U “starim” udžbenicima naziva se i “lančano” pravilo. Pa ako y = f (u) i u = φ (x), to je

y = f (φ (x))

složeno – složena funkcija (kompozicija funkcija) zatim

Gdje , nakon izračuna se razmatra na u = φ (x).

Imajte na umu da smo ovdje uzeli "različite" kompozicije iz istih funkcija, a rezultat diferencijacije prirodno se pokazao ovise o redoslijedu "miješanja".

Pravilo lanca se prirodno proteže na sastave od tri ili više funkcija. U ovom slučaju postojat će tri ili više "karika" u "lancu" koji čini derivat. Evo analogije s množenjem: "imamo" tablicu izvodnica; "tamo" - tablica množenja; “kod nas” je lančano pravilo, a “tamo” je pravilo množenja u “stupcu”. Prilikom izračunavanja takvih "složenih" derivata, naravno, ne uvode se nikakvi pomoćni argumenti (u¸v, itd.), ali, nakon što su sami primijetili broj i redoslijed funkcija uključenih u sastav, odgovarajuće veze su "nizane" naznačenim redoslijedom.

. Ovdje se s “x” za dobivanje vrijednosti “y” izvodi pet operacija, odnosno postoji sastav od pet funkcija: “vanjska” (zadnja od njih) - eksponencijalna - e  ; zatim obrnutim redoslijedom, snaga. (♦) 2 ; trigonometrijski sin(); trijezan. () 3 i na kraju logaritamski ln.(). Zato

Sljedećim ćemo primjerima „ubiti par muha jednim udarcem“: vježbat ćemo razlikovati složene funkcije i dopunjavati tablicu derivacija elementarnih funkcija. Tako:

4. Za funkciju potencije - y = x α - prepisivanje pomoću dobro poznatog “osnovnog logaritamski identitet" - b=e ln b - u obliku x α = x α ln x dobivamo

5. Besplatno eksponencijalna funkcija koristeći istu tehniku ​​koju ćemo imati

6. Za proizvoljnu logaritamsku funkciju, koristeći dobro poznatu formulu za prijelaz na novu bazu, dosljedno dobivamo

.

7. Za diferenciranje tangensa (kotangensa) koristimo se pravilom diferenciranja kvocijenata:

Za dobivanje derivacija inverznih trigonometrijskih funkcija koristimo relaciju koju zadovoljavaju derivacije dviju međusobno inverznih funkcija, odnosno funkcije φ (x) i f (x) povezane relacijama:

Ovo je omjer

Iz ove je formule za međusobno inverzne funkcije

I
,

Na kraju, sažmimo ove i neke druge izvedenice koje se također lako dobivaju u sljedeću tablicu.

Otkad ste došli ovamo, vjerojatno ste već vidjeli ovu formulu u udžbeniku

i napravi ovako lice:

Prijatelju, ne brini! Zapravo, sve je jednostavno nečuveno. Svakako ćete sve razumjeti. Samo jedna molba - pročitajte članak polako, pokušaj razumjeti svaki korak. Napisao sam što je moguće jednostavnije i jasnije, ali ipak morate razumjeti ideju. I obavezno riješite zadatke iz članka.

Što je složena funkcija?

Zamislite da se selite u drugi stan i zato pakirate stvari u velike kutije. Pretpostavimo da trebate skupiti neke male predmete, na primjer, školski pribor za pisanje. Ako ih samo bacite u golemu kutiju, izgubit će se između ostalog. Da biste to izbjegli, prvo ih stavite, primjerice, u vrećicu, koju zatim stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj "složeni" proces prikazan je u dijagramu ispod:

Čini se, kakve veze matematika ima s tim? Da, unatoč činjenici da se složena funkcija formira na POTPUNO ISTI način! Samo što mi ne “pakiramo” bilježnice i olovke, već \(x\), dok su “paketi” i “kutije” različiti.

Na primjer, uzmimo x i "spakirajmo" ga u funkciju:

Kao rezultat, dobivamo, naravno, \(\cos⁡x\). Ovo je naša “vreća sa stvarima”. Sada ga stavimo u "kutiju" - spakirajte ga, na primjer, u kubičnu funkciju.

Što će biti na kraju? Da, tako je, bit će "vreća stvari u kutiji", to jest "kosinus od X na kub."

Rezultirajući dizajn je složena funkcija. U tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) primjenjuje se na jedan X u nizu i ispada kao “funkcija iz funkcije” - “ambalaža unutar ambalaže”.

U školskom tečaju postoji vrlo malo vrsta ovih "paketa", samo četiri:

Idemo sada “spakirati” X prvo u eksponencijalnu funkciju s bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. Dobivamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sada "spakirajmo" X dvaput u trigonometrijske funkcije, prvo u , a zatim u:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednostavno, zar ne?

Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se “pakira” u kosinus, a potom u eksponencijalnu funkciju s bazom \(3\);
- prvo na petu potenciju, a zatim na tangentu;
- prvo na logaritam na bazu \(4\) , zatim na stepen \(-2\).

Odgovore na ovaj zadatak potražite na kraju članka.

Možemo li X “spakirati” ne dva, nego tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset pet puta. Evo, na primjer, funkcije u kojoj je x "pakiran" \(4\) puta:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ali takve se formule neće naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - njihova je možda kompliciranija☺).

"Raspakiranje" složene funkcije

Ponovno pogledajte prethodnu funkciju. Možete li shvatiti slijed "pakiranja"? U što se X prvo strpalo, u što onda, i tako do samog kraja. Odnosno, koja je funkcija ugniježđena unutar koje? Uzmite komad papira i zapišite što mislite. To možete učiniti lancem sa strelicama kao što smo gore napisali ili na bilo koji drugi način.

Sada je točan odgovor: prvo je x “upakiran” na \(4\) potenciju, zatim je rezultat upakiran u sinus, a on je pak stavljen u logaritam na bazi \(2\) , a na kraju je cijela ova konstrukcija strpana u power petice.

Odnosno, trebate odmotati niz OBRTNIM REDOSLIJEDOM. A evo savjeta kako to učiniti lakše: odmah pogledajte X - trebali biste zaplesati od njega. Pogledajmo nekoliko primjera.

Na primjer, ovdje je sljedeća funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Gledamo X - što se s njim prvo događa? Uzeto od njega. I onda? Uzima se tangens rezultata. Redoslijed će biti isti:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drugi primjer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizirajmo - prvo smo kubirali X, a zatim uzeli kosinus rezultata. To znači da će niz biti: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Obratite pozornost, čini se da je funkcija slična prvoj (gdje ima slike). Ali ovo je potpuno drugačija funkcija: ovdje u kocki je x (tj. \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tamo u kocki je kosinus \(x\) ( odnosno \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".

Posljednji primjer (sa važna informacija u njemu): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je da su ovdje prvo izvršili aritmetičke operacije s x, a zatim uzeli sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to važna točka: unatoč činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje također djeluju kao način "pakiranja". Zaronimo malo dublje u ovu suptilnost.

Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se "pakira" jednom, au složenim funkcijama - dva ili više. Štoviše, svaka kombinacija jednostavnih funkcija (tj. njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) također je jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). To znači da su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7· cot x\) – jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednostavno, itd.

Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, ona će postati složena funkcija, jer će postojati dva “paketa”. Pogledajte dijagram:

U redu, samo naprijed. Napišite redoslijed funkcija "omatanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.

Unutarnje i vanjske funkcije

Zašto trebamo razumjeti gniježđenje funkcija? Što nam to daje? Činjenica je da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivacije gore spomenutih funkcija.

A da bismo krenuli dalje trebat će nam još dva pojma: unutarnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, zapravo, već smo ih analizirali gore: ako se sjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutarnja funkcija "paket", a vanjska funkcija je "kutija". Oni. ono u što je X prvo "zamotan" je interna funkcija, a ono u što je interna funkcija "zamotana" već je vanjsko. Pa jasno je zašto - ona je izvana, znači vanjska.

U ovom primjeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) je interna i
- vanjski.

I u ovom: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je unutarnji, i
- vanjski.

Završite zadnju vježbu analize složenih funkcija i idemo konačno na ono zbog čega smo svi krenuli - pronaći ćemo derivacije složenih funkcija:

Ispunite praznine u tablici:

Derivacija složene funkcije

Bravo za nas, konačno smo došli do “gazde” ove teme - zapravo izvedenice složena funkcija, a konkretno na onu strašnu formulu s početka članka.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ova formula glasi ovako:

Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije vanjske funkcije s obzirom na konstantnu unutarnju funkciju i derivacije unutarnje funkcije.

I odmah pogledajte dijagram raščlanjivanja, prema riječima, kako biste razumjeli što učiniti s čime:

Nadam se da pojmovi "derivat" i "proizvod" neće izazvati poteškoće. “Složena funkcija” - već smo je razvrstali. Kvaka je u "derivaciji vanjske funkcije u odnosu na konstantnu unutarnju funkciju." Što je?

Odgovor: Ovo je uobičajena derivacija vanjske funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, a unutarnja ostaje ista. Još uvijek nije jasno? U redu, poslužimo se primjerom.

Neka nam je funkcija \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je da je unutarnja funkcija ovdje \(x^3\), a vanjska
. Nađimo sada izvedenicu eksterijera u odnosu na konstantnu unutrašnjost.

Prva razina

Derivacija funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određena razina nulte visine; u životu kao nju koristimo razinu mora.

Dok se krećemo naprijed takvom cestom, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (kretanje po apscisnoj osi), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje po osi ordinata). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Kakva bi to vrijednost mogla biti? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se pomaknete naprijed na određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama ceste, krećući se naprijed (duž x-osi) za jedan kilometar, dignut ćemo se ili spustiti za različit broj metara u odnosu na razinu mora (duž y-osi).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) obično se koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena u količini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena u veličini.

Važno: izraz je jedinstvena cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.

Dakle, krenuli smo naprijed, vodoravno, za. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja točka niža od početne, bit će negativna – to znači da se ne penjemo, nego silazimo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se pomakne naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekoj dionici ceste, kada se krećemo naprijed za kilometar, cesta uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se cesta, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Sada pogledajmo vrh brda. Ako se početak dionice uzme pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, vidi se da je visina gotovo ista.

To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Samo na udaljenosti od kilometra mnogo toga se može promijeniti. Za adekvatniju i točniju ocjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako mjerite promjenu visine dok se pomičete za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvaran život Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimalnog, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je neka veličina infinitezimalna, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije nula! Ali vrlo blizu toga. To znači da ga možete dijeliti.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerojatno ste već naišli na to dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je još veća od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliko i beskonačno malo su inverzni jedno drugom, to jest, at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo našem putu. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za infinitezimalni segment staze, to jest:

Napominjem da će s infinitezimalnim pomakom promjena visine također biti infinitezimalna. Ali dopustite mi da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Podijelite li beskonačno male brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti točno puta veća od druge.

Čemu sve ovo? Cesta, strmina... Ne idemo na auto reli, nego učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Pojam derivata

Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta.

Postupno u matematici zovu promjena. Poziva se opseg u kojem se argument () mijenja dok se pomiče duž osi povećanje argumenta a označava se.Koliko se promijenila funkcija (visina) pri pomicanju duž osi naprijed za udaljenost naziva se prirast funkcije i naznačen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo s promom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:

Kao i u analogiji s cestom, ovdje kada funkcija raste derivacija je pozitivna, a kada opada negativna.

Može li derivacija biti jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. I istina je, visina se uopće ne mijenja. Tako je i s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.

Sjetimo se primjera s brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment gore paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati infinitezimalna. Ali pritom je ostao paralelan s osi, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica

To se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a s desne povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.

Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje povećanja:

1. Pronađite priraštaj funkcije u točki kada je priraštaj argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u točki.

rješenja:

U različitim točkama s istim inkrementom argumenta, inkrement funkcije bit će različit. To znači da je derivacija u svakoj točki različita (o tome smo govorili na samom početku - strmina ceste je različita u različitim točkama). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:

Funkcija snage.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument do nekog stupnja (logičan, zar ne?).

Štoviše – u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njegovu derivaciju u točki. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja iz u. Koliki je prirast funkcije?

Povećanje je ovo. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:

Derivacija je jednaka:

Derivacija je jednaka:

b) Sada razmislite kvadratna funkcija (): .

Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je infinitezimalna i stoga beznačajna u odnosu na drugi član:

Pa smo smislili još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili faktorizirati cijeli izraz pomoću formule razlike kubova. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sljedeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobivamo: .

d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim smanjuje za."

To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcije:

1. (na dva načina: formulom i pomoću definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija moći. Ako imate pitanja poput “Kako je ovo? Gdje je diploma?”, sjetite se teme “”!
   Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak: .
   Dakle naše Korijen- ovo je samo diploma s pokazateljem:
   .
   Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako na ovom mjestu opet postane nejasno, ponovite temu “”!!! (o stupnju s negativnim eksponentom)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo termin koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:

S izrazom.

Dokaz ćete naučiti u prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je izrezana. Ali što je bliže vrijednosti, to je funkcija bliže. To je ono što "cilji".

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, nemojte se sramiti, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite prebaciti svoj kalkulator u radijanski način rada!

itd. Vidimo da što je manji, to je vrijednost omjera bliža.

a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov inkrement:

Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo se formulom (sjetite se teme “”): .

Sada izvedenica:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se infinitezimalna količina može zanemariti u zbroju (tj. at).

Dakle, dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:

To su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednom popisu:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji, jer se najčešće koriste.

Praksa:

1. Naći derivaciju funkcije u točki;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, pronađimo izvedenicu u opći pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkcija snage. Pokušajmo je osvijestiti
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Što je ovo????

U redu, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čija je derivacija za bilo koju vrijednost istovremeno jednaka vrijednosti same funkcije. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije je konstanta – ona je beskonačna decimal, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, pogledajmo to odmah inverzna funkcija. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Izlagač i prirodni logaritam- funkcije su jedinstveno jednostavne u smislu izvodnica. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, budući da je ovo linearna funkcija, zapamtiti?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Nađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći izvod bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostaje ista, samo se pojavio faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritam težak, pročitajte temu "Logaritmi" i bit će vam sve u redu), ali s matematičke točke gledišta, riječ "kompleksno" ne znači "teško".

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i povezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer,.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

1. Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njezinu derivaciju.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivat, što je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje izvedenica: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina na određeno vrijeme:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. Iza kratkoročno Pomoći ćemo vam riješiti najteže testove i riješiti probleme, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

I teorem o izvodu složene funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima u nekoj točki $x_0$ derivaciju $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcija $y=f(u)$ imaju u odgovarajućoj točki $u_0=\varphi (x_0)$ derivaciju $y_(u)"=f"(u)$. Tada će kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ u navedenoj točki također imati derivaciju jednaku umnošku derivacija funkcija $f(u)$ i $\varphi ( x)$:

$$ \lijevo(f(\varphi (x))\desno)"=f_(u)"\lijevo(\varphi (x_0) \desno)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, u kraćem zapisu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima u ovom odjeljku sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Sukladno tome, u svim primjerima derivacija $y"$ je uzeta u odnosu na varijablu $x$. Kako bi se naglasilo da je derivacija uzeta u odnosu na varijablu $x$, $y"_x$ se često piše umjesto $y "$.

Primjeri br. 1, br. 2 i br. 3 prikazuju detaljan postupak za pronalaženje derivacije složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tablice izvoda i ima smisla upoznati se s njim.

Preporučljivo je, nakon proučavanja materijala u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje kako bi čitatelj mogao provjeriti točnost svog rezultata.

Primjer br. 1

Pronađite derivaciju funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći derivaciju složene funkcije $y"$. Budući da je $y=e^(\cos x)$, tada je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Za naći izvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristimo formulu br. 6 iz tablice izvoda. Da bismo koristili formulu br. 6, moramo uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Daljnje rješenje sastoji se u jednostavnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \oznaka (1.1)$$

Sada trebamo pronaći vrijednost izraza $(\cos x)"$. Ponovno se okrećemo tablici izvedenica, birajući iz nje formulu br. 10. Zamjenom $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sada nastavimo jednakost (1.1), dopunjujući je s pronađenim rezultatom:

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Budući da je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti obično se preskaču, zapisujući nalaz izvoda u jednom retku, kao u jednakosti ( 1.3) Dakle, derivacija složene funkcije je pronađena, preostaje samo napisati odgovor.

Odgovor: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer br. 2

Pronađite derivaciju funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Trebamo izračunati derivaciju $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvući iz predznaka izvedenice:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \oznaka (2.1) $$

Sada se okrenimo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Radi lakšeg odabira željene formule iz tablice izvedenica, predstavit ću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu br. 2, tj. $\lijevo(u^\alpha \desno)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjavanjem jednakosti (2.1) dobivenim rezultatom imamo:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"= 108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \oznaka (2.2) $$

U ovoj situaciji često dolazi do pogreške kada rješavač u prvom koraku izabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umjesto formule $\lijevo(u^\ alfa \desno)"=\alfa\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Stvar je u tome da izvod vanjske funkcije mora biti na prvom mjestu. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da izračunavate vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pri nekoj vrijednosti $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, zatim pomnožiti rezultat s 4, dobivajući $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangens iz ovog rezultata, dobivajući $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim dobiveni broj dižemo na dvanaestu potenciju, dobivajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, tj. podizanje na potenciju 12, - i bit će vanjska funkcija. I od toga moramo početi pronalaziti izvod, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada trebamo pronaći $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tablice izvedenica, zamjenjujući $u=4\cdot \ln x$ u nju:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Hajdemo malo pojednostaviti dobiveni izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Ostaje pronaći $(4\cdot \ln x)"$. Uzmimo konstantu (tj. 4) iz znaka izvedenice: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Za pronalaženje $(\ln x)"$ koristimo formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Budući da je $x"=1$, tada je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Zamjenom dobivenog rezultata u formulu (2.3), dobivamo:

$$ y"=\lijevo(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=9\cdot\lijevo(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \lijevo(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Podsjetit ću vas da se izvod složene funkcije najčešće nalazi u jednom retku, kao što je zapisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, pri izradi standardnih izračuna odn testovi Uopće nije potrebno tako detaljno opisivati ​​rješenje.

Odgovor: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer br. 3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, lagano transformirajmo funkciju $y$, izražavajući radikal (korijen) kao potenciju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada počnimo s pronalaženjem izvedenice. Budući da je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)" \oznaka (3.1) $$

Upotrijebimo formulu br. 2 iz tablice izvedenica, zamijenivši u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"= \frac(3)(7)\cdot \lijevo( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo jednakost (3.1) koristeći dobiveni rezultat:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \oznaka (3.2) $$

Sada trebamo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za to koristimo formulu br. 9 iz tablice izvedenica, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunivši jednakost (3.2) dobivenim rezultatom imamo:

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \oznaka (3.3) $$

Ostaje pronaći $(5\cdot 9^x)"$. Prvo, uzmimo konstantu (broj $5$) izvan znaka izvedenice, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Da biste pronašli derivaciju $(9^x)"$, primijenite formulu br. 5 iz tablice derivacija, zamijenivši u nju $a=9$ i $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Budući da je $x"=1$, tada je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\lijevo(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\desno)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Ponovno se možemo vratiti s potencija na radikale (tj. korijene), pišući $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $\ frac(1)(\lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Tada će izvod biti napisan u ovom obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odgovor: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Primjer br. 4

Pokažite da su formule br. 3 i br. 4 tablice derivata poseban slučaj formule br. 2 ove tablice.

Formula br. 2 tablice derivacija sadrži derivaciju funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2 dobivamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\oznaka (4.1)$$

Budući da $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tada se jednakost (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \lijevo(\frac(1)(u) \desno)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tablice izvedenica.

Vratimo se ponovno formuli br. 2 tablice derivata. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\lijevo(u^(\frac(1)(2))\desno)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\oznaka (4.2) $$

Budući da je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tablice izvedenica. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 tablice izvoda dobivene su iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće $\alpha$ vrijednosti.