Lekcija #2

Algebra predlogov. Logične operacije.

(kombinirana lekcija, vključno s ponovitvijo prejšnje teme,

uvajanje nove snovi in ​​utrjevanje)

Namen lekcije: Oblikovati pojme pri učencih: logične izjave, logične operacije.

Cilji lekcije:

Ponovite glavno gradivo lekcije 1 (oblike človeškega mišljenja: koncept, sodba, sklepanje);

Uvesti definicijo propozicionalne algebre;

Predstavite osnovne logične operacije.

Zahteve po znanju in spretnostih:

Učenci bi morali vedeti:

Kaj preučuje propozicionalna algebra in kaj je predmet proučevanja propozicionalne algebre;

Pomeni pojmov: logična izjava, logične operacije;

Resnične tabele logičnih operacij.

Študenti bi morali biti sposobni:

Navedite primere logičnih izjav;

Določiti pomene logičnih izjav;

Poimenujte logične operacije in zanje sestavite tabele resnic.

Koraki lekcije

JAZ. Organiziranje časa. Postavitev cilja lekcije. 2 minuti.

II. Ponavljanje. 7 min.

III. Preverjanje domače naloge. 5 minut.

IV. Uvajanje novega gradiva. 20 minut.

V. Utrjevanje. 7 min.

VI. Povzetek lekcije. 3 min.

VII. Postavljanje domače naloge. 1 min.

Med poukom

II. Ponavljanje.

1) Ponovitev osnovnih definicij in konceptov lekcije 1:

· Koncept – oblika mišljenja, ki odraža bistvene lastnosti predmetov.

o Obseg koncepta– niz predmetov, od katerih ima vsak značilnosti, ki sestavljajo vsebino pojma.

Navedite primere.

· Obsodba (izjava, izjava) - oblika mišljenja, v kateri se nekaj potrjuje ali zanika o predmetih, njihovih lastnostih ali odnosih med njimi.

o Oblika sodbe– to je njegova struktura, način povezovanja njenih komponent.

· Sklepanje - oblika mišljenja, s pomočjo katere iz ene ali več sodb, imenovanih premise, določena pravila iz zaključka dobimo sodbo-sklep (sklep sklepanja)

- Ugotovite, kateri od naslednjih besednih zvez so izjave in zakaj?

1. Kako dobro je biti general!

2.

3. Spoznajte sebe.

4. Vsi medvedi živijo na severu.

5. Revolucija ne more biti mirna in brez krvi.

6.

7.

(Primera 1 in 3 nista izjavi, saj gre za vzklični oziroma velelni stavek).

- Zdaj ugotovite, ali so predlogi preprosti ali sestavljeni.

(Primer 5 je mogoče razdeliti na dve preprosti izjavi, kar pomeni, da je sestavljen.)

- Ugotovite pomen trditev (resnične ali napačne).

V primeru 6 smo se prepričali, da je vsebina izjave pogosto subjektivna lastnost. O utemeljitvi resničnosti ali lažnosti preprostih trditev odloča zunaj znanosti logike. Na primer, na podlagi naših življenjskih izkušenj pripisujemo sodbi 6 določen pomen.

Ruski pregovori, kot v primeru 4, bodo vedno resnični, saj temeljijo na življenjskih izkušnjah celih generacij ljudi.

V primeru 7 se pomen izjave odloča pri predmetu geometrije, pri stavku 5 pa pri predmetu zgodovine.

Rezultati so predstavljeni v naslednji tabeli:

fraze	Izjave	Pravilno ali napačno	Preprosti izreki
1. Kako dobro je biti general!
2. Ribe iz ribnika ne morete ujeti brez težav.
3. Spoznajte sebe.
4. Vsi medvedi živijo na severu.
5. Revolucija ne more biti mirna in brez krvi.
6. Talent si bo vedno našel pot.
7. Vsota kotov trikotnika je 1800.

V zadnji lekciji smo rekli, da je vsaka izjava sestavljena iz treh elementov:
osebek, povedek in veznik. Predmet(S) - koncept o predmetu. Predikat(P)- koncept lastnosti in odnosov predmeta. Povezava - razmerje med osebekom in povedkom.

Določi, kaj je subjekt, povedek in veznik v preprostih izjavah.

Brez težav ne morete ujeti niti ribe iz ribnika.

Vsi medvedi živijo na severu.

Talent si bo vedno našel pot.

Vsota kotov trikotnika je 1800.

III. Preverjanje domače naloge:

Kartica za domačo nalogo

1. Iz podanih preprostih trditev sestavi in ​​zapiši vsaj 3 sestavljene trditve: 1) Gremo na dacho. 2) Dobro vreme. 3) Slabo vreme. 4) Šli bomo na plažo. 5) Anton nas povabi v gledališče.

2. Če je mogoče, izpeljite sklep iz vsakega para premis: A) Vse ptice so živali. Vsi vrabci so ptice. B) Nekatere lekcije so težke. Vse, kar je težko, zahteva pozornost. IN) Nobeno dobro dejanje ni nezakonito. Vse, kar je zakonito, je mogoče storiti brez strahu.

A) Tisti, ki so plešasti, ne potrebujejo glavnika. Noben kuščar nima dlak. Zato kuščarji ne potrebujejo glavnika. B) Vsak, ki konča 3. trimesečje, prejme v dar računalnik. Tretjo četrtino ste končali brez trojk. Torej, pripravite se, da prejmete računalnik kot darilo.

VI. Razlaga nove snovi

Propozicijska algebra

Ideja o priložnosti matematizacija logike izražena že v 17. stoletju. Poskušal je ustvariti univerzalni jezik, s katerim bi bilo mogoče podati vsak koncept in izjavo numerična značilnost in vzpostaviti pravila za delovanje s temi številkami, ki bi omogočila takojšnjo ugotovitev, ali je dana izjava resnična ali napačna. To pomeni, da bi se spori med ljudmi lahko reševali z izračuni. Leibnizova ideja se je izkazala za napačno, saj je nemogoče (ni bilo najdenih načinov) reducirati človeško mišljenje na neko matematično računico.

Vendar pa je bil pravi napredek te znanosti dosežen sredi 19. stoletja, predvsem zahvaljujoč delu J. Boolea "Matematična analiza logike". Zakone in pravila algebrskih operacij je prenesel v logiko, uvedel logične operacije in predlagal način zapisovanja izjav v simbolni obliki.

Pri razvoju matematične logike je sodelovalo veliko ljudi izjemni matematiki in logiki poznega 19. in 20. stoletja, med njimi K. Gödel (Avstrijec), D. Hilbert (Nemec), S. Kleene (Američan), E. Post (Američan), A. Turing (Anglež), A. Church ( ameriški) in mnogi drugi.

Sodobna matematizirana formalna logika je obsežno znanstveno področje, ki najde široko uporabo tako znotraj matematike (študij o osnovah matematike) kot zunaj nje (sinteza in analiza avtomatskih naprav, teoretična kibernetika, zlasti umetna inteligenca).

Tako so predmeti proučevanja algebre logike izjave.

Spodaj izjava (sodba) bomo razumeli izjavni stavek, o katerem lahko nedvoumno rečemo, ali je resničen ali neresničen.

Trditve bomo označevali z velikimi začetnicami z latinskimi črkami. Če je izjava A resnična, potem bomo zapisali "A = 1" in rekli: "A je resnična." Če je izjava X napačna, potem bomo zapisali "X = 0" in rekli "X je napačna."

O utemeljitvi resničnosti ali lažnosti preprostih izjav se odloča zunaj algebre logike. Na primer, resničnost ali napačnost izjave "Vsota kotov trikotnika je 180°" ugotavlja geometrija, v Evklidovi geometriji je ta izjava resnična, v geometriji Lobačevskega pa napačna.

Algebra logike je abstrahirana iz semantične vsebine izjav. Zanima jo le eno dejstvo – ali je podana trditev resnična ali napačna. Takšna presoja interesov omogoča preučevanje izjav z uporabo algebraičnih metod.

Logične operacije

V algebri logike lahko izvajamo izjave na izjavah razne operacije(kot v algebri realnih števil so definirane operacije seštevanja, deljenja in potenciranja nad števili). Upoštevali bomo le nekaj najpomembnejših med njimi:

Disjunkcija (logično seštevanje) Implikacija (logična posledica) Ekvivalentnost (logična enakost)

1) Inverzija (logična negacija)

Inverzija (logična negacija) je logična operacija, ki vsako dano izjavo poveže z novo izjavo, ki je resnična, če je dana trditev napačna, in napačna, če je dana trditev resnična.

Logične operacije so določene tabele resnic in ga je mogoče grafično ponazoriti z uporabo Eulerjevi krogi , poimenovan po velikem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju ()

Simbol inverzije: ; ne A ; A; NE A

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A

Sestavljeno iz preproste izjave z dodajanjem delca NE k predikatu ali z uporabo govorne figure “NI RES, DA ...”.

primer: A = "Zunaj dežuje"

= "Ni res, da zunaj dežuje"

1. vaja Navedite primer izjave in njeno zanikanje.

Ugotovite resnico vsakega.

Torej je inverzija izjave resnična, ko je izjava napačna.

2) Konjunkcija (logično množenje)

res, če in samo če sta obe izvirni izjavi resnični.

Zapis konjunkcije: A&IN, A in IN, A L IN, A IN.

Tabela resnice:

		A&IN

Nastane z združitvijo dveh izjav v eno z uporabo veznika "IN"

primer: A = "Zunaj dežuje"

B= "Nebo je modro"

A&IN = "Zunaj dežuje in nebo je modro"

Naloga 2. a) Navedite primere dveh izjav in z logičnim veznikom IN dobite sestavljeno izjavo.

Torej je konjunkcija dveh izjav resnična, če in samo če sta resnični obe izvirni izjavi.

3) Disjunkcija (logično seštevanje) je logična operacija, ki vsaki dve izjavi poveže z novo izjavo, ki

res, če in samo če je vsaj ena od dveh prvotnih trditev resnična.

Zapis disjunkcije: A V IN, A ALI IN, A+IN.

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A V IN

Nastane z združitvijo dveh izjav v eno z uporabo veznika "ALI"

primer: A = "Zunaj dežuje"

B= "Nebo je modro"

A V IN = "Ali zunaj dežuje ali je nebo modro"

Naloga 3. a) Navedi primera dveh izjav in z veznikom »ALI« dobi sestavljeno izjavo.

Torej je disjunkcija dveh izjav resnična, če in samo če je resnična vsaj ena od dveh prvotnih izjav.

4) Implikacija (logična posledica) je logična operacija, ki vsaki dve izjavi poveže z novo izjavo, ki

je napačna, če in samo če je prva izjava (pogoj) resnična in druga izjava (posledica) je napačna.

Zapis disjunkcije: A ® IN.

Resnična tabela: Eulerjev diagram:

"ČE, POTEM..."

Če je prisega dana, potem jo je treba izpolniti.

Če je število deljivo z 9, potem je deljivo s 3.

primer: A = "Zunaj dežuje"

B= "Nebo je modro"

A ® IN = "Če zunaj dežuje, je nebo modro"

Naloga 4. a) Navedite primera dveh izjav in z veznikom »ČE, POTEM ...« dobite sestavljeno izjavo.

b) Ugotovite resničnost ali napačnost vsake od treh trditev

Torej je implikacija dveh izjav napačna, če in samo če je prva izjava (pogoj) resnična in druga izjava (posledica) je napačna.

5) Ekvivalentnost (logična enakost) je logična operacija, ki vsaki dve izjavi poveže z novo izjavo, ki

resnična, če in samo če sta obe izvirni izjavi hkrati resnični ali hkrati napačni.

Zapis disjunkcije: A « B, A = B, A≡B.

Resnična tabela: Eulerjev diagram:

Nastane z združitvijo dveh izjav v eno z uporabo govorne figure “...TAKRAT IN ŠELE KO...”

Kot pravimo, če in samo če je enak 900

Vsi zakoni matematike, fizike, vse definicije so enakovrednosti izjav

Dve premici sta vzporedni, če in samo če se ne sekata.

primer: A = "Zunaj dežuje"

B= "Nebo je modro"

A « IN = "Zunaj dežuje, če in samo če je nebo modro"

Naloga 5. a) Navedite primere dveh trditev in dobite sestavljeno izjavo z uporabo veznika »... TEDAJ IN ŠELE TADAJ, KO ...«

b) Ugotovite resničnost ali napačnost vsake od treh trditev.

Torej je enakovrednost obeh izjav resnična če in samo če sta obe začetni trditvi hkrati resnični ali hkrati napačni.

VI. Utrjevanje naučenega.

1. Pojasnite, zakaj naslednji stavki niso izjave :

· Kakšne barve je ta hiša?

· Število X ne presega ena.

· Poglej skozi okno.

· Pijte paradižnikov sok!

· Ta tema je dolgočasna.

· Ste bili v gledališču?

2. Pojasnite, zakaj je izjava katerega koli izreka izjava.

3. Navedite 2 primera resničnih in napačnih trditev iz matematike, biologije, zgodovine, računalništva, literature.

4. Iz naslednjih stavkov izberite tiste, ki so izjave:

Kolja je vprašal: "Kako priti do Bolšoj teatra?" Kako pridem do knjižnice? Picassove slike so preveč abstraktne. Reševanje problema je informacijski proces. Število 2 je delitelj števila 7 v nekem številskem sistemu.

5. Izberite resnične trditve:

· “Število 28 je popolno število”

· "Brez truda ne moreš ujeti ribe iz ribnika"

· “Talent bo vedno našel pot”

· "Nekatere živali mislijo"

· “Informatika – znanost o algoritmih”

· “2+3*5=30”

· “Vsi učenci imajo radi računalništvo”

6.

7. Katera logična operacija ustreza tej tabeli resnic?

8. Katera logična operacija ustreza tej tabeli resnic?

9. Katera logična operacija ustreza tej tabeli resnic?

10. Katera logična operacija ustreza tej tabeli resnic?

Povzetek lekcije:

Seznanili ste se z osnovnimi pojmi logične algebre. Ogledali smo si logične operacije. Analizirali smo tabelo resnic za vsako logično operacijo in ponazorili LO z Eulerjevimi krogi.

2. Naučite se vseh definicij v zvezku iz zapiskov lekcije.

3. Izberite stavke za vsako logično operacijo primera)

Logika, ki jo je kot znanost ustvaril Aristotel (384–322 pr. n. št.), se je skozi stoletja uporabljala za razvoj številnih področij znanja, vključno s teologijo, filozofijo in matematiko.

Je temelj, na katerem je zgrajena celotna zgradba matematike. V bistvu je logika veda o sklepanju, ki omogoča določitev resničnosti ali lažnosti matematične izjave na podlagi niza primarnih predpostavk, imenovanih aksiomi. Logika se uporablja tudi v računalništvu za konstruiranje računalniški programi in dokazila o njihovi pravilnosti. Koncepti, metode in sredstva logike so osnova sodobnega informacijske tehnologije. Eden glavnih ciljev tega dela je postaviti temelje matematične logike, pokazati, kako se uporablja v računalništvu, in razviti metode za analizo in dokazovanje matematičnih trditev.

Logične predstavitve - opis proučevanega sistema, procesa, pojava v obliki niza kompleksne izjave narejen iz enostavne (elementarne) izjave in logični vezniki med njimi. Za logične predstavitve in njihove komponente so značilne določene lastnosti in nabor dovoljenih transformacij nad njimi (operacije, pravila sklepanja itd.), ki izvajajo tiste, razvite v formalnem (matematičnem) logika pravilne metode sklepanje - zakoni logike.

Koncept izreka

Izjava je izjava ali deklarativni stavek, za katerega lahko rečemo, da je resničen ali napačen. Z drugimi besedami, izjava o resničnosti ali lažnosti izjave mora imeti smisel. Resnica ali laž, pripisana izjavi, se imenuje njena vrednost resnice, ali vrednost resnice.

Na primer izjave Dva po dva je štiri in Mesto Čeljabinsk se nahaja v azijskem delu Rusije res in izjave Trije so več kot pet in Reka Don trenutno teče v Kaspijsko morje so lažne, ker ne ustrezajo resničnosti. Resnične izjave so običajno označene T (prav) oz IN (prav), oziroma false, F (lažno) oz L (laž). V računalništvu je resnica običajno označena z 1 (binarna ena), napačna pa z 0 (binarna ničla).

Tu so primeri stavkov, ki niso izjave:

kdo si(vprašanje),

Preberite to poglavje pred naslednjim predavanjem(vrstni red ali klicaj)

Ta izjava je napačna(notranje protislovna izjava),

Površina segmenta je manjša od dolžine kocke(nemogoče je reči, ali je ta stavek resničen ali napačen, ker nima pomena).

Trditve bomo označili s črkami latinska abeceda R, q, r, na primer R lahko pomeni izjavo Jutri bo deževalo, A q- izjava Kvadrat celega števila je pozitivno število.

Logični vezniki

V vsakdanjem govoru za izobraževanje zapleten stavek Od preprostih se uporabljajo vezniki - posebni deli govora, ki povezujejo posamezne stavke. Najpogosteje uporabljeni vezniki in, oz, ne, če ... to, če bi le, In takrat in samo takrat. Za razliko od običajnega govora mora biti v logiki pomen takih veznikov nedvoumno določen. Resničnost kompleksne izjave je enolično določena z resničnostjo ali lažnostjo njenih sestavnih delov. Stavek, ki ne vsebuje veznikov, se imenuje preprosto. Pokliče se stavek, ki vsebuje veznike kompleksen. Logične povezovalnike imenujemo tudi logične operacije na stavkih.

Pustiti R in q zagovarjati izjave

r: Jane vozi avto,

v: Bob ima rjave lase.

Kompleksna izjava

Jane vozi avto, Bob pa ima rjave lase je sestavljen iz dveh delov, povezanih z vezjo in. To izjavo lahko simbolično zapišemo kot

kjer simbol predstavlja besedo in v jeziku simbolnih izrazov. Izraz imenujemo konjunkcija predlogov R in q.

Najdemo tudi naslednje različice pisanja veznika:

Popolnoma ista izjava

Jane vozi avto ali pa ima Bob rjave lase.

simbolično izraženo kot

kje je beseda oz prevedeno v simbolni jezik. Izraz se imenuje propozicionalna disjunkcija R in q.

Zavrnitev ali zanikanje izjave str označen z

Torej, če R obstaja izjava Jane vozi avto, potem je to izjava Jane ne vozi avtomobila.

če r obstaja izjava Joe ima rad računalništvo, To Jane ne vozi, Bob ima rjave lase ali pa ima Joe rad računalništvo bo simbolno zapisano kot

.

Nasprotno pa izraz

to je simbolična oblika zapisa izjave Jane vozi avto, Bob nima rjavih las, Joe pa ima rad računalništvo..

Razmislimo o izrazu. Če nekdo reče: " Jane vozi avto, Bob pa ima rjave lase.", potem si seveda predstavljamo Jane, ki vozi avto, in svetlolasega Boba. V kateri koli drugi situaciji (na primer, če Bob ni rjavolasec ali Jane ne vozi avtomobila), bomo rekli, da se govornik moti.

Obstajajo štirje možni primeri, ki jih moramo upoštevati. Izjava R lahko je res ( T) ali napačno ( F) in ne glede na vrednost resnice R, izjava q lahko tudi res ( T) ali napačno ( F). Tabela resnice navaja vse možne kombinacije resnice in laži kompleksnih trditev.

Torej je konjunkcija resnična, če in samo če sta obe izjavi resnični str in q, torej v primeru 1.

Na enak način razmislite o izjavi Jane vozi avto ali pa ima Bob rjave lase, kar je simbolično izraženo kot . Če nekdo reče: "Jane vozi avto ali ima Bob rjave lase," se bo motil le, če Jane ne zna voziti avtomobila in Bob ni rjavolas. Da je celotna izjava resnična, zadostuje, da je resnična ena od njenih dveh komponent. Zato ima tabelo resnic

Disjunkcija je napačna samo v primeru 4, ko oba R in q lažno.

Resnična tabela za negacijo izgleda takole

Resnična vrednost je vedno nasprotna resnični vrednosti p. V tabelah resnice se negacija vedno najprej ovrednoti, razen če znaku za negaci sledi izjava v oklepaju. Zato se razlaga kot , tako da negacija velja le za R. Če želimo zanikati celotno izjavo, jo zapišemo kot .

Znaki se imenujejo dvojiško vezniki, ker povezujejo dve izjavi. Simbol ~ je unarno veznik, ker se nanaša le na eno izreko.

Drugi binarni veznik je izključni ali, ki ga označujemo z . Izjava je resnična, ko je resnična str oz q, vendar ne oboje hkrati. Ta veznik ima tabelo resnic

Uporaba besede oz, lahko mislimo ekskluzivno oz. Na primer, ko to rečemo R- ali res ali napačno, potem seveda domnevamo, da to hkrati ni res. V logiki ekskluzivno oz Uporablja se precej redko in v prihodnosti bomo praviloma brez njega.

Razmislite o izjavi

,

kjer so oklepaji uporabljeni za prikaz, kateri stavki so sestavine posameznega veznika.

Tabela resnice omogoča nedvoumno označevanje tistih situacij, ko izjava je res; pri tem moramo biti prepričani, da so upoštevani vsi primeri. Ker kompleksna izjava vsebuje tri glavne izjave R, q in r, potem je možnih osem primerov

Dogajanje	str	q	r
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

Pri iskanju vrednosti resnice za stolpec uporabljamo stolpce za in r, kot tudi tabelo resnic za . Tabela resničnosti za kaže, da je izjava resnična le, če sta obe izjavi in r. To se zgodi samo v primerih 3 in 7.

Upoštevajte, da pri določanju vrednosti resnice za stolpec pomembna je samo resničnost izjav str in . Tabela resničnosti za kaže, da je edini primer, ko je izjava oblikovana z uporabo veznika oz, false, je primer, ko sta obe strani izjave napačni. Ta situacija se pojavi samo v primerih 5, 6 in 8.

Drug, enakovreden način za sestavo tabele resnic je, da pod veznik zapišemo resničnostne vrednosti izraza. Ponovno razmislite o izrazu . Najprej pod spremenljivke zapišemo vrednosti resnice R, q in r. Tisti pod stolpci z resničnostnimi vrednostmi kažejo, da so tem stolpcem najprej dodeljene resničnostne vrednosti. Na splošno bo številka pod stolpcem označevala številko koraka, pri katerem se izračunajo ustrezne vrednosti resnice. Nato pod simbol ~ zapišemo resničnostne vrednosti izjave. Nato pod simbolom zapišemo vrednosti resnice. Na koncu zapišemo pomen izjave pod simbolom.

Dogajanje	str	q	r	str		((~	q)		r
	T	T	T	T	T	F	T	F	T
	T	T	F	T	T	F	T	F	F
	T	F	T	T	T	T	F	T	T
	T	F	F	T	T	F	F	F	F
	F	T	T	F	F	F	T	F	T
	F	T	F	F	F	F	T	F	F
	F	F	T	F	T	T	F	T	T
	F	F	F	F	F	F	F	F	F

1.1.3. Pogojni stavki

Recimo, da nekdo trdi, da če se zgodi en dogodek, se bo zgodil drug. Recimo, da oče reče svojemu sinu: " Če boš ta semester vse izpite opravil z odličnimi ocenami, ti bom kupil avto.". Upoštevajte, da ima izjava obliko: če p potem q, Kje R- izjava V tem semestru boste vse izpite opravili z odličnimi ocenami., A q- izjava Kupil ti bom avto. Zapleteno izjavo simbolično označimo z . Vprašanje je, pod kakšnimi pogoji oče govori resnico? Recimo izjave R in q so resnične. V tem primeru srečni dijak dobi odlične ocene pri vseh predmetih, njegov prijetno presenečen oče pa mu kupi avto. Seveda nihče ne dvomi, da je očetova izjava resnična. Vendar pa je treba upoštevati še tri druge primere. Recimo, da je dijak res dosegel odlične rezultate, a mu oče ni kupil avtomobila.

Najbolj prijazno, kar lahko rečemo o očetu v tem primeru je, da je lagal. Zato, če R res, ampak q false, potem false. Predpostavimo zdaj, da študent ni dobil pozitivne ocene, a mu je oče kljub temu kupil avto. V tem primeru se zdi, da je oče zelo radodaren, vendar ga ne moremo imenovati lažnivec. Zato, če R lažno in q res, potem izjava če p potem q(tj. ) je res. Na koncu predpostavimo, da študent ni dosegel odličnega uspeha in mu oče ni kupil avtomobila.

Ker študent svojega dela dogovora ni izpolnil, je tudi oče prost obveznosti. Torej, če R in q so napačne, potem veljajo za resnične. Torej je oče lagal edino takrat, ko je obljubil in tega ni izpolnil.

Tako ima tabela resnic za trditev obliko

Simbol se imenuje implikacija, oz pogojni veznik.

To se lahko zdi vzročno, vendar ni nujno. Da vidimo odsotnost vzroka in posledice v implikaciji, se vrnimo k primeru, v katerem R obstaja izjava Jane vozi avto, A q- izjava Bob ima rjave lase. Nato izjava Če Jane vozi avto, potem ima Bob rjave lase bo zapisano kot

če str, To q ali kako.

Dejstvo, da Jane vozi avto, nima nobene vzročne zveze z dejstvom, da je Bob rjavolasec. Vendar je treba zapomniti, da je resničnost ali napačnost binarne kompleksne izjave odvisna samo od resničnosti njenih sestavnih delov in ni odvisna od prisotnosti ali odsotnosti kakršne koli povezave med njimi.

Razmislite o naslednjem primeru. Najti morate tabelo resnic za izraz

.

Z uporabo tabele resnic za , podane zgoraj, najprej zgradimo tabele resnic za in ob upoštevanju, da je implikacija napačna le v primeru, ko je .

Sedaj uporabimo tabelo za, da dobimo izjavo

tabela resnice

Dogajanje	str	q	r	(str		q)		(q		r)
	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T
	T	T	F	T	T	T	F	T	F	F
	T	F	T	T	F	F	F	F	T	T
	T	F	F	T	F	F	F	F	T	F
	F	T	T	F	T	T	T	T	T	T
	F	T	F	F	T	T	F	T	T	F
	F	F	T	F	T	F	T	F	F	T
	F	F	F	F	T	F	T	F	T	F
							*

Izjava o obliki je označena z . Simbol se imenuje enakovreden. Ekvivalentnost je včasih označena tudi kot (ne zamenjujte je z unarnim negacijskim operatorjem).

Tukaj: 1 - resnično, 0 - napačno.

• 1. X: trikotnik ABC je ostrokoten. X: Ni res, da je trikotnik ABC ostrokoten. To je enako kot: X: trikotnik ABC - pravi ali topi
• 2. O: Ivanova M. je dobila 4 pri matematiki : Ni res, da je Ivanova M. dobila 4 pri matematiki.

Definicija: Disjunkcija trditev A in B je trditev AB, ki je resnična pod pogojem, da je vsaj ena od trditev A ali B resnična.

Bere se "A ali B".

Tabela resnic za AB

Primer: 1. Tokrat je nastopil toženec in sojenje je potekalo. - prav

2. B pravokotni trikotnik vsota katerih koli dveh kotov je večja ali enaka tretjemu kotu in hipotenuza je manjša od kraka. - laž

Definicija: Implikacija izjav A in B je izjava AB, ki je napačna le, če je A resnična in B napačen.

Bere se: "Če A, potem B."

Tabela resnice

Primer: 1. Če opravim test, bom šel v kino.

2. Če je trikotnik enakokrak, potem sta kota na njegovi osnovi enaka. Definicija: Ekvivalent izjav A in B je izjava AB, ki je resnična, če in samo če imata A in B enako resnico (tj. ali sta obe resnični ali pa sta obe napačni).

Glasijo se: "In če in samo če B" ali "A je nujen in zadosten za B"

Tabela resnice

Druga naloga, ki jo rešuje propozicionalna algebra, je ugotovitev resničnosti določene trditve na podlagi sestavljanja njene formule (proces formalizacije) in sestavljanja tabele resnic.

Primer: Če se Saratov nahaja na bregovih Neve, potem polarni medvedi živijo v Afriki.

O: Saratov se nahaja na bregovih reke Neve;

V: Polarni medvedi živijo v Afriki

Definicija: Formula, ki je resnična ne glede na to, kakšne vrednosti imajo propozicionalne spremenljivke, ki so v njej vključene, se imenuje tavtologija ali identično resnična formula.

Definicija: Formuli F 1 in F 2 imenujemo ekvivalentni, če je njun ekvivalent tavtologija.

Definicija: Če sta formuli F 1 in F 2 enakovredni, se stavka P 1 in P 2, ki začneta ti formuli, v propozicionalni logiki imenujeta ekvivalentna.

Osnovne, najpogosteje pojavljajoče se enakovrednosti imenujemo zakoni logike. Naštejmo jih nekaj:

• 1. X X - zakon identitete
• 2. XL - zakon protislovja
• 3. XI - zakon izključitve tretjega
• 4. X - zakon dvojne negacije

• 5. zakoni komutativnosti
• 6. X (Y Z) (X Y) Z zakon asociativnosti

X (Y Z) (X Y) Z distributivni zakon

7. De Morganovi zakoni

8. zakoni artikulacije spremenljivke in konstante

Z uporabo zakonov logike lahko transformirate formule.

4. Od številnih formul, ki so med seboj enakovredne, razmislimo o dveh. To sta popolna konjunktivna normalna oblika (PCNF) in popolna disjunktivna normalna oblika (PDNF). Konstruirani so za dano formulo na podlagi njene tabele resnic.

Gradnja SDNF:

• -- izbrane so vrstice, ki ustrezajo resničnim vrednostim (1) te formule;
• -- za vsako izbrano vrstico sestavimo konjunkcijo spremenljivk ali njihovih negacij, tako da nizi vrednosti spremenljivk, predstavljenih v vrstici, ustrezajo pravim vrednostim konjunkcije (za to vzemite spremenljivke, ki so vzele vrednosti false (0) v tej vrstici z znakom zanikanja in spremenljivke , pri čemer so vrednosti resnice (1) brez zanikanja);
• -- sestavi se disjunkcija nastalih veznikov.

Iz algoritma sledi, da je za katero koli formulo mogoče zgraditi SDNF, poleg tega pa edinstveno, če formula ni identično napačna, tj. sprejema le lažne vrednosti.

Sestavljanje SKNF poteka po naslednjem algoritmu:

• -- označi tiste vrstice tabele, v katerih ima formula vrednost false (0);
• -- iz spremenljivk v vsaki takšni vrstici ustvarite disjunkcijo, ki naj zavzame vrednosti - false (0). Da bi to naredili, morajo vse spremenljivke vanj vstopiti z vrednostjo false, zato je treba tiste, ki so true (1), zamenjati z njihovo negacijo;
• -- tvorijo konjunkcijo iz nastalih disjunkcij.

Očitno ima vsaka formula, ki ni tavtologija, SCNF.

SDNF in SCNF se uporabljata za pridobivanje posledic iz te formule.

Primer: ustvarite tabelo resnic SDNF in SCNF za formulo: .

Resnična tabela SDNF in SKNF

5. Razmislite o izrazni obliki "Reka se izliva v Črno morje." Vsebuje eno spremenljivko in se lahko predstavi kot "reka x se izliva v Črno morje."

Glede na vrednosti spremenljivke X je stavek resničen ali napačen, tj. podana je preslikava množice rek na dvoelementno množico. Označimo to preslikavo, potem:

Tako imamo funkcijo, katere vse vrednosti pripadajo množici.

Definicija: funkcija, katere vse vrednosti pripadajo nizu, se imenuje predikat.

Črke, ki označujejo predikate, imenujemo predikatni simboli.

Predikate je mogoče določiti:

a) izrazna formula,

b) formulo, tj. določanje interpretacije predikatnega simbola,

c) tabela.

1) P - "teči v Črno morje."

Ta formula pomeni, da se "reka a izliva v Črno morje."

• 2) Predikat P je podan s propozicionalno formulo: »biti praštevilo na nizu prvih 15 naravnih števil."
• 3) V obliki tabele ima predikat obliko:

Domena definicije predikatov je lahko poljubna množica.

Če predikat izgubi svoj pomen za katerikoli niz vhodnih spremenljivk, potem je splošno sprejeto, da vrednost L ustreza temu nizu.

Če predikat vsebuje eno spremenljivko, se imenuje unarni predikat, dve spremenljivki - dvojni predikat, n spremenljivk - n-arni predikat.

Za prevod besedil v jezik predikatov in ugotavljanje njihove resničnosti je potrebno uvesti logične operacije na predikatorjih in kvantifikatorjih.

Na predikatih se izvajajo tudi naslednje operacije: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalenca.

Definicija: Podmnožica množice M, na kateri je podan predikat P, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov M, ki jim ustreza vrednost I predikata P, se imenuje resnična množica predikata P.

Resnična množica je označena.

Definicija: Negacija predikata P je predikat, ki je napačen za tiste nize vrednosti spremenljivk, ki spremenijo P v resnico, in resničen za tiste nize vrednosti spremenljivk, ki spremenijo P v napačen predikat.

Navedena je negacija.

Bodi študent ABIK-a.

Ne biti študent ABIK-a.

Če, potem je množica, kjer je M množica, na kateri sta podana predikata P in Q.

Definicija: konjunkcija predikatov je predikat, ki je resničen za tiste in samo tiste vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene, zaradi katerih sta oba predikata resnična.

Bodi nogometaš

Biti študent

: biti nogometaš in biti študent.

Definicija: disjunkcija predikatov je predikat, ki je napačen za tiste nize spremenljivk, ki so vanj vključeni, zaradi česar sta oba predikata napačna

Bodite enakomerni naravno število

Bodi liho naravno število

: biti naravno število.

Definicija: Predikatna implikacija je predikat, ki je napačen za tiste in samo tiste nize spremenljivk, ki so vanj vključene in se spremenijo v pravi predikat in v napačnega.

Označeno z:

Bodite praštevilo na množici N

Bodi liho število

Napačno za in resnično za druga naravna števila.

Definicija: Predikatna enakovrednost je predikat, ki postane resničen, če sta oba predikata resnična ali sta oba napačna.

Označeno z:

- "zmagati", tj. x premaga y

Bolje je poznati zgodovino šaha, x ve bolje kot y

označuje, da x premaga y v šahu, če in samo če bolje pozna teorijo.

Definicija: Predikat sledi iz predikata, če je implikacija resnična za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene.

Navedeno je naslednje: .

Biti študent

Pojdi na faks

Predikat lahko spremenite v izjavo na dva načina:

1) dajanje spremenljivki določene vrednosti

; x - študent

Ivanov je študent.

2) Pripenjanje kvantifikatorjev - vsak, vsak, vsak

Obstaja, obstaja.

Vnos, kjer ima lastnost P, pomeni, da ima vsak objekt x lastnost P. Ali na drug način, "vsi x imajo lastnost P."

Vnos pomeni, da obstaja objekt x, ki ima lastnost P.

V jezikovni praksi se pogosto uporabljajo napačne in resnične izjave. Prvo oceno dojemamo kot zanikanje resnice (neresnico). V resnici se uporabljajo tudi druge vrste ocen: negotovost, nedokazljivost (dokazljivost), neodločljivost. Ko razpravljamo o tem, za koliko x je trditev resnična, je treba upoštevati zakone logike.

Pojav "večvrednostne logike" je privedel do uporabe neomejenega števila indikatorjev resnice. Situacija z elementi resnice je zmedena in zapletena, zato jo je pomembno razjasniti.

Načela teorije

Resnična izjava je vrednost lastnosti (atributa) in se vedno upošteva določeno dejanje. Kaj je resnica? Shema je naslednja: "Izjava X ima resničnostno vrednost Y, če je izjava Z resnična."

Poglejmo si primer. Razumeti morate, za kaj od naslednjega velja naslednja izjava: "Predmet A ima atribut B." Ta trditev je napačna v tem, da ima predmet atribut B, in je napačna v smislu, da a nima atributa b.« Izraz "narobe" se v tem primeru uporablja kot zunanja negacija.

Opredelitev resnice

Kako se določi resnična izjava? Ne glede na strukturo izjave X je dovoljena samo naslednja definicija: "Izjava X je resnična, če obstaja X, samo X."

Ta definicija omogoča uvedbo izraza "true" v jezik. Opredeljuje dejanje strinjanja ali govora s tem, kar je v njem rečeno.

Preprosti izreki

Vsebujejo resnično trditev brez definicije. Lahko se omejite, ko izgovorite "Ne-X" splošna definicija, če ta trditev ne drži. Veznik "X in Y" je resničen, če sta X in Y resnična.

Primer izjave

Kako razumeti, za kateri x je trditev resnična? Za odgovor na to vprašanje uporabimo izraz: "Delec a je v območju prostora b." Za to izjavo upoštevajte naslednje primere:

• delec je nemogoče opazovati;
• delec lahko opazujemo.

Druga možnost ponuja določene možnosti:

• delec se dejansko nahaja v določenem območju prostora;
• ni v domnevnem delu prostora;
• delec se premika tako, da je težko določiti območje njegove lokacije.

V tem primeru se lahko uporabijo štirje izrazi vrednosti resnice, ki ustrezajo danim možnostim.

Za kompleksne strukture je primerno uporabiti več izrazov. To pomeni, da so vrednosti resnice neomejene. Za katero število je izjava resnična, je odvisno od praktične primernosti.

Načelo dvoumnosti

V skladu z njim je vsaka izjava napačna ali resnična, to pomeni, da je zanjo značilna ena od dveh verjetnih vrednosti resnice - "napačna" in "resnična".

To načelo je osnova klasične logike, ki se imenuje teorija dveh vrednosti. Načelo dvoumnosti je uporabil Aristotel. Ta filozof, ki je razpravljal o tem, za koliko x je izjava resnična, je menil, da je neprimerna za tiste izjave, ki se nanašajo na prihodnje naključne dogodke.

Vzpostavil je logično razmerje med fatalizmom in načelom dvoumnosti, stališčem o vnaprejšnji določenosti kakršnih koli človeških dejanj.

V naslednjih zgodovinskih obdobjih so bile omejitve, ki so bile naložene temu načelu, pojasnjene z dejstvom, da bistveno otežuje analizo izjav o načrtovanih dogodkih, pa tudi o neobstoječih (neopazljivih) objektih.

Pri razmišljanju, katere trditve so resnične, s to metodo ni bilo vedno mogoče najti nedvoumnega odgovora.

Pojavljajoči se dvomi o logičnih sistemih so bili razblinjeni šele po razvoju sodobne logike.

Da bi razumeli, za katero od danih števil je izjava resnična, je primerna dvovrednostna logika.

Načelo polisemije

Če preoblikujemo različico izjave z dvema vrednostma, da razkrijemo resnico, jo lahko spremenimo v poseben primer polisemija: vsaka izjava bo imela eno resničnostno vrednost, če je n večji od 2 ali manjši od neskončnosti.

Kot izjeme pri dodatnih vrednostih resnice (nad "false" in "true") je veliko logični sistemi, ki temelji na načelu polisemije. Klasična dvovrednostna logika označuje tipične uporabe nekaterih logičnih znakov: "ali", "in", "ne".

Večvrednostna logika, ki trdi, da jih konkretizira, ne bi smela nasprotovati rezultatom dvovrednega sistema.

Prepričanje, po katerem načelo dvoumnosti vedno vodi v izjavo o fatalizmu in determinizmu, velja za zmotno. Napačna je tudi zamisel, da se multipla logika obravnava kot potrebna sredstva izvajanje indeterminističnega sklepanja, da njegovo sprejetje ustreza zavračanju uporabe strogega determinizma.

Semantika logičnih znakov

Če želite razumeti, za katero število X je izjava resnična, se lahko oborožite s tabelami resničnosti. Logična semantika predstavlja del metalogike, ki raziskuje razmerje različnih jezikovnih izrazov do označenih objektov in njihove vsebine.

Ta problem je bil že obravnavan v starodavni svet, vendar se je v obliki polnopravne samostojne discipline oblikovala šele na prelomu 19. in 20. stoletja. Dela G. Frege, C. Pierce, R. Carnap, S. Kripke so omogočila razkritje bistva te teorije, njenega realizma in smotrnosti.

Semantična logika je dolgo časa temeljila predvsem na analizi formaliziranih jezikov. Samo v Zadnje čase večina raziskave so se začele posvečati naravnemu jeziku.

V tej metodologiji sta dve glavni področji:

• teorija označevanja (referenca);
• teorija pomena.

Prvi vključuje preučevanje odnosa različnih jezikovnih izrazov do označenih predmetov. Njegove glavne kategorije so lahko predstavljene kot: "oznaka", "ime", "model", "interpretacija". Ta teorija je osnova za dokaze v sodobni logiki.

Teorija pomena se ukvarja z iskanjem odgovora na vprašanje, kaj sestavlja pomen jezikovnega izraza. Pojasnjuje njihovo identiteto v smislu.

Teorija pomena igra pomembno vlogo v razpravi o pomenskih paradoksih, pri reševanju katerih se šteje, da je vsak kriterij sprejemljivosti pomemben in relevanten.

Logična enačba

Ta izraz se uporablja v metajeziku. Pod logično enačbo si lahko predstavljamo zapis F1=F2, v katerem sta F1 in F2 formuli razširjenega jezika logičnih stavkov. Reševanje takšne enačbe pomeni določitev tistih nizov pravih vrednosti spremenljivk, ki bodo vključene v eno od formul F1 ali F2, v katerih bo upoštevana predlagana enakost.

Znak enačaja v matematiki v nekaterih situacijah označuje enakost izvirnih predmetov, v nekaterih primerih pa je postavljen, da dokaže enakost njihovih vrednosti. Vnos F1=F2 lahko to pomeni govorimo o približno enako formulo.

V literaturi se formalna logika pogosto razume kot sinonim, kot je "jezik logičnih izjav". »Prave besede« so formule, ki služijo kot pomenske enote, ki se uporabljajo za konstruiranje sklepanja v neformalni (filozofski) logiki.

Izjava deluje kot stavek, ki izraža določeno sodbo. Z drugimi besedami, izraža idejo o prisotnosti določenega stanja.

To dejstvo je postalo osnova propozicionalne logike. Izjave so razdeljene na preproste in zapletene skupine.

Pri formalizaciji preprostih različic izjav se uporabljajo elementarne formule jezika ničelnega reda. Opis zapletenih izjav je mogoč le z uporabo jezikovnih formul.

Za označevanje veznikov so potrebni logični vezniki. Ko se uporabljajo, se preproste izjave spremenijo v kompleksne vrste:

• "Ne",
• "ni res, da ...",
• "ali".

Zaključek

Formalna logika pomaga ugotoviti, za katero ime je izjava resnična, in vključuje konstrukcijo in analizo pravil za preoblikovanje določenih izrazov, ki ohranjajo svoj pravi pomen ne glede na vsebino. Kot ločen razdelek filozofska znanost pojavila se je šele ob koncu devetnajstega stoletja. Druga smer je neformalna logika.

Glavna naloga te znanosti je sistematizirati pravila, ki omogočajo pridobivanje novih izjav na podlagi dokazanih izjav.

Temelj logike je možnost pridobivanja nekaterih idej kot logične posledice drugih izjav.

To dejstvo nam omogoča, da ustrezno opišemo ne le določen problem v matematična znanost, ampak tudi prenašati logiko v likovno ustvarjalnost.

Logično raziskovanje predpostavlja odnos, ki obstaja med premisami in sklepi, izpeljanimi iz njih.

Lahko jo štejemo za enega začetnih, temeljnih konceptov sodobne logike, ki jo pogosto imenujemo znanost o tem, »kaj iz tega sledi«.

Težko si je predstavljati brez takšnega razmišljanja dokaz izrekov v geometriji, razlago fizikalni pojavi, razlaga mehanizmov reakcij v kemiji.

Primer 1. Ugotovite resničnost izjave · C Rešitev. Kompleksna izjava je sestavljena iz 3 preprostih izjav: A, B, C.

Stolpci v tabeli so napolnjeni z vrednostmi (0, 1). Navedene so vse možne situacije. Enostavne izjave so ločene od zapletenih z dvojno navpično črto. Pri sestavljanju tabele je treba paziti, da ne zamenjate vrstnega reda dejanj; Pri izpolnjevanju stolpcev se premikajte »od znotraj navzven«, tj. od elementarnih formul do vedno bolj kompleksnih; zadnji izpolnjeni stolpec vsebuje vrednosti izvirne formule.

A	IN	Z		A+		· Z
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	0	0
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	1	0	0

Iz tabele je razvidno, da ta trditev drži le v primeru, ko je A = 0, B = 1, C = 1. V vseh drugih primerih je napačen.

Informacije, ki vas zanimajo, najdete tudi v znanstvenem iskalniku Otvety.Online. Uporabite iskalni obrazec:

Več o temi 1. Ugotavljanje resnice kompleksnih trditev:

1. 29. Problem rešljivosti v propozicionalni algebri (AB). Algoritmi za preverjanje identične resničnosti formul propozicionalne algebre: sestavljanje resničnostne tabele, izvajanje ekvivalentnih transformacij (CNF analiza), redukcijski algoritem, Quinov algoritem. Prednosti in slabosti teh metod.
2. Vprašanje 6. Propozicijski račun. Aksiomi. Pravilo sklepanja. Zaključek. Enaka resničnost izpeljanih formul (dokaži). Konsistentnost propozicijskega računa. Izrek o popolnosti propozicijskega računa. Problem rešljivosti. Propozicijski račun. Problem rešljivosti