Začnime uvažovaním rotácie telesa okolo nehybnej osi, ktorú budeme nazývať os z (obr. 41.1). Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty sa rovná kde je vzdialenosť hmoty od osi. Preto pre kinetickú energiu elementárnej hmoty dostaneme výraz

Kinetická energia telo sa skladá z kinetických energií jeho častí:

Súčet na pravej strane tohto vzťahu predstavuje moment zotrvačnosti telesa 1 vzhľadom na os rotácie. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa teda rovná

Nech na hmotu pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (pozri obr. 41.1). Podľa (20.5) tieto sily vykonajú prácu včas

Po vykonaní cyklického preskupenia faktorov v zmiešaných produktoch vektorov (pozri (2.34)) dostaneme:

kde N je moment vnútornej sily vzhľadom na bod O, N je podobný moment vonkajšej sily.

Po sčítaní výrazu (41.2) cez všetky elementárne hmotnosti dostaneme elementárnu prácu vykonanú na telese za čas dt:

Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule (pozri (29.12)). V dôsledku toho, keď označíme celkový moment vonkajších síl N, dostaneme sa k výrazu

(použili sme vzorec (2.21)).

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že existuje uhol, pod ktorým sa telo v priebehu času otáča, získame:

Znamienko diela závisí od znamienka, t.j. od znamienka priemetu vektora N na smer vektora.

Takže, keď sa telo otáča vnútorné sily nevykonávajú žiadnu prácu, ale práca vonkajších síl je určená vzorcom (41.4).

Vzorec (41.4) možno dospieť tak, že využijeme skutočnosť, že práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na teleso smeruje k zvýšeniu jeho kinetickej energie (pozri (19.11)). Ak vezmeme diferenciál z oboch strán rovnosti (41.1), dostaneme sa k vzťahu

Podľa rovnice (38.8) teda nahradením cez sa dostaneme k vzorcu (41.4).

Tabuľka 41.1

V tabuľke 41.1 sa porovnávajú vzorce mechaniky rotačného pohybu s podobnými vzorcami mechaniky pohyb vpred(bod mechaniky). Z tohto porovnania je ľahké usúdiť, že vo všetkých prípadoch zohráva úlohu hmotnosti moment zotrvačnosti, úlohu sily moment sily, úlohu hybnosti hrá moment hybnosti atď.

Vzorec. (41.1) sme dostali pre prípad, keď sa teleso otáča okolo stacionárnej osi upevnenej v telese. Teraz predpokladajme, že teleso sa otáča ľubovoľným spôsobom vzhľadom na pevný bod, ktorý sa zhoduje s jeho ťažiskom.

S telesom pevne spojíme karteziánsky súradnicový systém, ktorého počiatok bude umiestnený v ťažisku telesa. Rýchlosť i-ta elementárna hmotnosť sa rovná Preto pre kinetickú energiu telesa môžeme napísať výraz

kde je uhol medzi vektormi. Nahradením priechodu a berúc do úvahy, že dostaneme:

Napíšme skalárne súčiny prostredníctvom projekcií vektorov na osi súradnicového systému spojeného s telom:

Nakoniec spojením členov s identickými súčinmi zložiek uhlovej rýchlosti a odstránením týchto súčinov zo znamienok súčtov dostaneme: takže vzorec (41.7) má tvar (porovnaj (41.1)). Keď sa ľubovoľné teleso otáča okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti, povedzme os a vzorec (41.7) sa zmení na (41.10.

Teda. kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti a druhej mocniny uhlovej rýchlosti v troch prípadoch: 1) pre teleso rotujúce okolo pevnej osi; 2) pre teleso rotujúce okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti; 3) na plesový top. V iných prípadoch sa kinetická energia určuje jasnejšie zložité vzorce(41,5) alebo (41,7).

Hlavné dynamické charakteristiky rotačného pohybu - moment hybnosti vzhľadom na os rotácie z:

a kinetickej energie

Vo všeobecnosti sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, kde je tenzor zotrvačnosti.

V termodynamike

Rovnakým uvažovaním ako v prípade translačného pohybu ekvipartícia znamená, že pri tepelnej rovnováhe je priemerná rotačná energia každej častice monatomického plynu: (3/2)k B T. Podobne nám ekvipartičný teorém umožňuje vypočítať strednú kvadratickú uhlovú rýchlosť molekúl.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Energia rotačného pohybu“ v iných slovníkoch:

Tento výraz má iné významy, pozri Energia (významy). Energia, Dimenzia... Wikipedia

POHYBY- POHYBY. Obsah: Geometria D....................452 Kinematika D...................456 Dynamika D. . ...................461 Motorické mechanizmy................465 Metódy štúdia ľudského pohybu......471 Patológia človeka D............. 474… … Veľká lekárska encyklopédia

Kinetická energia je energia mechanického systému v závislosti od rýchlosti pohybu jeho bodov. Často sa uvoľňuje kinetická energia translačného a rotačného pohybu. Presnejšie povedané, kinetická energia je rozdiel medzi celkovou... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu značne kolíše, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

Tepelný pohyb α peptidu. Komplexný chvejúci sa pohyb atómov, ktoré tvoria peptid, je náhodný a energia jednotlivého atómu značne kolíše, ale pomocou zákona ekvipartície sa vypočíta ako priemerná kinetická energia každého ... ... Wikipedia

- (francúzsky marées, nem. Gezeiten, anglicky prílivy) periodické kolísanie hladiny vody v dôsledku príťažlivosti Mesiaca a Slnka. Všeobecné informácie. P. je najvýraznejší pozdĺž brehov oceánov. Hneď po odlive začína hladina oceánu... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Chladiarenské plavidlo Ivory Tirupati počiatočná stabilita je negatívna Schopnosť stability ... Wikipedia

Počiatočná stabilita chladiarenského plavidla Slonovina Tirupati je negatívna Stabilita je schopnosť plávajúceho plavidla odolávať vonkajším silám, ktoré spôsobujú jeho nakláňanie alebo vyvažovanie a návrat do rovnovážneho stavu po skončení vyrušovania... ... Wikipedia

Uvažujme najprv tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi OZ uhlovou rýchlosťou ω (obr. 5.6). Rozložme telo na elementárne hmoty. Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty sa rovná , kde je jej vzdialenosť od osi rotácie. Kinetická energia i-že elementárna hmotnosť sa bude rovnať

.

Kinetická energia celého tela sa teda skladá z kinetických energií jeho častí

.

Ak vezmeme do úvahy, že súčet na pravej strane tohto vzťahu predstavuje moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os rotácie, nakoniec dostaneme

. (5.30)

Vzorce pre kinetickú energiu rotujúceho telesa (5.30) sú podobné zodpovedajúcim vzorcom pre kinetickú energiu translačného pohybu telesa. Z posledne menovaných sa získavajú formálnou náhradou .

Vo všeobecnosti možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet pohybov - translačný s rýchlosťou, rovnakú rýchlosťťažisko telesa a rotácia s uhlovou rýchlosťou okolo okamžitej osi prechádzajúcej ťažiskom. V tomto prípade má výraz pre kinetickú energiu telesa formu

.

Nájdime teraz prácu vykonanú momentom vonkajších síl pri rotácii tuhého telesa. Elementárna práca vonkajších síl v čase dt sa bude rovnať zmene kinetickej energie telesa

Ak vezmeme diferenciál z kinetickej energie rotačného pohybu, zistíme jeho prírastok

.

V súlade so základnou rovnicou dynamiky pre rotačný pohyb

Berúc do úvahy tieto vzťahy, redukujeme výraz elementárnej práce na formu

kde je priemet výsledného momentu vonkajších síl na smer osi otáčania OZ, je uhol natočenia telesa za uvažované časové obdobie.

Integrovaním (5.31) získame vzorec pre prácu vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce teleso

Ak , potom sa vzorec zjednoduší

Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa voči pevnej osi je teda určená pôsobením priemetu momentu týchto síl na túto os.

Gyroskop

Gyroskop je rýchlo rotujúce symetrické teleso, ktorého os rotácie môže meniť svoj smer v priestore. Aby sa os gyroskopu mohla voľne otáčať v priestore, je gyroskop umiestnený v takzvanom kardanovom závese (obr. 5.13). Zotrvačník gyroskopu sa otáča vo vnútornom prstenci okolo osi C 1 C 2 prechádzajúcej jeho ťažiskom. Vnútorný krúžok sa zase môže otáčať vo vonkajšom krúžku okolo osi B 1 B 2, kolmej na C 1 C 2. Nakoniec sa vonkajší krúžok môže voľne otáčať v ložiskách vzpery okolo osi A 1 A 2, kolmej na osi C 1 C 2 a B 1 B 2. Všetky tri osi sa pretínajú v určitom pevnom bode O, ktorý sa nazýva stred zavesenia alebo os gyroskopu. Gyroskop v gimbale má tri stupne voľnosti, a preto môže robiť akúkoľvek rotáciu okolo stredu gimbalu. Ak sa stred závesu gyroskopu zhoduje s jeho ťažiskom, potom je výsledný moment tiaže všetkých častí gyroskopu vzhľadom na stred závesu nulový. Takýto gyroskop sa nazýva vyvážený.

Uvažujme teraz o tom najviac dôležité vlastnosti gyroskop, ktoré našli široké uplatnenie v rôznych oblastiach.

1) Stabilita.

Pri akomkoľvek otáčaní stojana vyváženého gyroskopu zostáva jeho os otáčania nezmenená vzhľadom na smer laboratórny systém odpočítavanie. Je to spôsobené tým, že moment všetkých vonkajších síl, rovný momentu trecích síl, je veľmi malý a prakticky nespôsobuje zmenu momentu hybnosti gyroskopu, t.j.

Pretože moment hybnosti smeruje pozdĺž osi rotácie gyroskopu, jeho orientácia musí zostať nezmenená.

Ak vonkajšia sila pôsobí krátko, potom integrál, ktorý určuje prírastok momentu hybnosti, bude malý

. (5.34)

To znamená, že pri krátkodobých vplyvoch aj veľkých síl sa pohyb vyváženého gyroskopu mení len málo. Zdá sa, že gyroskop odoláva akýmkoľvek pokusom o zmenu veľkosti a smeru svojho momentu hybnosti. Je to spôsobené pozoruhodnou stabilitou, ktorú pohyb gyroskopu nadobudne po jeho uvedení do rýchlej rotácie. Táto vlastnosť gyroskopu je široko používaná na automatické ovládanie pohybu lietadiel, lodí, rakiet a iných zariadení.

Ak pôsobíte na gyroskop dlho Ak je moment vonkajších síl v smere konštantný, potom je os gyroskopu v konečnom dôsledku nastavená v smere momentu vonkajších síl. Tento jav používané v gyrokompase. Toto zariadenie je gyroskop, ktorého os je možné voľne otáčať v horizontálnej rovine. Vplyvom dennej rotácie Zeme a pôsobením momentu odstredivých síl sa os gyroskopu otáča tak, že uhol medzi a sa stáva minimálnym (obr. 5.14). To zodpovedá polohe osi gyroskopu v rovine poludníka.

2). Gyroskopický efekt.

Ak na rotačný gyroskop pôsobí dvojica síl a má tendenciu otáčať ho okolo osi kolmej na os otáčania, potom sa začne otáčať okolo tretej osi, kolmej na prvé dve (obr. 5.15). Toto neobvyklé správanie gyroskopu sa nazýva gyroskopický efekt. Vysvetľuje sa to tým, že moment dvojice síl smeruje pozdĺž osi O 1 O 1 a zmena vektora podľa veľkosti v čase bude mať rovnaký smer. V dôsledku toho sa nový vektor bude otáčať vzhľadom na os O202. Správanie gyroskopu, na prvý pohľad neprirodzené, teda plne zodpovedá zákonom dynamiky rotačného pohybu

3). Precesia gyroskopu.

Precesia gyroskopu je kužeľovitý pohyb jeho osi. Vyskytuje sa v prípade, keď sa moment vonkajších síl, ktorý má konštantnú veľkosť, otáča súčasne s osou gyroskopu a neustále s ním zviera pravý uhol. Na demonštráciu precesie možno použiť koleso bicykla s predĺženou osou nastavenou do rýchleho otáčania (obr. 5.16).

Ak je koleso zavesené za predĺžený koniec nápravy, jeho náprava sa vplyvom vlastnej hmotnosti začne pretláčať okolo zvislej osi. Ako ukážka precesie môže slúžiť aj rýchlo sa otáčajúci vrch.

Poďme zistiť dôvody precesie gyroskopu. Uvažujme nevyvážený gyroskop, ktorého os sa môže voľne otáčať okolo určitého bodu O (obr. 5.16). Moment gravitácie aplikovaný na gyroskop má rovnakú veľkosť

kde je hmotnosť gyroskopu, je vzdialenosť od bodu O k ťažisku gyroskopu, je uhol, ktorý zviera os gyroskopu s vertikálou. Vektor je nasmerovaný kolmo na vertikálnu rovinu prechádzajúcu osou gyroskopu.

Pod vplyvom tohto momentu sa moment hybnosti gyroskopu (jeho začiatok je umiestnený v bode O) časom zvýši a vertikálna rovina prechádzajúca osou gyroskopu sa otočí o uhol. Vektor je vždy kolmý na , preto bez zmeny veľkosti sa vektor mení iba v smere. Avšak po chvíli vzájomného usporiadania vektory a budú rovnaké ako v počiatočnom momente. V dôsledku toho sa os gyroskopu bude neustále otáčať okolo vertikály a opisuje kužeľ. Tento pohyb sa nazýva precesia.

Určme uhlovú rýchlosť precesie. Podľa obr.5.16 je uhol natočenia roviny prechádzajúcej osou kužeľa a osou gyroskopu rovný

kde je moment hybnosti gyroskopu a jeho prírastok v čase.

Vydelením , berúc do úvahy uvedené vzťahy a transformácie, dostaneme uhlovú rýchlosť precesie

. (5.35)

Pre gyroskopy používané v technológii je uhlová rýchlosť precesie miliónkrát menšia ako rýchlosť rotácie gyroskopu.

Na záver poznamenávame, že fenomén precesie sa pozoruje aj v atómoch v dôsledku orbitálneho pohybu elektrónov.

Príklady aplikácie zákonov dynamiky

Pri rotačnom pohybe

1. Uvažujme o niekoľkých príkladoch zákona o zachovaní momentu hybnosti, ktorý možno implementovať pomocou Zhukovského lavice. V najjednoduchšom prípade je Žukovského lavica diskovitá plošina (stolička), ktorá sa môže voľne otáčať okolo zvislej osi na guľôčkových ložiskách (obr. 5.17). Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke, potom sa uvedie do rotácie. Vzhľadom na to, že trecie sily spôsobené použitím ložísk sú veľmi malé, moment hybnosti systému pozostávajúceho zo stola a demonštrátora vzhľadom na os otáčania sa nemôže časom meniť, ak je systém ponechaný na jeho vlastné zariadenia. . Ak demonštrant drží v rukách ťažké činky a rozpaží ruky do strán, tak zvýši moment zotrvačnosti sústavy, a preto musí uhlová rýchlosť rotácie klesnúť tak, aby moment hybnosti zostal nezmenený.

Podľa zákona zachovania momentu hybnosti vytvoríme pre tento prípad rovnicu

kde je moment zotrvačnosti osoby a lavice a je moment zotrvačnosti činiek v prvej a druhej polohe a sú uhlové rýchlosti systému.

Uhlová rýchlosť otáčania systému pri zdvíhaní činiek na stranu sa bude rovnať

.

práca, spáchaný človekom pri pohybe činiek, možno určiť prostredníctvom zmeny kinetickej energie systému

2. Uveďme ďalší experiment so Žukovského lavicou. Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke a dostane do ruky rýchlo sa otáčajúce koleso s vertikálne nasmerovanou osou (obr. 5.18). Demonštrátor potom otočí koleso o 180°. V tomto prípade sa zmena momentu hybnosti kolesa úplne prenesie na lavicu a demonštrátor. Tým sa lavica spolu s demonštrátorom začne otáčať uhlovou rýchlosťou určenou na základe zákona zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti systému v počiatočnom stave je určený iba momentom hybnosti kolesa a rovná sa

kde je moment zotrvačnosti kolesa a je uhlová rýchlosť jeho otáčania.

Po otočení kolesa o uhol 180° bude moment hybnosti sústavy určený súčtom momentu hybnosti lavice s osobou a momentu hybnosti kolesa. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že vektor momentu hybnosti kolesa zmenil svoj smer na opačný a jeho priemet na vertikálnu os sa stal negatívnym, dostaneme

,

kde je moment zotrvačnosti systému „osoba-platforma“ a je uhlová rýchlosť otáčania lavice s osobou.

Podľa zákona zachovania momentu hybnosti

A .

V dôsledku toho zistíme rýchlosť otáčania lavice

3. Tenká tyč hmoty m a dĺžka l sa otáča uhlovou rýchlosťou ω=10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Pokračujúc v otáčaní v rovnakej rovine sa tyč pohybuje tak, že os otáčania teraz prechádza koncom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť v druhom prípade.

Pri tomto probléme sa v dôsledku toho, že sa mení rozloženie hmoty tyče vzhľadom na os otáčania, mení aj moment zotrvačnosti tyče. V súlade so zákonom zachovania momentu hybnosti izolovanej sústavy máme

Tu je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom k osi prechádzajúcej stredom tyče; je moment zotrvačnosti tyče voči osi prechádzajúcej jej koncom a zistený Steinerovou vetou.

Dosadením týchto výrazov do zákona zachovania momentu hybnosti dostaneme

,

.

4. Dĺžka tyče L= 1,5 m a hmotnosť m 1= 10 kg závesne zavesené na hornom konci. Guľka s hmotnosťou m 2=10 g, letí horizontálne rýchlosťou =500 m/s a zasekne sa v tyči. Pod akým uhlom sa tyč po dopade vychýli?

Predstavme si na obr. 5.19. systém interagujúcich telies „tyč-guľa“. Momenty vonkajších síl (gravitácia, reakcia nápravy) v momente nárazu sú rovné nule, takže môžeme použiť zákon zachovania momentu hybnosti

Moment hybnosti systému pred nárazom sa rovná momentu hybnosti strely vzhľadom na bod zavesenia

Moment hybnosti systému po nepružnom náraze je určený vzorcom

,

kde je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na závesný bod, je moment zotrvačnosti strely, je uhlová rýchlosť tyče s strelou bezprostredne po dopade.

Vyriešením výslednej rovnice po dosadení zistíme

.

Využime teraz zákon zachovania mechanickej energie. Porovnajme kinetickú energiu tyče po dopade guľky s jej potenciálnou energiou najvyšší bod výťah:

,

kde je výška ťažiska tohto systému.

Po vykonaní potrebných transformácií získame

Uhol vychýlenia tyče súvisí s pomerom

.

Po vykonaní výpočtov dostaneme =0,1p=18 0 .

5. Určte zrýchlenie telies a napätie nite na stroji Atwood za predpokladu, že (obr. 5.20). Moment zotrvačnosti bloku vzhľadom na os otáčania sa rovná ja, polomer bloku r. Zanedbajte hmotnosť vlákna.

Usporiadajme všetky sily pôsobiace na zaťaženia a blok a zostavme pre ne dynamické rovnice

Ak nedôjde k prekĺznutiu závitu pozdĺž bloku, potom lineárne a uhlové zrýchlenie sú navzájom spojené vzťahom

Vyriešením týchto rovníc dostaneme

Potom nájdeme T1 a T2.

6. Na kladke Oberbeckovho kríža je pripevnený závit (obr. 5.21), z ktorého sa bremeno zváž. M= 0,5 kg. Určte, ako dlho trvá pád bremena z výšky h= 1 m do spodnej polohy. Polomer kladky r= 3 cm, váženie štyroch závaží m= 250 g každý na diaľku R= 30 cm od svojej osi. Moment zotrvačnosti kríža a samotnej kladky je zanedbaný v porovnaní s momentom zotrvačnosti bremien.

Mechanika.

Otázka č.1

Referenčný systém. Inerciálne referenčné systémy. Princíp relativity Galileo - Einstein.

Referenčný rámec- ide o súbor telies, vo vzťahu ku ktorým sa opisuje pohyb daného telesa a súradnicový systém s ním spojený.

Inerciálny referenčný systém (IRS) je systém, v ktorom je voľne sa pohybujúce teleso v stave pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu.

Galileo-Einsteinov princíp relativity- Všetky prírodné javy v akejkoľvek inerciálnej vzťažnej sústave sa vyskytujú rovnakým spôsobom a majú rovnaké matematická forma. Inými slovami, všetky ISO sú rovnaké.

Otázka č.2

Pohybová rovnica. Druhy pohybu pevný. Hlavná úloha kinematiky.

Pohybové rovnice hmotného bodu:

- kinematická pohybová rovnica

Druhy pohybu tuhého telesa:

1) Translačný pohyb – akákoľvek priamka nakreslená v tele sa pohybuje rovnobežne sama so sebou.

2) Rotačný pohyb – ľubovoľný bod tela sa pohybuje po kružnici.

φ = φ(t)

Hlavná úloha kinematiky- ide o získanie časovej závislosti rýchlosti V= V(t) a súradníc (alebo polomerového vektora) r = r(t) hmotného bodu z známa závislosť na čase jeho zrýchlenia a = a(t) a známych počiatočných podmienkach V 0 a r 0 .

Otázka č.7

Pulz (Množstvo pohybu) - vektor fyzikálne množstvo, charakterizujúce mieru mechanického pohybu telesa. V klasickej mechanike sa hybnosť telesa rovná súčinu hmotnosti m tento bod svojou rýchlosťou v, smer impulzu sa zhoduje so smerom vektora rýchlosti:

V teoretickej mechanike generalizovaný impulz je čiastočná derivácia Lagrangianu systému vzhľadom na zovšeobecnenú rýchlosť

Ak Lagrangian systému nezávisí od niektorých zovšeobecnené súradnice, potom kvôli Lagrangeove rovnice .

Pre voľnú časticu má Lagrangeova funkcia tvar: , teda:

Nezávislosť lagrangea uzavretého systému od jeho polohy v priestore vyplýva z vlastnosti homogénnosť priestoru: pre dobre izolovaný systém jeho správanie nezávisí od toho, kde v priestore ho umiestnime. Autor: Noetherova veta Z tejto homogenity vyplýva zachovanie nejakej fyzikálnej veličiny. Táto veličina sa nazýva impulz (obyčajný, nie zovšeobecnený).

V klasickej mechanike komplet impulz sústava hmotných bodov sa nazýva vektorová veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotností hmotných bodov a ich rýchlosti:

podľa toho sa veličina nazýva hybnosť jedného hmotného bodu. Ide o vektorovú veličinu smerujúcu rovnakým smerom ako rýchlosť častice. Medzinárodná sústava jednotiek (SI) jednotka impulzu je kilogram-meter za sekundu(kg m/s)

Ak máme čo do činenia s telesom konečnej veľkosti, na určenie jeho hybnosti je potrebné rozložiť teleso na malé časti, ktoré možno považovať za hmotné body a sčítať ich, výsledkom je:

Impulz systému, ktorý nie je ovplyvnený žiadnymi vonkajšími silami (alebo sú kompenzované) uložené na čas:

Zachovanie hybnosti v tomto prípade vyplýva z druhého a tretieho Newtonovho zákona: napísaním druhého Newtonovho zákona pre každý z hmotných bodov tvoriacich systém a sčítaním všetkých hmotných bodov tvoriacich systém získame na základe tretieho Newtonovho zákona rovnosť (* ).

V relativistickej mechanike je trojrozmerná hybnosť systému neinteragujúcich hmotných bodov množstvo

,

Kde m i- hmotnosť i materiálny bod.

Pre uzavretý systém neinteragujúcich hmotných bodov je táto hodnota zachovaná. Trojrozmerná hybnosť však nie je relativisticky invariantná veličina, pretože závisí od referenčnej sústavy. Zmysluplnejšou veličinou bude štvorrozmerná hybnosť, ktorá je pre jeden hmotný bod definovaná ako

V praxi sa často používajú tieto vzťahy medzi hmotnosťou, hybnosťou a energiou častice:

V zásade platí, že pre systém neinteragujúcich hmotných bodov sa ich 4-momenty sčítavajú. Pre interagujúce častice v relativistickej mechanike je však potrebné brať do úvahy nielen hybnosť častíc, ktoré tvoria systém, ale aj hybnosť interakčného poľa medzi nimi. Oveľa zmysluplnejšou veličinou v relativistickej mechanike je preto tenzor energie-hybnosti, ktorý plne spĺňa zákony zachovania.

Otázka č. 8

Moment zotrvačnosti- skalárna fyzikálna veličina, miera zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri posuvnom pohybe. Charakterizované rozložením hmôt v tele: moment zotrvačnosti rovná súčtu súčin elementárnych hmotností druhou mocninou ich vzdialeností k základnej množine

Axiálny moment zotrvačnosti

Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies.

Moment zotrvačnosti mechanického systému vzhľadom k pevnej osi („axiálny moment zotrvačnosti“) je množstvo J a, ktorý sa rovná súčtu súčinov hmotností všetkých n hmotné body systému štvorcami ich vzdialeností od osi:

,

• m i- hmotnosť i bod,
• RI- vzdialenosť od i bod k osi.

Axiálny moment zotrvačnosti telo J a je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

,

• dm = ρ dV- hmotnosť malého prvku objemu tela dV,
• ρ - hustota,
• r- vzdialenosť od prvku dV na os a.

Ak je teleso homogénne, teda jeho hustota je všade rovnaká

Odvodenie vzorca

dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Tenkostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti jeho častí. Rozdeľte tenkostenný valec na prvky s hmotou dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Pretože všetky prvky tenkostenného valca sú v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania, vzorec (1) sa transformuje do tvaru

Steinerova veta

Moment zotrvačnosti pevného telesa vzhľadom na ktorúkoľvek os závisí nielen od hmotnosti, tvaru a veľkosti telesa, ale aj od polohy telesa voči tejto osi. Podľa Steinerovej vety (Huygens-Steinerova veta) moment zotrvačnosti telo J vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu moment zotrvačnosti toto telo J c vzhľadom na os prechádzajúcu cez ťažisko tela rovnobežnú s uvažovanou osou a súčinom hmotnosti tela m na štvorec vzdialenosti d medzi osami:

Ak je moment zotrvačnosti telesa vo vzťahu k osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, potom sa moment zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežnú os umiestnenú vo vzdialenosti od nej rovná

,

Kde - plná hmotnosť telá.

Napríklad moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi prechádzajúcej jej koncom sa rovná:

Rotačná energia

Kinetická energia rotačného pohybu- energia telesa spojená s jeho otáčaním.

Hlavnými kinematickými charakteristikami rotačného pohybu telesa sú jeho uhlová rýchlosť (ω) a uhlové zrýchlenie. Hlavné dynamické charakteristiky rotačného pohybu - moment hybnosti vzhľadom na os rotácie z:

K z = Izω

a kinetickej energie

kde I z je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Podobný príklad možno nájsť pri uvažovaní o rotujúcej molekule s hlavnými osami zotrvačnosti ja 1, ja 2 A ja 3. Rotačná energia takejto molekuly je daná výrazom

Kde ω 1, ω 2, A ω 3- hlavné zložky uhlovej rýchlosti.

Vo všeobecnosti sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, Kde ja- tenzor zotrvačnosti.

Otázka č.9

Moment impulzu (moment hybnosti, moment hybnosti, orbitálny moment, moment hybnosti) charakterizuje veľkosť rotačného pohybu. Množstvo, ktoré závisí od toho, koľko hmoty sa otáča, ako je rozložená vzhľadom na os rotácie a akou rýchlosťou rotácia nastáva.

Treba poznamenať, že rotácia je tu chápaná v širokom zmysle, nielen ako pravidelná rotácia okolo osi. Napríklad aj s priamy pohyb teleso za ľubovoľným imaginárnym bodom, ktorý neleží na línii pohybu, má tiež moment hybnosti. Azda najväčšiu úlohu zohráva moment hybnosti pri popise skutočného rotačného pohybu. Je to však mimoriadne dôležité pre oveľa širšiu triedu problémov (najmä ak má problém stredovú alebo osovú symetriu, ale nielen v týchto prípadoch).

Zákon zachovania momentu hybnosti(zákon zachovania momentu hybnosti) - vektorový súčet všetkých momentov hybnosti vzhľadom na ľubovoľnú os pre uzavretý systém zostáva konštantný v prípade rovnováhy systému. V súlade s tým je moment hybnosti uzavretého systému vzhľadom na akúkoľvek nederiváciu momentu hybnosti vzhľadom na čas momentom sily:

Požiadavku na uzavretosť systému možno teda oslabiť na požiadavku, aby sa hlavný (celkový) moment vonkajších síl rovnal nule:

kde je moment jednej zo síl pôsobiacich na sústavu častíc. (Ale samozrejme, ak neexistujú žiadne vonkajšie sily, táto požiadavka je tiež splnená).

Matematicky zákon zachovania momentu hybnosti vyplýva z izotropie priestoru, teda z nemennosti priestoru vzhľadom na rotáciu o ľubovoľný uhol. Pri otočení o ľubovoľný nekonečne malý uhol sa vektor polomeru častice s číslom zmení o , a rýchlosť - . Lagrangeova funkcia systému sa takouto rotáciou nezmení, kvôli izotropii priestoru. Preto

Vyjadrenie pre kinetickú energiu rotujúceho telesa, berúc do úvahy to lineárna rýchlosťľubovoľného hmotného bodu, ktorý tvorí teleso, sa vzhľadom na os otáčania rovná má tvar

kde je moment zotrvačnosti telesa voči zvolenej osi rotácie, jeho uhlová rýchlosť voči tejto osi a moment hybnosti telesa voči osi rotácie.

Ak teleso prechádza translačným rotačným pohybom, potom výpočet kinetickej energie závisí od výberu pólu, vzhľadom na ktorý je pohyb telesa opísaný. Konečný výsledok bude rovnaký. Takže, ak pre okrúhle teleso valiace sa rýchlosťou v bez skĺznutia s polomerom R a koeficientom zotrvačnosti k, pól sa vezme v jeho CM, v bode C, potom jeho moment zotrvačnosti je , a uhlová rýchlosť otáčania okolo osi C je . Potom je kinetická energia telesa .

Ak je pól zachytený v bode O kontaktu medzi telesom a povrchom, cez ktorý prechádza okamžitá os rotácie telesa, potom sa jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os O rovná. . Potom sa kinetická energia telesa, berúc do úvahy, že uhlové rýchlosti otáčania telesa sú rovnaké vzhľadom na rovnobežné osi a teleso vykonáva čistú rotáciu okolo osi O, rovná . Výsledok je rovnaký.

Veta o kinetickej energii telesa vykonávajúceho zložitý pohyb bude mať rovnakú formu ako jeho translačný pohyb: .

Príklad 1 Teleso s hmotnosťou m je pripevnené ku koncu závitu navinutého okolo valcového bloku s polomerom R a hmotnosťou M. Telo sa zdvihne do výšky h a uvoľní (obr. 65). Po nepružnom trhnutí nite sa telo a blok okamžite začnú pohybovať spolu. Koľko tepla sa uvoľní počas trhnutia? Aké bude zrýchlenie tela a napnutie nite po trhnutí? Aká bude rýchlosť telesa a vzdialenosť, ktorú prejde po trhnutí závitu po čase t?

Dané: M, R, m, h, g, t. Nájsť: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Riešenie: Rýchlosť tela pred trhnutím nite. Po trhnutí závitu sa blok a teleso dostanú do rotačného pohybu vzhľadom na os bloku O a budú sa správať ako telesá s momentmi zotrvačnosti vzhľadom na túto os rovnými a . ich všeobecný moment zotrvačnosť okolo osi otáčania.

Trhnutie nite - rýchly proces a pri trhnutí nastáva zákon zachovania momentu hybnosti sústavy blok-telo, ktorý tým, že sa teleso a blok hneď po trhnutí začnú spolu pohybovať, má tvar: . Odkiaľ pochádza počiatočná uhlová rýchlosť otáčania bloku? a počiatočná lineárna rýchlosť telesa .

Kinetická energia systému, v dôsledku zachovania jeho momentu hybnosti, sa bezprostredne po trhnutí závitu rovná . Teplo uvoľnené pri trhnutí podľa zákona zachovania energie

Dynamické pohybové rovnice telies sústavy po trhnutí závitu nezávisia od ich počiatočnej rýchlosti. Pre blok má tvar alebo, a pre telo. Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme . Odkiaľ pochádza zrýchlenie pohybu tela? Napätie nite

Kinematické rovnice pohybu tela po trhnutí budú mať tvar , kde sú známe všetky parametre.

odpoveď: . .

Príklad 2. Dve okrúhle telesá s koeficientmi zotrvačnosti (dutý valec) a (guľa) umiestnené na základni naklonenej roviny s uhlom sklonu α vykazujú identické počiatočné rýchlosti smerujúce nahor pozdĺž naklonenej roviny. Do akej výšky a za aký čas vystúpia telesá do tejto výšky? Aké sú zrýchlenia stúpajúcich telies? Koľkokrát sa líšia výšky, časy a zrýchlenia telies? Telesá sa pohybujú po naklonenej rovine bez skĺznutia.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Na teleso pôsobí: gravitácia m g, reakcia naklonenej roviny N a trecia sila spojky (obr. 67). Tvorba normálna reakcia a adhézne trecie sily (nedochádza k skĺznutiu a neuvoľňuje sa žiadne teplo v mieste adhézie telesa a roviny.) sú rovné nule: , preto na opis pohybu telies možno použiť zákon zachovania energie: . Kde .

Časy a zrýchlenia pohybu telies nájdeme z kinematických rovníc . Kde , . Pomer výšok, časov a zrýchlení zdvíhacích telies:

Odpoveď: , , , .

Príklad 3. Guľka s hmotnosťou letiaca rýchlosťou narazí do stredu gule s hmotnosťou M a polomerom R, pripevnenej ku koncu tyče s hmotnosťou m a dĺžky l, zavesenej v bode O za jej druhý koniec, a vyletí z nej. s rýchlosťou (obr. 68). Nájdite uhlovú rýchlosť otáčania systému tyč-guľa bezprostredne po dopade a uhol vychýlenia tyče po dopade strely.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Momenty zotrvačnosti tyče a gule vzhľadom na závesný bod O tyče podľa Steinerovej vety: a . Celkový moment zotrvačnosti systému tyč-guľa . Náraz strely je rýchly proces a platí zákon zachovania momentu hybnosti systému strela-tyč-guľa (telesá po zrážke vstupujú do rotačného pohybu): . Odkiaľ pochádza uhlová rýchlosť pohybu systému tyč-guľa bezprostredne po náraze?

Poloha CM systému tyč-guľa vzhľadom na závesný bod O: . Zákon zachovania energie pre CM systému po náraze, berúc do úvahy zákon zachovania momentu hybnosti systému pri náraze, má tvar . Odkiaľ stúpa výška CM systému po náraze? . Uhol vychýlenia tyče po dopade je daný stavom .

odpoveď: , , .

Príklad 4. Blok sa silou N pritlačí na okrúhle teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k, ktoré sa otáča uhlovou rýchlosťou . Ako dlho bude trvať, kým sa valec zastaví a koľko tepla sa uvoľní, keď sa podložka počas tejto doby otiera o valec? Koeficient trenia medzi blokom a valcom je .

Dané: Nájsť:

Riešenie: Práca vykonaná trecou silou pred zastavením telesa podľa vety o kinetickej energii sa rovná . Teplo uvoľnené počas otáčania .

Rovnica rotačného pohybu telesa má tvar . Odkiaľ pochádza uhlové zrýchlenie jeho pomalého otáčania? . Čas, ktorý telo potrebuje na otáčanie, kým sa nezastaví.

Odpoveď: , .

Príklad 5. Kruhové teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k sa roztočí na uhlovú rýchlosť proti smeru hodinových ručičiek a umiestni sa na vodorovnú plochu priľahlú k zvislej stene (obr. 70). Ako dlho bude trvať, kým sa telo zastaví a koľko otáčok urobí, kým sa zastaví? Aké množstvo tepla sa uvoľní, keď sa telo počas tejto doby trie o povrch? Koeficient trenia telesa na povrchu sa rovná .

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Teplo uvoľnené pri otáčaní telesa až do jeho zastavenia sa rovná práci trecích síl, ktoré možno nájsť pomocou vety o kinetickej energii telesa. Máme.

Reakcia v horizontálnej rovine. Trecie sily pôsobiace na teleso z vodorovných a zvislých plôch sú rovnaké: a .Zo sústavy týchto dvoch rovníc získame a .

Ak vezmeme do úvahy tieto vzťahy, rovnica rotačného pohybu telesa má tvar (. Odkiaľ sa uhlové zrýchlenie otáčania telesa rovná. Potom čas otáčania telesa pred jeho zastavením a počet otáčok robí.

Odpoveď: , , , .

Príklad 6. Kruhové teleso s koeficientom zotrvačnosti k sa bez skĺznutia odvaľuje z vrcholu pologule s polomerom R stojacej na vodorovnej ploche (obr. 71). V akej výške a akou rýchlosťou sa odtrhne od pologule a akou rýchlosťou dopadne na vodorovnú plochu?

Dané: k, g, R. Nájsť:

Riešenie: Na telo pôsobia sily . Práca a 0, (nedochádza k šmýkaniu a neuvoľňuje sa teplo v mieste priľnutia pologule a gule) teda na popis pohybu telesa je možné použiť zákon zachovania energie. Druhý Newtonov zákon pre CM telesa v bode jeho oddelenia od pologule, berúc do úvahy, že v tomto bode má tvar , odkiaľ . Zákon zachovania energie pre počiatočný bod a bod oddelenia telesa má tvar . Odtiaľ výška a rýchlosť oddelenia tela od pologule sú rovnaké, .

Po oddelení telesa od pologule sa mení iba jeho translačná kinetická energia, preto má zákon zachovania energie pre body oddelenia a pádu telesa na zem tvar . Kam sa s prihliadnutím dostaneme . Pre teleso kĺzajúce po povrchu pologule bez trenia platí k=0 a , , .

odpoveď: , , .