Čísla v živote musíte zaokrúhľovať častejšie, ako si mnohí myslia. Platí to najmä pre ľudí v tých profesiách, ktoré súvisia s financiami. Ľudia pracujúci v tejto oblasti sú v tomto postupe dobre vyškolení. Ale aj v Každodenný život proces prevod hodnôt do celočíselnej formy Nie je to nič neobvyklé. Mnoho ľudí bezpečne zabudlo, ako sa čísla zaokrúhľujú hneď po škole. Pripomeňme si hlavné body tejto akcie.

V kontakte s

okrúhle číslo

Predtým, ako prejdeme k pravidlám zaokrúhľovania hodnôt, stojí za to pochopiť čo je okrúhle číslo. Ak rozprávame sa o celých číslach to nevyhnutne končí nulou.

Na otázku, kde je takáto zručnosť užitočná v každodennom živote, možno bezpečne odpovedať - pomocou základných nákupov.

Pomocou jednoduchého pravidla môžete odhadnúť, koľko budú nákupy stáť a koľko si musíte vziať so sebou.

Práve s okrúhlymi číslami je jednoduchšie vykonávať výpočty bez použitia kalkulačky.

Napríklad, ak sa zelenina s hmotnosťou 2 kg 750 g kúpi v supermarkete alebo na trhu, potom v jednoduchom rozhovore s partnerom často neuvedú presnú hmotnosť, ale povedia, že kúpili 3 kg zeleniny. Pri určovaní vzdialenosti medzi osady použiť aj slovo „o“. To znamená priniesť výsledok do vhodnej podoby.

Treba poznamenať, že v niektorých výpočtoch v matematike a riešení problémov sa tiež nie vždy používajú presné hodnoty. To platí najmä v prípadoch, keď odpoveď dostane nekonečné periodický zlomok . Tu je niekoľko príkladov, kde sa používajú približné hodnoty:

• niektoré hodnoty konštantných veličín sú uvedené v zaokrúhlenej forme (číslo "pi" atď.);
• tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, ktoré sú zaokrúhlené na určitú číslicu.

Poznámka! Ako ukazuje prax, aproximácia hodnôt k celku, samozrejme, dáva chybu, ale nasávame nevýznamnú. Čím vyššia je číslica, tým presnejší bude výsledok.

Získanie približných hodnôt

Toto matematická akcia vykonávané podľa určitých pravidiel.

Ale pre každú sadu čísel sú iné. Upozorňujeme, že celé čísla a desatinné miesta možno zaokrúhliť.

Ale s obyčajné zlomky akcia sa nevykoná.

Najprv potrebujú previesť na desatinné miesta a potom pokračujte v postupe v požadovanom kontexte.

Pravidlá pre aproximáciu hodnôt sú nasledovné:

• pre celé čísla - nahradenie číslic nasledujúcich po zaokrúhlenej jednotke nulami;
• pre desatinné zlomky - vyradenie všetkých čísel, ktoré sú za zaokrúhlenou číslicou.

Napríklad pri zaokrúhľovaní 303 434 na tisíce je potrebné nahradiť stovky, desiatky a jednotky nulami, teda 303 000. V desatinných číslach 3,3333 zaokrúhľovanie na desať x, jednoducho zahoďte všetky nasledujúce číslice a získajte výsledok 3.3.

Presné pravidlá pre zaokrúhľovanie čísel

Pri zaokrúhľovaní desatinných miest nestačí jednoducho vyraďte číslice po zaokrúhlenej číslici. Môžete si to overiť na tomto príklade. Ak sa v obchode kúpia 2 kg 150 g sladkostí, potom hovoria, že sa kúpili asi 2 kg sladkostí. Ak je hmotnosť 2 kg 850 g, potom sú zaokrúhlené nahor, to znamená asi 3 kg. To znamená, že je možné vidieť, že niekedy sa zaokrúhlená číslica zmení. Kedy a ako sa to robí, presné pravidlá budú schopné odpovedať:

1. Ak za zaokrúhlenou číslicou nasleduje číslica 0, 1, 2, 3 alebo 4, zaokrúhlená číslica zostane nezmenená a všetky nasledujúce číslice sa vyradia.
2. Ak za zaokrúhlenou číslicou nasleduje číslo 5, 6, 7, 8 alebo 9, zaokrúhlená číslica sa zvýši o jednu a všetky nasledujúce číslice sa tiež vyradia.

Napríklad, ako správne zlomiť 7,41 približných jednotiek. Určte číslo, ktoré nasleduje po výboji. V tomto prípade je to 4. Preto podľa pravidla zostáva číslo 7 nezmenené a čísla 4 a 1 sú vyradené. Takže dostaneme 7.

Ak je zlomok 7,62 zaokrúhlený, potom za jednotkami nasleduje číslo 6. Podľa pravidla treba číslo 7 zvýšiť o 1 a čísla 6 a 2 treba vyradiť. To znamená, že výsledkom bude 8.

Uvedené príklady ukazujú, ako zaokrúhľovať desatinné miesta na jednotky.

Aproximácia na celé čísla

Je potrebné poznamenať, že môžete zaokrúhľovať na jednotky rovnakým spôsobom ako na celé čísla. Princíp je rovnaký. Pozrime sa podrobnejšie na zaokrúhľovanie desatinných zlomkov na určitú číslicu v celočíselnej časti zlomku. Predstavte si príklad aproximácie 756,247 na desiatky. Na desiatom mieste sa nachádza číslo 5. Po zaokrúhlenom mieste nasleduje číslo 6. Preto je podľa pravidiel potrebné vykonať Ďalšie kroky:

• zaokrúhľovanie na desiatky na jednotku;
• pri vybíjaní jednotiek sa nahrádza číslo 6;
• číslice v zlomkovej časti čísla sú vyradené;
• výsledok je 760.

Venujme pozornosť niektorým hodnotám, v ktorých proces matematického zaokrúhľovania na celé čísla podľa pravidiel neodráža objektívny obraz. Ak vezmeme zlomok 8,499, potom jeho transformáciou podľa pravidla dostaneme 8.

Ale v skutočnosti to nie je celkom pravda. Ak zaokrúhľujeme kúsok po kúsku na celé čísla, potom dostaneme najskôr 8,5 a potom vyhodíme 5 za desatinnou čiarkou a zaokrúhlime nahor.

Čísla, s ktorými sa musíme vyrovnať skutočný život, sú dvoch typov. Niektoré presne vyjadrujú skutočnú hodnotu, iné len približné. Prvé sú tzv presné, druhy - približné.

V reálnom živote sa namiesto presných čísel najčastejšie používajú približné čísla, pretože tie sa zvyčajne nevyžadujú. Napríklad pri zadávaní množstva, ako je dĺžka alebo hmotnosť, sa používajú približné hodnoty. V mnohých rovnakých prípadoch presné číslo nemožné nájsť.

Pravidlá zaokrúhľovania

Ak chcete získať približnú hodnotu, číslo získané v dôsledku akýchkoľvek akcií musí byť zaokrúhlené, to znamená nahradené najbližším okrúhlym číslom.

Čísla sú vždy zaokrúhlené na najbližšie desatinné miesto. Prirodzené čísla sa zaokrúhľujú na desiatky, stovky, tisíce atď. Pri zaokrúhľovaní na desiatky sa nahrádzajú zaokrúhlenými číslami, ktoré pozostávajú len z celých desiatok, takéto čísla majú na jednotkovej číslici nuly. Pri zaokrúhľovaní na stovky sú čísla nahradené okrúhlejšími, pozostávajúcimi len z celých stoviek, to znamená, že nuly sú už na mieste jednotiek aj na mieste desiatok. A tak ďalej.

Desatinné čísla môžu byť zaoblené ako celé čísla, teda na desiatky, stovky atď. Môžu sa však zaokrúhliť aj na desatiny, stotiny, tisíciny atď. Pri zaokrúhľovaní desatinných miest sa číslice nevypĺňajú nulami, ale jednoducho sa vyhadzujú. V oboch prípadoch sa zaokrúhľuje podľa isté pravidlo:

Ak je vyradená číslica väčšia alebo rovná 5, predchádzajúca číslica sa musí zvýšiť o jednu a ak je menšia ako 5, predchádzajúca číslica sa nezmení.

Zvážte niekoľko príkladov zaokrúhľovania čísel:

• Zaokrúhlite 43 152 na najbližšiu tisícku. Tu je potrebné vyradiť 152 jednotiek, keďže číslo 1 je napravo od miesta tisícok, potom necháme predchádzajúci údaj nezmenený. Približná hodnota čísla 43152 zaokrúhlená na najbližšiu tisícku sa bude rovnať 43000.
• Zaokrúhlite 43152 na stovky. Prvé z vyradených čísel je 5, čo znamená, že predchádzajúce číslo zvýšime o jednu: 43152 ≈ 43200.
• Zaokrúhlenie 43152 na desiatky: 43152 ≈ 43150.
• Kolo 17,7438 na jednotky: 17,7438 ≈ 18.
• Kolo 17,7438 na desatiny: 17,7438 ≈ 17.7.
• Kolo 17,7438 na stotiny: 17,7438 ≈ 17,74.
• Zaokrúhlenie 17,7438 na tisíciny: 17,7438 ≈ 17,744.

Znak ≈ sa nazýva znak približnej rovnosti, číta sa - „približne rovný“.

Ak je pri zaokrúhľovaní čísla výsledok väčší ako počiatočná hodnota, zavolá sa výsledná hodnota približná hodnota s prebytkom ak menej - približná hodnota s nevýhodou:

7928 ≈ 8000, číslo 8000 je približná hodnota s prebytkom
5102 ≈ 5000, číslo 5000 je približná hodnota s nevýhodou

V niektorých prípadoch sa presný počet pri delení určitej sumy konkrétnym číslom v zásade nedá určiť. Napríklad pri delení 10 číslom 3 dostaneme 3,3333333333…..3, to znamená, že toto číslo nemožno použiť na počítanie konkrétnych položiek v iných situáciách. Potom by sa dané číslo malo zmenšiť na určitú číslicu, napríklad na celé číslo alebo na číslo s desatinným miestom. Ak prevedieme 3,3333333333…..3 na celé číslo, dostaneme 3, a ak prevedieme 3,3333333333….3 na číslo s desatinným miestom, dostaneme 3,3.

Pravidlá zaokrúhľovania

Čo je zaokrúhľovanie? Ide o vyradenie niekoľkých číslic, ktoré sú posledné v rade presných čísel. Takže podľa nášho príkladu sme zahodili všetky posledné číslice, aby sme dostali celé číslo (3), a zahodili číslice, pričom zostali len desiatky (3,3). Číslo možno zaokrúhliť na stotiny a tisíciny, desaťtisíciny a iné čísla. Všetko závisí od toho, ako presné číslo musí byť. Napríklad pri výrobe lekárske prípravky, množstvo každej zo zložiek lieku sa užíva s najväčšou presnosťou, pretože aj tisícina gramu môže byť smrteľná. Ak je potrebné vypočítať výkon žiakov v škole, tak sa najčastejšie používa číslo s desatinným alebo stotinovým miestom.

Pozrime sa na ďalší príklad, ktorý používa pravidlá zaokrúhľovania. Napríklad je tam číslo 3,583333, ktoré treba zaokrúhliť na tisíciny – po zaokrúhlení by sme mali mať za čiarkou tri číslice, čiže výsledkom bude číslo 3,583. Ak je toto číslo zaokrúhlené na desatiny, dostaneme nie 3,5, ale 3,6, pretože po „5“ je číslo „8“, ktoré sa už počas zaokrúhľovania rovná „10“. Podľa pravidiel zaokrúhľovania čísel teda musíte vedieť, že ak sú číslice väčšie ako „5“, posledná uložená číslica sa zvýši o 1. Ak je číslica menšia ako „5“, posledná uložená číslica zostane nezmenená. Takéto pravidlá pre zaokrúhľovanie platia bez ohľadu na to, či ide o celé číslo alebo o desiatky, stotiny atď. musíte zaokrúhliť číslo.

Vo väčšine prípadov, ak je potrebné zaokrúhliť číslo, ktorého posledná číslica je „5“, tento proces sa nevykoná správne. Existuje však aj pravidlo zaokrúhľovania, ktoré platí práve pre takéto prípady. Pozrime sa na príklad. Číslo 3,25 musíte zaokrúhliť na desatiny. Aplikovaním pravidiel pre zaokrúhľovanie čísel dostaneme výsledok 3.2. To znamená, že ak po „päťke“ nie je žiadna číslica alebo je tam nula, posledná číslica zostáva nezmenená, ale iba pod podmienkou, že je párna – v našom prípade je „2“ párna číslica. Ak by sme zaokrúhlili 3,35, výsledok by bol 3,4. Keďže v súlade s pravidlami zaokrúhľovania, ak je pred „5“ nepárna číslica, ktorú je potrebné odstrániť, nepárna číslica sa zvýši o 1. Ale len za podmienky, že za „5“ nie sú žiadne významné číslice. V mnohých prípadoch možno použiť zjednodušené pravidlá, podľa ktorých, ak sú za poslednou uloženou číslicou číslice od 0 do 4, uložená číslica sa nemení. Ak existujú ďalšie číslice, posledná číslica sa zvýši o 1.

Úloha č. 1. Zaokrúhlenie výsledkov meraní

Pri vykonávaní meraní je dôležité dodržiavať určité pravidlá pre zaokrúhľovanie a zaznamenávanie ich výsledkov v technickej dokumentácii, pretože pri nedodržaní týchto pravidiel sú možné významné chyby pri interpretácii výsledkov meraní.

Pravidlá písania čísel

1. Významné číslice daného čísla – všetky číslice od prvej zľava, ktorá sa nerovná nule, po poslednú sprava. V tomto prípade sa nuly vyplývajúce z faktora 10 neberú do úvahy.

Príklady.

číslo 12,0má tri platné číslice.

b) Číslo 30má dve platné číslice.

c) Číslo 12010 8 má tri platné číslice.

G) 0,51410 -3 má tri platné číslice.

e) 0,0056má dve platné číslice.

2. Ak je potrebné uviesť, že číslo je presné, za číslom sa uvedie slovo „presne“ alebo sa posledná platná číslica vytlačí tučným písmom. Napríklad: 1 kW/h = 3600 J (presne) alebo 1 kW/h = 360 0 J .

3. Rozlišujte záznamy o približných číslach podľa počtu platných číslic. Napríklad sa rozlišujú čísla 2,4 a 2,40. Zápis 2,4 znamená, že správne sú len celé čísla a desatiny, skutočná hodnota čísla môže byť napríklad 2,43 a 2,38. Zápis 2,40 znamená, že aj stotiny sú správne: skutočná hodnota čísla môže byť 2,403 a 2,398, ale nie 2,41 a nie 2,382. Zaznamenanie 382 znamená, že všetky číslice sú správne: ak za poslednú číslicu nie je možné ručiť, potom treba zapísať číslo 3,810 2 . Ak sú v čísle 4720 správne iba prvé dve číslice, malo by sa zapísať ako: 4710 2 alebo 4,710 3 .

4. Číslo, pre ktoré sa uvádza tolerancia, musí mať poslednú platnú číslicu rovnakej číslice ako posledná platná číslica odchýlky.

Príklady.

a) Správne: 17,0 + 0,2. nesprávne: 17 + 0,2alebo 17,00 + 0,2.

b) Správne: 12,13+ 0,17. nesprávne: 12,13+ 0,2.

c) Správne: 46,40+ 0,15. nesprávne: 46,4+ 0,15alebo 46,402+ 0,15.

5. Číselné hodnoty množstva a jeho chyby (odchýlky) by sa mali zaznamenávať s uvedením rovnakej jednotky množstva. Napríklad: (80 555 + 0,002) kg.

6. Intervaly medzi číselnými hodnotami veličín je niekedy vhodné zapisovať v textovej forme, potom predložka "od" znamená "", predložka "do" - "", predložka "nad" - ​​">", predložka "menej" - "<":

"d nadobúda hodnoty od 60 do 100“ znamená „60 d100",

"d nadobúda hodnoty nad 120 menšie ako 150“ znamená „120<d< 150",

"d nadobúda hodnoty nad 30 až 50“ znamená „30<d50".

Pravidlá zaokrúhľovania čísel

1. Zaokrúhlenie čísla je odmietnutie platných číslic doprava na určitú číslicu s možnou zmenou číslice tejto číslice.

2. Ak je prvá z vyradených číslic (počítajúc zľava doprava) menšia ako 5, posledná uložená číslica sa nezmení.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 12,23udávajú až tri platné číslice 12,2.

3. Ak je prvá z vyradených číslic (počítajúc zľava doprava) 5, posledná uložená číslica sa zvýši o jednu.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 0,145do dvoch číslic 0,15.

Poznámka . V tých prípadoch, keď je potrebné zohľadniť výsledky predchádzajúcich zaokrúhľovaní, postupujte nasledovne.

4. Ak sa vyradená číslica získa ako výsledok zaokrúhlenia nadol, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o jednu (s prechodom, ak je to potrebné, na ďalšie číslice), inak naopak. Platí to pre zlomkové aj celé čísla.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 0,25(získané ako výsledok predchádzajúceho zaokrúhlenia čísla 0,252) dáva 0,3.

4. Ak je prvá z vyradených číslic (počítajúc zľava doprava) viac ako 5, posledná uložená číslica sa zvýši o jednu.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 0,156udávajú až dve platné číslice 0,16.

5. Zaokrúhľovanie sa vykonáva okamžite na požadovaný počet platných číslic a nie postupne.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 565,46udávajú až tri platné číslice 565.

6. Celé čísla sa zaokrúhľujú podľa rovnakých pravidiel ako zlomkové.

Príklad: Zaokrúhlenie čísla 23456udávajú až dve platné číslice 2310 3

Číselná hodnota výsledku merania musí končiť číslicou s rovnakou číslicou ako chybová hodnota.

Príklad:číslo 235,732 + 0,15treba zaokrúhliť nahor 235,73 + 0,15ale nie skôr 235,7 + 0,15.

7. Ak je prvá z vyradených číslic (počítajúc zľava doprava) menšia ako päť, zostávajúce číslice sa nemenia.

Príklad: 442,749+ 0,4zaokrúhlené nahor 442,7+ 0,4.

8. Ak je prvá z vyradených číslic väčšia alebo rovná päť, potom sa posledná ponechaná číslica zvýši o jednu.

Príklad: 37,268 + 0,5zaokrúhlené nahor 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 musí byť zaoblenépredtým 37,3 + 0,5.

9. Zaokrúhľovanie by sa malo vykonať okamžite na požadovaný počet platných číslic, prírastkové zaokrúhľovanie môže viesť k chybám.

Príklad: Postupné zaokrúhľovanie výsledku merania 220,46+ 4dáva v prvom kroku 220,5+ 4a na druhom 221+ 4, pričom správny výsledok zaokrúhlenia je 220+ 4.

10. Ak je chyba meracích prístrojov označená iba jednou alebo dvoma platnými číslicami a vypočítaná hodnota chyby sa získa s veľkým počtom číslic, v konečnej hodnote vypočítanej chyby by sa mala ponechať iba prvá jedna alebo dve platné číslice. V tomto prípade, ak výsledné číslo začína číslicami 1 alebo 2, potom vynechanie druhého znamienka vedie k veľmi veľkej chybe (až 3050 %), čo je neprijateľné. Ak sa výsledné číslo začína číslom 3 alebo viac, napríklad číslom 9, potom je zachovanie druhého znaku, t.j. označenie chyby, napríklad 0,94 namiesto 0,9, je dezinformácia, pretože pôvodné údaje neposkytujú takú presnosť.

Na základe toho sa v praxi ustálilo nasledovné pravidlo: ak výsledné číslo začína platnou číslicou rovnou alebo väčšou ako 3, uloží sa do nej iba ono; ak sa začína platnými číslicami menšími ako 3, t.j. pri číslach 1 a 2 sú v ňom uložené dve platné číslice. V súlade s týmto pravidlom sa stanovujú aj normalizované hodnoty chýb meracích prístrojov: v číslach 1,5 a 2,5% sú uvedené dve platné číslice, ale v číslach 0,5; 4; 6 % uvádza iba jeden významný údaj.

Príklad:Na voltmetri triedy presnosti 2,5s limitom merania x TO = 300 V odčítaní nameraného napätia x = 267,5Q. Akou formou by mal byť výsledok merania zaznamenaný v správe?

Je vhodnejšie vypočítať chybu v nasledujúcom poradí: najprv musíte nájsť absolútnu chybu a potom relatívnu. Absolútna chyba  X =  0 X TO/100, pre zníženú chybu voltmetra  0 \u003d 2,5 % a limity merania (rozsah merania) zariadenia X TO= 300 V:  X= 2,5300/100 = 7,5 V ~ 8 V; relatívna chyba  =  X100/X = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Keďže prvá platná číslica hodnoty absolútnej chyby (7,5 V) je väčšia ako tri, mala by sa táto hodnota zaokrúhliť na 8 V podľa zvyčajných pravidiel zaokrúhľovania, ale v hodnote relatívnej chyby (2,81 %) je prvá platná číslica menšia ako 3, preto by sa v odpovedi mali uložiť dve desatinné miesta a uviesť  = 2,8 %. Prijatá hodnota X= 267,5 V treba zaokrúhliť na rovnaké desatinné miesto, ktorým končí zaokrúhlená hodnota absolútnej chyby, t.j. na celé jednotky voltov.

V konečnej odpovedi by sa teda malo uviesť: „Meranie bolo vykonané s relatívnou chybou  = 2,8 % . X= (268+ 8) B“.

V tomto prípade je prehľadnejšie uviesť vo formulári hranice intervalu neistoty nameranej hodnoty X= (260276) V alebo 260 VX276 V.

Pozrime sa na príklady zaokrúhlenia čísla na desatiny nahor pomocou pravidiel zaokrúhľovania.

Pravidlo pre zaokrúhľovanie čísel na desatiny.

Ak chcete zaokrúhliť desatinné miesto na desatiny, musíte za desatinnou čiarkou ponechať iba jednu číslicu a všetky ostatné číslice za ňou zahodiť.

Ak je prvá z vyradených číslic 0, 1, 2, 3 alebo 4, predchádzajúca číslica sa nezmení.

Ak je prvá z vyradených číslic 5, 6, 7, 8 alebo 9, predchádzajúca číslica sa zvýši o jednu.

Príklady.

Zaokrúhlené na desatiny:

Ak chcete zaokrúhliť číslo na desatiny, ponechajte prvú číslicu za desatinnou čiarkou a zvyšok zahoďte. Keďže prvá vyradená číslica je 5, predchádzajúcu číslicu zväčšíme o jednu. Čítajú: "Dvadsaťtri bodov sedemdesiatpäť stotín sa približne rovná dvadsiatim trom bodom osem."

Ak chcete toto číslo zaokrúhliť na desatiny, ponechajte iba prvú číslicu za desatinnou čiarkou, ostatné zahoďte. Prvá vyradená číslica je 1, takže predchádzajúca číslica sa nezmení. Čítajú: "Tristoštyridsaťosem bodov tridsaťjeden stotina sa približne rovná tristoštyridsaťjeden bodom tri."

Zaokrúhlením na desatiny necháme jednu číslicu za desatinnou čiarkou a zvyšok zahodíme. Prvá z vyradených číslic je 6, čo znamená, že predchádzajúcu zvýšime o jednu. Čítajú: "Štyridsaťdeväť bodov, deväťstošesťdesiatdva tisícin sa približne rovná päťdesiatim bodom, nula desatinám."

Zaokrúhľujeme na desatiny nahor, takže za čiarkou necháme len prvú z číslic, ostatné vyhodíme. Prvá z vyradených číslic je 4, čo znamená, že predchádzajúcu číslicu necháme nezmenenú. Čítajú: "Sedem dvadsaťosem tisícin sa približne rovná siedmim bodom nula desatín."

Na zaokrúhlenie na desatiny toto číslo ponecháva jednu číslicu za desatinnou čiarkou a všetky nasledujúce za ňou sa zahodia. Keďže prvá vyhodená číslica je 7, k predchádzajúcej pripočítame jednu. Čítajú: "Päťdesiatšesť bodov osemtisícsedemstošesť desaťtisícín sa približne rovná päťdesiatšesť bodom deväť desatín."

A ešte pár príkladov na zaokrúhľovanie na desatiny: