Metodologický vývoj do voliteľného predmetu

"Metódy riešenia iracionálnych rovníc"

ÚVOD

Navrhovaný výberový predmet „Metódy riešenia iracionálnych rovníc“ je určený pre žiakov 11. ročníka stredná škola a je predmetovo zameraná, zameraná na rozšírenie teoretických a praktických vedomostí študentov. Výberový predmet je postavený na vedomostiach a zručnostiach, ktoré študenti získajú štúdiom matematiky na strednej škole.

Špecifikom tohto predmetu je, že je určený predovšetkým študentom, ktorí si chcú rozšíriť, prehĺbiť, systematizovať, zovšeobecniť svoje matematické vedomosti a osvojiť si bežné metódy a techniky riešenia iracionálnych rovníc. Program obsahuje otázky, ktoré čiastočne presahujú rámec súčasných matematických programov a neštandardné metódy, ktoré umožňujú efektívnejšie riešiť rôzne problémy.

Väčšina úloh USE vyžaduje zvládnutie absolventov rôzne metódy riešenia rôznych druhov rovníc a ich sústav. Učivo týkajúce sa rovníc a sústav rovníc tvorí významnú časť školského kurzu matematiky. Relevantnosť výberu témy výberového predmetu je daná dôležitosťou témy „Iracionálne rovnice“ v školskom kurze matematiky a zároveň nedostatkom času na zváženie neštandardných metód a prístupov k riešeniu iracionálnych rovníc, ktoré sa nachádzajú v úlohách skupiny „C“ jednotnej štátnej skúšky.

Spolu so základnou úlohou vyučovania matematiky - zabezpečiť u študentov silné a uvedomelé zvládnutie systému matematických vedomostí a zručností - tento voliteľný predmet zabezpečuje formovanie trvalého záujmu o predmet, rozvoj matematických schopností, zvyšovanie úrovne matematickej kultúry žiakov, a vytvára základ pre úspešné ukončenie Jednotná štátna skúška a ďalšie vzdelávanie na univerzitách.

Účel kurzu:

Zvýšiť úroveň porozumenia a praktického výcviku v riešení iracionálnych rovníc;

Študovať techniky a metódy riešenia iracionálnych rovníc;

Rozvíjať schopnosť analyzovať, zdôrazňovať hlavnú vec, vytvárať prvky kreatívneho hľadania na základe techník zovšeobecňovania;

Rozšíriť vedomosti študentov o tejto téme, zlepšiť ich zručnosti pri riešení rôznych problémov, aby úspešne zložili jednotnú štátnu skúšku.

Ciele kurzu:

Rozšírenie vedomostí o metódach a technikách riešenia algebraických rovníc;

Zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí pri štúdiu v 10.-11. ročníku a príprave na jednotnú štátnu skúšku;

Rozvoj schopnosti samostatne získavať a aplikovať vedomosti;

Oboznámenie žiakov s prácou s matematickou literatúrou;

Rozvoj logického myslenia študentov, ich algoritmickej kultúry a matematickej intuície;

Zlepšenie matematickej kultúry študentov.

Program voliteľného predmetu zahŕňa štúdium rôznych metód a prístupov k riešeniu iracionálnych rovníc a rozvíjanie praktických zručností v danej problematike. Kurz trvá 17 hodín.

Program je komplikovaný, presahuje obvyklý priebeh štúdia, podporuje rozvoj abstraktného myslenia a rozširuje študentskú oblasť poznania. Zároveň zachováva kontinuitu s existujúcimi programami a je ich logickým pokračovaním.

Výchovno-tematický plán

№p/p

Téma lekcie

Počet hodín

Riešenie rovníc s prihliadnutím na rozsah prijateľných hodnôt

Riešenie iracionálnych rovníc zvýšením na prirodzený stupeň

Riešenie rovníc zavedením pomocných premenných (metóda nahradenia)

Riešenie rovnice s radikálom tretieho stupňa.

Identické transformácie pri riešení iracionálnych rovníc

Netradičné úlohy. Problémy skupiny „C“ jednotnej štátnej skúšky

Formy kontroly: domáce testy, samostatná práca, eseje a výskumné práce.

Štúdiom tohto voliteľného predmetu by študenti mali byť schopní riešiť rôzne iracionálne rovnice pomocou štandardných a neštandardných metód a techník;

zvládnuť algoritmus riešenia štandardných iracionálnych rovníc;

vedieť využívať vlastnosti rovníc na riešenie neštandardných úloh;

vedieť vykonávať transformácie identity pri riešení rovníc;

jasne rozumie témam jednotnej štátnej skúšky, hlavným metódam ich riešenia;

získať skúsenosti s výberom metód riešenia neštandardných problémov.

HLAVNÁ ČASŤ.

Rovnice, v ktorých je neznáma veličina pod radikálovým znamienkom, sa nazývajú iracionálny.

Medzi najjednoduchšie iracionálne rovnice patria rovnice v tvare:

Hlavná myšlienka riešenia iracionálna rovnica spočíva v jej redukcii na racionálnu algebraická rovnica, ktorá je buď ekvivalentná pôvodnej iracionálnej rovnici, alebo je jej dôsledkom. Pri riešení iracionálnych rovníc vždy hovoríme o hľadaní skutočných koreňov.

Pozrime sa na niekoľko spôsobov riešenia iracionálnych rovníc.

1. Riešenie iracionálnych rovníc berúc do úvahy rozsah prípustných hodnôt (APV).

Oblasť prípustných hodnôt iracionálnej rovnice pozostáva z tých hodnôt neznámych, pre ktoré sú všetky výrazy pod znamienkom párneho stupňa nezáporné.

Niekedy vám znalosť ODZ umožňuje dokázať, že rovnica nemá riešenia a niekedy vám umožňuje nájsť riešenia rovnice priamym dosadením čísel z ODZ..

Príklad 1 . Vyriešte rovnicu.

Riešenie . Po nájdení ODZ tejto rovnice sme dospeli k záveru, že ODZ pôvodnej rovnice je jednoprvková množina. Nahrádzaniex=2do tejto rovnice dospejeme k záveru, žex=2je koreň pôvodnej rovnice.

Odpoveď : 2 .

Príklad 2

Rovnica nemá riešenia, pretože pri každom prijateľná hodnota v premennej nemôže byť súčet dvoch nezáporných čísel záporný.

Príklad 3
+ 3 =
.

ODZ:

Rovnica ODZ je prázdna množina.

Odpoveď: rovnica nemá korene.

Príklad 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Kontrolou sme presvedčení, že x=1 je koreňom rovnice.

odpoveď: 1.

Dokážte, že rovnica nemá

korene.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Vyriešte rovnicu.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B zvýšenie oboch strán rovnice na prirodzenú silu , teda prechod z rovnice

(1)

do rovnice

. (2)

Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:

1) pre akúkoľvek rovnicu (2) je dôsledkom rovnice (1);

2) ak ( n je nepárne číslo), potom rovnice (1) a (2 ) sú rovnocenné;

3) ak ( n je párne číslo), potom rovnica (2) je ekvivalentná rovnici

, (3)

a rovnica (3) je ekvivalentná množine rovníc

. (4)

Najmä rovnica

(5)

je ekvivalentná sústave rovníc (4).

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

.

Rovnica je ekvivalentná systému

z čoho vyplýva, že x=1 a koreň nespĺňa druhú nerovnosť. Kompetentné riešenie zároveň nevyžaduje overenie.

odpoveď:x=1.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu.

Riešenie prvej rovnice tohto systému, ktorá je ekvivalentná rovnici , dostaneme korene a . Avšak pri týchto hodnotách X nerovnosť neplatí, a preto táto rovnica nemá korene.

Odpoveď: bez koreňov.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

Izoláciou prvého radikálu dostaneme rovnicu

ekvivalentné pôvodnému.

Vyrovnaním oboch strán tejto rovnice, keďže sú obe kladné, dostaneme rovnicu

,

čo je dôsledkom pôvodnej rovnice. Umocnením oboch strán tejto rovnice za podmienky, že sa dostaneme k rovnici

.

Táto rovnica má korene, . Prvý koreň spĺňa počiatočnú podmienku, ale druhý nie.

Odpoveď: x=2.

Ak rovnica obsahuje dva alebo viac radikálov, potom sa najprv izolujú a potom sa odmocnia.

Príklad 1

Izoláciou prvého radikálu dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. Odmocnime obe strany rovnice:

Po vykonaní potrebných transformácií odmocníme výslednú rovnicu

Po kontrole sme si to všimli

nie je v rozsahu prijateľných hodnôt.

odpoveď: 8.

odpoveď: 2

Odpoveď: 3; 1.4.

3. Mnohé iracionálne rovnice sa riešia zavedením pomocných premenných.

Vhodným prostriedkom na riešenie iracionálnych rovníc je niekedy metóda zavedenia novej premennej, príp "metóda výmeny" Metóda sa zvyčajne aplikuje, keď v rov. nejaký výraz sa objavuje opakovane v závislosti od neznámeho množstva. Potom má zmysel tento výraz označiť nejakým novým písmenom a pokúsiť sa najprv vyriešiť rovnicu vzhľadom na zavedenú neznámu a potom nájsť pôvodnú neznámu.

Úspešný výber novej premennej robí štruktúru rovnice prehľadnejšou. Nová premenná je niekedy zrejmá, inokedy trochu zastretá, ale „pociťovaná“ a niekedy sa „prejavuje“ až v procese transformácie.

Príklad 1

Nechaj
t>0, potom

t =
,

t2 +5t-14=0,

ti = -7, ti = 2. t=-7 teda nespĺňa podmienku t>0

,

x 2-2x-5=0,

x 1 = 1-
x 2 = 1+
.

odpoveď: 1-
; 1+
.

Príklad 2 Rozhodnite sa ir racionálna rovnica

Náhrada:

Opačná výmena: /

odpoveď:

Príklad 3 Vyriešte rovnicu .

Urobme náhrady: , . Pôvodná rovnica sa prepíše do tvaru , z ktorého to zistíme A = 4b A . Ďalej zdvihnite obe strany rovnice na druhú, dostaneme: Odtiaľto X= 15. Zostáva len skontrolovať:

- správny!

odpoveď: 15.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu

Uvedením získame podstatne jednoduchšiu iracionálnu rovnicu. Odmocnime obe strany rovnice: .

; ;

; ; , .

Kontrola nájdených hodnôt a ich nahradenie do rovnice ukazuje, že ide o koreň rovnice a je to cudzí koreň.

Návrat k pôvodnej premennej X dostaneme rovnicu, tj kvadratická rovnica, pri riešení ktorého nájdeme dva korene: ,. Oba korene spĺňajú pôvodnú rovnicu.

Odpoveď: , .

Výmena je užitočná najmä vtedy, ak sa v dôsledku toho dosiahne nová kvalita, napríklad sa iracionálna rovnica zmení na racionálnu.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu.

Prepíšme rovnicu takto: .

Je vidieť, že ak zavedieme novú premennú , potom rovnica nadobudne tvar , kde je cudzí koreň a .

Z rovnice dostaneme , .

Odpoveď: , .

Príklad 7. Vyriešte rovnicu .

Predstavme si novú premennú, .

Výsledkom je, že pôvodná iracionálna rovnica nadobúda tvar kvadratickej

,

odkiaľ s prihliadnutím na obmedzenie získame . Vyriešením rovnice dostaneme koreň. Odpoveď: 2,5.

Úlohy na samostatné riešenie.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Metóda zavedenia dvoch pomocných premenných.

Rovnice formulára (Tu a , b , c , d – nejaké čísla m , n – prirodzené čísla) a množstvo ďalších rovníc možno často vyriešiť zavedením dvoch pomocných neznámych: a , kde a následný prechod na ekvivalentný systém racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu.

Zvýšenie oboch strán tejto rovnice na štvrtú mocnosť nesľubuje nič dobré. Ak dáme , pôvodná rovnica sa prepíše takto: . Keďže sme zaviedli dve nové neznáme, musíme nájsť ďalšiu súvisiacu rovnicu r A z. Aby sme to dosiahli, zvýšime rovnosti na štvrtú mocninu a všimneme si, že . Musíme teda vyriešiť sústavu rovníc

Umocnením dostaneme:

Po substitúcii máme: alebo . Potom má systém dve riešenia: , ; , , a systém nemá žiadne riešenia.

Zostáva vyriešiť sústavu dvoch rovníc s jednou neznámou

a systém Prvý z nich dáva, druhý dáva.

Odpoveď: , .

Príklad 2

Nechaj

odpoveď:

5. Rovnice s radikálom tretieho stupňa.
Pri riešení rovníc obsahujúcich radikály 3. stupňa môže byť užitočné použiť sčítanie podľa identít:

Príklad 1 .
Zvýšme obe strany tejto rovnice na tretiu mocninu a použijeme vyššie uvedenú identitu:

Všimnite si, že výraz v zátvorkách sa rovná 1, čo vyplýva z pôvodnej rovnice. Ak to vezmeme do úvahy a uvedieme podobné podmienky, dostaneme:
Otvorme zátvorky, pridáme podobné členy a vyriešime kvadratickú rovnicu. Jeho koreneA. Ak predpokladáme (podľa definície), že nepárne korene možno extrahovať aj zo záporných čísel, potom obe získané čísla sú riešeniami pôvodnej rovnice.
odpoveď:.

6.Vynásobenie oboch strán rovnice konjugovaným vyjadrením jednej z nich.

Niekedy sa dá iracionálna rovnica vyriešiť pomerne rýchlo, ak sa obe strany vynásobia dobre zvolenou funkciou. Samozrejme, keď sa obe strany rovnice vynásobia určitou funkciou, môžu sa objaviť cudzie riešenia, ktoré sa môžu ukázať ako nuly samotnej funkcie. Preto navrhovaná metóda vyžaduje povinný výskum výsledných hodnôt.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Riešenie: Vyberieme funkciu

Vynásobme obe strany rovnice vybranou funkciou:

Uveďme podobné pojmy a získajme ekvivalentnú rovnicu

Pridajme pôvodnú rovnicu a dostaneme poslednú

odpoveď: .

7. Identické transformácie pri riešení iracionálnych rovníc

Pri riešení iracionálnych rovníc je často potrebné aplikovať identické transformácie spojené s použitím známych vzorcov. Bohužiaľ, tieto činy sú niekedy rovnako nebezpečné ako zvýšenie rovnomernej moci – riešenia možno získať alebo stratiť.

Pozrime sa na niekoľko situácií, v ktorých sa tieto problémy vyskytujú, a naučíme sa, ako ich rozpoznať a predchádzať im.

ja Príklad 1. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Tu platí vzorec .

Len treba myslieť na bezpečnosť jeho používania. Je ľahké vidieť, že jeho ľavá a pravá strana majú rôzne oblasti definície a že táto rovnosť je pravdivá iba za predpokladu. Preto je pôvodná rovnica ekvivalentná systému

Vyriešením rovnice tohto systému získame korene a . Druhý koreň nevyhovuje množine nerovností systému, a preto je cudzím koreňom pôvodnej rovnice.

odpoveď: -1 .

II.Ďalšiu nebezpečnú transformáciu pri riešení iracionálnych rovníc určuje vzorec.

Ak použijete tento vzorec zľava doprava, ODZ sa rozšíri a môžete získať riešenia tretích strán. Na ľavej strane musia byť obe funkcie nezáporné; a vpravo ich produkt musí byť nezáporný.

Pozrime sa na príklad, kde je problém implementovaný pomocou vzorca.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Skúsme vyriešiť túto rovnicu faktoringom

Všimnite si, že s touto akciou sa riešenie ukázalo ako stratené, pretože vyhovuje pôvodnej rovnici a už nevyhovuje výslednej: nedáva zmysel pre . Preto je lepšie túto rovnicu riešiť obyčajnou kvadratúrou

Vyriešením rovnice tohto systému získame korene a . Oba korene vyhovujú systémovej nerovnosti.

odpoveď: , .

III Existuje ešte nebezpečnejšia akcia - zníženie o spoločný faktor.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu .

Nesprávna úvaha: Znížte obe strany rovnice o , dostaneme .

Nie je nič nebezpečnejšie a nesprávne ako táto akcia. Najprv sa stratilo vhodné riešenie pôvodnej rovnice; po druhé, boli zakúpené dve riešenia tretích strán. Ukazuje sa, že nová rovnica nemá nič spoločné s tou pôvodnou! Uveďme správne riešenie.

Riešenie. Presuňme všetkých členov do ľavá strana rovnica a faktor to

.

Táto rovnica je ekvivalentná systému

ktorý má unikátne riešenie.

odpoveď: 3 .

ZÁVER.

V rámci voliteľného predmetu sú ukázané neštandardné techniky riešenia zložitých problémov, ktoré sa úspešne rozvíjajú logické myslenie, schopnosť nájsť spomedzi mnohých riešení to, ktoré je pre študenta pohodlné a racionálne. Tento kurz vyžaduje od študentov samostatná práca, pomáha pripraviť žiakov na ďalšie vzdelávanie a zlepšiť úroveň matematickej kultúry.

V práci boli rozoberané hlavné metódy riešenia iracionálnych rovníc, niektoré prístupy k riešeniu rovníc vyššie stupne, ktorej využitie sa predpokladá pri riešení úloh Jednotnej štátnej skúšky, ako aj pri nástupe na vysoké školy a sústavnom matematickom vzdelávaní. Odhalil sa aj obsah základných pojmov a tvrdení súvisiacich s teóriou riešenia iracionálnych rovníc. Po určení najbežnejšej metódy riešenia rovníc sme identifikovali jej použitie v štandardných a neštandardných situáciách. Okrem toho sme zvažovali typické chyby pri vykonávaní identických transformácií a spôsobov ich prekonania.

Po absolvovaní predmetu budú mať študenti možnosť osvojiť si rôzne metódy a techniky riešenia rovníc, naučiť sa systematizovať a zovšeobecňovať teoretické informácie, samostatne hľadať riešenia určitých problémov a v súvislosti s tým zostaviť množstvo úloh a cvičení. na tieto témy. Výber komplexného materiálu pomôže školákom vyjadriť sa vo výskumných aktivitách.

Pozitívom kurzu je možnosť ďalšieho uplatnenia študentmi preberanej látky pri zloženie jednotnej štátnej skúšky, prijímanie na vysoké školy.

Negatívna stránka je, že nie každý študent je schopný zvládnuť všetky techniky tohto kurzu, aj keď po tom túži, vzhľadom na náročnosť väčšiny riešených problémov.

LITERATÚRA:

Sharygin I.F. "Matematika pre tých, ktorí vstupujú na univerzity." - 3. vydanie, - M.: Drop, 2000.

Rovnice a nerovnice. Referenčná príručka./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Skúška, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematika: intenzívny prípravný kurz na skúšky." – 8. vydanie, rev. a dodatočné – M.:Iris, 2003. – (domáci učiteľ)

Balayan E.N. Komplexné cvičenia a varianty tréningových úloh na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky. Rostov na Done: Phoenix Publishing House, 2004.

Skanavi M.I. "Zbierka úloh z matematiky pre tých, ktorí vstupujú na univerzity." - M., „Vyššia škola“, 1998.

Igusman O.S. "Matematika na ústnej skúške." - M., Iris, 1999.

Skúšobné materiály na prípravu na jednotnú štátnu skúšku – 2008 – 2012.

V.V. Kochagin, M.N. Kochagina „Jednotná štátna skúška - 2010. Matematika. Tútor" Moskva "Osvietenie" 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich „Matematika. Referenčné materiály" Moskva "Osvietenie" 1988

Po preštudovaní pojmu rovnosti, konkrétne jedného z ich typov - číselnej rovnosti, môžeme prejsť k inému dôležitý pohľad– rovnice. V rámci tohto materiálu si vysvetlíme, čo je rovnica a jej koreň, sformulujeme základné definície a uvedieme rôzne príklady rovníc a hľadania ich koreňov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojem rovnica

Pojem rovnica sa zvyčajne vyučuje na samom začiatku kurzu školskej algebry. Potom je to definované takto:

Definícia 1

Rovnica volala rovnosť s neznámym číslom, ktoré treba nájsť.

Je zvykom označovať neznáme ako malé s latinskými písmenami, napríklad t, r, m atď., ale najčastejšie sa používa x, y, z. Inými slovami, rovnica je určená formou jej záznamu, to znamená, že rovnosť bude rovnicou až vtedy, keď sa zredukuje na určitý tvar – musí obsahovať písmeno, hodnotu, ktorú treba nájsť.

Uveďme niekoľko príkladov najjednoduchších rovníc. Môžu to byť rovnosti v tvare x = 5, y = 6 atď., ako aj tie, ktoré zahŕňajú aritmetické operácie, napríklad x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Po naučení sa konceptu zátvoriek sa objaví koncept rovníc so zátvorkami. Patria sem 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 atď. Písmeno, ktoré je potrebné nájsť, sa môže objaviť viackrát, ale viackrát, napr. , napríklad v rovnici x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Neznáme môžu byť tiež umiestnené nielen vľavo, ale aj vpravo alebo v oboch častiach súčasne, napríklad x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 alebo 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Ďalej, keď sa študenti zoznámia s pojmom celé čísla, reálne, racionálne, prirodzené čísla, ako aj logaritmy, odmocniny a mocniny sa objavujú nové rovnice, ktoré zahŕňajú všetky tieto objekty. Príkladom takýchto výrazov sme venovali samostatný článok.

V učebných osnovách 7. ročníka sa prvýkrát objavuje pojem premenné. To sú písmená, ktoré dajú zabrať rôzne významy(ďalšie podrobnosti nájdete v článku o číslach, doslovné výrazy a výrazy s premennými). Na základe tohto konceptu môžeme predefinovať rovnicu:

Definícia 2

Rovnica je rovnosť zahŕňajúca premennú, ktorej hodnotu je potrebné vypočítať.

To znamená, že napríklad výraz x + 3 = 6 x + 7 je rovnica s premennou x a 3 y − 1 + y = 0 je rovnica s premennou y.

Jedna rovnica môže mať viac ako jednu premennú, ale dve alebo viac. Nazývajú sa rovnice s dvoma, tromi premennými atď. Zapíšme si definíciu:

Definícia 3

Rovnice s dvoma (tromi, štyrmi alebo viacerými) premennými sú rovnice, ktoré obsahujú zodpovedajúci počet neznámych.

Napríklad rovnosť tvaru 3, 7 · x + 0, 6 = 1 je rovnica s jednou premennou x a x − z = 5 je rovnica s dvoma premennými x a z. Príkladom rovnice s tromi premennými by bolo x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Koreň rovnice

Keď hovoríme o rovnici, okamžite vzniká potreba definovať pojem jej koreňa. Pokúsme sa vysvetliť, čo to znamená.

Príklad 1

Dostali sme určitú rovnicu, ktorá obsahuje jednu premennú. Ak za neznáme písmeno dosadíme číslo, rovnica sa stane číselnou rovnosťou – pravda alebo nepravda. Takže, ak v rovnici a + 1 = 5 nahradíme písmeno číslom 2, potom sa rovnosť stane nepravdivou, a ak 4, potom správna rovnosť bude 4 + 1 = 5.

Viac nás zaujímajú práve tie hodnoty, s ktorými sa premenná zmení na skutočnú rovnosť. Nazývajú sa korene alebo riešenia. Zapíšme si definíciu.

Definícia 4

Koreň rovnice Nazývajú hodnotu premennej, ktorá mení danú rovnicu na skutočnú rovnosť.

Koreň možno nazvať aj riešením, alebo naopak – oba tieto pojmy znamenajú to isté.

Príklad 2

Na objasnenie tejto definície si uveďme príklad. Vyššie sme dali rovnicu a + 1 = 5. Podľa definície bude koreň v tomto prípade 4, pretože pri dosadení namiesto písmena dáva správnu číselnú rovnosť a dvojka nebude riešením, pretože zodpovedá nesprávnej rovnosti 2 + 1 = 5.

Koľko koreňov môže mať jedna rovnica? Má každá rovnica koreň? Odpovedzme si na tieto otázky.

Existujú aj rovnice, ktoré nemajú jediný koreň. Príkladom by bolo 0 x = 5. Môžeme nahradiť nekonečne veľa rôzne čísla, ale žiadny z nich to nezmení na skutočnú rovnosť, pretože vynásobenie 0 vždy dáva 0.

Existujú aj rovnice, ktoré majú niekoľko koreňov. Môžu byť buď konečné alebo nekonečné veľké množstvo korene.

Príklad 3

Takže v rovnici x − 2 = 4 je len jeden koreň - šesť, v x 2 = 9 dva korene - tri a mínus tri, v x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tri korene - nula, jedna a dva, v rovnici x=x je nekonečne veľa koreňov.

Teraz si vysvetlíme, ako správne napísať korene rovnice. Ak neexistujú žiadne, napíšeme: „rovnica nemá korene“. V tomto prípade môžete uviesť aj znamienko prázdnej množiny ∅. Ak existujú korene, píšeme ich oddelené čiarkami alebo ich označujeme ako prvky množiny a uzatvárame ich do zložených zátvoriek. Ak má teda akákoľvek rovnica tri korene - 2, 1 a 5, potom napíšeme - 2, 1, 5 alebo (- 2, 1, 5).

Je dovolené písať korene vo forme jednoduchých rovníc. Ak je teda neznáma v rovnici označená písmenom y a korene sú 2 a 7, potom napíšeme y = 2 a y = 7. Niekedy sa k písmenám pridávajú dolné indexy, napríklad x 1 = 3, x 2 = 5. Týmto spôsobom ukážeme na čísla koreňov. Ak má rovnica nekonečný počet riešení, potom odpoveď zapíšeme ako číselný interval alebo použijeme všeobecne uznávaný zápis: množina prirodzených čísel sa označí N, celé čísla - Z, reálne čísla - R. Povedzme, že ak potrebujeme napísať, že riešením rovnice bude ľubovoľné celé číslo, napíšeme, že x ∈ Z, a ak nejaké reálne číslo od jedna do deväť, tak y ∈ 1, 9.

Keď má rovnica dva, tri alebo viac koreňov, potom spravidla nehovoríme o koreňoch, ale o riešeniach rovnice. Sformulujme definíciu riešenia rovnice s viacerými premennými.

Definícia 5

Riešením rovnice s dvoma, tromi alebo viacerými premennými sú dve, tri alebo viac hodnôt premenných, ktoré menia danú rovnicu na správnu číselnú rovnosť.

Vysvetlime si definíciu na príkladoch.

Príklad 4

Povedzme, že máme výraz x + y = 7, čo je rovnica s dvoma premennými. Nahraďte jeden namiesto prvého a dva namiesto druhého. Dostaneme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že táto dvojica hodnôt nebude riešením tejto rovnice. Ak vezmeme pár 3 a 4, potom sa rovnosť stane pravdou, čo znamená, že sme našli riešenie.

Takéto rovnice tiež nemusia mať žiadne korene alebo ich môže byť nekonečný počet. Ak potrebujeme zapísať dve, tri, štyri alebo viac hodnôt, potom ich zapíšeme oddelené čiarkami v zátvorkách. To znamená, že v príklade vyššie bude odpoveď vyzerať ako (3, 4).

V praxi sa najčastejšie musíte zaoberať rovnicami obsahujúcimi jednu premennú. Algoritmus na ich riešenie podrobne zvážime v článku venovanom riešeniu rovníc.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ak rovnica obsahuje premennú pod znamienkom druhej odmocniny, potom sa rovnica nazýva iracionálna.

Niekedy matematický model skutočná situácia je iracionálna rovnica. Preto by sme sa mali naučiť riešiť aspoň tie najjednoduchšie iracionálne rovnice.

Zvážte iracionálnu rovnicu 2 x + 1 = 3.

Dávaj pozor!

Metóda kvadratúry oboch strán rovnice je hlavnou metódou riešenia iracionálnych rovníc.

Je to však pochopiteľné: ako inak sa môžeme zbaviť znamienka druhej odmocniny?

Z rovnice \(2x + 1 = 9\) nájdeme \(x = 4\). Toto je koreň rovnice \(2x + 1 = 9\) aj danej iracionálnej rovnice.

Metóda kvadratúry je technicky jednoduchá, ale niekedy vedie k problémom.

Zoberme si napríklad iracionálnu rovnicu 2 x − 5 = 4 x − 7 .

Umocnením oboch strán dostaneme

2 x − 5 2 = 4 x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

Ale hodnota \(x = 1\), hoci je koreňom racionálnej rovnice \(2x - 5 = 4x - 7\), nie je koreňom danej iracionálnej rovnice. prečo? Dosadením \(1\) namiesto \(x\) do danej iracionálnej rovnice dostaneme − 3 = − 3 .

Ako môžeme hovoriť o naplnení číselnej rovnosti, ak jej ľavá aj pravá strana obsahujú výrazy, ktoré nedávajú zmysel?

V takýchto prípadoch hovoria: \(x = 1\) - cudzí koreň pre danú iracionálnu rovnicu. Ukazuje sa, že daná iracionálna rovnica nemá korene.

Cudzie korene nie sú pre vás novým pojmom, s cudzími koreňmi ste sa už stretli pri riešení racionálnych rovníc, verifikácia ich pomáha odhaliť.

V prípade iracionálnych rovníc je overenie povinným krokom pri riešení rovnice, čo pomôže odhaliť cudzie korene, ak nejaké existujú, a zlikvidovať ich (zvyčajne hovoria „vytrhnúť“).

Dávaj pozor!

Iracionálna rovnica je teda vyriešená kvadratúrou oboch strán; Po vyriešení výslednej racionálnej rovnice je potrebné skontrolovať a odstrániť možné cudzie korene.

Pomocou tohto záveru sa pozrime na príklad.

Príklad:

vyriešte rovnicu 5 x − 16 = x − 2 .

Odmocnime obe strany rovnice 5 x − 16 = x − 2: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

Transformujeme a získame:

5 x − 16 = x 2 − 4 x 4 ; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5; x 2 = 4.

Vyšetrenie. Dosadením \(x = 5\) do rovnice 5 x − 16 = x − 2 dostaneme 9 = 3 - správna rovnosť. Dosadením \(x = 4\) do rovnice 5 x − 16 = x − 2 dostaneme 4 = 2 - správna rovnosť. To znamená, že obe nájdené hodnoty sú koreňmi rovnice 5 x − 16 = x − 2.

Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, kvadratických, racionálnych, iracionálnych. Viete, že pri riešení rovníc sa vykonávajú rôzne transformácie, napr.: člen rovnice sa prenesie z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom; obe strany rovnice sa násobia alebo delia rovnakým nenulovým číslom; sú oslobodené od menovateľa, to znamená, že nahrádzajú rovnicu p x q x = 0 rovnicou \(p(x)=0\); obe strany rovnice sú na druhú mocninu.

Samozrejme ste si všimli, že v dôsledku niektorých transformácií sa môžu objaviť cudzie korene, a preto ste museli byť ostražití: skontrolujte všetky nájdené korene. Pokúsime sa to teda všetko pochopiť z teoretického hľadiska.

Dve rovnice \(f (x) = g(x)\) a \(r(x) = s(x)\) sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké korene (alebo najmä, ak obe rovnice nemajú korene ).

Zvyčajne sa pri riešení rovnice pokúšajú nahradiť túto rovnicu jednoduchšou, ale ekvivalentnou. Takéto nahradenie sa nazýva ekvivalentná transformácia rovnice.

Ekvivalentné transformácie rovnice sú nasledujúce transformácie:

1. prenos členov rovnice z jednej časti rovnice do druhej s opačnými znamienkami.

Napríklad nahradenie rovnice \(2x + 5 = 7x - 8\) rovnicou \(2x - 7x = - 8 - 5\) je ekvivalentnou transformáciou rovnice. To znamená, že rovnice \(2x + 5 = 7x -8\) a \(2x - 7x = -8 - 5\) sú ekvivalentné.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Hoci odstrašujúci vzhľad symbolu druhej odmocniny môže niekoho, kto nie je dobrý v matematike, skrčiť, problémy s odmocninou nie sú také ťažké, ako sa na prvý pohľad môže zdať. Jednoduché úlohy odmocniny možno často vyriešiť rovnako ľahko ako bežné úlohy násobenia alebo delenia. Na druhej strane, zložitejšie úlohy si môžu vyžadovať určité úsilie, no pri správnom prístupe nebudú pre vás ťažké ani tie. Začnite riešiť problémy pri ich koreňoch už dnes, aby ste sa naučili túto radikálnu novú matematickú zručnosť!

Kroky

Časť 1

Pochopenie druhých mocnín čísel a odmocniny

1. Umocnite číslo tak, že ho vynásobíte samotným. Aby ste pochopili druhé odmocniny, je najlepšie začať s druhými mocninami čísel. Druhé mocniny čísel sú celkom jednoduché: umocnenie čísla znamená jeho vynásobenie. Napríklad 3 na druhú je to isté ako 3 × 3 = 9 a 9 na druhú je to isté ako 9 × 9 = 81. Štvorce sú označené napísaním malej „2“ vpravo nad číslom druhej mocniny. Príklad: 3 2, 9 2, 100 2 atď.

   • Skúste si sami odmocniť niekoľko ďalších čísel, aby ste si vyskúšali koncept. Pamätajte, že druhá mocnina čísla znamená vynásobenie tohto čísla samo o sebe. Dá sa to urobiť aj pre záporné čísla. V tomto prípade bude výsledok vždy pozitívny. Napríklad: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Kedy hovoríme o o odmocninách, potom nastáva opačný proces kvadratúry. Koreňový symbol (√, nazývaný aj radikál) v podstate znamená opak symbolu 2. Keď vidíte radikála, musíte si položiť otázku: „Aké číslo sa dá vynásobiť samo, aby vzniklo číslo pod odmocninou? Napríklad, ak vidíte √(9), musíte nájsť číslo, ktoré po odmocnení dáva číslo deväť. V našom prípade bude toto číslo tri, pretože 3 2 = 9.

   • Pozrime sa na ďalší príklad a nájdime koreň čísla 25 (√(25)). To znamená, že musíme nájsť číslo, ktorého druhá mocnina nám dáva 25. Keďže 5 2 = 5 × 5 = 25, môžeme povedať, že √(25) = 5.
   • Môžete si to predstaviť aj ako „zrušenie“ kvadratúry. Napríklad, ak potrebujeme nájsť √(64), druhú odmocninu z 64, predstavme si toto číslo ako 8 2 . Keďže koreňový symbol „ruší“ kvadratúru, môžeme povedať, že √(64) = √(8 2) = 8.

3. Poznať rozdiel medzi ideálnou a neideálnou kvadratúrou. Doteraz boli odpovede na naše základné problémy dobré a okrúhle čísla, ale nie vždy to tak je. Odpovede na problémy s odmocninou môžu byť veľmi dlhé a nešikovné desatinné čísla. Čísla, ktorých korene sú celé čísla (inými slovami čísla, ktoré nie sú zlomkami), sa nazývajú dokonalé štvorce. Všetky vyššie uvedené príklady (9, 25 a 64) sú dokonalé štvorce, pretože ich odmocninou bude celé číslo (3,5 a 8).

   • Na druhej strane čísla, ktoré, keď sa vezmú ku koreňom, nedávajú celé číslo, sa nazývajú neúplné štvorce. Ak vložíte jedno z týchto čísel pod koreň, dostanete číslo s desatinným zlomkom. Niekedy môže byť toto číslo dosť dlhé. Napríklad √(13) = 3,605551275464...

4. Zapamätajte si prvých 1-12 úplných štvorcov. Ako ste si určite všimli, nájsť odmocninu dokonalého štvorca je celkom jednoduché! Pretože tieto problémy sú také jednoduché, stojí za to pripomenúť si korene prvého tucta úplných štvorcov. S týmito číslami sa stretnete viackrát, takže si nájdite trochu času, aby ste si ich zapamätali včas a ušetrili tak čas v budúcnosti.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 102 = 10 × 10 = 100
   • 112 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Zjednodušte korene odstránením úplných štvorcov, ak je to možné. Nájsť odmocninu čiastočného štvorca môže byť niekedy ťažké, najmä ak nepoužívate kalkulačku (pozrite si časť nižšie, kde nájdete niekoľko trikov na uľahčenie tohto procesu). Často však môžete zjednodušiť číslo pod koreňom, aby ste si uľahčili prácu. Aby ste to dosiahli, jednoducho musíte rozdeliť číslo pod odmocninou na faktory a potom nájsť odmocninu faktora, čo je dokonalý štvorec, a napísať ho mimo odmocniny. Je to jednoduchšie, ako sa zdá. Pre viac informácií čítajte ďalej.

   • Predpokladajme, že potrebujeme nájsť druhú odmocninu z 900. Na prvý pohľad to vyzerá ako dosť náročná úloha! Nebude to však také ťažké, ak si číslo 900 rozdelíme na faktory. Faktory sú čísla, ktoré sa navzájom vynásobia, aby vzniklo nové číslo. Napríklad číslo 6 možno získať vynásobením 1 × 6 a 2 × 3, pričom jeho faktory sú čísla 1, 2, 3 a 6.
   • Namiesto hľadania odmocniny 900, čo je trochu zložité, napíšme 900 ako 9 x 100. Teraz, keď je 9, čo je dokonalý štvorec, oddelené od 100, môžeme nájsť jeho odmocninu. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Inými slovami, √(900) = 3√(100).
   • Môžeme ísť ešte ďalej, ak rozdelíme 100 na dva faktory, 25 a 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Môžeme teda povedať, že √(900) = 3(10) = 30

6. Použite imaginárne čísla na nájdenie koreňa záporného čísla. Opýtajte sa sami seba, aké číslo po vynásobení samo o sebe dá -16? Nie je to 4 alebo -4, pretože umocnenie týchto čísel nám dáva kladné číslo 16. Vzdali ste to? V skutočnosti neexistuje spôsob, ako zapísať odmocninu -16 alebo akékoľvek iné záporné číslo v bežných číslach. V tomto prípade musíme nahradiť imaginárne čísla (zvyčajne vo forme písmen alebo symbolov), aby sme nahradili koreň záporného čísla. Napríklad premenná "i" sa zvyčajne používa na prevzatie odmocniny z -1. Odmocnina zo záporného čísla bude spravidla vždy imaginárne číslo (alebo v ňom zahrnuté).

   • Vedzte, že hoci imaginárne čísla nemožno znázorniť obyčajnými číslami, stále sa s nimi tak dá zaobchádzať. Napríklad druhá odmocnina záporného čísla môže byť odmocnená záporné čísla, ako každý iný, druhá odmocnina. Napríklad i 2 = -1

   Časť 2

   Použitie deliaceho algoritmu

   1. Napíšte hlavný problém ako problém s dlhým delením. Aj keď to môže byť dosť časovo náročné, týmto spôsobom môžete vyriešiť problém s čiastočnými odmocninami bez použitia kalkulačky. Na tento účel použijeme metódu riešenia (alebo algoritmus), ktorá je podobná (ale nie úplne rovnaká) ako bežné dlhé delenie.

      • Najprv napíšte úlohu s koreňom v rovnakom tvare ako pre dlhé delenie. Povedzme, že chceme nájsť druhú odmocninu 6,45, čo rozhodne nie je dokonalý štvorec. Najprv napíšeme obvyklý štvorcový symbol a potom pod ním napíšeme číslo. Ďalej nad číslom nakreslíme čiaru tak, aby končila v malom „boxe“, rovnako ako pri delení stĺpcom. Po tomto budeme mať root s dlhý chvost a pod ním číslo 6,45.
      • Čísla budeme písať nad koreň, takže si tam určite nechajte nejaké miesto.

   2. Zoskupte čísla do dvojíc. Ak chcete začať riešiť problém, musíte zoskupiť číslice čísla pod radikálom do párov, počnúc bodom v desiatkový. Ak chcete, môžete medzi pármi urobiť malé značky (napríklad bodky, lomky, čiarky atď.), aby ste sa vyhli zámene.

      • V našom príklade musíme číslo 6,45 rozdeliť do dvojíc takto: 6-,45-00. Upozorňujeme, že vľavo je „zostávajúce“ číslo - to je normálne.

   3. Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný prvej "skupine". Začnite prvým číslom alebo párom vľavo. Vyberte najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný zvyšnej „skupine“. Napríklad, ak by skupina mala 37, vybrali by ste si číslo 6, pretože 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Napíšte toto číslo nad prvú skupinu. Toto bude prvá číslica vašej odpovede.

      • V našom príklade bude prvá skupina na 6-,45-00 číslo 6. Najväčšie číslo, ktorá druhá mocnina bude menšia alebo rovná 6 je 2 2 = 4. Číslo 2 napíšte nad číslo 6, ktoré je pod odmocninou.

   4. Zdvojnásobte číslo, ktoré ste práve napísali, potom ho znížte na koreň a odčítajte. Vezmite prvú číslicu svojej odpovede (číslo, ktoré ste práve našli) a zdvojnásobte ju. Napíšte výsledok pod svoju prvú skupinu a odčítaním nájdite rozdiel. Umiestnite nasledujúcu dvojicu čísel vedľa vašej odpovede. Nakoniec napíšte vľavo poslednú číslicu dvojnásobku prvej číslice vašej odpovede a nechajte vedľa nej medzeru.

      • V našom príklade začneme zdvojnásobením čísla 2, čo je prvá číslica našej odpovede. 2 × 2 = 4. Potom odpočítame 4 od 6 (naša prvá „skupina“), výsledkom čoho je 2. Ďalej vynecháme ďalšia skupina(45), aby sme dostali 245. A nakoniec vľavo znova napíšeme číslo 4, pričom na konci necháme malú medzeru, napríklad takto: 4_

   5. Vyplň prázdne. Potom musíte pridať číslicu na pravú stranu napísaného čísla, ktoré je vľavo. Vyberte číslo, ktoré by vám po vynásobení novým číslom dalo najväčší možný výsledok, ktorý by bol menší alebo rovný „vynechanému“ číslu. Napríklad, ak je vaše „vynechané“ číslo 1700 a vaše ľavé číslo je 40_, musíte do medzery napísať číslo 4, pretože 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • V našom príklade musíme nájsť číslo a zapísať ho do medzier 4_ × _, čím bude odpoveď čo najväčšia, ale stále menšia alebo rovná 245. V našom prípade je to číslo 5. 45 × 5 = 225, zatiaľ čo 46 × 6 = 276

   6. Na nájdenie odpovede pokračujte v používaní „prázdnych“ čísel. Pokračujte v riešení tohto upraveného dlhého delenia, kým sa vám pri odčítaní „vynechaného“ čísla začnú objavovať nuly alebo kým nedosiahnete požadovanú úroveň presnosti odpovede. Keď skončíte, čísla, ktoré ste použili na vyplnenie medzier v každom kroku (plus úplne prvé číslo), budú tvoriť číslo vašej odpovede.

      • Pokračujeme v našom príklade a odpočítame 225 od 245, aby sme dostali 20. Potom vypustíme ďalší pár čísel, 00, aby sme dostali 2000. Zdvojnásobíme číslo nad znamienkom odmocniny. Dostaneme 25 × 2 = 50. Riešenie príkladu s medzerami, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Posuňte desatinnú čiarku dopredu od pôvodného „dividendového“ čísla. Na dokončenie odpovede musíte umiestniť desatinnú čiarku na správne miesto. Našťastie je to celkom jednoduché. Jediné, čo musíte urobiť, je zarovnať ho s pôvodným číselným bodom. Napríklad, ak je číslo 49,8 pod odmocninou, budete musieť umiestniť bodku medzi dve čísla nad deväť a osem.

      • V našom príklade je číslo pod radikálom 6,45, takže bodku jednoducho posunieme a umiestnime medzi čísla 2 a 5 v našej odpovedi, pričom odpoveď bude rovná 2,539.

   Časť 3

   Rýchlo spočítajte čiastkové štvorce

   1. Nájdite neúplné štvorce ich spočítaním. Keď si zapamätáte dokonalé štvorce, nájdenie koreňa nedokonalých štvorcov bude oveľa jednoduchšie. Keďže už poznáte tucet dokonalých štvorcov, akékoľvek číslo, ktoré spadá do oblasti medzi týmito dvoma dokonalými štvorcami, možno nájsť zmenšením všetkého na približný počet medzi týmito hodnotami. Začnite tým, že nájdete dva dokonalé štvorce, medzi ktorými je vaše číslo. Potom určte, ku ktorému z týchto čísel je vaše číslo bližšie.

      • Predpokladajme napríklad, že potrebujeme nájsť druhú odmocninu čísla 40. Keďže sme si zapamätali dokonalé štvorce, môžeme povedať, že číslo 40 je medzi 6 2 a 7 2 alebo číslami 36 a 49. Keďže 40 je väčšie ako 6 2, jeho odmocnina bude väčšia ako 6, a keďže je menšia ako 7 2 , jej odmocnina bude tiež menšia ako 7. 40 je o niečo bližšie k 36 ako 49, takže odpoveď bude pravdepodobne o niečo bližšie k 6 V niekoľkých nasledujúcich krokoch zúžime našu odpoveď.
      Ďalšia vec, ktorú by ste mali urobiť, je odmocniť približné číslo. S najväčšou pravdepodobnosťou budete mať smolu a nezískate pôvodné číslo. Buď bude trochu väčší, alebo trochu menší. Ak je váš výsledok príliš vysoký, skúste to znova, ale s mierne nižším guľovým číslom (a naopak, ak je výsledok príliš nízky).
      • Vynásobte 6,4 a dostanete 6,4 x 6,4 = 40,96, čo je o niečo viac ako pôvodné číslo.
      • Keďže naša odpoveď bola väčšia, musíme číslo vynásobiť približne o jednu desatinu menej a dostaneme nasledovné: 6,3 × 6,3 = 39,69. To je o niečo menej ako pôvodné číslo. To znamená, že druhá odmocnina zo 40 je medzi 6,3 a 6,4. Opäť, keďže 39,69 je bližšie k 40 ako 40,96, vieme, že druhá odmocnina bude bližšie k 6,3 ako 6,4.

   2. Pokračujte vo výpočte. V tomto bode, ak ste spokojní so svojou odpoveďou, môžete jednoducho vziať prvý uhádnutý tip. Ak však chcete presnejšiu odpoveď, všetko, čo musíte urobiť, je vybrať približnú hodnotu s dvoma desatinnými miestami, ktorá umiestni túto približnú hodnotu medzi prvé dve čísla. Ak budete pokračovať v tomto výpočte, budete môcť za svoju odpoveď získať tri, štyri alebo viac desatinných miest. Všetko závisí od toho, ako ďaleko chcete zájsť.

      • Pre náš príklad si zvoľme 6,33 ako približnú hodnotu na dve desatinné miesta. Vynásobením 6,33 získate 6,33 x 6,33 = 40,0689. keďže toto je o niečo vyššie ako naše číslo, vezmeme menšie číslo, napríklad 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Táto odpoveď je o niečo menšia ako naše číslo, takže vieme, že presná druhá odmocnina je medzi 6,32 a 6,33. Ak by sme chceli pokračovať, pokračovali by sme v používaní rovnakého prístupu, aby sme dostali odpoveď, ktorá by bola čoraz presnejšia.
   • Ak chcete rýchlo nájsť riešenie, použite kalkulačku. Väčšina moderných kalkulačiek dokáže okamžite nájsť druhú odmocninu čísla. Všetko, čo musíte urobiť, je zadať svoje číslo a potom kliknúť na tlačidlo koreňového znamienka. Napríklad, ak chcete nájsť koreň čísla 841, stlačte 8, 4, 1 a (√). V dôsledku toho dostanete odpoveď 39.