Stredná čiara lichobežníka. Ako nájsť stredovú čiaru lichobežníka

Stredová čiara lichobežníka je polovica súčtu dôvodov. Spája stredy strán lichobežníka a je vždy rovnobežná so základňami.

Ak sú základne lichobežníka a a b, potom stredná čiara m je m=(a+b)/2.

Ak je známa oblasť lichobežníka, potom možno nájsť strednú čiaru a iným spôsobom vydelením plochy lichobežníka S výškou lichobežníka h:

teda stredná čiara lichobežníka m=S/h

Existuje mnoho spôsobov, ako zistiť dĺžku stredovej čiary lichobežníka. Výber metódy závisí od zdrojových údajov.

Tu lichobežníkové vzorce dĺžky strednej čiary:

Ak chcete nájsť strednú čiaru lichobežníka, môžete použiť jeden z piatich vzorcov (nebudem ich vypisovať, pretože sú už v iných odpovediach), ale je to len v prípadoch, keď hodnoty počiatočného údaje, ktoré potrebujeme, sú známe.

V praxi musíme riešiť veľa problémov, keď nie je dostatok údajov a správna veľkosť ešte treba nájsť.

Tu sú možnosti

krok za krokom riešenie, aby všetky rovnaké podľa vzorca;

pomocou iných vzorcov zostaviť a vyriešiť potrebné rovnice.

zistenie dĺžky stredu lichobežníka metódou dodávky podľa vzorca, ktorý potrebujeme pomocou ďalších poznatkov z geometrie a zároveň aplikovaním algebraické rovnice:

Máme rovnoramenný lichobežník, jeho uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle, výška je 9 cm.

Urobíme nákres a vidíme, že tento problém nemožno vyriešiť priamo (nedostatok údajov)

Preto si to trochu zjednodušíme a výšku nakreslíme cez priesečník uhlopriečok.

Toto je prvý dôležitý krok, ktorý vedie k rýchlemu rozhodnutiu.

výšku označíme dvoma neznámymi, uvidíme rovnoramenné trojuholníky, ktoré potrebujeme so stranami X A pri

a môžeme ľahko nájsť súčet základov trapéz

to sa rovná 2x+2r

A až teraz môžeme použiť vzorec kde

a je to rovné x+y a podľa stavu problému je to dĺžka výšky rovná 9 cm.

A teraz sme odvodili niekoľko momentov pre rovnoramenný lichobežník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v pravom uhle

v takýchto lichobežníkoch

stredová čiara sa vždy rovná výške

plocha sa vždy rovná druhej mocnine výšky.

Stredová čiara lichobežníka je úsečka, ktorá spája stredné body strán lichobežníka.

Stredná čiara akéhokoľvek lichobežníka sa dá ľahko nájsť, ak použijete vzorec:

m = (a + b)/2

m je dĺžka stredovej čiary lichobežníka;

a, b sú dĺžky základov lichobežníka.

takže, dĺžka stredovej čiary lichobežníka je polovicou súčtu dĺžok základní.

Základný vzorec pre vzorec pre stredovú čiaru lichobežníka: dĺžka stredovej čiary lichobežníka sa rovná polovici súčtu e báz a a b: MN \u003d (a + b) 2. Dôkazom tohto vzorca je vzorec pre stredovú čiaru trojuholníka. Akýkoľvek lichobežník môže byť znázornený po nakreslení od koncov menšej základne výšky k väčšej základni. Uvažujú sa 2 výsledné trojuholníky a obdĺžnik. Potom vzorec pre stredovú čiaru lichobežník sa dá ľahko dokázať.

Aby sme našli strednú čiaru lichobežníka, potrebujeme poznať veľkosť základne.

Potom, čo sme našli tieto hodnoty, alebo nám možno boli známe, potom tieto čísla sčítame a jednoducho rozdelíme na polovicu.

Toto bude stredná čiara lichobežníka.

Pokiaľ si pamätám školské hodiny geometrie, aby ste našli dĺžku stredovej čiary lichobežníka, musíte spočítať dĺžky základne a vydeliť dvoma. Dĺžka stredovej čiary lichobežníka sa teda rovná polovici súčtu základov.

V tomto článku sa pokúsime čo najúplnejšie odrážať vlastnosti lichobežníka. Najmä budeme hovoriť o spoločné znaky a vlastnostiach lichobežníka, ako aj o vlastnostiach vpísaného lichobežníka a o kružnici vpísanej do lichobežníka. Dotkneme sa aj vlastností rovnoramenného a pravouhlého lichobežníka.

Príklad riešenia problému pomocou uvažovaných vlastností vám pomôže utriediť si veci v hlave a lepšie si zapamätať materiál.

Hrazda a všetko-všetko

Na začiatok si stručne pripomeňme, čo je lichobežník a aké ďalšie pojmy sú s ním spojené.

Lichobežník je teda štvoruholníkový obrazec, ktorého dve strany sú navzájom rovnobežné (toto sú základne). A dve nie sú rovnobežné - to sú strany.

V lichobežníku možno výšku vynechať - kolmo na základne. Stredná čiara a diagonály sú nakreslené. A tiež z akéhokoľvek uhla lichobežníka je možné nakresliť os.

Teraz budeme hovoriť o rôznych vlastnostiach spojených so všetkými týmito prvkami a ich kombináciami.

Vlastnosti uhlopriečok lichobežníka

Aby to bolo jasnejšie, pri čítaní si načrtnite ACME lichobežník na papier a nakreslite doň uhlopriečky.

Ak nájdete stredy každej z uhlopriečok (nazvime ich X a T) a spojíte ich, získate segment. Jednou z vlastností uhlopriečok lichobežníka je, že segment XT leží na stredovej čiare. A jeho dĺžku možno získať vydelením rozdielu základov dvoma: XT \u003d (a - b) / 2.
Pred nami je rovnaký lichobežník ACME. Uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Uvažujme trojuholníky AOE a IOC tvorené segmentmi uhlopriečok spolu so základňami lichobežníka. Tieto trojuholníky sú podobné. Koeficient podobnosti k trojuholníkov je vyjadrený pomerom základov lichobežníka: k = AE/KM.
Pomer plôch trojuholníkov AOE a IOC popisuje koeficient k 2 .
Všetko rovnaký lichobežník, rovnaké uhlopriečky pretínajúce sa v bode O. Tentoraz budeme uvažovať o trojuholníkoch, ktoré segmenty uhlopriečok tvorili spolu so stranami lichobežníka. Plochy trojuholníkov AKO a EMO sú rovnaké - ich plochy sú rovnaké.
Ďalšou vlastnosťou lichobežníka je konštrukcia uhlopriečok. Ak teda budeme pokračovať po stranách AK a ME v smere menšej základne, tak sa skôr či neskôr do nejakého bodu pretnú. Ďalej nakreslite priamku cez stredy základne lichobežníka. Pretína základne v bodoch X a T.
Ak teraz predĺžime priamku XT, potom spojí priesečník uhlopriečok lichobežníka O, bod, v ktorom sa pretínajú predĺženia strán a stredy základní X a T.
Cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment, ktorý bude spájať základne lichobežníka (T leží na menšej základni KM, X - na väčšom AE). Priesečník uhlopriečok rozdeľuje tento segment v nasledujúcom pomere: TO/OH = KM/AE.
A teraz cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka (a a b). Priesečník ho rozdelí na dve rovnaké časti. Dĺžku segmentu môžete zistiť pomocou vzorca 2ab/(a + b).

Vlastnosti stredovej čiary lichobežníka

Nakreslite strednú čiaru v lichobežníku rovnobežne s jeho základňami.

Dĺžku stredovej čiary lichobežníka možno vypočítať sčítaním dĺžok základní a ich rozdelením na polovicu: m = (a + b)/2.
Ak nakreslíte ľubovoľný segment (napríklad výšku) cez obe základne lichobežníka, stredná čiara ho rozdelí na dve rovnaké časti.

Vlastnosť osi lichobežníka

Vyberte ľubovoľný uhol lichobežníka a nakreslite os. Vezmite si napríklad uhol KAE nášho lichobežníka ACME. Po dokončení konštrukcie na vlastnú päsť môžete ľahko vidieť, že os oddeľuje od základne (alebo jej pokračovanie na priamke mimo samotnej postavy) segment rovnakej dĺžky ako strana.

Vlastnosti lichobežníkového uhla

Ktorýkoľvek z dvoch párov uhlov susediacich so stranou si vyberiete, súčet uhlov v páre je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0 .
Spojte stredy základov lichobežníka so segmentom TX. Teraz sa pozrime na uhly na základniach lichobežníka. Ak je súčet uhlov pre ktorýkoľvek z nich 90 0, dĺžka segmentu TX sa dá ľahko vypočítať na základe rozdielu v dĺžkach základní, rozdelených na polovicu: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Ak sú cez strany uhla lichobežníka nakreslené rovnobežné čiary, rozdelia strany uhla na proporcionálne segmenty.

Vlastnosti rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka

V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na ktorejkoľvek základni rovnaké.
Teraz znova postavte lichobežník, aby ste si ľahšie predstavili, o čo ide. Pozorne sa pozrite na základňu AE - vrchol opačnej základne M sa premieta do určitého bodu na priamke, ktorá obsahuje AE. Vzdialenosť od vrcholu A k bodu premietania vrcholu M a stredová čiara rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
Niekoľko slov o vlastnosti uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka - ich dĺžky sú rovnaké. A tiež uhly sklonu týchto uhlopriečok k základni lichobežníka sú rovnaké.
Kruh možno opísať len v blízkosti rovnoramenného lichobežníka, pretože súčet protiľahlých uhlov štvoruholníka 180° je na to predpokladom.
Vlastnosť rovnoramenného lichobežníka vyplýva z predchádzajúceho odseku – ak sa dá v blízkosti lichobežníka opísať kružnica, ide o rovnoramenný.
Z vlastností rovnoramenného lichobežníka vyplýva vlastnosť výšky lichobežníka: ak sa jeho uhlopriečky pretínajú v pravom uhle, potom sa dĺžka výšky rovná polovici súčtu základní: h = (a + b)/2.
Nakreslite čiaru TX znova cez stredy základov lichobežníka - v rovnoramennom lichobežníku je kolmá na základne. A zároveň je TX osou symetrie rovnoramenného lichobežníka.
Tentoraz nižšie k väčšej základni (nazvime to a) na výšku od protiľahlého vrcholu lichobežníka. Dostanete dva rezy. Dĺžku jedného možno nájsť, ak sa dĺžky základne spočítajú a rozdelia na polovicu: (a+b)/2. Druhý dostaneme, keď odčítame menší od väčšieho základu a výsledný rozdiel vydelíme dvoma: (a – b)/2.

Vlastnosti lichobežníka vpísaného do kruhu

Keďže už hovoríme o lichobežníku vpísanom do kruhu, poďme sa venovať tejto problematike podrobnejšie. Najmä, kde je stred kruhu vo vzťahu k lichobežníku. Aj tu sa odporúča, aby ste neboli príliš leniví na to, aby ste zobrali ceruzku a nakreslili to, o čom sa bude diskutovať nižšie. Takže rýchlejšie pochopíte a lepšie si zapamätáte.

Umiestnenie stredu kruhu je určené uhlom sklonu uhlopriečky lichobežníka k jeho strane. Napríklad uhlopriečka môže vychádzať z vrcholu lichobežníka v pravom uhle na stranu. V tomto prípade väčšia základňa pretína stred opísanej kružnice presne v strede (R = ½AE).
Uhlopriečka a strana sa môžu stretnúť aj v ostrom uhle - vtedy je stred kruhu vo vnútri lichobežníka.
Stred opísanej kružnice môže byť mimo lichobežníka, za jeho veľkou základňou, ak je medzi uhlopriečkou lichobežníka a bočnou stranou tupý uhol.
Uhol tvorený uhlopriečkou a veľkou základňou lichobežníka ACME (vpísaný uhol) je polovičný. centrálny roh, čo tomu zodpovedá: MAE = ½ MY.
Stručne o dvoch spôsoboch, ako zistiť polomer kružnice opísanej. Prvý spôsob: pozorne sa pozrite na svoj výkres - čo vidíte? Ľahko si všimnete, že uhlopriečka rozdeľuje lichobežník na dva trojuholníky. Polomer možno zistiť pomerom strany trojuholníka k sínusu opačného uhla, vynásobeným dvoma. Napríklad, R \u003d AE / 2 * sinNAME. Podobne možno vzorec napísať pre ktorúkoľvek zo strán oboch trojuholníkov.
Metóda dva: nájdeme polomer opísanej kružnice cez oblasť trojuholníka tvoreného uhlopriečkou, stranou a základňou lichobežníka: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Vlastnosti lichobežníka opísaného okolo kruhu

Ak je splnená jedna podmienka, môžete vpísať kruh do lichobežníka. Viac o tom nižšie. A dokopy má táto kombinácia figúrok množstvo zaujímavých vlastností.

Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, dĺžku jeho stredovej čiary možno ľahko zistiť sčítaním dĺžok strán a vydelením výsledného súčtu na polovicu: m = (c + d)/2.
Pre lichobežník ACME opísaný okolo kruhu sa súčet dĺžok základní rovná súčtu dĺžok strán: AK + ME = KM + AE.
Z tejto vlastnosti základov lichobežníka vyplýva opačné tvrdenie: do tohto lichobežníka možno vpísať kruh, ktorého súčet základov sa rovná súčtu strán.
Dotykový bod kružnice s polomerom r vpísanej do lichobežníka rozdeľuje bočnú stranu na dva segmenty, nazvime ich a a b. Polomer kruhu možno vypočítať pomocou vzorca: r = √ab.
A ešte jedna nehnuteľnosť. Aby ste neboli zmätení, nakreslite tento príklad sami. Máme starý dobrý lichobežník ACME opísaný okolo kruhu. Sú v ňom nakreslené uhlopriečky, pretínajúce sa v bode O. Trojuholníky AOK a EOM tvorené segmentmi uhlopriečok a strán sú pravouhlé.
Výšky týchto trojuholníkov, znížených na prepony (t. j. strany lichobežníka), sa zhodujú s polomermi vpísanej kružnice. A výška lichobežníka je rovnaká ako priemer vpísanej kružnice.

Vlastnosti pravouhlého lichobežníka

Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ktorého jeden z rohov je pravý. A z tejto okolnosti pramenia aj jeho vlastnosti.

Obdĺžnikový lichobežník má jednu zo strán kolmú na základne.
Výška a strana priľahlého lichobežníka pravý uhol, sú si rovné. To vám umožní vypočítať plochu obdĺžnikového lichobežníka (všeobecný vzorec S = (a + b) * h/2) nielen cez výšku, ale aj cez stranu susediacu s pravým uhlom.
Pre pravouhlý lichobežník sú dôležité všeobecné vlastnosti lichobežníkových uhlopriečok, ktoré už boli opísané vyššie.

Dôkazy niektorých vlastností lichobežníka

Rovnosť uhlov na základni rovnoramenného lichobežníka:

Pravdepodobne ste už uhádli, že tu opäť potrebujeme lichobežník ACME - nakreslite rovnoramenný lichobežník. Nakreslite čiaru MT z vrcholu M rovnobežnú so stranou AK (MT || AK).

Výsledný štvoruholník AKMT je rovnobežník (AK || MT, KM || AT). Pretože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.

AK || MT, teda MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Teraz to dokážeme na základe vlastnosti rovnoramenného lichobežníka (rovnosť uhlopriečok). lichobežník ACME je rovnoramenný:

Na začiatok nakreslíme priamku МХ – МХ || KE. Dostaneme rovnobežník KMHE (základ - MX || KE a KM || EX).

∆AMH je rovnoramenný, pretože AM = KE = MX a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, teda MAE = MXE.

Ukázalo sa, že trojuholníky AKE a EMA sú si navzájom rovné, pretože AM \u003d KE a AE - spoločná strana dva trojuholníky. A tiež MAE \u003d MXE. Môžeme dospieť k záveru, že AK = ME, a z toho vyplýva, že lichobežník AKME je rovnoramenný.

Úloha na zopakovanie

Základy lichobežníka ACME sú 9 cm a 21 cm, strana KA, rovná 8 cm, zviera uhol 150 0 s menšou základňou. Musíte nájsť oblasť lichobežníka.

Riešenie: Z vrcholu K znížime výšku na väčšiu základňu lichobežníka. A začnime sa pozerať na uhly lichobežníka.

Uhly AEM a KAN sú jednostranné. To znamená, že ich je spolu 1800. Preto KAN = 30 0 (na základe vlastnosti uhlov lichobežníka).

Uvažujme teraz o obdĺžnikovom ∆ANK (myslím, že tento bod je čitateľom zrejmý bez ďalšieho dôkazu). Z nej zistíme výšku lichobežníka KH - v trojuholníku je to noha, ktorá leží oproti uhlu 30 0. Preto KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Oblasť lichobežníka sa nachádza podľa vzorca: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Doslov

Ak ste si pozorne a premyslene preštudovali tento článok, neboli príliš leniví na to, aby ste si ceruzkou v rukách nakreslili lichobežníky pre všetky vyššie uvedené vlastnosti a v praxi ich rozobrali, mali ste materiál dobre ovládať.

Samozrejme, je tu veľa informácií, pestrých a niekedy aj mätúcich: zameniť vlastnosti opísaného lichobežníka s vlastnosťami vpísaného nie je také ťažké. Sami ste však videli, že rozdiel je obrovský.

Teraz máte podrobné zhrnutie všetkých všeobecných vlastností lichobežníka. Rovnako ako špecifické vlastnosti a znaky rovnoramenných a pravouhlých lichobežníkov. Je veľmi výhodné použiť na prípravu na testy a skúšky. Vyskúšajte to sami a zdieľajte odkaz so svojimi priateľmi!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Úsek priamky spájajúcej stredy strán lichobežníka sa nazýva stredová čiara lichobežníka. Ako nájsť strednú čiaru lichobežníka a ako súvisí s ostatnými prvkami tohto obrázku, popíšeme nižšie.

Stredová veta

Nakreslíme lichobežník, v ktorom je AD väčšia základňa, BC je menšia základňa, EF je stredná čiara. Predĺžme základňu AD za bod D. Nakreslite priamku BF a pokračujte v nej, kým sa nepretne s pokračovaním základne AD v bode O. Uvažujme trojuholníky ∆BCF a ∆DFO. Uhly ∟BCF = ∟DFO ako vertikálne. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, pretože VS // AO. Preto trojuholníky ∆BCF = ∆DFO. Preto strany BF = FO.

Teraz zvážte ∆ABO a ∆EBF. ∟ABO je spoločné pre oba trojuholníky. BE/AB = ½ podľa konvencie, BF/BO = ½, pretože ∆BCF = ∆DFO. Preto sú trojuholníky ABO a EFB podobné. Preto pomer strán EF / AO = ½, ako aj pomer ostatných strán.

Nájdeme EF = ½ AO. Nákres ukazuje, že AO = AD + DO. DO = BC ako strany rovnaké trojuholníky, takže AO = AD + BC. Preto EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tie. dĺžka stredovej čiary lichobežníka je polovica súčtu základov.

Je stredná čiara lichobežníka vždy rovná polovici súčtu základní?

Predpokladajme, že existuje špeciálny prípad keď EF ≠ ½ (AD + BC). Potom BC ≠ DO, teda ∆BCF ≠ ∆DCF. Ale to je nemožné, pretože medzi sebou majú dva rovnaké uhly a strany. Preto je veta pravdivá za všetkých podmienok.

Problém strednej čiary

Predpokladajme, že v našom lichobežníku ABCD AD // BC je ∟A=90°, ∟С = 135°, AB = 2 cm, uhlopriečka AC je kolmá na stranu. Nájdite stredovú čiaru lichobežníka EF.

Ak ∟A = 90°, potom ∟B = 90°, takže ∆ABC je pravouhlé.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° podľa konvencie, preto ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Ak v pravouhlom trojuholníku ∆ABS je jeden uhol 45°, potom sú nohy v ňom rovnaké: AB = BC = 2 cm.

Hypotenza AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 cm.

Zvážte ∆ACD. ∟ACD = 90° podľa konvencie. ∟CAD = ∟BCA = 45° ako uhly, ktoré zviera sečna rovnobežných základní lichobežníka. Preto nohy AC = CD = √8.

Prepona AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Stredová čiara lichobežníka EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.

Ciele lekcie:

1) oboznámiť študentov s pojmom stredová čiara lichobežníka, zvážiť jeho vlastnosti a dokázať ich;

2) naučiť, ako postaviť strednú čiaru lichobežníka;

3) rozvíjať schopnosť žiakov využívať definíciu strednej čiary lichobežníka a vlastnosti strednej čiary lichobežníka pri riešení úloh;

4) pokračovať v rozvíjaní schopnosti žiakov správne hovoriť s použitím potrebných matematických výrazov; dokázať svoj názor;

5) rozvíjať logické myslenie, pamäť, pozornosť.

Počas vyučovania

1. Kontrola domácich úloh prebieha počas vyučovacej hodiny. Domáca úloha bola ústna, pamätajte:

a) definícia lichobežníka; druhy lichobežníka;

b) určenie stredovej čiary trojuholníka;

c) vlastnosť stredovej čiary trojuholníka;

d) znak stredovej čiary trojuholníka.

2. Učenie sa nového materiálu.

a) Lichobežník ABCD je zobrazený na doske.

b) Učiteľ ponúka zapamätať si definíciu lichobežníka. Každý stôl má náčrtovú schému, ktorá pomáha zapamätať si základné pojmy v téme „lichobežník“ (pozri prílohu 1). Príloha 1 je vydaná pre každý stôl.

Žiaci si do zošita nakreslia lichobežník ABCD.

c) Učiteľ navrhne pripomenúť si, v ktorej téme sa vyskytol pojem stredná čiara („Stredná čiara trojuholníka“). Žiaci si pripomenú definíciu stredovej čiary trojuholníka a jej vlastnosti.

e) Zapíšte si definíciu strednej čiary lichobežníka a znázornite ju do zošita.

stredná čiara Lichobežník sa nazýva segment spájajúci stredy jeho strán.

Vlastnosť strednej čiary lichobežníka v tejto fáze zostáva nepreukázaná, takže ďalšia fáza lekcie zahŕňa prácu na dôkaze vlastnosti strednej čiary lichobežníka.

Veta. Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná s jeho základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Vzhľadom na to: ABCD - lichobežník,

MN - stredná čiara ABCD

dokázať, Čo:

1. pred Kr || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Môžeme si zapísať niektoré dôsledky vyplývajúce z podmienok vety:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

Len na základe uvedených vlastností nie je možné dokázať, čo sa požaduje. Systém otázok a cvičení má viesť žiakov k túžbe spojiť stredovú čiaru lichobežníka so strednou čiarou nejakého trojuholníka, ktorého vlastnosti už poznajú. Ak neexistujú žiadne návrhy, môžeme si položiť otázku: ako zostrojiť trojuholník, pre ktorý by úsečka MN bola strednou čiarou?

Napíšme dodatočnú konštrukciu pre jeden z prípadov.

Narysujme čiaru BN pretínajúcu predĺženie strany AD v bode K.

Objavujú sa ďalšie prvky - trojuholníky: ABD, BNM, DNK, BCN. Ak dokážeme, že BN = NK, potom to bude znamenať, že MN je stredná čiara ABD, a potom môžeme použiť vlastnosť strednej čiary trojuholníka a dokázať to potrebné.

dôkaz:

1. Zvážte BNC a DNK, v nich:

a) ČNB =DNK (majetok vertikálne uhly);

b) BCN = NDK (vlastnosť vnútorných priečnych uhlov);

c) CN = ND (podľa hypotézy vety).

Takže BNC = DNK (na strane a dvoch rohoch priľahlých k nej).

Q.E.D.

Dôkaz je možné vykonať ústne na vyučovacej hodine, obnoviť a zapísať do zošita doma (podľa uváženia učiteľa).

Je potrebné spomenúť ďalšie možné spôsoby dokázania tejto vety:

1. Nakreslite jednu z uhlopriečok lichobežníka a použite znamienko a vlastnosť strednej čiary trojuholníka.

2. Spustite CF || BA a zvážte rovnobežník ABCF a DCF.

3. Spustite EF || BA a zvážiť rovnosť FND a ENC.

g) V tejto fáze sa zadáva domáca úloha: str.84, učebnica, vyd. Atanasyan L.S. (dôkaz o vlastnosti stredovej čiary lichobežníka vektorovým spôsobom), zapíšte si do zošita.

h) Úlohy na použitie definície a vlastností stredovej čiary lichobežníka riešime podľa hotových výkresov (pozri prílohu 2). Prílohu 2 dostane každý študent a riešenie úloh je vypracované na tom istom liste v skrátenej forme.

Lichobežník je špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom je jeden pár strán rovnobežný. Pojem „lichobežník“ pochádza z gréckeho slova τράπεζα, čo znamená „stôl“, „stôl“. V tomto článku zvážime typy lichobežníka a jeho vlastnosti. Okrem toho prídeme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky tohto príkladu, uhlopriečku rovnoramenného lichobežníka, stredovú čiaru, plochu atď. Materiál je prezentovaný v štýle elementárnej populárnej geometrie, teda v ľahko dostupnom formulár.

Všeobecné informácie

Po prvé, poďme pochopiť, čo je štvoruholník. Tento obrázok je špeciálny prípad mnohouholníka, ktorý obsahuje štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nesusedia, sa nazývajú opačné. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavné typy štvoruholníkov sú rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Takže späť na hrazdu. Ako sme už povedali, tento obrazec má dve strany, ktoré sú rovnobežné. Nazývajú sa základne. Ďalšie dve (neparalelné) sú strany. V materiáloch na skúšku a rôzne kontrolné práce veľmi často sa môžete stretnúť s úlohami súvisiacimi s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje od študenta znalosti, ktoré mu program neposkytuje. Kurz školskej geometrie oboznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok, ako aj so stredovou čiarou rovnoramenného lichobežníka. Ale koniec koncov, okrem toho má spomínaný geometrický útvar aj iné črty. Ale viac o nich neskôr...

Typy lichobežníka

Existuje mnoho typov tejto postavy. Najčastejšie je však zvyčajné zvážiť dva z nich - rovnoramenné a obdĺžnikové.

1. Obdĺžnikový lichobežník je obrazec, ktorého jedna zo strán je kolmá na základne. Má dva uhly, ktoré majú vždy deväťdesiat stupňov.

2. Rovnoramenný lichobežník je geometrický útvar, ktorého strany sú si navzájom rovné. To znamená, že uhly na základniach sú tiež párovo rovnaké.

Hlavné princípy metodiky štúdia vlastností lichobežníka

Hlavným princípom je využitie tzv. task approach. V skutočnosti nie je potrebné zavádzať nové vlastnosti tohto útvaru do teoretického kurzu geometrie. Môžu byť objavené a formulované v procese riešenia rôznych problémov (lepšie ako systémové). Zároveň je veľmi dôležité, aby učiteľ vedel, aké úlohy treba žiakom v tom či onom čase nastaviť. vzdelávací proces. Okrem toho môže byť každá vlastnosť lichobežníka reprezentovaná ako kľúčová úloha v systéme úloh.

Druhým princípom je takzvaná špirálová organizácia štúdia „pozoruhodných“ vlastností lichobežníka. To znamená návrat v procese učenia k jednotlivým znakom daného geometrického útvaru. Študenti si ich teda ľahšie zapamätajú. Napríklad vlastnosť štyroch bodov. Dá sa to dokázať tak pri štúdiu podobnosti, ako aj následne pomocou vektorov. Rovnakú plochu trojuholníkov susediacich so stranami obrázku je možné dokázať použitím nielen vlastností trojuholníkov s rovnakými výškami nakreslených na stranách, ktoré ležia na tej istej čiare, ale aj pomocou vzorca S= 1/2 (ab*sinα). Okrem toho môžete cvičiť na vpísanom lichobežníku alebo pravouhlom trojuholníku na opísanom lichobežníku atď.

Využitie „mimoprogramových“ vlastností geometrického útvaru v obsahu školského kurzu je technológiou úloh na ich výučbu. Neustále apelovanie na študované vlastnosti pri prechode inými témami umožňuje študentom hlbšie poznanie lichobežníka a zabezpečuje úspešnosť riešenia úloh. Začnime teda študovať túto nádhernú postavu.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako sme už uviedli, strany tohto geometrického útvaru sú rovnaké. Je tiež známy ako pravý lichobežník. Prečo je taký pozoruhodný a prečo dostal také meno? Medzi vlastnosti tohto obrázku patrí skutočnosť, že nielen strany a rohy na základniach sú rovnaké, ale aj uhlopriečky. Súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je tiež 360 stupňov. Ale to nie je všetko! Zo všetkých známych lichobežníkov možno opísať kruh iba okolo rovnoramenného. Je to spôsobené tým, že súčet opačných uhlov tohto obrázku je 180 stupňov a iba za tejto podmienky možno opísať kruh okolo štvoruholníka. Ďalšou vlastnosťou uvažovaného geometrického útvaru je, že vzdialenosť od vrcholu základne k priemetu opačného vrcholu na priamku, ktorá obsahuje túto základňu, sa bude rovnať stredovej čiare.

Teraz poďme zistiť, ako nájsť uhly rovnoramenného lichobežníka. Zvážte riešenie tohto problému za predpokladu, že sú známe rozmery strán obrázku.

Riešenie

Zvyčajne sa štvoruholník zvyčajne označuje písmenami A, B, C, D, kde BS a AD sú základne. V rovnoramennom lichobežníku sú strany rovnaké. Budeme predpokladať, že ich veľkosť je X a veľkosti základne sú Y a Z (menšie a väčšie). Na vykonanie výpočtu je potrebné nakresliť výšku H z uhla B. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB je prepona a BN a AN sú nohy. Vypočítame veľkosť nohy AN: menšiu odčítame od väčšej základne a výsledok vydelíme 2. Zapíšeme ho vo forme vzorca: (Z-Y) / 2 \u003d F. Teraz vypočítame ostrý uhol trojuholníka, použijeme funkciu cos. Dostaneme nasledujúci záznam: cos(β) = Х/F. Teraz vypočítame uhol: β=arcos (Х/F). Ďalej, keď poznáme jeden uhol, môžeme určiť druhý, preto vykonáme elementárnu aritmetickú operáciu: 180 - β. Všetky uhly sú definované.

Existuje aj druhé riešenie tohto problému. Na začiatku znížime výšku H od rohu B. Vypočítame hodnotu nohy BN. Vieme, že druhá mocnina prepony správny trojuholník sa rovná súčtuštvorce nôh. Dostaneme: BN \u003d √ (X2-F2). Ďalej použijeme goniometrická funkcia tg. V dôsledku toho máme: β = arctg (BN / F). Ostrý roh nájdené. Ďalej určíme rovnakým spôsobom ako pri prvej metóde.

Vlastnosť uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka

Najprv si napíšme štyri pravidlá. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom:

Výška postavy sa bude rovnať súčtu základov vydelených dvoma;

Jeho výška a stredná čiara sú rovnaké;

Stred kruhu je bod, kde je ;

Ak je bočná strana rozdelená bodom dotyku na segmenty H a M, potom sa rovná odmocnina produkty týchto segmentov;

Štvoruholník, ktorý tvorili dotykové body, vrchol lichobežníka a stred vpísanej kružnice, je štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru;

Plocha postavy sa rovná súčinu základov a súčinu polovice súčtu základov a jeho výšky.

Podobné lichobežníky

Táto téma je veľmi vhodná na štúdium vlastností tejto: Napríklad uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky a tie susediace so základňami sú podobné a so stranami sú rovnaké. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosťou trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvá časť tohto tvrdenia je dokázaná prostredníctvom kritéria podobnosti v dvoch uhloch. Na dôkaz druhej časti je lepšie použiť metódu uvedenú nižšie.

Dôkaz vety

Akceptujeme, že obrazec ABSD (AD a BS - základne lichobežníka) je rozdelený uhlopriečkami VD a AC. Ich priesečník je O. Získame štyri trojuholníky: AOS - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a BOS majú spoločnú výšku, ak segmenty BO a OD sú ich základňami. Dostaneme, že rozdiel medzi ich plochami (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmentmi: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Preto PSOD = PBOS / K. Podobne trojuholníky BOS a AOB majú spoločnú výšku. Za ich základ berieme segmenty CO a OA. Získame PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K a PAOB \u003d PBOS / K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Na upevnenie učiva sa žiakom odporúča nájsť súvislosť medzi plochami výsledných trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami, riešením nasledujúcej úlohy. Je známe, že oblasti trojuholníkov BOS a AOD sú rovnaké, je potrebné nájsť oblasť lichobežníka. Keďže PSOD \u003d PAOB, znamená to, že PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD vyplýva, že BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Preto PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dostaneme PSOD = √ (PBOS * PAOD). Potom PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

vlastnosti podobnosti

Pokračovaním v rozvíjaní tejto témy môžeme dokázať aj iné zaujímavé funkcie lichobežník. Takže pomocou podobnosti môžete dokázať vlastnosť segmentu, ktorý prechádza bodom, tvorené križovatkou uhlopriečky tohto geometrického útvaru, rovnobežné so základňami. K tomu riešime nasledovnú úlohu: je potrebné nájsť dĺžku úsečky RK, ktorá prechádza bodom O. Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOS vyplýva, že AO/OS=AD/BS. Z podobnosti trojuholníkov AOP a ASB vyplýva, že AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odtiaľ dostaneme, že RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBS vyplýva, že OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=OK a RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok, rovnobežný so základňami a spájajúci obe strany, je rozdelený priesečníkom na polovicu. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základov postavy.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť lichobežníka, ktorá sa nazýva vlastnosť štyroch bodov. Priesečníky uhlopriečok (O), priesečníky pokračovania strán (E), ako aj stredy základní (T a W) ležia vždy na tej istej priamke. To sa dá ľahko dokázať pomocou metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky BES a AED sú podobné a v každom z nich mediány ET a EZH rozdeľujú uhol vo vrchole E na rovnaké časti. Preto body E, T a W ležia na tej istej priamke. Rovnakým spôsobom sa na tej istej priamke nachádzajú body T, O a G. To všetko vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD. Z toho usudzujeme, že všetky štyri body – E, T, O a W – budú ležať na jednej priamke.

Pomocou podobných lichobežníkov môžu byť študenti požiadaní, aby našli dĺžku segmentu (LF), ktorý rozdeľuje obrazec na dva podobné. Tento segment by mal byť rovnobežný so základňami. Keďže výsledné lichobežníky ALFD a LBSF sú podobné, potom BS/LF=LF/BP. Z toho vyplýva, že LF=√(BS*BP). Dostaneme, že segment, ktorý rozdeľuje lichobežník na dva podobné, má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základne obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Je založená na segmente, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnako veľké postavy. Akceptujeme, že lichobežník ABSD je segmentom EN rozdelený na dva podobné. Z vrcholu B je vynechaná výška, ktorá je rozdelená segmentom EH na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 a PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ďalej zostavíme systém, ktorého prvá rovnica je (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 a druhá (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Z toho vyplýva, že B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) a BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dostaneme, že dĺžka úsečky deliacej lichobežník na dva rovnaké sa rovná strednej štvorci dĺžok základní: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Úsudky o podobnosti

Dokázali sme teda, že:

1. Segment spájajúci stredy strán lichobežníka je rovnobežný s AD a BS a rovná sa aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Priamka prechádzajúca bodom O priesečníka uhlopriečok rovnobežných s AD a BS sa bude rovnať harmonickému priemeru čísel AD a BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Úsečka, ktorá rozdeľuje lichobežník na podobné, má dĺžku geometrického priemeru základní BS a AD.

4. Prvok, ktorý delí obrazec na dva rovnaké, má dĺžku stredných štvorcových čísel AD a BS.

Na upevnenie materiálu a pochopenie spojenia medzi uvažovanými segmentmi ich študent potrebuje postaviť pre konkrétny lichobežník. Ľahko dokáže zobraziť stredovú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečníkom uhlopriečok obrazca - rovnobežne so základňami. Ale kde bude tretí a štvrtý? Táto odpoveď privedie študenta k objaveniu požadovaného vzťahu medzi priemermi.

Úsečka, ktorá spája stredy uhlopriečok lichobežníka

Zvážte nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Akceptujeme, že úsečka MH je rovnobežná so základňami a pretína uhlopriečky. Priesečníky nazvime W a W. Tento segment sa bude rovnať polovičnému rozdielu báz. Poďme to analyzovať podrobnejšie. MSH - stredná čiara trojuholníka ABS, rovná sa BS / 2. MS - stredná čiara trojuholníka ABD, rovná sa AD / 2. Potom dostaneme, že ShShch = MShch-MSh, teda Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok určený pre daný geometrický útvar. K tomu je potrebné rozšíriť pozemky v protiľahlé strany. Čo to znamená? Je potrebné pridať spodnú základňu k hornej základni - na ktorúkoľvek zo strán, napríklad vpravo. A spodok je predĺžený o dĺžku vrchu doľava. Ďalej ich spojíme uhlopriečkou. Priesečník tohto segmentu so strednou čiarou obrázku je ťažisko lichobežníka.

Vpísané a ohraničené lichobežníky

Vymenujme vlastnosti takýchto postáv:

1. Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu len vtedy, ak je rovnoramenný.

2. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu za predpokladu, že súčet dĺžok ich základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Dôsledky vpísanej kružnice:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Bočná strana opísaného lichobežníka sa pozoruje od stredu kruhu v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý a na preukázanie druhého je potrebné zistiť, či je uhol SOD správny, čo v skutočnosti tiež nebude ťažké. Ale znalosť tejto vlastnosti nám umožní použiť pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Teraz špecifikujeme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník, ktorý je vpísaný do kruhu. Dostaneme, že výška je geometrickým priemerom základov obrázku: H=2R=√(BS*AD). Pri precvičovaní hlavnej techniky riešenia úloh pre lichobežníky (princíp kreslenia dvoch výšok) musí študent vyriešiť nasledujúcu úlohu. Akceptujeme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Pomocou vyššie opísaného vzorca to nebude ťažké.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti ohraničeného lichobežníka. Znížime výšku z vrcholu B na základňu AD. Pretože kruh je vpísaný do lichobežníka, potom BS + AD \u003d 2AB alebo AB \u003d (BS + AD) / 2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dostaneme PABSD \u003d (BS + HELL) * R, z toho vyplýva, že R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Všetky vzorce strednej čiary lichobežníka

Teraz je čas prejsť na posledný prvok tohto geometrického útvaru. Poďme zistiť, čomu sa rovná stredná čiara lichobežníka (M):

1. Cez základne: M \u003d (A + B) / 2.

2. Cez výšku, základňu a uhly:

M \u003d A-H* (ctga + ctgp)/2;

M \u003d B + H * (ctga + ctgp) / 2.

3. Cez výšku, uhlopriečky a uhol medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú uhlopriečky lichobežníka; α, β - uhly medzi nimi:

M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinp/2H.

4. Cez plochu a výšku: M = P / N.