لبعض الوقت، توقفت قاعدة بيانات شهادات TheBat المضمنة لـ SSL عن العمل بشكل صحيح (ليس من الواضح السبب).

عند التحقق من المنشور يظهر خطأ:

شهادة CA غير معروفة
لم يقدم الخادم شهادة جذر في الجلسة ولم يتم العثور على شهادة الجذر المقابلة في دفتر العناوين.
لا يمكن أن يكون هذا الاتصال سريا. لو سمحت
اتصل بمسؤول الخادم الخاص بك.

ويُعرض عليك اختيار الإجابات - نعم / لا. وهكذا في كل مرة تقوم فيها بإزالة البريد.

حل

في هذه الحالة، تحتاج إلى استبدال معيار تنفيذ S/MIME وTLS بـ Microsoft CryptoAPI في إعدادات TheBat!

وبما أنني كنت بحاجة إلى دمج كافة الملفات في ملف واحد، فقد قمت أولاً بتحويل كل شيء ملفات الوثيقةإلى ملف pdf واحد (باستخدام برنامج Acrobat)، ثم نقله إلى fb2 من خلال محول عبر الإنترنت. يمكنك أيضًا تحويل الملفات بشكل فردي. يمكن أن تكون التنسيقات بأي شكل من الأشكال (مصدر) - doc، وjpg، وحتى أرشيف مضغوط!

اسم الموقع يتوافق مع الجوهر :) فوتوشوب اون لاين.

تحديث مايو 2015

لقد وجدت موقعًا رائعًا آخر! أكثر ملاءمة وعملية لإنشاء مجموعة مخصصة تمامًا! هذا هو الموقع http://www.fotor.com/ru/collage/. استمتع بها من أجل صحتك. وسأستخدمه بنفسي.

واجهت في حياتي مشكلة إصلاح الموقد الكهربائي. لقد قمت بالفعل بالكثير من الأشياء، وتعلمت الكثير، ولكن بطريقة ما لم يكن لدي أي علاقة بالبلاط. كان من الضروري استبدال جهات الاتصال الخاصة بالمنظمين والشعلات. السؤال المطروح هو كيفية تحديد قطر الموقد على الموقد الكهربائي؟

تبين أن الجواب بسيط. لا تحتاج إلى قياس أي شيء، يمكنك بسهولة تحديد الحجم الذي تحتاجه بالعين المجردة.

أصغر الموقد- هذا 145 ملم (14.5 سم)

الموقد الأوسط- هذا 180 ملم (18 سم).

وأخيرا، الأكثر موقد كبير- 225 ملم (22.5 سم).

يكفي تحديد الحجم بالعين المجردة وفهم القطر الذي تحتاجه للموقد. عندما لم أكن أعرف ذلك، كنت قلقًا بشأن هذه الأبعاد، ولم أكن أعرف كيفية القياس، وأي حافة يجب التنقل فيها، وما إلى ذلك. الآن أنا حكيم :) أتمنى أن أكون قد ساعدتك أيضًا!

في حياتي واجهت مثل هذه المشكلة. أعتقد أنني لست الوحيد.

تتم دراسة الدالة وفق مخطط واضح وتتطلب أن يكون لدى الطالب معرفة قوية بالمفاهيم الرياضية الأساسية مثل مجال التعريف والقيم، واستمرارية الدالة، والخط المقارب، والنقاط القصوى، والتكافؤ، والدورة، وما إلى ذلك . يجب أن يكون الطالب قادرًا على التمييز بين الوظائف بحرية وحل المعادلات التي قد تكون معقدة للغاية في بعض الأحيان.

أي أن هذه المهمة تختبر طبقة كبيرة من المعرفة، وأي فجوة فيها ستصبح عائقًا أمام الحصول على الحل الصحيح. في كثير من الأحيان، تنشأ صعوبات في إنشاء الرسوم البيانية للوظائف. سيلاحظ المعلم هذا الخطأ على الفور ويمكن أن يلحق الضرر بدرجتك بشكل كبير، حتى لو تم تنفيذ كل شيء آخر بشكل صحيح. هنا يمكنك أن تجد مشاكل البحث عن وظيفة على الانترنت: أمثلة دراسية، تنزيل الحلول، طلب الواجبات.

استكشف دالة وارسم رسمًا بيانيًا: أمثلة وحلول عبر الإنترنت

لقد أعددنا لك الكثير من الدراسات الوظيفية الجاهزة، سواء المدفوعة في كتاب الحلول أو المجانية في قسم أمثلة الدراسات الوظيفية. بناءً على هذه المهام التي تم حلها، ستتمكن من التعرف بالتفصيل على منهجية أداء مهام مماثلة وإجراء بحثك عن طريق القياس.

نحن نقدم أمثلة جاهزةدراسة كاملة ورسم الدوال من الأنواع الأكثر شيوعا: متعددو الحدود، كسري، غير عقلاني، الأسي، اللوغاريتمي، الدوال المثلثية. تكون كل مشكلة تم حلها مصحوبة برسم بياني جاهز مع النقاط الرئيسية المميزة والخطوط المقاربة والحد الأقصى والحد الأدنى، ويتم تنفيذ الحل باستخدام خوارزمية لدراسة الوظيفة.

على أية حال، فإن الأمثلة التي تم حلها ستكون ذات فائدة كبيرة لك لأنها تغطي أنواع الوظائف الأكثر شيوعًا. نحن نقدم لك المئات من المشكلات التي تم حلها بالفعل، ولكن، كما تعلم، هناك عدد لا حصر له من الوظائف الرياضية في العالم، والمعلمون خبراء رائعون في اختراع المزيد والمزيد من المهام الصعبة للطلاب الفقراء. لذا أيها الطلاب الأعزاء، المساعدة المؤهلة لن تؤذيكم.

حل مشاكل البحث عن وظيفة مخصصة

في هذه الحالة، سيقدم لك شركاؤنا خدمة أخرى - بحث كاملوظائف على الانترنتلكي يطلب. سيتم إكمال المهمة لك وفقًا لجميع متطلبات الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات، الأمر الذي سيسعد معلمك كثيرًا.

سنجري لك دراسة كاملة للدالة: سنجد مجال التعريف ومجال القيم، ونفحص الاستمرارية والانقطاع، ونحقق التكافؤ، ونتحقق من دورية وظيفتك، ونجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات . وبالطبع، نستخدم حساب التفاضل والتكامل: سنجد الخطوط المقاربة، ونحسب النقاط القصوى، ونقاط الانعطاف، ونبني الرسم البياني نفسه.

كيفية دراسة وظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها؟

يبدو أنني بدأت أفهم الوجه الروحي الثاقب لزعيم البروليتاريا العالمية، مؤلف الأعمال المجمعة في 55 مجلدا... بدأت الرحلة الطويلة بالمعلومات الأساسية عنها الوظائف والرسوم البيانيةوالآن العمل على موضوع كثيف العمالة ينتهي بنتيجة منطقية - مقال حول دراسة كاملة للوظيفة. تمت صياغة المهمة التي طال انتظارها على النحو التالي:

دراسة دالة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل وبناء الرسم البياني لها بناء على نتائج الدراسة

أو باختصار: افحص الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

لماذا الاستكشاف؟في الحالات البسيطة لن يكون من الصعب علينا التعامل معها وظائف أولية، ارسم الرسم البياني الذي تم الحصول عليه باستخدام التحولات الهندسية الأوليةوما إلى ذلك وهلم جرا. ومع ذلك، خصائص و الصور الرسوميةأكثر وظائف معقدةليست واضحة على الإطلاق، ولهذا السبب هناك حاجة إلى دراسة كاملة.

تم تلخيص الخطوات الرئيسية للحل في المادة المرجعية مخطط دراسة الوظيفة، هذا هو دليلك لهذا القسم. تحتاج الدمى إلى شرح موضوع ما خطوة بخطوة، وبعض القراء لا يعرفون من أين يبدأون أو كيفية تنظيم بحثهم، وقد يهتم الطلاب المتقدمون ببضع نقاط فقط. ولكن أيا كنت عزيزي الزائر، إليك ملخص مقترح مع مؤشرات للدروس المختلفة الموجودة فيه أقصر وقت ممكنسوف يوجهك ويوجهك في اتجاه الاهتمام. الروبوتات تذرف الدموع =) تم وضع الدليل كملف pdf واحتل مكانه الصحيح على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية.

لقد اعتدت على تقسيم بحث الوظيفة إلى 5-6 نقاط:

6) نقاط إضافية ورسم بياني بناءً على نتائج البحث.

فيما يتعلق بالإجراء النهائي، أعتقد أن كل شيء واضح للجميع - سيكون مخيبا للآمال للغاية إذا تم شطبه في غضون ثوان وتم إرجاع المهمة للمراجعة. الرسم الصحيح والدقيق هو النتيجة الرئيسية للحل! فمن المرجح أن "يغطي" الأخطاء التحليلية، في حين أن الجدول الزمني غير الصحيح و/أو الإهمال سوف يسبب مشاكل حتى مع إجراء دراسة مثالية.

تجدر الإشارة إلى أنه في مصادر أخرى، قد يختلف عدد نقاط البحث وترتيب تنفيذها وأسلوب التصميم بشكل كبير عن المخطط الذي اقترحته، ولكنه يكفي في معظم الحالات. تتكون أبسط نسخة من المشكلة من 2-3 مراحل فقط ويتم صياغتها على النحو التالي: "تحقيق الدالة باستخدام المشتق وإنشاء رسم بياني" أو "تحقيق الدالة باستخدام المشتقتين الأولى والثانية، إنشاء رسم بياني".

بطبيعة الحال، إذا كان دليلك يصف خوارزمية أخرى بالتفصيل أو كان معلمك يطلب منك بشدة الالتزام بمحاضراته، فسيتعين عليك إجراء بعض التعديلات على الحل. ليس أكثر صعوبة من استبدال شوكة المنشار بالملعقة.

دعونا نتحقق من الدالة الزوجية/الفردية:

يتبع ذلك رد القالب:
مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

بما أن الدالة مستمرة على ، إذن الخطوط المقاربة الرأسيةمفقود.

لا توجد خطوط تقارب مائلة أيضًا.

ملحوظة : أذكرك أن الأعلى ترتيب النمو، وبالتالي فإن الحد النهائي هو بالضبط " زائدما لا نهاية."

دعنا نكتشف كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

بمعنى آخر، إذا اتجهنا إلى اليمين، فإن الرسم البياني يتجه إلى الأعلى بشكل لا نهائي، وإذا اتجهنا إلى اليسار، فإنه يتجه إلى ما لا نهاية إلى الأسفل. نعم، هناك أيضًا حدان تحت الإدخال الواحد. إذا كنت تواجه صعوبة في فك رموز العلامات، يرجى زيارة الدرس حول وظائف متناهية الصغر.

وبالتالي فإن الوظيفة لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل. وبالنظر إلى أنه ليس لدينا نقاط توقف، يصبح الأمر واضحا نطاق الوظيفة: - أي رقم حقيقي .

تقنية فنية مفيدة

كل مرحلة من المهمة تجلب معلومات جديدةحول الرسم البياني للوظيفةلذلك، أثناء الحل، من الملائم استخدام نوع من التخطيط. لنرسم نظام الإحداثيات الديكارتية على المسودة. ما هو معروف بالفعل على وجه اليقين؟ أولاً، الرسم البياني لا يحتوي على خطوط مقاربة، لذلك ليست هناك حاجة لرسم خطوط مستقيمة. ثانيًا، نحن نعرف كيف تتصرف الدالة عند ما لا نهاية. وفقًا للتحليل، نرسم التقريب الأول:

يرجى ملاحظة أنه بسبب استمراريةتعمل وحقيقة أن الرسم البياني يجب أن يعبر المحور مرة واحدة على الأقل. أو ربما هناك عدة نقاط تقاطع؟

3) أصفار الدالة وفواصل الإشارة الثابتة.

أولاً، دعونا نوجد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الإحداثي. انه سهل. من الضروري حساب قيمة الدالة في:

واحد ونصف فوق مستوى سطح البحر.

ولإيجاد نقاط التقاطع مع المحور (أصفار الدالة) علينا حل المعادلة، وهنا تنتظرنا مفاجأة غير سارة:

هناك عضو حر كامن في النهاية، مما يجعل المهمة أكثر صعوبة.

تحتوي هذه المعادلة على جذر حقيقي واحد على الأقل، وغالبًا ما يكون هذا الجذر غير نسبي. في أسوأ القصص الخيالية، الخنازير الثلاثة الصغيرة تنتظرنا. المعادلة قابلة للحل باستخدام ما يسمى صيغ كاردانولكن الضرر الذي لحق بالورق يمكن مقارنته بالدراسة بأكملها تقريبًا. وفي هذا الصدد، من الحكمة محاولة اختيار واحد على الأقل، سواء شفهيًا أو في مسودة. جميعجذر. دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه الأرقام هي:
- غير مناسب؛
- هنالك!

محظوظ هنا. في حالة الفشل، يمكنك أيضًا الاختبار، وإذا كانت هذه الأرقام غير مناسبة، فأنا أخشى أن فرصة التوصل إلى حل مربح للمعادلة ضئيلة جدًا. ثم من الأفضل تخطي نقطة البحث تمامًا - ربما يصبح شيء ما أكثر وضوحًا في الخطوة الأخيرة، عندما يتم اختراق النقاط الإضافية. وإذا كان الجذر (الجذور) "سيئًا" بشكل واضح، فمن الأفضل أن تظل صامتًا بشكل متواضع بشأن فترات ثبات العلامات وأن ترسم بعناية أكبر.

ومع ذلك، لدينا جذر جميل، لذلك نقسم كثيرة الحدود بدون باقي:

تمت مناقشة خوارزمية قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود بالتفصيل في المثال الأول من الدرس الحدود المعقدة.

مؤخراً الجهه اليسرىالمعادلة الأصلية يتحلل في المنتج:

والآن قليلا عن طريقة صحيةحياة. وأنا بالطبع أفهم ذلك المعادلات التربيعيةتحتاج إلى حل كل يوم، ولكن اليوم سنجري استثناءً: المعادلة له جذرين حقيقيين

دعونا نرسم القيم الموجودة على خط الأعداد و طريقة الفاصلدعونا نحدد علامات الوظيفة:


وهكذا على فترات يقع الجدول الزمني
تحت المحور السيني، وعلى فترات - فوق هذا المحور.

تتيح لنا النتائج تحسين تخطيطنا، ويبدو التقريب الثاني للرسم البياني كما يلي:

برجاء ملاحظة أن الدالة يجب أن يكون لها حد أقصى واحد على الأقل في الفترة، وواحد على الأقل في الفترة. لكننا لا نعرف حتى الآن عدد المرات وأين ومتى سيتم تكرار الجدول الزمني. بالمناسبة، يمكن أن تحتوي الدالة على عدد لا نهائي من العناصر التطرف.

4) تزايد وتناقص وأقصى الدالة.

دعونا نجد النقاط الحرجة:

هذه المعادلة لها جذرين حقيقيين. لنضعها على خط الأعداد ونحدد علامات المشتقة:


وبالتالي تزيد الدالة بمقدار ويتناقص بنسبة .
عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .
عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

الحقائق الراسخة تدفع قالبنا إلى إطار صارم إلى حد ما:

وغني عن القول أن حساب التفاضل والتكامل هو شيء قوي. دعونا أخيرًا نفهم شكل الرسم البياني:

5) التحدب والتقعر ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط الحرجة للمشتق الثاني:

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعر. دعونا نحسب إحداثيات نقطة الانقلاب: .

لقد أصبح كل شيء واضحًا تقريبًا.

6) يبقى العثور على نقاط إضافية ستساعدك على إنشاء رسم بياني وإجراء اختبار ذاتي بدقة أكبر. وفي هذه الحالة فهي قليلة ولكننا لن نهملها:

لنقم بالرسم:

أخضريتم تحديد نقطة الانعطاف، ويتم وضع علامة على النقاط الإضافية بالصلبان. جدول وظيفة مكعبةمتناظر حول نقطة انعطافه، والتي تقع دائمًا في المنتصف بين الحد الأقصى والحد الأدنى.

ومع تقدم المهمة، قدمت ثلاث رسومات مؤقتة افتراضية. في الممارسة العملية، يكفي رسم نظام الإحداثيات، ووضع علامة على النقاط التي تم العثور عليها، وبعد كل نقطة بحث، قم بتقدير الشكل الذي قد يبدو عليه الرسم البياني للوظيفة. لن يكون من الصعب على الطلاب ذوي المستوى الجيد من الإعداد إجراء مثل هذا التحليل في رؤوسهم فقط دون الحاجة إلى مسودة.

لحلها بنفسك:

مثال 2

استكشف الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

كل شيء أسرع وأكثر متعة هنا، عينة تقريبيةالانتهاء في نهاية الدرس.

تكشف دراسة الدوال العقلانية الكسرية العديد من الأسرار:

مثال 3

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة، وبناءً على نتائج الدراسة، قم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

حل: المرحلة الأولى من الدراسة لا تتميز بأي شيء ملحوظ باستثناء وجود ثقب في منطقة التعريف:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله ما عدا النقطة، اِختِصاص: .

مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

يمثل الرسم البياني للدالة فرعين متواصلين يقعان في نصف المستوى الأيسر والأيمن - وربما يكون هذا هو الاستنتاج الأكثر أهمية للنقطة 1.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

أ) باستخدام الحدود من جانب واحد، نقوم بفحص سلوك الدالة بالقرب من نقطة مشبوهة، حيث يجب أن يكون هناك خط مقارب رأسي بوضوح:

في الواقع، تستمر الوظائف فجوة لا نهاية لهاعند هذه النقطة
والخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الرأسيالفنون التصويرية .

ب) دعونا نتحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

نعم، إنه مستقيم الخط المقاربالرسومات إذا .

ليس من المنطقي تحليل النهايات، لأنه من الواضح بالفعل أن الدالة تتضمن خط التقارب المائل لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

النقطة الثانية من الدراسة جلبت الكثير معلومات مهمةحول الوظيفة. لنقم بعمل رسم تقريبي:

الاستنتاج رقم 1 يتعلق بفترات الإشارة الثابتة. عند "ناقص اللانهاية" يقع الرسم البياني للدالة بوضوح أسفل المحور السيني، وعند "زائد اللانهاية" يكون فوق هذا المحور. بالإضافة إلى ذلك، تخبرنا النهايات من جانب واحد أن الدالة على يسار النقطة وعلى يمينها أكبر أيضًا من صفر. يرجى ملاحظة أنه في نصف المستوى الأيسر، يجب أن يعبر الرسم البياني المحور السيني مرة واحدة على الأقل. قد لا يكون هناك أي أصفار للدالة في نصف المستوى الأيمن.

الاستنتاج رقم 2 هو أن الدالة تزداد على يسار النقطة (تنتقل من الأسفل إلى الأعلى). على يمين هذه النقطة، تنخفض الدالة (تنتقل من الأعلى إلى الأسفل). من المؤكد أن الفرع الأيمن من الرسم البياني يجب أن يحتوي على حد أدنى واحد على الأقل. على اليسار، التطرف غير مضمون.

يوفر الاستنتاج رقم 3 معلومات موثوقة حول تقعر الرسم البياني بالقرب من النقطة. لا يمكننا حتى الآن قول أي شيء عن التحدب/التقعر عند اللانهاية، حيث يمكن ضغط الخط باتجاه الخط المقارب له من الأعلى ومن الأسفل. بشكل عام، هناك طريقة تحليلية لمعرفة ذلك في الوقت الحالي، لكن شكل الرسم البياني سيصبح أكثر وضوحًا في مرحلة لاحقة.

لماذا الكثير من الكلمات؟ للتحكم في نقاط البحث اللاحقة وتجنب الأخطاء! يجب ألا تتعارض الحسابات الإضافية مع الاستنتاجات المستخلصة.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة للدالة.

الرسم البياني للدالة لا يتقاطع مع المحور.

باستخدام طريقة الفاصل نحدد العلامات:

، لو ؛
، لو .

نتائج هذه النقطة تتفق تماما مع الاستنتاج رقم 1. بعد كل مرحلة، انظر إلى المسودة، وتحقق من البحث عقليًا وأكمل الرسم البياني للوظيفة.

في المثال قيد النظر، يتم تقسيم البسط حدًا تلو الآخر على المقام، وهو أمر مفيد جدًا للتمايز:

في الواقع، لقد تم ذلك بالفعل عند العثور على الخطوط المقاربة.

- نقطة حرجة.

دعونا نحدد العلامات:

يزيد بنسبة ويتناقص بنسبة

عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

كما لم تكن هناك أي تناقضات مع الاستنتاج رقم 2، وعلى الأرجح أننا نسير على الطريق الصحيح.

وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة مقعر على كامل مجال التعريف.

رائع - ولست بحاجة إلى رسم أي شيء.

لا توجد نقاط انعطاف.

يتوافق التقعر مع الاستنتاج رقم 3، علاوة على ذلك، فهو يشير إلى أنه عند اللانهاية (هناك وهناك) يوجد الرسم البياني للدالة أعلىخط التقارب المائل.

6) سنثبت المهمة بضمير حي بنقاط إضافية. هذا هو المكان الذي سيتعين علينا أن نعمل فيه بجد، لأننا نعرف نقطتين فقط من البحث.

والصورة التي ربما تخيلها الكثير من الناس منذ زمن طويل:

أثناء تنفيذ المهمة، تحتاج إلى التأكد بعناية من عدم وجود تناقضات بين مراحل البحث، ولكن في بعض الأحيان يكون الوضع عاجلاً أو حتى طريق مسدود للغاية. التحليلات "لا تضيف ما يصل" - هذا كل شيء. في هذه الحالة، أوصي بتقنية الطوارئ: العثور على أكبر عدد ممكن من النقاط التي تنتمي إلى الرسم البياني (بقدر ما لدينا من الصبر)، ووضع علامة عليها على المستوى الإحداثي. سيخبرك التحليل الرسومي للقيم الموجودة في معظم الحالات بمكان الحقيقة وأين هو الخطأ. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إنشاء الرسم البياني مسبقًا باستخدام بعض البرامج، على سبيل المثال، في Excel (بالطبع، يتطلب هذا مهارات).

مثال 4

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة وإنشاء رسمها البياني.

هذا مثال لك لحله بنفسك. في ذلك، يتم تعزيز ضبط النفس من خلال تكافؤ الوظيفة - الرسم البياني متماثل حول المحور، وإذا كان هناك شيء في بحثك يتعارض مع هذه الحقيقة، فابحث عن خطأ.

يمكن دراسة الدالة الزوجية أو الفردية فقط في ، ثم استخدام تماثل الرسم البياني. هذا الحل هو الأمثل، ولكن، في رأيي، يبدو غير عادي للغاية. أنا شخصياً أنظر إلى خط الأعداد بأكمله، لكني لا أزال أجد نقاطًا إضافية على اليمين فقط:

مثال 5

إجراء دراسة كاملة للدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

حل:الأمور أصبحت صعبة:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله: .

وهذا يعني أن هذه الدالة فردية، ورسمها البياني متماثل بالنسبة لنقطة الأصل.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

بما أن الدالة مستمرة على ، فلا توجد خطوط مقاربة رأسية

بالنسبة للدالة التي تحتوي على الأس، فهذا أمر نموذجي متفرقدراسة "زائد" و "ناقص اللانهاية"، ومع ذلك، أصبحت حياتنا أسهل بسبب تماثل الرسم البياني - إما أن يكون هناك خط مقارب على اليسار واليمين، أو لا يوجد شيء. لذلك، يمكن كتابة كلا النهايتين اللانهائيتين تحت مدخل واحد. أثناء الحل نستخدم قاعدة لوبيتال:

الخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني عند .

يرجى ملاحظة كيف تجنبت بمكر الخوارزمية الكاملة للعثور على الخط المقارب المائل: الحد قانوني تمامًا ويوضح سلوك الوظيفة عند اللانهاية، وتم اكتشاف الخط المقارب الأفقي "كما لو كان في نفس الوقت".

من الاستمرارية ووجود الخط المقارب الأفقي يترتب على ذلك الدالة يحدها فوقو يحدها أدناه.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة.

وهنا نختصر الحل أيضًا:
الرسم البياني يمر عبر الأصل.

لا توجد نقاط تقاطع أخرى مع محاور الإحداثيات. علاوة على ذلك، فإن فترات ثبات الإشارة واضحة، ولا يلزم رسم المحور: مما يعني أن إشارة الدالة تعتمد فقط على "x":
، لو ؛
، لو .

4) تزايد وتناقص القيم القصوى للدالة.


- نقاط حرجة.

النقاط متناظرة حول الصفر، كما ينبغي أن تكون.

دعونا نحدد علامات المشتق:


تزداد الدالة على فترات وتتناقص على فترات

عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .

بسبب العقار (غرابة الوظيفة) لا يلزم حساب الحد الأدنى:

نظرًا لأن الدالة تتناقص خلال الفترة، فمن الواضح أن الرسم البياني يقع عند "ناقص اللانهاية" تحتالخط المقارب له. خلال الفاصل الزمني، تنخفض الدالة أيضًا، ولكن هنا العكس هو الصحيح - بعد المرور عبر النقطة القصوى، يقترب الخط من المحور من الأعلى.

ويترتب على ما سبق أيضًا أن الرسم البياني للدالة يكون محدبًا عند "ناقص اللانهاية" ومقعرًا عند "زائد اللانهاية".

بعد هذه النقطة من الدراسة تم رسم نطاق القيم الوظيفية:

إذا كان لديك أي سوء فهم لأي نقطة، فإنني أحثك ​​مرة أخرى على رسم محاور إحداثية في دفتر الملاحظات الخاص بك، ومع وجود قلم رصاص في يديك، قم بإعادة تحليل كل نتيجة للمهمة.

5) التحدب، التقعر، مكامن الخلل في الرسم البياني.

- نقاط حرجة.

تم الحفاظ على تماثل النقاط، وعلى الأرجح أننا لسنا مخطئين.

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعرة على .

تم تأكيد التحدب/التقعر في الفترات القصوى.

في الكل نقاط حرجةهناك مكامن الخلل في الجدول الزمني. لنجد إحداثيات نقاط الانعطاف، ونقوم مرة أخرى بتقليل عدد العمليات الحسابية باستخدام غرابة الوظيفة:

ندعوك اليوم لاستكشاف وبناء رسم بياني للدالة معنا. بعد دراسة هذه المقالة بعناية، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة، فهو عمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام ودقة الحسابات. ولتسهيل فهم المادة، سندرس نفس الوظيفة خطوة بخطوة ونشرح جميع أفعالنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والرائع! يذهب!

اِختِصاص

من أجل استكشاف دالة ورسمها بيانيًا، تحتاج إلى معرفة عدة تعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. وهو يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) أثناء التغييرات. تُظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن، y هي دالة للمتغير x، بشرط أن تتوافق كل قيمة للمتغير الثاني مع قيمة واحدة للمتغير الثاني. في هذه الحالة، المتغير y تابع، ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد، تم بناء رسم بياني للدالة. ما هو الرسم البياني للوظيفة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي، حيث تتوافق كل قيمة x مع قيمة y واحدة. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - الخط المستقيم، القطع الزائد، القطع المكافئ، الموجة الجيبية، وما إلى ذلك.

من المستحيل رسم دالة بدون بحث. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث وبناء رسم بياني للدالة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. هذا سيجعل المهمة أسهل بكثير في التعامل معها. الخطة البحثية الأكثر ملاءمة:

1. اِختِصاص.
2. استمرارية.
3. زوجي أو فردي.
4. الدورية.
5. الخطوط المقاربة.
6. أصفار.
7. ثبات الإشارة.
8. زيادة ونقصان.
9. النهايات.
10. التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف، أي الفترات التي توجد فيها وظيفتنا: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). في حالتنا، الدالة موجودة لأي قيم x، أي أن مجال التعريف يساوي R. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي xÎR.

استمرارية

الآن سوف نقوم بدراسة وظيفة الانقطاع. وفي الرياضيات ظهر مصطلح "الاستمرارية" نتيجة لدراسة قوانين الحركة. ما هو لانهائي؟ المكان والزمان وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرات S وt في مسائل الحركة)، ودرجة حرارة جسم ساخن (ماء، مقلاة، مقياس حرارة، إلخ)، خط مستمر (أي خط يمكن رسمها دون رفعها عن الورقة بقلم الرصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر في مرحلة ما. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا لمثل هذا الرسم البياني هو الشكل الجيبي، والذي يمكنك رؤيته في الصورة في هذا القسم. تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

• يتم تعريف الدالة عند نقطة معينة؛
• الحدان الأيمن والأيسر عند نقطة ما متساويان؛
• حد يساوي القيمةوظائف عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل، يُقال أن الوظيفة قد فشلت. والنقاط التي تنقطع عندها الدالة تسمى عادةً نقاط التوقف. مثال على دالة "ستنكسر" عند عرضها بيانياً: y=(x+4)/(x-3). علاوة على ذلك، y غير موجود عند النقطة x = 3 (نظرًا لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي ندرسها (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

حتى، غريب

الآن افحص وظيفة التكافؤ. أولا، القليل من النظرية. الدالة الزوجية هي التي تحقق الشرط f(-x)=f(x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الامثله تشمل:

• الوحدة x (الرسم البياني يشبه داو، منصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني)؛
• x تربيعية (القطع المكافئ)؛
• جيب التمام س (جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية تكون متناظرة عند عرضها بالنسبة إلى المحور الصادي (أي المحور الصادي).

إذن ما الذي يسمى وظيفة غريبة؟ هذه هي الدوال التي تحقق الشرط: f(-x)=-f(x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

• القطع الزائد؛
• القطع المكافئ المكعب؛
• الجيوب الأنفية.
• الظل وما إلى ذلك.

يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متناظرة حول النقطة (0:0)، أي نقطة الأصل. وبناء على ما جاء في هذا القسم من المقال، حتى و وظيفة غريبةيجب أن تمتلك الخاصية: x ينتمي إلى مجموعة التعريفات و-x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تناسب أيًا من الأوصاف. ومن ثم، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بالتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يكون إلى الرسم البياني، أي أن المسافة من نقطة معينة تميل إلى الصفر. في المجموع، هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

• عمودي، أي موازي للمحور y؛
• أفقي، أي موازي للمحور x؛
• يميل.

أما النوع الأول فيجب البحث عن هذه الأسطر في بعض النقاط:

• فجوة؛
• نهايات مجال التعريف.

في حالتنا، الدالة مستمرة، ومجال التعريف يساوي R. وبالتالي، لا توجد خطوط مقاربة رأسية.

يحتوي الرسم البياني للدالة على خط تقارب أفقي، يلبي المتطلبات التالية: إذا كانت x تميل إلى ما لا نهاية أو ناقص ما لا نهاية، وكان الحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال، أ). في هذه الحالة، y=a هو الخط المقارب الأفقي. في الدالة التي ندرسها الخطوط المقاربة الأفقيةلا.

يوجد الخط المقارب المائل فقط في حالة استيفاء شرطين:

• ليم(f(x))/x=k;
• ليم f(x)-kx=b.

ومن ثم يمكن العثور عليه باستخدام الصيغة: y=kx+b. مرة أخرى، في حالتنا لا توجد خطوط تقارب مائلة.

وظيفة الأصفار

والخطوة التالية هي فحص الرسم البياني للدالة للأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط عند دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل عدم المساواة. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام الرموز الرياضية.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الدالة بشكل أكثر دقة. إذا تحدثنا بلغة بسيطة، فإن صفر الدالة هو قيمة المتغير x الذي عنده y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني، فيجب عليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور السيني.

للعثور على أصفار الدالة، عليك حل المعادلة التالية: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. وبعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

ثبات الإشارة

المرحلة التالية من البحث وبناء الدالة (الرسم البياني) هي إيجاد فترات ذات إشارة ثابتة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة موجبة وفي الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة سالبة. ستساعدنا الوظائف الصفرية الموجودة في القسم الأخير على القيام بذلك. لذلك، نحن بحاجة إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة على طوله بالترتيب الصحيح من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفواصل الزمنية الناتجة تحتوي على علامة "+" وأيها تحتوي على علامة "-".

في حالتنا، تأخذ الدالة قيمة موجبة على فترات:

• من 1 إلى 4؛
• من 9 إلى ما لا نهاية.

معنى سلبي:

• من ناقص اللانهاية إلى 1؛
• من 4 إلى 9.

هذا من السهل تحديده. استبدل أي رقم من الفاصل الزمني في الدالة وانظر ما هي العلامة التي تبين أن الإجابة بها (ناقص أو زائد).

زيادة ونقصان الوظائف

من أجل استكشاف وإنشاء دالة، نحتاج إلى معرفة أين سيزداد الرسم البياني (يرتفع على طول محور Oy) وأين سينخفض ​​(يزحف لأسفل على طول المحور y).

تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق مع قيمة أعلىش. أي أن x2 أكبر من x1، وf(x2) أكبر من f(x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا مع دالة متناقصة (كلما زاد x، قل y). لتحديد فترات الزيادة والنقصان، عليك العثور على ما يلي:

• مجال التعريف (لدينا بالفعل)؛
• مشتق (في حالتنا: 1/3(3x^2-28x+49);
• حل المعادلة 1/3(3x^2-28x+49)=0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: الدالة تزداد على الفترات من ناقص ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية، وتتناقص على الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة قيد الدراسة y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) مستمرة وموجودة لأي قيمة للمتغير x. توضح النقطة القصوى الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة معينة. في حالتنا لا يوجد أي شيء، مما يبسط إلى حد كبير مهمة البناء. وبخلاف ذلك، يمكن أيضًا العثور عليها باستخدام الدالة المشتقة. بمجرد العثور عليها، لا تنس وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل استكشاف الدالة y(x). الآن نحن بحاجة للتحقق من التحدب والتقعر. من الصعب جدًا فهم تعريفات هذه المفاهيم، ومن الأفضل تحليل كل شيء باستخدام الأمثلة. للاختبار: تكون الدالة محدبة إذا كانت دالة غير تناقصية. أوافق، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: ص=1/3(6س-28). الآن دعونا نساوي الجانب الأيمنإلى الصفر وحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانقلاب، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من التحدب إلى التقعر أو العكس. في الفترة من ناقص ما لا نهاية إلى 14/3 تكون الدالة محدبة، ومن 14/3 إلى زائد ما لا نهاية تكون مقعرة. ومن المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة الانعطاف على الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة، لا زوايا حادةلا ينبغي أن يكون موجودا.

تحديد النقاط الإضافية

مهمتنا هي التحقيق وبناء رسم بياني للوظيفة. لقد انتهينا من الدراسة، ولم يعد إنشاء رسم بياني للدالة أمرًا صعبًا الآن. للحصول على نسخة أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على المستوى الإحداثي، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال، نأخذ x=3 ونحل المعادلة الناتجة ونجد y=4. أو x=5، وy=-5 وهكذا. يمكنك أن تأخذ العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.

رسم بياني

نحن بحاجة إلى التحقق من الدالة (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة أثناء العمليات الحسابية على المستوى الإحداثي. كل ما يتعين علينا القيام به هو إنشاء رسم بياني، أي ربط جميع النقاط. يجب أن يكون ربط النقاط سلسًا ودقيقًا، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك الزمني مثاليًا.