1. Najmanjše število robovi imajo tetraeder - 6.

2. Prizma ima n ploskev. Kateri mnogokotnik leži na njegovem dnu?

(n - 2) - kvadrat.

3. Ali je prizma ravna, če sta njeni sosednji stranski ploskvi pravokotni na ravnino osnove?

Ja res je.

4. Pri kateri prizmi sta stranski robovi vzporedni z njeno višino?

v ravni prizmi.

5. Ali je prizma pravilna, če so vsi njeni robovi med seboj enaki?

Ne, morda ni neposredno.

6. Ali je lahko višina ene od stranskih ploskev nagnjene prizme tudi višina prizme?

Da, če je ta ploskev pravokotna na osnove.

7. Ali obstaja prizma, pri kateri: a) je stranski rob pravokoten samo na en rob osnovne plošče; b) samo ena stranska ploskev je pravokotna na osnovo?

a) da. b) št.

8. Pravilna trikotna prizma je razdeljena z ravnino, ki poteka skozi srednji črti baz, na dve prizmi. Kakšne so ploščine stranskih ploskev teh prizem?

Po izreku točke 27 dobimo, da so stranske površine povezane kot 5: 3

9. Ali bo piramida pravilna, če so njene stranske ploskve pravilni trikotniki?

10. Koliko ploskev, pravokotnih na osnovno ravnino, ima lahko piramida?

11. Ali obstaja štirikotna piramida, katere nasprotni stranski ploskvi sta pravokotni na osnovo?

Ne, drugače bi skozi vrh piramide potekali vsaj dve ravni črti, pravokotni na osnove.

12. Ali so lahko vse ploskve trikotne piramide pravokotni trikotnik?

Da (slika 183).

Video tečaj "Get an A" vključuje vse teme, ki jih potrebujete uspešna dostava UPORABA pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 profila USE v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovne USE iz matematike. Če želite opraviti izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in naloge 13 (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s sto točkami niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so vse relevantne naloge 1. dela iz nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Besedilni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti algoritmi za reševanje problemov, ki si jih je lahko zapomniti. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, koristne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga zapleteni pojmi. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.

Splošne informacije o ravni prizmi

Stranska ploskev prizme (natančneje stranska ploskev) se imenuje vsota stranski obrazni predeli. Celotna ploskev prizme je enaka vsoti stranske ploskve in ploščin bazic.

Izrek 19.1. Stranska površina ravne prizme je enaka zmnožku obsega osnove in višine prizme, to je dolžini stranskega roba.

Dokaz. Stranske ploskve ravne prizme so pravokotniki. Osnove teh pravokotnikov so stranice mnogokotnika, ki ležijo na dnu prizme, višine pa so enake dolžinam stranskih robov. Iz tega sledi, da je stranska površina prizme enaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kjer sta a 1 in n dolžini reber baze, p je obseg baze prizme in I je dolžina stranskih reber. Izrek je dokazan.

Praktična naloga

Naloga (22) . V nagnjeni prizmi razdelek, pravokotno na stranske robove in seka vse stranske robove. Poiščite stransko ploskev prizme, če je obseg odseka p in stranski robovi l.

rešitev. Ravnina narisanega preseka deli prizmo na dva dela (slika 411). Enega od njih podvržemo vzporednemu prevodu, ki združuje osnove prizme. V tem primeru dobimo ravno prizmo, pri kateri je kot osnova odsek prvotne prizme, stranski robovi pa so enaki l. Ta prizma ima enako stransko površino kot originalna. Tako je stranska površina prvotne prizme enaka pl.

Posploševanje teme

In zdaj poskusimo z vami povzeti temo prizme in se spomniti, katere lastnosti ima prizma.

Lastnosti prizme

Prvič, za prizmo so vse njene osnove enaki poligoni;
Drugič, prizma ima vse svoje stranski obrazi so paralelogrami;
Tretjič, v tako večplastni figuri, kot je prizma, so vsi stranski robovi enaki;

Prav tako je treba zapomniti, da so lahko poliedri, kot so prizme, ravni in nagnjeni.

Kaj je ravna prizma?

Če je stranski rob prizme pravokoten na ravnino njene osnove, se taka prizma imenuje ravna črta.

Ne bo odveč spomniti, da so stranske ploskve ravne prizme pravokotniki.

Kaj je poševna prizma?

Če pa stranski rob prizme ni pravokoten na ravnino njene osnove, potem lahko varno rečemo, da je to nagnjena prizma.

Kaj je prava prizma?

Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, potem je taka prizma pravilna.

Zdaj pa se spomnimo lastnosti, ki jih ima navadna prizma.

Lastnosti pravilne prizme

Prvič, pravilni mnogokotniki vedno služijo kot osnove pravilne prizme;
Drugič, če upoštevamo stranske ploskve pravilne prizme, potem so vedno enake pravokotnike;
Tretjič, če primerjamo velikosti stranskih reber, potem so v pravilni prizmi vedno enake.
Četrtič, pravilna prizma je vedno ravna;
Petič, če so v pravilni prizmi stranske ploskve v obliki kvadratov, se takšna figura praviloma imenuje polpravilni poligon.

Presek prizma

Zdaj pa poglejmo prerez prizme:

Domača naloga

In zdaj poskusimo utrditi preučeno temo z reševanjem problemov.

Narišimo nagnjeno trikotno prizmo, v kateri bo razdalja med njenimi robovi: 3 cm, 4 cm in 5 cm, stranska ploskev te prizme pa bo enaka 60 cm2. S temi parametri poiščite stranski rob dane prizme.

Ali veste, da nas geometrijski liki nenehno obkrožajo ne le pri pouku geometrije, ampak tudi pri Vsakdanje življenje obstajajo predmeti, ki spominjajo na eno ali drugo geometrijsko figuro.

Vsak dom, šola ali služba ima računalnik, katerega sistemska enota je v obliki ravne prizme.

Če vzamete v roke preprost svinčnik, boste videli, da je glavni del svinčnika prizma.

Ko se sprehajamo po glavni ulici mesta, vidimo, da pod našimi nogami leži ploščica, ki ima obliko šesterokotne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Učbenik za izobraževalne ustanove

Poliedri

Glavni predmet proučevanja stereometrije so tridimenzionalna telesa. Telo je del prostora, ki ga omejuje neka površina.

polieder Telo, katerega površina je sestavljena iz končnega števila ravninskih poligonov, se imenuje. Polieder se imenuje konveksen, če leži na eni strani ravnine vsakega ravnega mnogokotnika na njegovi površini. Skupni del takšne ravnine in površine poliedra imenujemo rob. Strani konveksnega poliedra so ravni konveksni mnogokotniki. Strani obrazov se imenujejo robovi poliedra, in oglišča oglišča poliedra.

Na primer, kocka je sestavljena iz šestih kvadratov, ki so njene ploskve. Vsebuje 12 robov (stranic kvadratov) in 8 oglišč (oglišč kvadratov).

Najenostavnejši poliedri so prizme in piramide, ki jih bomo še preučevali.

Prizma

Definicija in lastnosti prizme

prizma se imenuje polieder, sestavljen iz dveh ravnih mnogokotnikov, ki ležita v vzporedne ravnine združeni z vzporednim prevajanjem, in vsi segmenti, ki povezujejo ustrezne točke teh poligonov. Poligoni se imenujejo baze prizme, in segmenti, ki povezujejo ustrezne vertices mnogokotnikov so stranski robovi prizme.

Višina prizme imenovana razdalja med ravninama njegovih baz (). Odsek, ki povezuje dve oglišči prizme, ki ne pripadata isti ploskvi, se imenuje diagonala prizme(). Prizma se imenuje n-premogče je njegova osnova n-kotnik.

Vsaka prizma ima naslednje lastnosti, ki izhajajo iz dejstva, da so osnove prizme združene z vzporednim prevajanjem:

1. Osnovici prizme sta enaki.

2. Stranski robovi prizme so vzporedni in enaki.

Površina prizme je sestavljena iz osnov in stransko površino. Stranska površina prizme je sestavljena iz paralelogramov (to izhaja iz lastnosti prizme). Površina stranske ploskve prizme je vsota površin stranskih ploskev.

ravna prizma

Prizma se imenuje naravnostče so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove. V nasprotnem primeru se imenuje prizma poševno.

Strani ravne prizme so pravokotniki. Višina ravne prizme je enaka njenim stranskim ploskvam.

polna površina prizme je vsota stranske površine in ploščin bazic.

Pravilna prizma imenujemo prava prizma s pravilnim mnogokotnikom na dnu.

Izrek 13.1. Ploščina stranske ploskve ravne prizme je enaka zmnožku oboda in višine prizme (ali, enako, stranskemu robu).

Dokaz. Stranice ravne prizme so pravokotniki, katerih osnove so stranice mnogokotnikov na osnovah prizme, višine pa stranski robovi prizme. Potem je po definiciji bočna površina:

,

kjer je obseg osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Če paralelogrami ležijo na osnovah prizme, se imenuje paralelopiped. Vse ploskve paralelepipeda so paralelogrami. V tem primeru sta nasprotni ploskvi paralelepipeda vzporedni in enaki.

Izrek 13.2. Diagonali paralelopipeda se sekata v eni točki in presečišče je razdeljeno na pol.

Dokaz. Upoštevajte na primer dve poljubni diagonali in . Ker ploskvi paralelepipeda sta paralelograma, potem in , kar pomeni, da glede na T približno dve premici, vzporedni s tretjo . Poleg tega to pomeni, da premice in ležijo v isti ravnini (ravnini). Ta ravnina seka vzporedne ravnine in vzdolž vzporednih premic in . Štirikotnik je torej paralelogram, po lastnosti paralelograma pa se njegovi diagonali in sekata in je presečišče razdeljeno na pol, kar je bilo treba dokazati.

Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje kvader. Vse ploskve kvadra so pravokotniki. Dolžine nevzporednih robov pravokotnega paralelopipeda imenujemo njegove linearne dimenzije (mere). Na voljo so tri velikosti (širina, višina, dolžina).

Izrek 13.3. V kvadru je kvadrat poljubne diagonale je enaka vsoti kvadratov svojih treh dimenzij (dokazano z dvakratno uporabo pitagorejskega T).

Imenuje se pravokotni paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka.

Naloge

13.1 Koliko diagonal ima n- karbonska prizma

13.2 V nagnjeni trikotni prizmi so razdalje med stranskimi robovi 37, 13 in 40. Poiščite razdaljo med večjo stransko ploskvijo in nasprotnim stranskim robom.

13.3 Skozi stran spodnje baze pravilnega trikotna prizma narisana je ravnina, ki seka stranske ploskve vzdolž segmentov, katerih kot je . Poiščite naklonski kot te ravnine na osnovo prizme.

Opredelitev. Prizma- to je polieder, katerega vsa oglišča se nahajajo v dveh vzporednih ravninah, v istih dveh ravninah pa sta dve ploskvi prizme, ki sta enaka poligona z vsakokrat vzporednimi stranicami, in vsi robovi, ki ne ležijo v teh ravnini sta vzporedni.

Dva enaka obraza se imenujeta baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Vse druge ploskve prizme imenujemo stranski obrazi(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Oblikujejo se vse stranske ploskve stransko površino prizme .

Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami .

Robovi, ki ne ležijo na osnovi, se imenujejo stranski robovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prizme se imenuje segment, katerega konca sta dve točki prizme, ki ne ležita na eni od njenih ploskev (AD 1).

Dolžina odseka, ki povezuje osnovici prizme in je pravokotna na obe osnovi hkrati, se imenuje višina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najprej so v vrstnem redu obvoza označena oglišča ene baze, nato pa v istem vrstnem redu oglišča druge; konci vsakega stranskega roba so označeni z enakimi črkami, le oglišča, ki ležijo v ena osnova je označena s črkami brez indeksa, v drugi pa z indeksom)

Ime prizme je povezano s številom kotov v sliki, ki leži na njenem dnu, na primer na sliki 1 je osnova peterokotnik, zato se prizma imenuje peterokotna prizma. Toda odkar ima taka prizma 7 ploskev, potem jo heptaeder(2 ploskvi sta osnovici prizme, 5 ploskev je paralelogramov, so njene stranske ploskve)

Med ravnimi prizmami izstopa posebna vrsta: navadne prizme.

Ravna prizma se imenuje pravilno,če so njegove osnove pravilni mnogokotniki.

Pravilna prizma ima vse stranske ploskve enake pravokotnike. Poseben primer prizme je paralelepiped.

Paralelepiped

Paralelepiped- To je štirikotna prizma, na dnu katere leži paralelogram (poševni paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na ravnine osnove.

kvader- pravi paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik.

Lastnosti in izreki:

Nekatere lastnosti paralelopipeda so podobne dobro znanim lastnostim paralelograma.Pravokotni paralelepiped, ki ima enake mere, se imenuje kocka .Kocka ima vse ploskve enake kvadrate.Kvadrat diagonale je enak vsoti kvadratov njenih treh dimenzij.

,

kjer je d diagonala kvadrata;
a - stranica kvadrata.

Zamisel o prizmi daje:

• različno arhitekturne strukture;
• Otroške igrače;
• pakirne škatle;
• dizajnerski predmeti itd.

Skupna in stranska površina prizme

Skupna površina prizme je vsota ploščin vseh njegovih ploskev Bočna površina se imenuje vsota površin njegovih stranskih ploskev. osnovici prizme sta enaka mnogokotnika, potem sta njuni ploščini enaki. Zato

S polno \u003d S stran + 2S glavno,

Kje S poln- skupna površina, S stran- stranska površina, S glavno- osnovna površina

Ploščina stranske ploskve ravne prizme je enaka zmnožku obsega osnove in višine prizme.

S stran\u003d P glavni * h,

Kje S stran je območje stranske površine ravne prizme,

P glavni - obod osnove ravne prizme,

h je višina ravne prizme, enaka stranskemu robu.

Prism Volume

Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.