Podľa učebnice Sovetova a Jakovleva: „model (lat. modul - miera) je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý zabezpečuje štúdium niektorých vlastností originálu.“ (s. 6) “Nahradenie jedného objektu iným s cieľom získať informácie o najdôležitejších vlastnostiach pôvodného objektu pomocou objektu modelu sa nazýva modelovanie.” (s. 6) „Matematickým modelovaním rozumieme proces vytvárania súladu s daným reálnym objektom s určitým matematickým objektom, nazývaným matematický model, a štúdium tohto modelu, ktoré nám umožňuje získať charakteristiky reálneho posudzovaný objekt. Typ matematického modelu závisí tak od povahy skutočného objektu, ako aj od úloh štúdia objektu a od požadovanej spoľahlivosti a presnosti riešenia tohto problému.

Nakoniec najvýstižnejšia definícia matematického modelu: „Rovnica vyjadrujúca myšlienku».

Klasifikácia modelu

Formálna klasifikácia modelov

Formálna klasifikácia modelov je založená na klasifikácii použitých matematických nástrojov. Často konštruované vo forme dichotómií. Napríklad jeden z populárnych súborov dichotómií:

a tak ďalej. Každý skonštruovaný model je lineárny alebo nelineárny, deterministický alebo stochastický, ... Prirodzene sú možné aj zmiešané typy: koncentrované v jednom ohľade (z hľadiska parametrov), rozdelené v inom atď.

Klasifikácia podľa spôsobu znázornenia objektu

Spolu s formálnou klasifikáciou sa modely líšia v spôsobe, akým predstavujú objekt:

• Štrukturálne alebo funkčné modely

Štrukturálne modely predstavujú objekt ako systém s vlastnou štruktúrou a mechanizmom fungovania. Funkčné modely nepoužívať takéto reprezentácie a reflektovať len navonok vnímané správanie (fungovanie) objektu. Vo svojom extrémnom prejave sa im hovorí aj modely „čiernej skrinky“. Možné sú aj kombinované typy modelov, ktoré sa niekedy nazývajú „ šedá krabica».

Obsahové a formálne modely

Takmer všetci autori popisujúci proces matematického modelovania uvádzajú, že najprv sa vytvorí špeciálna ideálna štruktúra, obsahový model. Neexistuje tu ustálená terminológia a iní autori to nazývajú ideálnym objektom Koncepčný model , špekulatívny model alebo predmodelovať. V tomto prípade je výsledná matematická konštrukcia tzv formálny model alebo jednoducho matematický model získaný ako výsledok formalizácie daného zmysluplného modelu (predmodelu). Konštrukcia zmysluplného modelu môže byť vykonaná pomocou sady hotových idealizácií, ako v mechanike, kde ideálne pružiny, tuhé telesá, ideálne kyvadla, elastické médiá atď. poskytujú hotové konštrukčné prvky pre zmysluplné modelovanie. Avšak v oblastiach poznania, kde neexistujú úplne dokončené formalizované teórie (špičková fyzika, biológia, ekonómia, sociológia, psychológia a väčšina ďalších oblastí), sa vytváranie zmysluplných modelov stáva dramaticky zložitejším.

Obsahová klasifikácia modelov

Žiadna hypotéza vo vede nemôže byť dokázaná raz a navždy. Richard Feynman to formuloval veľmi jasne:

„Vždy máme možnosť vyvrátiť teóriu, ale všimnite si, že nikdy nemôžeme dokázať, že je správna. Predpokladajme, že ste predložili úspešnú hypotézu, vypočítali ste, kam vedie, a zistili ste, že všetky jej dôsledky sú experimentálne potvrdené. Znamená to, že vaša teória je správna? Nie, znamená to jednoducho, že si to nedokázal vyvrátiť."

Ak sa vytvorí model prvého typu, znamená to, že je dočasne prijatý ako pravda a človek sa môže sústrediť na iné problémy. To však nemôže byť bod vo výskume, ale len dočasná pauza: status modelu prvého typu môže byť len dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (správame sa ako keby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanizmus na popis javu. Tento mechanizmus však nie je dostatočne presvedčivý, nedá sa dostatočne potvrdiť dostupnými údajmi, alebo sa dobre nezhoduje s existujúcimi teóriami a nahromadenými poznatkami o objekte. Preto majú fenomenologické modely status dočasných riešení. Verí sa, že odpoveď je stále neznáma a hľadanie „skutočných mechanizmov“ musí pokračovať. Peierls zaraďuje ako druhý typ napríklad kalorický model a kvarkový model elementárnych častíc.

Úloha modelu vo výskume sa môže časom meniť a môže sa stať, že nové dáta a teórie potvrdia fenomenologické modely a tie sa povýšia do stavu hypotézy. Rovnako aj nové poznatky sa môžu postupne dostať do konfliktu s modelmi-hypotézami prvého typu a môžu sa preniesť do druhého. Model kvarku sa teda postupne presúva do kategórie hypotéz; atomizmus vo fyzike vznikol ako dočasné riešenie, ale postupom dejín sa stal prvým typom. Ale éterové modely sa dostali od typu 1 k typu 2 a teraz sú mimo vedu.

Myšlienka zjednodušenia je veľmi populárna pri zostavovaní modelov. Zjednodušenie však prichádza v rôznych podobách. Peierls identifikuje tri typy zjednodušení v modelovaní.

Typ 3: Aproximácia (považujeme niečo za veľmi veľké alebo veľmi malé)

Ak je možné zostrojiť rovnice, ktoré popisujú skúmaný systém, neznamená to, že sa dajú vyriešiť aj pomocou počítača. Bežnou technikou je v tomto prípade použitie aproximácií (modely typu 3). Medzi nimi modely lineárnej odozvy. Rovnice sú nahradené lineárnymi. Štandardným príkladom je Ohmov zákon.

Tu prichádza typ 8, ktorý je rozšírený v matematických modeloch biologických systémov.

Typ 8: Ukážka funkcií (hlavná vec je ukázať vnútornú konzistenciu možnosti)

To sú také myšlienkové experimenty s imaginárnymi entitami, ktoré to dokazujú domnelý jav v súlade so základnými princípmi a vnútorne v súlade. To je hlavný rozdiel od modelov typu 7, ktoré odhaľujú skryté rozpory.

Jedným z najznámejších z týchto experimentov je Lobačevského geometria (Lobačevskij ju nazval „imaginárna geometria“). Ďalším príkladom je masová výroba formálne kinetických modelov chemických a biologických vibrácií, autovĺn atď. kvantová mechanika. Úplne neplánovane sa z toho nakoniec stal model 8. typu – ukážka možnosti kvantovej teleportácie informácií.

Príklad

Uvažujme mechanický systém pozostávajúci z pružiny upevnenej na jednom konci a hmoty , pripevnenej k voľnému koncu pružiny. Budeme predpokladať, že zaťaženie sa môže pohybovať iba v smere osi pružiny (napríklad pohyb nastáva pozdĺž tyče). Zostavme si matematický model tohto systému. Stav systému popíšeme vzdialenosťou od stredu zaťaženia k jeho rovnovážnej polohe. Popíšme interakciu pružiny a použitia zaťaženia Hookov zákon() a potom použite druhý Newtonov zákon na jeho vyjadrenie vo forme diferenciálnej rovnice:

kde znamená druhú deriváciu s ohľadom na čas: .

Výsledná rovnica popisuje matematický model uvažovaného fyzikálneho systému. Tento model sa nazýva "harmonický oscilátor".

Podľa formálnej klasifikácie je tento model lineárny, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Pri jeho konštrukcii sme vychádzali z mnohých predpokladov (o absencii vonkajších síl, absencii trenia, malých odchýlok a pod.), ktoré v skutočnosti nemusia byť splnené.

Vo vzťahu k realite ide najčastejšie o model 4. typu zjednodušenie(„pre prehľadnosť vynecháme niektoré detaily“), keďže niektoré základné univerzálne vlastnosti (napríklad rozptyl) sú vynechané. Do určitej aproximácie (povedzme, zatiaľ čo odchýlka zaťaženia od rovnováhy je malá, s nízkym trením, nie príliš dlho a za určitých ďalších podmienok), takýto model celkom dobre opisuje skutočný mechanický systém, pretože vyradené faktory zanedbateľný vplyv na jeho správanie . Model však možno spresniť zohľadnením niektorých z týchto faktorov. To povedie k novému modelu so širším (aj keď opäť obmedzeným) rozsahom použiteľnosti.

Pri zdokonaľovaní modelu sa však môže výrazne zvýšiť zložitosť jeho matematického výskumu a model sa môže stať prakticky zbytočným. Jednoduchší model často umožňuje lepšie a hlbšie skúmanie reálneho systému ako zložitejší (a formálne „správnejší“).

Ak použijeme model harmonického oscilátora na objekty ďaleko od fyziky, jeho vecný stav môže byť odlišný. Napríklad pri aplikácii tohto modelu na biologické populácie by mal byť s najväčšou pravdepodobnosťou klasifikovaný ako typ 6 analógia(„vezmime do úvahy len niektoré funkcie“).

Tvrdé a mäkké modely

Harmonický oscilátor je príkladom takzvaného „tvrdého“ modelu. Získava sa ako výsledok silnej idealizácie skutočného fyzického systému. Na vyriešenie otázky jej použiteľnosti je potrebné pochopiť, aké významné sú faktory, ktoré sme zanedbali. Inými slovami, je potrebné študovať „mäkký“ model, ktorý sa získa malou poruchou „tvrdého“. Môže byť daný napríklad nasledujúcou rovnicou:

Tu je nejaká funkcia, ktorá môže brať do úvahy treciu silu alebo závislosť koeficientu tuhosti pružiny od stupňa jej natiahnutia - nejaký malý parameter. Explicitná forma funkcie nás momentálne nezaujíma. Ak dokážeme, že správanie mäkkého modelu sa zásadne nelíši od správania tvrdého (bez ohľadu na explicitný typ rušivých faktorov, ak sú dostatočne malé), problém sa zredukuje na štúdium tvrdého modelu. V opačnom prípade bude aplikácia výsledkov získaných štúdiom rigidného modelu vyžadovať ďalší výskum. Napríklad riešením rovnice harmonického oscilátora sú funkcie tvaru , teda kmity s konštantnou amplitúdou. Vyplýva z toho, že skutočný oscilátor bude oscilovať donekonečna s konštantnou amplitúdou? Nie, pretože ak vezmeme do úvahy systém s ľubovoľne malým trením (v reálnom systéme vždy prítomné), dostaneme tlmené oscilácie. Správanie systému sa kvalitatívne zmenilo.

Ak si systém zachováva svoje kvalitatívne správanie pri malých poruchách, hovorí sa, že je štrukturálne stabilný. Harmonický oscilátor je príkladom štrukturálne nestabilného (nehrubého) systému. Tento model však možno použiť na štúdium procesov počas obmedzených časových období.

Všestrannosť modelov

Najdôležitejšie matematické modely zvyčajne majú dôležitú vlastnosť všestrannosť: Zásadne odlišné reálne javy možno opísať rovnakým matematickým modelom. Napríklad harmonický oscilátor opisuje nielen správanie sa záťaže na pružine, ale aj iné oscilačné procesy, často úplne iného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísanie hladiny kvapaliny v nádobe tvaru A. , alebo zmena sily prúdu v oscilačnom obvode. Štúdiom jedného matematického modelu teda okamžite študujeme celú triedu javov, ktoré popisuje. Je to izomorfizmus zákonov vyjadrený matematickými modelmi v rôznych segmentoch vedecké poznatky, inšpiráciou pre Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoreniu „Všeobecnej teórie systémov“.

Priame a inverzné úlohy matematického modelovania

S matematickým modelovaním je spojených veľa problémov. Najprv musíte prísť so základnou schémou modelovaného objektu, reprodukovať ho v rámci idealizácií tejto vedy. Vlakový vozeň sa tak mení na sústavu dosiek a zložitejších telies z rôzne materiály, každý materiál je špecifikovaný ako jeho štandardná mechanická idealizácia (hustota, moduly pružnosti, štandardné pevnostné charakteristiky), po ktorej sa zostavia rovnice, pričom sa niektoré detaily vyradia ako nepodstatné, urobia sa výpočty, porovná sa s meraniami, model sa spresní, a tak ďalej. Na vývoj technológií matematického modelovania je však užitočné tento proces rozobrať na jeho hlavné komponenty.

Tradične existujú dve hlavné triedy problémov spojených s matematickými modelmi: priame a inverzné.

Priama úloha: štruktúra modelu a všetky jeho parametre sa považujú za známe, hlavnou úlohou je vykonať štúdiu modelu s cieľom získať užitočné poznatky o objekte. Aké statické zaťaženie most vydrží? Ako bude reagovať na dynamickú záťaž (napríklad na pochod roty vojakov, alebo na prechod vlaku rôznou rýchlosťou), ako lietadlo prekoná zvukovú bariéru, či sa rozpadne od trepotania - toto sú typické príklady priameho problému. Stanovenie správneho priameho problému (položenie správnej otázky) si vyžaduje špeciálnu zručnosť. Ak sa nepoloží správne otázky, most sa môže zrútiť, aj keď bol vybudovaný dobrý model pre jeho správanie. V roku 1879 sa teda vo Veľkej Británii zrútil kovový most cez rieku Tay, ktorého konštruktéri postavili model mosta, vypočítali, že má 20-násobný bezpečnostný faktor pre pôsobenie užitočného zaťaženia, ale zabudli na vetry. v tých miestach neustále fúka. A po roku a pol sa to zrútilo.

V najjednoduchšom prípade (napríklad rovnica jedného oscilátora) je priamy problém veľmi jednoduchý a redukuje sa na explicitné riešenie tejto rovnice.

Inverzný problém: je známych veľa možných modelov, konkrétny model treba vybrať na základe dodatočných údajov o objekte. Najčastejšie je známa štruktúra modelu a je potrebné určiť niektoré neznáme parametre. Ďalšie informácie môžu pozostávať z dodatočných empirických údajov alebo požiadaviek na objekt ( dizajnový problém). Ďalšie údaje môžu prísť bez ohľadu na proces rozhodovania inverzný problém (pasívne pozorovanie) alebo je výsledkom experimentu špeciálne naplánovaného počas riešenia ( aktívny dohľad).

Jedným z prvých príkladov majstrovského riešenia inverzného problému s maximálnym využitím dostupných údajov bola metóda skonštruovaná I. Newtonom na rekonštrukciu trecích síl z pozorovaných tlmených kmitov.

Ďalším príkladom je matematická štatistika. Úlohou tejto vedy je vyvinúť metódy na zaznamenávanie, popis a analýzu pozorovacích a experimentálnych údajov s cieľom zostaviť pravdepodobnostné modely hromadných náhodných javov. Tie. množina možných modelov je obmedzená na pravdepodobnostné modely. V špecifických úlohách je množina modelov obmedzenejšia.

Počítačové simulačné systémy

Na podporu matematického modelovania boli vyvinuté počítačové matematické systémy, napríklad Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim atď. Umožňujú vytvárať formálne a blokové modely jednoduchých aj zložitých procesov a zariadení a jednoducho meniť parametre modelu počas modelovanie. Blokové modely sú reprezentované blokmi (najčastejšie grafickými), ktorých zostavu a zapojenie určuje modelová schéma.

Ďalšie príklady

Malthusov model

Tempo rastu je úmerné aktuálnej veľkosti populácie. Je opísaná diferenciálnou rovnicou

kde je určitý parameter určený rozdielom medzi pôrodnosťou a úmrtnosťou. Riešením tejto rovnice je exponenciálna funkcia. Ak pôrodnosť prevyšuje úmrtnosť (), veľkosť populácie sa neobmedzene a veľmi rýchlo zvyšuje. Je jasné, že v skutočnosti sa to kvôli obmedzeným zdrojom nemôže stať. Keď sa dosiahne určitá kritická veľkosť populácie, model prestáva byť adekvátny, pretože neberie do úvahy obmedzené zdroje. Spresnením Malthusovho modelu môže byť logistický model, ktorý je opísaný Verhulstovou diferenciálnou rovnicou

kde je „rovnovážna“ veľkosť populácie, pri ktorej je pôrodnosť presne kompenzovaná úmrtnosťou. Veľkosť populácie v takomto modeli má tendenciu k rovnovážnej hodnote a toto správanie je štrukturálne stabilné.

Systém dravec-korisť

Povedzme, že v určitej oblasti žijú dva druhy zvierat: králiky (jedia rastliny) a líšky (jedia králiky). Nech je počet králikov, počet líšok. Pomocou Malthusovho modelu s potrebnými úpravami, ktoré zohľadňujú požieranie králikov líškami, sa dostávame k nasledujúcemu systému, tzv. modely Podnosy - Volterra:

Tento systém má rovnovážny stav, keď je počet králikov a líšok konštantný. Odchýlka od tohto stavu má za následok kolísanie počtov králikov a líšok, podobne ako kolísanie harmonického oscilátora. Rovnako ako v prípade harmonického oscilátora, toto správanie nie je štrukturálne stabilné: malá zmena v modeli (napríklad berúc do úvahy obmedzené zdroje požadované králikmi) môže viesť ku kvalitatívnej zmene v správaní. Napríklad, rovnovážny stav sa môže stať stabilným a kolísanie čísel zmizne. Možný je aj opačný stav, kedy každá malá odchýlka od rovnovážnej polohy povedie ku katastrofálnym následkom, až k úplnému vyhynutiu niektorého z druhov. Model Volterra-Lotka neodpovedá na otázku, ktorý z týchto scenárov sa realizuje: tu je potrebný ďalší výskum.

Poznámky

1. „Matematické znázornenie reality“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., K filozofickým otázkam kybernetického modelovania. M., Vedomosti, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelovanie. Nápady. Metódy. Príklady. - 2. vyd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelovanie technologických procesov: učebnica / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Svetlý a potravinársky priemysel, 1984. - 344 s.
7. Wikislovník: matematický model
8. CliffsNotes.com. Slovník vedy o Zemi. 20. septembra 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. „Teória sa považuje za lineárnu alebo nelineárnu v závislosti od toho, aký druh matematického aparátu – lineárny alebo nelineárny – a aký druh lineárnych alebo nelineárnych matematických modelov používa. ...bez popierania toho druhého. Ak by moderný fyzik musel znovu vytvoriť definíciu takej dôležitej entity, akou je nelinearita, s najväčšou pravdepodobnosťou by konal inak a uprednostnil by nelinearitu ako dôležitejší a rozšírenejší z dvoch protikladov, definoval by linearitu ako „nie nelinearita." Danilov Yu. A., Prednášky o nelineárnej dynamike. Elementárny úvod. Séria "Synergie: od minulosti k budúcnosti." Vydanie 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. „Dynamické systémy modelované konečným počtom obyčajných diferenciálnych rovníc sa nazývajú koncentrované alebo bodové systémy. Sú opísané pomocou konečnej dimenzie fázového priestoru a sú charakterizované konečným počtom stupňov voľnosti. Ten istý systém za rôznych podmienok možno považovať za koncentrovaný alebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémov sú parciálne diferenciálne rovnice, integrálne rovnice alebo obyčajné rovnice oneskorenia. Počet stupňov voľnosti distribuovaného systému je nekonečný a je potrebný nekonečné čísloúdaje na určenie jeho stavu“. Aniščenko V.S., Dynamické systémy, Sorosov vzdelávací časopis, 1997, č. 11, s. 77-84.
12. „V závislosti od charakteru procesov, ktoré sa študujú v systéme S, možno všetky typy modelovania rozdeliť na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétne, spojité a diskrétne spojité. Deterministické modelovanie zobrazuje deterministické procesy, teda procesy, pri ktorých sa predpokladá absencia akýchkoľvek náhodných vplyvov; stochastické modelovanie zobrazuje pravdepodobnostné procesy a udalosti. ... Statické modelovanie slúži na opísanie správania objektu v akomkoľvek časovom bode a dynamické modelovanie odráža správanie objektu v priebehu času. Diskrétne modelovanie sa používa na opis procesov, o ktorých sa predpokladá, že sú diskrétne, respektíve kontinuálne modelovanie nám umožňuje reflektovať spojité procesy v systémoch a diskrétne spojité modelovanie sa používa v prípadoch, keď chcú zdôrazniť prítomnosť diskrétnych aj spojitých procesov. “ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Typicky matematický model odráža štruktúru (zariadenie) modelovaného objektu, vlastnosti a vzťahy komponentov tohto objektu, ktoré sú podstatné pre účely výskumu; takýto model sa nazýva štrukturálny. Ak model odráža len to, ako objekt funguje – napríklad ako reaguje na vonkajšie vplyvy – potom sa nazýva funkčný alebo obrazne čierna skrinka. Možné sú aj kombinované modely. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Zjavnou, ale najdôležitejšou počiatočnou fázou konštrukcie alebo výberu matematického modelu je získanie čo najjasnejšieho obrazu o modelovanom objekte a dolaďovanie jeho zmysluplného modelu na základe neformálnych diskusií. V tejto fáze by ste nemali šetriť čas a úsilie, od toho do značnej miery závisí úspech celej štúdie. Neraz sa stalo, že značná práca vynaložená na riešenie matematického problému sa ukázala ako neefektívna alebo dokonca zbytočná pre nedostatočnú pozornosť venovanú tejto stránke veci.“ Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Popis koncepčného modelu systému. V tejto čiastkovej fáze budovania modelu systému: a) konceptuálny model M je opísaný v abstraktných termínoch a konceptoch; b) opis modelu je uvedený pomocou štandardných matematických schém; c) hypotézy a predpoklady sú nakoniec prijaté; d) voľba postupu aproximácie reálnych procesov pri konštruovaní modelu je opodstatnená.“ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Aplikovaná matematika: Predmet, logika, znaky prístupov. S príkladmi z mechanikov: Návod. - 3. vydanie, rev. a dodatočné - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, kapitola 2.

POZNÁMKY K PREDNÁŠKE

Podľa sadzby

"Matematické modelovanie strojov a dopravných systémov"

Predmet skúma problematiku matematického modelovania, formu a princíp reprezentácie matematických modelov. Uvažujú sa numerické metódy riešenia jednorozmerných nelineárnych systémov. Zaoberá sa problematikou počítačového modelovania a výpočtového experimentu. Zvažujú sa metódy spracovania údajov získaných ako výsledok vedeckých alebo priemyselných experimentov; výskum rôznych procesov, zisťovanie vzorcov v správaní objektov, procesov a systémov. Zvažujú sa metódy interpolácie a aproximácie experimentálnych údajov. Zvažuje sa problematika počítačového modelovania a riešenia nelineárnych dynamických systémov. Uvažuje sa najmä o metódach numerickej integrácie a riešení obyčajných diferenciálnych rovníc prvého, druhého a vyššieho rádu.

Prednáška: Matematické modelovanie. Forma a princípy reprezentácie matematických modelov

Prednáška pokrýva všeobecné otázky matematické modelovanie. Uvádza sa klasifikácia matematických modelov.

Počítač pevne vstúpil do našich životov a prakticky neexistuje oblasť ľudskej činnosti, kde by sa počítač nepoužíval. Počítače sa dnes vo veľkej miere využívajú v procese tvorby a výskumu nových strojov, nových technologických postupov a hľadania ich optimálnych možností; pri riešení ekonomických problémov, pri riešení problémov plánovania a riadenia výroby na rôznych úrovniach. Vytváranie veľkých objektov v raketovej technike, výrobe lietadiel, stavbe lodí, ako aj projektovanie priehrad, mostov atď. je vo všeobecnosti nemožné bez použitia počítačov.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Slovo „model“ pochádza z latinského modus (kópia, obrázok, obrys). Modelovanie je nahradenie niektorého objektu A iným objektom B. Nahradený objekt A sa nazýva pôvodný alebo modelovací objekt a náhrada B sa nazýva model. Inými slovami, model je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu.

Účelom modelovania je získavať, spracovávať, prezentovať a využívať informácie o objektoch, ktoré sa navzájom ovplyvňujú a vonkajšie prostredie; a model tu pôsobí ako prostriedok na pochopenie vlastností a vzorcov správania objektu.

Modelovanie je široko používané v rôznych oblastiach ľudskej činnosti, najmä v oblasti dizajnu a manažmentu, kde sú procesy prijímania efektívnych rozhodnutí na základe prijatých informácií špeciálne.

Model je vždy zostavený so špecifickým účelom, ktorý ovplyvňuje, ktoré vlastnosti objektívneho javu sú významné a ktoré nie. Model je ako projekcia objektívnej reality z určitého uhla. Niekedy, v závislosti od cieľov, môžete získať množstvo projekcií objektívnej reality, ktoré sa dostanú do konfliktu. Typické je to spravidla pre komplexné systémy, v ktorých každá projekcia vyberá z množiny nepodstatných to, čo je pre konkrétny účel podstatné.

Teória modelovania je veda, ktorá študuje spôsoby, ako študovať vlastnosti pôvodných objektov na základe ich nahradenia inými modelovými objektmi. Teória modelovania je založená na teórii podobnosti. Pri modelovaní nedochádza k absolútnej podobnosti a iba sa usiluje o to, aby model dostatočne odrážal aspekt fungovania skúmaného objektu. Absolútna podobnosť môže nastať iba vtedy, keď je jeden objekt nahradený iným presne rovnakým.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

1. skutočný,

2. ideálne.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

1. v plnom rozsahu,

2. fyzické,

3. matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

1. vizuálny,

2. ikonický,

3. matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Skutočné fyzické modely sú modely, figuríny, ktoré sa reprodukujú fyzikálne vlastnosti originály (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné a kombinované modely.

Vo vyššie uvedenej klasifikácii majú niektoré modely dvojitú interpretáciu (napríklad analóg). Všetky modely, okrem plnohodnotných, je možné kombinovať do jednej triedy mentálnych modelov, pretože sú produktom abstraktné myslenie osoba.

Zastavme sa pri jednom z najuniverzálnejších typov modelovania – matematickom, ktorý spája simulovaný fyzikálny proces so systémom matematických vzťahov, ktorých riešenie nám umožňuje získať odpoveď na otázku o správaní sa objektu bez toho, aby sme vytvorili fyzický model, ktorý sa často ukazuje ako drahý a neefektívny.

Matematické modelovanie je prostriedkom na štúdium skutočného objektu, procesu alebo systému ich nahradením matematickým modelom, ktorý je vhodnejší pre experimentálny výskum pomocou počítača.

Matematický model je približná reprezentácia skutočných objektov, procesov alebo systémov, vyjadrená matematickými výrazmi a zachovávajúca podstatné črty originálu. Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštrukcií popisujú základné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie vzťahy.

Vo všeobecnosti je matematický model reálneho objektu, procesu alebo systému reprezentovaný ako systém funkcionalít

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kde X je vektor vstupných premenných, X= t,

Y - vektor výstupných premenných, Y= t,

Z - vektor vonkajšie vplyvy, Z= t,

t - časová súradnica.

Konštrukcia matematického modelu pozostáva z určenia súvislostí medzi určitými procesmi a javmi, vytvorenia matematického aparátu, ktorý umožňuje kvantitatívne a kvalitatívne vyjadriť vzťah medzi určitými procesmi a javmi, medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú pre odborníka zaujímavé, a faktormi, ktoré ovplyvňujú konečný výsledok.

Zvyčajne je ich toľko, že nie je možné uviesť do modelu celú ich zostavu. Pri konštrukcii matematického modelu je výskumnou úlohou identifikovať a vylúčiť z uvažovania faktory, ktoré významne neovplyvňujú konečný výsledok (matematický model zvyčajne obsahuje výrazne menší počet faktorov ako v skutočnosti). Na základe experimentálnych údajov sú predložené hypotézy o vzťahu medzi veličinami vyjadrujúcimi konečný výsledok a faktormi zavedenými do matematického modelu. Takéto spojenie je často vyjadrené sústavami parciálnych diferenciálnych rovníc (napríklad v úlohách mechaniky pevný, kvapalina a plyn, teória filtrácie, tepelná vodivosť, teória elektrostatických a elektrodynamických polí).

Konečným cieľom tejto fázy je formulácia matematického problému, ktorého riešenie s potrebnou presnosťou vyjadruje výsledky, ktoré sú pre odborníka zaujímavé.

Forma a princípy reprezentácie matematického modelu závisia od mnohých faktorov.

Na základe princípov konštrukcie sa matematické modely delia na:

1. analytický;

2. imitácia.

V analytických modeloch sú procesy fungovania reálnych objektov, procesov alebo systémov zapísané vo forme explicitných funkčných závislostí.

Analytický model je rozdelený do typov v závislosti od matematického problému:

1. rovnice (algebraické, transcendentálne, diferenciálne, integrálne),

2. aproximačné problémy (interpolácia, extrapolácia, numerická integrácia a diferenciácia),

3. optimalizačné problémy,

4. stochastické problémy.

Keď sa však objekt modelovania stáva zložitejším, vytváranie analytického modelu sa stáva neriešiteľným problémom. Potom je výskumník nútený použiť simulačné modelovanie.

V simulačnom modelovaní je fungovanie objektov, procesov alebo systémov popísané súborom algoritmov. Algoritmy simulujú skutočné elementárne javy, ktoré tvoria proces alebo systém, pričom zachovávajú ich logickú štruktúru a postupnosť v čase. Simulačné modelovanie umožňuje zo zdrojových údajov získať informácie o stavoch procesu alebo systému v určitých časových bodoch, ale predpovedanie správania sa objektov, procesov alebo systémov je tu náročné. Môžeme povedať, že simulačné modely sú počítačové výpočtové experimenty s matematickými modelmi, ktoré napodobňujú správanie reálnych objektov, procesov alebo systémov.

V závislosti od povahy reálnych procesov a systémov, ktoré sa študujú, môžu byť matematické modely:

1. deterministický,

2. stochastický.

V deterministických modeloch sa predpokladá, že neexistujú náhodné vplyvy, prvky modelu (premenné, matematické súvislosti) sú pomerne presne stanovené a správanie systému je možné presne určiť. Pri konštrukcii deterministických modelov sa najčastejšie používajú algebraické rovnice, integrálne rovnice a maticová algebra.

Stochastický model zohľadňuje náhodný charakter procesov v skúmaných objektoch a systémoch, ktorý je popísaný metódami teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Podľa typu vstupných informácií sa modely delia na:

1. nepretržitý,

2. diskrétne.

Ak sú informácie a parametre spojité a matematické spojenia stabilné, potom je model spojitý. A naopak, ak sú informácie a parametre diskrétne a spojenia sú nestabilné, potom je matematický model diskrétny.

Na základe správania modelov v čase sa delia na:

1. statický,

2. dynamický.

Statické modely popisujú správanie sa objektu, procesu alebo systému v akomkoľvek časovom bode. Dynamické modely odrážajú správanie sa objektu, procesu alebo systému v čase.

Na základe stupňa zhody medzi matematickým modelom a skutočným objektom, procesom alebo systémom sa matematické modely delia na:

1. izomorfný (tvarovo rovnaký),

2. homomorfné (tvarovo odlišné).

Model sa nazýva izomorfný, ak medzi ním a skutočným objektom, procesom alebo systémom existuje úplná zhoda element po elemente. Homomorfný - ak existuje korešpondencia iba medzi najvýznamnejšími komponentov objekt a model.

V budúcnosti, aby sme stručne definovali typ matematického modelu vo vyššie uvedenej klasifikácii, budeme používať nasledujúci zápis:

Prvé písmeno:

D - deterministický,

C - stochastické.

Druhé písmeno:

N - spojité,

D - diskrétne.

Tretie písmeno:

A - analytické,

A - imitácia.

1. Neexistuje (presnejšie, neberie sa do úvahy) vplyv náhodných procesov, t.j. deterministický model (D).

2. Informácie a parametre sú priebežné, t.j. model - spojitý (N),

3. Fungovanie modelu kľukového mechanizmu je popísané formou nelineárnych transcendentálnych rovníc, t.j. model - analytický (A)

2. Prednáška: Vlastnosti konštrukcie matematických modelov

Prednáška popisuje proces konštrukcie matematického modelu. Je uvedený verbálny algoritmus procesu.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštruktov popisujú základné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Na zostavenie matematického modelu potrebujete:

1. starostlivo analyzovať skutočný objekt alebo proces;

2. vyzdvihnúť jeho najvýznamnejšie znaky a vlastnosti;

3. definovať premenné, t.j. parametre, ktorých hodnoty ovplyvňujú hlavné vlastnosti a vlastnosti objektu;

4. popísať závislosť základných vlastností objektu, procesu alebo systému od hodnôt premenných pomocou logicko-matematických vzťahov (rovnice, rovnosti, nerovnosti, logicko-matematické konštrukcie);

5. zvýrazňovať vnútorné súvislosti objektu, procesu alebo systému pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií;

6. identifikovať vonkajšie súvislosti a popísať ich pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií.

Matematické modelovanie okrem štúdia objektu, procesu alebo systému a zostavovania jeho matematického popisu zahŕňa aj:

1. konštrukcia algoritmu, ktorý modeluje správanie objektu, procesu alebo systému;

2. kontrola primeranosti modelu a objektu, procesu alebo systému na základe výpočtových a úplných experimentov;

3. úprava modelu;

4. použitie modelu.

Matematický popis skúmaných procesov a systémov závisí od:

1. povaha reálneho procesu alebo systému a je zostavená na základe zákonov fyziky, chémie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teórie plasticity, teórie pružnosti atď.

2. požadovaná spoľahlivosť a presnosť štúdia a výskumu reálnych procesov a systémov.

Vo fáze výberu matematického modelu sa zisťujú: linearita a nelinearita objektu, procesu alebo systému, dynamika alebo statickosť, stacionárnosť alebo nestacionárnosť, ako aj stupeň determinizmu skúmaného objektu alebo procesu. V matematickom modelovaní sa zámerne abstrahuje od špecifickej fyzikálnej podstaty objektov, procesov alebo systémov a zameriava sa hlavne na štúdium kvantitatívnych závislostí medzi veličinami, ktoré tieto procesy popisujú.

Matematický model nie je nikdy úplne identický s uvažovaným objektom, procesom alebo systémom. Na základe zjednodušenia a idealizácie ide o približný popis objektu. Preto sú výsledky získané analýzou modelu približné. Ich presnosť je určená stupňom primeranosti (zhody) medzi modelom a objektom.

Konštrukcia matematického modelu zvyčajne začína konštrukciou a analýzou najjednoduchšieho, najhrubšieho matematického modelu uvažovaného objektu, procesu alebo systému. V budúcnosti, ak je to potrebné, sa model zdokonaľuje a jeho súlad s objektom je úplnejší.

Uveďme si jednoduchý príklad. Je potrebné určiť povrch stola. Zvyčajne sa to robí meraním jeho dĺžky a šírky a následným vynásobením výsledných čísel. Tento elementárny postup vlastne znamená nasledovné: reálny objekt (plocha stola) je nahradený abstraktným matematickým modelom – obdĺžnikom. Rozmery získané meraním dĺžky a šírky povrchu stola sú priradené k obdĺžniku a plocha takéhoto obdĺžnika sa približne považuje za požadovanú plochu stola.

Obdĺžnikový model písacieho stola je však najjednoduchší a najhrubší model. Ak k problému pristúpite serióznejšie, pred použitím obdĺžnikového modelu na určenie plochy stola je potrebné tento model skontrolovať. Kontroly je možné vykonať nasledovne: zmerajte dĺžky protiľahlých strán stola, ako aj dĺžky jeho uhlopriečok a navzájom ich porovnajte. Ak sú s požadovaným stupňom presnosti dĺžky protiľahlých strán a dĺžky uhlopriečok v pároch rovnaké, potom možno povrch stola skutočne považovať za obdĺžnik. V opačnom prípade bude musieť byť obdĺžnikový model odmietnutý a nahradený všeobecným štvoruholníkom. Pri vyššej požiadavke na presnosť môže byť potrebné model ešte spresniť, napríklad zohľadniť zaoblenie rohov stola.

S pomocou tohto jednoduchý príklad ukázalo sa, že matematický model nie je jednoznačne určený skúmaným objektom, procesom alebo systémom. Pre tú istú tabuľku môžeme použiť buď obdĺžnikový model, alebo zložitejší model všeobecného štvoruholníka, alebo štvoruholník so zaoblenými rohmi. Výber jedného alebo druhého modelu je určený požiadavkou presnosti. So zvyšujúcou sa presnosťou musí byť model komplikovaný, berúc do úvahy nové a nové vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému.

Zoberme si ďalší príklad: štúdium pohybu kľukového mechanizmu (obr. 2.1).

Ryža. 2.1.

Pre kinematickú analýzu tohto mechanizmu je v prvom rade potrebné zostrojiť jeho kinematický model. Pre to:

1. Mechanizmus nahradíme jeho kinematickou schémou, kde sú všetky spoje nahradené tuhými spojmi;

2. Pomocou tohto diagramu odvodíme pohybovú rovnicu mechanizmu;

3. Diferencovaním posledného dostaneme rovnice rýchlostí a zrýchlenia, ktoré sú diferenciálnymi rovnicami 1. a 2. rádu.

Napíšme tieto rovnice:

kde C 0 je krajná pravá poloha posúvača C:

r – polomer kľuky AB;

l – dĺžka ojnice BC;

– uhol natočenia kľuky;

Výsledné transcendentálne rovnice predstavujú matematický model pohybu plochého axiálneho kľukového mechanizmu na základe nasledujúcich zjednodušujúcich predpokladov:

1. nezaujímali nás konštrukčné formy a usporiadanie hmôt obsiahnutých v mechanizme telies a všetky telesá mechanizmu sme nahradili rovnými segmentmi. V skutočnosti majú všetky články mechanizmu hmotnosť a pomerne zložitý tvar. Napríklad ojnica je zložitá zostava, ktorej tvar a rozmery samozrejme ovplyvnia pohyb mechanizmu;

2. pri konštrukcii matematického modelu pohybu uvažovaného mechanizmu sme tiež nebrali do úvahy elasticitu telies zaradených do mechanizmu, t.j. všetky články boli považované za abstraktné absolútne tuhé telesá. V skutočnosti sú všetky telesá zahrnuté v mechanizme elastické telesá. Pri pohybe mechanizmu sa nejako zdeformujú a dokonca sa v nich môžu vyskytnúť elastické vibrácie. To všetko samozrejme ovplyvní aj pohyb mechanizmu;

3. nebrali sme do úvahy výrobnú chybu článkov, medzery v kinematických dvojiciach A, B, C atď.

Je teda dôležité ešte raz zdôrazniť, že čím vyššie sú požiadavky na presnosť výsledkov riešenia úlohy, tým väčšia je potreba pri konštrukcii matematického modelu brať do úvahy vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému. Tu je však dôležité zastaviť sa včas, pretože zložitý matematický model sa môže zmeniť na ťažko riešiteľný problém.

Model sa najľahšie skonštruuje, keď sú dobre známe zákony, ktoré určujú správanie a vlastnosti objektu, procesu alebo systému, a existujú rozsiahle praktické skúsenosti s ich aplikáciou.

Viac ťažká situácia nastáva vtedy, keď sú naše vedomosti o skúmanom objekte, procese alebo systéme nedostatočné. V tomto prípade je pri konštrukcii matematického modelu potrebné urobiť ďalšie predpoklady, ktoré majú povahu hypotéz, takýto model sa nazýva hypotetický. Závery získané ako výsledok štúdia takéhoto hypotetického modelu sú podmienené. Na overenie záverov je potrebné porovnať výsledky štúdia modelu na počítači s výsledkami celoplošného experimentu. Otázka použiteľnosti určitého matematického modelu na štúdium uvažovaného objektu, procesu alebo systému teda nie je matematickou otázkou a nedá sa vyriešiť matematickými metódami.

Hlavným kritériom pravdy je experiment, prax v najširšom zmysle slova.

Konštrukcia matematického modelu v aplikovaných úlohách je jednou z najzložitejších a najdôležitejších etáp práce. Prax ukazuje, že výber správneho modelu v mnohých prípadoch znamená vyriešenie problému o viac ako polovicu. Náročnosť tejto etapy je v tom, že si vyžaduje kombináciu matematických a špeciálnych znalostí. Preto je veľmi dôležité, aby pri riešení aplikovaných úloh mali matematici špeciálne znalosti o objekte a ich partneri, špecialisti, mali určitú matematickú kultúru, výskumné skúsenosti vo svojom odbore, znalosť počítačov a programovania.

Prednáška 3. Počítačové modelovanie a výpočtový experiment. Riešenie matematických modelov

Počítačové modelovanie ako nová metóda vedecký výskum je založený na:

1. vytváranie matematických modelov na popis skúmaných procesov;

2. pomocou najnovších počítačov s vysokou rýchlosťou (milióny operácií za sekundu) a schopných viesť dialóg s osobou.

Podstata počítačového modelovania je nasledovná: na základe matematického modelu sa pomocou počítača realizuje séria výpočtových experimentov, t.j. študujú sa vlastnosti objektov alebo procesov, zisťujú sa ich optimálne parametre a prevádzkové režimy a model sa spresňuje. Napríklad, ak máte rovnicu, ktorá popisuje priebeh konkrétneho procesu, môžete zmeniť jeho koeficienty, počiatočné a okrajové podmienky a študovať, ako sa bude objekt správať. Okrem toho je možné predpovedať správanie objektu za rôznych podmienok.

Výpočtový experiment vám umožňuje nahradiť nákladný experiment v plnom rozsahu počítačovými výpočtami. Umožňuje v krátkom čase a bez výraznejších materiálových nákladov naštudovať veľké množstvo možností navrhovaného objektu alebo procesu pre rôzne režimy jeho prevádzky, čo výrazne skracuje čas potrebný na vývoj zložitých systémov a ich implementáciu do výroby. .

Počítačové modelovanie a výpočtový experiment ako nová metóda vedeckého výskumu umožňuje zdokonaliť matematický aparát používaný pri zostavovaní matematických modelov a pomocou matematických metód umožňuje objasňovať a komplikovať matematické modely. Najsľubnejšie na realizáciu výpočtového experimentu je jeho využitie pri riešení hlavných vedeckých, technických a sociálno-ekonomických problémov našej doby (projektovanie reaktorov pre jadrové elektrárne, projektovanie priehrad a vodných elektrární, magnetohydrodynamických meničov energie a v oblasti ekonomiky - vypracovanie vyváženého plánu pre priemysel, región, pre krajinu atď.).

V niektorých procesoch, kde je prirodzený experiment nebezpečný pre ľudský život a zdravie, je výpočtový experiment jediným možným (termonukleárna fúzia, prieskum vesmíru, dizajn a výskum chemického a iného priemyslu).

Pre kontrolu primeranosti matematického modelu a reálneho objektu, procesu alebo systému sa výsledky počítačového výskumu porovnávajú s výsledkami experimentu na prototype plnoformátového modelu. Výsledky testov slúžia na úpravu matematického modelu alebo sa rieši otázka použiteľnosti zostrojeného matematického modelu na návrh alebo štúdium špecifikovaných objektov, procesov alebo systémov.

Na záver ešte raz zdôrazňujeme, že počítačové modelovanie a výpočtový experiment umožňujú zredukovať štúdium „nematematického“ objektu na riešenie matematického problému. Otvára sa tak možnosť využiť na jeho štúdium dobre vyvinutý matematický aparát v kombinácii s výkonnou výpočtovou technikou. To je základ pre využitie matematiky a počítačov na pochopenie zákonitostí reálneho sveta a ich využitie v praxi.

V problémoch navrhovania alebo štúdia správania sa reálnych objektov, procesov alebo systémov sú matematické modely zvyčajne nelineárne, pretože musia odrážať skutočné fyzikálne nelineárne procesy, ktoré sa v nich vyskytujú. Navyše parametre (premenné) týchto procesov sú vzájomne prepojené fyzikálnymi nelineárnymi zákonmi. Preto sa v problémoch navrhovania alebo štúdia správania reálnych objektov, procesov alebo systémov najčastejšie využívajú matematické modely ako DNA.

Podľa klasifikácie uvedenej v prednáške 1:

D – model je deterministický, absentuje (presnejšie sa neberie do úvahy) vplyv náhodných procesov.

N – spojitý model, informácie a parametre sú spojité.

A – analytický model, fungovanie modelu je popísané vo forme rovníc (lineárne, nelineárne, sústavy rovníc, diferenciálne a integrálne rovnice).

Postavili sme teda matematický model uvažovaného objektu, procesu alebo systému, t.j. prezentoval aplikovaný problém ako matematický. Potom začína druhá etapa riešenia aplikovaného problému - hľadanie alebo vývoj metódy na riešenie formulovaného matematického problému. Metóda musí byť vhodná pre jej implementáciu na počítači a zabezpečiť požadovanú kvalitu riešenia.

Všetky metódy riešenia matematických problémov možno rozdeliť do 2 skupín:

1. presné metódy riešenia problémov;

2. numerické metódy riešenia úloh.

V exaktných metódach riešenia matematických úloh možno odpoveď získať vo forme vzorcov.

Napríklad výpočet koreňov kvadratická rovnica:

alebo napríklad výpočet derivačných funkcií:

alebo výpočet určitého integrálu:

Nahradením čísel do vzorca ako konečných desatinných zlomkov však stále získame približné hodnoty výsledku.

Pre väčšinu problémov, s ktorými sa v praxi stretávame, sú presné metódy riešenia buď neznáme, alebo poskytujú veľmi ťažkopádne vzorce. Nie sú však vždy potrebné. Aplikovaný problém možno považovať za prakticky vyriešený, ak ho dokážeme vyriešiť s požadovaným stupňom presnosti.

Na riešenie takýchto problémov boli vyvinuté numerické metódy, v ktorých sa riešenie zložitých matematických problémov redukuje na postupné vykonávanie veľkého počtu jednoduchých aritmetických operácií. Priamy rozvoj numerických metód patrí do výpočtovej matematiky.

Príkladom numerickej metódy je metóda obdĺžnikov na približnú integráciu, ktorá nevyžaduje výpočet primitívnej derivácie pre integrand. Namiesto integrálu sa vypočíta konečný kvadratúrny súčet:

x 1 =a – dolná hranica integrácie;

x n+1 =b – horná hranica integrácie;

n – počet segmentov, na ktoré je rozdelený integračný interval (a,b);

– dĺžka elementárneho segmentu;

f(x i) – hodnota integrandu na koncoch elementárnych integračných segmentov.

Ako väčšie číslo n segmentov, na ktoré je integračný interval rozdelený, tým bližšie je približné riešenie k pravdivému, t.j. tým presnejší je výsledok.

Teda v aplikovaných úlohách a pri používaní presné metódy riešenia a pri aplikácii numerických metód riešenia sú výsledky výpočtov približné. Dôležité je len zabezpečiť, aby chyby zapadali do požadovanej presnosti.

Numerické metódy na riešenie matematických úloh sú známe už dlho, ešte pred príchodom počítačov, no pre extrémnu zložitosť výpočtov sa používali len zriedka a len v relatívne jednoduchých prípadoch. Široké využitie numerických metód sa stalo možným vďaka počítačom.

Matematické modelovanie

1. Čo je to matematické modelovanie?

Od polovice 20. stor. Matematické metódy a počítače sa začali vo veľkej miere využívať v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Objavili sa nové disciplíny ako „matematická ekonómia“, „matematická chémia“, „matematická lingvistika“ atď., ktoré študujú matematické modely relevantných objektov a javov, ako aj metódy na štúdium týchto modelov.

Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modeling je však aj metóda, ako porozumieť svetu okolo nás, vďaka čomu je možné ho ovládať.

Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné vytvoriť prirodzený experiment v histórii, ktorý by overil „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. Je možné, ale nepravdepodobné, že by to bolo rozumné, experimentovať so šírením choroby, ako je mor, alebo vykonať jadrový výbuch, aby sa študovali jeho následky. To všetko sa však dá urobiť na počítači tak, že sa najskôr skonštruujú matematické modely skúmaných javov.

2. Hlavné fázy matematického modelovania

1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, dizajn, ekonomický plán, výrobný proces atď. V tomto prípade je spravidla obtiažne jasne popísať situáciu. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a súvislosti medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia fáza modelovania.

2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou a v prijateľnom čase.

3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu. Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v danej oblasti.

4) Kontrola vhodnosti modelu. V tejto fáze sa zisťuje, či experimentálne výsledky súhlasia s teoretickými dôsledkami modelu v rámci určitej presnosti.

5) Úprava modelu. V tejto fáze sa buď model skomplikuje tak, aby viac zodpovedal realite, alebo sa zjednoduší, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.

3. Klasifikácia modelov

Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. Okrem toho sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne systém rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu pozostávajúceho z jednotlivých častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto spojenia sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý predstavuje množinu bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).

Na základe charakteru počiatočných údajov a výsledkov možno predikčné modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu poskytujú isté, jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané s ich pomocou majú pravdepodobnostný charakter.

4. Príklady matematických modelov

1) Problémy pohybu strely.

Zvážte nasledujúci problém mechaniky.

Strela je vypustená zo Zeme počiatočnou rýchlosťou v 0 = 30 m/s pod uhlom a = 45° k jej povrchu; je potrebné nájsť trajektóriu jeho pohybu a vzdialenosť S medzi počiatočným a koncovým bodom tejto trajektórie.

Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, pohyb projektilu je opísaný vzorcami:

kde t je čas, g = 10 m/s 2 je gravitačné zrýchlenie. Tieto vzorce poskytujú matematický model problému. Vyjadrením t až x z prvej rovnice a jej dosadením do druhej dostaneme rovnicu pre dráhu strely:

Táto krivka (parabola) pretína os x v dvoch bodoch: x 1 = 0 (začiatok trajektórie) a (miesto, kde projektil dopadol). Dosadením daných hodnôt v0 a a do výsledných vzorcov dostaneme

odpoveď: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Všimnite si, že pri konštrukcii tohto modelu sa použilo množstvo predpokladov: napríklad sa predpokladá, že Zem je plochá a vzduch a rotácia Zeme neovplyvňujú pohyb projektilu.

2) Problém s nádržou s najmenším povrchom.

Je potrebné nájsť výšku h 0 a polomer r 0 plechovej nádrže s objemom V = 30 m 3 v tvare uzavretého kruhového valca, pri ktorej je jej plocha S minimálna (v tomto prípade najmenej množstvo cínu sa použije na jeho výrobu).

Napíšme nasledujúce vzorce pre objem a povrch valca s výškou h a polomerom r:

V = pr2h, S = 2pr(r + h).

Vyjadrením h cez r a V z prvého vzorca a dosadením výsledného výrazu do druhého dostaneme:

Z matematického hľadiska je teda problém určiť hodnotu r, pri ktorej funkcia S(r) dosiahne svoje minimum. Nájdite tie hodnoty r 0, pre ktoré je derivácia

ide na nulu: Môžete skontrolovať, či druhá derivácia funkcie S(r) zmení znamienko z mínus na plus, keď argument r prechádza bodom r 0 . V dôsledku toho má v bode r0 funkcia S(r) minimum. Zodpovedajúca hodnota je h 0 = 2r 0 . Dosadením danej hodnoty V do výrazu pre r 0 a h 0 dostaneme požadovaný polomer a výška

3) Problém s dopravou.

Mesto má dva sklady múky a dve pekárne. Každý deň sa z prvého skladu prepraví 50 ton múky a do tovární 70 ton z druhého, do prvého 40 ton a do druhého 80 ton.

Označme podľa a ij náklady na prepravu 1 tony múky z i-teho skladu do j-tá rastlina(i, j = 1,2). Nechaj

a 11 = 1,2 rubľov, a 12 = 1,6 rubľov, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Ako plánovať dopravu, aby bola čo najnižšia?

Dajme problému matematickú formuláciu. Označme x 1 a x 2 množstvo múky, ktoré sa musí prepraviť z prvého skladu do prvého a druhého závodu a x 3 a x 4 - z druhého skladu do prvého a druhého závodu. potom:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Celkové náklady na všetku dopravu sa určujú podľa vzorca

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Z matematického hľadiska je problém nájsť štyri čísla x 1, x 2, x 3 a x 4, ktoré spĺňajú všetky zadané podmienky a dávajú minimum funkcie f. Vyriešme sústavu rovníc (1) pre xi (i = 1, 2, 3, 4) odstránením neznámych. Chápeme to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

a x 4 nemožno určiť jednoznačne. Keďže x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), z rovníc (2) vyplýva, že 30Ј x 4 Ј 70. Dosadením výrazu pre x 1, x 2, x 3 do vzorca pre f dostaneme

f = 148 – 0,2 x 4.

Je ľahké vidieť, že minimum tejto funkcie sa dosiahne pri maximálnej možnej hodnote x 4, teda pri x 4 = 70. Zodpovedajúce hodnoty ostatných neznámych sú určené vzorcami (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problém rádioaktívneho rozpadu.

Nech N(0) je počiatočný počet atómov rádioaktívnej látky a N(t) je počet nerozložených atómov v čase t. Experimentálne sa zistilo, že rýchlosť zmeny počtu týchto atómov N"(t) je úmerná N(t), to znamená, že N"(t)=–l N(t), l >0 je konštanta rádioaktivity danej látky. V školskom kurze matematickej analýzy sa ukazuje, že riešenie tejto diferenciálnej rovnice má tvar N(t) = N(0)e –l t. Čas T, počas ktorého sa počet počiatočných atómov znížil na polovicu, sa nazýva polčas rozpadu a je dôležitou charakteristikou rádioaktivity látky. Aby sme určili T, musíme zadať vzorec Potom Napríklad pre radón l = 2,084 · 10 –6, a teda T = 3,15 dňa.

5) Problém cestujúceho predajcu.

Cestujúci obchodník žijúci v meste A 1 potrebuje navštíviť mestá A 2 , A 3 a A 4 , každé mesto presne raz, a potom sa vrátiť späť do A 1 . Je známe, že všetky mestá sú spojené v pároch cestami a dĺžky ciest b ij medzi mestami A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sú nasledovné:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Je potrebné určiť poradie návštev miest, v ktorých je dĺžka zodpovedajúcej cesty minimálna.

Znázornime každé mesto ako bod na rovine a označme ho príslušným štítkom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tieto body rovnými čiarami: budú predstavovať cesty medzi mestami. Pre každú „cestu“ uvádzame jej dĺžku v kilometroch (obr. 2). Výsledkom je graf – matematický objekt pozostávajúci z určitej množiny bodov v rovine (nazývaných vrcholy) a určitej množiny čiar spájajúcich tieto body (nazývaných hrany). Okrem toho je tento graf označený, pretože jeho vrcholy a hrany majú priradené nejaké označenia - čísla (hrany) alebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafe je postupnosť vrcholov V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taká, že vrcholy V 1 , ..., V k sú rôzne a ľubovoľná dvojica vrcholov V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojica V 1, V k sú spojené hranou. Uvažovaným problémom je teda nájsť na grafe cyklus prechádzajúci všetkými štyrmi vrcholmi, pre ktorý je súčet všetkých váh hrán minimálny. Pozrime sa na všetky rôzne cykly prechádzajúce cez štyri vrcholy a začínajúce na A 1:

1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Nájdime teraz dĺžky týchto cyklov (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Prvá je teda trasa s najkratšou dĺžkou.

Všimnite si, že ak je v grafe n vrcholov a všetky vrcholy sú spojené v pároch hranami (takýto graf sa nazýva úplný), potom počet cyklov prechádzajúcich všetkými vrcholmi je Preto sú v našom prípade presne tri cykly.

6) Problém hľadania súvislosti medzi štruktúrou a vlastnosťami látok.

Pozrime sa na niekoľko chemických zlúčenín nazývaných normálne alkány. Pozostávajú z n atómov uhlíka a n + 2 atómov vodíka (n = 1, 2 ...), vzájomne prepojených, ako je znázornené na obrázku 3 pre n = 3. Nech sú známe experimentálne hodnoty teplôt varu týchto zlúčenín:

ye (3) = – 42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.

Pre tieto zlúčeniny je potrebné nájsť približný vzťah medzi teplotou varu a číslom n. Predpokladajme, že táto závislosť má tvar

y" a n+b,

Kde a, b - konštanty, ktoré sa majú určiť. Nájsť a a b do tohto vzorca dosadíme postupne n = 3, 4, 5, 6 a zodpovedajúce hodnoty bodov varu. Máme:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Na určenie toho najlepšieho a ab existuje veľa rôznych metód. Využime najjednoduchšie z nich. Vyjadrime b prostredníctvom a z týchto rovníc:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28. – 5 a, b » 69 – 6 a.

Vezmime aritmetický priemer týchto hodnôt ako požadované b, to znamená, že dáme b » 16 – 4,5 a. Dosaďte túto hodnotu b do pôvodného systému rovníc a výpočtu a, dostaneme za a nasledujúce hodnoty: a» 37, a» 28, a» 28, a“ 36. Vezmime si to podľa potreby a priemerná hodnota týchto čísel, teda dajme tomu a 34. Takže požadovaná rovnica má tvar

y » 34n – 139.

Skontrolujeme presnosť modelu na pôvodných štyroch zlúčeninách, pre ktoré vypočítame teploty varu pomocou výsledného vzorca:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Chyba pri výpočte tejto vlastnosti pre tieto zlúčeniny teda nepresahuje 5°. Výslednú rovnicu použijeme na výpočet teploty varu zlúčeniny s n = 7, ktorá nie je zahrnutá v pôvodnej množine, za ktorú do tejto rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledok bol celkom presný: je známe, že experimentálna hodnota teploty varu y e (7) = 98°.

7) Problém stanovenia spoľahlivosti elektrického obvodu.

Tu sa pozrieme na príklad pravdepodobnostného modelu. Najprv uvádzame niekoľko informácií z teórie pravdepodobnosti – matematickej disciplíny, ktorá študuje vzorce náhodných javov pozorovaných počas opakovaného opakovania experimentov. Nazvime náhodnú udalosť A možným výsledkom nejakého experimentu. Udalosti A 1, ..., A k tvoria ucelenú skupinu, ak jedna z nich nevyhnutne nastane v dôsledku experimentu. Udalosti sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne v jednej skúsenosti. Nech sa udalosť A vyskytne m-krát počas n-násobného opakovania experimentu. Frekvencia udalosti A je číslo W =. Je zrejmé, že hodnotu W nemožno presne predpovedať, kým sa nevykoná séria n experimentov. Povaha náhodných udalostí je však taká, že v praxi sa niekedy pozoruje nasledujúci efekt: so zvyšujúcim sa počtom experimentov hodnota prakticky prestáva byť náhodná a ustáli sa okolo nejakého nenáhodného čísla P(A), nazývaného pravdepodobnosť udalosť A. Pre nemožnú udalosť (ktorá sa v experimente nikdy nevyskytuje) P(A)=0 a pre spoľahlivú udalosť (ktorá sa vždy vyskytne v skúsenosti) P(A)=1. Ak udalosti A 1 , ..., Ak tvoria úplnú skupinu nezlučiteľných udalostí, potom P(A 1)+...+P(A k)=1.

Nech sa experiment skladá napríklad z hodu kockou a pozorovania počtu vyvalených bodov X. Potom môžeme zaviesť nasledujúce náhodné javy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí, preto P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Súčet dejov A a B je dej A + B, ktorý spočíva v tom, že aspoň jeden z nich nastane v skúsenosti. Súčinom dejov A a B je dej AB, ktorý pozostáva zo súčasného výskytu týchto dejov. Pre nezávislé udalosti A a B platia nasledujúce vzorce:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Uvažujme teraz o nasledujúcom úloha. Predpokladajme, že tri prvky sú zapojené v sérii do elektrického obvodu a fungujú nezávisle od seba. Pravdepodobnosť zlyhania 1., 2. a 3. prvku je rovná P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovať za spoľahlivý, ak pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd, nie je väčšia ako 0,4. Je potrebné zistiť, či je daný obvod spoľahlivý.

Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúdiť (udalosť A), ak zlyhá aspoň jeden z prvkov. Nech je A i udalosť, ktorá i-tý prvok funguje (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zrejmé, že A 1 A 2 A 3 je udalosť, v ktorej všetky tri prvky pracujú súčasne a

P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.

Potom P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, teda P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Na záver poznamenávame, že uvedené príklady matematických modelov (vrátane funkčných a štrukturálnych, deterministických a pravdepodobnostných) sú svojou povahou ilustratívne a samozrejme nevyčerpávajú rôznorodosť matematických modelov, ktoré vznikajú v prírodných a humanitných vedách.

Pojem model a simulácia.

Model v širšom zmysle- je to akýkoľvek obraz, mentálny analóg alebo ustálený obraz, popis, diagram, kresba, mapa atď. akéhokoľvek objemu, procesu alebo javu, ktorý sa používa ako jeho náhrada alebo predstaviteľ. Samotný objekt, proces alebo jav sa nazýva originál tohto modelu.

Modelovanie - ide o štúdium akéhokoľvek objektu alebo systému objektov pomocou konštrukcie a štúdia ich modelov. Ide o použitie modelov na určenie alebo objasnenie charakteristík a racionalizáciu metód konštrukcie novovybudovaných objektov.

Akákoľvek metóda vedeckého výskumu je založená na myšlienke modelovania, zatiaľ čo teoretické metódy využívajú rôzne druhy symbolických, abstraktných modelov a experimentálne metódy využívajú modely predmetov.

Pri výskume je komplexný reálny jav nahradený nejakou zjednodušenou kópiou alebo diagramom, niekedy takáto kópia slúži len na zapamätanie a rozpoznanie požadovaného javu na ďalšom stretnutí. Niekedy zostrojený diagram odráža niektoré podstatné črty, umožňuje pochopiť mechanizmus javu a umožňuje predpovedať jeho zmenu. Môže tomu zodpovedať rovnaký jav rôzne modely.

Úlohou výskumníka je predpovedať povahu javu a priebeh procesu.

Niekedy sa stane, že objekt je k dispozícii, ale experimenty s ním sú drahé alebo vedú k vážnym environmentálnym následkom. Poznatky o takýchto procesoch sa získavajú pomocou modelov.

Dôležitým bodom je, že samotná povaha vedy zahŕňa štúdium nie jedného konkrétneho javu, ale širokej triedy súvisiacich javov. Predpokladá potrebu formulovať nejaké všeobecné kategorické tvrdenia, ktoré sa nazývajú zákony. Prirodzene, pri takejto formulácii sa veľa detailov zanedbáva. Aby jasnejšie identifikovali vzor, ​​vedome idú po zhrubnutí, idealizácii a útržkovitosti, to znamená, že neštudujú samotný jav, ale jeho viac-menej presnú kópiu alebo model. Všetky zákony sú zákonmi o modeloch, a preto nie je prekvapujúce, že časom sa niektoré vedecké teórie považujú za nevhodné. To nevedie ku kolapsu vedy, pretože jeden model bol nahradený iným modernejší.

Osobitnú úlohu vo vede zohrávajú matematické modely, stavebné materiály a nástroje týchto modelov – matematické pojmy. Počas tisícročí sa hromadili a zlepšovali. Moderná matematika poskytuje mimoriadne silné a univerzálne prostriedky výskumu. Takmer každý pojem v matematike, každý matematický objekt, počnúc pojmom číslo, je matematickým modelom. Pri konštrukcii matematického modelu skúmaného objektu alebo javu sa identifikujú tie jeho znaky, znaky a detaily, ktoré na jednej strane obsahujú viac-menej úplné informácie o objekte a na druhej strane umožňujú matematickú formalizáciu. Matematická formalizácia znamená, že vlastnosti a detaily objektu môžu byť spojené s vhodnými adekvátnymi matematickými pojmami: číslami, funkciami, maticami atď. Potom možno pomocou matematických vzťahov zapísať súvislosti a vzťahy objavené a predpokladané v skúmanom objekte medzi jeho jednotlivými časťami a zložkami: rovnosti, nerovnice, rovníc. Výsledkom je matematický popis skúmaného procesu alebo javu, teda jeho matematický model.

Štúdium matematického modelu je vždy spojené s určitými pravidlami pôsobenia na skúmané objekty. Tieto pravidlá odrážajú vzťahy medzi príčinami a následkami.

Vytvorenie matematického modelu je ústrednou fázou výskumu alebo návrhu akéhokoľvek systému. Všetky následné analýzy objektu závisia od kvality modelu. Vytvorenie modelu nie je formálny postup. Silne závisí od výskumníka, jeho skúseností a vkusu a vždy vychádza z určitého experimentálneho materiálu. Model musí byť dostatočne presný, primeraný a pohodlný na používanie.

Matematické modelovanie.

Klasifikácia matematických modelov.

Matematické modely môžu byťdeterministický A stochastické .

Určiť Model a sú to modely, v ktorých sa medzi premennými opisujúcimi objekt alebo jav vytvorí vzájomná zhoda.

Tento prístup je založený na znalostiach mechanizmu fungovania objektov. Modelovaný objekt je často zložitý a dešifrovanie jeho mechanizmu môže byť veľmi prácne a časovo náročné. V tomto prípade postupujú nasledovne: uskutočnia experimenty na origináli, spracujú získané výsledky a bez toho, aby sa zaoberali mechanizmom a teóriou modelovaného objektu pomocou metód matematickej štatistiky a teórie pravdepodobnosti, nadviažu spojenia medzi premennými, ktoré opisujú objekt. V tomto prípade dostanetestochastické Model . IN stochastické model, vzťah medzi premennými je náhodný, niekedy je zásadný. Vplyv obrovského množstva faktorov, ich kombinácia vedie k náhodnému súboru premenných popisujúcich objekt alebo jav. Podľa povahy režimov je modelštatistické A dynamický.

ŠtatistickéModelzahŕňa popis vzťahov medzi hlavnými premennými modelovaného objektu v ustálenom stave bez zohľadnenia zmien parametrov v čase.

IN dynamickýmodelovsú popísané vzťahy medzi hlavnými premennými modelovaného objektu pri prechode z jedného režimu do druhého.

Existujú modely diskrétne A nepretržitý, a zmiešané typu. IN nepretržitý premenné nadobúdajú hodnoty z určitého intervalu, vdiskrétnepremenné nadobúdajú izolované hodnoty.

Lineárne modely- všetky funkcie a vzťahy, ktoré popisujú model lineárne, závisia od premenných anie lineárneinak.

Matematické modelovanie.

Požiadavky ,p prezentované k modelkám.

1. Všestrannosť- charakterizuje úplnosť modelového znázornenia študovaných vlastností reálneho objektu.

1. Adekvátnosť je schopnosť odrážať požadované vlastnosti objektu s chybou nie vyššou ako je daná.
2. Presnosť sa hodnotí mierou zhody medzi hodnotami charakteristík skutočného objektu a hodnotami týchto charakteristík získanými pomocou modelov.
3. Ekonomický - určuje sa vynaložením prostriedkov pamäte počítača a časom na jeho realizáciu a prevádzku.

Matematické modelovanie.

Hlavné fázy modelovania.

1. Vyjadrenie problému.

Stanovenie účelu analýzy a spôsobu, ako ho dosiahnuť, a vypracovanie všeobecného prístupu k skúmanému problému. V tejto fáze je potrebné hlboké pochopenie podstaty úlohy. Správne nastavenie problému niekedy nie je o nič menej náročné ako jeho vyriešenie. Inscenácia nie je formálny proces, všeobecné pravidlá Nie

2. Štúdium teoretických základov a zber informácií o pôvodnom objekte.

V tomto štádiu sa vyberie alebo vypracuje vhodná teória. Ak tam nie je, medzi premennými popisujúcimi objekt sa vytvoria vzťahy príčina-následok. Stanovia sa vstupné a výstupné údaje a vytvoria sa zjednodušujúce predpoklady.

3. Formalizácia.

Spočíva vo výbere sústavy symbolov a ich pomocou na zapisovanie vzťahov medzi komponentmi objektu vo forme matematických výrazov. Stanoví sa trieda problémov, do ktorých možno zaradiť výsledný matematický model objektu. Hodnoty niektorých parametrov nemusia byť v tejto fáze ešte špecifikované.

4. Výber spôsobu riešenia.

V tejto fáze sa stanovia konečné parametre modelov s prihliadnutím na prevádzkové podmienky objektu. Pre výsledný matematický problém sa vyberie metóda riešenia alebo sa vyvinie špeciálna metóda. Pri výbere metódy sa berú do úvahy znalosti používateľa, jeho preferencie a preferencie vývojára.

5. Implementácia modelu.

Po vyvinutí algoritmu sa napíše program, ktorý sa odladí, otestuje a získa sa riešenie požadovaného problému.

6. Analýza prijatých informácií.

Získané a očakávané riešenia sa porovnajú a sleduje sa chyba modelovania.

7. Kontrola primeranosti reálneho objektu.

Výsledky získané z modelu sa porovnajúbuď s dostupnými informáciami o objekte, alebo sa vykoná experiment a jeho výsledky sa porovnajú s vypočítanými.

Proces modelovania je iteratívny. V prípade neuspokojivých výsledkov etáp 6. alebo 7. dochádza k návratu do jednej zo skorších fáz, čo mohlo viesť k vývoju neúspešného modelu. Táto etapa a všetky nasledujúce sa spresňujú a model sa zdokonaľuje, kým sa nedosiahnu prijateľné výsledky.

Matematický model je približný popis akejkoľvek triedy javov alebo objektov reálneho sveta v jazyku matematiky. Hlavným účelom modelovania je preskúmať tieto objekty a predpovedať výsledky budúcich pozorovaní. Modeling je však aj metóda, ako porozumieť svetu okolo nás, vďaka čomu je možné ho ovládať.

Matematické modelovanie a súvisiaci počítačový experiment sú nevyhnutné v prípadoch, keď je experiment v plnom rozsahu z jedného alebo druhého dôvodu nemožný alebo ťažký. Napríklad nie je možné vytvoriť prirodzený experiment v histórii, ktorý by overil „čo by sa stalo, keby...“ Nie je možné overiť správnosť tej či onej kozmologickej teórie. Je možné, ale nepravdepodobné, že by to bolo rozumné, experimentovať so šírením choroby, ako je mor, alebo vykonať jadrový výbuch, aby sa študovali jeho následky. To všetko sa však dá urobiť na počítači tak, že sa najskôr skonštruujú matematické modely skúmaných javov.

1.1.2 2. Hlavné fázy matematického modelovania

1) Stavba modelu. V tejto fáze sa špecifikuje nejaký „nematematický“ objekt – prírodný jav, dizajn, ekonomický plán, výrobný proces atď. V tomto prípade je spravidla obtiažne jasne popísať situáciu. Najprv sa identifikujú hlavné črty javu a súvislosti medzi nimi na kvalitatívnej úrovni. Potom sa nájdené kvalitatívne závislosti formulujú v jazyku matematiky, to znamená, že sa zostaví matematický model. Toto je najťažšia fáza modelovania.

2) Riešenie matematického problému, ku ktorému model vedie. V tejto fáze sa veľká pozornosť venuje vývoju algoritmov a numerických metód na riešenie problému na počítači, pomocou ktorých je možné nájsť výsledok s požadovanou presnosťou a v prijateľnom čase.

3) Interpretácia získaných dôsledkov z matematického modelu.Dôsledky odvodené z modelu v jazyku matematiky sú interpretované v jazyku akceptovanom v danej oblasti.

4) Kontrola vhodnosti modelu.V tejto fáze sa zisťuje, či experimentálne výsledky súhlasia s teoretickými dôsledkami modelu v rámci určitej presnosti.

5) Úprava modelu.V tejto fáze sa buď model skomplikuje tak, aby viac zodpovedal realite, alebo sa zjednoduší, aby sa dosiahlo prakticky prijateľné riešenie.

1.1.3 3. Klasifikácia modelu

Modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií. Napríklad podľa charakteru riešených problémov možno modely rozdeliť na funkčné a štrukturálne. V prvom prípade sú kvantitatívne vyjadrené všetky veličiny charakterizujúce jav alebo predmet. Okrem toho sa niektoré z nich považujú za nezávislé premenné, zatiaľ čo iné sa považujú za funkcie týchto veličín. Matematický model je zvyčajne systém rovníc rôznych typov (diferenciálnych, algebraických atď.), ktoré stanovujú kvantitatívne vzťahy medzi uvažovanými veličinami. V druhom prípade model charakterizuje štruktúru komplexného objektu pozostávajúceho z jednotlivých častí, medzi ktorými existujú určité súvislosti. Tieto spojenia sa zvyčajne nedajú kvantifikovať. Na zostavenie takýchto modelov je vhodné použiť teóriu grafov. Graf je matematický objekt, ktorý predstavuje množinu bodov (vrcholov) v rovine alebo v priestore, z ktorých niektoré sú spojené čiarami (hranami).

Na základe charakteru počiatočných údajov a výsledkov možno predikčné modely rozdeliť na deterministické a pravdepodobnostno-štatistické. Modely prvého typu poskytujú isté, jednoznačné predpovede. Modely druhého typu sú založené na štatistických informáciách a predpovede získané s ich pomocou majú pravdepodobnostný charakter.

MATEMATICKÉ MODELOVANIE A VŠEOBECNÉ POČÍTAČOVÉ ALEBO SIMULAČNÉ MODELY

Teraz, keď v krajine prebieha takmer univerzálna informatizácia, počujeme vyjadrenia odborníkov z rôznych profesií: „Ak zavedieme počítač, všetky problémy sa okamžite vyriešia.“ Tento uhol pohľadu je úplne nesprávny, samotné počítače bez matematických modelov určitých procesov nič nezvládnu a o univerzálnej informatizácii sa dá len snívať.

Na podporu vyššie uvedeného sa pokúsime zdôvodniť potrebu modelovania vrátane matematického modelovania, odhalíme jeho výhody v poznávaní a pretváraní vonkajšieho sveta človekom, identifikujeme existujúce nedostatky a prejdeme... k simulačnému modelovaniu, t.j. modelovanie pomocou počítača. Ale všetko je v poriadku.

Najprv si odpovedzme na otázku: čo je to model?

Model je hmotný alebo mentálne reprezentovaný objekt, ktorý v procese poznávania (štúdia) nahrádza pôvodný, pričom si zachováva niektoré typické vlastnosti dôležité pre toto štúdium.

Dobre zostavený model je pre výskum dostupnejší ako skutočný objekt. Napríklad experimenty s ekonomikou krajiny na vzdelávacie účely sú neprijateľné, model je nevyhnutný.

Keď zhrnieme, čo bolo povedané, môžeme odpovedať na otázku: na čo sú modely? Za účelom

• pochopiť, ako objekt funguje (jeho štruktúra, vlastnosti, zákonitosti vývoja, interakcia s vonkajším svetom).
• naučiť sa riadiť objekt (proces) a určovať najlepšie stratégie
• predvídať dôsledky nárazu na objekt.

Čo je pozitívne na akomkoľvek modeli? Umožňuje vám získať nové poznatky o objekte, ale, žiaľ, sú v tej či onej miere neúplné.

Modelformulovaný v jazyku matematiky pomocou matematických metód sa nazýva matematický model.

Východiskom pre jeho výstavbu býva nejaký problém, napríklad ekonomický. Rozšírené sú popisné aj optimalizačné matematické, ktoré charakterizujú rôzne ekonomické procesy a javy, napr.

• rozdelenie zdrojov
• racionálne rezanie
• dopravy
• konsolidácia podnikov
• plánovanie siete.

Ako sa vytvára matematický model?

• Najprv je formulovaný účel a predmet štúdie.
• Po druhé, sú zvýraznené najdôležitejšie charakteristiky zodpovedajúce tomuto cieľu.
• Po tretie, vzťahy medzi prvkami modelu sú popísané slovne.
• Ďalej je vzťah formalizovaný.
• A pomocou matematického modelu sa urobí výpočet a výsledné riešenie sa analyzuje.

Použitím tento algoritmus môžete vyriešiť akýkoľvek optimalizačný problém, vrátane multikriteriálnych, t.j. taký, v ktorom sa nesleduje jeden, ale viacero cieľov, vrátane protichodných.

Uveďme si príklad. Teória radenia - problém radenia. Je potrebné vyvážiť dva faktory – náklady na údržbu obslužných zariadení a náklady na zotrvanie v rade. Po vytvorení formálneho popisu modelu sa výpočty vykonajú pomocou analytických a výpočtových metód. Ak je model dobrý, odpovede nájdené s jeho pomocou sú adekvátne modelovaciemu systému, ak je zlý, treba ho vylepšiť a nahradiť. Kritériom primeranosti je prax.

Optimalizačné modely, vrátane multikriteriálnych, majú spoločnú vlastnosť - je známy cieľ (alebo viacero cieľov), na dosiahnutie ktorého sa človek často musí zaoberať zložitými systémami, kde nejde ani tak o riešenie optimalizačných problémov, ale o štúdium a predikciu. stavov v závislosti od zvolených stratégií riadenia. A tu sa stretávame s ťažkosťami pri realizácii predchádzajúceho plánu. Sú nasledovné:

• komplexný systém obsahuje veľa spojení medzi prvkami
• reálny systém je ovplyvnený náhodnými faktormi, ich analytické zohľadnenie je nemožné
• možnosť porovnania originálu s modelom existuje len na začiatku a po použití matematického aparátu, pretože medzivýsledky nemusia mať v reálnom systéme obdobu.

V súvislosti s uvedenými ťažkosťami, ktoré vznikajú pri štúdiu zložitých systémov, si prax vyžadovala flexibilnejšiu metódu a ukázalo sa, že „modelovanie simulácie“.

Typicky sa pod simulačným modelom rozumie súbor počítačových programov, ktoré popisujú fungovanie jednotlivých blokov systému a pravidlá interakcie medzi nimi. Použitie náhodných veličín si vyžaduje opakované experimenty so simulačným systémom (na počítači) a následnú štatistickú analýzu získaných výsledkov. Veľmi častým príkladom použitia simulačných modelov je riešenie problému radenia pomocou metódy MONTE CARLO.

Práca so simulačným systémom je teda experiment realizovaný na počítači. Aké sú výhody?

– Väčšia blízkosť k reálnemu systému ako matematické modely;

–Princíp bloku umožňuje overiť každý blok pred jeho zaradením do celkového systému;

–Používanie závislostí zložitejšej povahy, ktoré sa nedajú opísať jednoduchými matematickými vzťahmi.

Uvedené výhody určujú nevýhody

– vytvorenie simulačného modelu trvá dlhšie, je náročnejšie a drahšie;

– na prácu so simulačným systémom musíte mať počítač vhodný pre danú hodinu;

– interakcia medzi používateľom a simulačným modelom (rozhraním) by nemala byť príliš zložitá, pohodlná a dobre známa;

-vytvorenie simulačného modelu si vyžaduje hlbšie štúdium skutočného procesu ako matematické modelovanie.

Vynára sa otázka: môže simulačné modelovanie nahradiť optimalizačné metódy? Nie, ale vhodne ich dopĺňa. Simulačný model je program, ktorý implementuje určitý algoritmus, na optimalizáciu riadenia ktorého sa najprv rieši optimalizačný problém.

Takže ani počítač, ani matematický model, ani algoritmus na jeho štúdium samotný nedokážu vyriešiť dostatočne zložitý problém. Ale spolu predstavujú silu, ktorá nám umožňuje pochopiť svet okolo nás a riadiť ho v záujme človeka.

1.2 Klasifikácia modelu

1.2.1 Klasifikácia zohľadňujúca časový faktor a oblasť použitia (Makarova N.A.) Statický model - je to ako jednorazová snímka informácií o objekte (výsledok jedného prieskumu) Dynamický model-umožňuje vidieť zmeny v objekte v priebehu času (karta na klinike) Modely možno klasifikovať aj podľa do akej oblasti poznania patria?(biologické, historické, životné prostredie atď.) Návrat na začiatok

1.2.2 Klasifikácia podľa oblasti použitia (Makarova N.A.) Vzdelávacie- vizuálny manuály, simulátory oh, zavýjajúci programy skúsený modely-redukované kópie (auto vo veternom tuneli) Vedecké a technické synchrofasotron, stojan na testovanie elektronických zariadení Hranie- ekonomické, šport, obchodné hry Imitácia- nie Jednoducho odrážajú realitu, ale napodobňujú ju (lieky sa testujú na myšiach, experimentujú sa na školách a pod. Táto metóda modelovania je tzv. pokus a omyl Návrat na začiatok

1.2.3 Klasifikácia podľa spôsobu prezentácie Makarov N.A.) Materiál modely- inak možno nazvať predmetom. Vnímajú geometrické a fyzikálne vlastnosti originálu a vždy majú skutočné stelesnenie Informácie modely nie sú povolené dotýkať sa alebo vidieť. Sú založené len na informáciách .A informačný model je súbor informácií, ktoré charakterizujú vlastnosti a stavy objektu, procesu, javu, ako aj vzťah s vonkajším svetom. Verbálny model - informačný model v mentálnej alebo hovorenej forme. Ikonický informácie o modeli model vyjadrený znakmi ,t.j.. prostredníctvom akéhokoľvek formálneho jazyka. Počítačový model - m Model implementovaný pomocou softvérového prostredia.

1.2.4 Klasifikácia modelov uvedená v knihe „Informatika Zeme“ (Gein A.G.)) „...tu je zdanlivo jednoduchá úloha: ako dlho bude trvať prechod cez púšť Karakum? Odpoveď je samozrejme závisí od spôsobu dopravy. Ak cestovať ďalejťavy, potom to bude trvať jeden termín, druhý, ak idete autom, tretí, ak letíte lietadlom. A čo je najdôležitejšie, na plánovanie výletu sú potrebné rôzne modely. V prvom prípade možno požadovaný model nájsť v memoároch slávnych púštnych prieskumníkov: veď bez informácií o oázach a ťavích chodníkoch sa človek nezaobíde. V druhom prípade sú informácie obsiahnuté v autoatlase nenahraditeľné. V treťom môžete využiť letový poriadok. Tieto tri modely sa líšia – memoáre, atlas a rozvrh – a charakter prezentácie informácií. V prvom prípade je model reprezentovaný slovným popisom informácie (popisný model), v druhom - akoby fotografia zo života (model v plnej veľkosti), v treťom - tabuľka obsahujúca symboly: časy odchodov a príletov, deň v týždni, cena lístka (takzvaný znakový model) Toto delenie je však veľmi ľubovoľné - v memoároch nájdete mapy a diagramy (prvky celoplošného modelu), na mapách sú symboly (prvky symbolického modelu), v rozvrhu je dekódovanie symbolov (prvky opisného modelu). Takže táto klasifikácia modelov... podľa nášho názoru je neproduktívna“ Podľa môjho názoru tento fragment demonštruje popisný (nádherný jazyk a štýl prezentácie) a akoby sokratovský učebný štýl spoločný pre všetky Heinove knihy (Každý si myslí, že je to takto. Úplne s tebou súhlasím, ale keď sa pozrieš pozorne...). V takýchto knihách je dosť ťažké nájsť jasný systém definícií (nie je to zamýšľané autorom). V učebnici spracovanej N.A. Makarova demonštruje iný prístup - definície pojmov sú jasne zvýraznené a trochu statické.

1.2.5 Klasifikácia modelov uvedená v príručke od A.I. Bochkina Existuje neobvykle veľké množstvo klasifikačných metód .P priniesť len niektoré z najznámejších dôvodov a znaky: diskrétnosť A spojitosť, matica a skalárne modely, statické a dynamické modely, analytické a informačné modely, vecné a obrazové znamienkové modely, veľkorozmerné a nemierkové modely... Každé znamenie dáva istý znalosti o vlastnostiach modelu aj simulovanej reality. Znak môže slúžiť ako náznak spôsobu dokončeného alebo pripravovaného modelovania. Diskrétnosť a kontinuita Diskrétnosť - charakteristický znak počítačových modelov .Po všetkom počítač môže byť vo finále, aj keď veľmi veľké množstváštátov. Preto aj keď je objekt spojitý (čas), v modeli sa bude meniť skokmi. Dalo by sa to zvážiť kontinuita znak modelov iného ako počítačového typu. Šanca a determinizmus . neistota, nehoda spočiatku odporuje počítačovému svetu: Algoritmus spustený znova sa musí zopakovať a poskytnúť rovnaké výsledky. Ale na simuláciu náhodných procesov sa používajú snímače pseudonáhodných čísel. Zavedenie náhodnosti do deterministických problémov vedie k silným a zaujímavým modelom (Výpočet plochy náhodným hodom). Matrixovosť - skalárnosť. Dostupnosť parametrov matice model naznačuje jeho väčšiu zložitosť a prípadne presnosť v porovnaní s skalárne. Ak napríklad neidentifikujeme všetky vekové skupiny v populácii krajiny, vzhľadom na jej zmenu ako celku, získame skalárny model (napríklad Malthusov model), ak ho izolujeme, získame maticu (pohlavie -vek) model. Práve maticový model umožnil vysvetliť výkyvy v plodnosti po vojne. Statická dynamika. Tieto vlastnosti modelu sú zvyčajne predurčené vlastnosťami reálneho objektu. Sloboda voľby tu neexistuje. Len statické model by mohol byť krokom k tomu dynamický, alebo niektoré premenné modelu možno zatiaľ považovať za nezmenené. Napríklad družica sa pohybuje okolo Zeme, jej pohyb ovplyvňuje Mesiac. Ak považujeme Mesiac za stacionárny počas revolúcie satelitu, získame jednoduchší model. Analytické modely. Popis procesov analyticky, vzorce a rovnice. Pri pokuse o vytvorenie grafu je však vhodnejšie mať tabuľky funkčných hodnôt a argumentov. Simulačné modely. Imitácia modely sa objavili už dávno v podobe kópií lodí, mostov atď. Vedieť, ako je to prepojené prvkov modelu analyticky a logicky je jednoduchšie neriešiť sústavu určitých vzťahov a rovníc, ale zobraziť reálny systém v pamäti počítača s prihliadnutím na súvislosti medzi pamäťovými prvkami. Informačné modely. Informácie Modely sú zvyčajne kontrastované s matematickými, alebo skôr algoritmickými. Tu je dôležitý pomer objemov dát k algoritmom. Ak existuje viac údajov alebo sú dôležitejšie, máme informačný model, inak - matematický. Predmetové modely. Ide predovšetkým o detský model - hračku. Ikonické modely. Toto je predovšetkým model v ľudskej mysli: obrazný, ak prevládajú grafické obrázky a ikonický, ak je slov a/alebo čísel viac. Modely obrazových znakov sú zostavené na počítači. Modely v mierke. TO vo veľkom meradle modely sú modely predmetu alebo figuratívne modely, ktoré opakujú tvar objektu (mapy).

Matematický model b je matematická reprezentácia reality.

Matematické modelovanie- proces konštrukcie a štúdia matematických modelov.

Všetky prírodné a spoločenské vedy, ktoré používajú matematický aparát, sa v podstate zaoberajú matematickým modelovaním: nahrádzajú skutočný objekt jeho matematickým modelom a potom ho študujú.

Definície.

Žiadna definícia nemôže plne pokryť skutočnú činnosť matematického modelovania. Napriek tomu sú definície užitočné v tom, že sa snažia zdôrazniť najpodstatnejšie vlastnosti.

Definícia modelu podľa A. A. Ljapunova: Modelovanie je nepriama praktická alebo teoretická štúdia objektu, pri ktorej sa priamo neštuduje samotný objekt, ale nejaký pomocný umelý alebo prírodný systém:

nachádza sa v nejakej objektívnej korešpondencii s poznateľným objektom;

schopné ho v určitých ohľadoch nahradiť;

ktorý pri štúdiu v konečnom dôsledku poskytuje informácie o modelovanom objekte.

Podľa učebnice Sovetova a Jakovleva: „model je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu“. "Nahradenie jedného objektu iným s cieľom získať informácie o najdôležitejších vlastnostiach pôvodného objektu pomocou objektu modelu sa nazýva modelovanie." „Matematickým modelovaním rozumieme proces vytvárania súladu medzi daným reálnym objektom a nejakým matematickým objektom, ktorý sa nazýva matematický model, a štúdium tohto modelu, ktoré nám umožňuje získať charakteristiky uvažovaného reálneho objektu. Typ matematického modelu závisí tak od povahy skutočného objektu, ako aj od úloh štúdia objektu a od požadovanej spoľahlivosti a presnosti riešenia tohto problému.

Podľa Samarského a Michajlova je matematický model „ekvivalentom“ objektu, ktorý v matematickej forme odráža jeho najdôležitejšie vlastnosti: zákony, ktorým sa riadi, súvislosti obsiahnuté v jeho súčastiach atď. Existuje v triádach „ model-algoritmus-program“. Po vytvorení triády „model-algoritmus-program“ dostane výskumník univerzálny, flexibilný a lacný nástroj, ktorý je najskôr odladený a testovaný v skúšobných výpočtových experimentoch. Po zistení primeranosti triády k pôvodnému objektu sa s modelom vykonávajú rôzne a podrobné „experimenty“, ktoré dávajú všetky požadované kvalitatívne a kvantitatívne vlastnosti a charakteristiky objektu.

Podľa Myshkisovej monografie: „Prejdime k všeobecnej definícii. Predpokladajme, že budeme skúmať nejakú množinu S vlastností reálneho objektu a with

pomocou matematiky. Aby sme to dosiahli, vyberieme „matematický objekt“ a“ - systém rovníc alebo aritmetických vzťahov alebo geometrických útvarov alebo kombináciu oboch atď. - ktorých štúdium pomocou matematiky by malo zodpovedať otázky týkajúce sa vlastnosti S. V týchto podmienkach a" sa nazýva matematický model objektu a relatívne k množine S jeho vlastností."

Podľa Sevostyanova A.G.: „Matematický model je súbor matematických vzťahov, rovníc, nerovností atď., ktoré opisujú základné vzorce obsiahnuté v skúmanom procese, objekte alebo systéme.“

O niečo menej všeobecná definícia matematický model založený na idealizácii „vstup-výstup-stav“ vypožičaný z teórie automatov dáva Wikislovník: „Abstrahovaná matematická reprezentácia procesu, zariadenia alebo teoretickej myšlienky; používa množinu premenných na reprezentáciu vstupov, výstupov a vnútorných stavov a množinu rovníc a nerovností na opis ich interakcií.“

Nakoniec, najvýstižnejšia definícia matematického modelu je: „Rovnica, ktorá vyjadruje myšlienku“.

Formálna klasifikácia modelov.

Formálna klasifikácia modelov je založená na klasifikácii použitých matematických nástrojov. Často konštruované vo forme dichotómií. Napríklad jeden z populárnych súborov dichotómií:

Lineárne alebo nelineárne modely; Koncentrované alebo distribuované systémy; Deterministické alebo stochastické; Statické alebo dynamické; Diskrétne alebo kontinuálne.

a tak ďalej. Každý skonštruovaný model je lineárny alebo nelineárny, deterministický alebo stochastický, ... Prirodzene sú možné aj zmiešané typy: koncentrované v jednom ohľade, distribuované v inom atď.

Klasifikácia podľa spôsobu znázornenia objektu.

Spolu s formálnou klasifikáciou sa modely líšia v spôsobe, akým predstavujú objekt:

Štrukturálne modely predstavujú objekt ako systém s vlastnou štruktúrou a mechanizmom fungovania. Funkčné modely nepoužívajú takéto reprezentácie a odrážajú iba externe vnímané správanie objektu. V extrémnom vyjadrení sa im hovorí aj modely „black box.“ Možné sú aj kombinované typy modelov, ktoré sa niekedy nazývajú modely „grey box“.

Takmer všetci autori popisujúci proces matematického modelovania uvádzajú, že najprv sa vytvorí špeciálna ideálna štruktúra, zmysluplný model. Neexistuje tu ustálená terminológia a iní autori tento ideálny objekt nazývajú konceptuálny model, špekulatívny model alebo predmodel. V tomto prípade sa konečná matematická konštrukcia nazýva formálny model alebo jednoducho matematický model získaný ako výsledok formalizácie tohto zmysluplného modelu. Konštrukcia zmysluplného modelu môže byť vykonaná pomocou sady hotových idealizácií, ako v mechanike, kde ideálne pružiny, tuhé telesá, ideálne kyvadla, elastické médiá atď. poskytujú hotové konštrukčné prvky pre zmysluplné modelovanie. Avšak v oblastiach vedomostí, kde neexistujú úplne dokončené formalizované teórie, sa tvorba zmysluplných modelov stáva dramaticky ťažším.

Práca R. Peierlsa uvádza klasifikáciu matematických modelov používaných vo fyzike a v širšom zmysle aj v prírodných vedách. V knihe A. N. Gorbana a R. G. Khleboprosa je táto klasifikácia rozobratá a rozšírená. Táto klasifikácia je zameraná predovšetkým na štádium konštrukcie zmysluplného modelu.

Tieto modely „predstavujú predbežný popis javu a autor buď verí v jeho možnosť, alebo ho dokonca považuje za pravdivý“. Podľa R. Peierlsa ide napríklad o model slnečná sústava podľa Ptolemaia a Kopernikovho modelu, Rutherfordovho atómového modelu a modelu Veľkého tresku.

Žiadna hypotéza vo vede nemôže byť dokázaná raz a navždy. Richard Feynman to formuloval veľmi jasne:

„Vždy máme možnosť vyvrátiť teóriu, ale všimnite si, že nikdy nemôžeme dokázať, že je správna. Predpokladajme, že ste predložili úspešnú hypotézu, vypočítali ste, kam vedie, a zistili ste, že všetky jej dôsledky sú experimentálne potvrdené. Znamená to, že vaša teória je správna? Nie, znamená to jednoducho, že si to nedokázal vyvrátiť."

Ak sa vytvorí model prvého typu, znamená to, že je dočasne uznaný za pravdu a človek sa môže sústrediť na iné problémy. To však nemôže byť bod vo výskume, ale len dočasná pauza: status modelu prvého typu môže byť len dočasný.

Fenomenologický model obsahuje mechanizmus na popis javu. Tento mechanizmus však nie je dostatočne presvedčivý, nedá sa dostatočne potvrdiť dostupnými údajmi, alebo sa dobre nezhoduje s existujúcimi teóriami a nahromadenými poznatkami o objekte. Preto majú fenomenologické modely status dočasných riešení. Verí sa, že odpoveď je stále neznáma a hľadanie „skutočných mechanizmov“ musí pokračovať. Peierls zaraďuje ako druhý typ napríklad kalorický model a kvarkový model elementárnych častíc.

Úloha modelu vo výskume sa môže časom meniť, môže sa stať, že nové údaje a teórie potvrdia fenomenologické modely a tie sa povýšia na

stav hypotézy. Rovnako aj nové poznatky sa môžu postupne dostať do konfliktu s modelmi-hypotézami prvého typu a môžu sa preniesť do druhého. Model kvarku sa teda postupne presúva do kategórie hypotéz; atomizmus vo fyzike vznikol ako dočasné riešenie, ale postupom dejín sa stal prvým typom. Ale éterové modely sa dostali od typu 1 k typu 2 a teraz sú mimo vedu.

Myšlienka zjednodušenia je veľmi populárna pri zostavovaní modelov. Zjednodušenie však prichádza v rôznych podobách. Peierls identifikuje tri typy zjednodušení v modelovaní.

Ak je možné zostrojiť rovnice, ktoré popisujú skúmaný systém, neznamená to, že sa dajú vyriešiť aj pomocou počítača. Bežnou technikou je v tomto prípade použitie aproximácií. Medzi nimi sú modely lineárnej odozvy. Rovnice sú nahradené lineárnymi. Štandardným príkladom je Ohmov zákon.

Ak použijeme model ideálny plyn na popis dostatočne riedkych plynov, potom ide o model typu 3. Pre viac vysoké hustoty plyn, je tiež užitočné predstaviť si jednoduchšiu situáciu s ideálnym plynom pre kvalitatívne pochopenie a hodnotenie, ale to je už typ 4.

V modeli typu 4 sa vyhadzujú detaily, ktoré môžu výrazne a nie vždy kontrolovateľne ovplyvniť výsledok. Rovnaké rovnice môžu slúžiť ako model typu 3 alebo 4 v závislosti od javu, ktorý sa model používa na štúdium. Ak sa teda modely lineárnej odozvy používajú pri absencii komplexnejších modelov, ide už o fenomenologické lineárne modely a patria do nasledujúceho typu 4.

Príklady: aplikácia modelu ideálneho plynu na neideálny plyn, stavová rovnica van der Waalsa, väčšina modelov fyziky pevných látok, kvapalín a jadra. Cesta od mikroopisu k vlastnostiam telies pozostávajúcich z veľkého množstva častíc je veľmi dlhá. Mnohé detaily je potrebné vynechať. To vedie k modelom typu 4.

Heuristický model si zachováva iba kvalitatívnu podobnosť s realitou a robí predpovede len „v poradí podľa veľkosti“. Typickým príkladom je aproximácia strednej voľnej dráhy v kinetickej teórii. Poskytuje jednoduché vzorce pre koeficienty viskozity, difúzie a tepelnej vodivosti, ktoré sú rádovo v súlade so skutočnosťou.

Ale pri budovaní novej fyziky nie je možné okamžite získať model, ktorý by poskytoval aspoň kvalitatívny popis objektu - model piateho typu. V tomto prípade sa často používa model analogicky, ktorý odráža realitu aspoň v niektorých detailoch.

R. Peierls uvádza históriu používania analógií v prvom článku W. Heisenberga o povahe jadrových síl. „Stalo sa to po objavení neutrónu a hoci sám W. Heisenberg pochopil, že je možné opísať jadrá ako zložené z neutrónov a protónov, stále sa nemohol zbaviť myšlienky, že neutrón musí v konečnom dôsledku pozostávať z protónu a elektrón. V tomto prípade vznikla analógia medzi interakciou v systéme neutrón-protón a interakciou atómu vodíka a protónu. Práve toto prirovnanie ho priviedlo k záveru, že medzi neutrónom a protónom musia existovať výmenné sily interakcie, ktoré sú podobné výmenným silám v systéme H - H spôsobených prechodom elektrónu medzi dvoma protónmi. ... Neskôr sa existencia výmenných síl interakcie medzi neutrónom a protónom predsa len dokázala, aj keď neboli úplne vyčerpané

interakcia medzi dvoma časticami... Ale podľa rovnakej analógie W. Heisenberg dospel k záveru, že medzi dvoma protónmi neexistujú žiadne jadrové sily vzájomného pôsobenia a že medzi dvoma neutrónmi existuje odpudzovanie. Obidve tieto posledné zistenia sú v rozpore s novšími štúdiami."

A. Einstein bol jedným z veľkých majstrov myšlienkových experimentov. Tu je jeden z jeho experimentov. Bol vynájdený v jeho mladosti a nakoniec viedol ku konštrukcii špeciálna teória relativity. Predpokladajme, že v klasickej fyzike sa pohybujeme za svetelnou vlnou rýchlosťou svetla. Budeme pozorovať elektromagnetické pole periodicky sa meniace v priestore a konštantné v čase. Podľa Maxwellových rovníc sa to stať nemôže. Mladý Einstein preto dospel k záveru: buď sa prírodné zákony zmenia, keď sa zmení referenčný systém, alebo rýchlosť svetla nezávisí od referenčného systému. Vybral si druhú – krajšiu možnosť. Ďalším známym Einsteinovým myšlienkovým experimentom je Einstein-Podolsky-Rosenov paradox.

Tu prichádza typ 8, ktorý je rozšírený v matematických modeloch biologických systémov.

Sú to tiež myšlienkové experimenty s imaginárnymi entitami, ktoré dokazujú, že predpokladaný jav je v súlade so základnými princípmi a vnútorne konzistentný. To je hlavný rozdiel od modelov typu 7, ktoré odhaľujú skryté rozpory.

Jedným z najznámejších takýchto experimentov je Lobačevského geometria. Ďalším príkladom je masová výroba formálne kinetických modelov chemických a biologických vibrácií, autovĺn atď. Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox bol koncipovaný ako model 7. typu, aby demonštroval nekonzistentnosť kvantovej mechaniky. Úplne neplánovane sa z toho nakoniec stal model 8. typu – ukážka možnosti kvantovej teleportácie informácií.

Uvažujme mechanický systém pozostávajúci z pružiny pripevnenej na jednom konci a hmoty m pripevnenej k voľnému koncu pružiny. Budeme predpokladať, že bremeno sa môže pohybovať iba v smere osi pružiny. Zostavme si matematický model tohto systému. Stav sústavy popíšeme vzdialenosťou x od stredu zaťaženia k jeho rovnovážnej polohe. Popíšme interakciu pružiny a zaťaženia pomocou Hookovho zákona a potom pomocou druhého Newtonovho zákona ju vyjadrime vo forme diferenciálnej rovnice:

kde znamená druhú deriváciu x vzhľadom na čas..

Výsledná rovnica popisuje matematický model uvažovaného fyzikálneho systému. Tento model sa nazýva "harmonický oscilátor".

Podľa formálnej klasifikácie je tento model lineárny, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. V procese jeho výstavby sme vychádzali z mnohých predpokladov, ktoré v skutočnosti nemusia byť splnené.

Vo vzťahu k realite ide najčastejšie o model zjednodušenia 4. typu, keďže niektoré podstatné univerzálne znaky sú vynechané. Do určitej aproximácie takýto model celkom dobre opisuje skutočný mechanický systém, pretože

vyradené faktory majú na jej správanie zanedbateľný vplyv. Model však možno spresniť zohľadnením niektorých z týchto faktorov. To povedie k novému modelu so širším rozsahom použiteľnosti.

Pri zdokonaľovaní modelu sa však môže výrazne zvýšiť zložitosť jeho matematického výskumu a model sa môže stať prakticky zbytočným. Jednoduchší model často umožňuje lepšie a hlbšie skúmanie reálneho systému ako zložitejší.

Ak použijeme model harmonického oscilátora na objekty ďaleko od fyziky, jeho vecný stav môže byť odlišný. Napríklad pri aplikácii tohto modelu na biologické populácie by sa mal s najväčšou pravdepodobnosťou klasifikovať ako analógia typu 6.

Tvrdé a mäkké modely.

Harmonický oscilátor je príkladom takzvaného „tvrdého“ modelu. Získava sa ako výsledok silnej idealizácie skutočného fyzického systému. Na vyriešenie otázky jej použiteľnosti je potrebné pochopiť, aké významné sú faktory, ktoré sme zanedbali. Inými slovami, je potrebné študovať „mäkký“ model, ktorý sa získa malou poruchou „tvrdého“. Môže byť daný napríklad nasledujúcou rovnicou:

Tu je určitá funkcia, ktorá môže brať do úvahy treciu silu alebo závislosť koeficientu tuhosti pružiny od stupňa jej natiahnutia, ε je nejaký malý parameter. Explicitná forma funkcie f nás momentálne nezaujíma. Ak dokážeme, že správanie mäkkého modelu sa zásadne nelíši od správania tvrdého, problém sa zredukuje na štúdium tvrdého modelu. V opačnom prípade bude aplikácia výsledkov získaných štúdiom rigidného modelu vyžadovať ďalší výskum. Napríklad riešením rovnice harmonického oscilátora sú funkcie tvaru

Teda oscilácie s konštantnou amplitúdou. Vyplýva z toho, že skutočný oscilátor bude oscilovať donekonečna s konštantnou amplitúdou? Nie, pretože ak vezmeme do úvahy systém s ľubovoľne malým trením, dostaneme tlmené kmity. Správanie systému sa kvalitatívne zmenilo.

Ak si systém zachováva svoje kvalitatívne správanie pri malých poruchách, hovorí sa, že je štrukturálne stabilný. Harmonický oscilátor je príkladom štrukturálne nestabilného systému. Tento model však možno použiť na štúdium procesov počas obmedzených časových období.

Všestrannosť modelov.

Najdôležitejšie matematické modely majú zvyčajne dôležitú vlastnosť univerzálnosti: tým istým matematickým modelom možno opísať zásadne odlišné reálne javy. Napríklad harmonický oscilátor opisuje nielen správanie sa záťaže na pružine, ale aj iné oscilačné procesy, často úplne iného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísanie hladiny kvapaliny v nádobe v tvare U. , alebo zmena sily prúdu v oscilačnom obvode. Štúdiom jedného matematického modelu teda okamžite študujeme celú triedu javov, ktoré popisuje. Práve tento izomorfizmus zákonov vyjadrený matematickými modelmi v rôznych segmentoch vedeckého poznania inšpiroval Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoreniu „Všeobecnej teórie systémov“.

Priame a inverzné úlohy matematického modelovania

S matematickým modelovaním je spojených veľa problémov. Najprv musíte prísť so základnou schémou modelovaného objektu, reprodukovať ho v rámci idealizácií tejto vedy. Vlakový vozeň sa tak mení na systém dosiek a zložitejší

telesá z rôznych materiálov, každý materiál je špecifikovaný ako jeho štandardná mechanická idealizácia, po ktorej sú zostavené rovnice, po ceste sú niektoré detaily vyradené ako nedôležité, robia sa výpočty, porovnávajú sa s meraniami, model sa spresňuje atď. Na vývoj technológií matematického modelovania je však užitočné tento proces rozobrať na jeho hlavné komponenty.

Tradične existujú dve hlavné triedy problémov spojených s matematickými modelmi: priame a inverzné.

Priama úloha: štruktúra modelu a všetky jeho parametre sa považujú za známe, hlavnou úlohou je vykonať štúdiu modelu s cieľom získať užitočné poznatky o objekte. Aké statické zaťaženie most vydrží? Ako bude reagovať na dynamickú záťaž, ako lietadlo prekoná zvukovú bariéru, či sa rozpadne od trepotania - to sú typické príklady priameho problému. Nastavenie správneho priameho problému si vyžaduje špeciálne zručnosti. Ak sa nepoloží správne otázky, most sa môže zrútiť, aj keď bol vybudovaný dobrý model pre jeho správanie. Tak sa v roku 1879 vo Veľkej Británii zrútil kovový most cez rieku Tay, ktorého konštruktéri postavili model mosta, vypočítali, že má 20-násobnú bezpečnostnú rezervu pre pôsobenie užitočného zaťaženia, ale zabudli na vetry. v tých miestach neustále fúka. A po roku a pol sa to zrútilo.

IN V najjednoduchšom prípade je priamy problém veľmi jednoduchý a redukuje sa na explicitné riešenie tejto rovnice.

Inverzný problém: je známych veľa možných modelov, je potrebné vybrať konkrétny model na základe dodatočných údajov o objekte. Najčastejšie je známa štruktúra modelu a je potrebné určiť niektoré neznáme parametre. Ďalšie informácie môžu pozostávať z dodatočných empirických údajov alebo požiadaviek na objekt. Dodatočné údaje môžu prísť nezávisle od procesu riešenia inverzného problému alebo byť výsledkom špeciálne plánovaného experimentu počas riešenia.

Jedným z prvých príkladov majstrovského riešenia inverzného problému s maximálnym využitím dostupných údajov bola metóda skonštruovaná I. Newtonom na rekonštrukciu trecích síl z pozorovaných tlmených kmitov.

IN Ďalším príkladom je matematická štatistika. Úlohou tejto vedy je vyvinúť metódy na zaznamenávanie, popis a analýzu pozorovacích a experimentálnych údajov s cieľom zostaviť pravdepodobnostné modely hromadných náhodných javov. Tie. množina možných modelov je obmedzená na pravdepodobnostné modely. V špecifických úlohách je množina modelov obmedzenejšia.

Počítačové modelovacie systémy.

Na podporu matematického modelovania boli vyvinuté počítačové matematické systémy, napríklad Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim atď. Umožňujú vytvárať formálne a blokové modely jednoduchých aj zložitých procesov a zariadení a jednoducho meniť parametre modelu počas modelovanie. Blokové modely sú reprezentované blokmi, ktorých zostavu a zapojenie určuje modelová schéma.

Ďalšie príklady.

Tempo rastu je úmerné aktuálnej veľkosti populácie. Je opísaná diferenciálnou rovnicou

kde α je určitý parameter určený rozdielom medzi pôrodnosťou a úmrtnosťou. Riešením tejto rovnice je exponenciálna funkcia x = x0 e. Ak pôrodnosť prevyšuje úmrtnosť, veľkosť populácie sa neobmedzene a veľmi rýchlo zvyšuje. Je jasné, že v skutočnosti sa to kvôli obmedzeniam nemôže stať

zdrojov. Keď sa dosiahne určitá kritická veľkosť populácie, model prestáva byť adekvátny, pretože neberie do úvahy obmedzené zdroje. Spresnením Malthusovho modelu môže byť logistický model, ktorý je opísaný Verhulstovou diferenciálnou rovnicou

kde xs je „rovnovážna“ veľkosť populácie, pri ktorej je pôrodnosť presne kompenzovaná úmrtnosťou. Veľkosť populácie v takomto modeli smeruje k rovnovážnej hodnote xs a toto správanie je štrukturálne stabilné.

Povedzme, že v určitej oblasti žijú dva druhy zvierat: králiky a líšky. Nech je počet králikov x, počet líšok y. Použitím modelu Malthus s potrebnými úpravami zohľadňujúcimi požieranie králikov líškami sa dostávame k nasledujúcemu systému, ktorý nesie názov modelu Lotka-Volterra:

Tento systém má rovnovážny stav, keď je počet králikov a líšok konštantný. Odchýlka od tohto stavu vedie ku kolísaniu počtu králikov a líšok, podobne ako kolísanie harmonického oscilátora. Rovnako ako v prípade harmonického oscilátora, toto správanie nie je štrukturálne stabilné: malá zmena v modeli môže viesť ku kvalitatívnej zmene správania. Napríklad, rovnovážny stav sa môže stať stabilným a kolísanie čísel zmizne. Možný je aj opačný stav, kedy každá malá odchýlka od rovnovážnej polohy povedie ku katastrofálnym následkom, až k úplnému vyhynutiu niektorého z druhov. Model Volterra-Lotka neodpovedá na otázku, ktorý z týchto scenárov sa realizuje: tu je potrebný ďalší výskum.