Sledovať dynamiku vývoja objektu, vnútornú podstatu vzťahov jeho prvkov a rôznych stavov v procese navrhovania je možné iba pomocou modelov, ktoré využívajú princíp dynamickej analógie, t.j. matematických modelov.

Matematický model je systém matematických vzťahov, ktoré opisujú skúmaný proces alebo jav. Na zostavenie matematického modelu môžete použiť akékoľvek matematické prostriedky – teóriu množín, matematickú logiku, jazyk diferenciálnych alebo integrálnych rovníc. Proces zostavovania matematického modelu je tzv matematického modelovania. Podobne ako iné typy modelov, aj matematický model predstavuje problém v zjednodušenej forme a popisuje len vlastnosti a vzory, ktoré sú pre daný objekt alebo proces najdôležitejšie. Matematický model umožňuje multilaterálnu kvantitatívnu analýzu. Zmenou počiatočných údajov, kritérií a obmedzení môžete zakaždým získať optimálne riešenie pre dané podmienky a určiť ďalší smer hľadania.

Tvorba matematických modelov si od ich vývojárov vyžaduje okrem znalosti formálnych logických metód aj dôkladnú analýzu skúmaného objektu s cieľom striktne formulovať hlavné myšlienky a pravidlá, ako aj identifikovať dostatočné množstvo spoľahlivých faktografických, štatistické a regulačné údaje.

Treba poznamenať, že všetky v súčasnosti používané matematické modely sa týkajú normatívne. Účelom vývoja preskriptívnych modelov je naznačiť smer hľadania riešenia a zároveň účel vývoja popisujúce modely sú odrazom skutočných procesov ľudského myslenia.

Je pomerne rozšírený názor, že pomocou matematiky je možné získať len niektoré číselné údaje o skúmanom objekte alebo procese. „Samozrejme, mnohé matematické disciplíny sú zamerané na získanie konečného číselného výsledku. Ale redukovať matematické metódy len na problém získania čísla znamená donekonečna ochudobňovať matematiku, ochudobňovať možnosti tej mocnej zbrane, ktorá je dnes v rukách výskumníkov...

Matematický model napísaný v jednom alebo inom súkromnom jazyku (napríklad diferenciálne rovnice) odráža určité vlastnosti skutočných fyzikálnych procesov. V dôsledku analýzy matematických modelov získame predovšetkým kvalitatívne predstavy o vlastnostiach skúmaných procesov, vytvoríme vzory, ktoré určujú dynamické série po sebe nasledujúcich stavov, a získame príležitosť predpovedať priebeh procesu. a určiť jeho kvantitatívne charakteristiky“.

Matematické modely sa používajú v mnohých známych modelovacích metódach. Medzi ne patrí vývoj modelov, ktoré popisujú statický a dynamický stav objektu, optimalizačné modely.

Príkladom matematických modelov, ktoré popisujú statický a dynamický stav objektu, môžu byť rôzne metódy tradičných konštrukčných výpočtov. Proces výpočtu, prezentovaný vo forme postupnosti matematických operácií (algoritmus), nám umožňuje povedať, že bol zostavený matematický model na výpočet určitej štruktúry.

IN optimalizácia Modely obsahujú tri prvky:

Objektívna funkcia odrážajúca prijaté kritérium kvality;

Nastaviteľné parametre;

Uložené obmedzenia.

Všetky tieto prvky musia byť popísané matematicky vo forme rovníc, logických podmienok atď. Riešenie optimalizačného problému je proces hľadania minimálnej (maximálnej) hodnoty cieľovej funkcie pri dodržaní špecifikovaných obmedzení. Výsledok riešenia sa považuje za optimálny, ak cieľová funkcia dosiahne svoju extrémnu hodnotu.

Príkladom optimalizačného modelu je matematický popis kritéria „dĺžka pripojenia“ v metóde alternatívneho návrhu priemyselných budov.

Cieľová funkcia odráža celkovú váženú dĺžku všetkých funkčných spojení, ktorá by mala smerovať k minimu:

kde je hodnota hmotnosti spojenia prvku s ;

– dĺžka spojenia medzi prvkami a;

– celkový počet umiestnených prvkov.

Keďže plochy umiestnených prvkov priestorov sú vo všetkých variantoch konštrukčného riešenia rovnaké, varianty sa od seba líšia len rozdielnou vzdialenosťou prvkov a ich vzájomným umiestnením. Nastaviteľnými parametrami sú teda v tomto prípade súradnice prvkov umiestnených na pôdoryse.

Uložené obmedzenia na umiestnenie prvkov (na vopred určenom mieste na pláne, na vonkajšom obvode, nad sebou atď.) a na dĺžku spojov (dĺžky spojov medzi prvkami sú pevne stanovené, min. alebo sú špecifikované maximálne limity hodnôt, hranice zmien sú špecifikované hodnoty) sú zapísané formálne.

Možnosť sa považuje za optimálnu (podľa tohto kritéria), ak je hodnota cieľovej funkcie vypočítaná pre túto možnosť minimálna.

Rôzne matematické modely - ekonomicko-matematický model– je modelom vzťahu medzi ekonomickými charakteristikami a systémovými parametrami.

Príkladom ekonomicko-matematických modelov je matematický popis nákladových kritérií pri vyššie uvedenej metóde alternatívneho návrhu priemyselných budov. Matematické modely získané na základe použitia metód matematickej štatistiky odrážajú závislosť nákladov na rám, základy, zemné práce jednopodlažných a viacpodlažných priemyselných budov a ich výšky, rozpätia a sklonu nosných konštrukcií.

Na základe metódy zohľadňovania vplyvu náhodných faktorov na rozhodovanie sa matematické modely delia na deterministické a pravdepodobnostné. Deterministický model nezohľadňuje vplyv náhodných faktorov v procese fungovania systému a je založený na analytickom znázornení vzorcov fungovania. pravdepodobnostný (stochastický) model zohľadňuje vplyv náhodných faktorov počas prevádzky systému a vychádza zo štatistických, t.j. kvantitatívne hodnotenie hromadných javov, umožňujúce zohľadniť ich nelinearitu, dynamiku, náhodné poruchy opísané rôznymi distribučnými zákonmi.

Pomocou vyššie uvedených príkladov môžeme povedať, že matematický model, ktorý popisuje kritérium „dĺžka spojení“, sa vzťahuje na deterministické modely a matematické modely, ktoré popisujú skupinu kritérií „náklady“, sa vzťahujú na pravdepodobnostné modely.

Lingvistické, sémantické a informačné modely

Matematické modely majú zjavné výhody, pretože kvantifikácia aspektov problému poskytuje jasný obraz o prioritách cieľov. Je dôležité, aby odborník mohol vždy zdôvodniť prijatie konkrétneho rozhodnutia predložením príslušných číselných údajov. Úplný matematický popis projektovej činnosti je však nemožný, preto sa väčšina problémov riešených v počiatočnej fáze architektonického a stavebného návrhu týka zle štruktúrované.

Jednou z čŕt pološtruktúrovaných problémov je slovný popis kritérií, ktoré sa v nich používajú. Zavedenie kritérií popísaných v prirodzenom jazyku (takéto kritériá sa nazývajú lingvistické), umožňuje použiť menej zložité metódy na nájdenie optimálnych konštrukčných riešení. Za prítomnosti takýchto kritérií sa dizajnér rozhodne na základe obvyklých, nie otázne vyjadrenia cieľov.

Zmysluplný popis všetkých aspektov problému vnáša do procesu jeho riešenia na jednej strane systematizáciu a na druhej strane výrazne uľahčuje prácu odborníkom, ktorí bez štúdia príslušných odborov matematiky dokážu lepšie riešiť svoje odborné problémy. racionálne. Na obr. 5.2 je daný lingvistický model, popisujúci možnosti vytvárania podmienok pre prirodzené vetranie v rôznych dispozičných možnostiach pekárne.

Medzi ďalšie výhody zmysluplného opisu problémov patria:

Schopnosť popísať všetky kritériá, ktoré určujú efektívnosť konštrukčného riešenia. Zároveň je dôležité, aby sa do opisu dali zaviesť komplexné pojmy a zorné pole odborníka, spolu s kvantitatívnymi, merateľnými faktormi, budú zahŕňať aj kvalitatívne, nemerateľné. V čase rozhodovania sa teda použijú všetky subjektívne a objektívne informácie;

Ryža. 5.2 Opis obsahu kritéria „vetranie“ vo forme jazykového modelu

Schopnosť jednoznačne posúdiť stupeň dosiahnutia cieľa v možnostiach tohto kritéria na základe formulácií prijatých odborníkmi, čo zaisťuje spoľahlivosť prijatých informácií;

Schopnosť brať do úvahy neistotu spojenú s neúplnou znalosťou všetkých dôsledkov prijatých rozhodnutí, ako aj prediktívne informácie.

Modely, ktoré používajú prirodzený jazyk na opis predmetu štúdia, zahŕňajú aj sémantické modely.

Sémantický model- existuje také zobrazenie objektu, ktoré odráža mieru vzájomnej prepojenosti (blízkosti) medzi rôznymi komponentmi, aspektmi, vlastnosťami objektu. Vzájomná prepojenosť neznamená relatívne priestorové usporiadanie, ale významovú súvislosť.

V sémantickom zmysle bude teda vzťah medzi koeficientom prirodzeného osvetlenia a svetelnou plochou priehľadných plotov prezentovaný ako bližší ako vzťah medzi okennými otvormi a priľahlými slepými časťami steny.

Sada vzťahov konektivity ukazuje, čo predstavuje každý vybraný prvok v objekte a objekt ako celok. Sémantický model zároveň reflektuje okrem miery prepojenosti rôznych aspektov v objekte aj obsah pojmov. Elementárne modely sú pojmy vyjadrené v prirodzenom jazyku.

Konštrukcia sémantických modelov je založená na princípoch, podľa ktorých sa pojmy a súvislosti nemenia po celú dobu používania modelu; obsah jedného pojmu sa neprenáša na druhý; spojenia medzi dvoma pojmami majú vo vzťahu k nim rovnocennú a neorientovanú interakciu.

Cieľom každej analýzy modelu je vybrať prvky modelu, ktoré majú určitú spoločnú kvalitu. To dáva základ pre konštrukciu algoritmu, ktorý berie do úvahy iba priame spojenia. Pri prevode modelu na neorientovaný graf sa medzi dvoma prvkami nájde cesta, ktorá sleduje pohyb od jedného prvku k druhému, pričom každý prvok sa použije iba raz. Poradie, v ktorom sa prvky objavujú, sa nazýva postupnosť dvoch prvkov. Sekvencie môžu mať rôzne dĺžky. Najkratšie z nich sa nazývajú vzťahy prvkov. Postupnosť dvoch prvkov existuje, aj keď medzi nimi existuje priame spojenie, ale v tomto prípade neexistuje žiadny vzťah.

Ako príklad sémantického modelu uvádzame popis dispozície bytu spolu s komunikačnými prepojeniami. Konceptom sú priestory bytu. Priame spojenie znamená funkčné prepojenie dvoch miestností, napríklad dverami (pozri tabuľku 5.1).

Transformácia modelu do podoby neorientovaného grafu nám umožňuje získať postupnosť prvkov (obr. 5.3).

Príklady poradia vytvoreného medzi prvkom 2 (kúpeľňa) a prvkom 6 (špajza) sú uvedené v tabuľke. 5.2. Ako je možné vidieť z tabuľky, sekvencia 3 predstavuje vzťah týchto dvoch prvkov.

Tabuľka 5.1

Popis dispozičného riešenia bytu

Ryža. 5.3 Popis plánovacieho riešenia vo forme neorientovaného grafu

Matematické modely

Matematický model - približné opivýznam modelovacieho objektu vyjadrený pomocoumatematickej symboliky.

Matematické modely sa objavili spolu s matematikou pred mnohými storočiami. Príchod počítačov dal obrovský impulz rozvoju matematického modelovania. Použitie počítačov umožnilo analyzovať a aplikovať v praxi mnohé matematické modely, ktoré predtým neboli prístupné analytickému výskumu. Implementované na počítači matematickymodel oblohy volal počítačový matematický model, A vykonávanie cielených výpočtov pomocou počítačového modelu volal výpočtový experiment.

Etapy počítačovej matematikydivízie sú znázornené na obrázku. najprvetapa - definovanie cieľov modelovania. Tieto ciele môžu byť rôzne:

1. model je potrebný na pochopenie toho, ako konkrétny objekt funguje, aká je jeho štruktúra, základné vlastnosti, zákonitosti vývoja a interakcie
   s vonkajším svetom (porozumenie);
2. model je potrebný na to, aby sme sa naučili riadiť objekt (alebo proces) a určili najlepšie metódy riadenia pre dané ciele a kritériá (manažment);
3. model je potrebný na predpovedanie priamych a nepriamych dôsledkov implementácie dané metódy a formy vplyvu na objekt (prognózovanie).

Vysvetlíme na príkladoch. Nech je predmetom skúmania interakcia prúdu kvapaliny alebo plynu s telesom, ktoré je prekážkou tohto prúdenia. Skúsenosti ukazujú, že sila odporu voči prúdeniu na časti telesa sa zvyšuje so zvyšujúcou sa rýchlosťou prúdenia, ale pri určitej dostatočne vysokej rýchlosti táto sila prudko klesá, aby sa opäť zvýšila s ďalším zvýšením rýchlosti. Čo spôsobilo zníženie odporovej sily? Matematické modelovanie nám umožňuje získať jasnú odpoveď: v momente prudkého poklesu odporu sa od neho začnú odtrhávať víry vznikajúce v prúdení kvapaliny alebo plynu za prúdnicovým telesom a sú prúdením unášané preč.

Príklad z úplne inej oblasti: populácie dvoch druhov jedincov, ktoré pokojne koexistovali so stabilným počtom a mali spoločnú zásobu potravy, „zrazu“ začnú svoje počty prudko meniť. A tu matematické modelovanie umožňuje (s určitou mierou spoľahlivosti) určiť príčinu (resp najmenej vyvrátiť určitú hypotézu).

Vyvinutie konceptu riadenia objektu je ďalším možným cieľom modelovania. Ktorý letový režim lietadla si mám zvoliť, aby bol let bezpečný a ekonomicky najziskovejší? Ako naplánovať stovky druhov prác na výstavbe veľkého objektu tak, aby to bolo čo najrýchlejšie hotové krátkodobý? Mnoho takýchto problémov systematicky vyvstáva pred ekonómami, dizajnérmi a vedcami.

Napokon, predpovedanie dôsledkov určitých dopadov na objekt môže byť relatívne jednoduchou záležitosťou v jednoduchých fyzikálnych systémoch a extrémne zložitou – na hranici uskutočniteľnosti – v biologických, ekonomických a sociálnych systémoch. Ak je relatívne ľahké odpovedať na otázku o zmenách v režime distribúcie tepla v tenkej tyči v dôsledku zmien v jej zliatine, potom je pomerne ľahké vysledovať (predpovedať) environmentálne a klimatické dôsledky výstavby veľkého vodná elektráreň resp sociálne dôsledky zmeny v daňovej legislatíve sú neporovnateľne ťažšie. Možno aj tu budú v budúcnosti výraznejšie pomáhať metódy matematického modelovania.

Druhá fáza: určenie vstupných a výstupných parametrov modelu; rozdelenie vstupných parametrov podľa miery dôležitosti vplyvu ich zmien na výstup. Tento proces sa nazýva poradie alebo oddelenie podľa hodnosti (pozri. „Formalizáciatvorba a modelovanie").

Tretia etapa: konštrukcia matematického modelu. V tejto fáze dochádza k prechodu od abstraktnej formulácie modelu k formulácii, ktorá má špecifické matematické znázornenie. Matematickým modelom sú rovnice, sústavy rovníc, sústavy nerovníc, diferenciálne rovnice alebo sústavy takýchto rovníc atď.

Štvrtá etapa: výber metódy na štúdium matematického modelu. Najčastejšie sa tu používajú numerické metódy, ktoré sa hodia na programovanie. Na riešenie toho istého problému je spravidla vhodných niekoľko metód, ktoré sa líšia presnosťou, stabilitou atď. Úspešnosť celého procesu modelovania často závisí od správneho výberu metódy.

Piata etapa: vývoj algoritmu, kompilácia a ladenie počítačového programu je náročný proces na formalizáciu. Spomedzi programovacích jazykov mnohí profesionáli uprednostňujú FORTRAN pre matematické modelovanie: tak kvôli tradíciám, ako aj kvôli neprekonateľnej efektivite kompilátorov (pre výpočtovú prácu) a dostupnosti obrovských, starostlivo odladených a optimalizovaných knižníc štandardných programov pre matematické metódy v ňom napísané . Používajú sa aj jazyky ako PASCAL, BASIC, C, v závislosti od povahy úlohy a sklonov programátora.

Šiesta etapa: testovanie programu. Fungovanie programu sa testuje na testovacom probléme s vopred známou odpoveďou. Toto je len začiatok testovacieho postupu, ktorý je ťažké opísať formálne komplexným spôsobom. Testovanie zvyčajne končí, keď používateľ vlastným spôsobom profesionálne vlastnosti zistí, že program je správny.

Siedma etapa: skutočný výpočtový experiment, počas ktorého sa zisťuje, či model zodpovedá reálnemu objektu (procesu). Model je dostatočne adekvátny skutočnému procesu, ak sa niektoré charakteristiky procesu získané na počítači zhodujú s experimentálne získanými charakteristikami s daným stupňom presnosti. Ak model nezodpovedá skutočnému procesu, vrátime sa k jednej z predchádzajúcich fáz.

Klasifikácia matematických modelov

Klasifikácia matematických modelov môže byť založená na rôznych princípoch. Modely môžete klasifikovať podľa vedných odborov (matematické modely vo fyzike, biológii, sociológii atď.). Možno klasifikovať podľa použitého matematického aparátu (modely založené na použití obyčajných diferenciálnych rovníc, parciálnych diferenciálnych rovníc, stochastických metód, diskrétnych algebraických transformácií atď.). Nakoniec na základe spoločné úlohy modelovanie v rôznych vedách, bez ohľadu na matematický aparát, najprirodzenejšia klasifikácia je:

• deskriptívne (opisné) modely;
• optimalizačné modely;
• multikriteriálne modely;
• herné modely.

Vysvetlime si to na príkladoch.

Deskriptívne (deskriptívne) modely. Napríklad modelovanie pohybu invázie kométy slnečná sústava, je vyrobený za účelom predpovedania jeho dráhy letu, vzdialenosti, v ktorej preletí od Zeme atď. V tomto prípade sú ciele modelovania svojou povahou deskriptívne, pretože neexistuje spôsob, ako ovplyvniť pohyb kométy alebo v nej niečo zmeniť.

Optimalizačné modely sa používajú na opis procesov, ktoré je možné ovplyvniť v snahe dosiahnuť daný cieľ. V tomto prípade model obsahuje jeden alebo viac parametrov, ktoré je možné ovplyvniť. Napríklad pri zmene tepelného režimu v sýpke si môžete stanoviť za cieľ zvoliť taký režim, ktorým sa dosiahne maximálna bezpečnosť obilia, t.j. optimalizovať proces skladovania.

Multikriteriálne modely. Často je potrebné optimalizovať proces podľa niekoľkých parametrov súčasne a ciele môžu byť dosť protichodné. Napríklad, keď poznáte ceny potravín a potrebu potravín, musíte si zorganizovať jedlo veľké skupinyľudí (v armáde, detskom letnom tábore a pod.) je fyziologicky správna a zároveň čo najlacnejšia. Je jasné, že tieto ciele sa vôbec nezhodujú, t.j. Pri modelovaní sa bude využívať viacero kritérií, medzi ktorými treba hľadať rovnováhu.

Herné modely sa môže týkať nielen počítačových hier, ale aj veľmi vážnych vecí. Napríklad pred bitkou musí veliteľ, ak existujú neúplné informácie o nepriateľskej armáde, vypracovať plán: v akom poradí uviesť určité jednotky do boja atď., berúc do úvahy možnú reakciu nepriateľa. Existuje špeciálny odbor modernej matematiky – teória hier – ktorý študuje metódy rozhodovania v podmienkach neúplných informácií.

V školskom kurze informatiky študenti ako súčasť základného kurzu získajú počiatočné pochopenie počítačového matematického modelovania. Na strednej škole možno matematické modelovanie študovať do hĺbky v kurze všeobecného vzdelávania pre hodiny fyziky a matematiky, ako aj v rámci špecializovaného voliteľného kurzu.

Hlavnými formami výučby počítačového matematického modelovania na strednej škole sú prednášky, laboratórne a testovacie hodiny. Práca na vytvorení a príprave na štúdium každého nového modelu zvyčajne trvá 3-4 lekcie. Pri prezentácii materiálu sú stanovené úlohy, ktoré musia žiaci v budúcnosti samostatne riešiť. všeobecný prehľad sú načrtnuté spôsoby ich riešenia. Formulujú sa otázky, na ktoré je potrebné získať odpovede pri plnení úloh. Uvedené doplnková literatúra, ktorá umožňuje získať pomocné informácie pre úspešnejšie splnenie úloh.

Formou organizácie hodín pri štúdiu nového materiálu je zvyčajne prednáška. Po dokončení diskusie o ďalšom modeli študentov mať k dispozícii potrebné teoretické informácie a súbor úloh pre ďalšiu prácu. V rámci prípravy na splnenie úlohy si študenti zvolia vhodnú metódu riešenia a otestujú vyvinutý program pomocou niektorého známeho súkromného riešenia. V prípade celkom možných ťažkostí pri plnení úloh sa poskytuje konzultácia a návrh na podrobnejšie preštudovanie týchto častí v literárnych zdrojoch.

Pre praktickú časť výučby počítačového modelovania je najvhodnejšia projektová metóda. Úloha je formulovaná pre študenta vo forme vzdelávacieho projektu a je realizovaná počas niekoľkých vyučovacích hodín, pričom hlavnou organizačnou formou je počítač. laboratórne práce. Vyučovanie modelovania metódou edukačného projektu je možné realizovať na rôznych úrovniach. Prvou je problematická prezentácia procesu dokončovania projektu, ktorý vedie učiteľ. Druhým je realizácia projektu žiakmi pod vedením pedagóga. Tretím cieľom je, aby študenti samostatne dokončili projekt vzdelávacieho výskumu.

Výsledky práce musia byť prezentované v číselnej forme, vo forme grafov a diagramov. Ak je to možné, proces je prezentovaný na obrazovke počítača v dynamike. Po ukončení výpočtov a prijatí výsledkov sa tieto analyzujú, porovnajú so známymi faktami z teórie, potvrdí sa spoľahlivosť a vykoná sa zmysluplná interpretácia, ktorá sa následne premietne do písomnej správy.

Ak výsledky uspokoja žiaka a učiteľa, tak prácu počíta a jeho záverečnou fázou je príprava správy. Správa obsahuje stručné teoretické informácie k skúmanej téme, matematickú formuláciu problému, algoritmus riešenia a jeho zdôvodnenie, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledkov a záverov a zoznam literatúry.

Po zostavení všetkých správ ich študenti prezentujú krátke správy o vykonanej práci, obhájiť svoj projekt. Ide o efektívnu formu správy od skupiny realizujúcej projekt triede, vrátane stanovenia problému, zostavenia formálneho modelu, výberu metód pre prácu s modelom, implementácie modelu na počítači, práce s hotovým modelom, interpretácie. výsledky a predpovede. Výsledkom je, že študenti môžu získať dva stupne: prvý - za vypracovanie projektu a úspešnosť jeho obhajoby, druhý - za program, optimálnosť jeho algoritmu, rozhrania atď. Študenti dostávajú známky aj počas teoretických kvízov.

Základná otázka- aké nástroje by sa mali používať v školskom kurze informatiky na matematické modelovanie? Počítačová implementácia modelov môže byť vykonaná:

• pomocou tabuľkového procesora (zvyčajne MS Excel);
• vytváraním programov v tradičných programovacích jazykoch (Pascal, BASIC atď.), ako aj v ich moderných verziách (Delphi, Visual
  Základné pre aplikáciu atď.);
• pomocou špeciálnych aplikačných balíkov na riešenie matematických úloh (MathCAD a pod.).

Na úrovni základnej školy sa javí ako vhodnejšia prvá metóda. Na strednej škole, keď je programovanie spolu s modelovaním kľúčovou témou informatiky, je však vhodné použiť ho ako modelovací nástroj. Počas procesu programovania sa študentom sprístupnia podrobnosti o matematických postupoch; Navyše sú jednoducho nútení ich ovládať, a to tiež prispieva k matematickému vzdelaniu. Pokiaľ ide o použitie špeciálnych softvérových balíkov, je to vhodné v špecializovanom kurze informatiky ako doplnok k iným nástrojom.

Cvičenie :

• Vytvorte schému kľúčových pojmov.

Na zostavenie matematického modelu potrebujete:

1. starostlivo analyzovať skutočný objekt alebo proces;
2. zdôrazniť jeho najvýznamnejšie vlastnosti a vlastnosti;
3. definovať premenné, t.j. parametre, ktorých hodnoty ovplyvňujú hlavné vlastnosti a vlastnosti objektu;
4. opísať závislosť základných vlastností objektu, procesu alebo systému od hodnôt premenných pomocou logicko-matematických vzťahov (rovnice, rovnosti, nerovnosti, logicko-matematické konštrukcie);
5. zvýrazniť vnútorné súvislosti objektu, procesu alebo systému pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií;
6. definovať vonkajšie vzťahy a popísať ich pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií.

Matematické modelovanie okrem štúdia objektu, procesu alebo systému a zostavovania jeho matematického popisu zahŕňa aj:

1. vytvorenie algoritmu, ktorý modeluje správanie objektu, procesu alebo systému;
2. kontrola primeranosti modelu a objektu, procesu alebo systému na základe výpočtových a rozsiahlych experimentov;
3. úprava modelu;
4. pomocou modelu.

Matematický popis skúmaných procesov a systémov závisí od:

1. charakter reálneho procesu alebo systému a je zostavený na základe zákonov fyziky, chémie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teórie plasticity, teórie pružnosti atď.
2. požadovaná spoľahlivosť a presnosť štúdia a výskumu reálnych procesov a systémov.

Konštrukcia matematického modelu zvyčajne začína konštrukciou a analýzou najjednoduchšieho, najhrubšieho matematického modelu uvažovaného objektu, procesu alebo systému. V budúcnosti, ak je to potrebné, sa model zdokonaľuje a jeho súlad s objektom je úplnejší.

Uveďme si jednoduchý príklad. Je potrebné určiť povrch stola. Zvyčajne sa to robí meraním jeho dĺžky a šírky a následným vynásobením výsledných čísel. Tento elementárny postup vlastne znamená nasledovné: reálny objekt (plocha stola) je nahradený abstraktným matematickým modelom – obdĺžnikom. Rozmery získané meraním dĺžky a šírky povrchu stola sú priradené k obdĺžniku a plocha takéhoto obdĺžnika sa približne považuje za požadovanú plochu stola. Obdĺžnikový model písacieho stola je však najjednoduchší a najhrubší model. Ak k problému pristúpite serióznejšie, pred použitím obdĺžnikového modelu na určenie plochy stola je potrebné tento model skontrolovať. Kontroly je možné vykonať nasledovne: zmerajte dĺžky protiľahlých strán stola, ako aj dĺžky jeho uhlopriečok a navzájom ich porovnajte. Ak sú s požadovaným stupňom presnosti dĺžky protiľahlých strán a dĺžky uhlopriečok v pároch rovnaké, potom možno povrch stola skutočne považovať za obdĺžnik. V opačnom prípade bude musieť byť obdĺžnikový model odmietnutý a nahradený štvoruholníkovým modelom všeobecný pohľad. Pri vyššej požiadavke na presnosť môže byť potrebné model ešte spresniť, napríklad zohľadniť zaoblenie rohov stola.

S pomocou tohto jednoduchý príklad ukázalo sa, že matematický model nie je jednoznačne určený objektom, procesom resp systém.

ALEBO (bude objasnené zajtra)

Spôsoby riešenia matematiky. Modely:

1, Konštrukcia modelu na základe prírodných zákonov (analytická metóda)

2. Formálnym spôsobom pomocou štatistických metód. Spracovanie a meranie výsledkov (štatistický prístup)

3. Konštrukcia modelu na základe modelu prvkov (komplexných systémov)

1, Analytické - použitie s dostatočným štúdiom. Všeobecný vzorec je známy. Modelky.

2. experiment. Pri nedostatku informácií.

3. Imitácia m.- skúma vlastnosti predmetu. Vo všeobecnosti.

Príklad konštrukcie matematického modelu.

Matematický model je matematickým vyjadrením reality.

Matematické modelovanie je proces konštrukcie a štúdia matematických modelov.

Všetky prírodné a spoločenské vedy, ktoré používajú matematiku, sa v podstate zaoberajú matematickým modelovaním: nahrádzajú objekt jeho matematickým modelom a potom ho študujú. Spojenie medzi matematickým modelom a realitou sa uskutočňuje pomocou reťazca hypotéz, idealizácií a zjednodušení. Pomocou matematických metód sa spravidla opisuje ideálny objekt skonštruovaný v štádiu zmysluplného modelovania.

Prečo sú potrebné modely?

Veľmi často pri štúdiu akéhokoľvek objektu vznikajú ťažkosti. Samotný originál je niekedy nedostupný, prípadne jeho použitie nie je vhodné, prípadne prilákanie originálu je drahé. Všetky tieto problémy je možné vyriešiť pomocou simulácie. V určitom zmysle môže model nahradiť skúmaný objekt.

Najjednoduchšie príklady modelov

§ Fotografiu možno nazvať modelom osoby. Na rozpoznanie človeka stačí vidieť jeho fotografiu.

§ Architekt vytvoril model novej obytnej štvrte. Pohybom ruky dokáže presunúť výškovú budovu z jednej časti do druhej. V skutočnosti by to nebolo možné.

Typy modelov

Modely možno rozdeliť na materiál" A perfektné. vyššie uvedené príklady sú materiálové modely. Ideálne modely majú často ikonické tvary. Reálne pojmy sú nahradené niektorými znakmi, ktoré sa dajú ľahko zaznamenať na papier, do pamäte počítača atď.

Matematické modelovanie

Matematické modelovanie patrí do triedy symbolického modelovania. Okrem toho je možné modely vytvárať z akýchkoľvek matematických objektov: čísel, funkcií, rovníc atď.

Zostavenie matematického modelu

§ Je možné zaznamenať niekoľko fáz vytvárania matematického modelu:

1. Pochopenie problému, identifikácia pre nás najdôležitejších vlastností, vlastností, veličín a parametrov.

2. Zavedenie notácie.

3. Zostavenie systému obmedzení, ktoré musia zadané hodnoty spĺňať.

4. Formulácia a zaznamenávanie podmienok, ktoré musí spĺňať požadované optimálne riešenie.

Proces modelovania sa vytvorením modelu nekončí, ale ním iba začína. Po zostavení modelu si vyberú metódu hľadania odpovede a riešenia problému. po nájdení odpovede sa porovnáva so skutočnosťou. A je možné, že odpoveď nie je uspokojivá, v takom prípade sa model upraví alebo sa dokonca zvolí úplne iný model.

Príklad matematického modelu

Úloha

Výrobné združenie, ktoré zahŕňa dve továrne na výrobu nábytku, potrebuje aktualizovať svoj strojový park. Okrem toho musí prvá továreň na nábytok nahradiť tri stroje a druhá sedem. Objednávky je možné zadať v dvoch továrňach na obrábacie stroje. Prvý závod môže vyrobiť maximálne 6 strojov a druhý závod akceptuje objednávku, ak budú aspoň tri. Musíte sa rozhodnúť, ako zadávať objednávky.

Podľa učebnice Sovetova a Jakovleva: „model (lat. modul - miera) je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý zabezpečuje štúdium niektorých vlastností originálu.“ (s. 6) “Nahradenie jedného objektu iným s cieľom získať informácie o najdôležitejších vlastnostiach pôvodného objektu pomocou objektu modelu sa nazýva modelovanie.” (s. 6) „Matematickým modelovaním rozumieme proces vytvárania súladu s daným reálnym objektom s určitým matematickým objektom, nazývaným matematický model, a štúdium tohto modelu, ktoré nám umožňuje získať charakteristiky reálneho posudzovaný objekt. Typ matematického modelu závisí tak od povahy skutočného objektu, ako aj od úloh štúdia objektu a od požadovanej spoľahlivosti a presnosti riešenia tohto problému.

Nakoniec najvýstižnejšia definícia matematického modelu: „Rovnica vyjadrujúca myšlienku».

Klasifikácia modelu

Formálna klasifikácia modelov

Formálna klasifikácia modelov je založená na klasifikácii použitých matematických nástrojov. Často konštruované vo forme dichotómií. Napríklad jeden z populárnych súborov dichotómií:

a tak ďalej. Každý vytvorený model je lineárny alebo nelineárny, deterministický alebo stochastický,... Prirodzene, zmiešané typy: v jednom ohľade koncentrované (z hľadiska parametrov), v inom - distribuované modely atď.

Klasifikácia podľa spôsobu znázornenia objektu

Spolu s formálnou klasifikáciou sa modely líšia v spôsobe, akým predstavujú objekt:

• Štrukturálne alebo funkčné modely

Štrukturálne modely predstavujú objekt ako systém s vlastnou štruktúrou a mechanizmom fungovania. Funkčné modely nepoužívať takéto reprezentácie a reflektovať len navonok vnímané správanie (fungovanie) objektu. Vo svojom extrémnom prejave sa im hovorí aj modely „čiernej skrinky“. Možné sú aj kombinované typy modelov, ktoré sa niekedy nazývajú „ šedá krabica».

Obsahové a formálne modely

Takmer všetci autori popisujúci proces matematického modelovania uvádzajú, že najprv sa vytvorí špeciálna ideálna štruktúra, obsahový model. Neexistuje tu ustálená terminológia a iní autori to nazývajú ideálnym objektom Koncepčný model , špekulatívny model alebo predmodelka. V tomto prípade je výsledná matematická konštrukcia tzv formálny model alebo jednoducho matematický model získaný ako výsledok formalizácie daného zmysluplného modelu (predmodelu). Konštrukciu zmysluplného modelu je možné vykonať pomocou sady hotových idealizácií, ako v mechanike, kde ideálne pružiny pevné látky, ideálne kyvadla, elastické médiá atď. poskytujú hotové konštrukčné prvky pre zmysluplné modelovanie. Avšak v oblastiach poznania, kde neexistujú úplne dokončené formalizované teórie (špičková fyzika, biológia, ekonómia, sociológia, psychológia a väčšina ďalších oblastí), sa vytváranie zmysluplných modelov stáva dramaticky zložitejším.

Obsahová klasifikácia modelov

Žiadna hypotéza vo vede nemôže byť dokázaná raz a navždy. Richard Feynman to formuloval veľmi jasne:

„Vždy máme možnosť vyvrátiť teóriu, ale všimnite si, že nikdy nemôžeme dokázať, že je správna. Predpokladajme, že ste predložili úspešnú hypotézu, vypočítali ste, kam vedie, a zistili ste, že všetky jej dôsledky sú experimentálne potvrdené. Znamená to, že vaša teória je správna? Nie, znamená to jednoducho, že si to nedokázal vyvrátiť."

Ak sa vytvorí model prvého typu, znamená to, že je dočasne prijatý ako pravda a človek sa môže sústrediť na iné problémy. To však nemôže byť bod vo výskume, ale len dočasná pauza: status modelu prvého typu môže byť len dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (správame sa ako keby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanizmus na popis javu. Tento mechanizmus však nie je dostatočne presvedčivý, nedá sa dostatočne potvrdiť dostupnými údajmi, alebo sa dobre nezhoduje s existujúcimi teóriami a nahromadenými poznatkami o objekte. Preto majú fenomenologické modely status dočasných riešení. Verí sa, že odpoveď je stále neznáma a hľadanie „skutočných mechanizmov“ musí pokračovať. Peierls zaraďuje ako druhý typ napríklad kalorický model a kvarkový model elementárnych častíc.

Úloha modelu vo výskume sa môže časom meniť a môže sa stať, že nové dáta a teórie potvrdia fenomenologické modely a tie sa povýšia do stavu hypotézy. Rovnako aj nové poznatky sa môžu postupne dostať do konfliktu s modelmi-hypotézami prvého typu a môžu sa preniesť do druhého. Model kvarku sa teda postupne presúva do kategórie hypotéz; atomizmus vo fyzike vznikol ako dočasné riešenie, ale postupom dejín sa stal prvým typom. Ale éterové modely sa dostali od typu 1 k typu 2 a teraz sú mimo vedu.

Myšlienka zjednodušenia je veľmi populárna pri zostavovaní modelov. Zjednodušenie však prichádza v rôznych podobách. Peierls identifikuje tri typy zjednodušení v modelovaní.

Typ 3: Aproximácia (považujeme niečo za veľmi veľké alebo veľmi malé)

Ak je možné zostrojiť rovnice, ktoré popisujú skúmaný systém, neznamená to, že sa dajú vyriešiť aj pomocou počítača. Bežnou technikou je v tomto prípade použitie aproximácií (modely typu 3). Medzi nimi modely lineárnej odozvy. Rovnice sú nahradené lineárnymi. Štandardným príkladom je Ohmov zákon.

Tu prichádza typ 8, ktorý je rozšírený v matematických modeloch biologických systémov.

Typ 8: Ukážka funkcií (hlavná vec je ukázať vnútornú konzistenciu možnosti)

To sú také myšlienkové experimenty s imaginárnymi entitami, ktoré to dokazujú domnelý jav v súlade so základnými princípmi a vnútorne v súlade. To je hlavný rozdiel od modelov typu 7, ktoré odhaľujú skryté rozpory.

Jedným z najznámejších z týchto experimentov je Lobačevského geometria (Lobačevskij ju nazval „imaginárna geometria“). Ďalším príkladom je masová výroba formálne kinetických modelov chemických a biologických vibrácií, autovĺn atď. Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox bol koncipovaný ako model 7. typu, aby demonštroval nekonzistentnosť kvantovej mechaniky. Úplne neplánovane sa z neho nakoniec stal model 8. typu – ukážka možnosti kvantovej teleportácie informácií.

Príklad

Uvažujme mechanický systém pozostávajúci z pružiny upevnenej na jednom konci a hmoty , pripevnenej k voľnému koncu pružiny. Budeme predpokladať, že zaťaženie sa môže pohybovať iba v smere osi pružiny (napríklad pohyb nastáva pozdĺž tyče). Zostavme si matematický model tohto systému. Stav systému popíšeme vzdialenosťou od stredu zaťaženia k jeho rovnovážnej polohe. Popíšme interakciu pružiny a použitia zaťaženia Hookov zákon() a potom použite druhý Newtonov zákon na jeho vyjadrenie vo forme diferenciálnej rovnice:

kde znamená druhú deriváciu s ohľadom na čas: .

Výsledná rovnica popisuje matematický model uvažovaného fyzikálneho systému. Tento model sa nazýva "harmonický oscilátor".

Podľa formálnej klasifikácie je tento model lineárny, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Pri jeho konštrukcii sme vychádzali z mnohých predpokladov (o absencii vonkajších síl, absencii trenia, malých odchýlok a pod.), ktoré v skutočnosti nemusia byť splnené.

Vo vzťahu k realite ide najčastejšie o model 4. typu zjednodušenie(„pre prehľadnosť vynecháme niektoré detaily“), keďže niektoré základné univerzálne vlastnosti (napríklad rozptyl) sú vynechané. Do určitej aproximácie (povedzme, zatiaľ čo odchýlka zaťaženia od rovnováhy je malá, s nízkym trením, nie príliš dlho a za určitých ďalších podmienok), takýto model celkom dobre opisuje skutočný mechanický systém, pretože vyradené faktory zanedbateľný vplyv na jeho správanie . Model však možno spresniť zohľadnením niektorých z týchto faktorov. To povedie k novému modelu so širším (aj keď opäť obmedzeným) rozsahom použiteľnosti.

Pri zdokonaľovaní modelu sa však môže výrazne zvýšiť zložitosť jeho matematického výskumu a model sa môže stať prakticky zbytočným. Jednoduchší model často umožňuje lepšie a hlbšie skúmanie reálneho systému ako zložitejší (a formálne „správnejší“).

Ak použijeme model harmonického oscilátora na objekty ďaleko od fyziky, jeho vecný stav môže byť odlišný. Napríklad pri aplikácii tohto modelu na biologické populácie by mal byť s najväčšou pravdepodobnosťou klasifikovaný ako typ 6 analógia(„vezmime do úvahy len niektoré funkcie“).

Tvrdé a mäkké modely

Harmonický oscilátor je príkladom takzvaného „tvrdého“ modelu. Získava sa ako výsledok silnej idealizácie skutočného fyzického systému. Na vyriešenie otázky jej použiteľnosti je potrebné pochopiť, aké významné sú faktory, ktoré sme zanedbali. Inými slovami, je potrebné študovať „mäkký“ model, ktorý sa získa malou poruchou „tvrdého“. Môže byť daný napríklad nasledujúcou rovnicou:

Tu je nejaká funkcia, ktorá môže brať do úvahy treciu silu alebo závislosť koeficientu tuhosti pružiny od stupňa jej natiahnutia - nejaký malý parameter. Explicitná forma funkcie nás momentálne nezaujíma. Ak dokážeme, že správanie mäkkého modelu sa zásadne nelíši od správania tvrdého (bez ohľadu na explicitný typ rušivých faktorov, ak sú dostatočne malé), problém sa zredukuje na štúdium tvrdého modelu. V opačnom prípade bude aplikácia výsledkov získaných štúdiom rigidného modelu vyžadovať ďalší výskum. Napríklad riešením rovnice harmonického oscilátora sú funkcie tvaru , teda kmity s konštantnou amplitúdou. Vyplýva z toho, že skutočný oscilátor bude oscilovať donekonečna s konštantnou amplitúdou? Nie, pretože ak vezmeme do úvahy systém s ľubovoľne malým trením (v reálnom systéme vždy prítomné), dostaneme tlmené oscilácie. Správanie systému sa kvalitatívne zmenilo.

Ak si systém zachováva svoje kvalitatívne správanie pri malých poruchách, hovorí sa, že je štrukturálne stabilný. Harmonický oscilátor je príkladom štrukturálne nestabilného (nehrubého) systému. Tento model však možno použiť na štúdium procesov počas obmedzených časových období.

Všestrannosť modelov

Najdôležitejšie matematické modely zvyčajne majú dôležitý majetok všestrannosť: Zásadne odlišné reálne javy možno opísať rovnakým matematickým modelom. Napríklad harmonický oscilátor opisuje nielen správanie sa záťaže na pružine, ale aj iné oscilačné procesy, často úplne iného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísanie hladiny kvapaliny v nádobe tvaru A. , alebo zmena sily prúdu v oscilačnom obvode. Štúdiom jedného matematického modelu teda okamžite študujeme celú triedu javov, ktoré popisuje. Je to izomorfizmus zákonov vyjadrený matematickými modelmi v rôznych segmentoch vedecké poznatky, inšpiráciou pre Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoreniu „Všeobecnej teórie systémov“.

Priame a inverzné úlohy matematického modelovania

S matematickým modelovaním je spojených veľa problémov. Najprv musíte prísť so základnou schémou modelovaného objektu, reprodukovať ho v rámci idealizácií tejto vedy. Vlakový vozeň sa tak mení na sústavu dosiek a zložitejších karosérií z rôznych materiálov, pričom každý materiál je špecifikovaný ako jeho štandardná mechanická idealizácia (hustota, moduly pružnosti, štandardné pevnostné charakteristiky), po ktorej sa zostavujú rovnice a po ceste niektoré detaily sú vyradené ako nedôležité, robia sa výpočty, porovnávajú sa s meraniami, model sa spresňuje atď. Na vývoj technológií matematického modelovania je však užitočné tento proces rozobrať na jeho hlavné komponenty.

Tradične existujú dve hlavné triedy problémov spojených s matematickými modelmi: priame a inverzné.

Priama úloha: štruktúra modelu a všetky jeho parametre sa považujú za známe, hlavnou úlohou je vykonať štúdiu modelu s cieľom získať užitočné poznatky o objekte. Aké statické zaťaženie most vydrží? Ako bude reagovať na dynamickú záťaž (napríklad na pochod roty vojakov, alebo na prechod vlaku rôznou rýchlosťou), ako lietadlo prekoná zvukovú bariéru, či sa rozpadne od trepotania - toto sú typické príklady priameho problému. Stanovenie správneho priameho problému (položenie správnej otázky) si vyžaduje špeciálnu zručnosť. Ak sa nepoloží správne otázky, most sa môže zrútiť, aj keď bol vybudovaný dobrý model pre jeho správanie. V roku 1879 sa teda vo Veľkej Británii zrútil kovový most cez rieku Tay, ktorého konštruktéri postavili model mosta, vypočítali, že má 20-násobný bezpečnostný faktor pre pôsobenie užitočného zaťaženia, ale zabudli na vetry. na tých miestach neustále fúka. A po roku a pol sa to zrútilo.

V najjednoduchšom prípade (napríklad rovnica jedného oscilátora) je priamy problém veľmi jednoduchý a redukuje sa na explicitné riešenie tejto rovnice.

Inverzný problém: je známych veľa možných modelov, konkrétny model treba vybrať na základe dodatočných údajov o objekte. Najčastejšie je známa štruktúra modelu a je potrebné určiť niektoré neznáme parametre. Ďalšie informácie môžu pozostávať z dodatočných empirických údajov alebo požiadaviek na objekt ( dizajnový problém). Ďalšie údaje môžu prísť bez ohľadu na proces riešenia inverzného problému ( pasívne pozorovanie) alebo je výsledkom experimentu špeciálne naplánovaného počas riešenia ( aktívny dohľad).

Jedným z prvých príkladov majstrovského riešenia inverzného problému s maximálnym využitím dostupných údajov bola metóda skonštruovaná I. Newtonom na rekonštrukciu trecích síl z pozorovaných tlmených kmitov.

Ďalším príkladom je matematická štatistika. Úlohou tejto vedy je vyvinúť metódy na zaznamenávanie, popis a analýzu pozorovacích a experimentálnych údajov s cieľom zostaviť pravdepodobnostné modely hromadných náhodných javov. Tie. množina možných modelov je obmedzená na pravdepodobnostné modely. V špecifických úlohách je množina modelov obmedzenejšia.

Počítačové simulačné systémy

Na podporu matematického modelovania boli vyvinuté počítačové matematické systémy, napr. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim atď. Umožňujú vytvárať formálne a blokové modely jednoduchých aj zložitých procesov a zariadení a jednoducho meniť parametre modelu počas modelovanie. Blokové modely sú reprezentované blokmi (najčastejšie grafickými), ktorých zostavu a zapojenie určuje modelová schéma.

Ďalšie príklady

Malthusov model

Tempo rastu je úmerné aktuálnej veľkosti populácie. Je opísaná diferenciálnou rovnicou

kde je určitý parameter určený rozdielom medzi pôrodnosťou a úmrtnosťou. Riešením tejto rovnice je exponenciálna funkcia. Ak pôrodnosť prevyšuje úmrtnosť (), veľkosť populácie sa neobmedzene a veľmi rýchlo zvyšuje. Je jasné, že v skutočnosti sa to kvôli obmedzeným zdrojom nemôže stať. Keď sa dosiahne určitá kritická veľkosť populácie, model prestáva byť adekvátny, pretože neberie do úvahy obmedzené zdroje. Spresnením Malthusovho modelu môže byť logistický model, ktorý je opísaný Verhulstovou diferenciálnou rovnicou

kde je „rovnovážna“ veľkosť populácie, pri ktorej je pôrodnosť presne kompenzovaná úmrtnosťou. Veľkosť populácie v takomto modeli má tendenciu k rovnovážnej hodnote a toto správanie je štrukturálne stabilné.

Systém dravec-korisť

Povedzme, že v určitej oblasti žijú dva druhy zvierat: králiky (jedia rastliny) a líšky (jedia králiky). Nech je počet králikov, počet líšok. Pomocou Malthusovho modelu s potrebnými úpravami, ktoré zohľadňujú požieranie králikov líškami, sa dostávame k nasledujúcemu systému, tzv. modely Podnosy - Volterra:

Tento systém má rovnovážny stav, keď je počet králikov a líšok konštantný. Odchýlka od tohto stavu má za následok kolísanie počtov králikov a líšok, podobne ako kolísanie harmonického oscilátora. Rovnako ako v prípade harmonického oscilátora, toto správanie nie je štrukturálne stabilné: malá zmena v modeli (napríklad berúc do úvahy obmedzené zdroje požadované králikmi) môže viesť ku kvalitatívnej zmene v správaní. Napríklad, rovnovážny stav sa môže stať stabilným a kolísanie čísel zmizne. Možný je aj opačný stav, kedy každá malá odchýlka od rovnovážnej polohy povedie ku katastrofálnym následkom, až k úplnému vyhynutiu niektorého z druhov. Model Volterra-Lotka neodpovedá na otázku, ktorý z týchto scenárov sa realizuje: tu je potrebný ďalší výskum.

Poznámky

1. „Matematické znázornenie reality“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., K filozofickým otázkam kybernetického modelovania. M., Vedomosti, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelovanie. Nápady. Metódy. Príklady. - 2. vyd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelovanie technologických procesov: učebnica / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Svetlý a potravinársky priemysel, 1984. - 344 s.
7. Wikislovník: matematický model
8. CliffsNotes.com. Slovník vedy o Zemi. 20. septembra 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. „Teória sa považuje za lineárnu alebo nelineárnu v závislosti od toho, aký druh matematického aparátu – lineárny alebo nelineárny – a aký druh lineárnych alebo nelineárnych matematických modelov používa. ...bez popierania toho druhého. Ak by moderný fyzik musel znovu vytvoriť definíciu takej dôležitej entity, akou je nelinearita, s najväčšou pravdepodobnosťou by konal inak a uprednostnil by nelinearitu ako dôležitejší a rozšírenejší z dvoch protikladov, definoval by linearitu ako „nie nelinearita." Danilov Yu. A., Prednášky o nelineárnej dynamike. Elementárny úvod. Séria "Synergie: od minulosti k budúcnosti." Vydanie 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. « Dynamické systémy, modelované konečným počtom obyčajných diferenciálnych rovníc, sa nazývajú koncentrované alebo bodové systémy. Sú opísané pomocou konečnej dimenzie fázového priestoru a sú charakterizované konečným počtom stupňov voľnosti. Ten istý systém za rôznych podmienok možno považovať za koncentrovaný alebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémov sú parciálne diferenciálne rovnice, integrálne rovnice alebo obyčajné rovnice oneskorenia. Počet stupňov voľnosti distribuovaného systému je nekonečný a na určenie jeho stavu je potrebné nekonečné množstvo údajov.“ Aniščenko V.S., Dynamické systémy, Sorosov vzdelávací časopis, 1997, č. 11, s. 77-84.
12. „V závislosti od charakteru procesov, ktoré sa študujú v systéme S, možno všetky typy modelovania rozdeliť na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétne, spojité a diskrétne spojité. Deterministické modelovanie odráža deterministické procesy, teda procesy, v ktorých sa predpokladá absencia akýchkoľvek náhodných vplyvov; stochastické modelovanie zobrazuje pravdepodobnostné procesy a udalosti. ... Statické modelovanie slúži na opísanie správania objektu v akomkoľvek časovom bode a dynamické modelovanie odráža správanie objektu v priebehu času. Diskrétne modelovanie sa používa na opis procesov, o ktorých sa predpokladá, že sú diskrétne, respektíve kontinuálne modelovanie nám umožňuje reflektovať spojité procesy v systémoch a diskrétne spojité modelovanie sa používa v prípadoch, keď chcú zdôrazniť prítomnosť diskrétnych aj spojitých procesov. “ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Typicky matematický model odráža štruktúru (zariadenie) modelovaného objektu, vlastnosti a vzťahy komponentov tohto objektu, ktoré sú podstatné pre účely výskumu; takýto model sa nazýva štrukturálny. Ak model odráža len to, ako objekt funguje – napríklad ako reaguje na vonkajšie vplyvy – potom sa nazýva funkčný alebo obrazne čierna skrinka. Možné sú aj kombinované modely. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Zjavnou, ale najdôležitejšou počiatočnou fázou konštrukcie alebo výberu matematického modelu je získanie čo najjasnejšieho obrazu o modelovanom objekte a dolaďovanie jeho zmysluplného modelu na základe neformálnych diskusií. V tejto fáze by ste nemali šetriť čas a úsilie, od toho do značnej miery závisí úspech celej štúdie. Neraz sa stalo, že značná práca vynaložená na riešenie matematického problému sa ukázala ako neefektívna alebo dokonca zbytočná pre nedostatočnú pozornosť venovanú tejto stránke veci.“ Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Popis koncepčného modelu systému. V tejto čiastkovej fáze budovania modelu systému: a) konceptuálny model M je opísaný v abstraktných termínoch a konceptoch; b) opis modelu je uvedený pomocou štandardných matematických schém; c) hypotézy a predpoklady sú nakoniec prijaté; d) voľba postupu aproximácie reálnych procesov pri konštruovaní modelu je opodstatnená.“ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Aplikovaná matematika: Predmet, logika, znaky prístupov. S príkladmi z mechanikov: Návod. - 3. vydanie, rev. a dodatočné - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, kapitola 2.

Typy matematických modelov

Podľa toho, akým prostriedkom, za akých podmienok a vo vzťahu k akým predmetom poznania sa realizuje schopnosť modelov odrážať realitu, vzniká ich veľká rôznorodosť a s ňou aj klasifikácie. Zovšeobecnením existujúcich klasifikácií identifikujeme základné modely založené na použitom matematickom aparáte, na základe ktorého sa vyvíjajú špeciálne modely (obrázok 8.1).

Obrázok 8.1 - Formálna klasifikácia modelov

Matematické modely zobrazujú skúmané objekty (procesy, systémy) vo forme explicitných funkčných vzťahov: algebraické rovnosti a nerovnosti, integrál a diferenciál, konečný rozdiel a iné matematické výrazy(zákon rozdelenia náhodnej premennej, regresné modely a pod.), ako aj vzťahy matematickej logiky.

V závislosti od dvoch základné vlastnosti zostrojenie matematického modelu - typ opisu vzťahov príčina-následok a ich zmien v čase - rozlišovať medzi deterministickými a stochastickými, statickými a dynamickými modelmi (obrázok 8.2).

Účelom diagramu na obrázku je zobraziť nasledujúce funkcie:

1) matematické modely môžu byť deterministické aj stochastické;

2) deterministické a stochastické modely môžu byť statické aj dynamické.

Matematický model je tzv deterministický (deterministický), ak sú všetky jeho parametre a premenné jednoznačne určenými veličinami a je splnená aj podmienka úplnej istoty informácie. V opačnom prípade za podmienok informačnej neistoty, keď parametre a premenné modelu sú náhodné premenné, sa model nazýva stochastický (pravdepodobný).

Obrázok 8.2 – Triedy matematických modelov

Model sa volá dynamický, ak sa aspoň jedna premenná mení v priebehu časových období a statické, ak sa prijme hypotéza, že premenné sa v priebehu časových období nemenia.

V najjednoduchšom prípade bilančné modely konať vo forme súvahovej rovnice, kde na ľavej strane je suma prípadných príjmov a na pravej strane výdavková časť, tiež vo forme súčtu. Takto sa napríklad prezentuje ročný rozpočet organizácie.

Na základe štatistických údajov možno zostaviť nielen bilančné modely, ale aj korelačné a regresné modely.

Ak funkcia Y závisí nielen od premenných x 1, x 2, ... x n, ale aj od iných faktorov, súvislosť medzi Y a x 1, x 2, ... x n je nepresná alebo korelačná, na rozdiel od presné alebo funkčné spojenie. Koreláciou sú napríklad vo väčšine prípadov sledované súvislosti medzi výstupnými parametrami OPS a faktormi jeho interného resp. vonkajšie prostredie(pozri tému 5).

Korelačno-regresné modely sa získavajú štúdiom vplyvu celého komplexu faktorov na hodnotu konkrétnej charakteristiky pomocou štatistického aparátu. V tomto prípade je úlohou nielen stanoviť korelačný vzťah, ale tento vzťah aj analyticky vyjadriť, teda vybrať rovnice, ktoré túto korelačnú závislosť opisujú (regresná rovnica).

Nájsť číselná hodnota Pre parametre regresnej rovnice sa používa metóda najmenších štvorcov. Podstatou tejto metódy je zvoliť takú priamku, aby súčet druhých mocnín odchýlok Y súradníc jednotlivých bodov od nej bol najmenší.

Korelačno-regresné modely sa často používajú pri štúdiu javov, keď je potrebné stanoviť vzťah medzi relevantnými charakteristikami v dvoch alebo viacerých sériách. V tomto prípade sa používa hlavne párová a viacnásobná lineárna regresia formulára

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

V dôsledku aplikácie metódy najmenších štvorcov sa stanovia hodnoty parametrov a alebo a 1 , a 2 , ..., a n a b a následne presnosť aproximácie a význam výslednej regresnej rovnice sa posudzujú.

Je pridelená špeciálna skupina graficko-analytické modely . Používajú rôzne grafické obrázky a preto majú dobrú viditeľnosť.

Teória grafov je jednou z teórií diskrétnej matematiky, ktorá študuje grafy, ktoré sú chápané ako množina bodov a čiar, ktoré ich spájajú. Graf je nezávislý matematický objekt (prvýkrát ho predstavil D. Koenig). Modely stromov a sietí sú najčastejšie postavené na základe teórie grafov.

Stromový model (strom) je neorientovaný súvislý graf, ktorý neobsahuje slučky ani cykly. Príkladom takéhoto modelu je strom cieľov.

Sieťové modely našli široké uplatnenie v riadení práce. Sieťové modely (grafy) odrážajú postupnosť prác a trvanie každej práce (obrázok 8.3).

Obrázok 8.3 - Sieťový model výroby práce

Každý riadok sieťového diagramu je nejaká práca. Číslo vedľa neho označuje trvanie jeho vykonania.

Sieťové modely umožňujú nájsť takzvanú kritickú cestu a optimalizovať pracovný harmonogram v čase s obmedzeniami na iné zdroje.

Sieťové modely môžu byť deterministické alebo stochastické. V druhom prípade je trvanie práce špecifikované zákonmi distribúcie náhodných premenných.

Optimalizačné modely slúžia na určenie optimálnej trajektórie systému na dosiahnutie svojho cieľa a zároveň ukladajú určité obmedzenia na kontrolu jeho správania a pohybu. V tomto prípade popisujú optimalizačné modely rôzne druhy problém nájdenia extrému nejakej objektívnej funkcie (optimalizačné kritérium).

Identifikovať najlepšia cesta Na dosiahnutie cieľov riadenia v podmienkach obmedzených zdrojov – technických, materiálnych, pracovných a finančných – sa využívajú metódy operačného výskumu. Patria sem metódy matematického programovania (lineárne a nelineárne, celočíselné, dynamické a stochastické programovanie), analytické a pravdepodobnostno-štatistické metódy, sieťové metódy, metódy teórie radenia, teória hier (teória konfliktných situácií) atď.

Optimalizačné modely sa používajú na plánovanie objemov a harmonogramov, riadenie zásob, distribúciu zdrojov a práce, výmenu, parametrizáciu a štandardizáciu zariadení, distribúciu tokov dodávok komodít na prepravnej sieti a ďalšie úlohy riadenia.

Jedným z hlavných úspechov teórie operačného výskumu je typizácia modelov riadenia a metód riešenia problémov. Napríklad na riešenie transportného problému v závislosti od jeho rozmeru boli vyvinuté štandardné metódy - Vogelova metóda, potenciálna metóda, simplexová metóda. Taktiež pri riešení problému riadenia zásob možno v závislosti od jeho formulácie použiť analytické a pravdepodobnostno-štatistické metódy, metódy dynamického a stochastického programovania.

V manažmente sa osobitný význam prikladá metódam plánovania siete. Tieto metódy umožnili nájsť nové a veľmi pohodlný jazyk na popis, modelovanie a analýzu zložitých viacstupňových prác a projektov. V operačnom výskume sa významné miesto venuje zlepšovaniu riadenia zložitých systémov pomocou metód teórie radenia (pozri časť 8.3) a aparátu Markovových procesov.

Modely Markovových náhodných procesov- systém diferenciálnych rovníc, ktoré opisujú fungovanie systému alebo jeho procesov vo forme súboru usporiadaných stavov pozdĺž určitej trajektórie správania systému. Táto trieda modelov je široko používaná pri matematickom modelovaní fungovania zložitých systémov.

Modely teórie hier slúžia na výber optimálnej stratégie v podmienkach obmedzených náhodných informácií alebo úplnej neistoty.

Hra je matematický model skutočnej konfliktnej situácie, ktorej riešenie sa uskutočňuje podľa určitých pravidiel a algoritmov, ktoré popisujú určitú stratégiu správania sa osoby s rozhodovacou právomocou v podmienkach neistoty.

Existujú „hry s prírodou“ a „hry s nepriateľom“. Na základe situácie sa určujú metódy a kritériá hodnotenia rozhodovania. Pri „hraní sa s prírodou“ sa teda používajú tieto kritériá: Laplace, maximin (Waldovo kritérium) a minimax, Hurwitz a Savage a množstvo ďalších algoritmických pravidiel. V „hrách so súperom“ sa pri rozhodovaní používajú platobné matice, maximálne a minimaxové kritériá, ako aj špeciálne matematické transformácie, pretože ten, kto rozhoduje, je konfrontovaný nepriateľským súperom.

Uvažované typy matematických modelov nepokrývajú celú ich možnú rôznorodosť, ale iba charakterizujú jednotlivé typy v závislosti od akceptovaného aspektu klasifikácie. V.A. Kardash sa pokúsil vytvoriť systém na klasifikáciu modelov podľa štyroch aspektov detailu (obrázok 8.4).

A - modely bez priestorovej diferenciácie parametrov;

B - modely s priestorovou diferenciáciou parametrov

Obrázok 8.4 - Klasifikácia modelov podľa štyroch aspektov detailu

S rozvojom výpočtových nástrojov je jednou z najbežnejších metód rozhodovania obchodná hra, čo je numerický experiment s aktívnou účasťou človeka. Existujú stovky obchodných hier. Používajú sa na štúdium množstva problémov v manažmente, ekonómii, organizačnej teórii, psychológii, financiách a obchode.