Pojem logaritmu a základná logaritmická identita

Pojem logaritmus a základná logaritmická identita spolu úzko súvisia, pretože definícia logaritmu v matematickom zápise a je .

Hlavná logaritmická identita z definície logaritmu vyplýva:

Definícia 1

logaritmus zavolajte exponent $n$, pri ktorom čísla $a$ dostanú číslo $b$.

Poznámka 1

exponenciálna rovnica$a^n=b$ pre $a > 0$, $a \ne 1$ nemá žiadne riešenia pre nekladné $b$ a má jeden koreň pre kladné $b$. Tento koreň sa nazýva logaritmus čísla $b$ k základu $a$ a napíš:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definícia 2

Výraz

$a^(\log_(a) b)=b$

volal základná logaritmická identita za predpokladu, že $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Príklad 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

10 $^(\lg23)=23 $.

Základná logaritmická identita

Hlavná logaritmická identita sa nazýva preto takmer vždy sa používa pri práci s logaritmami. Okrem toho sú s jeho pomocou podložené základné vlastnosti logaritmov.

Príklad 2

$7^5=16 807$, teda $\log_(7)16 807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, teda $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, teda $\log_(11)⁡1=0$.

Zvážte dôsledok základnej logaritmickej identity:

Definícia 3

Ak dva logaritmy rovnaké dôvody sú rovnaké, potom sú aj logaritmické výrazy rovnaké:

ak $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, potom $b=c$.

Zvážte obmedzenia, ktoré sa používajú na logaritmickú identitu:

Pretože pri zvýšení jednotky na ľubovoľnú mocninu vždy dostaneme jednotku a rovnosť $x=\log_(a)⁡b$ existuje len pre $b=1$, potom $\log_(1)⁡1$ bude ľubovoľná Reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, predpokladá sa $a \ne 1$.

Podľa definície môže logaritmus pre $a=0$ existovať len pre $b=0$. Pretože pri zvýšení nuly na ľubovoľnú mocninu vždy dostaneme nulu, potom $\log_(0)⁡0$ môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, predpokladá sa $a \ne 0$. Za $ racionálne a iracionálny logaritmické hodnoty, pretože stupeň s racionálnym a iracionálnym exponentom možno vypočítať len pre kladné základy. Aby sa predišlo takejto situácii, akceptuje sa $a > 0$.

$b > 0$ vyplýva z podmienky $a > 0$, pretože $x=\log_(a)⁡b$ a mocnina kladného čísla a bude vždy kladná.

Základná logaritmická identita sa často používa na zjednodušenie logaritmických výrazov.

Príklad 3

Vypočítajte $81^(\log_(9) 7)$.

Riešenie.

Aby bolo možné použiť základnú logaritmickú identitu, základ logaritmu a exponent musia byť rovnaké. Základ titulu píšeme v tvare:

Teraz môžeme napísať:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Použime vlastnosť stupňa:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

základnú logaritmickú identitu možno teraz použiť na každý faktor:

$=7 \cdot 7=49$.

Poznámka 2

Ak chcete použiť základnú logaritmickú identitu, môžete sa tiež uchýliť k nahradeniu základne logaritmu výrazom, ktorý je pod znamienkom logaritmu a naopak.

Príklad 4

Vypočítajte $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Riešenie.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odpoveď: $11$.

Príklad 5

Vypočítajte $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážte, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobným riešením.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné rýchlo a jednoducho vykonať nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c , odkiaľ podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu teda podľa definície spočíva v nájdení takého čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhľadom na informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znamienkom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - to rovná stupňa. Ukážme si príklady.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5,3.

Riešenie.

Definícia logaritmu nám umožňuje hneď povedať, že log 2 2 −3 = −3 . V skutočnosti sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je uvedené ako stupeň základu logaritmu, potom musíte dôkladne zvážiť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Toto znázornenie je často celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu na mocninu 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). teda .

Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť , z čoho sme dospeli k záveru, že . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto:

odpoveď:

log 5 25=2 , A .

Keď je pod znamienkom logaritmu dostatočne veľká hodnota prirodzené číslo, potom nezaškodí rozložiť ho na prvočiniteľa. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

Riešenie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednoty a vlastnosť logaritmu čísla, rovná základni: log 1 1 = log a a 0 = 0 a log a a = log a a 1 = 1 . To znamená, že keď číslo 1 alebo číslo a je pod znamienkom logaritmu, ktoré sa rovná základu logaritmu, potom sú v týchto prípadoch logaritmy 0 a 1.

Príklad.

Aké sú logaritmy a lg10?

Riešenie.

Od , vyplýva z definície logaritmu .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1 .

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p , čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Zvážte príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus .

Riešenie.

odpoveď:

.

Pri výpočte sa využívajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odstavcoch.

Hľadanie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme využitia vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre objasnenie si uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963 , potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6=log 2 (2 3)= log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie však musíte použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby ste vypočítali pôvodný logaritmus z hľadiska daných.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 k základu 60, ak je známe, že log 60 2=a a log 60 5=b .

Riešenie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27=3 3 a pôvodný logaritmus, vďaka vlastnosti logaritmu stupňa, možno prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako možno log 60 3 vyjadriť pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu vám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b) = 3-6 a-3 b.

odpoveď:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne z pôvodného logaritmu podľa prechodového vzorca prechádzajú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú ich výpočet s určitým stupňom presnosti. V ďalšej časti si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky, ich použitie

Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky. Najčastejšie používaná tabuľka logaritmov so základňou 2, tabuľka prirodzené logaritmy a tabuľku desiatkových logaritmov. Pri práci v desiatková sústava počet je vhodné použiť tabuľku logaritmov v základe desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desaťtisícinu nájsť hodnoty dekadických logaritmov čísel od 1,000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov bude analyzovaný v konkrétny príklad- oveľa jasnejšie. Poďme nájsť lg1,256 .

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, čiže nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslo 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslo 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách tabuľky logaritmov na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžová). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu až po štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, a tiež prekročiť limity od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332 . Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332 10 2 . Potom by sa mantisa mala zaokrúhliť na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, pričom pôvodný dekadický logaritmus je približne sa rovná logaritmu výsledné číslo, to znamená, že vezmeme lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Teraz použite vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky dekadických logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. teda .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Základom logaritmu musí byť tiež kladné číslo, nie rovné 1. Ak napríklad odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základný logaritmus -2 čísla 4 je 2.

Základná logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je dôležité, aby sa domény definície pravej a ľavej časti tohto vzorca líšili. Ľavá strana je definovaný len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá časť je definovaný pre akékoľvek b, ale vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene DPV.

Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ho zvýšime na nulu, dostaneme jednotku.

Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovým uplatňovaním týchto vzorcov pri riešení logaritmické rovnice a nerovnosti. Keď sa používajú „zľava doprava“, ODZ sa zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.

V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f(x) a g(x) obe menšie ako nula.

Transformáciou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu plochy povolené hodnoty, a to je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).

Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A opäť by som chcel požiadať o presnosť. Zvážte nasledujúci príklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím sily z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prípustných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.

Vzorec na presťahovanie sa na novú základňu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

To ojedinelý prípad, keď sa pri transformácii ODZ nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nerovná sa 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležité špeciálny prípad vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami

Príklad 1 Vypočítajte: lg2 + lg50.
Riešenie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Použili sme vzorec pre súčet logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.

Príklad 2 Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Použili sme nový základný prechodový vzorec (8).

Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre akékoľvek a , potom podľa definície logaritmus logaritmu a a=1.

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5 = 1 , log 5,6 5,6 a lne = 1 .

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4 , e a .

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu logaritmy týchto čísel. Vlastnosť logaritmu podielu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná a p log a b . Dostávame sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. , kde a>0 , a≠1 , n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý . Na to stačí dokázať platnosť log c b = log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b·log c a, čiže je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.

Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prepnutie na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.

Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový základ logaritmu pre c=b tvaru . To ukazuje, že log a b a log b a – . napr. .

Často sa používa aj vzorec , čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Aby sme potvrdili naše slová, ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme . Na dôkaz vzorca stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.

Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1

Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako A v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom, pomocou vlastností mocnín s rovnakými základmi, musia byť splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).