• Preklad

Vlastnosti základné čísla najprv začal študovať matematiku Staroveké Grécko. Matematici pytagorejskej školy (500 - 300 pred Kristom) sa zaujímali predovšetkým o mystické a numerologické vlastnosti prvočísel. Ako prví prišli s nápadmi o dokonalých a priateľských číslach.

Dokonalé číslo má súčet svojich vlastných deliteľov rovný sebe samému. Napríklad správnymi deliteľmi čísla 6 sú 1, 2 a 3. 1 + 2 + 3 = 6. Deliteľmi čísla 28 sú 1, 2, 4, 7 a 14. Navyše 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Čísla sa nazývajú priateľské, ak sa súčet vlastných deliteľov jedného čísla rovná druhému a naopak - napríklad 220 a 284. Môžeme povedať, že dokonalé číslo je priateľské samo k sebe.

V čase Euklidových prvkov v roku 300 p.n.l. Niekoľko dôležitých faktov o prvočíslach už bolo dokázaných. V knihe IX prvkov Euklides dokázal, že existuje nekonečný počet prvočísel. Toto je mimochodom jeden z prvých príkladov použitia dôkazu protirečením. Dokazuje tiež základnú vetu aritmetiky - každé celé číslo môže byť reprezentované jednoznačne ako súčin prvočísel.

Ukázal tiež, že ak je číslo 2n-1 prvočíslo, potom číslo 2n-1 * (2n-1) bude dokonalé. Iný matematik Euler dokázal v roku 1747 ukázať, že všetky párne dokonalé čísla sa dajú zapísať v tejto forme. Dodnes nie je známe, či existujú nepárne dokonalé čísla.

V roku 200 pred Kr. Grék Eratosthenes prišiel s algoritmom na hľadanie prvočísel, ktorý sa nazýva Eratosthenovo sito.

A potom nastal veľký zlom v dejinách skúmania prvočísel, spojený so stredovekom.

Nasledujúce objavy urobil už začiatkom 17. storočia matematik Fermat. Dokázal domnienku Alberta Girarda, že každé prvočíslo v tvare 4n+1 možno zapísať jednoznačne ako súčet dvoch štvorcov, a tiež sformuloval vetu, že každé číslo možno zapísať ako súčet štyroch štvorcov.

Vyvinul sa nová metóda faktorizácia veľké čísla, a demonštroval to na čísle 2027651281 = 44021 × 46061. Dokázal aj Fermatovu Malú vetu: ak je p prvočíslo, potom pre akékoľvek celé číslo a bude platiť, že a p = modulo p.

Toto tvrdenie dokazuje polovicu toho, čo bolo známe ako "čínska domnienka" a pochádza z obdobia pred 2000 rokmi: celé číslo n je prvočíslo práve vtedy, ak je 2 n -2 deliteľné číslom n. Druhá časť hypotézy sa ukázala ako nepravdivá – napríklad 2 341 – 2 je deliteľné 341, hoci číslo 341 je zložené: 341 = 31 × 11.

Fermatova malá veta slúžila ako základ pre mnohé ďalšie výsledky v teórii čísel a metódy na testovanie, či čísla sú prvočísla – mnohé z nich sa používajú dodnes.

Fermat si veľa dopisoval so svojimi súčasníkmi, najmä s mníchom menom Maren Mersenne. V jednom zo svojich listov vyslovil hypotézu, že čísla v tvare 2 n + 1 budú vždy prvočísla, ak n je mocninou dvoch. Testoval to pre n = 1, 2, 4, 8 a 16 a bol si istý, že v prípade, keď n nie je mocninou dvoch, číslo nemusí byť nevyhnutne prvočíslo. Tieto čísla sa nazývajú Fermatove čísla a len o 100 rokov neskôr Euler ukázal, že nasledujúce číslo, 2 32 + 1 = 4294967297, je deliteľné 641, a preto nie je prvočíslo.

Čísla v tvare 2 n - 1 boli tiež predmetom výskumu, pretože je ľahké ukázať, že ak je n zložené, potom je zložené aj samotné číslo. Tieto čísla sa nazývajú Mersennove čísla, pretože ich intenzívne študoval.

Ale nie všetky čísla v tvare 2 n - 1, kde n je prvočíslo, sú prvočísla. Napríklad 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Prvýkrát to bolo objavené v roku 1536.

Po mnoho rokov poskytovali čísla tohto druhu matematikom najväčšie známe prvočísla. Že M 19 dokázal Cataldi v roku 1588 a 200 rokov bolo najväčším známym prvočíslom, kým Euler nedokázal, že M 31 bolo tiež prvočíslo. Tento záznam trval ďalších sto rokov a potom Lucas ukázal, že M 127 je prvočíslo (a toto je už číslo 39 číslic), a potom výskum pokračoval s príchodom počítačov.

V roku 1952 bola dokázaná prvotriednosť čísel M 521, M 607, M 1279, M 2203 a M 2281.

Do roku 2005 sa našlo 42 Mersennových prvočísel. Najväčší z nich, M 25964951, pozostáva zo 7816230 číslic.

Eulerova práca mala obrovský vplyv na teóriu čísel, vrátane prvočísel. Rozšíril Fermatovu Malú vetu a zaviedol φ-funkciu. Faktorizoval 5. Fermatovo číslo 2 32 +1, našiel 60 párov priateľských čísel a sformuloval (ale nedokázal dokázať) zákon kvadratickej reciprocity.

Bol prvým, kto zaviedol metódy matematickej analýzy a vyvinul analytickú teóriu čísel. Dokázal, že nielen harmonický rad ∑ (1/n), ale aj rad tvaru

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Výsledok získaný súčtom prevrátených hodnôt prvočísel sa tiež rozchádza. Súčet n členov harmonického radu rastie približne ako log(n) a druhý rad diverguje pomalšie ako log[ log(n) ]. To znamená, že napr recipročné na všetky prvočísla nájdené k dnešnému dňu dá iba 4, aj keď séria sa stále rozchádza.

Na prvý pohľad sa zdá, že prvočísla sú medzi celými číslami rozdelené celkom náhodne. Napríklad medzi 100 číslami bezprostredne pred 10000000 je 9 prvočísiel a medzi 100 číslami bezprostredne za touto hodnotou sú len 2. Ale vo veľkých segmentoch sú prvočísla rozdelené celkom rovnomerne. Legendre a Gauss sa zaoberali otázkami ich distribúcie. Gauss raz povedal priateľovi, že za každých voľných 15 minút vždy spočíta počet prvočísel v nasledujúcich 1000 číslach. Do konca života narátal všetky prvočísla do 3 miliónov. Legendre a Gauss rovnako vypočítali, že pre veľké n je prvotná hustota 1/log(n). Legendre odhadol počet prvočísel v rozsahu od 1 do n ako

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

A Gauss je ako logaritmický integrál

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

S integračným intervalom od 2 do n.

Výrok o hustote prvočísel 1/log(n) je známy ako teorém o primárnom rozdelení. Snažili sa to dokázať počas celého 19. storočia a pokrok dosiahli Čebyšev a Riemann. Spojili to s Riemannovou hypotézou, zatiaľ neoverenou hypotézou o rozdelení núl Riemannovej zeta funkcie. Hustotu prvočísel súčasne dokázali Hadamard a Vallée-Poussin v roku 1896.

V teórii prvočísel je stále veľa nevyriešených otázok, z ktorých niektoré sú staré stovky rokov:

• Hypotéza dvojčiat je o nekonečnom počte dvojíc prvočísel, ktoré sa od seba líšia o 2
• Goldbachova domnienka: akékoľvek párne číslo, počnúc 4, môže byť reprezentované ako súčet dvoch prvočísel
• Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n 2 + 1?
• Je vždy možné nájsť prvočíslo medzi n 2 a (n + 1) 2? (to, že medzi n a 2n je vždy prvočíslo, dokázal Čebyšev)
• Je počet Fermatových prvočísel nekonečný? Existujú nejaké Fermatove prvočísla po 4?
• či existuje? aritmetická progresia po sebe idúcich prvočísel pre akúkoľvek danú dĺžku? napríklad pre dĺžku 4: 251, 257, 263, 269. Maximálna zistená dĺžka je 26.
• Existuje nekonečný počet množín troch po sebe idúcich prvočísel v aritmetickej postupnosti?
• n 2 - n + 41 je prvočíslo pre 0 ≤ n ≤ 40. Existuje nekonečný počet takýchto prvočísel? Rovnaká otázka pre vzorec n 2 - 79 n + 1601. Tieto čísla sú prvočísla pre 0 ≤ n ≤ 79.
• Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# + 1? (n# je výsledkom vynásobenia všetkých prvočísel menších ako n)
• Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# -1 ?
• Existuje nekonečný počet prvočísel tvaru n? + 1?
• Existuje nekonečný počet prvočísel tvaru n? - 1?
• ak p je prvočíslo, neobsahuje 2 p -1 vždy medzi svojimi faktormi druhé mocniny?
• obsahuje Fibonacciho postupnosť nekonečný počet prvočísel?

Najväčšie dvojčísla sú 2003663613 × 2 195000 ± 1. Pozostávajú z 58711 číslic a boli objavené v roku 2007.

Najväčšie faktoriál prvočíslo (typu n! ± 1) je 147855! - 1. Skladá sa z 142891 číslic a bol nájdený v roku 2002.

Najväčšie prvotné prvočíslo (číslo v tvare n# ± 1) je 1098133# + 1.

Štítky: Pridajte štítky

Čísla sú rôzne: prirodzené, racionálne, racionálne, celé a zlomkové, kladné a záporné, komplexné a prvočíslo, nepárne a párne, reálne atď. Z tohto článku sa dozviete, čo sú prvočísla.

Aké čísla sa v angličtine nazývajú „jednoduché“?

Školáci veľmi často nevedia odpovedať na jednu z na prvý pohľad najjednoduchších otázok v matematike, čo je prvočíslo. Často si mýlia prvočísla s prirodzenými číslami (teda číslami, ktoré ľudia používajú pri počítaní predmetov, pričom v niektorých zdrojoch začínajú nulou a v iných jednotkou). Ale to sú úplne dva odlišné pojmy. Prvočísla sú prirodzené čísla, teda celé čísla a kladné čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú iba 2 prirodzených deliteľov. Navyše jeden z týchto deliteľov je dané číslo a druhý je jedna. Napríklad tri je prvočíslo, pretože ho nemožno bezo zvyšku deliť iným číslom, ako je samo sebou a jednotkou.

Zložené čísla

Opakom prvočísel sú zložené čísla. Sú tiež prirodzené, tiež väčšie ako jedna, ale nemajú dvoch, ale väčší počet deliteľov. Takže napríklad čísla 4, 6, 8, 9 atď. sú prirodzené, zložené, ale nie prvočísla. Ako vidíte, ide väčšinou o párne čísla, ale nie o všetky. Ale „dva“ je párne číslo a „prvé číslo“ v rade prvočísel.

Následná sekvencia

Na zostavenie série prvočísel je potrebné vybrať zo všetkých prirodzených čísel, berúc do úvahy ich definíciu, to znamená, že musíte konať protirečivo. Je potrebné preskúmať každé z kladných prirodzených čísel, či má viac ako dvoch deliteľov. Skúsme zostaviť rad (sekvenciu), ktorý pozostáva z prvočísel. Zoznam začína dvoma, po ktorých nasledujú tri, keďže je deliteľný iba sebou a jedným. Zvážte číslo štyri. Má iné delitele ako štyri a jedna? Áno, to číslo je 2. Štyri teda nie je prvočíslo. Päť je tiež prvočíslo (nie je deliteľné žiadnym iným číslom okrem 1 a 5), ​​ale šesť je deliteľné. A vo všeobecnosti, ak budete sledovať všetky párne čísla, všimnete si, že okrem „dvoch“ žiadne z nich nie je prvočíslo. Z toho usudzujeme, že párne čísla, okrem dvoch, nie sú prvočísla. Ďalší objav: všetky čísla deliteľné tromi, okrem samotných troch, či už párnych alebo nepárnych, tiež nie sú prvočísla (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 atď.). To isté platí pre čísla, ktoré sú deliteľné piatimi a siedmimi. Celý ich počet tiež nie je jednoduchý. Poďme si to zhrnúť. Jednoduché jednociferné čísla teda zahŕňajú všetky nepárne čísla okrem jednej a deviatky a párne „dvojky“ sú párne čísla. Samotné desiatky (10, 20,... 40 atď.) nie sú jednoduché. Dvojciferné, trojciferné atď. prvočísla možno určiť na základe vyššie uvedených zásad: ak nemajú iných deliteľov okrem seba a jedného.

Teórie o vlastnostiach prvočísel

Existuje veda, ktorá študuje vlastnosti celých čísel vrátane prvočísel. Toto je odvetvie matematiky nazývané vyššie. Okrem vlastností celých čísel sa zaoberá aj algebraickými a transcendentálnymi číslami, ako aj funkciami rôzneho pôvodu súvisiacimi s aritmetikou týchto čísel. V týchto štúdiách sa okrem elementárnych a algebraické metódy používajú sa aj analytické a geometrické. Konkrétne „Teória čísel“ sa zaoberá štúdiom prvočísel.

Prvočísla sú „stavebnými kameňmi“ prirodzených čísel

V aritmetike existuje teorém nazývaný základná veta. Podľa nej akékoľvek prirodzené číslo, okrem jedného, ​​môže byť reprezentovaný ako súčin, ktorého faktory sú prvočísla a poradie faktorov je jedinečné, to znamená, že spôsob zobrazenia je jedinečný. Nazýva sa to rozklad prirodzeného čísla na prvočísla. Tento proces má aj iný názov – rozklad čísel. Na základe toho možno prvočísla nazvať „stavebný materiál“, „bloky“ na vytváranie prirodzených čísel.

Hľadajte prvočísla. Testy jednoduchosti

Mnoho vedcov z rôznych čias sa snažilo nájsť nejaké princípy (systémy) na nájdenie zoznamu prvočísel. Veda pozná systémy nazývané Atkinovo sito, Sundarthamovo sito a Eratosthenove sito. Neprinášajú však žiadne významné výsledky a na zistenie prvočísel sa používa jednoduchý test. Matematici tiež vytvorili algoritmy. Zvyčajne sa nazývajú testy primality. Existuje napríklad test, ktorý vyvinuli Rabin a Miller. Používajú ho kryptografi. Existuje aj test Kayal-Agrawal-Sasquena. Napriek dostatočnej presnosti je však veľmi náročný na výpočet, čo znižuje jeho praktický význam.

Má množina prvočísel nejaký limit?

Staroveký grécky vedec Euclid napísal vo svojej knihe „Elementy“, že množina prvočísel je nekonečno. Povedal toto: „Predstavme si na chvíľu, že prvočísla majú limit. Potom ich medzi sebou vynásobme a jednu pridajme k produktu. Počet vyplývajúci z týchto jednoduché akcie, nemožno deliť žiadnym z počtu prvočísel, pretože zvyšok bude vždy jedna. To znamená, že existuje nejaké ďalšie číslo, ktoré ešte nie je zahrnuté v zozname prvočísel. Náš predpoklad preto nie je pravdivý a táto množina nemôže mať limit. Okrem Euklidovho dôkazu existuje modernejší vzorec, ktorý dal švajčiarsky matematik z 18. storočia Leonhard Euler. Podľa nej recipročný súčet súčtu prvých n čísel neobmedzene rastie s pribúdajúcim číslom n. A tu je vzorec vety o rozdelení prvočísel: (n) rastie ako n/ln (n).

Aké je najväčšie prvočíslo?

Ten istý Leonard Euler dokázal nájsť najväčšie prvočíslo svojej doby. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Do roku 2013 však bolo vypočítané ďalšie najpresnejšie najväčšie v zozname prvočísel - 2 57885161 - 1. Nazýva sa Mersennovo číslo. Obsahuje asi 17 miliónov desatinné číslice. Ako vidíte, číslo nájdené vedcom z osemnásteho storočia je niekoľkonásobne menšie ako toto. Malo to tak byť, pretože Euler tento výpočet vykonával ručne, pričom nášmu súčasníkovi zrejme pomáhal počítač. Toto číslo bolo navyše získané na matematickej fakulte jednej z amerických katedier. Čísla pomenované po tomto vedcovi prešli testom primality Luc-Lemaire. Veda sa však pri tom nechce zastaviť. Nadácia Electronic Frontier Foundation, ktorá bola založená v roku 1990 v Spojených štátoch amerických (EFF), ponúkla peňažnú odmenu za nájdenie veľkých prvočísel. A ak do roku 2013 bola cena udeľovaná tým vedcom, ktorí ich našli medzi 1 a 10 miliónmi desatinných čísel, dnes toto číslo dosahuje od 100 miliónov do 1 miliardy. Ceny sa pohybujú od 150 do 250 tisíc amerických dolárov.

Názvy špeciálnych prvočísel

Čísla, ktoré boli nájdené vďaka algoritmom vytvoreným určitými vedcami a prešli testom jednoduchosti, sa nazývajú špeciálne. Tu sú niektoré z nich:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills a kol.

Jednoduchosť týchto čísel, pomenovaných podľa vyššie uvedených vedcov, je stanovená pomocou nasledujúcich testov:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge a ďalší.

Moderná veda sa tým nekončí a svet sa pravdepodobne v blízkej budúcnosti dozvie mená tých, ktorí mohli získať cenu 250 000 dolárov nájdením najväčšieho prvočísla.

Definícia 1. prvočíslo− je prirodzené číslo väčšie ako jedna, ktoré je deliteľné iba sebou samým a 1.

Inými slovami, číslo je prvočíslo, ak má iba dvoch odlišných prirodzených deliteľov.

Definícia 2. Volá sa akékoľvek prirodzené číslo, ktoré má okrem seba a jedného aj iných deliteľov zložené číslo.

Inými slovami, prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami, sa nazývajú zložené čísla. Z definície 1 vyplýva, že zložené číslo má viac ako dva prirodzené faktory. Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené, pretože má iba jedného deliteľa 1 a navyše mnohé vety o prvočíslach pre jednotu neplatia.

Z definícií 1 a 2 vyplýva, že každé kladné celé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo alebo zložené číslo.

Nižšie je uvedený program na zobrazenie prvočísel do 5000. Vyplňte bunky, kliknite na tlačidlo „Vytvoriť“ a počkajte niekoľko sekúnd.

Tabuľka prvočísel

Vyhlásenie 1. Ak p- prvočíslo a a akékoľvek celé číslo, potom buď a deleno p, alebo p A a coprime čísla.

Naozaj. Ak p Prvočíslo je deliteľné iba samo sebou a 1, ak a nedeliteľné p, potom najväčší spoločný deliteľ a A p sa rovná 1. Potom p A a coprime čísla.

Vyhlásenie 2. Ak je súčin niekoľkých čísel a 1 , a 2 , a 3, ... je deliteľné prvočíslom p, potom podľa najmenej jedno z čísel a 1 , a 2 , a 3, ...deliteľné p.

Naozaj. Ak žiadne z čísel nebolo deliteľné p, potom čísla a 1 , a 2 , a 3, ... by boli vedľajšie čísla vzhľadom na p. Ale z Dôsledku 3 () vyplýva, že ich produkt a 1 , a 2 , a 3, ... je tiež relatívne prvotriedny vzhľadom na p, čo odporuje podmienke vyjadrenia. Preto je aspoň jedno z čísel deliteľné p.

Veta 1. Vždy môže byť zastúpené akékoľvek zložené číslo a navyše jediná cesta ako súčin konečného počtu prvočísel.

Dôkaz. Nechaj k zložené číslo, a nech a 1 je jeden z jeho deliteľov odlišný od 1 a samého seba. Ak a 1 je zložený, potom má navyše k 1 a a 1 a ďalším deliteľom a 2. Ak a 2 je zložené číslo, potom má okrem 1 aj a 2 a ďalším deliteľom a 3. Uvažovať týmto spôsobom a brať do úvahy, že čísla a 1 , a 2 , a 3 , ... pokles a tento rad obsahuje konečný počet členov, dostaneme sa k nejakému prvočíslu p 1. Potom k môžu byť zastúpené vo forme

Predpokladajme, že existujú dva rozklady čísla k:

Pretože k=p 1 p 2 p 3...deliteľné prvočíslom q 1, potom aspoň jeden z faktorov, napr p 1 je deliteľné q 1. ale p 1 je prvočíslo a je deliteľné iba 1 a sebou samým. Preto p 1 =q 1 (pretože q 1 ≠1)

Potom z (2) môžeme vylúčiť p 1 a q 1:

Sme teda presvedčení, že každé prvočíslo, ktoré sa raz alebo viackrát objaví ako činiteľ v prvom rozvoji, sa aspoň toľkokrát objaví aj v druhom rozvoji a naopak každé prvočíslo, ktoré sa objaví ako činiteľ v druhom rozvoji. jeden alebo viackrát sa tiež objaví v prvej expanzii aspoň toľkokrát. Preto sa každé prvočíslo javí ako faktor v oboch rozšíreniach rovnako veľakrát, a preto sú tieto dva rozšírenia rovnaké.■

Rozšírenie zloženého čísla k možno napísať v nasledujúcej forme

(3)

Kde p 1 , p 2, ... rôzne prvočísla, α, β, γ ... kladné celé čísla.

Rozšírenie (3) sa nazýva kanonické rozšíreniečísla.

Prvočísla sa v rade prirodzených čísel vyskytujú nerovnomerne. V niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Čím ďalej sa pohybujeme po číselnom rade, tým menej časté sú prvočísla. Vynára sa otázka, či existuje najväčšie prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa. Tento dôkaz uvádzame nižšie.

Veta 2. Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz. Predpokladajme, že existuje konečný počet prvočísel a nech je najväčšie prvočíslo p. Uvažujme všetky čísla väčšie p. Podľa predpokladu tvrdenia musia byť tieto čísla zložené a musia byť deliteľné aspoň jedným z prvočísel. Vyberme si číslo, ktoré je súčinom všetkých týchto prvočísel plus 1:

číslo z viac p pretože 2p už viac p. p nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení každým z nich dáva zvyšok 1. Tak sa dostávame k rozporu. Preto existuje nekonečný počet prvočísel.

Táto veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej vety:

Veta 3. Nech je uvedený aritmetický postup

Potom zahrnuté akékoľvek prvočíslo n, by mali byť zahrnuté v m, teda v n iné hlavné faktory, ktoré nie sú zahrnuté m a navyše tieto hlavné faktory v n sú zahrnuté nie viackrát ako v m.

Platí to aj naopak. Ak je každý prvočiniteľ čísla n zahrnutá aspoň toľkokrát do počtu m, To m deleno n.

Vyhlásenie 3. Nechaj a 1 ,a 2 ,a 3,... rôzne prvočísla zahrnuté v m Takže

Kde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Všimni si αi prijíma α +1 hodnoty, β j prijíma β +1 hodnoty, γ k prijíma γ +1 hodnoty, ... .

V tomto článku budeme skúmať prvočísla a zložené čísla. Najprv uvedieme definície prvočísel a zložených čísel a tiež uvedieme príklady. Potom dokážeme, že prvočísel je nekonečne veľa. Ďalej si napíšeme tabuľku prvočísel a zvážime metódy na zostavenie tabuľky prvočísel, pričom osobitnú pozornosť venujeme metóde nazývanej Eratosthenovo sito. Na záver poukážeme na hlavné body, ktoré je potrebné vziať do úvahy pri dokazovaní, že dané číslo je prvočíslo alebo zložené.

Navigácia na stránke.

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Koncepty prvočísel a zložených čísel sa vzťahujú na čísla, ktoré sú väčšie ako jedna. Takéto celé čísla sa v závislosti od počtu ich kladných deliteľov delia na prvočísla a zložené čísla. Takže pochopiť definície prvočísel a zložených čísel, musíte dobre rozumieť tomu, čo sú deliteľ a násobky.

Definícia.

základné čísla sú celé čísla, veľké jednotky, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov, konkrétne seba a 1.

Definícia.

Zložené čísla sú celé čísla, veľké, ktoré majú aspoň troch kladných deliteľov.

Samostatne si všimneme, že číslo 1 sa nevzťahuje na prvočísla ani na zložené čísla. Jednotka má iba jedného kladného deliteľa, ktorým je samotné číslo 1. Toto odlišuje číslo 1 od všetkých ostatných kladných celých čísel, ktoré majú aspoň dvoch kladných deliteľov.

Vzhľadom na to, že kladné celé čísla sú , a že jedno má iba jedného kladného deliteľa, môžeme uviesť iné formulácie uvedených definícií prvočísel a zložených čísel.

Definícia.

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia.

Zložené čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch kladných deliteľov.

Všimnite si, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna je buď prvočíslo, alebo zložené číslo. Inými slovami, neexistuje jediné celé číslo, ktoré by nebolo ani prvočíslo, ani zložené. Vyplýva to z vlastnosti deliteľnosti, ktorá hovorí, že čísla 1 a a sú vždy deliteľmi ľubovoľného celého čísla a.

Na základe informácií v predchádzajúcom odseku môžeme uviesť nasledujúcu definíciu zložených čísel.

Definícia.

Voláme prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla zložený.

Dajme si príklady prvočísel a zložených čísel.

Príklady zložených čísel zahŕňajú 6, 63, 121 a 6 697. Toto vyhlásenie si tiež vyžaduje objasnenie. Číslo 6 má okrem kladných deliteľov 1 a 6 aj deliteľov 2 a 3, keďže 6 = 2 3, preto je 6 skutočne zložené číslo. Pozitívne faktory 63 sú čísla 1, 3, 7, 9, 21 a 63. Číslo 121 sa rovná súčinu 11·11, takže jeho kladnými deliteľmi sú 1, 11 a 121. A číslo 6 697 je zložené, keďže jeho kladnými deliteľmi sú okrem 1 a 6 697 aj čísla 37 a 181.

Na záver tohto bodu by som chcel ešte upozorniť na fakt, že prvočísla a druhočísla nie sú ani zďaleka to isté.

Tabuľka prvočísel

Prvočísla sú pre pohodlie ich ďalšieho použitia zaznamenané v tabuľke nazývanej tabuľka prvočísel. Nižšie je tabuľka prvočísel do 1000.

Vynára sa logická otázka: „Prečo sme naplnili tabuľku prvočísel len do 1000, nie je možné vytvoriť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel“?

Najprv odpovedzme na prvú časť tejto otázky. Pre väčšinu problémov, ktoré vyžadujú použitie prvočísel, budú postačovať prvočísla do tisícky. V iných prípadoch sa s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť uchýliť k niektorým špeciálnym riešeniam. Hoci tabuľku prvočísel môžeme určite vytvoriť až do ľubovoľne veľkého konečného kladného čísla, či už je to 10 000 alebo 1 000 000 000, v ďalšom odseku si povieme o metódach vytvárania tabuliek prvočísel, najmä sa pozrieme na metódu volal.

Teraz sa pozrime na možnosť (alebo skôr nemožnosť) zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel. Nemôžeme vytvoriť tabuľku všetkých prvočísel, pretože prvočísel je nekonečne veľa. Posledné tvrdenie je veta, ktorú dokážeme po nasledujúcej pomocnej vete.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz.

Nechaj a je prirodzené číslo väčšie ako jedna a b je najmenší kladný deliteľ iného ako jedna. Dokážme, že b je prvočíslo kontradikciou.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Potom existuje deliteľ čísla b (označme ho b 1), ktorý je odlišný od 1 aj b. Ak vezmeme do úvahy aj to, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy (vieme to z vlastností deliteľnosti), potom musí byť splnená podmienka 1

Keďže číslo a je deliteľné b podľa podmienky a povedali sme, že b je deliteľné b 1, pojem deliteľnosti nám umožňuje hovoriť o existencii celých čísel q a q 1 takých, že a=b q a b=b 1 q 1 , odkiaľ a= b 1 · (q 1 · q) . Z toho vyplýva, že súčin dvoch celých čísel je celé číslo, potom rovnosť a=b 1 ·(q 1 ·q) udáva, že b 1 je deliteľ čísla a. Berúc do úvahy vyššie uvedené nerovnosti 1

Teraz môžeme dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa.

Veta.

Existuje nekonečné množstvo prvočísel.

Dôkaz.

Predpokladajme, že to tak nie je. To znamená, že predpokladajme, že existuje iba n prvočísel a tieto prvočísla sú p 1, p 2, ..., p n. Ukážme, že vždy môžeme nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.

Uvažujme číslo p rovné p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Je jasné, že toto číslo sa líši od každého z prvočísel p 1, p 2, ..., p n. Ak je číslo p prvočíslo, potom je veta dokázaná. Ak je toto číslo zložené, potom na základe predchádzajúcej vety existuje prvočíselník tohto čísla (označíme ho p n+1). Ukážme, že tento deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z čísel p 1, p 2, ..., p n.

Ak by to tak nebolo, potom by sa podľa vlastností deliteľnosti súčin p 1 ·p 2 ·…·p n delil p n+1. Ale číslo p je tiež deliteľné p n+1, ktoré sa rovná súčtu p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Z toho vyplýva, že p n+1 musí deliť druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná jednej, ale to nie je možné.

Je teda dokázané, že vždy sa dá nájsť nové prvočíslo, ktoré nie je zahrnuté v žiadnom počte vopred určených prvočísel. Preto je prvočísel nekonečne veľa.

Takže vzhľadom na to, že prvočísel je nekonečne veľa, pri zostavovaní tabuliek prvočísel sa vždy zhora obmedzíte na nejaké číslo, väčšinou 100, 1000, 10000 atď.

Eratosthenove sito

Teraz budeme diskutovať o spôsoboch vytvárania tabuliek prvočísel. Predpokladajme, že potrebujeme vytvoriť tabuľku prvočísel do 100.

Najzrejmejšou metódou riešenia tohto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počínajúc 2 a končiacimi 100, na prítomnosť kladného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší ako testované číslo (z vlastností deliteľnosti vieme že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy, nenulovú). Ak sa takýto deliteľ nenájde, potom je testované číslo prvočíslo a zapíše sa do tabuľky prvočísel. Ak sa takýto deliteľ nájde, potom je testované číslo zložené, NIE JE zapísané v tabuľke prvočísel. Potom nasleduje prechod na ďalšie číslo, ktoré sa podobne kontroluje na prítomnosť deliteľa.

Poďme si popísať prvých pár krokov.

Začíname číslom 2. Číslo 2 nemá žiadneho kladného deliteľa okrem 1 a 2. Preto je to jednoduché, preto to zapíšeme do tabuľky prvočísel. Tu treba povedať, že 2 je najmenšie prvočíslo. Prejdime k číslu 3. Jeho možný kladný deliteľ iný ako 1 a 3 je číslo 2. Ale 3 nie je deliteľné 2, preto je 3 prvočíslo a je potrebné ho zahrnúť aj do tabuľky prvočísel. Prejdime k číslu 4. Jeho kladnými deliteľmi okrem 1 a 4 môžu byť čísla 2 a 3, skontrolujme ich. Číslo 4 je deliteľné 2, preto je 4 zložené číslo a nie je potrebné ho uvádzať v tabuľke prvočísel. Upozorňujeme, že 4 je najmenšie zložené číslo. Prejdime k číslu 5. Skontrolujeme, či aspoň jedno z čísel 2, 3, 4 je jeho deliteľ. Keďže 5 nie je deliteľné 2, 3 alebo 4, potom je prvočíslo a treba ho zapísať do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na čísla 6, 7 a tak ďalej až do 100.

Tento prístup k zostaveniu tabuľky prvočísel má ďaleko od ideálu. Tak či onak má právo na existenciu. Všimnite si, že pri tejto metóde konštrukcie tabuľky celých čísel môžete použiť kritériá deliteľnosti, ktoré mierne urýchlia proces hľadania deliteľov.

Existuje pohodlnejší spôsob vytvorenia tabuľky prvočísel, tzv. Slovo „sito“ prítomné v názve nie je náhodné, pretože akcie tejto metódy pomáhajú takpovediac „preosiať“ celé čísla a veľké jednotky cez Eratosthenovo sito, aby sa oddelili jednoduché od zložených.

Ukážme si Eratosthenovo sito v akcii pri zostavovaní tabuľky prvočísel do 50.

Najprv si zapíšte čísla 2, 3, 4, ..., 50 v poradí.

Prvé napísané číslo, 2, je prvočíslo. Teraz sa od čísla 2 posúvame postupne o dve čísla doprava a tieto čísla škrtáme, kým sa nedostaneme na koniec zostavovanej tabuľky čísel. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom dvoch.

Prvé číslo po 2, ktoré nie je prečiarknuté, je 3. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 3 postupne posunieme doprava o tri čísla (berúc do úvahy už prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom troch.

Prvé číslo po 3, ktoré nie je prečiarknuté, je 5. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 5 dôsledne posunieme doprava o 5 čísel (berieme do úvahy aj skôr prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkami piatich.

Ďalej prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7, potom násobkami 11 atď. Proces končí, keď už nie sú žiadne čísla na odčiarknutie. Nižšie je vyplnená tabuľka prvočísel do 50 získaných pomocou Eratosthenovho sita. Všetky neprečiarknuté čísla sú prvočísla a všetky prečiarknuté čísla sú zložené.

Sformulujme a dokážme aj vetu, ktorá urýchli proces zostavovania tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenovho sita.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ zloženého čísla a, ktorý sa líši od jednotky, nepresahuje , kde je od a .

Dôkaz.

Označme písmenom b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a, ktoré je odlišné od jednotky (číslo b je prvočíslo, ako vyplýva z vety dokázanej na samom začiatku predchádzajúceho odseku). Potom existuje celé číslo q také, že a=b·q (tu q je kladné celé číslo, čo vyplýva z pravidiel násobenia celých čísel) a (pre b>q je porušená podmienka, že b je najmenším deliteľom a , keďže q je tiež deliteľ čísla a kvôli rovnosti a=q·b ). Vynásobením oboch strán nerovnosti kladným a celým číslom väčším ako jedna (toto je nám dovolené) dostaneme , z ktorého a .

Čo nám dáva osvedčená veta o Eratosthenovom sitku?

Po prvé, prečiarknutie zložených čísel, ktoré sú násobkami prvočísla b, by malo začínať číslom rovným (to vyplýva z nerovnosti). Napríklad prečiarknutie čísel, ktoré sú násobkom dvoch, by malo začínať číslom 4, násobky troch číslom 9, násobky piatich číslom 25 atď.

Po druhé, zostavenie tabuľky prvočísel až po číslo n pomocou Eratosthenovho sita možno považovať za úplné, ak všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel, nepresahujú . V našom príklade n=50 (keďže robíme tabuľku prvočísel do 50), a preto by Eratosthenovo sito malo eliminovať všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 2, 3, 5 a 7, ktoré neprekročí aritmetickú druhú odmocninu 50. To znamená, že už nemusíme hľadať a preškrtávať čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 11, 13, 17, 19, 23 a tak ďalej až do 47, keďže už budú prečiarknuté ako násobky menších prvočísel 2. 3, 5 a 7.

Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?

Niektoré úlohy vyžadujú zistenie, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Vo všeobecnosti táto úloha nie je ani zďaleka jednoduchá, najmä pri číslach, ktorých písanie pozostáva z veľkého počtu znakov. Vo väčšine prípadov musíte hľadať nejaký konkrétny spôsob, ako to vyriešiť. My sa však pokúsime nasmerovať myšlienkový pochod pre jednoduché prípady.

Samozrejme, môžete skúsiť použiť testy deliteľnosti, aby ste dokázali, že dané číslo je zložené. Ak napríklad nejaký test deliteľnosti ukáže, že dané číslo je deliteľné nejakým kladným celým číslom väčším ako jedna, potom je pôvodné číslo zložené.

Príklad.

Dokážte, že 898,989,898,989,898,989 je zložené číslo.

Riešenie.

Súčet číslic tohto čísla je 9·8+9·9=9·17. Keďže číslo rovnajúce sa 9·17 je deliteľné 9, potom pomocou deliteľnosti 9 môžeme povedať, že pôvodné číslo je deliteľné aj 9. Preto je zložený.

Významnou nevýhodou tohto prístupu je, že kritériá deliteľnosti neumožňujú dokázať prvoradosť čísla. Preto pri testovaní čísla, aby ste zistili, či je prvočíslo alebo zložené, musíte robiť veci inak.

Najlogickejší prístup je vyskúšať všetky možné delitele daného čísla. Ak žiadny z možných deliteľov nie je skutočným deliteľom daného čísla, potom toto číslo bude prvočíslo, inak bude zložené. Z teorém dokázaných v predchádzajúcom odseku vyplýva, že deliče daného čísla a treba hľadať medzi prvočíslami nepresahujúcimi . Dané číslo a možno teda postupne deliť prvočíslami (ktoré sa dajú pohodlne prevziať z tabuľky prvočísel), pričom sa snažíme nájsť deliteľa čísla a. Ak sa nájde deliteľ, potom číslo a je zložené. Ak medzi prvočíslami nepresahujúcimi , nie je deliteľ čísla a, potom číslo a je prvočíslo.

Príklad.

číslo 11 723 jednoduché alebo zložené?

Riešenie.

Poďme zistiť, do akého prvočísla môžu byť deliče čísla 11 723. Aby sme to urobili, poďme hodnotiť.

To je celkom zrejmé , od roku 200 2 = 40 000 a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью porovnanie čísel). Možné hlavné faktory 11 723 sú teda menšie ako 200. Už to nám značne uľahčuje úlohu. Ak by sme to nevedeli, museli by sme prejsť všetkými prvočíslami nie do 200, ale do čísla 11 723.

V prípade potreby môžete presnejšie vyhodnotiť. Pretože 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881, potom 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Akékoľvek z prvočísel menších ako 109 je teda potenciálne prvočíslo daného čísla 11 723.

Teraz postupne rozdelíme číslo 11 723 na prvočísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Ak je číslo 11 723 delené jedným zo zapísaných prvočísel, bude zložené. Ak nie je deliteľné žiadnym zo zapísaných prvočísel, tak pôvodné číslo je prvočíslo.

Nebudeme popisovať celý tento monotónny a monotónny proces delenia. Povedzme hneď, že 11 723