След като получихме първоначална информация за неравенства с променливи, преминаваме към въпроса за тяхното решаване. Ще анализираме решаването на линейни неравенства с една променлива и всички методи за решаването им с алгоритми и примери. Ще се разглеждат само линейни уравнения с една променлива.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е линейно неравенство?

Първо, трябва да дефинирате линейно уравнение и да разберете неговата стандартна форма и как ще се различава от другите. От училищния курс разбираме, че няма фундаментална разлика между неравенствата, така че е необходимо да се използват няколко определения.

Определение 1

Линейно неравенство с една променлива x е неравенство от формата a · x + b > 0, когато се използва произволен знак за неравенство вместо >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Определение 2

Неравенства a x< c или a · x >c, като x е променлива и a и c са някои числа, се извиква линейни неравенства с една променлива.

Тъй като нищо не се казва за това дали коефициентът може да бъде равен на 0, тогава строго неравенство от формата 0 x > c и 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Разликите им са:

• форма на запис a · x + b > 0 в първата, и a · x > c – във втората;
• допустимост коефициент a да е равен на нула, a ≠ 0 - в първия и a = 0 - във втория.

Смята се, че неравенствата a · x + b > 0 и a · x > c са еквивалентни, тъй като се получават чрез пренасяне на член от една част в друга. Решаването на неравенството 0 x + 5 > 0 ще доведе до факта, че то ще трябва да бъде решено и случаят a = 0 няма да работи.

Определение 3

Смята се, че линейните неравенства в една променлива x са неравенства от формата a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0И a x + b ≥ 0, където a и b са реални числа. Вместо x може да има редовно число.

Въз основа на правилото имаме, че 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 се наричат ​​сводими до линейни.

Как се решава линейно неравенство

Основният начин за решаване на такива неравенства е да се използват еквивалентни трансформации, за да се намерят елементарните неравенства x< p (≤ , >, ≥), p което е определено число, за a ≠ 0, и във формата a< p (≤ , >, ≥) за a = 0.

За да разрешите неравенства в една променлива, можете да използвате метода на интервала или да го представите графично. Всеки от тях може да се използва отделно.

Използване на еквивалентни трансформации

За решаване на линейно неравенство от вида a x + b< 0 (≤ , >, ≥), е необходимо да се приложат еквивалентни трансформации на неравенства. Коефициентът може или не може да бъде нула. Нека разгледаме и двата случая. За да разберете, трябва да се придържате към схема, състояща се от 3 точки: същността на процеса, алгоритъма и самото решение.

Определение 4

Алгоритъм за решаване на линейно неравенство a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за a ≠ 0

• числото b ще бъде преместено на правилната странанеравенства с противоположен знак, което ще позволи да се стигне до еквивалента a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Двете страни на неравенството ще бъдат разделени на число, което не е равно на 0. Освен това, когато a е положителен, знакът остава; когато a е отрицателен, той се променя на противоположния.

Нека разгледаме приложението на този алгоритъмвърху решаване на примери.

Пример 1

Решете неравенството от вида 3 x + 12 ≤ 0.

Решение

Това линейно неравенство има a = 3 и b = 12. Това означава, че коефициентът a на x не е равен на нула. Нека приложим горните алгоритми и да го решим.

Необходимо е да преместим член 12 в друга част от неравенството и да сменим знака пред него. Тогава получаваме неравенство от вида 3 x ≤ − 12. Необходимо е да разделите двете части на 3. Знакът няма да се промени, тъй като 3 е положително число. Получаваме, че (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, което дава резултата x ≤ − 4.

Неравенство от вида x ≤ − 4 е еквивалентно. Тоест решението за 3 x + 12 ≤ 0 е всяко реално число, което е по-малко или равно на 4. Отговорът се записва като неравенство x ≤ − 4 или числов интервал от вида (− ∞, − 4].

Целият алгоритъм, описан по-горе, е написан така:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Отговор: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Посочете всички налични решения на неравенството − 2, 7 · z > 0.

Решение

От условието виждаме, че коефициентът a за z е равен на - 2,7, а b изрично липсва или е равен на нула. Можете да не използвате първата стъпка от алгоритъма, но веднага да преминете към втората.

Разделяме двете страни на уравнението на числото - 2, 7. Тъй като числото е отрицателно, е необходимо да се обърне знакът за неравенство. Тоест, получаваме, че (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ще напишем целия алгоритъм кратка форма:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Отговор: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решете неравенството - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Решение

Според условието виждаме, че е необходимо да се реши неравенството с коефициент a за променливата x, който е равен на - 5, с коефициент b, който съответства на дробта - 15 22. Необходимо е да решите неравенството, като следвате алгоритъма, а именно: преместете - 15 22 в друга част с противоположен знак, разделете двете части на - 5, сменете знака на неравенството:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При последния преход за дясната страна се използва правилото за разделяне на числото с различни знаци 15 22: - 5 = - 15 22: 5, след което извършваме разделянето обикновена дробкъм естественото число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Отговор: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .

Нека разгледаме случая, когато a = 0. Линеен израз на формата a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Всичко се основава на определяне на решението на неравенството. За всяка стойност на x получаваме числено неравенство под формата b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Ще разгледаме всички преценки под формата на алгоритъм за решаване на линейни неравенства 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Определение 5

Числово неравенство от вида b< 0 (≤ , >, ≥) е вярно, тогава първоначалното неравенство има решение за всяка стойност и е невярно, когато първоначалното неравенство няма решения.

Пример 4

Решете неравенството 0 x + 7 > 0.

Решение

Това линейно неравенство 0 x + 7 > 0 може да приеме произволна стойност x. Тогава получаваме неравенство от вида 7 > 0. Последното неравенство се счита за вярно, което означава, че всяко число може да бъде негово решение.

Отговор: интервал (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Намерете решение на неравенството 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Решение

Когато заместваме променливата x на произволно число, получаваме, че неравенството приема формата − 12, 7 ≥ 0. Това е неправилно. Тоест 0 x − 12, 7 ≥ 0 няма решения.

Отговор:няма решения.

Нека разгледаме решаването на линейни неравенства, при които и двата коефициента са равни на нула.

Пример 6

Определете неразрешимото неравенство от 0 x + 0 > 0 и 0 x + 0 ≥ 0.

Решение

Когато заместваме произволно число вместо x, получаваме две неравенства от вида 0 > 0 и 0 ≥ 0. Първото е неправилно. Това означава, че 0 x + 0 > 0 няма решения, а 0 x + 0 ≥ 0 има безкраен брой решения, тоест произволно число.

Отговор: неравенството 0 x + 0 > 0 няма решения, но 0 x + 0 ≥ 0 има решения.

Този методразглеждани в училищен курс по математика. Интервалният метод е в състояние да разреши различни видовенеравенства, също линейни.

Интервалният метод се използва за линейни неравенства, когато стойността на коефициента x не е равна на 0. В противен случай ще трябва да изчислите, като използвате различен метод.

Определение 6

Интервалният метод е:

• въвеждане на функцията y = a · x + b ;
• търсене на нули за разделяне на областта на дефиницията на интервали;
• дефиниране на знаци за техните понятия за интервали.

Нека съставим алгоритъм за решаване на линейни уравнения a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за a ≠ 0, използвайки интервалния метод:

• намиране на нулите на функцията y = a · x + b за решаване на уравнение от вида a · x + b = 0 . Ако a ≠ 0, тогава решението ще бъде единичен корен, който ще приеме обозначението x 0;
• построяване на координатна права с изображение на точка с координата x 0, като при строго неравенство точката се означава с пунктирана точка, при нестрого неравенство – със защрихована;
• определяне на знаците на функцията y = a · x + b на интервали; за това е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точки на интервала;
• решаване на неравенство със знаци > или ≥ на координатната линия, добавяне на засенчване върху положителния интервал,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на линейни неравенства с помощта на интервалния метод.

Пример 6

Решете неравенството − 3 x + 12 > 0.

Решение

От алгоритъма следва, че първо трябва да намерите корена на уравнението − 3 x + 12 = 0. Получаваме, че − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо е да начертаете координатна линия, където маркираме точка 4. Ще бъде пробита, защото неравенството е строго. Разгледайте чертежа по-долу.

Необходимо е да се определят знаците на интервалите. За да го определим в интервала (− ∞, 4), е необходимо да изчислим функцията y = − 3 x + 12 при x = 3. От тук получаваме, че − 3 3 + 12 = 3 > 0. Знакът на интервала е положителен.

Определяме знака от интервала (4, + ∞), след което заместваме стойността x = 5. Имаме, че − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Решаваме неравенството със знака >, като защриховането се извършва върху положителния интервал. Разгледайте чертежа по-долу.

От чертежа става ясно, че търсеното решение има формата (− ∞ , 4) или x< 4 .

Отговор: (− ∞ , 4) или x< 4 .

За да разберете как да изобразите графично, трябва да разгледате пример 4 линейни неравенства: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 и 0, 5 x − 1 ≥ 0. Техните решения ще бъдат стойностите на x< 2 , x ≤ 2 , x >2 и x ≥ 2. За да направим това, нека начертаем линейната функция y = 0, 5 x − 1, показана по-долу.

Това е ясно

Определение 7

• решаване на неравенството 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• решението 0, 5 x − 1 ≤ 0 се счита за интервал, където функцията y = 0, 5 x − 1 е по-ниска от O x или съвпада;
• решението 0, 5 · x − 1 > 0 се счита за интервал, функцията се намира над O x;
• решението 0, 5 · x − 1 ≥ 0 се счита за интервал, където графиката над O x или съвпада.

Смисълът на графичното решаване на неравенства е да се намерят интервалите, които трябва да бъдат изобразени на графиката. В този случай получаваме това лява странаима y = a · x + b, а дясната има y = 0 и съвпада с O x.

Начертава се графиката на функцията y = a x + b:

• при решаване на неравенството a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• при решаване на неравенството a · x + b ≤ 0 се определя интервалът, където графиката е изобразена под оста O x или съвпада;
• при решаване на неравенството a · x + b > 0 се определя интервалът, където графиката е изобразена над O x;
• При решаване на неравенството a · x + b ≥ 0 се определя интервалът, където графиката е над O x или съвпада.

Пример 7

Решете неравенството - 5 · x - 3 > 0 с помощта на графика.

Решение

Необходимо е да се построи графика на линейната функция - 5 · x - 3 > 0. Тази линия намалява, защото коефициентът на x е отрицателен. За да определим координатите на точката на нейното пресичане с O x - 5 · x - 3 > 0, получаваме стойността - 3 5. Нека го изобразим графично.

Решавайки неравенството със знака >, тогава трябва да обърнете внимание на интервала над O x. Нека маркираме необходимата част от самолета в червено и да я получим

Необходимата празнина е част O x червена. Това означава, че отвореният числов лъч - ∞ , - 3 5 ще бъде решение на неравенството. Ако според условието имаме нестрого неравенство, то стойността на точката - 3 5 също би била решение на неравенството. И ще съвпадне с O x.

Отговор: - ∞ , - 3 5 или x< - 3 5 .

Графичното решение се използва, когато лявата страна съответства на функцията y = 0 x + b, тоест y = b. Тогава правата линия ще бъде успоредна на O x или съвпадаща при b = 0. Тези случаи показват, че неравенството може да няма решения или решението може да бъде произволно число.

Пример 8

Определете от неравенствата 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представянето на y = 0 x + 7 е y = 7, тогава ще бъде дадена координатна равнина с права, успоредна на O x и разположена над O x. Така че 0 х + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Графиката на функцията y = 0 x + 0 се счита за y = 0, т.е. правата линия съвпада с O x. Това означава, че неравенството 0 x + 0 ≥ 0 има много решения.

Отговор: Второто неравенство има решение за всяка стойност на x.

Неравенства, които се свеждат до линейни

Решението на неравенствата може да се сведе до решението линейно уравнение, които се наричат ​​неравенства, свеждащи се до линейни.

Тези неравенства бяха разгледани в училищния курс, тъй като бяха специален случай на решаване на неравенства, което доведе до отваряне на скоби и намаляване на подобни термини. Например, помислете, че 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Дадените по-горе неравенства винаги се свеждат до формата на линейно уравнение. След това се отварят скобите и се дават подобни условия и се прехвърлят от различни части, променяйки знака на противоположния.

Когато редуцираме неравенството 5 − 2 x > 0 до линейно, ние го представяме по такъв начин, че да има формата − 2 x + 5 > 0, а за редуциране на второто получаваме, че 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Необходимо е да отворите скобите, да въведете подобни термини, да преместите всички термини в лявата страна и да въведете подобни термини. Изглежда така:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Това води решението до линейно неравенство.

Тези неравенства се считат за линейни, тъй като имат един и същ принцип на решение, след което е възможно да се сведат до елементарни неравенства.

За да се реши този вид неравенство, е необходимо да се сведе до линейно. Трябва да се направи по следния начин:

Определение 9

• отворени скоби;
• събирайте променливи отляво и числа отдясно;
• дайте подобни условия;
• разделете двете страни на коефициента на x.

Пример 9

Решете неравенството 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Решение

Отваряме скобите, след което получаваме неравенство от вида 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. След като намалим подобни членове, имаме, че 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. След като преместим членовете отляво надясно, откриваме, че 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Следователно има неравенство под формата 32 ≤ 0 от това, получено чрез изчисляване на 0 x + 32 ≤ 0. Вижда се, че неравенството е невярно, което означава, че даденото с условие неравенство няма решения.

Отговор: няма решения.

Струва си да се отбележи, че има много други видове неравенства, които могат да бъдат сведени до линейни или неравенства от типа, показан по-горе. Например 5 2 x − 1 ≥ 1 е експоненциално уравнение, което се свежда до решение на линейната форма 2 x − 1 ≥ 0. Тези случаи ще бъдат разгледани при решаване на неравенства от този тип.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Една от темите, които изискват максимално внимание и постоянство от учениците, е решаването на неравенства. Толкова подобни на уравненията и в същото време много различни от тях. Защото решаването им изисква специален подход.

Свойства, които ще са необходими за намиране на отговора

Всички те се използват за замяна на съществуващ запис с еквивалентен. Повечето от тях са подобни на това, което беше в уравненията. Но има и разлики.

• Функция, която е дефинирана в ODZ, или произволно число, може да се добави към двете страни на оригиналното неравенство.
• По същия начин умножението е възможно, но само с положителна функция или число.
• Ако това действие се извършва с отрицателна функция или число, тогава знакът за неравенство трябва да бъде заменен с противоположния.
• Функциите, които не са отрицателни, могат да бъдат повдигнати на положителна степен.

Понякога решаването на неравенства е придружено от действия, които предоставят странични отговори. Те трябва да бъдат изключени чрез сравняване Район ОДЗи много решения.

Използване на метода на интервалите

Същността му е да сведе неравенството до уравнение, в което от дясната страна има нула.

1. Определете областта, в която се намират допустимите стойности на променливите, т.е. ODZ.
2. Преобразувайте неравенството с помощта на математически операции, така че дясната страна да има нула.
3. Заменете знака за неравенство с “=” и решете съответното уравнение.
4. На цифровата ос маркирайте всички отговори, получени по време на решението, както и OD интервалите. В случай на строго неравенство, точките трябва да бъдат начертани като пунктирани. Ако има знак за равенство, те трябва да бъдат боядисани.
5. Определете знака на първоначалната функция на всеки интервал, получен от точките на ODZ и отговорите, които го разделят. Ако знакът на функцията не се променя при преминаване през точка, тогава тя се включва в отговора. В противен случай е изключено.
6. Граничните точки за ODZ трябва да бъдат допълнително проверени и едва тогава да бъдат включени или не в отговора.
7. Полученият отговор трябва да бъде написан под формата на комбинирани набори.

Малко за двойните неравенства

Те използват два знака за неравенство наведнъж. Тоест, някаква функция е ограничена от условия два пъти наведнъж. Такива неравенства се решават като система от две, когато оригиналът е разделен на части. А в интервалния метод са посочени отговорите от решаването на двете уравнения.

За разрешаването им също е допустимо да се използват свойствата, посочени по-горе. С тяхна помощ е удобно да се намали неравенството до нула.

Какво ще кажете за неравенствата, които имат модул?

В този случай решението на неравенствата използва следните свойства и те са валидни за положителна стойност на „a“.

Ако "x" вземе алгебричен израз, тогава следните замени са валидни:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > от a до x< -a или х >а.

Ако неравенствата не са строги, тогава формулите също са правилни, само че в тях освен по-голям или по-малък знак се появява "=".

Как се решава система от неравенства?

Тези знания ще са необходими в случаите, когато се дава такава задача или има запис на двойно неравенство или в записа фигурира модул. В такава ситуация решението ще бъдат стойностите на променливите, които биха задоволили всички неравенства в записа. Ако няма такива числа, системата няма решения.

Планът, според който се извършва решението на системата от неравенства:

• решавайте всеки от тях поотделно;
• изобразяват всички интервали върху числовата ос и определят техните пресечни точки;
• запишете отговора на системата, който ще бъде комбинация от случилото се във втория параграф.

Какво да правим с дробните неравенства?

Тъй като решаването им може да изисква промяна на знака на неравенството, трябва много внимателно и внимателно да следвате всички точки на плана. В противен случай може да получите обратния отговор.

Решаването на дробни неравенства също използва интервалния метод. И планът за действие ще бъде такъв:

• Използвайки описаните свойства, придайте на дроба такава форма, че да остане само нула вдясно от знака.
• Заменете неравенството с “=” и определете точките, в които функцията ще бъде равна на нула.
• Маркирайте ги върху координатната ос. В този случай числата, получени в резултат на изчисления в знаменателя, винаги ще бъдат избити. Всички останали се основават на условието за неравенство.
• Определете интервалите на постоянство на знака.
• В отговор запишете обединението на онези интервали, чийто знак съответства на този в първоначалното неравенство.

Ситуации, когато ирационалността се проявява в неравенството

С други думи, в нотацията има математически корен. От училищния курс по алгебра повечето отзаданията са за корен квадратен, тогава това ще бъде разгледано.

Решението на ирационалните неравенства се свежда до получаване на система от две или три, която ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Примери за решаване на различни видове неравенства

За да добавим яснота към теорията за решаване на неравенства, по-долу са дадени примери.

Първи пример. 2x - 4 > 1 + x

Решение: За да определите ADI, всичко, което трябва да направите, е да разгледате внимателно неравенството. Образува се от линейни функции, следователно дефиниран за всички стойности на променливата.

Сега трябва да извадите (1 + x) от двете страни на неравенството. Оказва се: 2x - 4 - (1 + x) > 0. След отваряне на скобите и задаване на подобни членове неравенството ще приеме следния вид: x - 5 > 0.

Приравнявайки го на нула, е лесно да се намери неговото решение: x = 5.

Сега тази точка с номер 5 трябва да бъде отбелязана на координатния лъч. След това проверете знаците на оригиналната функция. На първия интервал от минус безкрайност до 5 можете да вземете числото 0 и да го замените в неравенството, получено след трансформациите. След изчисления се получава -7 >0. под дъгата на интервала трябва да подпишете знак минус.

На следващия интервал от 5 до безкрайност можете да изберете числото 6. Тогава се оказва, че 1 > 0. Под дъгата има знак „+“. Този втори интервал ще бъде отговорът на неравенството.

Отговор: x се намира в интервала (5; ∞).

Втори пример. Необходимо е да се реши система от две уравнения: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Решение. VA на тези неравенства също лежи в областта на произволни числа, тъй като са дадени линейни функции.

Второто неравенство ще приеме формата на следното уравнение: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. След трансформация: -x - 4 =0. Това създава стойност за променливата, равна на -4.

Тези две числа трябва да бъдат маркирани на оста, изобразяващи интервали. Тъй като неравенството не е строго, всички точки трябва да бъдат защриховани. Първият интервал е от минус безкрайност до -4. Нека бъде избрано числото -5. Първото неравенство ще даде стойност -3, а второто 1. Това означава, че този интервал не е включен в отговора.

Вторият интервал е от -4 до -2. Можете да изберете числото -3 и да го замените и в двете неравенства. В първия и втория стойността е -1. Това означава, че под дъгата "-".

В последния интервал от -2 до безкрайност най-доброто число е нула. Трябва да го замените и да намерите стойностите на неравенствата. Първото от тях дава положително число, а второто - нула. Тази празнина също трябва да бъде изключена от отговора.

От трите интервала само един е решение на неравенството.

Отговор: x принадлежи на [-4; -2].

Трети пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите изчезват. За левия това число ще бъде 2, за десния - 1. Те ​​трябва да бъдат маркирани върху лъча и да се определят интервалите на постоянство на знака.

На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството приема положителни стойности, а функцията от дясната страна приема отрицателни стойности. Под дъгата трябва да напишете два знака „+“ и „-“ един до друг.

Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. Това означава, че има два плюса под дъгата.

Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лява функция- отрицателен, дясно - положителен.

Като вземете предвид получените знаци, трябва да изчислите стойностите на неравенството за всички интервали.

Първото води до следното неравенство: 2 - x > - 2 (x - 1). Минусът преди двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.

След трансформацията неравенството изглежда така: x > 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал ще се отговори само на интервала от 0 до 1.

На втория: 2 - x > 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат следното неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Неговата нула ще бъде x = 4/3. Като се вземе предвид знакът за неравенство, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал се свежда до интервал от 1 до 4/3.

Последното дава следното неравенство: - (2 - x) > 2 (x - 1). Трансформацията му води до следното: -x > 0. Тоест, уравнението е вярно, когато x е по-малко от нула. Това означава, че на търсения интервал неравенството не дава решения.

В първите два интервала граничното число се оказа 1. Трябва да се провери отделно. Тоест, заместете го в първоначалното неравенство. Оказва се: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Преброяването показва, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че единица е включена в отговора.

Отговор: x се намира в интервала (0; 4/3).

Всяко неравенство, което включва функция под корена, се нарича ирационален. Има два вида такива неравенства:

В първия случай коренът по-малко функция g (x), във втория - повече. Ако g(x) - постоянен, неравенството е много опростено. Моля, обърнете внимание: външно тези неравенства са много сходни, но техните схеми за решаване са коренно различни.

Днес ще научим как да решаваме ирационални неравенства от първия тип - те са най-прости и разбираеми. Знакът за неравенство може да бъде строг или нестрог. За тях е вярно следното твърдение:

Теорема. Всяко ирационално неравенство на формата

Еквивалентно на системата от неравенства:

Не е слаб? Нека да разгледаме откъде идва тази система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тук всичко е ясно. Това е първоначалното неравенство на квадрат;
2. f (x) ≥ 0 е ODZ на корена. Нека ви напомня: аритметика Корен квадратенсъществува само от неотрицателничисла;
3. g(x) ≥ 0 е диапазонът на корена. Като повдигаме неравенството на квадрат, изгаряме негативите. В резултат на това могат да се появят допълнителни корени. Неравенството g(x) ≥ 0 ги прекъсва.

Много ученици се „закачат“ за първото неравенство на системата: f (x) ≤ g 2 (x) - и напълно забравят другите две. Резултатът е предвидим: грешно решение, загубени точки.

Тъй като ирационалните неравенства са доста сложна тема, нека да разгледаме 4 примера наведнъж. От основни до наистина сложни. Всички задачи се вземат от приемните изпити на Московския държавен университет. М. В. Ломоносов.

Примери за решаване на проблеми

Задача. Решете неравенството:

Пред нас е класика ирационално неравенство: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Ние имаме:

От трите неравенства в края на решението останаха само две. Тъй като винаги е в сила неравенството 2 ≥ 0. Нека пресечем останалите неравенства:

И така, x ∈ [−1,5; 0,5]. Всички точки са защриховани, защото неравенствата не са строги.

Задача. Решете неравенството:

Прилагаме теоремата:

Нека решим първото неравенство. За да направим това, ще разкрием квадрата на разликата. Ние имаме:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Сега нека решим второто неравенство. И там квадратен тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)