Opredelitev

polieder bomo imenovali zaprto ploskev, sestavljeno iz mnogokotnikov in omejuje nek del prostora.

Segmenti, ki so stranice teh mnogokotnikov, se imenujejo rebra polieder in poligoni sami - obrazi. Oglišča mnogokotnikov imenujemo oglišča poliedra.

Upoštevali bomo samo konveksne poliedre (to je polieder, ki je na eni strani vsake ravnine, ki vsebuje njegovo ploskev).

Mnogokotniki, ki sestavljajo polieder, tvorijo njegovo površino. Del prostora, ki ga omejuje dani polieder, imenujemo njegova notranjost.

Opredelitev: prizma

Razmislite o dveh enakih poligonih \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\), ki se nahajata v vzporedne ravnine tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) so vzporedni. Polieder, sestavljen iz mnogokotnikov \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) ter paralelogramov \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se imenuje (\(n\)-premog) prizma.

Mnogokotnika \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) imenujemo osnovice prizme, paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– stranske ploskve, segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- stranska rebra.
Tako sta stranski robovi prizme med seboj vzporedni in enaki.

Razmislite o primeru - prizmi \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), katerega osnova je konveksni peterokotnik.

Višina Prizma je pravokotnik iz katere koli točke ene baze na ravnino druge baze.

Če stranski robovi niso pravokotni na podlago, se imenuje taka prizma poševno(slika 1), drugače - naravnost. Za ravno prizmo so stranski robovi višine in stranski obrazi sta enaka pravokotnika.

Če pravilni mnogokotnik leži na dnu pravilne prizme, se imenuje prizma pravilno.

Opredelitev: pojem prostornine

Enota prostornine je enotska kocka (kocka z merami \(1\times1\times1\) enot\(^3\) , kjer je enota neka merska enota).

Lahko rečemo, da je prostornina poliedra količina prostora, ki ga ta polieder omejuje. V nasprotnem primeru: to je vrednost, katere številčna vrednost označuje, kolikokrat se enota kocke in njeni deli prilegajo danemu poliedru.

Prostornina ima enake lastnosti kot površina:

1. Prostornini enakih likov sta enaki.

2. Če je polieder sestavljen iz več poliedrov, ki se ne sekajo, potem njegova prostornina je enaka vsoti prostornine teh poliedrov.

3. Prostornina je nenegativna vrednost.

4. Prostornina se meri v cm\(^3\) (kubičnih centimetrih), m\(^3\) ( Kubični metri) itd.

Izrek

1. Površina stranske površine prizme je enaka produktu oboda osnove in višine prizme.
Bočna površina je vsota ploščin stranskih ploskev prizme.

2. Prostornina prizme je enaka zmnožku osnovne ploščine in višine prizme: \

Opredelitev: škatla

Paralelepiped Je prizma, katere osnova je paralelogram.

Vse ploskve paralelepipeda (njihove \(6\) : \(4\) stranske ploskve in \(2\) osnove) so paralelogrami, nasprotni ploskvi (med seboj vzporedni) pa sta enaka paralelograma (slika 2).

Diagonala škatle je odsek, ki povezuje dve oglišči paralelepipeda, ki ne ležita na isti ploskvi (njun \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itd.).

kvader je pravi paralelepiped s pravokotnikom na dnu.
Ker je pravi paralelepiped, potem so stranske ploskve pravokotniki. Torej so na splošno vse ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

Vse diagonale kvadra so enake (to izhaja iz enakosti trikotnikov \(\trikotnik ACC_1=\trikotnik AA_1C=\trikotnik BDD_1=\trikotnik BB_1D\) itd.).

Komentiraj

Tako ima paralelepiped vse lastnosti prizme.

Izrek

Površina stranske površine pravokotnega paralelepipeda je enaka \

Skupna površina pravokotnega paralelopipeda je \

Izrek

Prostornina kvadra je enaka produktu treh njegovih robov, ki izhajajo iz enega oglišča (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Ker pri pravokotnem paralelepipedu so stranski robovi pravokotni na osnovo, potem so tudi njegove višine, to je \(h=AA_1=c\) osnova je pravokotnik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Od tod izvira formula.

Izrek

Diagonalo \(d\) kvadra iščemo po formuli (kjer so \(a,b,c\) dimenzije kvadra)\

Dokaz

Razmislite o sl. 3. Ker osnova je pravokotnik, potem je \(\trikotnik ABD\) pravokoten, torej po Pitagorovem izreku \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Ker vsi stranski robovi so pravokotni na osnove, torej \(BB_1\perp (ABC) \desna puščica BB_1\) pravokotna na katero koli premico v tej ravnini, tj. \(BB_1\perp BD\) . Torej je \(\trikotnik BB_1D\) pravokoten. Potem po Pitagorovem izreku \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Opredelitev: kocka

Kocka je pravokoten paralelepiped, katerega vse stranice so enaki kvadrati.

Tako so tri dimenzije med seboj enake: \(a=b=c\) . Torej drži naslednje

Izreki

1. Prostornina kocke z robom \(a\) je \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Diagonala kocke se išče po formuli \(d=a\sqrt3\) .

3. Skupna površina kocke \(S_(\text(polne ponovitve kocke))=6a^2\).

Paralelogram v grščini pomeni ravnina. Paralelepiped je prizma, katere osnova je paralelogram. Obstaja pet vrst paralelogramov: poševni, ravni in pravokotni paralelopiped. Kocka in romboeder prav tako pripadata paralelepipedu in sta njegova različica.

Preden preidemo na osnovne pojme, dajmo nekaj definicij:

Diagonala paralelepipeda je odsek, ki združuje oglišča paralelepipeda, ki sta si nasproti.
Če imata dve ploskvi skupni rob, ju lahko imenujemo sosednji robovi. Če ni skupnega roba, se obrazi imenujejo nasprotni.
Dve točki, ki ne ležita na isti ploskvi, se imenujeta nasprotni.

Kakšne so lastnosti paralelepipeda?

Strani paralelepipeda, ki ležita na nasprotnih straneh, sta med seboj vzporedni in enaki.
Če narišete diagonale iz enega oglišča v drugo, jih bo presečišče teh diagonal razdelilo na pol.
Stranice paralelepipeda, ki ležijo pod enakim kotom glede na podlago, bodo enake. Z drugimi besedami, koti sosmernih strani bodo enaki drug drugemu.

Katere so vrste paralelopipedov?

Zdaj pa ugotovimo, kaj so paralelepipedi. Kot je navedeno zgoraj, obstaja več vrst te figure: ravni, pravokotni, poševni paralelepiped, pa tudi kocka in romboeder. Kako se med seboj razlikujejo? Vse je odvisno od ravnin, ki jih tvorijo, in kotov, ki jih tvorijo.

Oglejmo si podrobneje vsako od naštetih vrst paralelopipedov.

Kot že ime pove, ima poševna škatla poševne ploskve, in sicer tiste ploskve, ki niso pod kotom 90 stopinj glede na podlago.
Toda za pravi paralelepiped je kot med osnovo in ploskvijo samo devetdeset stopinj. Zaradi tega ima ta vrsta paralelepipeda tako ime.
Če so vse ploskve paralelepipeda enaki kvadrati, potem lahko to številko štejemo za kocko.
Pravokotni paralelepiped je dobil ime zaradi ravnin, ki ga tvorijo. Če so vsi pravokotniki (vključno z osnovo), potem je to kvader. Ta vrsta paralelepipeda ni tako pogosta. V grščini romboeder pomeni obraz ali osnova. To je ime tridimenzionalne figure, v kateri so obrazi rombovi.

Osnovne formule za paralelepiped

Prostornina paralelepipeda je enaka zmnožku ploščine podnožja in njegove višine, pravokotne na podlago.

Površina stranske površine bo enaka zmnožku oboda osnove in višine.
Če poznate osnovne definicije in formule, lahko izračunate osnovno površino in prostornino. Izberete lahko podlago po želji. Vendar se praviloma kot osnova uporablja pravokotnik.

Prizma in paralelopiped

Lastnosti škatle

Za paralelepiped:

1) nasprotni ploskvi sta enaki in vzporedni;

2) vse štiri diagonale se sekajo v eni točki in se v njej delijo na pol.

Dokaz:

1) Razmislite o dveh nasprotnih ploskvah paralelepipeda, na primer, in (slika 5).

Ker so vse ploskve paralelepipeda paralelogrami, je premica AD vzporedna s premico BC, premica pa s premico. Iz tega sledi, da sta ravnini obravnavanih ploskev vzporedni.

Iz dejstva, da so ploskve paralelopipeda paralelogrami, sledi, da so AB, CD in vzporedne in enake. Iz tega sklepamo, da je ploskev združena z vzporedno translacijo po robu AB z ploskvijo. Zato sta ti robovi enaki.

2) Vzemite na primer dve diagonali paralelopipeda (slika 5) in narišite dodatne črte in. AB in sta enaka in vzporedna z robom DC, torej sta med seboj enaka in vzporedna; posledično je slika paralelogram, v katerem sta ravni črti in diagonali, v paralelogramu pa sta diagonali razdeljeni na pol na presečišču. Podobno lahko dokažemo, da se drugi dve diagonali sekata v eni točki in to točko razpolovita. Presečišče vsakega para diagonal leži na sredini diagonale. Tako se vse štiri diagonale paralelopipeda sekajo v eni točki O in to točko razpolovijo. Tako je točka presečišča diagonal paralelepipeda njegovo središče simetrije.

Kvadrat diagonale kvadra je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Dokaz:

To izhaja iz prostorskega Pitagorovega izreka. Če je diagonala pravokotnega paralelopipeda, potem so njegove projekcije na tri po paru pravokotne premice (slika 6). Zato,.

Opomba: v kvadru so vse diagonale enake.

Binomski koeficienti

Številke Cnk imajo številne izjemne lastnosti. Te lastnosti na koncu izražajo različna razmerja med podmnožicami dane množice X. Dokažemo jih lahko neposredno s formulo (1)...

Binomski koeficienti

1. Vsota razteznih koeficientov (a + b)n je 2n. Za dokaz zadostuje, da postavimo a = b = 1. Potem bomo imeli na desni strani binomske ekspanzije vsoto binomskih koeficientov, na levi pa: (1 + 1)n = 2n. 2.Koeficienti članov...

Vrste poliedrov

Bočna površina (ali preprosto stransko površino) prizme (paralelepipeda) je vsota ploščin vseh njenih stranskih ploskev ...

Multivariatna Fibonaccijeva zaporedja

Zgradimo zaporedje in ga imenujemo tridimenzionalno Fibonaccijevo zaporedje. To zaporedje bo sestavljeno iz nizov M1, M2, ... in tako naprej. Množica M1 je sestavljena samo iz ene aditivne trojke (2,1,1)...

Multiplikativne polskupine nenegativnih realnih števil

Naj bo S komutativna multiplikativna ireduktibilna polskupina z 1 in brez enotskih deliteljev. Take polskupine imenujemo cele ali stožnice. Za elemente in iz S pravimo, da so sopraprosti, če je gcd(,)=1...

Neevklidska geometrija

Razmislimo o nekaterih lastnostih, konceptih in dejstvih, ki veljajo za geometrijo Lobačevskega. V tem primeru sem upošteval lastnosti, ki temeljijo na Kleinovem modelu. Večina jih bo izvedena na drugih modelih neevklidske geometrije...

Nekaj odličnih oblin

Normala Pascalovega polža v točki M (slika 7) poteka skozi točko N glavnega kroga K, diametralno nasprotno od točke P, kjer se OM seka z glavnim krogom...

Determinante in njihova uporaba v algebri in geometriji

Determinanta ima številne lastnosti: 1) Determinanta se ne spremeni, ko se prenašajo matrike (vrstice in stolpci). 2) Če je eden od stolpcev (vrstic) sestavljen iz ničel, potem je determinanta nič ...

Transformacije, ki povečajo vrstni red ravninskih algebrskih krivulj

Razmislite najenostavnejši način nastanek cisoidne krivulje, ki so jo odkrili starodavni v iskanju rešitve za znameniti problem podvojitve kocke. Vzemite krog (imenovan tvorni) s premerom in tangento nanj...

Prizma in paralelopiped

Če je osnova prizme paralelogram, se imenuje paralelepiped. Vse ploskve paralelepipeda so paralelogrami. Slika 3 prikazuje poševno polje, slika 4 pa ravno polje. Strani paralelepipeda...

Predel naravnih nizov

V tem razdelku bomo govorili o problemih, posvečenih razdelitvi naravnih serij v zaporedja in o izreku, ki jih dokazuje ...

Ekstremna težava pri indeksiranju razredov

Potrebujemo dve dejstvi iz. 1. Za vsako obstaja edinstven FR. 2. Če, potem je množica enoelementna. Če, potem obstajajo zvezne družine z enim parametrom (tj. za in (simbol označuje šibko konvergenco)) in DF-ji, kot so ...

V tej lekciji bodo vsi lahko preučevali temo "Pravokotna škatla". Na začetku lekcije bomo ponovili, kaj sta poljuben in ravni paralelopiped, spomnili se bomo lastnosti njunih nasprotnih ploskev in diagonal paralelepipeda. Nato bomo razmislili, kaj je kvader, in razpravljali o njegovih glavnih lastnostih.

Tema: Pravokotnost premic in ravnin

Lekcija: Kvader

Površino, sestavljeno iz dveh enakih paralelogramov ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 ter štirih paralelogramov ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, imenujemo. paralelopiped(slika 1).

riž. 1 Paralelepiped

Se pravi: imamo dva enaka paralelograma ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 (osnovici), ležita v vzporednih ravninah tako, da so stranski robovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 vzporedni. Tako se imenuje površina, sestavljena iz paralelogramov paralelopiped.

Tako je površina paralelepipeda vsota vseh paralelogramov, ki sestavljajo paralelepiped.

1. Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

(številke so enake, to pomeni, da jih je mogoče kombinirati s prekrivanjem)

Na primer:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (enaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ker sta AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C nasprotni strani paralelepipeda),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ker sta AA 1 D 1 D in BB 1 C 1 C nasprotni strani paralelopipeda).

2. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in to točko razpolovita.

Diagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se sekajo v eni točki O in vsako diagonalo s to točko deli na pol (slika 2).

riž. 2 Diagonale paralelepipeda sekajo in razpolovijo presečišče.

3. Obstajajo tri četverice enakih in vzporednih robov paralelopipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove.

Naj bo stranski rob AA 1 pravokoten na podlago (slika 3). To pomeni, da je premica AA 1 pravokotna na premici AD in AB, ki ležita v osnovni ravnini. In zato pravokotniki ležijo v stranskih ploskvah. In osnove so poljubni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, kot φ je lahko poljuben.

riž. 3 Desno polje

Pravilna škatla je torej škatla, pri kateri so stranski robovi pravokotni na osnove škatle.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje pravokotnik,če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago. Osnove so pravokotniki.

Paralelepiped АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 je pravokoten (slika 4), če:

1. AA 1 ⊥ ABCD (stranski rob je pravokoten na ravnino osnove, to je ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, t.j. osnova je pravokotnik.

riž. 4 kvader

Pravokotna škatla ima vse lastnosti poljubne škatle. Toda obstajajo dodatne lastnosti, ki izhajajo iz definicije kvadra.

Torej, kvader je paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnovo. Osnova kvadra je pravokotnik.

1. V kvadru je vseh šest ploskev pravokotnikov.

ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 sta po definiciji pravokotnika.

2. Stranska rebra pravokotno na podlago. To pomeni, da so vse stranske ploskve kvadra pravokotniki.

3. Vse diedrski koti pravokotni paralelopiped ravne črte.

Upoštevajte na primer diedrski kot pravokotnega paralelopipeda z robom AB, to je diedrski kot med ravninama ABB 1 in ABC.

AB je rob, točka A 1 leži v eni ravnini - v ravnini ABB 1, točka D pa v drugi - v ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Potem lahko obravnavani diedrski kot označimo tudi takole: ∠А 1 АВD.

Vzemite točko A na robu AB. AA 1 je pravokotna na rob AB v ravnini ABB-1, AD je pravokotna na rob AB v ravnini ABC. Zato je ∠A 1 AD linearni kot danega diedrskega kota. ∠A 1 AD \u003d 90 °, kar pomeni, da je diedrski kot na robu AB 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobno dokažemo, da so vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda pravi.

Kvadrat diagonale kvadra je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Opomba. Dolžine treh robov, ki izhajajo iz istega vrha kvadra, so mere kvadra. Včasih se imenujejo dolžina, širina, višina.

Podano: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokotni paralelopiped (slika 5).

Dokaži: .

riž. 5 kvader

Dokaz:

Premica CC 1 je pravokotna na ravnino ABC in s tem na premico AC. Torej je trikotnik CC 1 A pravokoten trikotnik. Po Pitagorovem izreku:

Razmislite pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku:

Toda pred našim štetjem in našim štetjem - nasprotnih straneh pravokotnik. Torej BC = AD. Nato:

Ker , A , To. Ker je CC 1 = AA 1, je bilo treba dokazati tisto, kar je bilo potrebno.

Diagonali pravokotnega paralelopipeda sta enaki.

Označimo dimenzije paralelopipeda ABC kot a, b, c (glej sliko 6), nato pa AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =