S pomocou tohto online kalkulačka môžete nájsť vzdialenosť medzi čiarami v priestore. Uvádza sa podrobné riešenie s vysvetleniami. Ak chcete vypočítať vzdialenosť medzi čiarami v priestore, zadajte typ rovnice čiar ("kanonická" alebo "parametrická"), zadajte koeficienty rovníc čiar do buniek a kliknite na tlačidlo "Vyriešiť".
×
POZOR
Vymazať všetky bunky?
Zavrieť Vymazať
Návod na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné čísla (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b (b>0) sú celé čísla resp. desatinné čísla. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.
Vzdialenosť medzi čiarami v priestore - teória, príklady a riešenia
Nech je daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxyz L 1 a L 2:
| . | (1) |
 ,
| (2) |
Kde M 1 (X 1 , r 1 , z 1) a M 2 (X 2 , r 2 , z 2) − body ležiace na čiarach L 1 a L 2 a q 1 ={m 1 , p 1 , l 1) a q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 ) − smerovanie vektorov čiar L 1 a L 2, resp.
Čiary (1) a (2) v priestore sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa alebo byť zošikmené. Ak sa čiary v priestore pretínajú alebo zhodujú, potom sa vzdialenosť medzi nimi rovná nule. Budeme brať do úvahy dva prípady. Prvým je, že čiary sú rovnobežné a druhým, že sa čiary pretínajú. Ostatné sú bežné javy. Ak pri výpočte vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami dostaneme vzdialenosť rovnú nule, znamená to, že tieto čiary sa zhodujú. Ak je vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami rovná nule, potom sa tieto čiary pretínajú.
1. Vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami v priestore
Zvážte dve metódy na výpočet vzdialenosti medzi čiarami.
Metóda 1. Z bodu M 1 rovno L 1 nakreslite rovinu α , kolmo na čiaru L 2. Hľadanie bodu M 3 (X 3 , r 3 , r 3) priesečníky rovín α a priamy L 3. V podstate nájdeme priemet bodu M 1 rovno L 2. Pozrite sa, ako nájsť projekciu bodu na priamku. Ďalej vypočítame vzdialenosť medzi bodmi M 1 (X 1 , r 1 , z 1) a M 3 (X 3 , r 3 , z 3):
Príklad 1. Nájdite vzdialenosť medzi čiarami L 1 a L 2:Rovno L 2 prechádza cez bod M 2 (X 2 , r 2 , z 2)=M
Nahrádzanie hodnôt m 2 , p 2 , l 2 , X 1 , r 1 , z 1 v (5) dostaneme:
Nájdite priesečník čiary L 2 a rovine α , na tento účel zostrojíme parametrickú rovnicu priamky L 2 .
Na nájdenie priesečníka priamky L 2 a rovine α , nahraďte hodnoty premenných X, r, z od (7) do (6):
Nahradením výslednej hodnoty t v (7) získame priesečník priamky L 2 a rovine α :
 |
Zostáva nájsť vzdialenosť medzi bodmi M 1 a M 3:
  |
L 1 a L 2 sa rovná d=7.2506.
Metóda 2. Nájdite vzdialenosť medzi čiarami L 1 a L 2 (rovnice (1) a (2)). Najprv skontrolujeme rovnobežnosť čiar L 1 a L 2. Ak smerové vektory čiar L 1 a L 2 sú kolineárne, t.j. ak existuje číslo λ také, že rovnosť q 1 =λ q 2, potom rovné čiary L 1 a L 2 sú rovnobežné.
Táto metóda výpočtu vzdialenosti medzi paralelnými vektormi je založená na koncepte krížového súčinu vektorov. Je známe, že norma vektorového súčinu vektorov a q 1 je uvedená plocha rovnobežníka tvoreného týmito vektormi (obr. 2). Keď poznáte oblasť rovnobežníka, môžete nájsť vrchol rovnobežníka d rozdelením plochy základňou q 1 rovnobežník.
q 1:
 .
|
Vzdialenosť medzi rovnými čiarami L 1 a L 2 sa rovná:
| , |
 ,
|
Príklad 2. Vyriešte príklad 1 pomocou metódy 2. Nájdite vzdialenosť medzi čiarami
Rovno L 2 prechádza cez bod M 2 (X 2 , r 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) a má smerový vektor
| q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8} |
vektory q 1 a q 2 sú kolineárne. Preto ten priamy L 1 a L 2 sú rovnobežné. Na výpočet vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami používame vektorový súčin vektorov.
Postavme vektor =( X 2 −X 1 , r 2 −r 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.
Vypočítajme vektorový súčin vektorov a q 1. Aby sme to dosiahli, zostavíme maticu 3 × 3, ktorej prvý riadok sú základné vektory i, j, k a zostávajúce riadky sú vyplnené prvkami vektorov a q 1:
Teda výsledkom krížového súčinu vektorov a q 1 bude vektor:
Odpoveď: vzdialenosť medzi čiarami L 1 a L 2 sa rovná d=7.25061.
2. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore
Nech je daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém Oxyz a nech sú čiary uvedené v tomto súradnicovom systéme L 1 a L 2 (rovnice (1) a (2)).
Nechajte rovno L 1 a L 2 nie sú rovnobežné (rovnobežné priamky sme rozoberali v predchádzajúcom odseku). Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi čiarami L 1 a L 2 je potrebné postaviť rovnobežné roviny α 1 a α 2 tak, že rovno L 1 ležať α 1 a rovno L 2 - v lietadle α 2. Potom vzdialenosť medzi čiarami L 1 a L 2 sa rovná vzdialenosti medzi rovinami L 1 a L 2 (obr. 3).
Kde n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − normálový vektor roviny α 1. Do lietadla α 1 prechádzal cez priamku L 1, normálny vektor n 1 musí byť kolmá na smerový vektor q 1 rovno L 1, t.j. skalárny súčin týchto vektorov sa musí rovnať nule:
Riešenie systému lineárne rovnice(27)−(29), s tromi rovnicami a štyrmi neznámymi A 1 , B 1 , C 1 , D 1 a dosadzovaním do rovnice
lietadlá α 1 a α 2 sú rovnobežné, teda výsledné normálové vektory n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) a n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) z týchto rovín sú kolineárne. Ak sa tieto vektory nerovnajú, potom môžeme vynásobiť (31) nejakým číslom tak, aby výsledný normálový vektor bol n 2 sa zhodoval s normálovým vektorom rovnice (30).
Potom vzdialenosť medzi rovnobežné roviny sa vypočíta podľa vzorca:
 | (33) |
Riešenie. Rovno L 1 prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) a má smerový vektor q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.
Rovno L 2 prechádza cez bod M 2 (X 2 , r 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) a má smerový vektor q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.
Poďme postaviť lietadlo α 1 prechádzajúcou čiarou L 1, rovnobežne s čiarou L 2 .
Od lietadla α 1 prechádza cez čiaru L 1, potom tiež prechádza bodom M 1 (X 1 , r 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) a normálny vektor n 1 ={m 1 , p 1 , l 1) lietadlo α 1 je kolmá na smerový vektor q 1 rovno L 1. Potom musí rovnica roviny spĺňať podmienku:
Od lietadla α 1 musí byť rovnobežná s čiarou L 2, potom musí byť splnená táto podmienka:
Reprezentujeme tieto rovnice v maticovom tvare:
 | (40) |
Riešime sústavu lineárnych rovníc (40) vzhľadom na A 1 , B 1 , C 1 , D 1.
V tomto článku je na príklade riešenia úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky analyzovaný spôsob hľadania súradníc pomocou metódy. Pripomeňme, že čiary sú zošikmené, ak neležia v rovnakej rovine. Najmä, ak jedna priamka leží v rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sú také priamky šikmé (pozri obrázok).
Na nájdenie vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami potrebné:
- Cez jednu zo šikmých čiar nakreslite rovinu, ktorá je rovnobežná s druhou šikmou čiarou.
- Pustite kolmicu z ľubovoľného bodu druhej priamky na výslednú rovinu. Dĺžka tejto kolmice bude požadovaná vzdialenosť medzi čiarami.
Poďme analyzovať tento algoritmus podrobnejšie na príklade riešenia úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.
Vzdialenosť medzi čiarami v priestore
Úloha. v jednej kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nájdite vzdialenosť medzi čiarami BA 1 a D.B. 1 .
Ryža. 1. Kresba k úlohe
Riešenie. Cez stred uhlopriečky kocky D.B. 1 (bodka O) nakreslite čiaru rovnobežnú s čiarou A 1 B. Priesečníky danej priamky s hranami BC A A 1 D 1 označujú resp N A M. Rovno MN leží v lietadle MNB 1 a rovnobežne s čiarou A 1 B, ktorá neleží v tejto rovine. To znamená, že priamy A 1 B rovnobežne s rovinou MNB 1 na základe rovnobežnosti priamky a roviny (obr. 2).
Ryža. 2. Požadovaná vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa rovná vzdialenosti od ktoréhokoľvek bodu vybranej čiary k zobrazenej rovine
Teraz hľadáme vzdialenosť od nejakého bodu na priamke A 1 B až po lietadlo MNB 1. Táto vzdialenosť bude podľa definície požadovaná vzdialenosť medzi šikmými čiarami.
Na zistenie tejto vzdialenosti používame súradnicovú metódu. Zavedieme pravouhlý karteziánsky súradnicový systém tak, aby sa jeho počiatok zhodoval s bodom B, osou X smeroval pozdĺž okraja BA, os Y- pozdĺž rebra BC, os Z- pozdĺž rebra BB 1 (obr. 3).
Ryža. 3. Vyberieme pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, ako je znázornené na obrázku
Nájdeme rovnicu roviny MNB 1 v tomto súradnicovom systéme. Aby sme to dosiahli, najprv určíme súradnice bodov M, N A B 1: 
Získané súradnice dosadíme do všeobecnej rovnice priamky a získame nasledujúcu sústavu rovníc:
Z druhej rovnice systému získame z tretej a potom z prvej získame. Získané hodnoty dosadíme do všeobecnej rovnice priamky:
Všimnite si, že inak lietadlo MNB 1 by prešla počiatkom. Vydelíme obe strany tejto rovnice a dostaneme:
Vzdialenosť od bodu k rovine je určená vzorcom.
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Stereometria Vzdialenosť medzi šikmými čiarami
Spoločná kolmica dvoch pretínajúcich sa čiar je úsečka s koncami na týchto čiarach, ktorá je kolmou na každú z nich. a b A B Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je dĺžka ich spoločnej kolmice.
Metódy na výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami. Vzdialenosť medzi šikmými čiarami sa rovná vzdialenosti od ktoréhokoľvek bodu jednej z týchto čiar k rovine prechádzajúcej druhou čiarou rovnobežnou s prvou čiarou.
Metódy na výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami. Vzdialenosť medzi šikmými čiarami sa rovná vzdialenosti medzi dvoma rovnobežnými rovinami obsahujúcimi tieto čiary.
č. 1 V jedinej kocke nájdi
č. 2 V jedinej kocke nájdi
č. 3 V jedinej kocke nájdi
č. 4 V jedinej kocke nájdi
Spoločná kolmica dvoch pretínajúcich sa čiar je segment spájajúci stredy segmentov a E - stred F - stred.
Č. 5 V jednej kocke nájdi ~
Metódy na výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami. Vzdialenosť medzi šikmými čiarami sa rovná vzdialenosti medzi ich priemetmi do roviny kolmej na jednu z nich.
č.5 V jednotkovej kocke nájdite O - priemet priamky AC do roviny
č.6 Dana pravá pyramída PABC s bočnou hranou PA = 3 a základnou stranou 2 . Nájsť
Obdĺžnikový - Obdĺžnikový - Obdĺžnikový
č.7 V jednotkovej kocke nájdite vzdialenosť medzi čiarami a
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Uhol medzi šikmými čiarami
Prezentácia na prípravu absolvovanie skúšky v matematike na tému "Uhol medzi šikmými čiarami" ...
Vyvinuté so žiakmi 11. ročníka. Zvážené rôzne metódy riešenie problémov na túto tému.
Článok je zameraný na zistenie vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradnicovej metódy. Určenie vzdialenosti medzi týmito čiarami budeme uvažovať, získame algoritmus, pomocou ktorého transformujeme zistenie vzdialenosti medzi čiarami kríženia. Opravme tému riešením podobných príkladov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Najprv je potrebné dokázať vetu, ktorá definuje súvislosť medzi danými šikmými čiarami.
kapitola relatívnu polohučiary v priestore hovorí, že ak sa dve čiary nazývajú pretínajúce sa, ak ich umiestnenie nie je v rovnakej rovine.
Veta
Každou dvojicou pretínajúcich sa čiar môže prechádzať rovina rovnobežná s danou rovinou, a to iba jedna.
Dôkaz
Podmienkou sú nám dané pretínajúce sa priamky a a b. Je potrebné dokázať priechodnosť jednej roviny priamkou b rovnobežnou s danou priamkou a . Podobný dôkaz sa musí použiť na priamku a, ktorou prechádza rovina rovnobežná s danou priamkou b.
Najprv musíte označiť bod Q na čiare b. Ak vychádzame z definície rovnobežnosti priamok, tak dostaneme, že cez bod v priestore je možné nakresliť priamku rovnobežnú s danou priamkou, a to len jednu. To znamená, že len jedna priamka prechádza bodom Q a je rovnobežná s priamkou a. Vezmime si označenie a a 1 .
V časti o spôsoboch určenia roviny bolo povedané, že prechod jednej roviny je možný cez dve pretínajúce sa čiary. Dostaneme teda, že priamky b a a 1 sú priesečníky, ktorými rovina prechádza, označené χ.
Na základe znamienka rovnobežnosti priamky s rovinou môžeme usúdiť, že daná priamka a je rovnobežná s rovinou χ, pretože priamka a je rovnobežná s priamkou a 1 umiestnenou v rovine χ.
Rovina χ je jedinečná, keďže priamka prechádzajúca danou priamkou v priestore je rovnobežná s danou priamkou. Zvážte obrázok nižšie.
Pri prechode od určovania vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa priamkami vzdialenosť určujeme cez vzdialenosť medzi priamkou a rovinou s ňou rovnobežnou.
Definícia 1
Vzdialenosť medzi jednou z pretínajúcich sa čiar a rovinou rovnobežnou s ňou prechádzajúcou druhou čiarou sa nazýva.
To znamená, že vzdialenosť medzi čiarou a rovinou je vzdialenosť od daný bod do lietadla. Potom je použiteľná formulácia definície vzdialenosti medzi šikmými čiarami.
Definícia 2
Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami nazývaná vzdialenosť od nejakého bodu šikmých čiar k rovine prechádzajúcej cez inú priamku rovnobežnú s prvou čiarou.
Urobme podrobnú úvahu o čiarach a a b. Bod M 1 leží na priamke a, cez priamku b je vedená rovina χ rovnobežná s priamkou a. Z bodu M 1 nakreslíme kolmicu M 1 H 1 na rovinu χ. Dĺžka tejto kolmice je vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Zvážte obrázok nižšie.
Hľadanie vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami - teória, príklady, riešenia
Vzdialenosti medzi šikmými čiarami sa nachádzajú pri konštrukcii segmentu. Požadovaná vzdialenosť sa rovná dĺžke tohto segmentu. Podľa stavu úlohy sa zistí jej dĺžka podľa Pytagorovej vety, podľa znakov rovnosti alebo podobnosti trojuholníkov, prípadne iných.
Keď máme trojrozmerný priestor so súradnicovým systémom O x y z s priamymi čiarami a a b v ňom uvedenými, výpočty by sa mali vykonávať od vzdialenosti medzi danými pretínajúcimi sa pomocou súradnicovej metódy. Poďme sa na to pozrieť detailne.
Nech pod podmienkou χ je rovina prechádzajúca priamkou b, ktorá je rovnobežná s priamkou a. Požadovaná vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b sa rovná vzdialenosti od bodu M 1 umiestneného na priamke a k rovine _ χ. Na získanie normálovej rovnice roviny χ je potrebné určiť súradnice bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) ležiaceho na priamke a. Potom dostaneme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, čo je potrebné na určenie vzdialenosti M 1 H 1 od bodu M 1 x 1, y 1, z 1 k rovine χ . Výpočty sa robia podľa vzorca M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Požadovaná vzdialenosť sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi šikmými čiarami.
Táto úloha zahŕňa získanie súradníc bodu M 1, ktorý sa nachádza na priamke a, nájdenie normálovej rovnice roviny χ.
Určenie súradníc bodu M 1 je potrebné a možné so znalosťou hlavných typov rovníc priamky v priestore. Na získanie rovnice roviny χ je potrebné podrobnejšie sa zaoberať výpočtovým algoritmom.
Ak súradnice x 2, y 2, z 2 určíme pomocou bodu M 2, cez ktorý je nakreslená rovina χ, dostaneme normálový vektor roviny χ v tvare vektora n → = (A , B , C ). Na základe toho môžeme všeobecnú rovnicu roviny χ zapísať ako A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .
Namiesto bodu M 2 možno vziať akýkoľvek iný bod patriaci do priamky b, pretože ním prechádza rovina χ. To znamená, že súradnice bodu M 2 sú nájdené. Je potrebné pristúpiť k hľadaniu normálového vektora roviny χ .
Máme, že rovina χ prechádza priamkou b a je rovnobežná s priamkou a. Normálový vektor roviny χ je teda kolmý na smerový vektor priamky a , označený ako a → , a na smerový vektor priamky b , označený b → . Vektor n → sa bude rovnať krížovému súčinu a → a b → , čo znamená n → = a → × b → . Po určení súradníc a x , a y , a z a b x , b y , b z smerových vektorov daných úsečiek a a b vypočítame
n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Odtiaľto zistíme hodnotu súradníc A , B , C normálového vektora k rovine χ .
Vieme, že všeobecná rovnica roviny χ má tvar A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Je potrebné normalizovať rovnicu cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Potom musíte vypočítať požadovanú vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b na základe vzorca M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b, musíte postupovať podľa algoritmu:
- určenie súradníc (x1, y1, z1) a x2, y2, z2 bodov M1 a M2 umiestnených na priamkach a a b;
- získanie súradníc ax, ay, az a bx, by, bz patriacich do smerových vektorov priamok a a b;
- zistenie súradníc A, B, C, prislúchajúcich vektoru n → v rovine χ prechádzajúcej priamkou b, ležiacej rovnobežne s a, pomocou rovnosti n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ;
- záznam všeobecná rovnicaχ rovina v tvare A x - x 2 + B (y - y 2) + C (z - z 2) = 0;
- redukcia získanej rovnice roviny χ na rovnicu normálneho tvaru cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;
- výpočet vzdialenosti M 1 H 1 od M 1 x 1 , y 1 , z 1 k rovine χ na základe vzorca M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .
V pravouhlom Oxyz súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru sú dve pretínajúce sa čiary. Priamka a je definovaná parametrickou rovnicou priamky v priestore x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ , priamka b je určená kanonickou rovnicou priamky v priestore x 1 = y-1-2 = z + 46. Nájdite vzdialenosť medzi šikmými čiarami.
Riešenie
Je zrejmé, že priamka a pretína bod M 1 (- 2 , 1 , 4) so smerovým vektorom a → = (0 , 2 , - 3) a priamka b pretína bod M 2 (0 , 1 , - 4) so smerovým vektorom b → = (1 , - 2 , 6) .
Najprv musíte vypočítať smerové vektory a → \u003d (0, 2, - 3) a b → \u003d (1, - 2, 6) podľa vzorca. Potom to dostaneme
a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →
Odtiaľto dostaneme, že n → = a → × b → je rovinný vektor χ, ktorý prechádza priamkou b rovnobežnou s a so súradnicami 6 , - 3 , - 2 . Dostaneme:
6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0
Nájdeme normalizačný faktor pre všeobecnú rovnicu roviny 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0 . Vypočítajte podľa vzorca 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7 . To znamená, že normálna rovnica bude mať tvar 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 .
Pomocou vzorca je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu M 1 - 2 , 1 , 4 k rovine danej rovnicou 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 . Chápeme to
M 1 H 1 \u003d 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 \u003d - 28 7 \u003d 4
Z toho vyplýva, že požadovaná vzdialenosť je vzdialenosť medzi danými šikmými čiarami, je hodnota 4 .
odpoveď: 4 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Geometria. 11. ročník
Téma lekcie: Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami
Ter-Ovanesyan G.L., učiteľ najvyššej kategórie, laureát ceny Sorosovej nadácie
Moskva
Zvážte problém nájdenia vzdialenosti medzi šikmými čiarami. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je dĺžka spoločnej kolmice na tieto čiary.
Dostaneme kocku ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ktorej hrana sa rovná jednej AB=1. Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi priamkami AB a DC 1: ρ (AB; DC 1) - ?
Tieto dve priamky ležia v rovnobežných rovinách: AB leží v rovine AA 1 B 1 B, DC 1 leží v rovine D 1 DC 1 C. Najprv nájdeme kolmicu na tieto dve roviny. Takýchto kolmic je na obrázku veľa. Toto je segment BC, B 1 C 1, A 1 D 1 a AD. Z nich má zmysel vybrať si úsek, ktorý je nielen kolmý na tieto roviny, a teda kolmý na naše priamky AB a DC 1, ale týmito priamkami aj prechádza. Takýmto segmentom je AD. Je súčasne kolmá na priamku AB, pretože je kolmá na rovinu AA 1 B 1 B a na priamku DC 1, pretože je kolmá na rovinu D 1 DC 1 C. A to znamená, že AD je spoločná kolmica. na pretínajúce sa čiary AB a DC 1. Vzdialenosť medzi týmito čiarami je dĺžka tejto kolmice, to znamená dĺžka segmentu AD. Ale AD je hrana kocky. Preto je vzdialenosť 1:
p(AB;DCi)=AD=l
Zvážte ďalší problém, trochu komplikovanejší, o nájdení vzdialenosti medzi šikmými čiarami.
Opäť dostaneme kocku, ktorej hrana sa rovná jednej. Musíte nájsť vzdialenosť medzi uhlopriečkami protiľahlých plôch. To znamená, že ak je daná kocka ABCD 1 B 1 C 1 D 1 . Hrana AB=1. Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi priamkami VA 1 a DC 1: ρ (A 1 B; DC 1) -?
Tieto dve čiary sa pretínajú, čo znamená, že vzdialenosť je dĺžka spoločnej kolmice. Spoločnú kolmicu nemôžete nakresliť, ale formulujte takto: toto je dĺžka kolmice medzi rovnobežnými rovinami, v ktorých tieto čiary ležia. Priamka BA 1 leží v rovine ABB 1 A 1 a priamka DC 1 leží v rovine D 1 DCC 1 . Sú rovnobežné, takže vzdialenosť medzi nimi je vzdialenosť medzi týmito čiarami. A vzdialenosť medzi stenami kocky je dĺžka hrany. Napríklad dĺžka okraja BC. Pretože BC je kolmé na rovinu ABB 1 A 1 aj na rovinu DCC 1 D 1. To znamená, že vzdialenosť medzi čiarami uvedená v podmienke sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami a rovná sa 1:
ρ (A 1 B; DС 1) \u003d BC \u003d 1
Zvážte ďalší problém hľadania vzdialenosti medzi šikmými čiarami.
Dajme tomu, aby bolo správne trojboký hranol pre ktoré sú známe všetky hrany. Musíte nájsť vzdialenosť medzi okrajmi hornej a dolnej základne. To znamená, že máme hranol ABCA 1 B 1 C 1. Navyše AB=3=AAi. Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi priamkami BC a A 1 C 1: ρ (BC; A 1 C 1) - ?
Keďže sa tieto čiary pretínajú, vzdialenosť medzi nimi je dĺžka spoločnej kolmice alebo dĺžka kolmice k rovnobežným rovinám, v ktorých ležia. Nájdite tieto rovnobežné roviny.
Priamka BC leží v rovine ABC a priamka A 1 C 1 leží v rovine A 1 B 1 C 1 . Tieto dve roviny sú rovnobežné, pretože sú hornou a spodnou základňou hranola. Takže vzdialenosť medzi našimi čiarami je vzdialenosť medzi týmito rovnobežnými rovinami. A vzdialenosť medzi nimi sa presne rovná dĺžke bočnej hrany AA 1, to znamená 3:
ρ (BC; A 1 C 1) \u003d AA 1 \u003d 3
V tomto konkrétnom probléme môžete nájsť nielen dĺžku spoločnej kolmice, ale ju aj zostrojiť. Aby sme to urobili, vyberieme zo všetkých bočných hrán tú, ktorá má spoločné body s priamym BC a A 1 C 1 . Na našom obrázku je to okrajová SS 1. Bude kolmá na priamku A 1 C 1, pretože je kolmá na rovinu hornej podstavy, a na priamku BC, pretože je kolmá na rovinu spodnej podstavy. Takto môžeme nájsť nielen vzdialenosť, ale aj postaviť túto spoločnú kolmicu.
Dnes sme si v lekcii pripomenuli, ako nájsť dĺžku spoločnej kolmice medzi šikmými čiarami.
