Sú uvedené vzťahy medzi základnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrté - vyjadrujú všetky funkcie cez tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvedieme v poradí všetky hlavné trigonometrické vzorce, ktoré sú dostatočné na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Navigácia na stránke.
Základné goniometrické identity
Základné trigonometrické identity definovať vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu akoukoľvek inou.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.
Redukčné vzorce
Redukčné vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie, ako aj vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich aplikácie si môžete prečítať v článku.
Sčítacie vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené z hľadiska goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukážte, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celého uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.
Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.
Vzorce na zníženie stupňa
Trigonometrické vzorce na zníženie stupňov sú určené na uľahčenie prechodu z prirodzené stupne goniometrické funkcie na sínus a kosínus na prvý stupeň, ale viac uhlov. Inými slovami, umožňujú vám znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Hlavný účel vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií je prejsť na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizovať súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa vykonáva pomocou vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Autorské práva chytrých študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Ak zostrojíme jednotkový kruh so stredom v počiatku a argumentu nastavíme ľubovoľnú hodnotu x 0 a počítať od osi Vôl rohu X 0, potom zapnite tento roh jednotkový kruh zodpovedá nejakému bodu A(obr. 1) a jeho priemet na os Oh bude tam pointa M. Dĺžka sekcie OM rovná absolútnej hodnote úsečky bodu A. Daná hodnota argumentu x 0 mapovaná hodnota funkcie r=cos X 0 ako bodky na vodorovnej osi A. V súlade s tým bod IN(X 0 ;pri 0) patrí do grafu funkcie pri=cos X(obr. 2). Ak bod A Nachádza napravo od osi OU, Aktuálny sínus bude kladný, ale ak je vľavo, bude záporný. Ale každopádne bodka A nemôže opustiť kruh. Preto kosínus leží v rozsahu od –1 do 1:
–1 = cos X = 1.
Dodatočné otočenie v akomkoľvek uhle, násobok 2 p, vráti bod A na to isté miesto. Preto funkcia y = cos Xp:
cos( X+ 2p) = cos X.
Ak vezmeme dve hodnoty argumentu, rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku, X a - X, nájdite zodpovedajúce body na kruhu A x A A -x. Ako je možné vidieť na obr. 3 ich priemet na os Oh je ten istý bod M. Preto
pretože (- X) = cos ( X),
tie. kosínus – dokonca funkciu, f(–X) = f(X).
To znamená, že môžeme preskúmať vlastnosti funkcie r=cos X na segmente , a potom vziať do úvahy jeho paritu a periodicitu.
O X= 0 bodov A leží na osi Oh, jeho os x je 1, a preto cos 0 = 1. S rastúcim X bodka A sa pohybuje okolo kruhu nahor a doľava, jeho priemet je, prirodzene, iba doľava a pri x = p/2 kosínus sa rovná 0. Bod A v tomto okamihu stúpa do maximálnej výšky a potom pokračuje v pohybe doľava, ale už klesá. Jeho úsečka sa neustále zmenšuje, kým nedosiahne najnižšia hodnota, rovná –1 at X= p. Na intervale teda funkcia pri=cos X monotónne klesá z 1 na –1 (obr. 4, 5).
Z parity kosínusu vyplýva, že na intervale [– p, 0] funkcia monotónne narastá z –1 na 1 s nulovou hodnotou pri x =–p/2. Ak si vezmete niekoľko periód, získate zvlnenú krivku (obr. 6).
Takže funkcia r=cos X má nulové hodnoty v bodoch X= p/2 + kp, Kde k – akékoľvek celé číslo. Maximálny počet bodov sa rovná 1 X= 2kp, t.j. v krokoch po 2 p a minimá rovné –1 v bodoch X= p + 2kp.
Funkcia y = sin x.
Na rohu kruhu jednotky X 0 zodpovedá bodke A(obr. 7), a jeho priemet na os OU bude tam pointa N.Z funkčná hodnota y 0 = hriech x 0 definovaná ako ordináta bodu A. Bodka IN(roh X 0 ,pri 0) patrí do grafu funkcie r= hriech X(obr. 8). Je jasné, že funkcia y = hriech X periodický, jeho perióda je 2 p:
hriech ( X+ 2p) = hriech ( X).
Pre dve hodnoty argumentov, X a -, projekcie ich zodpovedajúcich bodov A x A A -x na os OU umiestnené symetricky vzhľadom na bod O. Preto
hriech (- X) = – hriech ( X),
tie. sínus je nepárna funkcia, f(– X) = –f( X) (obr. 9).
Ak bod A otáčať vzhľadom k bodu O pod uhlom p/2 proti smeru hodinových ručičiek (inými slovami, ak je uhol X zvýšiť o p/2), potom sa jeho ordináta v novej polohe bude rovnať úsečke v starej. Čo znamená
hriech ( X+ p/2) = cos X.
V opačnom prípade je sínus kosínus „oneskorený“. p/2, pretože každá hodnota kosínusu sa „zopakuje“ v sínusu, keď sa argument zvýši o p/2. A na zostavenie sínusového grafu stačí posunúť kosínusový graf o p/2 doprava (obr. 10). Mimoriadne dôležitý majetok sínus je vyjadrený rovnosťou
Geometrický význam rovnosti je možné vidieť na obr. 11. Tu X - toto je pol oblúka AB, ako v X - polovice zodpovedajúceho akordu. Je zrejmé, že ako sa body približujú A A IN dĺžka tetivy sa čoraz viac približuje dĺžke oblúka. Z toho istého čísla je ľahké odvodiť nerovnosť
|hriech X| x|, platí pre všetky X.
Matematici nazývajú vzorec (*) pozoruhodnou hranicou. Z toho najmä vyplýva, že hriech X» X pri malom X.
Funkcie pri= tg x, y=ctg X. Ďalšie dve trigonometrické funkcie, tangens a kotangens, sú najjednoduchšie definované ako nám už známe pomery sínusu a kosínusu:
Rovnako ako sínus a kosínus, tangens a kotangens sú periodické funkcie, ale ich periódy sú rovnaké p, t.j. majú polovičnú veľkosť sínusu a kosínusu. Dôvod je jasný: ak sínus a kosínus zmenia znamienka, ich pomer sa nezmení.
Keďže menovateľ dotyčnice obsahuje kosínus, dotyčnica nie je definovaná v tých bodoch, kde je kosínus 0 - keď X= p/2 +kp. Vo všetkých ostatných bodoch sa zvyšuje monotónne. Priamy X= p/2 + kp pre dotyčnicu sú vertikálne asymptoty. V bodoch kp dotyčnica a sklon sú 0 a 1 (obr. 12).
Kotangens nie je definovaný tam, kde je sínus 0 (keď x = kp). V iných bodoch klesá monotónne a priamky x = kp – jeho vertikálne asymptoty. V bodoch x = p/2 +kp kotangens sa zmení na 0 a sklon v týchto bodoch sa rovná –1 (obr. 13).
Parita a periodicita.
Funkcia sa volá aj keď f(–X) = f(X). Funkcie kosínus a sekans sú párne a funkcie sínus, dotyčnica, kotangens a kosekans sú nepárne:
| sin (–α) = – sin α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sek (–α) = sek α | cosec (–α) = – cosec α |
Paritné vlastnosti vyplývajú zo symetrie bodov P a R- a (obr. 14) vzhľadom na os X. Pri takejto symetrii ordináta bodu zmení znamienko (( X;pri) ide ( X; –у)). Všetky funkcie - periodická, sínusová, kosínusová, sekans a kosekans majú periódu 2 p, a dotyčnica a kotangensa - p:
| hriech (α + 2 kπ) = hriech α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | detská postieľka (α+ kπ) = detská postieľka α |
| sek (α + 2 kπ) = sek α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Periodicita sínus a kosínus vyplýva zo skutočnosti, že všetky body P a+2 kp, Kde k= 0, ±1, ±2,…, sa zhodujú a periodicita dotyčnice a kotangens je spôsobená tým, že body P a + kp striedavo spadajú do dvoch diametrálne opačných bodov kružnice, čím vzniká rovnaký bod na osi dotyčnice.
Hlavné vlastnosti goniometrických funkcií možno zhrnúť do tabuľky:
| Funkcia | doména | Viac významov | Parita | Oblasti monotónnosti ( k= 0, ± 1, ± 2,...) |
| hriech X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | zvláštny | zvyšuje s X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), klesá pri X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| cos X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | dokonca | Zvyšuje sa s X O((2 k – 1) p, 2kp), klesá pri X O(2 kp, (2k + 1) p) |
| tg X | X № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | zvláštny | zvyšuje s X O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg X | X № p k | (–Ґ , +Ґ ) | zvláštny | klesá pri X O ( kp, (k + 1) p) |
| sek X | X № p/2 + p k | (–Ґ , –1] A [+1, +Ґ ) | dokonca | Zvyšuje sa s X O(2 kp, (2k + 1) p), klesá pri X O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec X | X № p k | (–Ґ , –1] A [+1, +Ґ ) | zvláštny | zvyšuje s X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), klesá pri X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Redukčné vzorce.
Podľa týchto vzorcov je hodnota goniometrickej funkcie argumentu a, kde p/2 a p , možno redukovať na hodnotu argumentačnej funkcie a , kde 0 a p /2, buď rovnaké alebo komplementárne.
| Argument b |  -a |
+ a | p-a | p+ a | + a | + a | 2p-a |
| hriech b | cos a | cos a | hriech a | – hriech a | – čos a | – čos a | – hriech a |
| pretože b | hriech a | – hriech a | – čos a | – čos a | – hriech a | hriech a | cos a |
Preto sú v tabuľkách goniometrických funkcií uvedené hodnoty iba pre ostré uhly a stačí sa obmedziť napríklad na sínus a tangentu. V tabuľke sú uvedené len najčastejšie používané vzorce pre sínus a kosínus. Z nich je ľahké získať vzorce pre tangens a kotangens. Pri pretypovaní funkcie z argumentu formulára kp/2 ± a, kde k– celé číslo k funkcii argumentu a:
1) názov funkcie sa uloží, ak k párne a zmení sa na „doplnkové“, ak k zvláštny;
2) znamienko na pravej strane sa zhoduje so znamienkom redukovateľnej funkcie v bode kp/2 ± a, ak je uhol a ostrý.
Napríklad pri odlievaní ctg (a – p/2) dbáme na to, aby – p/2 na 0 a p /2 leží vo štvrtom kvadrante, kde je kotangens záporný a podľa pravidla 1 zmeníme názov funkcie: ctg (a – p/2) = –tg a .
Sčítacie vzorce.
Vzorce pre viaceré uhly.
Tieto vzorce sú odvodené priamo z adičných vzorcov:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Vzorec pre cos 3a použil François Viète pri riešení kubickej rovnice. Ako prvý našiel výrazy pre cos n a hriech n a, ktoré sa neskôr získali jednoduchším spôsobom z Moivreho vzorca.
Ak nahradíte a za /2 vo vzorcoch s dvojitým argumentom, možno ich previesť na vzorce polovičného uhla:
Univerzálne substitučné vzorce.
Pomocou týchto vzorcov možno výraz zahŕňajúci rôzne goniometrické funkcie toho istého argumentu prepísať ako racionálny výraz jednej funkcie tg (a /2), čo môže byť užitočné pri riešení niektorých rovníc:
 |
|
 |
 |
Vzorce na prepočet súm na produkty a produkty na súčty.
Pred príchodom počítačov sa tieto vzorce používali na zjednodušenie výpočtov. Výpočty sa robili pomocou logaritmických tabuliek a neskôr pomocou logaritmického pravítka, pretože logaritmy sú najvhodnejšie na násobenie čísel, takže všetky pôvodné výrazy boli prevedené do formy vhodnej na logaritmizáciu, t.j. pracovať, napríklad:
2 hriech a hriech b = cos ( a–b) – pretože ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 hriech a cos b= hriech( a–b) + hriech ( a+b).
Vzorce pre funkcie tangens a kotangens možno získať z vyššie uvedeného.
Vzorce na zníženie stupňa.
Zo vzorcov s viacerými argumentmi sú odvodené nasledujúce vzorce:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos2a = (1 + cos2a)/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a)/4. |
Pomocou týchto vzorcov goniometrické rovnice možno redukovať na rovnice nižších stupňov. Rovnakým spôsobom môžeme odvodiť redukčné vzorce pre viac vysokých stupňov sínus a kosínus.
| Derivácie a integrály goniometrických funkcií | |
| (hriech X)` = cos X; | (kos X)` = – hriech X; |
| (tg X)` = ; | (ctg X)` = – ; |
| t hriech x dx= –cos X + C; | t cos x dx= hriech X + C; |
| t tg x dx= –ln|cos X| + C; | t ctg x dx = ln|sin X| + C; |
Každá goniometrická funkcia v každom bode svojej definičnej oblasti je spojitá a nekonečne diferencovateľná. Navyše, deriváty goniometrických funkcií sú goniometrické funkcie a keď sú integrované, získajú sa aj goniometrické funkcie alebo ich logaritmy. Integrály racionálnych kombinácií goniometrických funkcií sú vždy elementárne funkcie.
Znázornenie goniometrických funkcií vo forme mocninných radov a nekonečných súčinov.
Všetky goniometrické funkcie je možné rozširovať v mocninových radoch. V tomto prípade hrešia funkcie X bcos X sú uvedené v riadkoch. konvergentné pre všetky hodnoty X:
Tieto série môžu byť použité na získanie približných vyjadrení pre hriech X a cos X pri malých hodnotách X:
v | x| p/2;
pri 0 x| p
(B n – Bernoulliho čísla).
funkcie hriechu X a cos X môžu byť reprezentované vo forme nekonečných produktov:
Trigonometrický systém 1, cos X,hriech X, pretože 2 X, hriech 2 X,¼,cos nx,hriech nx, ¼, formuláre na segmente [– p, p] ortogonálny systém funkcií, ktorý umožňuje reprezentovať funkcie vo forme goniometrických radov.
sú definované ako analytické pokračovania zodpovedajúcich goniometrických funkcií reálneho argumentu do komplexnej roviny. Áno, hriech z a cos z možno definovať pomocou série pre hriech X a cos X, ak namiesto toho X dať z:
Tieto série sa zbiehajú cez celú rovinu, takže hriech z a cos z- celé funkcie.
Tangenta a kotangens sú určené vzorcami:
tg funkcie z a ctg z– meromorfné funkcie. tg póly z a sek z– jednoduché (1. rád) a umiestnené na bodoch z = p/2 + pn, póly ctg z a cosec z– tiež jednoduché a umiestnené v bodoch z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Všetky vzorce, ktoré platia pre goniometrické funkcie reálneho argumentu, platia aj pre komplexný. najmä
hriech (- z) = – hriech z,
pretože (- z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
tie. párna a nepárna parita sú zachované. Ukladajú sa aj vzorce
hriech ( z + 2p) = hriech z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
tie. periodicita je tiež zachovaná a periódy sú rovnaké ako pre funkcie skutočného argumentu.
Goniometrické funkcie možno vyjadriť prostredníctvom exponenciálnej funkcie čisto imaginárneho argumentu:
Späť, e iz vyjadrené z hľadiska cos z a hriech z podľa vzorca:
e iz=cos z + i hriech z
Tieto vzorce sa nazývajú Eulerove vzorce. Leonhard Euler ich vyvinul v roku 1743.
Goniometrické funkcie možno vyjadriť aj ako hyperbolické funkcie:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
kde sh, ch a th sú hyperbolický sínus, kosínus a tangens.
Goniometrické funkcie komplexného argumentu z = x + iy, Kde X A r– reálne čísla, môžu byť vyjadrené pomocou goniometrických a hyperbolických funkcií reálnych argumentov, napríklad:
hriech ( x + iy) = hriech X ch r + i cos X sh r;
cos( x + iy) = cos X ch r + i hriech X sh r.
Sínus a kosínus zložitého argumentu môžu mať skutočné hodnoty väčšie ako 1 v absolútnej hodnote. Napríklad:
Ak neznámy uhol vstupuje do rovnice ako argument goniometrických funkcií, potom sa rovnica nazýva trigonometrická. Takéto rovnice sú také bežné, že ich metódy riešenia sú veľmi podrobné a starostlivo vyvinuté. S s pomocou rôzne techniky a vzorce redukujú goniometrické rovnice na rovnice tvaru f(X)= a, Kde f– ktorákoľvek z najjednoduchších goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens alebo kotangens. Potom vyjadrite argument X túto funkciu prostredníctvom svojej známej hodnoty A.
Keďže goniometrické funkcie sú periodické, to isté A z rozsahu hodnôt je nekonečne veľa hodnôt argumentu a riešenia rovnice nemožno zapísať ako jednu funkciu A. Preto sa v oblasti definície každej z hlavných goniometrických funkcií vyberie sekcia, v ktorej preberá všetky svoje hodnoty, každá len raz, a v tejto sekcii sa nachádza funkcia k nej inverzná. Takéto funkcie sa označujú pridaním predpony arc (oblúk) k názvu pôvodnej funkcie a nazývajú sa inverzné trigonometrické funkcie alebo jednoducho oblúkové funkcie.
Inverzné goniometrické funkcie.
Za hriech X, cos X, tg X a ctg X možno určiť inverzné funkcie. Označujú sa zodpovedajúcim spôsobom arcsin X(čítaj „arcsine“ X"), arcos X, arktan X a arcctg X. Podľa definície arcsin X existuje také číslo y,Čo
hriech pri = X.
Podobne pre ostatné inverzné goniometrické funkcie. Táto definícia však trpí určitou nepresnosťou.
Ak odrážaš hriech X, cos X, tg X a ctg X vzhľadom na bisektor prvého a tretieho kvadrantu súradnicovej roviny, potom sa funkcie v dôsledku ich periodicity stanú nejednoznačnými: nekonečnému počtu uhlov zodpovedá rovnakému sínusu (kosínus, dotyčnica, kotangens).
Aby sme sa zbavili nejednoznačnosti, úsek krivky so šírkou p, v tomto prípade je potrebné, aby medzi argumentom a hodnotou funkcie bola zachovaná zhoda jedna ku jednej. Vyberú sa oblasti blízko začiatku súradníc. Pre sínusový vstup Ako „interval jedna ku jednej“ berieme segment [– p/2, p/2], na ktorom sínus monotónne narastá z –1 na 1, pre kosínus – segment, pre dotyčnicu a kotangens intervaly (– p/2, p/2) a (0, p). Každá krivka na intervale sa odráža vzhľadom na osi a teraz je možné určiť inverzné goniometrické funkcie. Napríklad nech je uvedená hodnota argumentu x 0, tak, že 0 Ј X 0 Ј 1. Potom hodnota funkcie r 0 = arcsin X 0 bude mať len jeden význam pri 0 , taký, že - p/2 Ј pri 0 Ј p/2 a X 0 = hriech r 0 .
Arcsín je teda funkciou arcsínu A, definované na intervale [–1, 1] a rovnaké pre každého A na takú hodnotu, - p/2 a p /2 že hriech a = A. Veľmi vhodné je znázorniť ho pomocou jednotkového kruhu (obr. 15). Keď | a| 1 na kružnici sú dva body so súradnicou a, symetrické okolo osi u. Jeden z nich zodpovedá uhlu a= arcsin A, a druhý je roh p - a. S berúc do úvahy periodicitu sínusu, riešenie rovnice sin X= A sa píše takto:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
Kde n= 0, ±1, ±2,...
Ostatné jednoduché goniometrické rovnice je možné vyriešiť rovnakým spôsobom:
cos X = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
Kde P= 0, ±1, ±2,... (obr. 16);
tg X = a;
X= arktan a + p n,
Kde n = 0, ±1, ±2,... (obr. 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + p n,
Kde n = 0, ±1, ±2,... (obr. 18).
Základné vlastnosti inverzných goniometrických funkcií:
arcsin X(obr. 19): doména definície – segment [–1, 1]; rozsah – [– p/2, p/2], monotónne rastúca funkcia;
arccos X(obr. 20): doména definície – segment [–1, 1]; rozsah – ; monotónne klesajúca funkcia;
arctg X(obr. 21): definičný obor – všetky reálne čísla; rozsah hodnôt – interval (– p/2, p/2); monotónne rastúca funkcia; rovno pri= –p/2 a y = p /2 – horizontálne asymptoty;
arcctg X(obr. 22): definičný obor – všetky reálne čísla; rozsah hodnôt – interval (0, p); monotónne klesajúca funkcia; rovno r= 0 a y = p– horizontálne asymptoty.
Pre hocikoho z = x + iy, Kde X A r sú reálne čísla, platia nerovnosti
½| e\e y–e-y| ≤|hriech z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
z toho pri r® Ґ nasledujú asymptotické vzorce (jednotne vzhľadom na X)
|hriech z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrické funkcie sa prvýkrát objavili v súvislosti s výskumom astronómie a geometrie. Pomery úsečiek v trojuholníku a kruhu, ktoré sú v podstate goniometrickými funkciami, sa nachádzajú už v 3. storočí. BC e. v dielach matematikov starovekého Grécka – Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy a iní, tieto vzťahy však neboli samostatným predmetom skúmania, preto neštudovali goniometrické funkcie ako také. Spočiatku sa považovali za segmenty a v tejto podobe ich používali Aristarchos (koniec 4. - 2. polovica 3. storočia pred Kristom), Hipparchos (2. storočie pred Kristom), Menelaos (1. storočie po Kr.) a Ptolemaios (2. storočie po Kr.), keď riešenie sférických trojuholníkov. Ptolemaios zostavil prvú tabuľku akordov pre ostré uhly každých 30" s presnosťou 10 – 6. Bola to prvá tabuľka sínusov. Ako pomer sa funkcia sin a nachádza už v Aryabháte (koniec 5. storočia). Funkcie tg a a ctg a nachádzame v al- Battani (2. polovica 9. - začiatok 10. storočia) a Abul-Vefa (10. storočie), ktorý používa aj sec a a cosec a... Už Aryabhata poznal vzorec ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, ako aj vzorce pre sin a cos polovičného uhla, pomocou ktorých som zostavil tabuľky sínusov pre uhly cez 3°45"; na základe známych hodnôt goniometrických funkcií pre najjednoduchšie argumenty. Bhaskara (12. storočie) dal metódu na zostavovanie tabuliek v zmysle 1 pomocou sčítacích vzorcov. Vzorce na prevod súčtu a rozdielu goniometrických funkcií rôznych argumentov na súčin odvodili Regiomontanus (15. storočie) a J. Napier v súvislosti s posledným vynálezom logaritmov (1614). Regiomontan dal tabuľku sínusových hodnôt v 1". Rozšírenie goniometrických funkcií do mocninových radov získal I. Newton (1669). V r. moderná forma teóriu goniometrických funkcií zaviedol L. Euler (18. storočie). Vlastní ich definíciu pre skutočné a zložité argumenty, v súčasnosti akceptovanú symboliku, nadväzovanie spojení s exponenciálna funkcia a ortogonalita systému sínusov a kosínusov.
Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií
Poznámka. Táto tabuľka hodnôt goniometrických funkcií používa na označenie znak √ odmocnina. Na označenie zlomku použite symbol "/".
pozri tiež užitočné materiály:
Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku priamky označujúcej goniometrickú funkciu. Napríklad sínus 30 stupňov - hľadáme stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdeme priesečník tohto stĺpca tabuľky s riadkom „30 stupňov“, na ich priesečníku čítame výsledok - jednu polovicu. Podobne nájdeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz, na priesečníku stĺpca sin a 60 stupňovej čiary nájdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atď. Hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných „populárnych“ uhlov sa nachádzajú rovnakým spôsobom.
Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch
Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument je udáva sa v radiánoch. Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu môžete previesť hodnotu obľúbených uhlov zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π/3 radiánov.
Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu od stupňovitej miery uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.
Akékoľvek číslo vyjadrené v pi (radiánoch) možno ľahko previesť na stupne nahradením pi (π) 180.
Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pi je rovnaký ako sínus 180 stupňov a rovná sa nule.
2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jedna.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a rovná sa nule.
Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)
|
hodnota uhla α (stupne) |
hodnota uhla α (cez pi) |
hriech (sinus) |
cos (kosínus) |
tg (tangens) |
ctg (kotangens) |
sek (sekant) |
cosec (kosekant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom pre danú hodnotu miery uhla je funkcia nemá konkrétnu hodnotu. Ak tam nie je pomlčka, bunka je prázdna, čo znamená, že sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, na aké dotazy k nám používatelia chodia a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a dotyčníc najbežnejších hodnôt uhlov úplne postačujú na vyriešenie väčšiny problémy.
Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(numerické hodnoty „podľa tabuliek Bradis“)
| hodnota uhla α (stupne) | hodnota uhla α v radiánoch | hriech (sine) | cos (kosínus) | tg (tangens) | ctg (kotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby ste im dobre porozumeli, na prvý pohľad komplexné koncepty(ktoré u mnohých školákov vyvolávajú stav zdesenia) a aby sme sa uistili, že „diabol nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od úplného začiatku a pochopme pojem uhol.
Pojem uhla: radián, stupeň
Pozrime sa na obrázok. Vektor sa „otočil“ vzhľadom k bodu o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude rohu.
Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, samozrejme, uhlové jednotky!
Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.
Nazýva sa uhol (jeden stupeň). stredový uhol v kruhu na základe kruhového oblúka rovnajúceho sa časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.
To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol rovný, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.
Uhol v radiánoch je stredový uhol v kruhu zovretom kruhovým oblúkom, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. No, prišli ste na to? Ak nie, poďme na to z výkresu.
Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:
Kde je stredový uhol v radiánoch.
Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov je obsiahnutých v uhle opísanom kružnicou? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod. Tu je:
Teraz porovnajme tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch to dostaneme. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je slovo „radián“ vynechané, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.
Koľko je tam radiánov? To je správne!
Mám to? Potom pokračujte a opravte to:
Máte ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:
Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla
Takže sme prišli na koncept uhla. Ale čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravý uhol), a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?
Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).
V našom trojuholníku.
Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).
V našom trojuholníku.
Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:
Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;
Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.
V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:
Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!
Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.
Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, že môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
V tomto článku si ukážeme, ako dať definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o zápisoch, uvádzame príklady zápisov a uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uveďme paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.
Navigácia na stránke.
Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu
Pozrime sa, ako sa v školskom kurze matematiky tvorí myšlienka sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrý uhol V správny trojuholník. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá hovorí o sínusoch, kosíne, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uveďme všetky tieto definície, uveďme príklady a uveďme potrebné komentáre.
Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku
Z kurzu geometrie poznáme definície sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uveďme ich formulácie.
Definícia.
Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone.
Definícia.
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.
Definícia.
Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku– toto je pomer protiľahlej strany k priľahlej.
Definícia.
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku- toto je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
Zavádzajú sa tam aj označenia sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.
Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru opačnej strany BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.
Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj z známe hodnoty nájdite dĺžky ostatných strán pomocou sínus, kosínus, tangens, kotangens a dĺžku jednej zo strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku sa rameno AC rovná 3 a prepona AB sa rovná 7, potom by sme mohli vypočítať hodnotu kosínusu ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/ AB = 3/7.
Uhol natočenia
V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Veľkosť uhla natočenia na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od −∞ do +∞.
V tomto svetle nie sú definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu dané ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého ide takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po jeho otočení o uhol α okolo bodu O - začiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.
Definícia.
Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1, teda sinα=y.
Definícia.
Kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1, to znamená cosα=x.
Definícia.
Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, to znamená tanα=y/x.
Definícia.
Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, to znamená ctgα=x/y.
Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy môžeme určiť úsečku a ordinátu bodu, ktorý získame otočením začiatočného bodu o uhol α. Ale dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1), a to sa vyskytuje pri uhloch 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Pri takýchto uhloch natočenia totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0), a to nastáva pre uhly 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) a kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definície zahŕňajú nám už známe označenia sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť s označením tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens) . Takže sínus uhla rotácie 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, vstupy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú tangente uhla rotácie −24° 17 minút a kotangens uhla rotácie α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad kosínus uhla natočenia tri pi rad sa zvyčajne označuje cos3·π.
Na záver tohto bodu stojí za zmienku, že keď sa hovorí o sínusovom, kosínusovom, tangente a kotangense uhla rotácie, často sa vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto frázy „sínus uhla natočenia alfa“ sa zvyčajne používa fráza „sínus uhla alfa“ alebo ešte kratšia „sínus alfa“. To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.
Povieme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Toto zdôvodníme.
čísla
Definícia.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla rotácie v t radiánoch.
Napríklad kosínus čísla 8·π podľa definície je číslo rovné kosínusu uhla 8·π rad. A kosínus uhla 8·π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8·π rovná 1.
Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v tom, že každé reálne číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a sínus, kosínus, tangens a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Ukážme, ako sa vytvorí korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu:
- číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0);
- kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
- záporné číslo t je spojené s bodom jednotkovej kružnice, do ktorej sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .
Teraz prejdeme k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu na kružnici A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1)).
Definícia.
Sínus čísla t je ordináta bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda sint=y.
Definícia.
Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda náklady=x.
Definícia.
Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.
Definícia.
Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je táto: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t: ctgt=cena/sint.
Tu poznamenávame, že práve uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku. Bod na jednotkovej kružnici zodpovedajúci číslu t sa totiž zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.
Stále stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme vstup sin3. Ako môžeme pochopiť, či hovoríme o sínuse čísla 3 alebo sínusu uhla natočenia 3 radiánov? To je zvyčajne jasné z kontextu, inak to pravdepodobne nemá zásadný význam.
Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu
Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sinα, ako aj hodnote cosα. Okrem toho všetky uhly otáčania iné ako 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zodpovedajú hodnotám tgα a hodnoty iné ako 180°k, k∈Z (πk rad ) – hodnoty z ctgα. Preto sinα, cosα, tanα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.
Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sint, ako aj nákladom. Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z - hodnotám ctgt.
Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.
Z kontextu je zvyčajne jasné, či máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme o nezávislej premennej uvažovať ako o mieri uhla (uhlový argument) aj ako o číselnom argumente.
V škole však študujeme najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Preto ak hovoríme o konkrétne o funkciách je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.
Vzťah medzi definíciami z geometrie a trigonometrie
Ak vezmeme do úvahy uhol rotácie α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, potom definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens uhla rotácie v kontexte trigonometrie sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu. ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú uvedené v kurze geometrie. Zdôvodnime to.
Ukážme si jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Označme začiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y). Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.
Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku uhol A 1 OH rovný uhlu rotácia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, to znamená |OH|=x, dĺžka ramena A 1 H oproti rohu je rovná ordináte bod A 1, teda |A 1 H|=y, a dĺžka prepony OA 1 je rovná jednej, keďže ide o polomer jednotkovej kružnice. Potom sa podľa definície z geometrie sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, keď α je od 0 do 90 stupňov.
Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.
Bibliografia.
- Geometria. 7-9 ročníkov: učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra a elementárne funkcie : Návod pre žiakov 9. ročníka stredná škola/ E. S. Kočetkov, E. S. Kochetková; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vydanie. M.: Školstvo, 1969.
- Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník V 2 častiach.1.časť: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
