Inštrukcia

Ak je známy polomer (R) kružnice a dĺžka oblúka (L) zodpovedajúca požadovanému stredovému uhlu (θ), možno ho vypočítať v stupňoch aj v radiánoch. Súčet je určený vzorcom 2 * π * R a zodpovedá stredovému uhlu 360 ° alebo dvom číslam pi, ak sa namiesto stupňov použijú radiány. Preto postupujte z podielu 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. vyjadrovať sa z neho centrálny roh v radiánoch θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R alebo stupňov θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) a vypočítajte pomocou výsledného vzorca.

Podľa dĺžky tetivy (m) spájajúcej body, ktoré vymedzujú stredový uhol (θ), možno vypočítať aj jej hodnotu, ak je známy polomer (R) kružnice. Za týmto účelom zvážte trojuholník tvorený dvoma polomermi a . Toto je rovnoramenný trojuholník, každý je známy, ale musíte nájsť uhol, ktorý leží oproti základni. Sínus jeho polovice sa rovná pomeru dĺžky základne – tetivy – k dvojnásobku dĺžky strany – polomeru. Preto na výpočty použite funkciu inverzného sínusu - arcsínus: θ \u003d 2 * arcsin (½ * m / R).

Stredový uhol môže byť špecifikovaný aj v zlomkoch otáčky alebo z celého uhla. Napríklad, ak chcete nájsť stredový uhol, ktorý zodpovedá štvrtine celej otáčky, vydeľte 360° štyrmi: θ = 360°/4 = 90°. Rovnaká hodnota v radiánoch by mala byť 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Rozvinutý uhol sa rovná polovici celej otáčky, takže napríklad stredový uhol zodpovedajúci jeho štvrtine bude mať polovicu hodnôt vypočítaných vyššie, a to v stupňoch aj v radiánoch.

Volá sa inverzná sínusová goniometrická funkcia arkzín. Môže nadobudnúť hodnoty, ktoré ležia v rámci polovice čísla pi, kladné aj záporné. negatívna stránka pri meraní v radiánoch. Pri meraní v stupňoch budú tieto hodnoty v rozsahu od -90° do +90°.

Inštrukcia

Niektoré „okrúhle“ hodnoty sa nemusia počítať, sú ľahšie zapamätateľné. Napríklad: - ak je argument funkcie nula, potom je aj hodnota arcsínusu z neho nula; - od 1/2 sa rovná 30 ° alebo 1/6 Pi, ak je merané; - arcsínus od -1/2 sa rovná -30 ° alebo -1/6 od čísla Pi v; - arcsínus od 1 alebo od -1 sa rovná číslu v polomere -1/90 -90 ° alebo -1/2 od čísla Pi v radiánoch;

Na meranie hodnôt tejto funkcie z iných argumentov je najjednoduchšie použiť štandardnú kalkulačku Windows, ak máte . Ak chcete začať, otvorte hlavnú ponuku na tlačidle „Štart“ (alebo stlačením klávesu WIN), prejdite do časti „Všetky programy“ a potom do podsekcie „Príslušenstvo“ a kliknite na položku „Kalkulačka“.

Prepnite rozhranie kalkulačky do prevádzkového režimu, ktorý vám umožňuje počítať goniometrické funkcie. Ak to chcete urobiť, otvorte v jej ponuke sekciu „Zobraziť“ a vyberte položku „Inžinierstvo“ alebo „Vedecké“ (v závislosti od operačný systém).

Zadajte hodnotu argumentu, z ktorého sa vypočíta arkustangens. Môžete to urobiť kliknutím na tlačidlá rozhrania kalkulačky pomocou myši alebo stlačením kláves na , alebo skopírovaním hodnoty (CTRL + C) a jej vložením (CTRL + V) do vstupného poľa kalkulačky.

Vyberte jednotky, v ktorých chcete získať výsledok výpočtu funkcie. Pod vstupným poľom sú tri možnosti, z ktorých je potrebné vybrať (kliknutím myšou) jednu - , radiány alebo rads.

Začiarknite políčko, ktoré invertuje funkcie zobrazené na tlačidlách rozhrania kalkulačky. Vedľa je krátky nápis Inv.

Kliknite na tlačidlo hriechu. Kalkulačka prevráti pripojenú funkciu, vykoná výpočet a predloží vám výsledok v daných jednotkách.

Podobné videá

Jedným z bežných geometrických problémov je výpočet plochy kruhového segmentu - časti kruhu ohraničeného tetivou a oblúka kruhu zodpovedajúceho tetive.

Plocha kruhového segmentu sa rovná rozdielu medzi plochou príslušného kruhového sektora a plochou trojuholníka tvoreného polomermi sektora zodpovedajúcimi segmentu a tetivou, ktorá segment ohraničuje.

Príklad 1

Dĺžka tetivy pretínajúcej kružnicu sa rovná a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho tetive je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.

Riešenie

Trojuholník tvorený dvoma polomermi a tetivou je rovnoramenný, takže výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k strane trojuholníka tvoreného tetivou bude zároveň osou stredového uhla, ktorá ho delí na polovicu a stredom, delí tetivu na polovicu. Keď vieme, že sínus uhla β sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, môžeme vypočítať hodnotu polomeru:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR2/360°*60° = πa2/6

S▲=1/2*ah, kde h je výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

V súlade s tým S▲=√3/4*a².

Plocha segmentu, vypočítaná ako Sceg = Sc - S▲, sa rovná:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Nahradením číselnej hodnoty za hodnotu a môžete ľahko vypočítať číselnú hodnotu oblasti segmentu.

Príklad 2

Polomer kruhu sa rovná a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho segmentu je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.

Riešenie:

Oblasť sektora zodpovedajúca daný uhol možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Plocha trojuholníka zodpovedajúca sektoru sa vypočíta takto:

S▲=1/2*ah, kde h je výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

V súlade s tým S▲=√3/4*a².

A nakoniec, plocha segmentu, vypočítaná ako Sceg = Sc - S▲, sa rovná:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Riešenia sú v oboch prípadoch takmer totožné. Môžeme teda dospieť k záveru, že na výpočet plochy segmentu v najjednoduchšom prípade stačí poznať hodnotu uhla zodpovedajúceho oblúku segmentu a jeden z dvoch parametrov - buď polomer kruhu alebo dĺžku tetivy pretínajúcej oblúk kruhu tvoriaci segment.

Zdroje:

• Segment - Geometria

Toto je uhol tvorený dvoma akordy vznikajúce v jednom bode kruhu. Hovorí sa, že vpísaný uhol je spolieha na oblúku uzavretom medzi jeho stranami.

Vpísaný uhol rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva.

Inými slovami, vpísaný uhol zahŕňa toľko stupňov, minút a sekúnd, koľko oblúkové stupne, minúty a sekundy sú uzavreté v polovici oblúka, o ktorý sa opiera. Pre odôvodnenie analyzujeme tri prípady:

Prvý prípad:

Stred O sa nachádza na boku vpísaný uhol ABS. Nakreslením polomeru AO dostaneme ΔABO, v ktorom OA = OB (ako polomery) a podľa toho ∠ABO = ∠BAO. V súvislosti s týmto trojuholník, uhol AOC je vonkajší. A to znamená, že on sa rovná súčtu uhly ABO a BAO alebo rovné dvojitému uhlu ABO. Takže ∠ABO je polovica centrálny roh AOC. Ale tento uhol sa meria oblúkom AC. To znamená, že vpísaný uhol ABC sa meria polovicou oblúka AC.

Druhý prípad:

Stred O sa nachádza medzi stranami vpísaný uhol ABC. Po nakreslení priemeru BD rozdelíme uhol ABC na dva uhly, z ktorých jeden je podľa uvedeného v prvom prípade meraný polovicou oblúky AD a druhá polovica oblúkového CD. A podľa toho sa uhol ABC meria pomocou (AD + DC) / 2, t.j. 1/2 AC.

Tretí prípad:

Centrum O sa nachádza vonku vpísaný uhol ABS. Po nakreslení priemeru BD budeme mať: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ale uhly ABD a CBD sa merajú na základe predtým podložených polovíc oblúky AD a CD. A keďže ∠ABС sa meria (AD-CD)/2, to znamená polovica oblúka striedavého prúdu.

Dôsledok 1. Akékoľvek , založené na rovnakom oblúku sú rovnaké, to znamená, že sú si navzájom rovné. Keďže každý z nich je meraný polovicou toho istého oblúky .

Dôsledok 2. Vpísaný uhol, na základe priemeru - pravý uhol. Pretože každý takýto uhol sa meria polovicou polkruhu, a preto obsahuje 90 °.

Priemerná úroveň

Kruh a vpísaný uhol. vizuálny sprievodca (2019)

Základné pojmy.

Ako dobre si pamätáte všetky mená spojené s kruhom? Len pre prípad, pripomíname - pozrite sa na obrázky - obnovte svoje vedomosti.

Po prvé - Stred kruhu je bod, od ktorého sú všetky body na kruhu rovnako vzdialené.

Po druhé - polomer - úsečka spájajúca stred a bod na kružnici.

Existuje veľa polomerov (toľko, koľko je bodov na kruhu), ale všetky polomery majú rovnakú dĺžku.

Niekedy skrátka polomer volajú to dĺžka segmentu„stred je bod na kruhu“ a nie samotný segment.

A tu je to, čo sa stane ak spojíte dva body na kruhu? Tiež strih?

Tento segment sa teda volá "akord".

Rovnako ako v prípade polomeru sa priemer často nazýva dĺžka segmentu spájajúceho dva body na kruhu a prechádzajúceho stredom. Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme, polomer je polovica priemeru.

Okrem akordov existujú aj sekanta.

Pamätáte si na najjednoduchšie?

Stredový uhol je uhol medzi dvoma polomermi.

A teraz vpísaný uhol

Vpísaný uhol je uhol medzi dvoma tetivami, ktoré sa pretínajú v bode na kruhu.

V tomto prípade hovoria, že vpísaný uhol sa spolieha na oblúk (alebo na tetivu).

Pozri sa na obrázok:

Meranie oblúkov a uhlov.

Obvod. Oblúky a uhly sa merajú v stupňoch a radiánoch. Najprv o stupňoch. Pre uhly nie sú žiadne problémy - musíte sa naučiť merať oblúk v stupňoch.

Miera stupňa (hodnota oblúka) je hodnota (v stupňoch) zodpovedajúceho stredového uhla

Čo tu znamená slovo „zodpovedajúce“? Pozrime sa pozorne:

Vidíte dva oblúky a dva stredové uhly? No, väčší oblúk zodpovedá väčšiemu uhlu (a je v poriadku, že je väčší) a menší oblúk zodpovedá menšiemu uhlu.

Takže sme sa dohodli: oblúk obsahuje rovnaký počet stupňov ako zodpovedajúci stredový uhol.

A teraz o tom hroznom - o radiánoch!

Aký druh zvieraťa je tento „radián“?

Predstavte si toto: radiány sú spôsob merania uhla... v polomeroch!

Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.

Potom vyvstáva otázka - koľko radiánov je v narovnanom uhle?

Inými slovami: koľko polomerov sa „zmestí“ do polovice kruhu? Alebo inak: koľkokrát je dĺžka polovice kruhu väčšia ako polomer?

Túto otázku si položili vedci v starovekom Grécku.

A tak po dlhom hľadaní zistili, že pomer obvodu k polomeru nechce byť vyjadrený „ľudskými“ číslami, ako atď.

A tento postoj nie je možné ani vyjadriť cez korene. To znamená, že sa ukazuje, že sa nedá povedať, že polovica kruhu je dvakrát alebo krát polomer! Viete si predstaviť, aké úžasné bolo prvýkrát objaviť ľudí?! Pre pomer dĺžky polkruhu k polomeru stačili „normálne“ čísla. Musel som zadať písmeno.

Je teda číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.

Teraz môžeme odpovedať na otázku: koľko radiánov je v priamom uhle? Má radián. Práve preto, že polovica kruhu má dvojnásobok polomeru.

Starovekí (a nie takí) ľudia v priebehu vekov (!) sa snažili toto záhadné číslo presnejšie vypočítať, lepšie (aspoň približne) vyjadriť cez „obyčajné“ čísla. A teraz sme neskutočne leniví - stačia nám dve cedule po obsadenosti, na čo sme si zvykli

Premýšľajte o tom, napríklad to znamená, že y kruhu s polomerom jedna má približne rovnakú dĺžku a je jednoducho nemožné zapísať túto dĺžku „ľudským“ číslom - potrebujete písmeno. A potom bude tento obvod rovnaký. A samozrejme, obvod polomeru je rovnaký.

Vráťme sa k radiánom.

Už sme zistili, že priamy uhol obsahuje radián.

Čo máme:

Tak rád, to je rád. Rovnakým spôsobom sa získa doska s najobľúbenejšími uhlami.

Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.

Existuje úžasný fakt:

Hodnota vpísaného uhla je polovičná ako hodnota zodpovedajúceho stredového uhla.

Pozrite sa, ako toto vyhlásenie vyzerá na obrázku. "Zodpovedajúci" stredový uhol je taký, v ktorom sa konce zhodujú s koncami vpísaného uhla a vrchol je v strede. A zároveň musí „zodpovedajúci“ stredový uhol „hľadieť“ na rovnakú tetivu () ako vpísaný uhol.

Prečo tak? Najprv sa pozrime na jednoduchý prípad. Nechajte jeden z akordov prejsť stredom. Koniec koncov, to sa niekedy stáva, však?

Čo sa tu deje? Zvážte. Je rovnoramenný - koniec koncov, a sú polomery. Takže, (označil ich).

Teraz sa pozrime na. Toto je vonkajší roh! Pripomíname, že vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných, ktoré s ním nesusedia, a napíšeme:

To je! Neočakávaný efekt. Ale je tu aj stredový uhol pre vpísané.

Takže v tomto prípade sme dokázali, že stredový uhol je dvojnásobkom vpísaného uhla. Ale bolí to špeciálny prípad: je pravda, že akord nejde vždy rovno cez stred? Ale nič, teraz nám tento špeciálny prípad veľmi pomôže. Pozri: druhý prípad: nech stred leží vo vnútri.

Urobme to: nakreslite priemer. A potom... vidíme dva obrázky, ktoré už boli analyzované v prvom prípade. Preto už máme

Takže (na výkrese a)

No, zostáva posledný prípad: stred je mimo rohu.

Robíme to isté: nakreslite priemer cez bod. Všetko je rovnaké, ale namiesto súčtu - rozdiel.

To je všetko!

Utvorme si teraz dva hlavné a veľmi dôležité dôsledky tvrdenia, že vpísaný uhol je polovičný ako stredový.

Dôsledok 1

Všetky vpísané uhly pretínajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.

Ilustrujeme:

Existuje nespočetné množstvo vpísaných uhlov založených na rovnakom oblúku (máme tento oblúk), môžu vyzerať úplne inak, ale všetky majú rovnaký stredový uhol (), čo znamená, že všetky tieto vpísané uhly sú si navzájom rovné.

Dôsledok 2

Uhol založený na priemere je pravý uhol.

Pozrite sa: ktorý roh je ústredný?

Určite,. Ale on je rovný! No, preto (rovnako ako veľa vpísaných uhlov na základe) a rovná sa.

Uhol medzi dvoma akordmi a sekansami

Ale čo ak uhol, ktorý nás zaujíma, NIE JE vpísaný a NIE centrálny, ale napríklad takto:

alebo takto?

Dá sa to nejako vyjadriť cez nejaké stredové uhly? Ukazuje sa, že môžete. Pozri, zaujíma nás to.

a) (ako vonkajší roh). Ale - vpísané, založené na oblúku - . - vpísaný, založený na oblúku - .

Pre krásu hovoria:

Uhol medzi tetivami sa rovná polovici súčtu uhlových hodnôt oblúkov zahrnutých v tomto uhle.

Toto je napísané pre stručnosť, ale samozrejme, keď používate tento vzorec, musíte mať na pamäti stredové uhly

b) A teraz – „vonku“! Ako byť? Áno, takmer to isté! Až teraz (opäť aplikujte vlastnosť vonkajšieho rohu na). To je teraz.

A to znamená. Prinesme krásu a stručnosť do záznamov a formulácií:

Uhol medzi sečami sa rovná polovici rozdielu v uhlových hodnotách oblúkov uzavretých v tomto uhle.

Teraz ste vyzbrojení všetkými základnými znalosťami o uhloch spojených s kruhom. Vpred, do útoku úloh!

KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je kruh, vie aj päťročné dieťa, však? Matematici, ako vždy, majú na túto tému nejasnú definíciu, ale nebudeme ju uvádzať (pozri), ale skôr si zapamätáme, ako sa nazývajú body, čiary a uhly spojené s kruhom.

Dôležité podmienky

Po prvé:

stred kruhu- bod, od ktorého sú vzdialenosti od všetkých bodov kružnice rovnaké.

Po druhé:

Je tu ďalší akceptovaný výraz: "tetiva sťahuje oblúk." Tu, tu na obrázku, napríklad tetiva sťahuje oblúk. A ak akord náhle prechádza stredom, potom má špeciálny názov: "priemer".

Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme,

A teraz - mená pre rohy.

Prirodzene, nie? Strany rohu vychádzajú zo stredu, čo znamená, že roh je stredový.

Tu niekedy vznikajú ťažkosti. Dávaj pozor - ŽIADNY uhol vo vnútri kruhu nie je vpísaný, ale len taký, ktorého vrchol „sedí“ na samotnom kruhu.

Pozrime sa na rozdiel na obrázkoch:

Hovoria tiež inak:

Je tu jeden háklivý bod. Čo je „zodpovedajúci“ alebo „vlastný“ stredový uhol? Len uhol s vrcholom v strede kruhu a končí na koncoch oblúka? Takýmto spôsobom určite nie. Pozri sa na obrázok.

Jeden z nich však nevyzerá ani ako roh – je väčší. Ale v trojuholníku nemôže byť viac uhlov, ale v kruhu - môže to byť! Takže: menší oblúk AB zodpovedá menšiemu uhlu (oranžový) a väčší väčší väčšiemu. Len ako, nie?

Vzťah medzi vpísanými a stredovými uhlami

Pamätajte na veľmi dôležité vyhlásenie:

V učebniciach radi píšu rovnakú skutočnosť, ako je táto:

Pravda, so stredovým uhlom je formulácia jednoduchšia?

Ale napriek tomu nájdime zhodu medzi týmito dvoma formuláciami a zároveň sa naučme, ako nájsť „zodpovedajúci“ stredový uhol a oblúk, o ktorý sa „opiera“ vpísaný uhol na číslach.

Pozrite, tu je kruh a vpísaný uhol:

Kde je jeho „zodpovedajúci“ stredový uhol?

Pozrime sa znova:

Aké je pravidlo?

Ale! V tomto prípade je dôležité, aby vpísané a stredové uhly "vyzerali" na rovnakej strane oblúka. Napríklad:

Napodiv, modrá! Pretože oblúk je dlhý, dlhší ako polovica kruhu! Takže sa nikdy nenechajte zmiasť!

Aký dôsledok možno vyvodiť z „polovice“ vpísaného uhla?

A napríklad tu:

Uhol na základe priemeru

Už ste si všimli, že matematici veľmi radi hovoria o tom istom. rôzne slová? Prečo je to pre nich? Vidíte, hoci jazyk matematiky je formálny, je živý, a preto, ako v bežnom jazyku, zakaždým, keď to chcete povedať pohodlnejšie. No, už sme videli, čo je „uhol spočíva na oblúku“. A predstavte si, ten istý obrázok sa nazýva „uhol spočíva na tetive“. Na čom? Áno, samozrejme, na tej, ktorá ťahá tento oblúk!

Kedy je výhodnejšie spoľahnúť sa na akord ako na oblúk?

No, najmä, keď táto struna je priemer.

Na takúto situáciu existuje úžasne jednoduché, krásne a užitočné tvrdenie!

Pozri: tu je kruh, priemer a uhol, ktorý na ňom spočíva.

KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. STRUČNE O HLAVNOM

1. Základné pojmy.

3. Merania oblúkov a uhlov.

Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.

Ide o číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.

Obvod polomeru sa rovná.

4. Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.

Vpísaný uhol, teória problému. Priatelia! V tomto článku si povieme o úlohách, na riešenie ktorých je potrebné poznať vlastnosti vpísaného uhla. Ide o celú skupinu úloh, sú zahrnuté v skúške. Väčšina z nich je vyriešená veľmi jednoducho, v jednom kroku.

Existujú ťažšie úlohy, ale nebudú pre vás predstavovať veľké ťažkosti, musíte poznať vlastnosti vpísaného uhla. Postupne rozoberieme všetky prototypy úloh, pozývam vás na blog!

Teraz potrebná teória. Pripomeňme si, aký stredový a vpísaný uhol, tetiva, oblúk, o ktorý sa tieto uhly opierajú:

Stredový uhol v kruhu sa nazýva plochý uhol svrchol v jeho strede.

Časť kruhu, ktorá je vo vnútri plochého rohunazývaný oblúk kruhu.

Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňovzodpovedajúci stredový uhol.

Uhol sa nazýva vpísaný do kruhu, ak vrchol uhla ležína kruhu a strany uhla pretínajú tento kruh.

Úsečka, ktorá spája dva body na kružnici, sa nazývaakord. Najdlhšia struna prechádza stredom kruhu a je tzvpriemer.

Ak chcete vyriešiť problémy pre uhly vpísané do kruhu,musíte poznať nasledujúce vlastnosti:

1. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla založeného na rovnakom oblúku.

2. Všetky vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké.

3. Všetky vpísané uhly vychádzajúce z tej istej tetivy, ktorej vrcholy ležia na tej istej strane tejto tetivy, sú rovnaké.

4. Ľubovoľná dvojica uhlov založených na tej istej tetive, ktorej vrcholy ležia na opačných stranách tetivy, tvorí súčet 180°.

Dôsledok: Opačné uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu tvoria spolu 180 stupňov.

5. Všetky vpísané uhly na základe priemeru sú rovné.

Vo všeobecnosti je táto vlastnosť dôsledkom vlastnosti (1), toto je jej špeciálny prípad. Pozrite sa - stredový uhol sa rovná 180 stupňom (a tento rozvinutý uhol nie je nič iné ako priemer), čo znamená, že podľa prvej vlastnosti sa vpísaný uhol C rovná jeho polovici, teda 90 stupňom.

Znalosť tejto vlastnosti pomáha pri riešení mnohých problémov a často vám umožňuje vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Ak si to dobre osvojíte, budete vedieť viac ako polovicu problémov tohto typu vyriešiť ústne. Dva dôsledky, ktoré možno dosiahnuť:

Dôsledok 1: ak je trojuholník vpísaný do kruhu a jedna z jeho strán sa zhoduje s priemerom tohto kruhu, potom je trojuholník pravouhlý (vrchol pravý uhol leží na kruhu).

Dôsledok 2: stred popísaného o správny trojuholník kružnica sa zhoduje so stredom jej prepony.

Mnoho prototypov stereometrických úloh sa rieši aj využitím tejto vlastnosti a týchto dôsledkov. Pamätajte na samotný fakt: ak je priemer kruhu stranou vpísaného trojuholníka, potom je tento trojuholník pravouhlý (uhol oproti priemeru je 90 stupňov). Všetky ostatné závery a dôsledky si môžete vyvodiť sami, nemusíte ich učiť.

Spravidla sa polovica úloh pre vpísaný uhol uvádza s náčrtom, ale bez zápisu. Na pochopenie procesu uvažovania pri riešení problémov (nižšie v článku) sú zavedené označenia vrcholov (rohy). Na skúške to nemôžete urobiť.Zvážte úlohy:

Čo je ostrý vpísaný uhol, ktorý zachytáva tetivu rovnajúcu sa polomeru kružnice? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Zostrojme stredový uhol pre daný vpísaný uhol, označme vrcholy:

Podľa vlastnosti uhla vpísaného do kruhu:

Uhol AOB sa rovná 60 0, pretože trojuholník AOB je rovnostranný a v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovné 60 0 . Strany trojuholníka sú rovnaké, pretože podmienka hovorí, že tetiva sa rovná polomeru.

Vpísaný uhol DIA je teda 30°.

odpoveď: 30

Nájdite tetivu, na ktorej spočíva uhol 300, vpísaný do kruhu s polomerom 3.

Toto je v podstate inverzný problém(predchádzajúca). Postavme centrálny roh.

Je dvakrát väčší ako ten vpísaný, to znamená, že uhol AOB je 60°. Z toho môžeme usúdiť, že trojuholník AOB je rovnostranný. Tetiva sa teda rovná polomeru, teda trom.

odpoveď: 3

Polomer kružnice je 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla na základe tetivy rovnajúcej sa odmocnine z dvoch. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Zostavme stredový uhol:

Keď poznáme polomer a tetivu, môžeme nájsť stredový uhol DIA. To sa dá urobiť pomocou zákona kosínusov. Keď poznáme stredový uhol, môžeme ľahko nájsť vpísaný uhol ACB.

Kosínusová veta: druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez zdvojnásobenia súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi nimi.

Preto je druhý stredový uhol 360° – 90 0 = 270 0 .

Podľa vlastnosti vpísaného uhla sa uhol DIA rovná jeho polovici, to znamená 135 stupňov.

odpoveď: 135

Nájdite tetivu, na ktorej je uhol 120 stupňov, koreň troch, vpísaný do kruhu s polomerom.

Spojte body A a B so stredom kruhu. Nazvime to O:

Poznáme polomer a vpísaný uhol DIA. Môžeme nájsť stredový uhol AOB (väčší ako 180 stupňov), potom nájsť uhol AOB v trojuholníku AOB. A potom pomocou kosínusovej vety vypočítajte AB.

Vďaka vlastnosti vpísaného uhla sa stredový uhol AOB (ktorý je väčší ako 180 stupňov) bude rovnať dvojnásobku vpísaného uhla, to znamená 240 stupňov. To znamená, že uhol AOB v trojuholníku AOB je 360 ​​0 - 240 0 = 120 0 .

Podľa zákona kosínov:

Odpoveď: 3

Nájdite vpísaný uhol na základe oblúka, ktorý je 20% kruhu. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Vlastnosťou vpísaného uhla je polovičná ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku, v tomto prípade hovoríme o oblúku AB.

Hovorí sa, že oblúk AB je 20 percent obvodu. To znamená, že stredový uhol AOB je tiež 20 percent z 360°.* Kruh je uhol 360 stupňov. znamená,

Vpísaný uhol ACB je teda 36 stupňov.

odpoveď: 36

oblúk kruhu AC, ktorá neobsahuje body B, je 200 stupňov. A oblúk kruhu BC, ktorý neobsahuje body A, je 80 stupňov. Nájdite vpísaný uhol ACB. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Označme pre prehľadnosť oblúky, ktorých uhlové miery sú dané. Oblúk zodpovedajúci 200 stupňom - Modrá farba, oblúk zodpovedajúci 80 stupňom je červený, zvyšok kruhu je žltá.

Miera stupňa oblúka AB (žltá), a teda aj stredového uhla AOB je: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Vpísaný uhol DAB je polovicou stredového uhla AOB, to znamená 40 stupňov.

odpoveď: 40

Aký je vpísaný uhol založený na priemere kruhu? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

centrálny roh je uhol tvorený dvoma polomermi kruhy. Príkladom stredového uhla je uhol AOB, BOC, COE atď.

O centrálny roh A oblúk uzavreté medzi jej stranami hovoria, že oni korešpondovať navzájom.

1. ak centrálne rohy oblúky sú si rovné.

2. ak centrálne rohy nie sú rovnaké, potom väčší z nich zodpovedá väčšiemu oblúk.

Nech AOB a COD sú dva centrálne rohy, rovnaké alebo nerovnaké. Otočte sektor AOB okolo stredu v smere označenom šípkou tak, aby sa polomer OA zhodoval s OC. Potom, ak sú stredové uhly rovnaké, potom sa polomer OA zhoduje s OD a oblúk AB sa zhoduje s oblúkom CD.

Takže tieto oblúky budú rovnaké.

Ak centrálne rohy nie sú rovnaké, potom polomer OB nepôjde pozdĺž OD, ale pozdĺž nejakého iného smeru, napríklad pozdĺž OE alebo OF. V oboch prípadoch väčší uhol zjavne zodpovedá väčšiemu oblúku.

Veta, ktorú sme dokázali pre jeden kruh, zostáva platná rovnaké kruhy, pretože takéto kruhy sa navzájom nelíšia, okrem svojej polohy.

Obrátené ponuky bude tiež pravda . V rovnakom kruhu alebo v rovnakých kruhoch:

1. ak oblúky sú rovnaké, potom zodpovedajúce centrálne rohy sú si rovné.

2. ak oblúky nie sú rovnaké, potom väčší z nich zodpovedá väčšiemu centrálny roh.

V rovnakom kruhu alebo v rovnakých kruhoch sú stredové uhly spojené ako ich zodpovedajúce oblúky. Alebo, parafrázujúc, dostaneme stredový uhol proporcionálne oblúk tomu zodpovedajúci.