Súradnice X body ležiace na kružnici sa rovnajú cos(θ) a súradnice r zodpovedajú sin(θ), kde θ je veľkosť uhla.

• Ak sa vám to ťažko pamätá toto pravidlo, len si pamätajte, že v páre (cos; hriech) „sínus je posledný“.
• Toto pravidlo možno odvodiť pohľadom na pravouhlé trojuholníky a definíciou údajov goniometrické funkcie(sínus uhla sa rovná pomeru dĺžky protiľahlej strany a kosínus sa rovná pomeru priľahlej strany k prepone).

Zapíšte si súradnice štyroch bodov na kružnici.„Jednotkový kruh“ je kruh, ktorého polomer sa rovná jednej. Použite to na určenie súradníc X A r v štyroch priesečníkoch súradnicových osí s kružnicou. Vyššie sme pre prehľadnosť označili tieto body ako „východ“, „sever“, „západ“ a „juh“, hoci nemajú ustálené názvy.

• "Východ" zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0) .
• "Sever" zodpovedá bodu so súradnicami (0; 1) .
• "Západ" zodpovedá bodu so súradnicami (-1; 0) .
• "Juh" zodpovedá bodu so súradnicami (0; -1) .
• Je to podobné ako pri bežnom grafe, takže nie je potrebné si tieto hodnoty pamätať, stačí si zapamätať základný princíp.

Zapamätajte si súradnice bodov v prvom kvadrante. Prvý kvadrant sa nachádza v pravej hornej časti kruhu, kde sú súradnice X A r nadobúdať kladné hodnoty. Toto sú jediné súradnice, ktoré si musíte zapamätať:

• bod π / 6 má súradnice () ;
• bod π/4 má súradnice () ;
• bod π / 3 má súradnice () ;
• Všimnite si, že čitateľ má iba tri hodnoty. Ak sa pohybujete v pozitívnom smere (zľava doprava pozdĺž osi X a zdola nahor pozdĺž osi r), čitateľ nadobúda hodnoty 1 → √2 → √3.

Nakreslite rovné čiary a určte súradnice bodov ich priesečníka s kružnicou. Ak nakreslíte rovné vodorovné a zvislé čiary z bodov jedného kvadrantu, druhý priesečník týchto čiar s kružnicou bude mať súradnice X A r s rovnakými absolútnymi hodnotami, ale rôznymi znakmi. Inými slovami, môžete nakresliť vodorovné a zvislé čiary z bodov prvého kvadrantu a označiť priesečníky s kružnicou rovnakými súradnicami, ale zároveň nechať miesto na ľavej strane pre správne znamienko („+“ alebo "-").

• Môžete napríklad nakresliť vodorovnú čiaru medzi bodmi π/3 a 2π/3. Keďže prvý bod má súradnice ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), súradnice druhého bodu budú (? 12, ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), kde je namiesto znamienka „+“ alebo „-“ otáznik.
• Použite najjednoduchšiu metódu: venujte pozornosť menovateľom súradníc bodu v radiánoch. Všetky body s menovateľom 3 majú rovnaký absolútne hodnoty súradnice To isté platí pre body s menovateľmi 4 a 6.

Na určenie znamienka súradníc použite pravidlá symetrie. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť, kam umiestniť znak „-“:

• Pamätajte na základné pravidlá pre bežné grafy. Os X negatívny vľavo a pozitívny vpravo. Os r negatívne zdola a pozitívne zhora;
• začnite prvým kvadrantom a nakreslite čiary do ďalších bodov. Ak čiara pretína os r, koordinovať X zmení svoje znamenie. Ak čiara pretína os X, zmení sa znamienko súradnice r;
• pamätajte, že v prvom kvadrante sú všetky funkcie kladné, v druhom kvadrante je kladný iba sínus, v treťom kvadrante je kladný iba tangens a vo štvrtom kvadrante je kladný iba kosínus;
• Bez ohľadu na to, ktorú metódu použijete, mali by ste dostať (+,+) v prvom kvadrante, (-,+) v druhom, (-,-) v treťom a (+,-) vo štvrtom.

Skontrolujte, či ste sa nepomýlili. Nižšie je úplný zoznam súradnice „špeciálnych“ bodov (okrem štyroch bodov na súradnicových osiach), ak sa pohybujete po jednotkovej kružnici proti smeru hodinových ručičiek. Pamätajte, že na určenie všetkých týchto hodnôt si stačí zapamätať súradnice bodov iba v prvom kvadrante:

• prvý kvadrant :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• druhý kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• tretí kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• štvrtý kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Ak ste už oboznámení s trigonometrický kruh a chcete si len osviežiť pamäť na určité prvky, alebo ste úplne netrpezliví, tak tu je:

Tu si všetko podrobne rozoberieme krok za krokom.

Trigonometrický kruh nie je luxus, ale nutnosť

Trigonometria Mnoho ľudí si to spája s nepreniknuteľnou húštinou. Zrazu sa nahromadí toľko hodnôt goniometrických funkcií, toľko vzorcov... Ale akože, na začiatku to nevyšlo a... ideme... úplné nedorozumenie...

Je veľmi dôležité nevzdávať sa hodnoty goniometrických funkcií, - hovorí sa, že na ostrohu sa dá vždy pozrieť tabuľkou hodnôt.

Ak sa neustále pozeráte na tabuľku s hodnotami trigonometrické vzorce, zbavme sa tohto zlozvyku!

On nám pomôže! Budete s tým pracovať niekoľkokrát a potom vám to vyskočí v hlave. Ako je to lepšie ako stôl? Áno, v tabuľke nájdete obmedzený počet významy a na kruhu - VŠETKO!

Povedzte napríklad pri pohľade na štandardná tabuľka hodnôt trigonometrických vzorcov , aký je sínus rovný napríklad 300 stupňom alebo -45.

V žiadnom prípade?... môžete sa, samozrejme, pripojiť redukčné vzorce... A pri pohľade na trigonometrický kruh môžete ľahko odpovedať na takéto otázky. A čoskoro budete vedieť ako!

A pri rozhodovaní goniometrické rovnice a nerovnosti bez trigonometrickej kružnice - vôbec nikde.

Úvod do trigonometrického kruhu

Poďme pekne po poriadku.

Najprv si napíšme tento rad čísel:

A teraz toto:

A nakoniec tento:

Samozrejme, je jasné, že v skutočnosti je na prvom mieste , na druhom mieste je a na poslednom mieste je . To znamená, že nás bude viac zaujímať reťaz.

Ale ako krásne to dopadlo! Ak sa niečo stane, obnovíme tento „zázračný rebrík“.

A prečo to potrebujeme?

Tento reťazec je hlavnými hodnotami sínusu a kosínusu v prvom štvrťroku.

Nakreslíme kružnicu s jednotkovým polomerom v pravouhlom súradnicovom systéme (to znamená, že zoberieme ľubovoľný polomer dĺžky a jeho dĺžku vyhlásime za jednotku).

Z lúča „0-Start“ položíme rohy v smere šípky (pozri obrázok).

Získame zodpovedajúce body na kruhu. Ak teda premietneme body na každú z osí, dostaneme presne tie hodnoty z vyššie uvedeného reťazca.

Prečo je to, pýtate sa?

Neanalyzujme všetko. Uvažujme princíp, ktorá vám umožní vyrovnať sa s inými, podobnými situáciami.

Trojuholník AOB je obdĺžnikový a obsahuje . A vieme, že oproti uhlu b leží rameno o polovičnej veľkosti prepony (máme preponu = polomer kružnice, teda 1).

To znamená AB= (a teda OM=). A to podľa Pytagorovej vety

Dúfam, že už je niečo jasné?

Takže bod B bude zodpovedať hodnote a bod M bude zodpovedať hodnote

To isté s ostatnými hodnotami prvého štvrťroka.

Ako ste pochopili, známa os (vôl) bude kosínusová os a os (oy) – os sínusov . Neskôr.

Naľavo od nuly pozdĺž kosínusovej osi (pod nulou pozdĺž sínusovej osi) budú samozrejme záporné hodnoty.

Takže, tu je, VŠEMOHÚCI, bez ktorého nie je v trigonometrii nič.

Ale budeme hovoriť o tom, ako použiť trigonometrický kruh.

V tomto článku podrobne rozoberieme definíciu číselného kruhu, zistíme jeho hlavnú vlastnosť a usporiadame čísla 1,2,3 atď. O tom, ako označiť iné čísla na kruhu (napríklad \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) rozumie .

Číselný kruh nazývaná kružnica s jednotkovým polomerom, ktorej body zodpovedajú , usporiadané podľa nasledujúcich pravidiel:

1) Počiatok je v krajnom pravom bode kruhu;

2) Proti smeru hodinových ručičiek - kladný smer; v smere hodinových ručičiek – záporné;

3) Ak na kružnici nakreslíme vzdialenosť \(t\) v kladnom smere, tak sa dostaneme do bodu s hodnotou \(t\);

4) Ak na kružnici nakreslíme vzdialenosť \(t\) v zápornom smere, tak sa dostaneme do bodu s hodnotou \(–t\).

Prečo sa kruh nazýva číselný kruh?
Pretože sú na ňom čísla. Týmto spôsobom je kruh podobný číselnej osi - na kruhu, rovnako ako na osi, je pre každé číslo špecifický bod.

Prečo vedieť, čo je číselný kruh?
Pomocou číselného kruhu sa určujú hodnoty sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens. Preto poznať trigonometriu a zloženie jednotnej štátnej skúšky ak chcete získať viac ako 60 bodov, musíte pochopiť, čo je číselný kruh a ako naň umiestniť bodky.

Čo znamenajú slová „...jednotkového polomeru...“ v definícii?
To znamená, že polomer tohto kruhu sa rovná \(1\). A ak takúto kružnicu zostrojíme so stredom v počiatku, tak sa bude pretínať s osami v bodoch \(1\) a \(-1\).

Nemusí byť nakreslený malý, môžete zmeniť „veľkosť“ delení pozdĺž osí, potom bude obrázok väčší (pozri nižšie).

Prečo je polomer práve jeden? Je to pohodlnejšie, pretože v tomto prípade pri výpočte obvodu pomocou vzorca \(l=2πR\) dostaneme:

Dĺžka číselného kruhu je \(2π\) alebo približne \(6,28\).

Čo znamená „...ktorých body zodpovedajú reálnym číslam“?
Ako sme povedali vyššie, na číselnom kruhu pre akékoľvek skutočné číslo bude určite jeho „miesto“ - bod, ktorý zodpovedá tomuto číslu.

Prečo určiť pôvod a smer na číselnom kruhu?
Hlavným účelom číselného kruhu je jednoznačne určiť jeho bod pre každé číslo. Ale ako môžete určiť, kam zaradiť bod, ak neviete, odkiaľ počítať a kam sa posunúť?

Tu je dôležité nepomýliť si počiatok na súradnicovej línii a na číselnom kruhu – to sú dva rôznych systémov odpočítavanie! A tiež si nezamieňajte \(1\) na osi \(x\) a \(0\) na kruhu - to sú body na rôznych objektoch.

Ktoré body zodpovedajú číslam \(1\), \(2\) atď.?

Pamätáte si, že sme predpokladali, že číselný kruh má polomer \(1\)? Toto bude náš jednotkový segment (analogicky s číselnou osou), ktorý nakreslíme na kružnicu.

Ak chcete označiť bod v kruhu s číslami zodpovedajúci číslu 1, musíte prejsť od 0 do vzdialenosti rovnajúcej sa polomeru v kladnom smere.

Na označenie bodu na kruhu zodpovedajúcemu číslu \(2\) musíte prejsť vzdialenosť rovnajúcu sa dvom polomerom od začiatku, takže \(3\) je vzdialenosť rovnajúca sa trom polomerom atď.

Pri pohľade na tento obrázok vás možno napadnú 2 otázky:
1. Čo sa stane, keď sa kruh „skončí“ (t. j. urobíme úplnú otáčku)?
odpoveď: poďme do druhého kola! A keď sa skončí druhý, prejdeme k tretiemu a tak ďalej. Preto sa dá na kružnici nakresliť nekonečné množstvo čísel.

2. Kde budú záporné čísla?
Odpoveď: presne tam! Môžu byť tiež usporiadané, počítajúc od nuly požadovaný počet polomerov, ale teraz v zápornom smere.

Bohužiaľ je ťažké označiť celé čísla v číselnom kruhu. Je to spôsobené tým, že dĺžka číselného kruhu sa nebude rovnať celému číslu: \(2π\). A na najvhodnejších miestach (v priesečníkoch s osami) budú aj zlomky, nie celé čísla

Na trigonometrickej kružnici okrem uhlov v stupňoch pozorujeme .

Viac informácií o radiánoch:

Radián je definovaný ako uhlová hodnota oblúka, ktorého dĺžka sa rovná jeho polomeru. V súlade s tým, pretože obvod sa rovná , potom je zrejmé, že radiány zapadajú do kruhu, tzn

1 rad ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Každý vie, že radián je

Takže napríklad , a . Takto my naučili premieňať radiány na uhly.

Teraz je to naopak preveďme stupne na radiány.

Povedzme, že potrebujeme previesť na radiány. Pomôže nám to. Postupujeme nasledovne:

Keďže radiány, vyplňte tabuľku:

Trénujeme nájsť hodnoty sínusu a kosínusu v kruhu

Ujasnime si nasledovné.

Dobre, ak sa od nás žiada, aby sme vypočítali, povedzme, - zvyčajne tu nie je žiadny zmätok - všetci sa najskôr začnú pozerať na kruh.

A ak sa vám napríklad žiada vypočítať... Veľa ľudí zrazu začne chápať, kde hľadať túto nulu... Často ju hľadajú pri pôvode. prečo?

1) Dohodnime sa raz a navždy!Čo nasleduje alebo je argument = uhol, a naše rohy sa nachádzajú na kruhu, na osiach ich nehľadaj!(Iba jednotlivé body padajú na kružnicu aj na os...) A na osiach hľadáme hodnoty samotných sínusov a kosínusov!

2) A ešte jedna vec! Ak sa vzdialime od „štartovacieho“ bodu proti smeru hodinových ručičiek(hlavný smer prechodu trigonometrického kruhu), potom odložíme kladné hodnoty uhlov, hodnoty uhla sa pri pohybe týmto smerom zvyšujú.

Ak sa vzdialime od „štartovacieho“ bodu v smere hodinových ručičiek, potom vynesieme záporné hodnoty uhla.

Príklad 1

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Nájdeme ho na kruhu. Bod premietneme na sínusovú os (teda nakreslíme kolmicu z bodu na sínusovú os (oy)).

Dostávame sa k 0. Takže, .

Príklad 2

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Nájdeme to na kruhu (ideme proti smeru hodinových ručičiek a znova). Bod premietneme na sínusovú os (a to už leží na osi sínusov).

Po sínusovej osi sa dostaneme na -1.

Všimnite si, že za bodom sú „skryté“ body ako (mohli by sme prejsť do bodu označeného ako , v smere hodinových ručičiek, čo znamená, že sa objaví znamienko mínus) a nekonečne veľa ďalších.

Môžeme uviesť nasledujúcu analógiu:

Predstavme si trigonometrický kruh ako štadiónovú bežeckú dráhu.

Môžete sa ocitnúť v bode „Vlajka“, počnúc štartom proti smeru hodinových ručičiek, po prebehnutí povedzme 300 m alebo povedzme 100 m v smere hodinových ručičiek (predpokladáme, že dĺžka trate je 400 m).

Môžete tiež skončiť na Vlajkovom bode (po štarte) prebehnutím povedzme 700 m, 1 100 m, 1 500 m, atď. proti smeru hodinových ručičiek. Môžete skončiť na Vlajkovom bode prebehnutím 500 m alebo 900 m atď. v smere hodinových ručičiek od začiatku.

Mentálne premeňte bežiaci pás na štadióne na číselný rad. Predstavte si, kde na tomto riadku budú napríklad hodnoty 300, 700, 1100, 1500 atď. Na číselnej osi uvidíme body, ktoré sú od seba rovnako vzdialené. Vráťme sa späť do kruhu. Body sa „zlepia“ do jedného.

Tak je to aj s trigonometrickým kruhom. Za každým bodom sa skrýva nekonečne veľa ďalších.

Povedzme uhly , , , atď. sú znázornené jednou bodkou. A hodnoty sínusu a kosínusu v nich sa samozrejme zhodujú. (Všimli ste si, že sme pridali/odčítali alebo ? Toto je obdobie pre funkciu sínus a kosínus.)

Príklad 3

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Pre jednoduchosť prepočítajme na stupne.

(neskôr, keď si zvyknete na trigonometrický kruh, nebudete musieť prevádzať radiány na stupne):

Z bodu sa budeme pohybovať v smere hodinových ručičiek Pôjdeme pol kruhu () a ďalší

Rozumieme, že hodnota sínusu sa zhoduje s hodnotou sínusu a rovná sa

Všimnite si, že ak by sme vzali napríklad alebo atď., dostali by sme rovnakú sínusovú hodnotu.

Príklad 4.

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Radiány však neprevedieme na stupne, ako v predchádzajúcom príklade.

To znamená, že musíme prejsť proti smeru hodinových ručičiek polovicu kruhu a ďalšiu štvrtinu polovice kruhu a výsledný bod premietneme na kosínusovú os (horizontálnu os).

Príklad 5.

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Ako nakresliť na trigonometrický kruh?

Ak prejdeme alebo sa aspoň stále ocitneme v bode, ktorý sme označili ako „štart“. Preto môžete okamžite prejsť do bodu na kruhu

Príklad 6.

Nájdite hodnotu.

Riešenie:

Skončíme pri bode (stále nás dovedie k bodu nula). Bod kružnice premietneme na kosínusovú os (pozri trigonometrický kruh), ocitneme sa v . To je .

Trigonometrický kruh je vo vašich rukách

Už ste pochopili, že hlavnou vecou je zapamätať si hodnoty goniometrických funkcií prvého štvrťroka. Vo zvyšných štvrtiach je všetko podobné, len treba sledovať značky. A dúfam, že nezabudnete na „rebríkový reťazec“ hodnôt goniometrických funkcií.

Ako nájsť tangens a kotangens hodnoty hlavné uhly.

Po oboznámení sa so základnými hodnotami tangens a kotangens, môžete prejsť

Na šablóne prázdneho kruhu. Vlak!

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak máš záujem táto práca, stiahnite si plnú verziu.

Cieľ: naučiť, ako používať jednotkový kruh pri riešení rôznych goniometrických úloh.

V školskom kurze matematiky sú možné rôzne možnosti zavedenia goniometrických funkcií. Najpohodlnejší a najčastejšie používaný je „kruh s číselnými jednotkami“. Jeho aplikácia v téme „Trigonometria“ je veľmi rozsiahla.

Jednotkový kruh sa používa na:

– definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla;
- nájdenie hodnôt goniometrických funkcií pre niektoré hodnoty číselného a uhlového argumentu;
– odvodenie základných trigonometrických vzorcov;
– odvodenie redukčných vzorcov;
- nájdenie oblasti definície a rozsahu hodnôt goniometrických funkcií;
– určenie periodicity goniometrických funkcií;
– určenie parity a nepárnosti goniometrických funkcií;
– určenie intervalov rastúcich a klesajúcich goniometrických funkcií;
– určenie intervalov konštantného znamienka goniometrických funkcií;
– meranie radiánových uhlov;
- nájdenie hodnôt inverzných goniometrických funkcií;
– riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc;
– riešenie jednoduchých nerovností a pod.

Aktívne a vedomé zvládnutie tohto typu vizualizácie študentmi teda poskytuje nepopierateľné výhody pre zvládnutie časti matematiky „Trigonometria“.

Využitie IKT na vyučovacích hodinách matematiky uľahčuje zvládnutie kruhu s číselnými jednotkami. Interaktívna tabuľa má samozrejme široké možnosti využitia, no nie všetky učebne ju majú. Ak hovoríme o využití prezentácií, na internete je široký výber a každý učiteľ si môže nájsť najvhodnejšiu možnosť pre svoje hodiny.

Čo je zvláštne na prezentácii, ktorú prezentujem?

Táto prezentácia navrhuje rôzne prípady použitia a nie je určená ako ukážka konkrétnej lekcie v téme „Trigonometria“. Každá snímka tejto prezentácie môže byť použitá samostatne, a to ako vo fáze vysvetľovania materiálu, rozvíjania zručností, tak aj na reflexiu. Pri vytváraní tejto prezentácie Osobitná pozornosť dbalo na jej „čitateľnosť“ z diaľky, keďže počet slabozrakých žiakov neustále rastie. Farebná schéma je premyslená, logicky súvisiace objekty spája jedna farba. Prezentácia je animovaná tak, že učiteľ môže komentovať fragment snímky a študent môže položiť otázku. Táto prezentácia je teda akýmsi „pohyblivým“ stolom. Posledné snímky nie sú animované a slúžia na testovanie zvládnutia látky pri riešení goniometrických úloh. Kruh na diapozitívoch je vzhľadom maximálne zjednodušený a čo najviac sa približuje tomu, ktorý na papieri zošita znázornili žiaci. Túto podmienku považujem za zásadnú. Je dôležité, aby si žiaci vytvorili názor na jednotkový kruh ako na dostupnú a mobilnú (aj keď nie jedinú) formu prehľadnosti pri riešení goniometrických úloh.

Táto prezentácia pomôže učiteľom predstaviť žiakom jednotkový kruh na hodinách geometrie v 9. ročníku pri štúdiu témy „Vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka“. A samozrejme pomôže rozšíriť a prehĺbiť zručnosť práce s jednotkovým kruhom pri riešení goniometrických úloh pre starších študentov na hodinách algebry.

Snímky 3, 4 vysvetliť konštrukciu jednotkovej kružnice; princíp určenia polohy bodu na jednotkovej kružnici v 1. a 2. súradnicovej štvrti; prechod z geometrických definícií funkcií sínus a kosínus (in správny trojuholník) do algebry na jednotkovej kružnici.

Snímky 5-8 vysvetlite, ako nájsť hodnoty goniometrických funkcií pre hlavné uhly prvého súradnicového kvadrantu.

Snímky 9-11 vysvetľuje znaky funkcií v súradnicových štvrtiach; určenie intervalov konštantného znamienka goniometrických funkcií.

Snímka 12 používa sa na vytváranie predstáv o pozitívnych a negatívnych hodnotách uhla; oboznámenie sa s pojmom periodicita goniometrických funkcií.

Snímky 13, 14 sa používajú pri prechode na meranie radiánového uhla.

Snímky 15-18 nie sú animované a využívajú sa pri riešení rôznych goniometrických úloh, upevňovaní a kontrole výsledkov zvládnutia látky.

1. Titulná strana.
2. Stanovenie cieľov.
3. Konštrukcia jednotkového kruhu. Základné hodnoty uhlov v stupňoch.
4. Určenie sínusu a kosínusu uhla na jednotkovej kružnici.
5. Tabuľkové hodnoty pre sínus vo vzostupnom poradí.
6. Tabuľkové hodnoty pre kosínus vo vzostupnom poradí.
7. Tabuľkové hodnoty pre dotyčnicu vo vzostupnom poradí.
8. Tabuľkové hodnoty kotangens vo vzostupnom poradí.
9. Funkčné znaky hriech α.
10. Funkčné znaky čos α.
11. Funkčné znaky opálenie α A ctg α.
12. Kladné a záporné hodnoty uhlov na jednotkovej kružnici.
13. Radiánová miera uhla.
14. Kladné a záporné hodnoty uhla v radiánoch na jednotkovej kružnici.
15. Rôzne možnosti pre jednotkový kruh na upevnenie a kontrolu výsledkov zvládnutia materiálu.