. Ak skúmame rýchlosť častíc kvapaliny v rôzne miesta vrstva, ukazuje sa, že sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 5.3):

v(z) = = (vo/d)-z.

Rozlišovaním tejto rovnosti dostaneme dv/dz= v 0 /d. S týmto v hlave

vzorec (5.7) bude mať formu

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Kde h- dynamický viskozitný koeficient. Rozsah dv/dz nazývaný rýchlostný gradient. Ukazuje, ako rýchlo sa rýchlosť mení v smere osi z. O dv/dz= gradient konštantnej rýchlosti sa numericky rovná zmene rýchlosti v keď sa zmení z za jednotku. Dajme číselne do vzorca (5.8) dv/dz =-1 a S= 1, dostaneme h = F. to znamená fyzický význam h: koeficient viskozity číselne rovná sile, ktorá pôsobí na vrstvu kvapaliny jednotkovej plochy s rýchlostným gradientom rovným jednotke. Jednotka viskozity SI sa nazýva pascalová sekunda (označuje sa Pa s). V systéme CGS je jednotkou viskozity 1 poise (P), pričom 1 Pa s = 10P.