Tento článok poskytuje predstavu o tom, ako napísať rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom v trojrozmernom priestore kolmom na danú čiaru. Analyzujme vyššie uvedený algoritmus na príklade riešenia typických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom v priestore kolmo na danú priamku

Nech je v ňom daný trojrozmerný priestor a pravouhlý súradnicový systém O x y z. Daný je aj bod M 1 (x 1, y 1, z 1), priamka a a rovina α prechádzajúca bodom M 1 kolmá na priamku a. Je potrebné zapísať rovnicu roviny α.

Skôr ako pristúpime k riešeniu tohto problému, pripomeňme si geometrickú vetu z programu pre ročníky 10 - 11, ktorá znie:

Definícia 1

Jedna rovina prechádza daným bodom v trojrozmernom priestore a je kolmá na danú priamku.

Teraz zvážte, ako nájsť rovnicu tejto jedinej roviny prechádzajúcej počiatočným bodom a kolmej na danú priamku.

Možné napísať všeobecná rovnica rovine, ak sú známe súradnice bodu prislúchajúceho tejto rovine, ako aj súradnice normálového vektora roviny.

Podmienkou úlohy sú nám dané súradnice x 1, y 1, z 1 bodu M 1, ktorým prechádza rovina α. Ak určíme súradnice normálového vektora roviny α, potom budeme môcť napísať požadovanú rovnicu.

Normálový vektor roviny α, keďže je nenulový a leží na priamke a, kolmej na rovinu α, bude ľubovoľný smerový vektor priamky a. Takže problém nájdenia súradníc normálového vektora roviny α sa transformuje na problém určenia súradníc smerového vektora priamky a .

Určenie súradníc smerového vektora priamky a sa môže uskutočniť rôznymi spôsobmi: závisí od variantu nastavenia priamky a v počiatočných podmienkach. Napríklad, ak je čiara a v podmienke úlohy daná kanonickými rovnicami tvaru

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

alebo parametrické rovnice v tvare:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

potom bude mať smerový vektor priamky súradnice a x, ay a az. V prípade, že priamku a predstavujú dva body M 2 (x 2, y 2, z 2) a M 3 (x 3, y 3, z 3), súradnice smerového vektora budú určené ako (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definícia 2

Algoritmus na nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na danú priamku:

Určte súradnice smerového vektora priamky a: a → = (a x, a y, a z) ;

Súradnice normálového vektora roviny α definujeme ako súradnice smerového vektora priamky a:

n → = (A, B, C), kde A = ax, B = ay, C = az;

Napíšeme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a majúcej normálový vektor n→=(A, B, C) v tvare A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Toto bude požadovaná rovnica roviny, ktorá prechádza daným bodom v priestore a je kolmá na danú priamku.

Výsledná všeobecná rovnica roviny: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 umožňuje získať rovnicu roviny v segmentoch alebo normálnu rovnicu roviny.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov pomocou algoritmu získaného vyššie.

Príklad 1

Je daný bod M 1 (3, - 4, 5), ktorým rovina prechádza a táto rovina je kolmá na súradnicu O z.

Riešenie

smerový vektor súradnicovej priamky O z bude súradnicový vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Preto má normálový vektor roviny súradnice (0 , 0 , 1) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom M 1 (3, - 4, 5), ktorej normálový vektor má súradnice (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odpoveď: z-5 = 0.

Zvážte iný spôsob riešenia tohto problému:

Príklad 2

Rovina, ktorá je kolmá na priamku O z bude daná neúplnou všeobecnou rovnicou roviny v tvare С z + D = 0, C ≠ 0 . Definujme hodnoty C a D: tie, pre ktoré rovina prechádza daným bodom. Dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice C z + D = 0 , dostaneme: C · 5 + D = 0 . Tie. čísla, C a D sú vo vzťahu - DC C = 5 . Ak vezmeme C \u003d 1, dostaneme D \u003d - 5.

Dosaďte tieto hodnoty do rovnice Cz + D = 0 a získajte požadovanú rovnicu pre rovinu kolmú na priamku Oz a prechádzajúcu bodom M 1 (3, - 4, 5) .

Bude to vyzerať takto: z - 5 = 0.

odpoveď: z-5 = 0.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom a kolmú na priamku x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riešenie

Na základe podmienok úlohy možno tvrdiť, že vodiaci vektor danej priamky možno brať ako normálový vektor n → danej roviny. Teda: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom O (0, 0, 0) a majúcej normálny vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Získali sme požadovanú rovnicu pre rovinu prechádzajúcu počiatkom kolmo na danú priamku.

odpoveď:- 3x - 7r + 2z = 0

Príklad 4

Daný pravouhlý súradnicový systém O x y z v trojrozmernom priestore obsahuje dva body A (2 , - 1 , - 2) a B (3 , - 2 , 4) . Bodom A kolmým na priamku AB prechádza rovina α. Rovnicu roviny α je potrebné zostaviť po úsečkách.

Riešenie

Rovina α je kolmá na priamku A B, potom vektor A B → bude normálovým vektorom roviny α. Súradnice tohto vektora sú určené ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami bodov B (3, - 2, 4) a A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Všeobecná rovnica roviny bude napísaná v nasledujúcom tvare:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz zostavíme požadovanú rovnicu roviny v segmentoch:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odpoveď:x - 9 + y9 + z - 32 = 1

Treba si tiež uvedomiť, že existujú úlohy, ktorých požiadavkou je napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom a kolmú na dve dané roviny. Vo všeobecnosti je riešením tohto problému napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu daným bodom kolmo na danú priamku, keďže dve pretínajúce sa roviny vymedzujú priamku.

Príklad 5

Je daný pravouhlý súradnicový systém O x y z, v ktorom je bod M 1 (2, 0, - 5) . Sú uvedené aj rovnice dvoch rovín 3 x + 2 y + 1 = 0 a x + 2 z - 1 = 0, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky a . Pre rovinu prechádzajúcu bodom M 1 kolmou na priamku a je potrebné zostaviť rovnicu.

Riešenie

Určme súradnice smerového vektora priamky a . Je kolmá na normálový vektor n 1 → (3 , 2 , 0) roviny n → (1 , 0 , 2) aj na normálový vektor 3 x + 2 y + 1 = 0 z x + 2 z - 1 = 0 rovina.

Potom smerový vektor α → priamka a vezmeme vektorový súčin vektorov n 1 → a n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Vektor n → = (4, - 6, - 2) bude teda normálovým vektorom roviny kolmej na priamku a. Napíšeme požadovanú rovnicu roviny:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

13. Uhol medzi rovinami, vzdialenosť od bodu k rovine.

Nech sa roviny α a β pretínajú pozdĺž priamky c.
Uhol medzi rovinami je uhol medzi kolmicami na priamku ich priesečníka, nakreslenú v týchto rovinách.

Inými slovami, v rovine α nakreslíme priamku a kolmú na c. V rovine β - priamka b, tiež kolmá na c. Uhol medzi rovinami α a β rovný uhlu medzi čiarami a a b.

Všimnite si, že keď sa pretínajú dve roviny, v skutočnosti sa vytvoria štyri rohy. Vidíte ich na obrázku? Ako uhol medzi rovinami vezmeme pikantné rohu.

Ak je uhol medzi rovinami 90 stupňov, potom roviny kolmý,

Toto je definícia kolmosti rovín. Pri riešení úloh v stereometrii využívame aj znak kolmosti rovín:

Ak rovina α prechádza kolmicou na rovinu β, potom sú roviny α a β kolmé.

vzdialenosť bodu od roviny

Uvažujme bod T daný jeho súradnicami:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Zvážte aj rovinu α danú rovnicou:

Ax + By + Cz + D = 0

Potom možno vzdialenosť L od bodu T k rovine α vypočítať podľa vzorca:

Inými slovami, dosadíme súradnice bodu do rovnice roviny a potom túto rovnicu vydelíme dĺžkou normálového vektora n k rovine:

Výsledné číslo je vzdialenosť. Pozrime sa, ako táto veta funguje v praxi.

Už sme odvodili parametrické rovnice priamky v rovine, získajme parametrické rovnice priamky, ktorá je daná v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore.

Nech je pravouhlý súradnicový systém fixovaný v trojrozmernom priestore Oxyz. Definujme priamku a(pozrite si časť o definovaní priamky v priestore) zadaním smerového vektora priamky a súradnice nejakého bodu na priamke . Z týchto údajov budeme vychádzať pri zostavovaní parametrických rovníc priamky v priestore.

Nech je ľubovoľný bod v trojrozmernom priestore. Ak odpočítame od súradníc bodu M zodpovedajúce súradnice bodu M 1, potom dostaneme súradnice vektora (pozri článok hľadanie súradníc vektora podľa súradníc bodov jeho konca a začiatku), tj. .

Je zrejmé, že množina bodov definuje priamku A vtedy a len vtedy, ak sú vektory a kolineárne.

Zapíšme si nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby vektory boli kolineárne A : , kde je nejaké reálne číslo. Výsledná rovnica sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore. Vektorovo-parametrická rovnica priamky v súradnicovom tvare má tvar a predstavuje parametrické rovnice priamky a. Názov "parametrický" nie je náhodný, pretože súradnice všetkých bodov čiary sú špecifikované pomocou parametra .

Uveďme príklad parametrických rovníc priamky v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz vo vesmíre: . Tu

15. Uhol medzi priamkou a rovinou. Priesečník priamky s rovinou.

Ľubovoľná rovnica prvého stupňa vzhľadom na súradnice x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)

definuje rovinu a naopak: ľubovoľnú rovinu možno znázorniť rovnicou (3.1), ktorá je tzv rovinná rovnica.

Vektor n(A, B, C) sa nazýva kolmá k rovine normálny vektor lietadlá. V rovnici (3.1) sa koeficienty A, B, C súčasne nerovnajú 0.

Špeciálne prípady rovnice (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - rovina prechádza počiatkom.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - rovina je rovnobežná s osou Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - rovina prechádza osou Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - rovina je rovnobežná s rovinou Oyz.

Rovnice súradnicovej roviny: x = 0, y = 0, z = 0.

Rovná čiara v priestore môže byť daná:

1) ako priesečník dvoch rovín, t.j. sústava rovníc:

Aix + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)

2) jeho dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom je priamka, ktorá nimi prechádza, daná rovnicami:

3) k nemu patriaci bod M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektor a(m, n, p), s kolineárne. Potom je priamka určená rovnicami:

. (3.4)

Nazývajú sa rovnice (3.4). kanonické rovnice priamky.

Vektor a volal vodiť vektor rovno.

Parametrické rovnice priamky získame tak, že každý zo vzťahov (3.4) zrovnáme s parametrom t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + bod. (3,5)

Systém riešenia (3.2) ako systém lineárne rovnice relatívne neznámy X A r, dospejeme k rovniciam priamky v projekcie alebo k redukované priamkové rovnice:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od rovníc (3.6) možno prejsť ku kanonickým rovniciach, nájsť z z každej rovnice a prirovnanie výsledných hodnôt:

Od všeobecných rovníc (3.2) sa dá prejsť ku kanonickým rovniciam aj iným spôsobom, ak nájdeme ľubovoľný bod tejto priamky a jej smerový vektor. n= [n 1 , n 2], kde n 1 (A1, B1, C1) a n 2 (A 2, B 2, C 2) - normálne vektory dané lietadlá. Ak jeden z menovateľov m,n alebo R v rovniciach (3.4) sa rovná nule, potom musí byť čitateľ príslušného zlomku nastavený na nulu, t.j. systému

sa rovná systému ; takáto čiara je kolmá na os x.

systém je ekvivalentné systému x = x 1 , y = y 1 ; priamka je rovnobežná s osou Oz.

Príklad 1.15. Napíšte rovnicu roviny s vedomím, že bod A (1, -1,3) slúži ako základňa kolmice vedenej z počiatku k tejto rovine.

Riešenie. Podľa stavu problému, vektora OA(1,-1,3) je normálový vektor roviny, potom jeho rovnicu môžeme zapísať ako
x-y+3z+D=0. Dosadením súradníc bodu A(1,-1,3) prislúchajúceho rovine zistíme D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Takže x-y+3z-11=0.

Príklad 1.16. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu osou Oz a zvierajúcu s rovinou 2x+y-z-7=0 uhol 60 stupňov.

Riešenie. Rovina prechádzajúca osou Oz je daná rovnicou Ax+By=0, kde A a B nezanikajú súčasne. Nech B nie
je 0, A/Bx+y=0. Podľa vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma rovinami

Rozhodovanie kvadratická rovnica 3m 2 + 8m - 3 = 0, nájdite jeho korene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, z čoho dostaneme dve roviny 1/3x+y = 0 a -3x+y = 0.

Príklad 1.17. Napíšte kanonické rovnice priamky:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Riešenie. Kanonické rovnice priamky majú tvar:

Kde m, n, str- súradnice smerového vektora priamky, x1, y1, z1- súradnice ľubovoľného bodu prislúchajúceho k priamke. Priamka je definovaná ako priesečník dvoch rovín. Na nájdenie bodu prislúchajúceho priamke sa zafixuje jedna zo súradníc (najjednoduchšie je zadať napr. x=0) a výsledná sústava sa rieši ako sústava lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Nech teda x=0, potom y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, odkiaľ y=-1, z=1. Našli sme súradnice bodu M (x 1, y 1, z 1) prislúchajúceho tejto priamke: M (0,-1,1). Smerový vektor priamky sa dá ľahko nájsť, ak poznáme normálové vektory pôvodných rovín n 1 (5,1,1) a n 2(2,3,-2). Potom

Kanonické rovnice priamky sú: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Príklad 1.18. V lúči definovanom rovinami 2x-y+5z-3=0 a x+y+2z+1=0 nájdite dve kolmé roviny, z ktorých jedna prechádza bodom M(1,0,1).

Riešenie. Rovnica lúča definovaná týmito rovinami je u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kde u a v súčasne nezanikajú. Rovnicu lúča prepíšeme takto:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Aby sme z lúča vybrali rovinu prechádzajúcu bodom M, dosadíme súradnice bodu M do rovnice lúča. Dostaneme:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v = 0 alebo v = - u.

Potom nájdeme rovnicu roviny obsahujúcej M dosadením v = - u do rovnice lúča:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Pretože u¹0 (inak v=0, a to je v rozpore s definíciou lúča), potom máme rovnicu roviny x-2y+3z-4=0. Druhá rovina patriaca lúču musí byť naň kolmá. Podmienku ortogonality rovín napíšeme:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0 alebo v = - 19/5u.

Rovnica druhej roviny má teda tvar:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 alebo 9x +24y + 13z + 34 = 0

Prvá úroveň

Súradnice a vektory. Komplexný sprievodca (2019)

V tomto článku začneme vy a ja diskusiu o jednej „kúzelnej palici“, ktorá vám umožní zredukovať mnohé problémy v geometrii na jednoduchú aritmetiku. Tento „prútik“ vám môže výrazne uľahčiť život, najmä keď sa cítite neisto pri stavaní priestorových figúrok, rezov atď. To všetko si vyžaduje určitú predstavivosť a praktické zručnosti. Metóda, ktorú tu začneme uvažovať, vám umožní takmer úplne abstrahovať od všetkých druhov geometrických konštrukcií a úvah. Metóda sa volá "súradnicová metóda". V tomto článku sa budeme zaoberať nasledujúcimi otázkami:

Súradnicová rovina
Body a vektory v rovine
Vytvorenie vektora z dvoch bodov
Dĺžka vektora (vzdialenosť medzi dvoma bodmi).
Stredové súradnice
Bodový súčin vektorov
Uhol medzi dvoma vektormi

Myslím, že ste už uhádli, prečo sa tak nazýva súradnicová metóda? Je pravda, že dostal taký názov, pretože nepracuje s geometrickými objektmi, ale s ich číselné charakteristiky(súradnice). A samotná transformácia, ktorá umožňuje prejsť od geometrie k algebre, spočíva v zavedení súradnicového systému. Ak bol pôvodný obrazec plochý, súradnice sú dvojrozmerné a ak je obrazec trojrozmerný, súradnice sú trojrozmerné. V tomto článku sa budeme zaoberať iba dvojrozmerným prípadom. A hlavným cieľom článku je naučiť vás používať niektoré základné techniky súradnicovej metódy (niekedy sa ukážu ako užitočné pri riešení úloh z planimetrie v časti B Jednotnej štátnej skúšky). Nasledujúce dve časti na túto tému sú venované diskusii o metódach riešenia úloh C2 (problém stereometrie).

Kde by bolo logické začať diskutovať o metóde súradníc? Pravdepodobne s konceptom súradnicového systému. Spomeňte si, keď ste ju prvýkrát stretli. Zdá sa mi, že v 7. ročníku, keď ste sa dozvedeli o existencii lineárna funkcia, Napríklad. Dovoľte mi pripomenúť, že ste to postavili bod po bode. Pamätáš si? Vybrali ste si ľubovoľné číslo, dosadili ste ho do vzorca a vypočítali ste týmto spôsobom. Napríklad, ak, potom, ak, potom atď. Čo ste dosiahli ako výsledok? A dostali ste body so súradnicami: a. Ďalej ste si nakreslili „kríž“ (súradnicový systém), zvolili ste na ňom mierku (koľko buniek budete mať ako jeden segment) a označili ste na ňom body, ktoré ste na ňom získali, ktoré ste potom spojili priamkou, výsledný čiara je graf funkcie.

Existuje niekoľko vecí, ktoré vám treba vysvetliť trochu podrobnejšie:

1. Vyberiete si jeden segment z dôvodu pohodlia, aby všetko pekne a kompaktne zapadalo do obrazu

2. Predpokladá sa, že os ide zľava doprava a os ide zdola nahor

3. Pretínajú sa v pravom uhle a ich priesečník sa nazýva počiatok. Označuje sa písmenom.

4. V zázname súradnice bodu je napríklad vľavo v zátvorke súradnica bodu pozdĺž osi a vpravo pozdĺž osi. Najmä jednoducho znamená, že bod

5. Ak chcete nastaviť ľubovoľný bod na súradnicovej osi, musíte zadať jeho súradnice (2 čísla)

6. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

7. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

8. Os sa nazýva os x

9. Os sa nazýva os y

Teraz urobme s vami ďalší krok: označte dva body. Spojte tieto dva body čiarou. A šípku umiestnime tak, ako keby sme kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasmerujeme!

Pamätáte si, aký je iný názov pre riadený segment? Presne tak, volá sa to vektor!

Ak teda spojíme bodku s bodkou, a začiatok bude bod A a koniec bude bod B, potom dostaneme vektor. Túto stavbu ste robili aj v 8. ročníku, pamätáte?

Ukazuje sa, že vektory, podobne ako body, môžu byť označené dvoma číslami: tieto čísla sa nazývajú súradnice vektora. Otázka: myslíte si, že nám stačí poznať súradnice začiatku a konca vektora, aby sme našli jeho súradnice? Ukazuje sa, že áno! A je to veľmi jednoduché:

Keďže vo vektore je bod začiatkom a koncom, vektor má nasledujúce súradnice:

Napríklad ak, tak súradnice vektora

Teraz urobme opak, nájdime súradnice vektora. Čo k tomu musíme zmeniť? Áno, musíte vymeniť začiatok a koniec: teraz bude začiatok vektora v bode a koniec v bode. potom:

Pozrite sa pozorne, aký je rozdiel medzi vektormi a? Ich jediným rozdielom sú znaky v súradniciach. Sú opačné. Táto skutočnosť je napísaná takto:

Niekedy, ak nie je konkrétne uvedené, ktorý bod je začiatok vektora a ktorý koniec, potom sa vektory neoznačujú dvoma veľkými písmenami, ale jedným malým písmenom, napríklad: atď.

Teraz trochu prax a nájdite súradnice nasledujúcich vektorov:

Vyšetrenie:

Teraz vyriešte problém trochu zložitejšie:

Vektorový torus so šrotom on-cha v bode má co-or-di-on-you. Nájdite-di-te abs-cis-su body.

To isté je celkom prozaické: Nech sú súradnice bodu. Potom

Systém som zostavil tak, že som určil, aké sú súradnice vektora. Potom má bod súradnice. Nás zaujíma abscisa. Potom

odpoveď:

Čo ešte môžete robiť s vektormi? Áno, takmer všetko je rovnaké ako pri bežných číslach (okrem toho, že nemôžete deliť, ale môžete násobiť dvoma spôsobmi, o jednom z nich tu budeme diskutovať o niečo neskôr)

Vektory môžu byť navzájom stohované
Vektory je možné od seba odčítať
Vektory je možné násobiť (alebo deliť) ľubovoľným nenulovým číslom
Vektory sa môžu navzájom násobiť

Všetky tieto operácie majú celkom vizuálne geometrické znázornenie. Napríklad pravidlo trojuholníka (alebo rovnobežníka) na sčítanie a odčítanie:

Vektor sa pri vynásobení alebo delení číslom natiahne, zmenší alebo zmení smer:

Tu nás však bude zaujímať otázka, čo sa stane so súradnicami.

1. Pri sčítaní (odčítaní) dvoch vektorov pripočítavame (odčítame) ich súradnice prvok po prvku. To je:

2. Pri násobení (delení) vektora číslom sa všetky jeho súradnice vynásobia (delia) týmto číslom:

Napríklad:

· Nájsť-di-súčet ko-alebo-di-nat storočia-k-ra.

Najprv nájdime súradnice každého z vektorov. Obe majú rovnaký pôvod - východiskový bod. Ich konce sú rôzne. Potom, . Teraz vypočítame súradnice vektora Potom sa súčet súradníc výsledného vektora rovná.

odpoveď:

Teraz vyriešte nasledujúci problém sami:

· Nájdite súčet súradníc vektora

Kontrolujeme:

Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: v rovine súradníc máme dva body. Ako zistiť vzdialenosť medzi nimi? Nech je prvý bod a druhý. Označme vzdialenosť medzi nimi ako . Pre prehľadnosť urobme nasledujúci nákres:

Čo som urobil? Najprv som sa pripojil body a, a tiež nakreslil čiaru rovnobežnú s osou z bodu a nakreslil čiaru rovnobežnú s osou z bodu. Pretínali sa v určitom bode a vytvorili nádhernú postavu? Prečo je úžasná? Áno, vy a ja vieme takmer všetko správny trojuholník. No určite Pytagorova veta. Požadovaný segment je prepona tohto trojuholníka a segmenty sú nohy. Aké sú súradnice bodu? Áno, dajú sa ľahko nájsť z obrázku: Keďže segmenty sú rovnobežné s osami a ich dĺžky sa dajú ľahko nájsť: ak označíme dĺžky segmentov, resp.

Teraz použijeme Pytagorovu vetu. Poznáme dĺžky nôh, nájdeme preponu:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je teda súčtom druhej mocniny rozdielov od súradníc. Alebo - vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. Je ľahké vidieť, že vzdialenosť medzi bodmi nezávisí od smeru. potom:

Z toho vyvodíme tri závery:

Poďme si trochu precvičiť výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi:

Napríklad, ak, potom vzdialenosť medzi a je

Alebo poďme inak: nájdite súradnice vektora

A nájdite dĺžku vektora:

Ako vidíte, je to to isté!

Teraz si trochu zacvičte sami:

Úloha: nájdite vzdialenosť medzi danými bodmi:

Kontrolujeme:

Tu je niekoľko ďalších problémov pre rovnaký vzorec, aj keď znejú trochu inak:

1. Nájdite-di-te druhú mocninu dĺžky očného viečka-ra.

2. Nai-di-te štvorec dĺžky očného viečka-to-ra

Hádam ich ľahko zvládnete? Kontrolujeme:

1. A to je pre pozornosť) Súradnice vektorov sme už našli predtým: . Potom má vektor súradnice. Štvorec jeho dĺžky bude:

2. Nájdite súradnice vektora

Potom je štvorec jeho dĺžky

Nič zložité, však? Jednoduchá aritmetika, nič viac.

Nasledujúce hádanky sa nedajú jednoznačne zaradiť, sú skôr pre všeobecnú erudíciu a schopnosť kresliť jednoduché obrázky.

1. Nájdite-di-tie sínusy uhla na-klo-na-od-rezu, spojte-n-n-tý bod, s osou x.

Ako to tu urobíme? Musíte nájsť sínus uhla medzi a osou. A kde môžeme hľadať sínus? Presne tak, v pravouhlom trojuholníku. Čo teda musíme urobiť? Postavte tento trojuholník!

Vzhľadom k tomu, súradnice bodu a, potom segment je rovnaký, a segment. Musíme nájsť sínus uhla. Dovoľte mi pripomenúť, že sínus je pomer opačnej nohy k prepone

Čo nám ostáva robiť? Nájdite preponu. Môžete to urobiť dvoma spôsobmi: pomocou Pytagorovej vety (nohy sú známe!) alebo pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi (v skutočnosti rovnako ako prvá metóda!). Pôjdem druhou cestou:

odpoveď:

Ďalšia úloha sa vám bude zdať ešte jednoduchšia. Ona - na súradniciach bodu.

Úloha 2. Z bodu sa per-pero-di-ku-lar spustí na abs-ciss os. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Urobme si kresbu:

Základňa kolmice je bod, v ktorom pretína os x (os) pre mňa je to bod. Obrázok ukazuje, že má súradnice: . Nás zaujíma abscisa – teda zložka „X“. Je rovnocenná.

odpoveď: .

Úloha 3. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite súčet vzdialeností od bodu k súradnicovým osám.

Úloha je vo všeobecnosti elementárna, ak viete, aká je vzdialenosť od bodu k osám. Vieš? Dúfam, ale stále pripomínam:

Takže na mojej kresbe umiestnenej o niečo vyššie som už jednu takúto kolmicu znázornil? Aká je to os? do osi. A aká je potom jeho dĺžka? Je rovnocenná. Teraz sami nakreslite kolmicu na os a nájdite jej dĺžku. Bude to rovnaké, však? Potom sa ich súčet rovná.

odpoveď: .

Úloha 4. V podmienkach úlohy 2 nájdite súradnicu bodu symetrickú k bodu okolo osi x.

Myslím, že intuitívne chápete, čo je symetria? Má ju veľmi veľa predmetov: veľa budov, stolov, rovín, veľa geometrických tvarov: guľa, valec, štvorec, kosoštvorec atď. Zhruba povedané, symetriu možno chápať takto: postava sa skladá z dvoch (alebo viacerých) identické polovice. Táto symetria sa nazýva axiálna. Čo je potom os? Toto je presne čiara, pozdĺž ktorej sa dá postava relatívne povedané „rozrezať“ na rovnaké polovice (na tomto obrázku je os symetrie rovná):

Teraz sa vráťme k našej úlohe. Vieme, že hľadáme bod, ktorý je symetrický okolo osi. Potom je táto os osou symetrie. Takže musíme označiť bod tak, aby os rozrezala segment na dve rovnaké časti. Skúste si sami vyznačiť takýto bod. Teraz porovnajte s mojím riešením:

Urobili ste to isté? Dobre! V nájdenom bode nás zaujíma ordináta. Je rovnocenná

odpoveď:

Teraz mi povedzte, po chvíli premýšľania, aká bude úsečka bodu súmerného k bodu A podľa osi y? Aká je vaša odpoveď? Správna odpoveď: .

Vo všeobecnosti môže byť pravidlo napísané takto:

Bod symetrický k bodu okolo osi x má súradnice:

Bod symetrický k bodu okolo osi y má súradnice:

No teraz je to naozaj strašné. úloha: Nájdite súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na počiatok. Najprv premýšľajte o sebe a potom sa pozrite na moju kresbu!

odpoveď:

Teraz Problém s paralelogramom:

Úloha 5: Body sú ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi: logikou a súradnicovou metódou. Najprv použijem súradnicovú metódu a potom vám poviem, ako sa môžete rozhodnúť inak.

Je celkom jasné, že úsečka bodu je rovná. (leží na kolmici vedenej z bodu na os x). Musíme nájsť súradnicu. Využime skutočnosť, že naša postava je rovnobežník, čo znamená, že. Nájdite dĺžku segmentu pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Znížime kolmicu spájajúcu bod s osou. Priesečník je označený písmenom.

Dĺžka segmentu je rovnaká. (nájdite si problém sami, kde sme diskutovali o tomto momente), potom zistíme dĺžku segmentu pomocou Pytagorovej vety:

Dĺžka segmentu je presne rovnaká ako jeho ordináta.

odpoveď: .

Iné riešenie (poskytnem iba obrázok, ktorý to ilustruje)

Priebeh riešenia:

1. Stráviť

2. Nájdite súradnice a dĺžku bodu

3. Dokážte to.

Ďalší problém s dĺžkou rezu:

Body sú-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary, par-ral-lel-noy.

Pamätáš si, čo to je? stredná čiara trojuholník? Potom je pre vás táto úloha základná. Ak si nepamätáte, potom vám pripomeniem: stredná čiara trojuholníka je čiara, ktorá spája stredy protiľahlé strany. Je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.

Základom je segment. Jeho dĺžku sme museli hľadať skôr, je rovnaká. Potom je dĺžka stredovej čiary polovičná a rovnaká.

odpoveď: .

Komentár: Tento problém sa dá vyriešiť aj iným spôsobom, ktorému sa budeme venovať o niečo neskôr.

Zatiaľ je tu pre vás niekoľko úloh, precvičte si ich, sú celkom jednoduché, ale pomáhajú vám „naplniť ruku“ pomocou súradnicovej metódy!

1. Body sa objavia-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary.

2. Body a yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

3. Nájdite dĺžku z rezu, pripojte druhý bod a

4. Nájdite-di-te oblasť pre-the-red-shen-noy fi-gu-ry na rovine ko-or-di-nat-noy.

5. Kruh so stredom na-cha-le ko-or-di-nat prechádza bodom. Nájdite-de-te jej ra-di-fúzy.

6. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, popíš-san-noy blízko pravého-uhla-no-ka, vrcholy-shi-ny niečoho-ro-go majú ko-alebo - di-na-si spolu-od-odpovede-ale

Riešenia:

1. Je známe, že stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov. Základ je rovnaký, ale základ. Potom

odpoveď:

2. Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je všimnúť si to (pravidlo rovnobežnosti). Vypočítajte súradnice vektorov a nie je ťažké: . Pri pridávaní vektorov sa súradnice pridávajú. Potom má súradnice. Bod má rovnaké súradnice, keďže začiatok vektora je bod so súradnicami. Zaujíma nás ordinát. Je rovnocenná.

odpoveď:

3. Okamžite konáme podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

odpoveď:

4. Pozrite sa na obrázok a povedzte, medzi ktoré dve čísla je „vtlačená“ vytieňovaná oblasť? Je vložený medzi dva štvorce. Potom sa plocha požadovaného čísla rovná ploche veľkého štvorca mínus plocha malého. Strana malého štvorca je segment spájajúci body a jeho dĺžka je

Potom je plocha malého námestia

To isté robíme s veľkým štvorcom: jeho strana je segment spájajúci body a jeho dĺžka sa rovná

Potom je plocha veľkého námestia

Oblasť požadovaného obrázku sa zistí podľa vzorca:

odpoveď:

5. Ak má kruh počiatok ako stred a prechádza bodom, potom sa jeho polomer bude presne rovnať dĺžke segmentu (nakreslite a pochopíte, prečo je to zrejmé). Nájdite dĺžku tohto segmentu:

odpoveď:

6. Je známe, že polomer kružnice opísanej obdĺžniku sa rovná polovici jeho uhlopriečky. Nájdite dĺžku ktorejkoľvek z dvoch uhlopriečok (napokon, v obdĺžniku sú rovnaké!)

odpoveď:

No zvládli ste všetko? Nebolo také ťažké na to prísť, však? Platí tu len jedno pravidlo – vedieť si urobiť vizuálny obraz a jednoducho z neho „prečítať“ všetky údaje.

Zostáva nám veľmi málo. Sú tu doslova dva ďalšie body, o ktorých by som chcel diskutovať.

Pokúsme sa vyriešiť tento jednoduchý problém. Nechajte dva body a budú dané. Nájdite súradnice stredu segmentu. Riešenie tohto problému je nasledovné: nech je bod požadovaný stred, potom má súradnice:

To je: súradnice stredu segmentu = aritmetický priemer zodpovedajúcich súradníc koncov segmentu.

Toto pravidlo je veľmi jednoduché a študentom zvyčajne nespôsobuje ťažkosti. Pozrime sa, v akých problémoch a ako sa používa:

1. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu se-re-di-us z-cut, connect-nya-yu-th-th-th point and

2. Body sú yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu body re-re-se-che-niya jeho dia-go-on-lei.

3. Nájdite-di-te abs-cis-su stredu kruhu, popíšte-san-noy blízko obdĺžnika-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go co-alebo-di- na-ty spolu-od-vet-stvenno-ale.

Riešenia:

1. Prvá úloha je len klasika. Okamžite konáme určením stredu segmentu. Má súradnice. Súradnica je rovnaká.

odpoveď:

2. Ľahko je vidieť, že daný štvoruholník je rovnobežník (aj kosoštvorec!). Môžete to dokázať sami vypočítaním dĺžok strán a ich vzájomným porovnaním. Čo viem o rovnobežníku? Jeho uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom! Aha! Aký je teda priesečník uhlopriečok? Toto je stred ktorejkoľvek z uhlopriečok! Vyberiem si najmä uhlopriečku. Potom má bod súradnice a ordináta bodu je rovná.

odpoveď:

3. Aký je stred kružnice opísanej okolo obdĺžnika? Zhoduje sa s priesečníkom jej uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika? Sú rovnaké a priesečník je rozdelený na polovicu. Úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu. Vezmite si napríklad uhlopriečku. Potom, ak je stred opísanej kružnice, potom je stred. Hľadám súradnice: Úsečka sa rovná.

odpoveď:

Teraz si trochu zacvičte sami, na každý problém uvediem len odpovede, aby ste sa mohli skontrolovať.

1. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, opis-san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy niekoho-ro-go majú ko-or-di -no misters

2. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu stred kruhu, opíšte san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go súradnice

3. Aký druh ra-di-y-sa by mal byť kruh so stredom v bode, aby sa dotýkal osi abs-ciss?

4. Nájdite-di-te alebo-di-na-tom bode re-re-se-che-ing osi a od-rezaného, spojte-nya-yu-tého bodu a

Odpovede:

Vyšlo všetko? Naozaj v to dúfam! Teraz - posledné stlačenie. Teraz buďte obzvlášť opatrní. Materiál, ktorý teraz vysvetlím, priamo súvisí nielen s jednoduché úlohy na súradnicovú metódu z časti B, ale vyskytuje sa všade aj v úlohe C2.

Ktorý z mojich sľubov som ešte nedodržal? Pamätáte si, aké operácie s vektormi som sľúbil zaviesť a ktoré som nakoniec zaviedol? Som si istý, že som na nič nezabudol? Zabudol! Zabudol som vysvetliť, čo znamená násobenie vektorov.

Existujú dva spôsoby, ako vynásobiť vektor vektorom. V závislosti od zvolenej metódy získame objekty rôzneho charakteru:

Vektorový produkt je dosť zložitý. Ako to urobiť a prečo je to potrebné, budeme s vami diskutovať v ďalšom článku. A v tomto sa zameriame na skalárny súčin.

Existujú dva spôsoby, ktoré nám umožňujú vypočítať ho:

Ako ste uhádli, výsledok by mal byť rovnaký! Pozrime sa teda najprv na prvý spôsob:

Bodka produktu cez súradnice

Nájdite: - bežný zápis pre bodový súčin

Vzorec na výpočet je nasledujúci:

To znamená, že bodový súčin = súčet súčinov súradníc vektorov!

Príklad:

Nájsť-dee-te

Riešenie:

Nájdite súradnice každého z vektorov:

Skalárny súčin vypočítame podľa vzorca:

odpoveď:

Vidíte, absolútne nič zložité!

No a teraz to skúste sami:

Nájsť-di-te skalárne-noe pro-od-ve-de-nie storočia-do priekopy a

Zvládli ste to? Možno si všimol malý trik? Skontrolujme to:

Vektorové súradnice, ako v predchádzajúcej úlohe! Odpoveď: .

Okrem súradnice existuje ďalší spôsob, ako vypočítať skalárny súčin, a to prostredníctvom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Označuje uhol medzi vektormi a.

To znamená, že skalárny súčin sa rovná súčinu dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Prečo potrebujeme tento druhý vzorec, ak máme prvý, ktorý je oveľa jednoduchší, najmenej neexistujú žiadne kosínusy. A potrebujeme to, aby sme z prvého a druhého vzorca odvodili, ako nájsť uhol medzi vektormi!

Potom si zapamätajte vzorec pre dĺžku vektora!

Ak potom tieto údaje zapojím do vzorca bodového produktu, dostanem:

Ale inak:

Takže čo máme? Teraz máme vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi! Niekedy sa pre stručnosť píše aj takto:

To znamená, že algoritmus na výpočet uhla medzi vektormi je nasledujúci:

Skalárny súčin vypočítame cez súradnice
Nájdite dĺžky vektorov a vynásobte ich
Výsledok z bodu 1 vydeľte výsledkom z bodu 2

Precvičme si na príkladoch:

1. Nájdite uhol medzi viečkami-k-ra-mi a. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

2. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite kosínus medzi vektormi

Poďme na to: Pomôžem vám vyriešiť prvý problém a druhý skúste vyriešiť sami! súhlasíte? Tak začnime!

1. Tieto vektory sú naši starí priatelia. Už sme zvažovali ich skalárny súčin a bol rovný. Ich súradnice sú: , . Potom zistíme ich dĺžky:

Potom hľadáme kosínus medzi vektormi:

Aký je kosínus uhla? Toto je roh.

odpoveď:

No a teraz vyriešte druhý problém sami a potom porovnajte! Dám len veľmi krátke riešenie:

2. má súradnice, má súradnice.

Dovoliť je uhol medzi vektormi a, potom

odpoveď:

Treba poznamenať, že úlohy priamo na vektoroch a metóda súradníc v časti B skúšobnej práce sú pomerne zriedkavé. Prevažná väčšina problémov C2 sa však dá jednoducho vyriešiť zavedením súradnicového systému. Takže tento článok môžete považovať za základ, na základe ktorého urobíme dosť ošemetné konštrukcie, ktoré budeme potrebovať na riešenie zložitých problémov.

SÚRADNICE A VEKTORY. STREDNÁ ÚROVEŇ

Vy a ja pokračujeme v štúdiu metódy súradníc. V minulej časti sme vydedukovali sériu dôležité vzorce, ktoré umožňujú:

Nájdite vektorové súradnice
Nájdite dĺžku vektora (alternatívne: vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
Sčítajte, odčítajte vektory. Vynásobte ich skutočným číslom
Nájdite stred segmentu
Vypočítajte bodový súčin vektorov
Nájdite uhol medzi vektormi

Samozrejme, celá súradnicová metóda sa do týchto 6 bodov nezmestí. Je základom takej vedy, ako je analytická geometria, s ktorou sa zoznámite na univerzite. Chcem len vybudovať základ, ktorý vám umožní riešiť problémy v jedinom štáte. skúška. Prišli sme na úlohy časti B v Teraz je čas posunúť sa na kvalitatívne novú úroveň! Tento článok bude venovaný metóde riešenia tých problémov C2, pri ktorých by bolo rozumné prejsť na súradnicovú metódu. Táto primeranosť je určená tým, čo je potrebné v probléme nájsť a aký údaj je daný. Použil by som teda metódu súradníc, ak sú otázky:

Nájdite uhol medzi dvoma rovinami
Nájdite uhol medzi čiarou a rovinou
Nájdite uhol medzi dvoma čiarami
Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine
Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare
Nájdite vzdialenosť od priamky k rovine
Nájdite vzdialenosť medzi dvoma čiarami

Ak je údaj uvedený v stave problému rotačným telesom (guľa, valec, kužeľ ...)

Vhodné obrázky pre súradnicovú metódu sú:

kváder
Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková)

Tiež podľa mojich skúseností je nevhodné použiť súradnicovú metódu na:

Nájdenie oblastí sekcií
Výpočty objemov telies

Malo by sa však okamžite poznamenať, že tri „nepriaznivé“ situácie pre súradnicovú metódu sú v praxi pomerne zriedkavé. Vo väčšine úloh sa môže stať vaším záchrancom, najmä ak nie ste veľmi silní v trojrozmerných konštrukciách (ktoré sú niekedy dosť zložité).

Aké sú všetky čísla, ktoré som uviedol vyššie? Už nie sú ploché, ako štvorec, trojuholník, kruh, ale objemné! Preto musíme brať do úvahy nie dvojrozmerný, ale trojrozmerný súradnicový systém. Zostavuje sa celkom jednoducho: len okrem úsečky a súradnice zavedieme ďalšiu os, aplikačnú os. Obrázok schematicky znázorňuje ich relatívnu polohu:

Všetky sú navzájom kolmé, pretínajú sa v jednom bode, ktorý nazveme počiatok. Os x, ako predtým, bude označená, zvislá os - a zavedená aplikačná os - .

Ak bol predtým každý bod v rovine charakterizovaný dvoma číslami - úsečkou a ordinátou, potom je každý bod v priestore už opísaný tromi číslami - úsečka, ordináta, aplikácia. Napríklad:

V súlade s tým je úsečka bodu rovná, ordináta je , a aplikácia je .

Niekedy sa úsečka bodu nazýva aj priemet bodu na súradnicovej osi, ordináta je priemet bodu na osi y a applicát je priemet bodu na osi aplikácie. Ak je teda daný bod, potom bod so súradnicami:

sa nazýva premietanie bodu do roviny

Vynára sa prirodzená otázka: sú všetky vzorce odvodené pre dvojrozmerný prípad platné v priestore? Odpoveď je áno, sú len a majú rovnaký vzhľad. Pre malý detail. Myslím, že ste už uhádli, ktorý. Vo všetkých vzorcoch budeme musieť pridať ešte jeden výraz zodpovedný za os aplikácie. Totiž.

1. Ak sú dané dva body: , potom:

Vektorové súradnice:
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi (alebo dĺžka vektora)
Stred segmentu má súradnice

2. Ak sú dané dva vektory: a, potom:

Ich bodový produkt je:
Kosínus uhla medzi vektormi je:

Priestor však nie je taký jednoduchý. Ako viete, pridanie ďalšej súradnice predstavuje významnú rozmanitosť v spektre postáv „žijúcich“ v tomto priestore. A pre ďalšie rozprávanie musím uviesť nejaké, zhruba povedané, „zovšeobecnenie“ priamky. Toto „zovšeobecnenie“ bude rovina. Čo viete o lietadle? Skúste si odpovedať na otázku, čo je lietadlo? Je to veľmi ťažké povedať. Všetci si však intuitívne predstavujeme, ako to vyzerá:

Zhruba povedané, ide o druh nekonečného „listu“ vysunutého do vesmíru. "Nekonečno" by sa malo chápať tak, že rovina sa rozprestiera vo všetkých smeroch, to znamená, že jej plocha sa rovná nekonečnu. Toto vysvetlenie „na prstoch“ však nedáva ani najmenšiu predstavu o štruktúre lietadla. A bude nás to zaujímať.

Pripomeňme si jednu zo základných axióm geometrie:

Priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi v rovine, navyše iba jedným:

Alebo jeho analóg vo vesmíre:

Samozrejme, pamätáte si, ako odvodiť rovnicu priamky z dvoch daných bodov, nie je to vôbec ťažké: ak má prvý bod súradnice: a druhý, potom rovnica priamky bude takáto:

Prešli ste si tým v siedmej triede. V priestore vyzerá rovnica priamky takto: majme dva body so súradnicami: , potom rovnica priamky prechádzajúcej cez ne má tvar:

Napríklad čiara prechádza bodmi:

Ako tomu treba rozumieť? Malo by sa to chápať takto: bod leží na priamke, ak jeho súradnice spĺňajú nasledujúci systém:

Rovnica priamky nás nebude veľmi zaujímať, ale treba si dať pozor na veľmi dôležitý pojem smerového vektora priamky. - ľubovoľný nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežne s ňou.

Napríklad oba vektory sú smerové vektory priamky. Nech je bod ležiaci na priamke a je jeho smerovým vektorom. Potom môže byť rovnica priamky napísaná v nasledujúcom tvare:

Ešte raz, nebudem sa veľmi zaujímať o rovnicu priamky, ale naozaj potrebujem, aby ste si zapamätali, čo je smerový vektor! znova: je to AKÝKOĽVEK nenulový vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežne s ňou.

Odstúpiť trojbodová rovnica roviny už nie je taká triviálna a zvyčajne sa s touto problematikou v kurze nepočíta stredná škola. Ale márne! Táto technika je životne dôležitá, keď sa pri riešení zložitých problémov uchýlime k metóde súradníc. Predpokladám však, že ste plný chuti naučiť sa niečo nové? Okrem toho budete môcť zapôsobiť na svojho učiteľa na univerzite, keď sa ukáže, že už viete, ako používať techniku, ktorá sa zvyčajne študuje v kurze analytickej geometrie. Tak poďme na to.

Rovnica roviny sa príliš nelíši od rovnice priamky v rovine, konkrétne má tvar:

niektoré čísla (nie všetky sa rovnajú nule), ale premenné, napríklad: atď. Ako vidíte, rovnica roviny sa veľmi nelíši od rovnice priamky (lineárna funkcia). Pamätáte si však, čo sme sa s vami hádali? Povedali sme, že ak máme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom sa z nich jednoznačne obnoví rovnica roviny. Ale ako? Pokúsim sa ti to vysvetliť.

Pretože rovinná rovnica je:

A body patria do tejto roviny, potom pri dosadení súradníc každého bodu do rovnice roviny by sme mali dostať správnu identitu:

Preto je potrebné vyriešiť tri rovnice už s neznámymi! Dilema! Vždy však môžeme predpokladať, že (na to musíme deliť). Dostaneme teda tri rovnice s tromi neznámymi:

Takýto systém však nevyriešime, ale napíšeme si z neho vyplývajúci kryptický výraz:

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \vpravo| = 0\]

Stop! čo je ešte toto? Veľmi neobvyklý modul! Objekt, ktorý vidíte pred sebou, však nemá s modulom nič spoločné. Tento objekt sa nazýva determinant tretieho rádu. Odteraz, keď sa v rovine zaoberáte metódou súradníc, často narazíte práve na tieto determinanty. Čo je determinant tretieho rádu? Napodiv je to len číslo. Zostáva pochopiť, aké konkrétne číslo budeme porovnávať s determinantom.

Najprv napíšme determinant tretieho rádu viac všeobecný pohľad:

Kde sú nejaké čísla. Okrem toho prvým indexom rozumieme číslo riadku a indexom číslo stĺpca. Napríklad to znamená, že dané číslo je na priesečníku druhého riadku a tretieho stĺpca. Položme ďalšia otázka: ako presne vypočítame takýto determinant? Teda s akým konkrétnym číslom to budeme porovnávať? Pre determinant presne tretieho rádu existuje heuristické (vizuálne) trojuholníkové pravidlo, ktoré vyzerá takto:

Súčin prvkov hlavnej uhlopriečky (zhora zľava doprava dole) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník „kolmý“ na hlavnú uhlopriečku súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ na hlavnú uhlopriečku uhlopriečka
Súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky (od pravého horného rohu po ľavý dolný) súčin prvkov tvoriacich prvý trojuholník "kolmica" vedľajšej uhlopriečky súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník "kolmica" sekundárnej uhlopriečky
Potom determinant sa rovná rozdielu hodnoty získané v kroku a

Ak to všetko napíšeme číslami, dostaneme nasledujúci výraz:

V tejto forme si však nemusíte zapamätať metódu výpočtu, stačí si ponechať trojuholníky v hlave a samotnú myšlienku toho, čo sa k čomu pridáva a čo sa potom od čoho odpočítava).

Ukážme si trojuholníkovú metódu na príklade:

1. Vypočítajte determinant:

Poďme zistiť, čo pridáme a čo odpočítame:

Výrazy, ktoré sa dodávajú so znamienkom „plus“:

Toto je hlavná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Výrazy, ktoré sú označené „mínusom“

Toto je bočná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Zostáva len odpočítať od súčtu plusových výrazov súčet mínusových výrazov:

teda

Ako vidíte, vo výpočte determinantov tretieho rádu nie je nič zložité a nadprirodzené. Jednoducho je dôležité pamätať na trojuholníky a nerobiť aritmetické chyby. Teraz si skúste spočítať:

Kontrolujeme:

Prvý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
Druhý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
Súčet plusových výrazov:
Prvý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
Druhý trojuholník, kolmý na bočnú uhlopriečku:
Súčet výrazov s mínusom:
Súčet plusových výrazov mínus súčet mínusových výrazov:

Tu je pre vás niekoľko ďalších determinantov, vypočítajte ich hodnoty sami a porovnajte ich s odpoveďami:

Odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Skvelé, potom môžete pokračovať! Ak existujú ťažkosti, moja rada je takáto: na internete existuje veľa programov na výpočet determinantu online. Všetko, čo potrebujete, je prísť s vlastným determinantom, vypočítať si ho a potom porovnať s tým, čo vypočíta program. A tak ďalej, kým sa výsledky nezačnú zhodovať. Som si istý, že táto chvíľa na seba nenechá dlho čakať!

Teraz sa vráťme k determinantu, ktorý som napísal, keď som hovoril o rovnici roviny prechádzajúcej cez tri dané body:

Stačí priamo vypočítať jeho hodnotu (metódou trojuholníka) a výsledok nastaviť na nulu. Prirodzene, keďže ide o premenné, dostanete nejaký výraz, ktorý od nich závisí. Práve tento výraz bude rovnicou roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke!

Ilustrujme si to na jednoduchom príklade:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Pre tieto tri body vytvoríme determinant:

Zjednodušenie:

Teraz to vypočítame priamo podľa pravidla trojuholníkov:

\[(\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\koniec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Takže rovnica roviny prechádzajúcej bodmi je:

Teraz sa pokúste vyriešiť jeden problém sami a potom o ňom budeme diskutovať:

2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Nuž, poďme teraz diskutovať o riešení:

Urobíme determinant:

A vypočítajte jeho hodnotu:

Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo znížením o dostaneme:

Teraz dve úlohy na sebaovládanie:

Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Opäť, ak existujú určité ťažkosti, moja rada je takáto: vezmite si tri body z hlavy (s vysokou pravdepodobnosťou nebudú ležať na jednej priamke), postavte na ne rovinu. A potom sa overte online. Napríklad na stránke:

Pomocou determinantov však zostrojíme nielen rovnicu roviny. Pamätajte si, že som vám povedal, že pre vektory nie je definovaný iba bodový súčin. Existuje aj vektor, ako aj zmiešaný produkt. A ak skalárny súčin dvoch vektorov bude číslo, potom vektorový súčin dvoch vektorov bude vektor a tento vektor bude kolmý na dané vektory:

A jeho modul bude rovná ploche rovnobežník postavený na vektoroch a. Tento vektor budeme potrebovať na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke. Ako môžeme vypočítať krížový súčin vektorov a ak sú uvedené ich súradnice? Na pomoc nám opäť prichádza determinant tretieho rádu. Avšak predtým, ako prejdem k algoritmu na výpočet krížového súčinu, musím urobiť malú lyrickú odbočku.

Táto odchýlka sa týka základných vektorov.

Schematicky sú znázornené na obrázku:

Prečo si myslíte, že sa nazývajú základné? Faktom je, že:

Alebo na obrázku:

Platnosť tohto vzorca je zrejmá, pretože:

vektorový produkt

Teraz môžem začať predstavovať krížový produkt:

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, ktorý sa vypočíta podľa nasledujúceho pravidla:

Teraz uveďme niekoľko príkladov výpočtu krížového produktu:

Príklad 1: Nájdite krížový súčin vektorov:

Riešenie: Urobím determinant:

A počítam to:

Teraz, od písania cez základné vektory, sa vrátim k obvyklému vektorovému zápisu:

Takto:

Teraz skúste.

pripravený? Kontrolujeme:

A tradične dve úlohy, ktoré treba ovládať:

Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:
Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:

Odpovede:

Zmiešaný súčin troch vektorov

Posledná konštrukcia, ktorú potrebujem, je zmiešaný súčin troch vektorov. Je to ako skalár číslo. Existujú dva spôsoby, ako to vypočítať. - cez determinant, - cez zmiešaný produkt.

Povedzme, že máme tri vektory:

Potom sa zmiešaný súčin troch vektorov, označený ako, môže vypočítať ako:

1. - to znamená, že zmiešaný súčin je skalárny súčin vektora a vektorový súčin dvoch ďalších vektorov

Napríklad zmiešaný produkt troch vektorov je:

Skúste si to vypočítať sami pomocou vektorového súčinu a uistite sa, že sa výsledky zhodujú!

A opäť - dva príklady pre nezávislé riešenie:

Odpovede:

Výber súradnicového systému

Teraz máme všetky potrebné základy vedomostí na riešenie zložitých stereometrických problémov v geometrii. Predtým, ako pristúpim priamo k príkladom a algoritmom na ich riešenie, verím, že bude užitočné pozastaviť sa nad nasledujúcou otázkou: ako presne vyberte súradnicový systém pre konkrétnu postavu. Koniec koncov, je to voľba relatívnu polohu súradnicové systémy a čísla vo vesmíre nakoniec určia, aké ťažkopádne budú výpočty.

Pripomínam, že v tejto časti uvažujeme o nasledujúcich číslach:

kváder
Priamy hranol (trojuholníkový, šesťhranný...)
Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková)
Tetrahedron (rovnaký ako trojuholníková pyramída)

Pre kváder alebo kocku odporúčam nasledujúcu konštrukciu:

To znamená, že postavím postavu „do rohu“. Kocka a krabica sú veľmi dobré figúrky. U nich vždy ľahko nájdete súradnice jej vrcholov. Napríklad, ak (ako je znázornené na obrázku)

potom súradnice vrcholov sú:

Samozrejme, nemusíte si to pamätať, ale je žiaduce zapamätať si, ako najlepšie umiestniť kocku alebo obdĺžnikový box.

rovný hranol

Hranol je škodlivejšia postava. V priestore ho môžete usporiadať rôznymi spôsobmi. Myslím si však, že najlepšou možnosťou je nasledovné:

Trojuholníkový hranol:

To znamená, že jednu zo strán trojuholníka položíme úplne na os a jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom.

Šesťhranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom a jedna zo strán leží na osi.

Štvorhranná a šesťhranná pyramída:

Situácia podobná kocke: spojíme dve strany základne so súradnicovými osami, jeden z vrcholov spojíme s počiatkom. Jediným malým problémom bude výpočet súradníc bodu.

Pre šesťhrannú pyramídu - to isté ako pre šesťhranný hranol. Hlavná úloha bude opäť v hľadaní súradníc vrcholu.

Tetrahedron (trojuholníková pyramída)

Situácia je veľmi podobná tej, ktorú som uviedol pre trojuholníkový hranol: jeden vrchol sa zhoduje s počiatkom, jedna strana leží na súradnicovej osi.

Teraz sme konečne blízko k tomu, aby sme začali riešiť problémy. Z toho, čo som povedal na samom začiatku článku, môžete vyvodiť nasledujúci záver: väčšina problémov C2 spadá do 2 kategórií: problémy s uhlom a problémy so vzdialenosťou. Najprv zvážime problémy pri hľadaní uhla. Na druhej strane sú rozdelené do nasledujúcich kategórií (s rastúcou zložitosťou):

Problémy s hľadaním rohov

Nájdenie uhla medzi dvoma čiarami
Nájdenie uhla medzi dvoma rovinami

Uvažujme tieto problémy postupne: začneme nájdením uhla medzi dvoma priamkami. No tak, pamätajte, riešili sme už podobné príklady? Pamätáte si, pretože niečo podobné sme už mali... Hľadali sme uhol medzi dvoma vektormi. Pripomínam, že ak sú dané dva vektory: a, potom sa uhol medzi nimi zistí zo vzťahu:

Teraz máme cieľ - nájsť uhol medzi dvoma priamkami. Obráťme sa na „plochý obrázok“:

Koľko uhlov získame, keď sa pretnú dve priamky? Už veci. Je pravda, že iba dve z nich nie sú rovnaké, zatiaľ čo iné sú k nim vertikálne (a preto sa s nimi zhodujú). Aký uhol by sme teda mali považovať za uhol medzi dvoma priamkami: alebo? Tu je pravidlo: uhol medzi dvoma priamkami nie je vždy väčší ako stupne. To znamená, že z dvoch uhlov vždy zvolíme uhol s najmenšou mierou stupňov. To znamená, že na tomto obrázku je uhol medzi týmito dvoma čiarami rovnaký. Aby ste sa nemuseli obťažovať zakaždým hľadaním najmenšieho z dvoch uhlov, prefíkaní matematici navrhli použiť modul. Uhol medzi dvoma priamkami je teda určený vzorcom:

Vy, ako pozorný čitateľ, ste si mali položiť otázku: odkiaľ vlastne berieme práve tieto čísla, ktoré potrebujeme na výpočet kosínusu uhla? Odpoveď: vezmeme ich zo smerových vektorov čiar! Algoritmus na nájdenie uhla medzi dvoma čiarami je teda nasledujúci:

Aplikujeme vzorec 1.

Alebo podrobnejšie:

Hľadáme súradnice smerového vektora prvej priamky
Hľadáme súradnice smerového vektora druhého riadku
Vypočítajte modul ich skalárneho súčinu
Hľadáme dĺžku prvého vektora
Hľadáme dĺžku druhého vektora
Vynásobte výsledky z bodu 4 výsledkami z bodu 5
Výsledok bodu 3 vydelíme výsledkom bodu 6. Dostaneme kosínus uhla medzi priamkami
Ak daný výsledok umožňuje presne vypočítať uhol, hľadáme ho
V opačnom prípade píšeme cez arkozínus

No a teraz je čas prejsť k úlohám: riešenie prvých dvoch predvediem podrobne, riešenie ďalšej predstavím v r. zhrnutie, a na posledné dva problémy dám len odpovede, všetky výpočty pre ne musíte vykonať sami.

Úlohy:

1. V pravom tet-ra-ed-re nájdi-di-te uhol medzi tebou-tak-že tet-ra-ed-ra a stranou me-di-a-noy bo-ko-how.

2. V pravom-doprednom six-coal-pi-ra-mi-de sú sto-ro-na-os-no-va-niya akosi rovnaké a bočné rebrá sú rovnaké, nájdite uhol medzi priamym linky a.

3. Dĺžky všetkých hrán pravotočivých štyroch-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy sa navzájom rovnajú. Nájdite uhol medzi priamymi čiarami a ak z-re-zok - vy-tak-to dané pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jej bo-ko-th rebro

4. Na hrane kocky od-me-che-do bodu tak, že Nájdite-di-te uhol medzi priamkami a

5. Bod - se-re-di-na okrajoch kocky Nai-di-te uhol medzi priamkami a.

Nie je náhoda, že som úlohy umiestnil v tomto poradí. Zatiaľ čo ste ešte nemali čas začať navigovať súradnicovou metódou, ja sám analyzujem „najproblémovejšie“ čísla a nechám vás, aby ste sa zaoberali najjednoduchšou kockou! Postupne sa musíte naučiť pracovať so všetkými figúrkami, náročnosť úloh budem zvyšovať z témy na tému.

Začnime riešiť problémy:

1. Nakreslite štvorsten, umiestnite ho do súradnicového systému, ako som navrhol predtým. Keďže štvorsten je pravidelný, všetky jeho steny (vrátane základne) sú pravidelné trojuholníky. Keďže nám nie je daná dĺžka strany, môžem to brať rovnako. Myslím, že chápete, že uhol skutočne nebude závisieť od toho, do akej miery bude náš štvorsten "natiahnutý"?. V štvorstene nakreslím aj výšku a medián. Po ceste nakreslím jej základ (príde nám tiež vhod).

Potrebujem nájsť uhol medzi a. čo my vieme? Poznáme len súradnicu bodu. Musíme teda nájsť viac súradníc bodov. Teraz si myslíme: bod je priesečník výšok (alebo osi alebo stredov) trojuholníka. Bodka je vyvýšený bod. Bod je stredom segmentu. Potom konečne musíme nájsť: súradnice bodov: .

Začnime tým najjednoduchším: súradnicami bodu. Pozrite sa na obrázok: Je jasné, že aplikácia bodu sa rovná nule (bod leží v rovine). Jeho ordináta je rovnaká (pretože je to medián). Je ťažšie nájsť jeho úsečku. To sa však dá ľahko urobiť na základe Pytagorovej vety: Uvažujme trojuholník. Jeho prepona je rovnaká a jedna z nôh je rovnaká Potom:

Nakoniec tu máme:

Teraz nájdime súradnice bodu. Je jasné, že jeho aplikácia sa opäť rovná nule a jeho ordináta je rovnaká ako ordináta bodu, tj. Nájdime jej úsečku. Toto sa robí dosť triviálne, ak si to človek pamätá výšky rovnostranného trojuholníka sú delené priesečníkom v pomere počítanie zhora. Pretože:, potom sa požadovaná úsečka bodu rovná dĺžke úsečky rovná:. Súradnice bodu sú teda:

Nájdeme súradnice bodu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. A nášivka sa rovná dĺžke segmentu. - toto je jedna z nôh trojuholníka. Prepona trojuholníka je segment - noha. Hľadá sa podľa dôvodov, ktoré som zvýraznil tučným písmom:

Bod je stredom segmentu. Potom si musíme zapamätať vzorec pre súradnice stredu segmentu:

To je všetko, teraz môžeme hľadať súradnice smerových vektorov:

Všetko je pripravené: nahradíme všetky údaje vo vzorci:

teda

odpoveď:

Nemali by ste sa báť takýchto „hrozných“ odpovedí: pri problémoch C2 je to bežná prax. Skôr by som sa nechal prekvapiť "krásnou" odpoveďou v tejto časti. Taktiež, ako si poznamenal, prakticky som sa neuchýlil k ničomu inému ako k Pytagorovej vete a vlastnosti výšok rovnostranného trojuholníka. To znamená, že na vyriešenie stereometrického problému som použil minimum stereometrie. Zisk v tomto je čiastočne "uhasený" dosť ťažkopádnymi výpočtami. Ale sú dosť algoritmické!

2. Nakreslite pravidelný šesťuholníkový ihlan spolu so súradnicovým systémom, ako aj jeho základňou:

Musíme nájsť uhol medzi čiarami a. Naša úloha sa teda redukuje na hľadanie súradníc bodov: . Z malého výkresu zistíme súradnice posledných troch a cez súradnicu bodu nájdeme súradnicu vrcholu. Veľa práce, ale treba začať!

a) Súradnica: je jasné, že jej aplikácia a súradnica sú nulové. Nájdeme úsečku. Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník. Bohužiaľ, v ňom poznáme iba preponu, ktorá sa rovná. Pokúsime sa nájsť nohu (pretože je jasné, že dvojnásobok dĺžky nohy nám dá úsečku bodu). Ako to môžeme hľadať? Spomeňme si, akú postavu máme na základni pyramídy? Toto je pravidelný šesťuholník. Čo to znamená? To znamená, že všetky strany a všetky uhly sú rovnaké. Musíme nájsť jeden taký kútik. Nejaké nápady? Existuje veľa nápadov, ale existuje vzorec:

Súčet uhlov pravidelného n-uholníka je .

Súčet uhlov pravidelného šesťuholníka je teda stupňov. Potom sa každý z uhlov rovná:

Pozrime sa ešte raz na obrázok. Je jasné, že segment je osou uhla. Potom je uhol stupňov. potom:

Potom kde.

Má teda súradnice

b) Teraz už ľahko nájdeme súradnicu bodu: .

c) Nájdite súradnice bodu. Keďže jej úsečka sa zhoduje s dĺžkou úsečky, je rovnaká. Nájdenie súradnice tiež nie je veľmi ťažké: ak spojíme body a a označíme priesečník priamky, povedzme pre. (urob si sám jednoduchá konštrukcia). Potom sa teda súradnica bodu B rovná súčtu dĺžok úsečiek. Pozrime sa znova na trojuholník. Potom

Potom od Potom má bod súradnice

d) Teraz nájdite súradnice bodu. Zvážte obdĺžnik a dokážte, že súradnice bodu sú teda:

e) Zostáva nájsť súradnice vrcholu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. Poďme nájsť aplikáciu. Odvtedy. Predstavte si pravouhlý trojuholník. Podľa stavu problému, bočný okraj. Toto je prepona môjho trojuholníka. Potom je výška pyramídy noha.

Potom má bod súradnice:

To je všetko, mám súradnice všetkých bodov záujmu. Hľadám súradnice smerových vektorov priamych čiar:

Hľadáme uhol medzi týmito vektormi:

odpoveď:

Opäť som pri riešení tohto problému nepoužil žiadne sofistikované triky, okrem vzorca pre súčet uhlov pravidelného n-uholníka, ako aj definíciu kosínusu a sínusu pravouhlého trojuholníka.

3. Keďže nám opäť nie sú dané dĺžky hrán v pyramíde, budem ich považovať za rovné jednej. Keďže teda VŠETKY hrany, nielen bočné, sú si navzájom rovné, potom na základni pyramídy a ja leží štvorec a bočné steny sú pravouhlé trojuholníky. Znázornime takú pyramídu, ako aj jej základňu na rovine, pričom označíme všetky údaje uvedené v texte problému:

Hľadáme uhol medzi a. Keď budem hľadať súradnice bodov, urobím veľmi stručné výpočty. Budete ich musieť „dešifrovať“:

b) - stred segmentu. Jej súradnice:

c) Dĺžku úsečky zistím pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Nájdem podľa Pytagorovej vety v trojuholníku.

súradnice:

d) - stred segmentu. Jeho súradnice sú

e) Súradnice vektora

f) Súradnice vektora

g) Hľadanie uhla:

Kocka je najjednoduchšia figúrka. Som si istý, že na to prídeš sám. Odpovede na problémy 4 a 5 sú nasledovné:

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Čas jednoduchých hádaniek sa skončil! Teraz budú príklady ešte ťažšie. Aby sme našli uhol medzi priamkou a rovinou, budeme postupovať takto:

Pomocou troch bodov zostavíme rovnicu roviny
,
pomocou determinantu tretieho rádu.
V dvoch bodoch hľadáme súradnice smerového vektora priamky:
Na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou použijeme vzorec:

Ako vidíte, tento vzorec je veľmi podobný tomu, ktorý sme použili na nájdenie uhlov medzi dvoma čiarami. Štruktúra pravej strany je rovnaká a na ľavej teraz hľadáme sínus a nie kosínus, ako predtým. No a pribudla jedna nepekná akcia – hľadanie rovnice lietadla.

Neodkladajme príklady riešenia:

1. Os-no-va-ni-em straight-moja cena-sme-la-et-xia rovnakí-ale-chudobní-ren-ny trojuholník-prezývku-s-tou cenou-sme si rovní. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou

2. V pravouhlom par-ral-le-le-pi-pe-de zo západu Nai-di-te uhol medzi priamkou a rovinou

3. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou.

4. V pravo trojhrannej pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em od zpadu rebra Nai-di-te uhol, ob-ra-zo-van -ny rovina os. -no-va-niya a straight-my, prechádzajúce cez se-re-di-na rebier a

5. Dĺžky všetkých hrán pravého štvoruholníka pi-ra-mi-dy s vrcholom sú navzájom rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou, ak je bod se-re-di-na bo-ko-in-tej hrane pi-ra-mi-dy.

Opäť prvé dva problémy vyriešim podrobne, tretí - stručne a posledné dva nechám na vás, aby ste si ich vyriešili sami. Okrem toho ste sa už museli vysporiadať s trojuholníkovými a štvoruholníkové pyramídy, ale s hranolmi - zatiaľ nie.

Riešenia:

1. Nakreslite hranol, ako aj jeho základňu. Skombinujme to so súradnicovým systémom a označme všetky údaje, ktoré sú uvedené v probléme:

Ospravedlňujem sa za určité nedodržanie proporcií, ale pre vyriešenie problému to v skutočnosti nie je také dôležité. Lietadlo je len „zadná stena“ môjho hranola. Stačí jednoducho uhádnuť, že rovnica takejto roviny má tvar:

Dá sa to však zobraziť aj priamo:

Vyberieme ľubovoľné tri body v tejto rovine: napríklad .

Urobme rovnicu roviny:

Cvičenie pre vás: vypočítajte si tento determinant sami. Podarilo sa ti to? Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo jednoducho

teda

Na vyriešenie príkladu potrebujem nájsť súradnice smerového vektora priamky. Keďže bod sa zhodoval s počiatkom, súradnice vektora sa jednoducho zhodujú so súradnicami bodu. Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme súradnice bodu.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholník. Nakreslíme výšku (je to aj stred a os) zhora. Pretože potom je ordináta bodu rovnaká. Aby sme našli úsečku tohto bodu, musíme vypočítať dĺžku segmentu. Podľa Pytagorovej vety máme:

Potom má bod súradnice:

Bodka je „vyvýšená“ bodka:

Potom súradnice vektora:

odpoveď:

Ako vidíte, pri riešení takýchto problémov nie je nič zásadne ťažké. V skutočnosti „priamočiarosť“ figúry, ako je hranol, proces ešte o niečo zjednodušuje. Teraz prejdime k ďalšiemu príkladu:

2. Nakreslíme rovnobežnosten, nakreslíme do neho rovinu a priamku a tiež samostatne nakreslíme jeho spodnú základňu:

Najprv nájdeme rovnicu roviny: Súradnice troch bodov, ktoré v nej ležia:

(prvé dve súradnice sa získajú zrejmým spôsobom a poslednú súradnicu môžete ľahko nájsť z obrázka z bodu). Potom zostavíme rovnicu roviny:

Vypočítame:

Hľadáme súradnice smerového vektora: Je jasné, že jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu, však? Ako nájsť súradnice? Toto sú súradnice bodu, zvýšené pozdĺž osi aplikácie o jednu! . Potom hľadáme požadovaný uhol:

odpoveď:

3. Nakreslite pravidelnú šesťhrannú pyramídu a potom do nej nakreslite rovinu a priamku.

Tu je dokonca problematické nakresliť rovinu, nehovoriac o riešení tohto problému, ale súradnicová metóda sa nestará! Práve v jeho všestrannosti je jeho hlavná výhoda!

Rovina prechádza tromi bodmi: . Hľadáme ich súradnice:

1). Zobrazte súradnice posledných dvoch bodov sami. Na to budete musieť vyriešiť problém so šesťhrannou pyramídou!

2) Zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáme súradnice vektora: . (Znova pozri problém s trojuholníkovou pyramídou!)

3) Hľadáme uhol:

odpoveď:

Ako vidíte, v týchto úlohách nie je nič nadprirodzene ťažké. Len musíte byť veľmi opatrní s koreňmi. Na posledné dva problémy dám len odpovede:

Ako vidíte, technika riešenia problémov je všade rovnaká: hlavnou úlohou je nájsť súradnice vrcholov a dosadiť ich do nejakých vzorcov. Zostáva nám zvážiť ešte jednu triedu problémov na výpočet uhlov, a to:

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Algoritmus riešenia bude nasledovný:

Pre tri body hľadáme rovnicu prvej roviny:
Pre ostatné tri body hľadáme rovnicu druhej roviny:
Aplikujeme vzorec:

Ako vidíte, vzorec je veľmi podobný predchádzajúcim dvom, pomocou ktorých sme hľadali uhly medzi priamkami a medzi priamkou a rovinou. Zapamätať si tento teda pre vás nebude ťažké. Poďme rovno k problému:

1. Sto-ro-na základe pravého trojuholníkového hranola je rovnaké a uhlopriečka bočnej steny je rovnaká. Nájdite uhol medzi rovinou a rovinou základne ceny.

2. V pravej-dopredu štyri-you-re-uhlie-noy pi-ra-mi-de sú všetky hrany niekoho rovnaké, nájdite sínus uhla medzi rovinou a rovinou Ko-Stu, prechádzajúc cez bod per-pen-di-ku-lyar-ale rovno-my.

3. V pravidelnom štvoruhoľnom hranole sú strany os-no-va-nia rovnaké a bočné okraje sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že. Nájdite uhol medzi rovinami a

4. V pravom štvorhrannom hranole sú strany základne rovnaké a bočné hrany sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že Nájdite uhol medzi rovinami a.

5. V kocke nájdite ko-sinus uhla medzi rovinami a

Riešenia problémov:

1. Nakreslím ten správny (na základni je rovnostranný trojuholník) trojboký hranol a označím na ňom roviny, ktoré sa objavia v stave problému:

Potrebujeme nájsť rovnice dvoch rovín: Základná rovnica sa získa triviálne: môžete vytvoriť zodpovedajúci determinant pre tri body, ale rovno urobím rovnicu:

Teraz nájdime rovnicu Bod má súradnice Bod - Keďže - medián a výšku trojuholníka, je ľahké ho nájsť pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Potom má bod súradnice: Nájdite aplikáciu bodu Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník

Potom dostaneme tieto súradnice: Zostavíme rovnicu roviny.

Vypočítame uhol medzi rovinami:

odpoveď:

2. Vytvorenie výkresu:

Najťažšie je pochopiť, o akú záhadnú rovinu ide, prechádzajúcu bodom kolmo. No, hlavné je, čo to je? Hlavná vec je pozornosť! V skutočnosti je čiara kolmá. Čiara je tiež kolmá. Potom bude rovina prechádzajúca týmito dvoma čiarami kolmá na čiaru a mimochodom bude prechádzať bodom. Táto rovina prechádza aj vrcholom pyramídy. Potom požadovaná rovina - A rovina je nám už daná. Hľadáme súradnice bodov.

Cez bod nájdeme súradnicu bodu. Z malého nákresu sa dá ľahko vydedukovať, že súradnice bodu budú nasledovné: Čo teraz treba nájsť, aby sme našli súradnice vrcholu pyramídy? Ešte treba vypočítať jeho výšku. To sa robí pomocou rovnakej Pytagorovej vety: najprv to dokážte (triviálne z malých trojuholníkov tvoriacich štvorec na základni). Keďže podľa podmienok máme:

Teraz je všetko pripravené: súradnice vrcholov:

Zostavíme rovnicu roviny:

Už ste odborníkom na výpočet determinantov. Jednoducho dostanete:

Alebo inak (ak obe časti vynásobíme odmocninou z dvoch)

Teraz nájdime rovnicu roviny:

(Nezabudli ste, ako dostaneme rovnicu roviny, však? Ak nerozumiete, odkiaľ sa vzalo toto mínus, vráťte sa k definícii rovnice roviny! Vždy sa ukázalo, že môj lietadlo patrilo k pôvodu!)

Vypočítame determinant:

(Môžete si všimnúť, že rovnica roviny sa zhodovala s rovnicou priamky prechádzajúcej bodmi a! Zamyslite sa prečo!)

Teraz vypočítame uhol:

Musíme nájsť sínus:

odpoveď:

3. Záludná otázka: čo je to pravouhlý hranol, čo myslíš? Pre vás je to len dobre známy rovnobežnosten! Kreslenie hneď! Základňu dokonca nemôžete vykresliť samostatne, tu je málo užitočné:

Rovina, ako sme už uviedli, je napísaná ako rovnica:

Teraz urobíme lietadlo

Okamžite zostavíme rovnicu roviny:

Hľadá sa uhol pohľadu

Teraz odpovede na posledné dva problémy:

Teraz je čas na prestávku, pretože ty a ja sme skvelí a odviedli sme skvelú prácu!

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vami rozoberieme ďalšiu triedu problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou súradnicovej metódy: problémy so vzdialenosťou. Konkrétne budeme uvažovať o nasledujúcich prípadoch:

Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami.

Dané úlohy som si objednal tak, ako sa zvyšuje ich náročnosť. Najjednoduchšie je nájsť vzdialenosť bodu od roviny a najťažšie je nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami. Aj keď, samozrejme, nič nie je nemožné! Neotáľajme a okamžite pristúpme k úvahe o prvej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Čo potrebujeme na vyriešenie tohto problému?

1. Súradnice bodu

Takže hneď ako získame všetky potrebné údaje, použijeme vzorec:

Už by ste mali vedieť, ako zostavujeme rovnicu roviny z predchádzajúcich úloh, ktoré som rozoberal v minulej časti. Poďme hneď na vec. Schéma je nasledovná: 1, 2 - pomôžem vám rozhodnúť sa a podrobne 3, 4 - iba odpoveď, sami sa rozhodnite a porovnajte. Začalo!

Úlohy:

1. Daná kocka. Dĺžka hrany kocky je Nájdite-di-te vzdialenosť od se-re-di-ny od rezu po rovinu

2. Vzhľadom na pravú-vil-naya štyri-you-rekh-uhlie-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe hrana sto-ro-na os-no-va-nia sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine, kde - se-re-di-na hranách.

3. V pravom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em je druhý okraj rovný a sto-ro-on os-no-vaniya sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od vrcholu k rovine.

4. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine.

Riešenia:

1. Nakreslite kocku s jednoduchými hranami, zostavte úsečku a rovinu, stred úsečky označte písmenom

Najprv začnime jednoduchým: nájdite súradnice bodu. Odvtedy (zapamätajte si súradnice stredu segmentu!)

Teraz zostavíme rovnicu roviny na troch bodoch

\[\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\koniec(pole)) \vpravo| = 0\]

Teraz môžem začať hľadať vzdialenosť:

2. Opäť začíname výkresom, na ktorý si zaznačíme všetky údaje!

Pre pyramídu by bolo užitočné nakresliť jej základňu samostatne.

Ani skutočnosť, že kreslím ako kuracia labka, nám nezabráni ľahko vyriešiť tento problém!

Teraz je ľahké nájsť súradnice bodu

Od súradníc bodu

2. Keďže súradnice bodu a sú stredom segmentu, potom

Ľahko nájdeme súradnice ďalších dvoch bodov v rovine, rovnicu roviny zostavíme a zjednodušíme:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Keďže bod má súradnice: , vypočítame vzdialenosť:

Odpoveď (veľmi zriedkavé!):

Dobre, pochopili ste? Zdá sa mi, že všetko je tu rovnako technické ako v príkladoch, ktoré sme s vami zvažovali v predchádzajúcej časti. Som si teda istý, že ak ste tento materiál zvládli, nebude pre vás ťažké vyriešiť zvyšné dva problémy. Dám vám len odpovede:

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

V skutočnosti tu nie je nič nové. Ako môžu byť čiara a rovina umiestnené voči sebe navzájom? Majú všetky možnosti: pretínať sa, alebo je priamka rovnobežná s rovinou. Aká je podľa vás vzdialenosť od priamky k rovine, s ktorou sa daná priamka pretína? Zdá sa mi, že je jasné, že takáto vzdialenosť sa rovná nule. Nezaujímavý prípad.

Druhý prípad je zložitejší: tu je vzdialenosť už nenulová. Keďže je však priamka rovnobežná s rovinou, potom je každý bod priamky od tejto roviny rovnako vzdialený:

Takto:

A to znamená, že moja úloha sa zredukovala na predchádzajúcu: hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, hľadáme rovnicu roviny, vypočítame vzdialenosť od bodu k rovine. V skutočnosti sú takéto úlohy na skúške mimoriadne zriedkavé. Podarilo sa mi nájsť len jeden problém a údaje v ňom boli také, že súradnicová metóda sa naň veľmi nehodila!

Teraz prejdime k inej, oveľa dôležitejšej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Čo budeme potrebovať?

1. Súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke

3. Súradnice smerového vektora priamky

Aký vzorec používame?

Čo pre vás znamená menovateľ tohto zlomku, a preto by malo byť jasné: toto je dĺžka smerového vektora priamky. Tu je veľmi zložitý čitateľ! Výraz znamená modul (dĺžku) vektorového súčinu vektorov a Ako vypočítať vektorový súčin sme študovali v predchádzajúcej časti práce. Osviežte si svoje vedomosti, teraz nám to bude veľmi užitočné!

Algoritmus na riešenie problémov bude teda nasledujúci:

1. Hľadáme súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, ku ktorému hľadáme vzdialenosť:

3. Zostavenie vektora

4. Zostrojíme smerový vektor priamky

5. Vypočítajte krížový súčin

6. Hľadáme dĺžku výsledného vektora:

7. Vypočítajte vzdialenosť:

Máme veľa práce a príklady budú dosť zložité! Takže teraz sústreďte všetku svoju pozornosť!

1. Dana je pravotočivá trojuholníková pi-ra-mi-da s vrcholom. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sa rovná, vy-so-ta sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od se-re-di-ny bo-ko-tej hrany k priamke, kde body a sú se-re-di-ny rebier a co-od- vet. -stven-ale.

2. Dĺžky rebier a pravý-uhol-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sú rovnaké a vzdialenosť Find-di-te od top-shi-ny k priamemu-my

3. V pravom šesťuhoľnom hranole sú všetky okraje roja rovnaké, nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Riešenia:

1. Urobíme úhľadný výkres, na ktorom zaznačíme všetky údaje:

Máme pre vás veľa práce! Najprv by som chcel slovami opísať, čo budeme hľadať a v akom poradí:

1. Súradnice bodov a

2. Súradnice bodu

3. Súradnice bodov a

4. Súradnice vektorov a

5. Ich krížový produkt

6. Dĺžka vektora

7. Dĺžka vektorového súčinu

8. Vzdialenosť od do

No, máme veľa práce! Vyhrňme si rukávy!

1. Aby sme našli súradnice výšky pyramídy, potrebujeme poznať súradnice bodu, ktorého aplikácia je nula a ordináta sa rovná jeho úsečke. Nakoniec sme dostali súradnice:

Súradnice bodu

2. - stred segmentu

3. - stred segmentu

stredný bod

4.Súradnice

Vektorové súradnice

5. Vypočítajte vektorový súčin:

6. Dĺžka vektora: najjednoduchší spôsob je nahradiť, že segment je stredná čiara trojuholníka, čo znamená, že sa rovná polovici základne. Takže.

7. Uvažujeme o dĺžke vektorového súčinu:

8. Nakoniec nájdite vzdialenosť:

Fíha, to je všetko! Poviem vám úprimne: riešenie tohto problému tradičné metódy(cez zostavy) by bolo oveľa rýchlejšie. Ale tu som všetko zredukoval na hotový algoritmus! Myslím, že algoritmus riešenia je vám jasný? Preto vás požiadam, aby ste zvyšné dva problémy vyriešili svojpomocne. Porovnať odpovede?

Znova opakujem: je jednoduchšie (rýchlejšie) vyriešiť tieto problémy pomocou konštrukcií, ako sa k nim uchýliť súradnicová metóda. Tento spôsob riešenia som predviedol len preto, aby som vám ukázal univerzálnu metódu, ktorá vám umožní „nič nedokončiť“.

Nakoniec zvážte poslednú triedu problémov:

Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami

Tu bude algoritmus na riešenie problémov podobný predchádzajúcemu. Čo máme:

3. Akýkoľvek vektor spájajúci body prvého a druhého riadku:

Ako zistíme vzdialenosť medzi čiarami?

Vzorec je:

Čitateľ je modul zmiešaného súčinu (uviedli sme ho v predchádzajúcej časti) a menovateľ je rovnaký ako v predchádzajúcom vzorci (modul vektorového súčinu smerovacích vektorov čiar, vzdialenosť medzi ktorými hľadajú).

Pripomeniem ti to

Potom vzorec vzdialenosti možno prepísať ako:

Vydeľte tento determinant determinantom! Aj keď pravdu povediac, nemám tu náladu na vtipy! Tento vzorec je v skutočnosti veľmi ťažkopádny a vedie k celkom zložité výpočty. Na tvojom mieste by som to použil len ako poslednú možnosť!

Pokúsme sa vyriešiť niekoľko problémov pomocou vyššie uvedenej metódy:

1. V pravom trojuholníkovom hranole sú všetky hrany akosi rovnaké, nájdite vzdialenosť medzi priamkami a.

2. Daný pravouhlý trojuholníkový hranol, všetky okraje os-no-va-niya niekoho sú rovné Se-che-tion, prechádzajúce cez druhé rebro a se-re-di-nu rebrá sú yav-la-et-sya štvorec-ra-tom. Nájsť-di-te dis-sto-I-nie medzi rovno-we-mi a

Ja rozhodujem o prvom a na základe toho sa ty rozhoduješ o druhom!

1. Nakreslím hranol a označím čiary a

Súradnice bodu C: potom

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začiatok(pole)(*(20)(l))(\začiatok(pole)(*(20)(c))0&1&0\koniec(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\koniec(pole))\koniec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Uvažujeme krížový súčin medzi vektormi a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\šípka vpravo k + \frac(1)(2)\šípka vpravo i \]

Teraz zvážime jeho dĺžku:

odpoveď:

Teraz sa pokúste starostlivo dokončiť druhú úlohu. Odpoveď na to bude:.

Súradnice a vektory. Stručný popis a základné vzorce

Vektor je riadený segment. - začiatok vektora, - koniec vektora.
Vektor je označený alebo.

Absolútna hodnota vektor - dĺžka segmentu reprezentujúceho vektor. Označený ako.

Vektorové súradnice:

,
kde sú konce vektora \displaystyle a .

Súčet vektorov: .

Súčin vektorov:

Bodový súčin vektorov:

Nech je potrebné nájsť rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Ak označíme ich vektory polomerov a aktuálny vektor polomerov , môžeme ľahko získať požadovanú rovnicu vo vektorovej forme. V skutočnosti musia byť vektory koplanárne (všetky ležia v požadovanej rovine). Preto sa vektor-skalárny súčin týchto vektorov musí rovnať nule:

Toto je rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi vo vektorovej forme.

Keď sa pozrieme na súradnice, dostaneme rovnicu v súradniciach:

Ak tri dané body ležia na rovnakej priamke, potom by vektory boli kolineárne. Preto by zodpovedajúce prvky posledných dvoch riadkov determinantu v rovnici (18) boli úmerné a determinant by bol zhodne rovný nule. Preto by sa rovnica (18) stala identitou pre akékoľvek hodnoty x, y a z. Geometricky to znamená, že každým bodom priestoru prechádza rovina, v ktorej ležia aj tri dané body.

Poznámka 1. Rovnaký problém možno vyriešiť bez použitia vektorov.

Označením súradníc troch daných bodov napíšeme rovnicu ktorejkoľvek roviny prechádzajúcej prvým bodom:

Na získanie rovnice požadovanej roviny je potrebné, aby rovnica (17) bola splnená súradnicami ďalších dvoch bodov:

Z rovníc (19) je potrebné určiť pomery dvoch koeficientov k tretiemu a zistené hodnoty zadať do rovnice (17).

Príklad 1. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi.

Rovnica pre rovinu prechádzajúcu prvým z týchto bodov bude:

Podmienky, aby rovina (17) prešla cez dva ďalšie body a prvý bod, sú:

Pridaním druhej rovnice k prvej dostaneme:

Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

Dosadením do rovnice (17) namiesto A, B, C, respektíve 1, 5, -4 (čísla im úmerné), dostaneme:

Príklad 2. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Rovnica akejkoľvek roviny prechádzajúcej bodom (0, 0, 0) bude]

Podmienky prechodu tejto roviny cez body (1, 1, 1) a (2, 2, 2) sú:

Znížením druhej rovnice o 2 vidíme, že na určenie dvoch neznámych má vzťah jednu rovnicu s

Odtiaľto sa dostávame. Ak teraz dosadíme do rovinnej rovnice namiesto jej hodnoty, zistíme:

Toto je rovnica požadovanej roviny; záleží na ľubovôli

veličiny B, C (totiž z pomeru, t.j. cez tri dané body prechádza nekonečne veľa rovín (tri dané body ležia na jednej priamke).

Poznámka 2. Úloha nakreslenia roviny cez tri dané body, ktoré neležia na tej istej priamke, sa dá ľahko vyriešiť vo všeobecnej forme, ak použijeme determinanty. V skutočnosti, keďže v rovniciach (17) a (19) koeficienty A, B, C nemôžu byť súčasne rovné nule, potom tieto rovnice považujú za homogénny systém pri troch neznámych A, B, C napíšeme nevyhnutnú a postačujúcu podmienku existencie nenulového riešenia tejto sústavy (1. časť, kapitola VI, § 6):

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnicu prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice, ktorým budú vyhovovať najmä súradnice troch daných bodov.

Toto možno overiť aj priamo, ak do rovnice napísanej pomocou determinantu dosadíme súradnice ktoréhokoľvek z týchto bodov. Na ľavej strane sa získa determinant, v ktorom sú buď prvky prvého riadku nulové, alebo sú dva rovnaké riadky. Formulovaná rovnica teda predstavuje rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi.

V rámci tohto materiálu budeme analyzovať, ako nájsť rovnicu roviny, ak poznáme súradnice jej troch rôznych bodov, ktoré neležia na jednej priamke. Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať, čo je pravouhlý súradnicový systém v trojrozmernom priestore. Najprv predstavíme základný princíp tejto rovnice a ukážeme, ako ju použiť pri riešení konkrétnych problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Na začiatok si musíme zapamätať jednu axiómu, ktorá znie takto:

Definícia 1

Ak sa tri body navzájom nezhodujú a neležia na jednej priamke, potom v trojrozmernom priestore nimi prechádza iba jedna rovina.

Inými slovami, ak máme tri rôzne body, ktorých súradnice sa nezhodujú a ktoré nemožno spojiť priamkou, potom môžeme určiť rovinu, ktorá cez ne prechádza.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém. Označme to O x y z . Obsahuje tri body M so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ktoré nemožno spojiť priamo riadok. Na základe týchto podmienok môžeme zapísať rovnicu roviny, ktorú potrebujeme. Existujú dva prístupy k riešeniu tohto problému.

1. Prvý prístup používa všeobecnú rovnicu roviny. V doslovnom tvare sa zapisuje ako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Pomocou neho môžete nastaviť v pravouhlom súradnicovom systéme určitú rovinu alfa, ktorá prechádza prvým daným bodom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Ukazuje sa, že vektor normálnej roviny α bude mať súradnice A , B , C .

Definícia N

Keď poznáme súradnice normálového vektora a súradnice bodu, ktorým rovina prechádza, môžeme zapísať všeobecnú rovnicu tejto roviny.

Od toho budeme postupovať ďalej.

Teda podľa podmienok úlohy máme súradnice požadovaného bodu (aj troch), ktorým rovina prechádza. Ak chcete nájsť rovnicu, musíte vypočítať súradnice jej normálneho vektora. Označte to n → .

Pripomeňme si pravidlo: každý nenulový vektor danej roviny je kolmý na normálový vektor tej istej roviny. Potom máme, že n → bude kolmé na vektory zložené z počiatočných bodov M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Potom môžeme označiť n → ako vektorový súčin tvaru M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pretože M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dôkazy týchto rovníc sú uvedené v článku venovanom výpočtu súradníc vektora zo súradníc bodov), potom sa ukazuje, že:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ak vypočítame determinant, dostaneme súradnice normálového vektora n → potrebujeme. Teraz môžeme napísať rovnicu, ktorú potrebujeme pre rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi.

2. Druhý prístup k nájdeniu rovnice prechádzajúcej cez M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) je založené na takom koncepte, ako je komplanarita vektorov.

Ak máme množinu bodov M (x, y, z) , tak v pravouhlom súradnicovom systéme definujú rovinu pre dané body M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) len vtedy, ak vektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) a M1M3 → = (x3-x1,y3-y1,z3-z1) budú koplanárne.

Na diagrame to bude vyzerať takto:

To bude znamenať, že zmiešaný súčin vektorov M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sa bude rovnať nule: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , keďže toto je hlavná podmienka porovnávania: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z2-zi) a M1M3 → = (x3-x1,y3-y1,z3-z1).

Výslednú rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare:

Po vypočítaní determinantu môžeme dostať rovnicu roviny, ktorú potrebujeme pre tri body, ktoré neležia na jednej priamke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M3 (x3, y3, z3).

Z výslednej rovnice môžete prejsť na rovnicu roviny v segmentoch alebo na normálnu rovnicu roviny, ak si to vyžadujú podmienky úlohy.

V ďalšom odseku uvedieme príklady, ako sa nami naznačené prístupy realizujú v praxi.

Príklady úloh na zostavenie rovnice roviny prechádzajúcej 3 bodmi

Predtým sme identifikovali dva prístupy, ktoré možno použiť na nájdenie požadovanej rovnice. Pozrime sa, ako sa používajú pri riešení problémov a kedy si vybrať každý z nich.

Príklad 1

Sú tri body, ktoré neležia na jednej priamke, so súradnicami M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Napíšte rovnicu pre rovinu, ktorá nimi prechádza.

Riešenie

Postupne používame oba spôsoby.

1. Nájdite súradnice dvoch vektorov, ktoré potrebujeme M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 -- 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Teraz vypočítame ich vektorový súčin. V tomto prípade nebudeme popisovať výpočty determinantu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Máme normálový vektor roviny, ktorý prechádza cez tri požadované body: n → = (- 5 , 30 , 2) . Ďalej musíme vziať jeden z bodov, napríklad M 1 (- 3 , 2 , - 1) , a napísať rovnicu pre rovinu s vektorom n → = (- 5 , 30 , 2) . Dostaneme, že: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Toto je rovnica roviny, ktorú potrebujeme, ktorá prechádza tromi bodmi.

2. Používame iný prístup. Rovnicu pre rovinu s tromi bodmi M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3, z 3) napíšeme v nasledujúci formulár:

x - x 1 r - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tu môžete nahradiť údaje zo stavu problému. Pretože x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, v dôsledku toho dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 r + 2 z - 73

Máme rovnicu, ktorú potrebujeme.

odpoveď:- 5x + 30 rokov + 2z - 73 .

Čo ak však dané body stále ležia na tej istej priamke a potrebujeme pre ne zostaviť rovinnú rovnicu? Tu treba hneď povedať, že táto podmienka nebude úplne správna. Takýmito bodmi môže prechádzať nekonečne veľa rovín, takže je nemožné vypočítať jednu odpoveď. Uvažujme nad takýmto problémom, aby sme dokázali nesprávnosť takejto formulácie otázky.

Príklad 2

Máme pravouhlý súradnicový systém v 3D priestore obsahujúci tri body so súradnicami M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Pre rovinu, ktorá cez ňu prechádza, je potrebné napísať rovnicu.

Riešenie

Použijeme prvý spôsob a začneme výpočtom súradníc dvoch vektorov M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Vypočítajme ich súradnice: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektorový súčin sa bude rovnať:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Keďže M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , potom budú naše vektory kolineárne (prečítajte si o nich článok, ak ste zabudli na definíciu tohto pojmu). Počiatočné body M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sú teda na rovnakej priamke a náš problém má nekonečne veľa možností odozvy.

Ak použijeme druhú metódu, dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 r - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 r. + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z výslednej rovnosti tiež vyplýva, že dané body M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sú na tej istej priamke.

Ak chcete nájsť aspoň jednu odpoveď na tento problém z nekonečného množstva jeho možností, musíte postupovať podľa týchto krokov:

1. Napíšte rovnicu priamky M 1 M 2, M 1 M 3 alebo M 2 M 3 (v prípade potreby si pozrite materiál o tomto úkone).

2. Vezmite bod M 4 (x 4 , y 4 , z 4), ktorý neleží na priamke M 1 M 2 .

3. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza tromi rôznymi bodmi M 1, M 2 a M 4, ktoré neležia na jednej priamke.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Zostavte rovnicu roviny pomocou súradníc 3 bodov. Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke

Nájdenie rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom v priestore kolmo na danú priamku

Súradnice a vektory. Komplexný sprievodca (2019)

SÚRADNICE A VEKTORY. STREDNÁ ÚROVEŇ

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

vektorový produkt

Zmiešaný súčin troch vektorov

Výber súradnicového systému

rovný hranol

Trojuholníkový hranol:

Šesťhranný hranol:

Štvorhranná a šesťhranná pyramída:

Tetrahedron (trojuholníková pyramída)

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami

Súradnice a vektory. Stručný popis a základné vzorce

Príklady úloh na zostavenie rovnice roviny prechádzajúcej 3 bodmi

Vznik a vývoj písma – abstrakt

Skladateľ Raimonds Pauls: biografia, osobný život, kreativita Raimonds Pauls - biografia