Ayon sa alamat na laganap sa mga physicist, nangyari ito tulad nito: noong 1926, isang teoretikal na pisiko ang pangalan ay nagsalita sa isang siyentipikong seminar sa Unibersidad ng Zurich. Nagsalita siya tungkol sa mga kakaibang bagong ideya sa hangin, tungkol sa kung paano madalas na kumikilos ang mga mikroskopiko na bagay na parang mga alon kaysa sa mga particle. Pagkatapos ay hiniling ng isang matandang guro na magsalita at nagsabi: “Schrödinger, hindi mo ba nakikita na ang lahat ng ito ay walang kabuluhan? O hindi ba natin alam na ang mga alon ay mga alon lamang na dapat ilarawan ng mga equation ng alon?" Kinuha ito ni Schrödinger bilang isang personal na insulto at itinakda upang bumuo ng isang wave equation upang ilarawan ang mga particle sa loob ng balangkas ng quantum mechanics - at nakayanan ang gawaing ito nang mahusay.
Kailangang gumawa ng paliwanag dito. Sa ating pang-araw-araw na mundo, ang enerhiya ay inililipat sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng bagay kapag lumilipat mula sa isang lugar patungo sa isang lugar (halimbawa, isang gumagalaw na lokomotibo o hangin) - ang mga particle ay nakikilahok sa naturang paglipat ng enerhiya - o sa pamamagitan ng mga alon (halimbawa, mga radio wave na na ipinadala ng makapangyarihang mga transmiter at nahuhuli ng mga antenna ng ating mga telebisyon). Iyon ay, sa macrocosm kung saan ikaw at ako ay nakatira, lahat ng mga carrier ng enerhiya ay mahigpit na nahahati sa dalawang uri - corpuscular (binubuo ng mga materyal na particle) o wave. Bukod dito, ang anumang alon ay inilalarawan ng isang espesyal na uri ng mga equation - mga equation ng alon. Nang walang pagbubukod, lahat ng mga alon - mga alon ng karagatan, mga alon ng seismic na bato, mga alon ng radyo mula sa malalayong mga kalawakan - ay inilalarawan ng parehong uri ng mga equation ng alon. Ang paliwanag na ito ay kinakailangan upang maging malinaw na kung gusto nating kumatawan sa mga phenomena ng subatomic na mundo sa mga tuntunin ng probability distribution waves (tingnan ang Quantum Mechanics), ang mga alon na ito ay dapat ding ilarawan ng kaukulang wave equation.
Inilapat ni Schrödinger ang classical differential equation ng wave function sa konsepto ng probability waves at nakuha ang sikat na equation na nagdala sa kanyang pangalan. Tulad ng karaniwang wave function equation na naglalarawan sa pagpapalaganap ng, halimbawa, ripples sa ibabaw ng tubig, ang Schrödinger equation ay naglalarawan ng pagpapalaganap ng wave ng posibilidad na makahanap ng particle sa ibinigay na punto space. Ang mga taluktok ng alon na ito (mga punto ng pinakamataas na posibilidad) ay nagpapakita kung saan sa kalawakan ang maliit na butil ay malamang na mapunta. Kahit na ang Schrödinger equation ay kabilang sa rehiyon mas mataas na matematika, ito ay napakahalaga para sa pag-unawa sa modernong pisika na ipapakita ko pa rin ito dito - sa pinakasimpleng anyo nito (ang tinatawag na "one-dimensional stationary Schrödinger equation"). Sa itaas function ng alon Ang probability distribution, na tinutukoy ng Greek letter (psi), ay isang solusyon sa sumusunod na differential equation (okay lang kung hindi mo ito nauunawaan; kunin lamang ito sa pananampalataya na ang equation na ito ay nagpapakita na ang probability ay kumikilos tulad ng isang alon):
kung saan ang distansya, ay ang pare-pareho ng Planck, at , at ay, ayon sa pagkakabanggit, ang masa, kabuuang enerhiya at potensyal na enerhiya ng particle.
Ang larawan ng mga kaganapang quantum na ibinibigay sa atin ng equation ni Schrödinger ay ang mga electron at iba pang elementarya na mga particle ay kumikilos tulad ng mga alon sa ibabaw ng karagatan. Sa paglipas ng panahon, ang peak ng wave (naaayon sa lokasyon kung saan ang electron ay malamang na naroroon) ay gumagalaw sa espasyo alinsunod sa equation na naglalarawan sa wave na ito. Iyon ay, kung ano ang aming tradisyonal na itinuturing na isang particle ay kumikilos tulad ng isang alon sa mundo ng quantum.
Noong unang inilathala ni Schrödinger ang kanyang mga resulta, isang bagyo ang sumabog sa isang tasa ng tsaa sa mundo ng teoretikal na pisika. Ang katotohanan ay halos kasabay nito, lumitaw ang gawain ng kontemporaryo ni Schrödinger, si Werner Heisenberg (tingnan ang Prinsipyo ng Kawalang-katiyakan ni Heisenberg), kung saan iniharap ng may-akda ang konsepto ng "matrix mechanics", kung saan nalutas ang parehong mga problema ng quantum mechanics. sa isa pa, mas kumplikadong mathematical point view matrix form. Ang kaguluhan ay sanhi ng katotohanan na ang mga siyentipiko ay natatakot lamang na ang dalawang pantay na nakakumbinsi na mga diskarte sa paglalarawan ng microworld ay maaaring magkasalungat sa isa't isa. Ang mga alalahanin ay walang kabuluhan. Sa parehong taon, pinatunayan mismo ni Schrödinger ang kumpletong pagkakapareho ng dalawang teorya - iyon ay, ang matrix equation ay sumusunod mula sa wave equation, at vice versa; ang mga resulta ay magkapareho. Ngayon, ito ay pangunahing bersyon ni Schrödinger (minsan ay tinatawag na "mga mekanika ng alon") na ginagamit dahil ang kanyang equation ay hindi gaanong masalimuot at mas madaling ituro.
Gayunpaman, hindi napakadaling isipin at tanggapin na ang isang bagay tulad ng isang elektron ay kumikilos tulad ng isang alon. SA Araw-araw na buhay bumangga tayo sa alinman sa isang butil o isang alon. Ang bola ay isang butil, ang tunog ay isang alon, at iyon lang. Sa mundo ng quantum mechanics, ang lahat ay hindi gaanong simple. Sa katunayan - at sa lalong madaling panahon ipinakita ito ng mga eksperimento - sa mundo ng quantum, ang mga entidad ay naiiba sa mga bagay na pamilyar sa atin at may iba't ibang katangian. Ang liwanag, na iniisip natin bilang isang alon, kung minsan ay kumikilos tulad ng isang particle (tinatawag na photon), at ang mga particle tulad ng mga electron at proton ay maaaring kumilos tulad ng mga alon (tingnan ang Complementarity Principle).
Ang problemang ito ay karaniwang tinatawag na dalawahan o dalawahang particle-wave na katangian ng mga quantum particle, at ito ay katangian, tila, ng lahat ng bagay ng subatomic na mundo (tingnan ang Bell's Theorem). Dapat nating maunawaan na sa microworld ang ating mga ordinaryong intuitive na ideya tungkol sa kung anong mga anyo ang maaaring gawin at kung paano ito maaaring kumilos ay hindi nalalapat. Ang mismong katotohanan na ginagamit natin ang wave equation upang ilarawan ang paggalaw ng kung ano ang nakasanayan nating isipin bilang mga particle ay malinaw na patunay nito. Gaya ng nabanggit sa Panimula, walang partikular na kontradiksyon dito. Pagkatapos ng lahat, wala tayong mapanghikayat na mga dahilan upang maniwala na ang ating naobserbahan sa macrocosm ay dapat na tumpak na kopyahin sa antas ng microcosm. Gayunpaman, ang dalawahang katangian ng elementarya na mga particle ay nananatiling isa sa pinaka nakakalito at nakakabagabag na aspeto ng quantum mechanics para sa maraming tao, at hindi pagmamalabis na sabihin na ang lahat ng kaguluhan ay nagsimula kay Erwin Schrödinger.
Encyclopedia ni James Trefil “The Nature of Science. 200 batas ng uniberso."
Si James Trefil ay isang propesor ng physics sa George Mason University (USA), isa sa pinakasikat na Western author ng mga sikat na science book.
| Mga komento: 0 |
Si Max Planck, isa sa mga tagapagtatag ng quantum mechanics, ay dumating sa mga ideya ng quantization ng enerhiya, sinusubukang theoretically ipaliwanag ang proseso ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng kamakailang natuklasan na electromagnetic waves at atoms at, sa gayon, lutasin ang problema ng black body radiation. Napagtanto niya na upang ipaliwanag ang naobserbahang spectrum ng paglabas ng mga atomo, kailangang balewalain na ang mga atomo ay naglalabas at sumisipsip ng enerhiya sa mga bahagi (na tinawag ng siyentipiko na quanta) at sa mga indibidwal na frequency ng alon lamang.
Talagang itim na katawan, na ganap na sumisipsip ng electromagnetic radiation ng anumang dalas, kapag pinainit, naglalabas ng enerhiya sa anyo ng mga alon na pantay na ipinamamahagi sa buong spectrum ng dalas.
Ang salitang "quantum" ay nagmula sa Latin na quantum ("how much, how much") at ang English na quantum ("quantity, portion, quantum"). Ang "Mechanics" ay matagal nang tawag sa agham ng paggalaw ng bagay. Alinsunod dito, ang terminong "quantum mechanics" ay nangangahulugang ang agham ng paggalaw ng bagay sa mga bahagi (o, sa modernong siyentipikong wika, ang agham ng paggalaw ng quantized matter). Ang terminong "quantum" ay nilikha ng German physicist na si Max Planck upang ilarawan ang interaksyon ng liwanag sa mga atomo.
Ang isa sa mga katotohanan ng subatomic na mundo ay ang mga bagay nito - tulad ng mga electron o photon - ay hindi katulad ng karaniwang mga bagay ng macroworld. Hindi sila kumikilos tulad ng mga particle o parang mga alon, ngunit tulad ng ganap na espesyal na mga pormasyon na nagpapakita ng parehong mga katangian ng alon at corpuscular depende sa mga pangyayari. Ito ay isang bagay na gumawa ng isang pahayag, ngunit medyo iba ang pagkonekta sa wave at particle na mga aspeto ng pag-uugali ng mga quantum particle, na naglalarawan sa kanila ng isang eksaktong equation. Ganito talaga ang ginawa sa relasyong de Broglie.
Sa pang-araw-araw na buhay, mayroong dalawang paraan upang ilipat ang enerhiya sa espasyo - sa pamamagitan ng mga particle o alon. SA araw-araw na buhay Walang nakikitang kontradiksyon sa pagitan ng dalawang mekanismo ng paglipat ng enerhiya. Kaya, ang basketball ay isang butil, at ang tunog ay isang alon, at ang lahat ay malinaw. Gayunpaman, sa quantum mechanics ang mga bagay ay hindi gaanong simple. Kahit na mula sa pinakasimpleng mga eksperimento sa mga bagay na quantum, sa lalong madaling panahon ay nagiging malinaw na sa microworld ang mga prinsipyo at batas ng macroworld na pamilyar sa atin ay hindi nalalapat. Ang liwanag, na nakasanayan nating isipin bilang isang alon, kung minsan ay kumikilos na para bang binubuo ito ng isang stream ng mga particle (photon), at ang mga elementarya na particle, tulad ng isang electron o kahit isang napakalaking proton, ay kadalasang nagpapakita ng mga katangian ng isang alon.
Higit sa lahat, nagprotesta si Einstein laban sa pangangailangang ilarawan ang mga phenomena ng microworld sa mga tuntunin ng probabilities at wave functions, at hindi mula sa karaniwang posisyon ng mga coordinate at particle velocities. Iyon ang ibig niyang sabihin sa pamamagitan ng "rolling the dice." Nakilala niya na ang paglalarawan sa paggalaw ng mga electron sa mga tuntunin ng kanilang mga bilis at mga coordinate ay sumasalungat sa prinsipyo ng kawalan ng katiyakan. Ngunit, sinabi ni Einstein, dapat mayroong ilang iba pang mga variable o parameter, na isinasaalang-alang kung saan ang quantum mechanical na larawan ng microworld ay babalik sa landas ng integridad at determinismo. Ibig sabihin, iginiit niya, sa tingin lang natin ay pinaglalaruan tayo ng Diyos, dahil hindi natin naiintindihan ang lahat. Kaya, siya ang unang bumalangkas ng nakatagong variable hypothesis sa mga equation ng quantum mechanics. Ito ay nakasalalay sa katotohanan na sa katunayan ang mga electron ay may mga nakapirming coordinate at bilis, tulad ng mga bola ng bilyar ni Newton, at ang prinsipyo ng kawalan ng katiyakan at ang probabilistikong diskarte sa kanilang pagpapasiya sa loob ng balangkas ng quantum mechanics ay ang resulta ng hindi kumpleto ng teorya mismo, na kung saan ay bakit hindi nito pinapayagan ang mga ito para sa tiyak na pagtukoy.
Yulia Zotova
Matututuhan mo: Anong mga teknolohiya ang tinatawag na quantum at bakit. Ano ang bentahe ng mga teknolohiyang quantum kaysa sa mga klasikal? Ano ang maaari at hindi quantum computer. Paano gumawa ng quantum computer ang mga physicist. Kailan ito malilikha.
Inilagay ng French physicist na si Pierre Simon Laplace mahalagang tanong, tungkol sa kung ang lahat ng bagay sa mundo ay paunang natukoy ng nakaraang estado ng mundo, o kung ang isang dahilan ay maaaring magdulot ng ilang mga kahihinatnan. Tulad ng inaasahan ng pilosopikal na tradisyon, si Laplace mismo sa kanyang aklat na "Exposition of the World System" ay hindi nagtanong ng anumang mga katanungan, ngunit sinabi ng isang handa na sagot na oo, lahat ng bagay sa mundo ay paunang natukoy, gayunpaman, tulad ng madalas na nangyayari sa pilosopiya, ang larawan ng mundo na iminungkahi ni Laplace ay hindi nakakumbinsi sa lahat at sa gayon ang kanyang sagot ay nagdulot ng debate sa paligid ng isyu na nagpapatuloy hanggang ngayon. Sa kabila ng opinyon ng ilang mga pilosopo na niresolba ng quantum mechanics ang isyung ito sa pabor sa isang probabilistikong diskarte, gayunpaman, ang teorya ni Laplace ng kumpletong predetermination, o kung hindi man ito ay tinatawag na teorya ng Laplace determinism, ay tinatalakay pa rin ngayon.
Gordey Lesovik
Ilang oras na ang nakalipas, nagsimula kaming magmula sa isang pangkat ng mga co-authors ng pangalawang batas ng thermodynamics mula sa punto ng view ng quantum mechanics. Halimbawa, sa isa sa kanyang mga pormulasyon, na nagsasaad na ang entropy ng isang saradong sistema ay hindi bumababa, kadalasang tumataas, at kung minsan ay nananatiling pare-pareho kung ang sistema ay masiglang nakahiwalay. Gamit ang mga kilalang resulta mula sa quantum information theory, nakuha namin ang ilang kundisyon kung saan totoo ang pahayag na ito. Sa hindi inaasahan, lumabas na ang mga kondisyong ito ay hindi nag-tutugma sa kondisyon ng paghihiwalay ng enerhiya ng mga system.
Sinaliksik ng propesor ng pisika na si Jim Al-Khalili ang pinakatumpak at isa sa mga pinakanakalilitong teoryang siyentipiko - quantum physics. Noong unang bahagi ng ika-20 siglo, itinuro ng mga siyentipiko ang mga nakatagong kailaliman ng bagay, ang subatomic na mga bloke ng gusali ng mundo sa paligid natin. Natuklasan nila ang mga phenomena na naiiba sa anumang nakita noon. Isang mundo kung saan ang lahat ay maaaring nasa maraming lugar nang sabay-sabay, kung saan ang katotohanan ay umiiral lamang kapag ito ay ating pinagmamasdan. Nilabanan ni Albert Einstein ang ideya lamang na ang pagiging random ay nasa kaibuturan ng kalikasan. Ipinahihiwatig ng quantum physics na ang mga subatomic na particle ay maaaring makipag-ugnayan nang mas mabilis kaysa sa bilis ng liwanag, na sumasalungat sa kanyang teorya ng relativity.
No. 1 Ang nakatigil na Schrödinger equation ay may anyo. Ang equation na ito ay isinulat para sa...
Ang nakatigil na Schrödinger equation sa pangkalahatang kaso ay may anyo
, nasaan ang potensyal na enerhiya ng microparticle. Para sa one-dimensional na kaso. Bilang karagdagan, ang butil ay hindi maaaring nasa loob ng potensyal na kahon, ngunit sa labas ng kahon, dahil ang mga pader nito ay walang katapusang mataas. Samakatuwid, ang Schrödinger equation na ito ay isinulat para sa isang particle sa isang one-dimensional na kahon na may walang katapusang matataas na pader.
Linear harmonic oscillator
ü Mga particle sa isang one-dimensional na potensyal na kahon na may napakataas na pader
Mga particle sa isang three-dimensional na potensyal na kahon na may napakataas na pader
Electron sa isang hydrogen atom
Magtatag ng mga pagsusulatan sa pagitan ng mga quantum mechanical problem at Schrödinger equation para sa kanila.
Ang pangkalahatang anyo ng nakatigil na Schrödinger equation ay:
potensyal na enerhiya ng butil,
Operator ng Laplace. Para sa sabay-sabay na kaso
Ang expression para sa potensyal na enerhiya ng isang harmonic oscillator, iyon ay, isang particle na gumaganap ng one-dimensional na paggalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang quasi-elastic na puwersa, ay may anyo na U=.
Ang halaga ng potensyal na enerhiya ng isang electron sa isang potensyal na kahon na may walang katapusang mataas na pader ay U = 0. Ang isang electron sa isang tulad ng hydrogen na atom ay may potensyal na enerhiya Para sa isang hydrogen atom Z = 1.
Kaya, para sa isang electron sa isang one-dimensional na potensyal na kahon, ang Schrödinger equation ay may anyo:
Gamit ang wave function, na isang solusyon sa Schrödinger equation, matutukoy natin...
Mga pagpipilian sa sagot: (Magpahiwatig ng hindi bababa sa dalawang pagpipilian sa sagot)
Mga average na halaga ng mga pisikal na dami na nagpapakilala sa isang particle
Ang posibilidad na ang isang particle ay matatagpuan sa isang tiyak na rehiyon ng espasyo
Tipik na tilapon
Lokasyon ng butil
Ang halaga ay may kahulugan ng probability density (probability per unit volume), ibig sabihin, tinutukoy nito ang posibilidad na ang isang particle ay nasa kaukulang lugar sa espasyo. Pagkatapos ang probabilidad na W ng pag-detect ng particle sa isang partikular na rehiyon ng espasyo ay katumbas ng
Schrödinger equation ( mga tiyak na sitwasyon)
Hindi. 
nasaan ang lapad ng kahon, isang quantum number na nangangahulugang ang energy level number. Kung ang bilang ng mga function node sa segment at , pagkatapos ay katumbas ng...
Bilang ng mga node, i.e. ang bilang ng mga punto kung saan nawawala ang function ng wave sa isang segment ay nauugnay sa bilang ng antas ng enerhiya sa pamamagitan ng kaugnayan. Pagkatapos 
, at ayon sa kondisyon ang ratio na ito ay katumbas ng 1.5. Ang paglutas ng nagresultang equation para sa , nakita namin iyon
Mga reaksyong nuklear.
№1 Sa isang nuclear reaction, ang titik ay kumakatawan sa isang particle...
Mula sa mga batas ng konserbasyon ng mass number at charge number ay sumusunod na ang singil ng particle ay zero at ang mass number ay 1. Samakatuwid, ang titik ay nagsasaad ng isang neutron.
ü Neutron
Positron
Elektron
Ang graph sa isang semi-logarithmic scale ay nagpapakita ng dependence ng pagbabago sa bilang ng radioactive nuclei ng isang isotope sa oras. Ang radioactive decay constant ay katumbas ng ... (round the answer to whole numbers)
Ang bilang ng radioactive nuclei ay nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas - ang paunang bilang ng nuclei, - ang radioactive decay constant. Sa pagkuha ng logarithm ng expression na ito, nakukuha natin
ln 
.Kaya, 
=0,07
Mga batas sa konserbasyon sa mga reaksyong nuklear.
Ang reaksyon ay hindi maaaring magpatuloy dahil sa isang paglabag sa batas sa konserbasyon...
Sa lahat ng pangunahing pakikipag-ugnayan, natutugunan ang mga batas sa konserbasyon: enerhiya, momentum, angular momentum (spin) at lahat ng singil (electric, baryon at lepton). Ang mga batas sa konserbasyon na ito ay hindi lamang naglilimita sa mga kahihinatnan ng iba't ibang mga pakikipag-ugnayan, ngunit tinutukoy din ang lahat ng mga posibilidad ng mga kahihinatnan na ito. Upang piliin ang tamang sagot, kailangan mong suriin kung aling batas sa konserbasyon ang nagbabawal at kung alin ang nagpapahintulot sa ibinigay na reaksyon ng interconversion ng mga elementarya na particle. Ayon sa batas ng pag-iingat ng lepton charge sa isang saradong sistema sa panahon ng anumang proseso, ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga lepton at antilepton ay napanatili. Napagkasunduan naming kalkulahin ang mga lepton: . lepton charge at para sa mga antilepton: . lepton charge. Para sa lahat ng iba pang elementarya na particle, ang mga singil sa lepton ay ipinapalagay na zero. Ang reaksyon ay hindi maaaring magpatuloy dahil sa isang paglabag sa batas ng konserbasyon ng lepton charge, dahil
ü Lepton charge
Pagsingil ng Baryon
Paikutin angular momentum
Pagsingil ng kuryente
Ang reaksyon ay hindi maaaring magpatuloy dahil sa isang paglabag sa batas sa konserbasyon...
Sa lahat ng pangunahing pakikipag-ugnayan, natutugunan ang mga batas sa konserbasyon: enerhiya, momentum, angular na momentum (spin) at lahat ng singil (electric Q, baryon B at lepton L). mga posibilidad ng mga kahihinatnan na ito. Ayon sa batas ng konserbasyon ng baryon charge B, para sa lahat ng mga prosesong kinasasangkutan ng mga baryon at antibaryon, ang kabuuang baryon charge ay natipid. Ang mga baryon (n, p nucleon at hyperon) ay itinalaga ng baryon charge
B = -1, at para sa lahat ng iba pang mga particle ang baryon charge ay B = 0. Ang reaksyon ay hindi maaaring magpatuloy dahil sa isang paglabag sa batas ng baryon charge B, dahil (+1)+(+1)
Mga opsyon sa sagot: lepton charge, spin angular momentum, electric charge. Q=0, antiproton (
Ang paggalaw ng mga microparticle sa iba't ibang larangan ng puwersa ay inilalarawan sa loob ng balangkas ng non-relativistic quantum mechanics gamit ang Schrödinger equation, kung saan sinusunod ang eksperimentong naobserbahang mga katangian ng wave ng mga particle. Ang equation na ito, tulad ng lahat ng pangunahing equation ng physics, ay hindi hinango, ngunit postulated. Ang kawastuhan nito ay nakumpirma sa pamamagitan ng kasunduan ng mga resulta ng pagkalkula na may karanasan. Ang Schrödinger wave equation ay may mga sumusunod pangkalahatang anyo :
- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
kung saan ħ = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J ∙ s - pare-pareho ng Planck;
m ay ang particle mass;
∆ - Laplace operator (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - ang nais na function ng wave;
Ang U (x, y, z, t) ay ang potensyal na function ng particle sa force field kung saan ito gumagalaw;
ako ang imaginary unit.
Ang equation na ito ay may solusyon lamang sa ilalim ng mga kondisyong ipinataw sa wave function:
- ψ (x, y, z, t) ay dapat na may hangganan, single-valued at tuluy-tuloy;
- ang mga unang derivatives nito ay dapat na tuluy-tuloy;
- function | ψ | 2 ay dapat na integrable, na sa pinakasimpleng mga kaso ay bumababa sa kondisyon para sa pag-normalize ng mga probabilidad.
∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
kung saan ang ψ = ψ (x, y, z) ay ang wave function ng mga coordinate lamang;
Ang E ay ang parameter ng equation - ang kabuuang enerhiya ng particle.
Para sa equation na ito ang tunay pisikal na kahulugan mayroon lamang mga solusyon na ipinahayag ng mga regular na function ψ (tinatawag na eigenfunctions), na nangyayari lamang para sa ilang mga halaga ng parameter E, na tinatawag na energy eigenvalue. Ang mga E value na ito ay maaaring bumuo ng alinman sa tuloy-tuloy o discrete na serye, i.e. parehong tuloy-tuloy at discrete na spectrum ng enerhiya.
Para sa anumang microparticle, sa pagkakaroon ng isang Schrödinger equation ng uri (8.2), ang problema ng quantum mechanics ay nabawasan sa paglutas ng equation na ito, i.e. paghahanap ng mga halaga ng mga function ng wave ψ = ψ (x, y, z), na tumutugma sa spectrum ng intrinsic energies E. Susunod, hanapin ang probability density | ψ | 2, na sa quantum mechanics ay tumutukoy sa posibilidad na makahanap ng isang particle sa isang unit volume sa paligid ng isang punto na may mga coordinate (x, y, z).
Ang isa sa mga pinakasimpleng kaso ng paglutas ng Schrödinger equation ay ang problema ng pag-uugali ng isang particle sa isang one-dimensional na hugis-parihaba na "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader". Ang nasabing "butas" para sa isang butil na gumagalaw lamang sa kahabaan ng X axis ay inilalarawan ng potensyal na enerhiya ng anyo
kung saan ang l ay ang lapad ng "butas", at ang enerhiya ay sinusukat mula sa ibaba nito (Larawan 8.1).
Ang Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado sa kaso ng isang one-dimensional na problema ay isusulat sa form:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Dahil sa ang katunayan na ang "mga pader ng hukay" ay walang katapusang mataas, ang butil ay hindi tumagos sa kabila ng "hukay". Ito ay humahantong sa mga kundisyon sa hangganan:
ψ (0) = ψ (l) = 0
Sa loob ng “well” (0 ≤ x ≤ l), ang equation (8.4) ay bumababa sa anyo:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
kung saan ang k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Ang solusyon sa equation (8.7), na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan (8.5), sa pinakasimpleng kaso ay may anyo:
ψ (x) = A ∙ kasalanan (kx)
kung saan k = (n ∙ π)/ l
para sa mga integer na halaga ng n.
Mula sa mga expression (8.8) at (8.10) ito ay sumusunod na
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
mga. Ang enerhiya ng mga nakatigil na estado ay nakasalalay sa integer n (tinatawag na quantum number) at may mga tiyak na discrete na halaga na tinatawag na mga antas ng enerhiya.
Dahil dito, ang isang microparticle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay maaari lamang sa isang tiyak na antas ng enerhiya E n , i.e. sa discrete quantum states n.
Ang pagpapalit ng expression (8.10) sa (8.9) ay makikita natin ang eigenfunctions
ψ n (x) = A ∙ kasalanan (nπ / l) ∙ x
Ang integration constant A ay matatagpuan mula sa quantum mechanical (probabilistic) normalization condition
na para sa kasong ito ay isusulat bilang:
Mula sa kung saan, bilang isang resulta ng pagsasama, nakukuha namin ang A = √ (2 / l) at pagkatapos ay mayroon kami
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ kasalanan (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Ang mga graph ng function na ψ n (x) ay walang pisikal na kahulugan, habang ang mga graph ng function | ψ n | 2 ay nagpapakita ng distribusyon ng probability density ng pag-detect ng particle sa iba't ibang distansya mula sa "walls of the pit" (Fig. 8.1). Ito ang mga graph na ito (pati na rin ang ψ n (x) - para sa paghahambing) na pinag-aaralan sa gawaing ito at malinaw na nagpapakita na ang mga ideya tungkol sa mga tilapon ng butil sa quantum mechanics ay hindi mapagkakatiwalaan.
Mula sa expression (8.11) sumusunod na ang pagitan ng enerhiya sa pagitan ng dalawang magkatabing antas ay katumbas ng
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Mula dito ay malinaw na para sa mga microparticle (tulad ng mga electron) sa malalaking sukat"mga butas" (l≈ 10 -1 m), ang mga antas ng enerhiya ay matatagpuan nang malapit na bumubuo sila ng halos tuloy-tuloy na spectrum. Ang estado na ito ay nangyayari, halimbawa, para sa mga libreng electron sa isang metal. Kung ang mga sukat ng "well" ay maihahambing sa mga atomic (l ≈ 10 -10 m), kung gayon ang isang discrete energy spectrum (line spectrum) ay nakuha. Ang mga uri ng spectra ay maaari ding pag-aralan sa gawaing ito para sa iba't ibang microparticle.
Ang isa pang kaso ng pag-uugali ng microparticles (pati na rin ang microsystems - pendulums), madalas na nakatagpo sa pagsasanay (at isinasaalang-alang sa gawaing ito), ay ang problema ng isang linear harmonic oscillator sa quantum mechanics.
Tulad ng nalalaman, ang potensyal na enerhiya ng isang one-dimensional na harmonic oscillator ng mass m ay katumbas ng
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
kung saan ang ω 0 ay ang natural na frequency ng oscillator oscillator ω 0 = √ (k / m);
k ay ang elasticity coefficient ng oscillator.
Ang dependence (8.17) ay may anyo ng isang parabola, i.e. Ang "potensyal na balon" sa kasong ito ay parabolic (Larawan 8.2).
Ang isang quantum harmonic oscillator ay inilalarawan ng Schrödinger equation (8.2), na isinasaalang-alang ang expression (8.17) para sa potensyal na enerhiya. Ang solusyon sa equation na ito ay nakasulat bilang:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
kung saan ang N n ay isang pare-parehong normalizing factor depende sa integer n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
Ang H n (x) ay isang polynomial ng degree n, ang mga coefficient nito ay kinakalkula gamit ang paulit-ulit na formula para sa iba't ibang integer n.
Sa teorya ng differential equation, mapapatunayan na ang Schrödinger equation ay may solusyon (8.18) para lamang sa mga energy eigenvalues:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
kung saan ang n = 0, 1, 2, 3... ay isang quantum number.
Nangangahulugan ito na ang enerhiya ng isang quantum oscillator ay maaari lamang kumuha ng mga discrete value, i.e. quantized. Kapag naganap ang n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, i.e. zero-point na enerhiya, na tipikal para sa mga quantum system at direktang bunga ng uncertainty relation.
Bilang isang detalyadong solusyon ng Schrödinger equation para sa isang quantum oscillator na nagpapakita, ang bawat eigenvalue ng enerhiya para sa iba't ibang n ay tumutugma sa sarili nitong wave function, dahil ang patuloy na normalizing factor ay nakasalalay sa n
at din H n (x) - Chebyshev-Hermite polynomial ng degree n.
Bukod dito, ang unang dalawang polynomial ay pantay:
H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α
Anumang kasunod na polynomial ay nauugnay sa nmi ayon sa sumusunod na paulit-ulit na formula:
H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Ang Eigenfunctions ng uri (8.18) ay nagpapahintulot sa amin na mahanap para sa isang quantum oscillator ang probability density ng paghahanap ng microparticle bilang | ψ n (x) | 2 at pag-aralan ang pag-uugali nito sa iba't ibang antas ng enerhiya. Ang paglutas ng problemang ito ay mahirap dahil sa pangangailangang gumamit ng paulit-ulit na formula. Ang problemang ito ay matagumpay na malulutas lamang gamit ang isang computer, na kung ano ang ginagawa sa gawaing ito.
1. Panimula
Ang teorya ng quantum ay isinilang noong 1900, nang iminungkahi ni Max Planck ang isang teoretikal na konklusyon tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng temperatura ng isang katawan at ng radiation na ibinubuga ng katawan na iyon - isang konklusyon na sa mahabang panahon Naiwasan ng iba pang mga siyentipiko. Tulad ng mga nauna sa kanya, iminungkahi ni Planck na ang radiation ay ibinubuga ng mga atomic oscillator, ngunit naniniwala siya na ang enerhiya ng mga oscillator (at samakatuwid ang radiation na ibinubuga nila) ay umiral sa anyo ng maliliit na discrete na bahagi, na tinawag ni Einstein na quanta. Ang enerhiya ng bawat quantum ay proporsyonal sa dalas ng radiation. Bagama't ang pormula na hinango ni Planck ay pumukaw ng unibersal na paghanga, ang mga pagpapalagay na ginawa niya ay nanatiling hindi maunawaan, dahil sumasalungat sila sa klasikal na pisika.
Noong 1905, ginamit ni Einstein ang quantum theory upang ipaliwanag ang ilang aspeto ng photoelectric effect—ang paglabas ng mga electron sa ibabaw ng isang metal na nakalantad sa ultraviolet light. Sa daan, napansin ni Einstein ang isang maliwanag na kabalintunaan: ang liwanag, na sa loob ng dalawang siglo ay kilala na naglalakbay bilang tuluy-tuloy na mga alon, ay maaaring, sa ilalim ng ilang mga pangyayari, ay kumikilos din bilang isang stream ng mga particle.
Makalipas ang mga walong taon, pinalawak ni Niels Bohr ang quantum theory sa atom at ipinaliwanag ang mga frequency ng mga alon na ibinubuga ng mga atom na nasasabik sa isang apoy o isang electric charge. Ipinakita ni Ernest Rutherford na ang masa ng isang atom ay halos ganap na puro sa gitnang nucleus, na nagdadala ng positibong singil ng kuryente at napapalibutan sa medyo malalaking distansya ng mga electron na nagdadala negatibong singil, bilang isang resulta kung saan ang atom sa kabuuan ay neutral sa kuryente. Iminungkahi ni Bohr na ang mga electron ay maaari lamang nasa ilang mga discrete orbit na tumutugma sa iba't ibang antas ng enerhiya, at ang "paglukso" ng isang electron mula sa isang orbit patungo sa isa pa, na may mas mababang enerhiya, ay sinamahan ng paglabas ng isang photon, na ang enerhiya ay katumbas ng pagkakaiba sa mga energies ng dalawang orbit. Ang dalas, ayon sa teorya ni Planck, ay proporsyonal sa enerhiya ng photon. Kaya, ang modelo ng atom ni Bohr ay nagtatag ng isang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga spectral na linya na katangian ng sangkap na nagpapalabas ng radiation at ang atomic na istraktura. Sa kabila ng paunang tagumpay nito, ang modelo ng atom ni Bohr ay nangangailangan ng mga pagbabago upang malutas ang mga pagkakaiba sa pagitan ng teorya at eksperimento. Bilang karagdagan, ang teorya ng quantum sa yugtong iyon ay hindi pa nagbibigay ng isang sistematikong pamamaraan para sa paglutas ng maraming problema sa kabuuan.
Isang makabuluhang bagong tampok ng quantum theory ang lumitaw noong 1924, nang si de Broglie ay naglagay ng isang radikal na hypothesis tungkol sa wave nature ng matter: kung ang mga electromagnetic wave, tulad ng liwanag, minsan ay kumikilos tulad ng mga particle (tulad ng ipinakita ni Einstein), pagkatapos ay ang mga particle, tulad ng electron, sa ilalim ng ilang mga pangyayari ay maaaring kumilos tulad ng mga alon. Sa pormulasyon ni de Broglie, ang dalas na katumbas ng isang particle ay nauugnay sa enerhiya nito, tulad ng sa kaso ng isang photon (particle ng liwanag), ngunit ang panukala ni de Broglie pagpapahayag ng matematika ay isang katumbas na ugnayan sa pagitan ng wavelength, ang masa ng particle at ang bilis nito (momentum). Ang pagkakaroon ng mga electron wave ay eksperimento na napatunayan noong 1927 nina Clinton Davisson at Lester Germer sa Estados Unidos at John Paget Thomson sa England.
Humanga sa mga komento ni Einstein sa mga ideya ni de Broglie, sinubukan ni Schrödinger na ilapat ang paglalarawan ng alon ng mga electron sa pagbuo ng isang magkakaugnay na teorya ng quantum, na walang kaugnayan sa hindi sapat na modelo ng atom ni Bohr. Sa isang tiyak na kahulugan, nilayon niyang ilapit ang quantum theory sa klasikal na pisika, na nakaipon ng maraming halimbawa ng matematikal na paglalarawan ng mga alon. Ang unang pagtatangka, na ginawa ni Schrödinger noong 1925, ay natapos sa kabiguan.
Ang bilis ng elektron sa teorya II ni Schrödinger ay malapit sa bilis ng liwanag, na nangangailangan ng pagsasama ng espesyal na teorya Ang relativity ni Einstein at isinasaalang-alang ang makabuluhang pagtaas sa mass ng elektron na hinulaan nito sa napakataas na bilis.
Ang isa sa mga dahilan ng pagkabigo ni Schrödinger ay ang hindi niya isinaalang-alang ang pagkakaroon ng isang partikular na katangian ng elektron, na kilala ngayon bilang spin (ang pag-ikot ng electron sa paligid ng sarili nitong axis tulad ng isang tuktok), tungkol sa kung saan kakaunti ang nalalaman sa oras na iyon.
Ginawa ni Schrödinger ang susunod na pagtatangka noong 1926. Sa pagkakataong ito ang mga bilis ng elektron ay pinili nang napakaliit na hindi na kailangang gamitin ang teorya ng relativity.
Ang ikalawang pagtatangka ay nagresulta sa derivation ng Schrödinger wave equation, na nagbibigay ng matematikal na paglalarawan ng matter sa mga tuntunin ng wave function. Tinawag ni Schrödinger ang kanyang theory wave mechanics. Ang mga solusyon ng wave equation ay sumasang-ayon sa mga eksperimentong obserbasyon at nagkaroon ng malalim na impluwensya sa kasunod na pag-unlad ng quantum theory.
Hindi nagtagal, naglathala sina Werner Heisenberg, Max Born, at Pascual Jordan ng isa pang bersyon ng quantum theory, na tinatawag na matrix mechanics, na naglalarawan ng quantum phenomena gamit ang mga talahanayan ng mga nakikitang dami. Ang mga talahanayan na ito ay kumakatawan sa mga hanay ng matematika na inayos sa isang tiyak na paraan, na tinatawag na mga matrice, kung saan, ayon sa mga kilalang panuntunan, maaaring maisagawa ang iba't ibang mga operasyong matematika. Pinapayagan din ng matrix mechanics ang kasunduan sa naobserbahang data ng eksperimentong, ngunit hindi tulad ng wave mechanics, hindi ito naglalaman ng anumang partikular na reference sa spatial coordinates o oras. Lalo na iginiit ni Heisenberg ang pagtanggi sa anumang simpleng visual na representasyon o modelo na pabor sa mga katangian lamang na maaaring matukoy mula sa eksperimento.
Ipinakita ni Schrödinger na ang wave mechanics at matrix mechanics ay mathematically equivalent. Kilala ngayon sa ilalim karaniwang pangalan quantum mechanics, ang dalawang teoryang ito ay nagbigay ng isang pinakahihintay na pangkalahatang balangkas para sa paglalarawan ng quantum phenomena. Mas gusto ng maraming physicist ang wave mechanics dahil mas pamilyar sa kanila ang matematika nito at tila mas "pisikal" ang mga konsepto nito; Ang mga operasyon sa mga matrice ay mas mahirap.
Pag-andar Ψ. Normalisasyon ng posibilidad.
Ang pagtuklas ng mga katangian ng alon ng mga microparticle ay nagpapahiwatig na ang mga klasikal na mekanika ay hindi maaaring magbigay ng isang tamang paglalarawan ng pag-uugali ng naturang mga particle. Nagkaroon ng pangangailangan upang lumikha ng isang mekanika ng microparticle na isinasaalang-alang din ang kanilang mga katangian ng alon. Ang bagong mechanics na nilikha ni Schrödinger, Heisenberg, Dirac at iba pa ay tinatawag na wave o quantum mechanics.
Plane de Broglie wave
(1)ay isang napakaespesyal na wave formation na katumbas ng libre pare-parehong paggalaw mga particle sa isang tiyak na direksyon at may isang tiyak na momentum. Ngunit ang isang particle, kahit na sa libreng espasyo at lalo na sa mga force field, ay maaari ding magsagawa ng iba pang mga paggalaw na inilarawan ng mas kumplikadong mga function ng wave. Sa mga kasong ito Buong paglalarawan ang estado ng isang particle sa quantum mechanics ay hindi ibinibigay ng isang plane de Broglie wave, ngunit sa pamamagitan ng ilang mas kumplikadong kumplikadong function
, depende sa mga coordinate at oras. Tinatawag itong wave function. Sa partikular na kaso ng free motion ng isang particle, ang wave function ay nagiging isang plane de Broglie wave (1). Ang wave function mismo ay ipinakilala bilang isang pantulong na simbolo at hindi isa sa mga direktang nakikitang dami. Ngunit ginagawang posible ng kaalaman nito na mahulaan sa istatistika ang mga halaga ng mga dami na nakuha sa eksperimento at samakatuwid ay may tunay na pisikal na kahulugan.Tinutukoy ng wave function ang relatibong posibilidad ng pag-detect ng particle sa iba't ibang lugar sa espasyo. Sa yugtong ito, kapag ang mga relasyon sa posibilidad lamang ang tinalakay, ang pagpapaandar ng alon ay pangunahing tinutukoy hanggang sa isang arbitrary na pare-parehong kadahilanan. Kung sa lahat ng mga punto sa espasyo ang wave function ay pinarami ng parehong pare-pareho (sa pangkalahatan, kumplikado) na numero, naiiba sa zero, pagkatapos ay isang bagong wave function ay nakuha na naglalarawan ng eksaktong parehong estado. Walang saysay na sabihin na ang Ψ ay katumbas ng zero sa lahat ng mga punto sa espasyo, dahil ang gayong "pag-andar ng alon" ay hindi kailanman nagpapahintulot sa amin na magtapos tungkol sa kamag-anak na posibilidad ng pag-detect ng isang particle sa iba't ibang lugar sa espasyo. Ngunit ang kawalan ng katiyakan sa pagtukoy ng Ψ ay maaaring makabuluhang mapaliit kung lilipat tayo mula sa relatibong posibilidad patungo sa ganap na posibilidad. Itapon natin ang hindi tiyak na salik sa function na Ψ upang ang halaga |Ψ|2dV ay nagbibigay ng ganap na posibilidad na matukoy ang isang particle sa elemento ng dami ng espasyo dV. Pagkatapos |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* ay ang kumplikadong conjugate function ng Ψ) ay magkakaroon ng kahulugan ng probability density na dapat asahan kapag sinusubukang tuklasin ang isang particle sa kalawakan. Sa kasong ito, ang Ψ ay tutukuyin pa rin hanggang sa isang di-makatwirang pare-parehong kumplikadong salik, ang modulus kung saan, gayunpaman, ay katumbas ng pagkakaisa. Sa kahulugang ito, dapat matugunan ang kondisyon ng normalisasyon:
(2)kung saan ang integral ay kinuha sa buong walang katapusang espasyo. Nangangahulugan ito na ang butil ay makikita nang may katiyakan sa buong kalawakan. Kung ang integral ng |Ψ|2 ay kinuha sa isang tiyak na volume V1, kinakalkula namin ang posibilidad na makahanap ng isang particle sa espasyo ng volume V1.
Ang normalisasyon (2) ay maaaring imposible kung ang integral (2) ay magkakaibang. Ito ang magiging kaso, halimbawa, sa kaso ng isang plane de Broglie wave, kapag ang posibilidad ng pag-detect ng isang particle ay pareho sa lahat ng mga punto sa kalawakan. Ngunit ang mga ganitong kaso ay dapat isaalang-alang bilang mga ideyalisasyon ng isang tunay na sitwasyon kung saan ang butil ay hindi napupunta sa kawalang-hanggan, ngunit pinipilit na manatili sa limitadong lugar space. Kung gayon ang normalisasyon ay hindi mahirap.
Kaya, ang direktang pisikal na kahulugan ay nauugnay hindi sa mismong function na Ψ, ngunit sa module nito na Ψ*Ψ. Bakit sa quantum theory gumagana ang mga ito sa wave functions Ψ, at hindi direkta sa experimentally observed quantities Ψ*Ψ? Ito ay kinakailangan upang bigyang-kahulugan ang mga katangian ng alon ng bagay - interference at diffraction. Narito ang sitwasyon ay eksaktong kapareho ng sa anumang teorya ng alon. Ito (hindi bababa sa isang linear approximation) ay tumatanggap ng bisa ng prinsipyo ng superposition ng mga wave field mismo, at hindi ang kanilang mga intensity, at sa gayon ay nakakamit ang pagsasama sa teorya ng mga phenomena ng wave interference at diffraction. Gayundin, sa quantum mechanics ang prinsipyo ng superposisyon ng mga function ng wave ay tinatanggap bilang isa sa mga pangunahing postulates, na binubuo sa mga sumusunod.
Ang Heisenberg ay humantong sa konklusyon na ang equation ng motion sa quantum mechanics, na naglalarawan sa paggalaw ng microparticle sa iba't ibang force field, ay dapat na isang equation kung saan susundan ng experimentally observed wave properties ng mga particle. Ang namamahala na equation ay dapat na isang equation para sa wave function na Ψ (x, y, z, t), dahil ito ay tiyak na ito, o, mas tiyak, ang dami |Ψ| 2, tinutukoy ang posibilidad ng isang particle na naroroon sa sandali ng oras t sa dami Δ V, i.e. sa lugar na may mga coordinate X At x + dx, y At y + dу, z At z+ dz.
Ang pangunahing equation ng nonrelativistic quantum mechanics ay binuo noong 1926 ni E. Schrödinger. Ang Schrödinger equation, tulad ng lahat ng pangunahing equation ng physics (halimbawa, ang mga equation ni Newton sa classical mechanics at ang mga equation ni Maxwell para sa electromagnetic field), ay hindi hinango, ngunit postulated. Ang kawastuhan ng equation na ito ay nakumpirma ng kasunduan sa karanasan ng mga resulta na nakuha sa tulong nito, na, naman, ay nagbibigay dito ng katangian ng isang batas ng kalikasan.
Ang pangkalahatang equation ng Schrödinger ay:
saan ? =h/(2π), m- masa ng butil, Δ - Laplace operator 
, i- haka-haka na yunit, U(x, y, z, t) ay ang potensyal na function ng isang particle sa force field kung saan ito gumagalaw, Ψ( x, y, z, t) ay ang gustong wave function ng particle.
Ang equation (1) ay may bisa para sa anumang particle (na may spin na katumbas ng 0) na gumagalaw sa mababang (kumpara sa bilis ng liwanag), i.e. υ "Kasama.
Ito ay dinagdagan ng mga kundisyon, superimposed sa wave function:
1) ang wave function ay dapat na may hangganan, hindi malabo at tuloy-tuloy;
2) derivatives 
dapat tuloy-tuloy;
3) function |Ψ| 2 ay dapat na integrable (ang kundisyong ito sa pinakasimpleng mga kaso ay bumababa sa kondisyon para sa pag-normalize ng mga probabilidad).
Ang equation (1) ay tinatawag equation ng Schrödinger na umaasa sa oras.
Para sa maraming pisikal na phenomena na nagaganap sa microworld, ang equation (1) ay maaaring gawing simple sa pamamagitan ng pag-aalis ng dependence ng Ψ sa oras, i.e. hanapin ang Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado - mga estado na may mga nakapirming halaga ng enerhiya. Posible ito kung ang patlang ng puwersa kung saan gumagalaw ang butil ay nakatigil, ibig sabihin, ang pag-andar U = U(x, y,z) ay hindi tahasang umaasa sa oras at may kahulugan ng potensyal na enerhiya. Sa kasong ito, ang solusyon sa Schrödinger equation ay maaaring katawanin sa anyo
. (2)
Equation (2) tinatawag na Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado.
Kasama sa equation na ito ang kabuuang enerhiya bilang isang parameter E mga particle. Sa teorya ng mga differential equation, napatunayan na ang mga naturang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, kung saan ang mga solusyon na may pisikal na kahulugan ay pinili sa pamamagitan ng pagpapataw ng mga kundisyon sa hangganan. Para sa Schrödinger equation ang mga ganitong kondisyon ay mga kondisyon para sa regularidad ng mga function ng wave: Ang mga bagong function ay dapat na may hangganan, hindi malabo at tuluy-tuloy kasama ng kanilang mga unang derivatives.
Kaya, ang mga solusyon lamang na ipinahayag ng mga regular na function Ψ ang may tunay na pisikal na kahulugan. Ngunit ang mga regular na solusyon ay hindi nagaganap para sa anumang mga halaga ng parameter E, ngunit para lamang sa isang tiyak na hanay ng mga ito, katangian ng isang ibinigay na gawain. Ang mga halaga ng enerhiya na ito ay tinatawag na eigenvalues . Ang mga solusyon na tumutugma sa mga eigenvalue ng enerhiya ay tinatawag na eigenfunctions . Eigenvalues E maaaring bumuo ng alinman sa tuloy-tuloy o discrete na serye. Sa unang kaso, nagsasalita sila ng isang tuluy-tuloy, o solid, spectrum, sa pangalawa - ng isang discrete spectrum.
Particle sa isang one-dimensional na parihabang "potensyal na balon"na may walang katapusang mataas na "pader"
Isagawa natin pagsusuri ng husay mga solusyon ng Schrödinger equation bilang inilapat sa isang particle sa isang one-dimensional na parihabang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader". Ang nasabing "butas" ay inilalarawan ng potensyal na enerhiya ng anyo (para sa pagiging simple, ipinapalagay namin na ang butil ay gumagalaw sa kahabaan ng axis. X)
saan l ay ang lapad ng "butas", at ang enerhiya ay binibilang mula sa ibaba nito (Larawan 2).
Ang Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado sa kaso ng isang one-dimensional na problema ay isusulat sa form:
. (1)
Ayon sa mga kondisyon ng problema (walang hanggan na mataas na "mga pader"), ang butil ay hindi tumagos sa kabila ng "butas", samakatuwid ang posibilidad ng pagtuklas nito (at, dahil dito, ang pag-andar ng alon) sa labas ng "butas" ay zero. Sa mga hangganan ng "hukay" (sa X= 0 at x = 1) ang tuluy-tuloy na pag-andar ng alon ay dapat ding maglaho.
Samakatuwid, ang mga kundisyon ng hangganan sa kasong ito ay may anyo:
Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)
Sa loob ng “hukay” (0 ≤ X≤ 0) ang Schrödinger equation (1) ay mababawasan sa equation:
o 
. (3)
saan k 2 = 2mE / ? 2.(4)
Pangkalahatang solusyon ng differential equation (3):
Ψ ( x) = A kasalanan kx + B cos kx.
Dahil ayon sa (2) Ψ (0) = 0, pagkatapos ay B = 0. Pagkatapos
Ψ ( x) = A kasalanan kx. (5)
Kondisyon Ψ ( l) = A kasalanan kl= 0 (2) ay isinasagawa lamang kapag kl = nπ, Saan n- mga integer, ibig sabihin. kailangan yan
k = nπ/l. (6)
Mula sa mga expression (4) at (6) sumusunod na:
(n = 1, 2, 3,…), (7)
ibig sabihin, ang nakatigil na Schrödinger equation, na naglalarawan sa paggalaw ng isang particle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader," ay nasiyahan lamang para sa mga eigenvalues E p, depende sa isang integer P. Samakatuwid, ang enerhiya E p ang mga particle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay tumatanggap lamang ilang mga discrete value, ibig sabihin, quantized.
Quantized na halaga ng enerhiya E p ay tinatawag mga antas ng enerhiya at ang numero P, na tumutukoy sa mga antas ng enerhiya ng isang particle ay tinatawag pangunahing quantum number. Kaya, ang isang microparticle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay maaari lamang sa isang tiyak na antas ng enerhiya. E p, o, gaya ng sinasabi nila, ang particle ay nasa quantum state P.
Pinapalitan sa (5) ang halaga k mula sa (6), nakita namin ang eigenfunctions:
.
Constant ng integration A nalaman namin mula sa kondisyon ng normalisasyon, na para sa kasong ito ay isusulat sa form:
.
Bilang resulta ng pagsasama, nakukuha namin ang , at ang eigenfunctions ay magkakaroon ng form:
(n = 1, 2, 3,…). (8)
Mga graph ng eigenfunctions (8) na tumutugma sa mga antas ng enerhiya (7) sa n= 1,2,3, ipinapakita sa Fig. 3, A. Sa Fig. 3, b ay nagpapakita ng probability density ng pag-detect ng isang particle sa iba't ibang distansya mula sa "mga pader" ng butas, katumbas ng Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Para sa n = 1, 2 at 3. Ito ay sumusunod mula sa figure na, halimbawa, sa isang quantum state na may n= 2, ang isang butil ay hindi maaaring nasa gitna ng "butas", habang madalas na maaari itong nasa kaliwa at tamang bahagi. Ang pag-uugali na ito ng particle ay nagpapahiwatig na ang mga konsepto ng mga tilapon ng particle sa quantum mechanics ay hindi mapanghawakan.
Mula sa expression (7) sumusunod na ang pagitan ng enerhiya sa pagitan ng dalawang magkatabing antas ay katumbas ng:
Halimbawa, para sa isang elektron na may mga sukat ng balon l= 10 -1 m (mga libreng electron sa metal) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, ibig sabihin. Ang mga antas ng enerhiya ay matatagpuan nang malapit na ang spectrum ay halos maituturing na tuloy-tuloy. Kung ang mga sukat ng balon ay maihahambing sa mga atomic ( l ≈ 10 -10 m), pagkatapos ay para sa electron Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, ibig sabihin. Malinaw na nakuha ang mga discrete na halaga ng enerhiya (line spectrum).
Kaya, ang paglalapat ng Schrödinger equation sa isang particle sa isang "potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay humahantong sa quantized na halaga ng enerhiya, habang ang klasikal na mekanika ay hindi nagpapataw ng anumang mga paghihigpit sa enerhiya ng particle na ito.
Bilang karagdagan, ang isang quantum mechanical na pagsasaalang-alang sa problemang ito ay humahantong sa konklusyon na ang isang particle "sa isang potensyal na balon" na may walang katapusang mataas na "mga pader" ay hindi maaaring magkaroon ng enerhiya na mas mababa sa pinakamababang enerhiya na katumbas ng π 2 ? 2 /(2t1 2). Ang pagkakaroon ng nonzero na minimum na enerhiya ay hindi sinasadya at sumusunod mula sa uncertainty relation. Kawalang-katiyakan ng coordinate Δ X mga particle sa isang malawak na "hukay". l katumbas ng Δ X= l.
Pagkatapos, ayon sa kaugnayan ng kawalan ng katiyakan, ang salpok ay hindi maaaring magkaroon ng eksaktong, sa kasong ito, zero, ang halaga. Kawalang-katiyakan ng momentum Δ R ≈ h/l. Ang pagkalat na ito ng mga halaga ng momentum ay tumutugma sa kinetic energy E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Lahat ng iba pang antas ( p> 1) magkaroon ng enerhiya na lampas sa pinakamababang halaga na ito.
Mula sa mga formula (9) at (7) sumusunod na para sa malalaking quantum number ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P“1, ibig sabihin, ang mga katabing antas ay matatagpuan malapit: mas malapit, mas marami P. Kung P ay napakalaki, pagkatapos ay maaari nating pag-usapan ang tungkol sa halos tuluy-tuloy na pagkakasunud-sunod ng mga antas at katangian na tampok quantum proseso - discreteness - ay smoothed out. Ang resultang ito ay isang espesyal na kaso ng prinsipyo ng pagsusulatan ni Bohr (1923), ayon sa kung saan ang mga batas ng quantum mechanics ay dapat malalaking halaga ang mga quantum number ay nagiging mga batas ng classical physics.
