Moltiplicazione frazioni ordinarie Diamo un'occhiata a diverse opzioni possibili.
Moltiplicare una frazione comune per una frazione
Questo è il caso più semplice in cui è necessario utilizzare quanto segue regole per moltiplicare le frazioni.
A moltiplicare frazione per frazione, necessario:
- moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel numeratore della nuova frazione;
- moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel denominatore della nuova frazione;
- Somma di frazioni con denominatori simili
- Somma di frazioni con denominatori diversi
Prima di moltiplicare numeratori e denominatori, controlla se le frazioni possono essere ridotte. Ridurre le frazioni nei calcoli renderà i tuoi calcoli molto più semplici.
Moltiplicare una frazione per un numero naturale
Per fare una frazione moltiplicare per un numero naturale Devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare invariato il denominatore della frazione.
Se il risultato della moltiplicazione è una frazione impropria, non dimenticare di trasformarla in un numero misto, cioè di evidenziare l'intera parte.
Moltiplicazione di numeri misti
Per moltiplicare i numeri misti, devi prima trasformarli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni ordinarie.
Un altro modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale
A volte, quando si eseguono calcoli, è più conveniente utilizzare un altro metodo per moltiplicare una frazione comune per un numero.
Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.
Come si può vedere dall'esempio, questa versione della regola è più comoda da usare se il denominatore della frazione è divisibile per un numero naturale senza resto.
Operazioni con le frazioni
Somma di frazioni con denominatori simili
Esistono due tipi di addizione di frazioni:
Innanzitutto, impariamo l'addizione di frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Somma i numeratori e lascia invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni la pizza:
Esempio 2. Aggiungi frazioni e .
Ancora una volta sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:
La risposta risultò essere una frazione impropria. Quando arriva la fine del compito, è consuetudine eliminare le frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria è necessario selezionarne l'intera parte. Nel nostro caso, l'intera parte è facilmente isolabile: due divisi per due equivalgono a uno:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizza alla pizza, ottieni una pizza intera:
Esempio 3. Aggiungi frazioni e .
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se aggiungi altra pizza alla pizza, ottieni la pizza:
Esempio 4. Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi altre pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.
Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nell'addizionare frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
- Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore;
- Se la risposta risulta essere una frazione impropria, è necessario evidenziarne l'intera parte.
- Trova il MCM dei denominatori delle frazioni;
- Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione;
- Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
- Aggiungi frazioni che hanno gli stessi denominatori;
- Se la risposta risulta essere una frazione impropria, selezionane la parte intera;
- Sottrarre frazioni con denominatori simili
- Sottrarre frazioni con denominatori diversi
Somma di frazioni con denominatori diversi
Ora impariamo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori delle frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.
Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.
Ma le frazioni non possono essere aggiunte subito, poiché queste frazioni denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).
Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne vedremo solo uno, poiché gli altri metodi possono sembrare complicati per un principiante.
L'essenza di questo metodo è che prima cerchiamo il minimo comune multiplo (MCM) dei denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM viene quindi diviso per il denominatore della prima frazione per ottenere il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo.
I numeratori e i denominatori delle frazioni vengono quindi moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni.
Esempio 1. Aggiungiamo le frazioni e
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi ridurle allo stesso denominatore (comune).
Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6
LCM (2 e 3) = 6
Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividi il LCM per il denominatore della prima frazione e ottieni il primo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.
Il numero risultante 2 è il primo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, traccia una piccola linea obliqua sopra la frazione e scrivi il fattore aggiuntivo che trovi sopra:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo 3.
Il numero risultante 3 è il secondo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla seconda frazione. Ancora una volta, tracciamo una piccola linea obliqua sulla seconda frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo che si trova sopra di essa:
Ora abbiamo tutto pronto per l'aggiunta. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Guarda attentamente a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:
Questo completa l'esempio. Risulta aggiungere .
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a pizza ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:
La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo le frazioni e ad un denominatore comune, abbiamo ottenuto le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi pezzi di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotti allo stesso denominatore).
Il primo disegno rappresenta una frazione (quattro pezzi su sei), mentre il secondo disegno rappresenta una frazione (tre pezzi su sei). Sommando questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione è impropria, quindi ne abbiamo evidenziato la parte intera. Di conseguenza, abbiamo ottenuto (una pizza intera e un'altra sesta pizza).
Tieni presente che abbiamo descritto questo esempio in modo troppo dettagliato. Nelle istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM sia dei denominatori che dei fattori aggiuntivi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati per i tuoi numeratori e denominatori. Se fossimo a scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:
Ma c'è anche lato posteriore medaglie. Se non prendi appunti dettagliati nelle prime fasi dello studio della matematica, inizieranno ad apparire domande di questo tipo. “Da dove viene quel numero?”, “Perché le frazioni si trasformano improvvisamente in frazioni completamente diverse? «.
Per rendere più semplice la somma di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni passo passo:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione 
.
Usiamo il diagramma che abbiamo fornito sopra.
Passaggio 1. Trova il MCM per i denominatori delle frazioni
Trova il MCM per i denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4. Devi trovare il MCM per questi numeri:
Passaggio 2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione
Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo ottenuto il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la prima frazione:
Ora dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:
Ora dividiamo il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la terza frazione:
Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi
Moltiplichiamo numeratori e denominatori per i loro fattori aggiuntivi:
Passaggio 4. Aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). Non resta che sommare queste frazioni. Aggiungilo:
L'aggiunta non rientrava in una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente nella riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non rientra in una riga, viene spostata alla riga successiva ed è necessario inserire un segno uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio della nuova riga. Il segno uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.
Passaggio 5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, evidenziane l'intera parte
La nostra risposta si è rivelata una frazione impropria. Dobbiamo evidenziarne tutta una parte. Evidenziamo:
Abbiamo ricevuto una risposta
Sottrarre frazioni con denominatori simili
Esistono due tipi di sottrazione delle frazioni:
Innanzitutto, impariamo a sottrarre le frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sottrarne un'altra da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, ma lasciare lo stesso denominatore.
Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore. Facciamolo:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 2. Trova il valore dell'espressione.
Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia lo stesso denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione bisogna sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:
La risposta era una frazione impropria. Se l'esempio è completo è consuetudine eliminare la frazione impropria. Eliminiamo la frazione impropria nella risposta. Per fare ciò, selezioniamo la sua intera parte:
Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
Sottrarre frazioni con denominatori diversi
Ad esempio, puoi sottrarre una frazione da una frazione perché le frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma non puoi sottrarre una frazione da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).
Il denominatore comune si trova utilizzando lo stesso principio che abbiamo utilizzato quando abbiamo sommato frazioni con denominatori diversi. Innanzitutto, trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che è scritto sopra la prima frazione. Allo stesso modo, il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la seconda frazione.
Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi vengono convertite in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.
Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:
Per prima cosa troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12
LCM (3 e 4) = 12
Ora torniamo alle frazioni e
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Scrivi un quattro sopra la prima frazione:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi un tre sulla seconda frazione:
Ora siamo pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:
Abbiamo ricevuto una risposta
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se tagli la pizza da una pizza, ottieni la pizza
Questa è la versione dettagliata della soluzione. Se fossimo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:
La riduzione delle frazioni a un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo queste frazioni a un denominatore comune, abbiamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza, ma questa volta saranno divise in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore):
La prima immagine mostra una frazione (otto pezzi su dodici), mentre la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi su dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione 
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi prima devi ridurle allo stesso denominatore (comune).
Troviamo il MCM dei denominatori di queste frazioni.
I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore di ciascuna frazione.
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la terza frazione:
Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.
La continuazione dell'esempio non sta in una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno uguale (=) sulla nuova riga:
La risposta si è rivelata una frazione regolare e tutto sembra andarci bene, ma è troppo ingombrante e brutto. Sarebbe necessario renderlo più semplice ed esteticamente gradevole. Cosa si può fare? Puoi abbreviare questa frazione. Ricorda che ridurre una frazione significa dividere il numeratore e il denominatore per il più grande divisore comune numeratore e denominatore.
Per ridurre correttamente una frazione, devi dividerne il numeratore e il denominatore per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 20 e 30.
GCD non deve essere confuso con NOC. L'errore più comune di molti principianti. MCD è il massimo comun divisore. Lo troviamo per ridurre una frazione.
E LCM è il minimo comune multiplo. Lo troviamo per portare le frazioni allo stesso denominatore (comune).
Ora troveremo il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 20 e 30.
Quindi, troviamo MCD per i numeri 20 e 30:
MCD (20 e 30) = 10
Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per 10:
Abbiamo ricevuto una bellissima risposta
Moltiplicare una frazione per un numero
Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per quel numero e lasciare lo stesso denominatore.
Esempio 1. Moltiplica una frazione per il numero 1.
Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1
La registrazione può essere intesa come se durasse la metà di 1 volta. Ad esempio, se prendi la pizza una volta, ottieni la pizza
Dalle leggi della moltiplicazione sappiamo che se si scambiano il moltiplicando e il fattore il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Ancora una volta, la regola per moltiplicare un numero intero e una frazione funziona:
Questa notazione può essere intesa come se prendesse la metà di uno. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo la metà, allora avremo la pizza:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della frazione per 4
L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi 4 pizze, otterrai due pizze intere
E se invertiamo il moltiplicando e il moltiplicatore, otteniamo l'espressione . Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:
Moltiplicazione delle frazioni
Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta risulta essere una frazione impropria è necessario evidenziarne l'intera parte.
Esempio 1. Trova il valore dell'espressione.
Abbiamo ricevuto una risposta. È consigliabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:
L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Come prendere due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:
E prendine due da questi tre pezzi:
Faremo la pizza. Ricorda come appare la pizza divisa in tre parti:
Un pezzo di questa pizza e i due pezzi che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:
In altre parole, stiamo parlando circa la stessa dimensione della pizza. Pertanto il valore dell'espressione è
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione
La risposta si è rivelata una frazione regolare, ma sarebbe opportuno se fosse abbreviata. Per ridurre questa frazione, deve essere divisa per il mcd del numeratore e del denominatore. Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:
GCD per (105 e 150) è 15
Ora dividiamo il numeratore e il denominatore della nostra risposta per mcd:
Rappresentare un numero intero come frazione
Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Ciò non cambierà il significato di cinque, poiché l'espressione significa “il numero cinque diviso uno”, e questo, come sappiamo, è uguale a cinque:
Numeri reciproci
Ora faremo conoscenza con molto argomento interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".
Definizione. Invertire il numero UN è un numero che, se moltiplicato per UN ne dà uno.
Sostituiamo in questa definizione invece della variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:
Invertire il numero 5 è un numero che, se moltiplicato per 5 ne dà uno.
È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che è possibile. Immaginiamo cinque come una frazione:
Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplica una frazione per se stessa, solo capovolta:
Cosa accadrà di conseguenza? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:
Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero , poiché moltiplicando 5 per ottieni uno.
Il reciproco di un numero può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.
- il reciproco di 3 è una frazione
- il reciproco di 4 è una frazione
Puoi anche trovare il reciproco di qualsiasi altra frazione. Per fare questo, basta capovolgerlo.
L'ultima volta abbiamo imparato come aggiungere e sottrarre le frazioni (vedi la lezione "Addizione e sottrazione di frazioni"). La parte più difficile di quelle azioni è stata portare le frazioni a un denominatore comune.
Ora è il momento di occuparsi di moltiplicazione e divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più semplici delle addizioni e delle sottrazioni. Per prima cosa consideriamo il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera separata.
Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.
Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda frazione “invertita”.
Designazione:
Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per “capovolgere” una frazione, basta scambiare numeratore e denominatore. Pertanto, nel corso della lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.
Come risultato della moltiplicazione, può formarsi una frazione riducibile (e spesso si forma) che, ovviamente, deve essere ridotta. Se dopo tutte le riduzioni la frazione risultasse errata, va evidenziata l'intera parte. Ma ciò che sicuramente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un denominatore comune: nessun metodo incrociato, fattori massimi e minimi comuni multipli.
Per definizione abbiamo:
Moltiplicazione delle frazioni con parti intere e frazioni negative
Se le frazioni contengono una parte intera, devono essere convertite in parti improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra delineati.
Se c'è un segno meno al numeratore di una frazione, al denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dalla moltiplicazione o eliminato del tutto secondo le seguenti regole:
- Più per meno dà meno;
- Due negazioni fanno una affermativa.
Fino ad ora queste regole sono state incontrate solo per addizione e sottrazione. frazioni negative quando è stato necessario liberarsi di un'intera parte. Per un lavoro, possono essere generalizzati per “bruciare” più svantaggi contemporaneamente:
- Cancelliamo i negativi a coppie finché non scompaiono completamente. In casi estremi, può sopravvivere un meno: quello per il quale non c'era compagno;
- Se non rimangono svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato perché non esiste una coppia, lo portiamo fuori dai limiti della moltiplicazione. Il risultato è una frazione negativa.
Compito. Trova il significato dell'espressione:
Convertiamo tutte le frazioni in frazioni improprie e poi eliminiamo i meno dalla moltiplicazione. Moltiplichiamo ciò che resta secondo le solite regole. Noi abbiamo:
Permettimi di ricordarti ancora una volta che il meno che appare davanti a una frazione con la parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).
Nota anche numeri negativi: Quando si moltiplicano, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare i segni meno dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.
Riduzione delle frazioni al volo
La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui risultano piuttosto grandi e, per semplificare il problema, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. Infatti, in sostanza, i numeratori e i denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà fondamentale della frazione. Dai un'occhiata agli esempi:
Compito. Trova il significato dell'espressione:
Per definizione abbiamo:
In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne resta sono contrassegnati in rosso.
Nota: nel primo caso i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Al loro posto restano unità che, in generale, non necessitano di essere scritte. Nel secondo esempio non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma il numero totale di calcoli è comunque diminuito.
Tuttavia, non utilizzare mai questa tecnica quando si aggiungono e sottraggono frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi semplicemente ridurre. Ecco, guarda:
Non puoi farlo!
L'errore si verifica perché durante l'addizione il numeratore di una frazione produce una somma, non un prodotto di numeri. Di conseguenza, è impossibile applicare la proprietà fondamentale di una frazione, poiché questa proprietà riguarda specificamente la moltiplicazione dei numeri.
Semplicemente non ci sono altri motivi per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è simile alla seguente:
Soluzione corretta:
Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, fai attenzione.
Moltiplicazione delle frazioni comuni
Diamo un'occhiata a un esempio.
Sia presente una parte $\frac(1)(3)$ di una mela su un piatto. Dobbiamo trovare la parte $\frac(1)(2)$. La parte richiesta è il risultato della moltiplicazione delle frazioni $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(2)$. Il risultato della moltiplicazione di due frazioni comuni è una frazione comune.
Moltiplicazione di due frazioni ordinarie
Regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:
Il risultato della moltiplicazione di una frazione per una frazione è una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori delle frazioni da moltiplicare e il denominatore è uguale al prodotto dei denominatori:
Esempio 1
Esegui la moltiplicazione delle frazioni comuni $\frac(3)(7)$ e $\frac(5)(11)$.
Soluzione.
Usiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Risposta:$\frac(15)(77)$
Se moltiplicando le frazioni si ottiene una frazione riducibile o impropria, è necessario semplificarla.
Esempio 2
Moltiplica le frazioni $\frac(3)(8)$ e $\frac(1)(9)$.
Soluzione.
Usiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Di conseguenza, abbiamo ottenuto una frazione riducibile (basata sulla divisione per $ 3 $. Dividendo il numeratore e il denominatore della frazione per $ 3 $, otteniamo:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Soluzione breve:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Risposta:$\frac(1)(24).$
Quando moltiplichi le frazioni, puoi ridurre i numeratori e i denominatori finché non trovi il loro prodotto. In questo caso, il numeratore e il denominatore della frazione vengono scomposti in fattori semplici, dopodiché i fattori ripetitivi vengono cancellati e si trova il risultato.
Esempio 3
Calcola il prodotto delle frazioni $\frac(6)(75)$ e $\frac(15)(24)$.
Soluzione.
Usiamo la formula per moltiplicare le frazioni ordinarie:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Ovviamente, il numeratore e il denominatore contengono numeri che possono essere ridotti a coppie ai numeri $2$, $3$ e $5$. Fattorizziamo il numeratore e il denominatore in fattori semplici e facciamo una riduzione:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Risposta:$\frac(1)(20).$
Quando si moltiplicano le frazioni, è possibile applicare la legge commutativa:
Moltiplicare una frazione comune per un numero naturale
La regola per moltiplicare una frazione comune per un numero naturale:
Il risultato della moltiplicazione di una frazione per un numero naturale è una frazione in cui il numeratore è uguale al prodotto del numeratore della frazione moltiplicata per il numero naturale e il denominatore è uguale al denominatore della frazione moltiplicata:
dove $\frac(a)(b)$ è una frazione ordinaria, $n$ è un numero naturale.
Esempio 4
Moltiplica la frazione $\frac(3)(17)$ per $4$.
Soluzione.
Usiamo la regola per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Risposta:$\frac(12)(17).$
Non dimenticare di controllare il risultato della moltiplicazione per la riducibilità di una frazione o per una frazione impropria.
Esempio 5
Moltiplica la frazione $\frac(7)(15)$ per il numero $3$.
Soluzione.
Usiamo la formula per moltiplicare una frazione per un numero naturale:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Dividendo per il numero $3$) possiamo determinare che la frazione risultante può essere ridotta:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Il risultato era una frazione errata. Selezioniamo l'intera parte:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Soluzione breve:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Le frazioni potrebbero anche essere ridotte sostituendo i numeri al numeratore e al denominatore con le loro fattorizzazioni in fattori primi. In questo caso la soluzione potrebbe essere scritta così:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Risposta:$1\frac(2)(5).$
Quando si moltiplica una frazione per un numero naturale, è possibile utilizzare la legge commutativa:
Dividere le frazioni
L'operazione di divisione è l'inverso della moltiplicazione e il suo risultato è una frazione per la quale occorre moltiplicare una frazione nota per ottenere il prodotto noto di due frazioni.
Dividere due frazioni ordinarie
Regola per dividere le frazioni ordinarie: Ovviamente, il numeratore e il denominatore della frazione risultante possono essere fattorizzati e ridotti:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Di conseguenza, otteniamo una frazione impropria, dalla quale selezioniamo l'intera parte:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Risposta:$1\frac(5)(9).$
SUPERA QUESTI RASTRELLI GIÀ! 🙂
Moltiplicazione e divisione delle frazioni.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto “non molto”. »
E per chi “moltissimo. ")
Questa operazione è molto più piacevole dell'addizione e della sottrazione! Perché è più facile. Come promemoria, per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:
Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un denominatore comune! Non c'è bisogno di lui qui...
Per dividere una frazione per una frazione, è necessario invertire secondo(questo è importante!) frazionarli e moltiplicarli, ovvero:
Se ti imbatti in moltiplicazioni o divisioni con numeri interi e frazioni, va bene. Come per l'addizione, creiamo una frazione da un numero intero con uno al denominatore e andiamo avanti! Per esempio:
Al liceo, spesso devi avere a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:
Come posso rendere questa frazione decente? Sì, molto semplice! Utilizza la divisione in due punti:
Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui questo è molto importante! Naturalmente non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma è facile commettere un errore in una frazione di tre piani. Si prega di notare ad esempio:
Nel primo caso (espressione a sinistra):
Nella seconda (espressione a destra):
Senti la differenza? 4 e 1/9!
Cosa determina l'ordine di divisione? O con parentesi, o (come qui) con la lunghezza delle linee orizzontali. Sviluppa il tuo occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:
poi dividi e moltiplica in ordine, da sinistra a destra!
E un'altra tecnica molto semplice e importante. Nelle azioni con i gradi, ti sarà così utile! Dividiamo uno per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:
Il tiro è girato! E questo accade sempre. Quando si divide 1 per una frazione qualsiasi, il risultato è la stessa frazione, solo capovolta.
Questo è tutto per le operazioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Tenete conto dei consigli pratici e ce ne saranno meno (errori)!
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione! Queste non sono parole generiche, non sono auguri! Questa è una terribile necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame di stato unificato come un compito a tutti gli effetti, mirato e chiaro. È meglio scrivere due righe in più nella bozza piuttosto che fare errori quando si fanno i calcoli mentali.
2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: passa alle frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni finché non si fermano.
4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione in due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).
Ecco le attività che devi assolutamente completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali su questo argomento e suggerimenti pratici. Stima quanti esempi sei riuscito a risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trarre le giuste conclusioni.
Ricorda: la risposta corretta è ricevuto dalla seconda (soprattutto dalla terza) volta non conta! Questa è la vita dura.
COSÌ, risolvere in modalità esame ! A proposito, questa è già la preparazione per l'Esame di Stato Unificato. Risolviamo l'esempio, lo controlliamo, risolviamo il successivo. Abbiamo deciso tutto, controllato di nuovo dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.
Cerchiamo risposte che corrispondano alle tue. Li ho scritti deliberatamente in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire. Eccole, le risposte, separate dal punto e virgola.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Adesso traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, sono felice per te! I calcoli di base con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti.
Quindi hai uno dei due problemi. O entrambi contemporaneamente.) Mancanza di conoscenza e (o) disattenzione. Ma. Questo risolvibile I problemi.
Tutti questi (e altri!) esempi sono discussi nella Sezione Speciale 555 “Frazioni”. Con spiegazioni dettagliate su cosa, perché e come. Questa analisi aiuta molto con la mancanza di conoscenze e competenze!
Sì, e sul secondo problema c'è qualcosa lì.) Abbastanza Consiglio pratico, come diventare più attento. Si si! Consigli che possono essere applicati ogni.
Oltre alla conoscenza e all'attenzione, il successo richiede una certa automaticità. Dove lo posso prendere? Sento un sospiro pesante... Sì, solo in pratica, da nessun'altra parte.
Puoi visitare il sito web 321start.ru per la formazione. Lì nell'opzione "Prova" ci sono 10 esempi per tutti. Con verifica immediata. Per gli utenti registrati - 34 esempi dal semplice al grave. Questo è solo in frazioni.
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Qui puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
E qui puoi conoscere funzioni e derivate.
Regola 1.
Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi moltiplicare il suo numeratore per questo numero e lasciare invariato il denominatore.
Regola 2.
Per moltiplicare una frazione per una frazione:
1. trova il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni
2. Scrivi il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.
Regola 3.
Per moltiplicare numeri misti, devi scriverli come frazioni improprie e quindi utilizzare la regola per moltiplicare le frazioni.
Regola 4.
Per dividere una frazione per un'altra, devi moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Esempio 1.
Calcolare
Esempio 2.
Calcolare
Esempio 3.
Calcolare
Esempio 4.
Calcolare
Matematica. Altri materiali
Elevare un numero a potenza razionale. (
Elevare un numero a potenza naturale. (
Metodo degli intervalli generalizzati per la risoluzione delle disuguaglianze algebriche (Autore A.V. Kolchanov)
Metodo per la sostituzione dei fattori nella risoluzione delle disuguaglianze algebriche (Autore Kolchanov A.V.)
Segni di divisibilità (Lungu Alena)
Mettiti alla prova sul tema “Moltiplicazione e divisione delle frazioni ordinarie”
Moltiplicazione delle frazioni
Considereremo la moltiplicazione delle frazioni ordinarie in diverse opzioni possibili.
Moltiplicare una frazione comune per una frazione
Questo è il caso più semplice in cui è necessario utilizzare quanto segue regole per moltiplicare le frazioni.
A moltiplicare frazione per frazione, necessario:
Prima di moltiplicare numeratori e denominatori, controlla se le frazioni possono essere ridotte. Ridurre le frazioni nei calcoli renderà i tuoi calcoli molto più semplici.
Moltiplicare una frazione per un numero naturale
Per fare una frazione moltiplicare per un numero naturale Devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare invariato il denominatore della frazione.
Se il risultato della moltiplicazione è una frazione impropria, non dimenticare di trasformarla in un numero misto, cioè di evidenziare l'intera parte.
Moltiplicazione di numeri misti
Per moltiplicare i numeri misti, devi prima trasformarli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni ordinarie.
Un altro modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale
A volte, quando si eseguono calcoli, è più conveniente utilizzare un altro metodo per moltiplicare una frazione comune per un numero.
Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.
Come si può vedere dall'esempio, questa versione della regola è più comoda da usare se il denominatore della frazione è divisibile per un numero naturale senza resto.
Dividere una frazione per un numero
Qual è il modo più veloce per dividere una frazione per un numero? Analizziamo la teoria, traiamo una conclusione e usiamo esempi per vedere come è possibile eseguire la divisione di una frazione per un numero utilizzando una nuova regola breve.
In genere, dividere una frazione per un numero segue la regola per dividere le frazioni. Moltiplichiamo il primo numero (frazione) per l'inverso del secondo. Poiché il secondo numero è un numero intero, il suo inverso è una frazione, il cui numeratore è uguale a uno e il denominatore è uguale al numero dato. Schematicamente, dividere una frazione per un numero naturale è simile a questo:
Da ciò concludiamo:
Per dividere una frazione per un numero, devi moltiplicare il denominatore per quel numero e lasciare invariato il numeratore. La regola può essere formulata ancora più brevemente:
Quando si divide una frazione per un numero, il numero va al denominatore.
Dividi una frazione per un numero:
Per dividere una frazione per un numero, riscriviamo il numeratore invariato e moltiplichiamo il denominatore per questo numero. Riduciamo 6 e 3 per 3.
Quando dividiamo una frazione per un numero, riscriviamo il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per quel numero. Riduciamo 16 e 24 per 8.
Quando si divide una frazione per un numero, il numero va al denominatore, quindi lasciamo lo stesso numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il divisore. Riduciamo 21 e 35 per 7.
Moltiplicazione e divisione delle frazioni
L'ultima volta abbiamo imparato come aggiungere e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Somma e sottrazione di frazioni"). La parte più difficile di quelle azioni è stata portare le frazioni a un denominatore comune.
Ora è il momento di occuparsi di moltiplicazione e divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più semplici delle addizioni e delle sottrazioni. Per prima cosa consideriamo il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera separata.
Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.
Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda frazione “invertita”.
Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per “capovolgere” una frazione, basta scambiare numeratore e denominatore. Pertanto, nel corso della lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.
Come risultato della moltiplicazione, può formarsi una frazione riducibile (e spesso si forma) che, ovviamente, deve essere ridotta. Se dopo tutte le riduzioni la frazione risultasse errata, va evidenziata l'intera parte. Ma ciò che sicuramente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un denominatore comune: nessun metodo incrociato, fattori massimi e minimi comuni multipli.
Compito. Trova il significato dell'espressione:
Per definizione abbiamo:
Moltiplicazione delle frazioni con parti intere e frazioni negative
Se le frazioni contengono una parte intera, devono essere convertite in parti improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra delineati.
Se c'è un segno meno al numeratore di una frazione, al denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dalla moltiplicazione o eliminato del tutto secondo le seguenti regole:
- Più per meno dà meno;
- Due negazioni fanno una affermativa.
- Cancelliamo i negativi a coppie finché non scompaiono completamente. In casi estremi, può sopravvivere un meno: quello per il quale non c'era compagno;
- Se non rimangono svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato perché non esiste una coppia, lo portiamo fuori dai limiti della moltiplicazione. Il risultato è una frazione negativa.
Finora queste regole si incontravano solo quando si sommavano e sottraevano le frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un lavoro, possono essere generalizzati per “bruciare” più svantaggi contemporaneamente:
Convertiamo tutte le frazioni in frazioni improprie e poi eliminiamo i meno dalla moltiplicazione. Moltiplichiamo ciò che resta secondo le solite regole. Noi abbiamo:
Permettimi di ricordarti ancora una volta che il meno che appare davanti a una frazione con la parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).
Presta attenzione anche ai numeri negativi: quando si moltiplicano, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare i segni meno dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.
Riduzione delle frazioni al volo
La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui risultano piuttosto grandi e, per semplificare il problema, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. Infatti, in sostanza, i numeratori e i denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà fondamentale della frazione. Dai un'occhiata agli esempi:
In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne resta sono contrassegnati in rosso.
Nota: nel primo caso i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Al loro posto restano unità che, in generale, non necessitano di essere scritte. Nel secondo esempio non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma il numero totale di calcoli è comunque diminuito.
Tuttavia, non utilizzare mai questa tecnica quando si aggiungono e sottraggono frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi semplicemente ridurre. Ecco, guarda:
Non puoi farlo!
L'errore si verifica perché durante l'addizione il numeratore di una frazione produce una somma, non un prodotto di numeri. Di conseguenza, è impossibile applicare la proprietà fondamentale di una frazione, poiché questa proprietà riguarda specificamente la moltiplicazione dei numeri.
Semplicemente non ci sono altri motivi per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è simile alla seguente:
Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, fai attenzione.
Dividere le frazioni.
Dividere una frazione per un numero naturale.
Esempi di divisione di una frazione per un numero naturale
Dividere un numero naturale per una frazione.
Esempi di divisione di un numero naturale per una frazione
Divisione delle frazioni ordinarie.
Esempi di divisione delle frazioni ordinarie
Divisione di numeri misti.
- Per dividere un numero misto per un altro, devi:
- convertire le frazioni miste in frazioni improprie;
- moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda;
- ridurre la frazione risultante;
- Se ottieni una frazione impropria, convertila in una frazione mista.
- convertire le frazioni miste in frazioni improprie;
- moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni;
- ridurre la frazione;
- Se ottieni una frazione impropria, la convertiamo in una frazione mista.
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Esempi di divisione di numeri misti
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
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Il mio nome è Dovzhik Mikhail Viktorovich. Sono il proprietario e autore di questo sito, ho scritto tutto il materiale teorico e ho anche sviluppato esercizi e calcolatrici online che puoi utilizzare per studiare matematica.
Frazioni. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.
Moltiplicare una frazione comune per una frazione.
Per moltiplicare le frazioni ordinarie, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore (otteniamo il numeratore del prodotto) e il denominatore per il denominatore (otteniamo il denominatore del prodotto).
Formula per moltiplicare le frazioni:
Prima di iniziare a moltiplicare numeratori e denominatori, devi verificare se la frazione può essere ridotta. Se riesci a ridurre la frazione, ti sarà più facile fare ulteriori calcoli.
Nota! Non c'è bisogno di cercare un denominatore comune qui!!
Dividere una frazione comune per una frazione.
La divisione di una frazione ordinaria per una frazione avviene in questo modo: si capovolge la seconda frazione (cioè si cambia numeratore e denominatore) e successivamente le frazioni vengono moltiplicate.
Formula per dividere le frazioni ordinarie:
Moltiplicare una frazione per un numero naturale.
Nota! Quando si moltiplica una frazione per un numero naturale, il numeratore della frazione viene moltiplicato per il nostro numero naturale e il denominatore della frazione rimane lo stesso. Se il risultato del prodotto è una frazione impropria, assicurati di evidenziare l'intera parte, trasformando la frazione impropria in una frazione mista.
Divisione di frazioni che coinvolgono numeri naturali.
Non è così spaventoso come sembra. Come per l'addizione, convertiamo l'intero numero in una frazione con uno al denominatore. Per esempio:
Moltiplicazione di frazioni miste.
Regole per moltiplicare le frazioni (miste):
Nota! Moltiplicare frazione mista in un'altra frazione mista, devi prima convertirle nella forma di frazioni improprie, quindi moltiplicarle secondo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie.
Il secondo modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale.
Potrebbe essere più conveniente utilizzare il secondo metodo per moltiplicare una frazione comune per un numero.
Nota! Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare invariato il numeratore.
Dall'esempio sopra riportato risulta chiaro che questa opzione è più comoda da utilizzare quando il denominatore di una frazione è diviso senza resto per un numero naturale.
Frazioni multipiano.
Al liceo si incontrano spesso frazioni a tre piani (o più). Esempio:
Per riportare tale frazione alla sua forma abituale, utilizzare la divisione per 2 punti:
Nota! Quando si dividono le frazioni, l'ordine di divisione è molto importante. Fai attenzione, è facile confondersi qui.
Nota, Per esempio:
Quando si divide uno per qualsiasi frazione, il risultato sarà la stessa frazione, solo invertita:
Consigli pratici per moltiplicare e dividere le frazioni:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione. Esegui tutti i calcoli con attenzione e precisione, concentrazione e chiarezza. È meglio scrivere qualche riga in più nella bozza piuttosto che perdersi in calcoli mentali.
2. Nei compiti con diversi tipi di frazioni, vai al tipo di frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni finché non è più possibile ridurre.
4. Trasformiamo le espressioni frazionarie multilivello in espressioni ordinarie utilizzando la divisione per 2 punti.
Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, devi sapere regole semplici. Analizzeremo ora queste regole nel dettaglio.
Moltiplicare una frazione comune per una frazione.
Per moltiplicare una frazione per una frazione, è necessario calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Diamo un'occhiata ad un esempio:
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e moltiplichiamo anche il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ volte 3)(7 \volte 3) = \frac(4)(7)\\\)
La frazione \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) è stata ridotta di 3.
Moltiplicare una frazione per un numero.
Per prima cosa ricordiamo la regola: qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usiamo questa regola quando moltiplichiamo.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Frazione impropria \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertito in una frazione mista.
In altre parole, Quando moltiplichiamo un numero per una frazione, moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore. Esempio:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Moltiplicazione di frazioni miste.
Per moltiplicare le frazioni miste, devi prima rappresentare ciascuna frazione mista come frazione impropria, quindi utilizzare la regola della moltiplicazione. Moltiplichiamo il numeratore per il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il denominatore.
Esempio:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.
La frazione \(\bf \frac(a)(b)\) è l'inverso della frazione \(\bf \frac(b)(a)\), purché a≠0,b≠0.
Le frazioni \(\bf \frac(a)(b)\) e \(\bf \frac(b)(a)\) sono chiamate frazioni reciproche. Il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Esempio:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Domande correlate:
Come moltiplicare una frazione per una frazione?
Risposta: Il prodotto delle frazioni ordinarie è la moltiplicazione di un numeratore per un numeratore, di un denominatore per un denominatore. Per ottenere il prodotto di frazioni miste, è necessario convertirle in una frazione impropria e moltiplicarle secondo le regole.
Come moltiplicare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: non importa se le frazioni hanno denominatori uguali o diversi, la moltiplicazione avviene secondo la regola di trovare il prodotto di un numeratore con un numeratore, un denominatore con un denominatore.
Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto bisogna convertire la frazione mista in frazione impropria e poi trovare il prodotto utilizzando le regole della moltiplicazione.
Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore, ma lasciamo lo stesso denominatore.
Esempio 1:
Calcolare il prodotto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Soluzione:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rosso) (5))(3 \times \color(rosso) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Esempio n.2:
Calcolare i prodotti di un numero e di una frazione: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Soluzione:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Esempio n.3:
Scrivere il reciproco della frazione \(\frac(1)(3)\)?
Risposta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Esempio n.4:
Calcolare il prodotto di due frazioni reciproche: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Soluzione:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Esempio n.5:
Le frazioni reciproche possono essere:
a) contemporaneamente alle frazioni proprie;
b) frazioni contemporaneamente improprie;
c) contemporaneamente numeri naturali?
Soluzione:
a) per rispondere alla prima domanda facciamo un esempio. La frazione \(\frac(2)(3)\) è propria, la sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(3)(2)\) - una frazione impropria. Risposta: no.
b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere contemporaneamente una frazione impropria. Ad esempio, la frazione impropria è \(\frac(3)(3)\), la sua frazione inversa è uguale a \(\frac(3)(3)\). Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni quando numeratore e denominatore sono uguali.
c) i numeri naturali sono numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, …. Se prendiamo il numero \(3 = \frac(3)(1)\), la sua frazione inversa sarà \(\frac(1)(3)\). La frazione \(\frac(1)(3)\) non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco del numero è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, la sua frazione reciproca sarà \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo è il numero 1.
Esempio n.6:
Calcola il prodotto di frazioni miste: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Soluzione:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Esempio n.7:
Due reciproci possono essere numeri misti contemporaneamente?
Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista \(1\frac(1)(2)\), troviamo la sua frazione inversa, per fare questo la convertiamo in una frazione impropria \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . La sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(2)(3)\) . La frazione \(\frac(2)(3)\) è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri mescolati contemporaneamente.
