ذهب ثلاثة أطفال إلى الغابة لقطف التوت. عثرت الابنة الكبرى على 18 حبة توت، والوسطى - 15، و الأخ الأصغر- 3 حبات توت (انظر الشكل 1). لقد أحضروا التوت إلى أمي التي قررت تقسيم التوت بالتساوي. كم عدد التوت الذي حصل عليه كل طفل؟

أرز. 1. رسم توضيحي للمشكلة

حل

(ياج) - جمع الأطفال كل شيء

2) تقسيم المجموعالتوت لكل عدد من الأطفال:

(ياج.) ذهب إلى كل طفل

إجابة: سيحصل كل طفل على 12 حبة توت.

في المشكلة الأولى، الرقم الذي تم الحصول عليه في الإجابة هو الوسط الحسابي.

المتوسط ​​الحسابيعدة أرقام هي حاصل قسمة مجموع هذه الأرقام على عددها.

مثال 1

لدينا رقمان: ١٠ و١٢. أوجد الوسط الحسابي لهما.

حل

1) لنحدد مجموع هذه الأرقام: .

2) عدد هذه الأرقام هو 2 ، وبالتالي فإن الوسط الحسابي لهذه الأرقام هو : .

إجابة: متوسط الأرقام الحسابية 10 و 12 هما الرقم 11.

مثال 2

لدينا خمسة أرقام: 1، 2، 3، 4، 5. أوجد وسطها الحسابي.

حل

1) مجموع هذه الأعداد يساوي : .

2) بحكم التعريف، الوسط الحسابي هو حاصل قسمة مجموع الأرقام على عددها. لدينا خمسة أرقام، وبالتالي فإن الوسط الحسابي هو:

إجابة: الوسط الحسابي للبيانات في حالة الأرقام هو 3.

بالإضافة إلى أنه يقترح باستمرار العثور عليه في الدروس، فإن إيجاد الوسط الحسابي مفيد جداً في الحياة اليومية. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد الذهاب في عطلة إلى اليونان. لاختيار الملابس المناسبة، ننظر إلى درجة الحرارة في هذا البلد في الوقت الحالي. لكننا لن نعرف صورة الطقس العامة. ولذلك فمن الضروري معرفة درجة حرارة الهواء في اليونان مثلاً لمدة أسبوع، وإيجاد المتوسط ​​الحسابي لدرجات الحرارة هذه.

مثال 3

درجة الحرارة في اليونان لهذا الأسبوع: الاثنين - ; يوم الثلاثاء - ؛ الأربعاء - ؛ يوم الخميس - ؛ جمعة - ؛ السبت - ؛ الأحد - . احسب متوسط ​​درجة الحرارة لهذا الأسبوع.

حل

1) لنحسب مجموع درجات الحرارة : .

2) قسمة المبلغ الناتج على عدد الأيام : .

إجابة: متوسط ​​درجة الحرارة لهذا الأسبوع حوالي.

وقد تكون القدرة على إيجاد الوسط الحسابي ضرورية أيضًا لتحديد متوسط ​​أعمار اللاعبين في فريق كرة القدم، أي من أجل تحديد ما إذا كان الفريق يتمتع بالخبرة أم لا. من الضروري جمع أعمار جميع اللاعبين وتقسيمهم على عددهم.

المشكلة 2

كان التاجر يبيع التفاح . في البداية باعها بسعر 85 روبل لكل 1 كجم. لذلك باع 12 كجم. ثم خفض السعر إلى 65 روبل وباع الـ 4 كجم المتبقية من التفاح. ما هو متوسط ​​سعر التفاح؟

حل

1) دعونا نحسب المبلغ الإجمالي الذي كسبه التاجر. باع 12 كيلوجرامًا بسعر 85 روبل لكل 1 كجم: (فرك.).

باع 4 كيلوغرامات بسعر 65 روبل لكل 1 كجم: (روبل).

لذلك فإن المبلغ الإجمالي للأموال المكتسبة يساوي: (فرك).

2) الوزن الإجمالي للتفاح المباع يساوي : .

3) اقسم المبلغ المالي المستلم على الوزن الإجمالي للتفاح المباع واحصل على متوسط ​​سعر 1 كجم من التفاح: (روبل).

إجابة: متوسط ​​سعر 1 كجم من التفاح المباع هو 80 روبل.

ويساعد الوسط الحسابي في تقييم البيانات ككل، دون أخذ كل قيمة على حدة.

ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا استخدام مفهوم الوسط الحسابي.

مثال 4

أطلق مطلق النار طلقتين على الهدف (انظر الشكل 2): في المرة الأولى أصاب الهدف على مسافة متر واحد، وفي المرة الثانية أصابه على مسافة متر واحد أدناه. سيظهر المتوسط ​​الحسابي أنه أصاب المركز بالضبط، رغم أنه أخطأ في المرتين.

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

تعرفنا في هذا الدرس على مفهوم الوسط الحسابي. لقد تعلمنا تعريف هذا المفهوم، وتعلمنا كيفية حساب الوسط الحسابي لعدة أرقام. لقد تعلمنا أيضا الاستخدام العمليهذا المفهوم.

1. ن.يا. فيلينكين. الرياضيات: كتاب مدرسي. للصف الخامس. تعليم عام uchr. - إد. السابع عشر. - م: منيموسين، 2005.
)
2. كان لدى إيغور معه 45 روبلًا، وأندريه 28 روبلًا، ودينيس 17 روبلًا.
3. بكل أموالهم اشتروا 3 تذاكر سينما. كم تكلفة تذكرة واحدة؟

تم تضمين موضوع الوسط الحسابي والوسط الهندسي في برنامج الرياضيات للصفوف 6-7. نظرًا لأن الفقرة سهلة الفهم، فقد تم تجاوزها بسرعة، وبحلول نهاية العام الدراسي، نسيها الطلاب. ولكن هناك حاجة إلى معرفة الإحصاءات الأساسية اجتياز امتحان الدولة الموحدة، وأيضا ل الامتحانات الدوليةقعد. وفي الحياة اليومية، لا يضر التفكير التحليلي المتطور أبدًا.

كيفية حساب الوسط الحسابي والوسط الهندسي للأرقام

لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 11 و4 و3. الوسط الحسابي هو مجموع كل الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام المعطاة. أي أنه في حالة الأرقام 11، 4، 3 فإن الجواب سيكون 6. كيف تحصل على 6؟

الحل: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

يجب أن يحتوي المقام على رقم يساوي عدد الأرقام التي يجب العثور على متوسطها. المجموع يقبل القسمة على 3، لأن هناك ثلاثة حدود.

والآن علينا إيجاد الوسط الهندسي. لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 4 و2 و8.

المتوسط ​​الهندسي للأرقام هو حاصل ضرب جميع الأرقام المعطاة، الموجودة تحت الجذر بقوة تساوي عدد الأرقام المعطاة، أي أنه في حالة الأعداد 4 و2 و8، ستكون الإجابة 4. وإليك الطريقة اتضح أنه:

الحل: ∛(4 × 2 × 8) = 4

في كلا الخيارين، حصلنا على إجابات كاملة، حيث تم أخذ أرقام خاصة على سبيل المثال. هذا لايحصل غالبا. في معظم الحالات، يجب تقريب الإجابة أو تركها في الجذر. على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام 11 و7 و20، الوسط الحسابي هو ≈ 12.67، والوسط الهندسي هو ∛1540. وبالنسبة للرقمين 6 و5، ستكون الإجابات 5.5 و√30 على التوالي.

هل يمكن أن يصبح الوسط الحسابي مساوياً للوسط الهندسي؟

بالطبع يمكن. ولكن في حالتين فقط. إذا كانت هناك سلسلة من الأرقام تتكون من الآحاد أو الأصفار فقط. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الإجابة لا تعتمد على عددهم.

البرهان بالوحدات: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (الوسط الحسابي).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(الوسط الهندسي).

البرهان بالأصفار: (0 + 0) / 2=0 (الوسط الحسابي).

√(0 × 0) = 0 (الوسط الهندسي).

لا يوجد خيار آخر ولا يمكن أن يكون.

الأهم من ذلك كله في مكافئ. ومن الناحية العملية، علينا استخدام الوسط الحسابي، والذي يمكن حسابه على أنه الوسط الحسابي البسيط والمرجح.

المتوسط ​​الحسابي (SA)-نالنوع الأكثر شيوعا من المتوسط. يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم الخاصية المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (إجمالي) أحجام ذات خصائص مختلفة، وهذا يحدد نطاق تطبيق SA ويفسر انتشاره كمؤشر عام، على سبيل المثال: صندوق الرواتب العام هو مجموع رواتب جميع الموظفين.

لحساب SA، تحتاج إلى تقسيم مجموع كل قيم الميزات على عددها.يتم استخدام SA في شكلين.

دعونا نفكر أولاً في المتوسط ​​الحسابي البسيط.

1-CA بسيط (الأولي، النموذج التعريفي) يساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للخاصية التي يتم حساب متوسطها، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يستخدم عندما تكون هناك قيم فهرس غير مجمعة للخاصية):

يمكن تعميم الحسابات التي تم إجراؤها في الصيغة التالية:

(1)

أين - القيمة المتوسطة للخاصية المتغيرة، أي المتوسط ​​الحسابي البسيط؛

تعني الجمع، أي إضافة الخصائص الفردية؛

س- القيم الفردية ذات الخصائص المتغيرة، والتي تسمى المتغيرات؛

ن - عدد وحدات السكان

مثال 1،ويشترط إيجاد متوسط ​​إنتاج عامل واحد (ميكانيكي)، إذا كان معروفاً عدد الأجزاء التي أنتجها كل عامل من 15 عاملاً، أي. نظرا لسلسلة من الصناعات. قيم السمات، أجهزة الكمبيوتر: 21؛ 20؛ 20؛ 19؛ 21؛ 19؛ 18؛ 22؛ 19؛ 20؛ 21؛ 20؛ 18؛ 19؛ 20.

يتم حساب SA البسيط باستخدام الصيغة (1)، أجهزة الكمبيوتر:

مثال2. لنحسب SA بناءً على البيانات الشرطية لـ 20 متجرًا مدرجًا في الشركة التجارية (الجدول 1). الجدول 1

توزيع مخازن الشركة التجارية "فيسنا" حسب مساحة المبيعات بالمتر المربع م

رقم المتجر.		رقم المتجر.

لحساب متوسط ​​مساحة المتجر ( ) من الضروري جمع مساحات جميع المخازن وتقسيم النتيجة الناتجة على عدد المخازن:

وبالتالي، يبلغ متوسط ​​مساحة المتجر لهذه المجموعة من مؤسسات البيع بالتجزئة 71 مترًا مربعًا.

ولذلك، لتحديد SA بسيط، فأنت بحاجة إلى مجموع كل القيم من هذه الخاصيةمقسوما على عدد الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية.

2

أين F 1 , F 2 , … ,F ن – الوزن (تكرار تكرار العلامات المتطابقة)؛

- مجموع منتجات حجم الميزات وتردداتها؛

– إجمالي عدد الوحدات السكانية.

- SA مرجح - معوسط الخيارات التي تتكرر عدة مرات، أو كما يقولون، لها أوزان مختلفة. الأوزان هي عدد الوحدات الموجودة مجموعات مختلفةالمجاميع (يتم دمج الخيارات المتطابقة في مجموعة). SA مرجح – متوسط ​​القيم المجمعة س 1 , س 2 , .., سن، – محسوب: (2)

أين X- خيارات؛

F- التردد (الوزن).

SA المرجح هو حاصل قسمة مجموع منتجات الخيارات والترددات المقابلة لها على مجموع جميع الترددات. الترددات ( F) التي تظهر في صيغة SA تسمى عادةً مقاييسونتيجة لذلك يسمى SA المحسوب مع الأوزان مرجحًا.

سنوضح تقنية حساب SA المرجح باستخدام المثال 1. للقيام بذلك، سنقوم بتجميع البيانات الأولية ووضعها في الجدول.

يتم تحديد متوسط ​​البيانات المجمعة على النحو التالي: أولا، يتم ضرب الخيارات في التكرارات، ثم يتم إضافة المنتجات وتقسيم المجموع الناتج على مجموع التكرارات.

وفقًا للصيغة (2)، يكون SA الموزون متساويًا، قطعة:

توزيع العمال لإنتاج قطع الغيار

ص

يمكن دمج البيانات المقدمة في المثال السابق 2 في مجموعات متجانسة، والتي يتم عرضها في الجدول. طاولة

توزيع مخازن فيسنا حسب منطقة المبيعات بالمتر المربع م

وهكذا كانت النتيجة واحدة. ومع ذلك، سيكون هذا بالفعل قيمة متوسطة حسابية مرجحة.

في المثال السابق قمنا بحساب المتوسط ​​الحسابي بشرط معرفة التكرارات المطلقة (عدد المخازن). ومع ذلك، في عدد من الحالات، تكون التكرارات المطلقة غائبة، ولكن التكرارات النسبية معروفة، أو كما يطلق عليها عادة، الترددات التي تظهر النسبة أونسبة الترددات في المجموعة بأكملها.

عند حساب الاستخدام المرجح لـ SA التردداتيسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية عندما يتم التعبير عن التردد بأرقام كبيرة متعددة الأرقام. يتم الحساب بنفس الطريقة، ومع ذلك، نظرًا لزيادة القيمة المتوسطة بمقدار 100 مرة، يجب تقسيم النتيجة على 100.

عندها ستبدو صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح كما يلي:

أين د- تكرار، أي. حصة كل تردد في المجموع الكلي لجميع الترددات.

(3)

في مثالنا 2، نقوم أولاً بتحديد حصة المتاجر حسب المجموعة في إجمالي عدد متاجر شركة Vesna. لذلك، بالنسبة للمجموعة الأولى فإن الثقل النوعي يتوافق مع 10٪
. نحصل على البيانات التالية الجدول 3

) وعينة   يعني (ق).

يوتيوب الموسوعي

• 1 / 5

  دعونا نشير إلى مجموعة البيانات X = (س 1 , س 2 , …, س ن) ، تتم الإشارة عادةً إلى متوسط ​​العينة بواسطة شريط أفقي فوق المتغير (يُنطق " سمع خط").

  يُستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد القيمة المتوسطة له، μ هو المتوسط ​​الاحتماليأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا مجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الوسط الاحتمالي μ لأي عينة س أنامن هذه المجموعة μ = E( س أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.

  في الممارسة العملية، الفرق بين μ و س ¯ (\displaystyle (\bar (x)))هو أن μ هو متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية عينة بدلاً من المجتمع بأكمله. وبالتالي، إذا كانت العينة عشوائية (من حيث نظرية الاحتمالات)، إذن س ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(ولكن ليس μ) يمكن معاملتها كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة (التوزيع الاحتمالي للمتوسط).

  ويتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  أمثلة

  • بالنسبة لثلاثة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 3:
  س 1 + س 2 + س 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • بالنسبة لأربعة أرقام، تحتاج إلى جمعها وتقسيمها على 4:
  س 1 + س 2 + س 3 + س 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  أو بشكل أبسط 5+5=10، 10:2. لأننا كنا نضيف رقمين، وهو ما يعني عدد الأرقام التي نضيفها، فإننا نقسمها على هذا العدد.

  متغير عشوائي مستمر

  و (خ) ¯ [ أ ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) و (خ) دكس)

  بعض مشاكل استخدام المتوسط

  عدم وجود متانة

  على الرغم من أن المتوسطات الحسابية تستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية، إلا أن هذا المفهوم ليس إحصائية قوية، مما يعني أن المتوسط ​​الحسابي يتأثر بشدة بـ "الانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط"، وقد تصف قيم الوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال، الوسيط) بشكل أفضل الوسط المركزي نزعة.

  والمثال الكلاسيكي هو حساب متوسط ​​الدخل. من الممكن أن يساء تفسير المتوسط ​​الحسابي باعتباره متوسطًا، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل الأعلى أكبر من العدد الفعلي. يتم تفسير الدخل "المتوسط" على أنه يعني أن معظم الناس لديهم دخل حول هذا الرقم. وهذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط ​​الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس، حيث أن الدخل المرتفع مع انحراف كبير عن المتوسط ​​يجعل المتوسط ​​الحسابي منحرفا للغاية (على النقيض من متوسط ​​الدخل عند المتوسط). "يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل المتوسط ​​(ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص القريبين من الدخل النموذجي). ومع ذلك، إذا أخذت مفهومي "المتوسط" و"معظم الناس" باستخفاف، فقد تتوصل إلى استنتاج غير صحيح مفاده أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هم عليه في الواقع. على سبيل المثال، فإن تقرير "متوسط" صافي الدخل في المدينة المنورة بواشنطن، والذي يتم حسابه على أنه المتوسط ​​الحسابي لجميع صافي الدخل السنوي للمقيمين، سوف يسفر بشكل مدهش عن نتائج رقم ضخمبسبب بيل جيتس. النظر في العينة (1، 2، 2، 2، 3، 9). المتوسط ​​الحسابي هو 3.17، لكن خمس من أصل ست قيم أقل من هذا المتوسط.

  الفائدة المركبة

  إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الوسط الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.

  على سبيل المثال، إذا انخفض السهم بنسبة 10% في السنة الأولى وارتفع بنسبة 30% في السنة الثانية، فمن غير الصحيح حساب الزيادة "المتوسطة" خلال هذين العامين بالمتوسط ​​الحسابي (-10% + 30%) / 2 = 10%؛ المتوسط ​​الصحيح في هذه الحالة هو معدل النمو السنوي المركب الذي يعطي معدل نمو سنوي حوالي 8.16653826392% ≈ 8.2% فقط.

  والسبب في ذلك هو أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30% هي 30%. من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم عند 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10%، فإن قيمته تبلغ 27 دولارًا في بداية السنة الثانية. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط ​​الحسابي لهذا النمو هو 10%، ولكن بما أن السهم ارتفع بمقدار 5.1 دولار فقط على مدار عامين، فإن متوسط ​​النمو البالغ 8.2% يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:

  [30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا]. إذا استخدمنا المتوسط ​​بنفس الطريقة القيمة الحسابية 10%، لن نحصل على القيمة الفعلية: [30 دولارًا (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولارًا].

  الفائدة المركبة في نهاية السنتين: 90% * 130% = 117% أي إجمالي الزيادة 17%، ومتوسط ​​الفائدة المركبة السنوية 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\حوالي 108.2\%)أي بمتوسط ​​زيادة سنوية 8.2%، وهذا الرقم غير صحيح لسببين.

  سيتم إزاحة القيمة المتوسطة للمتغير الدوري المحسوب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط ​​الحقيقي نحو منتصف النطاق الرقمي. ولهذا السبب، يتم حساب المتوسط ​​بطريقة مختلفة، وهي الرقم ذو التباين الأصغر ( نقطة المركز). أيضًا، بدلاً من الطرح، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال، المسافة المعيارية بين 1° و359° هي 2°، وليس 358° (على الدائرة بين 359° و360°==0° - درجة واحدة، بين 0° و1° - أيضًا 1°، إجمالاً - 2 درجة).