L'operazione di scissione prevede la partecipazione di alcune componenti principali. Il primo di essi è il cosiddetto dividendo, cioè un numero soggetto alla procedura di divisione. Il secondo è il divisore, cioè il numero con cui viene eseguita la divisione. Il terzo è il quoziente, cioè il risultato dell'operazione di divisione del dividendo per il divisore.

Risultato della divisione

Il risultato più semplice che si può ottenere utilizzando due numeri interi positivi come dividendo e divisore è un altro numero intero positivo. Ad esempio, dividendo 6 per 2, il quoziente sarà uguale a 3. Questa situazione è possibile se il dividendo è il divisore, cioè viene diviso per esso senza resto.

Tuttavia, ci sono altre opzioni quando è impossibile eseguire un'operazione di divisione senza resto. In questo caso, un numero non intero diventa quoziente, che può essere scritto come combinazione di un numero intero e di una parte frazionaria. Ad esempio, dividendo 5 per 2, il quoziente è 2,5.

Numero nel periodo

Una delle opzioni che si possono ottenere se il dividendo non è un multiplo del divisore è il cosiddetto numero in periodo. Può verificarsi come risultato di una divisione se il quoziente risulta essere un insieme di numeri che si ripete all'infinito. Ad esempio, un numero in un periodo può apparire quando si divide il numero 2 per 3. In questa situazione, il risultato è nella forma decimale, sarà espresso come combinazione di un numero infinito di cifre 6 dopo la virgola.

Per indicare il risultato di tale divisione, è stato inventato un modo speciale di scrivere i numeri in un periodo: tale numero viene indicato ponendo una cifra ripetuta tra parentesi. Ad esempio, il risultato della divisione 2 per 3 verrebbe scritto utilizzando questo metodo come 0,(6). Questa notazione è applicabile anche se solo una parte del numero risultante dalla divisione è ripetuta.

Ad esempio, quando si divide 5 per 6, il risultato sarà un numero periodico nella forma 0,8(3). L'utilizzo di questo metodo, in primo luogo, è più efficace rispetto al tentativo di scrivere tutte o parte delle cifre di un numero in un periodo e, in secondo luogo, ha una maggiore precisione rispetto a un altro metodo di trasmissione di tali numeri: l'arrotondamento e inoltre consente di distinguere i numeri in periodo da una frazione decimale esatta con il valore corrispondente quando si confronta la grandezza di questi numeri. Quindi, ad esempio, è ovvio che 0.(6) è significativamente maggiore di 0,6.

Ricordi come nella primissima lezione sui decimali ho detto che ci sono frazioni numeriche che non possono essere rappresentate come decimali (vedi lezione “Decimali”)? Abbiamo anche imparato a fattorizzare i denominatori delle frazioni per vedere se ci sono numeri diversi da 2 e 5.

Quindi: ho mentito. E oggi impareremo come tradurre assolutamente qualsiasi cosa frazione numerica al decimale. Allo stesso tempo, conosceremo un'intera classe di frazioni con una parte significativa infinita.

Un decimale periodico è qualsiasi decimale che:

1. La parte significativa è composta da un numero infinito di cifre;
2. A determinati intervalli si ripetono i numeri nella parte significativa.

Un insieme di numeri ripetuti che compongono parte significativa, è chiamata la parte periodica della frazione e il numero di cifre in questo insieme è chiamato periodo della frazione. Il restante segmento della parte significativa, che non si ripete, si chiama parte non periodica.

Poiché esistono molte definizioni, vale la pena considerare alcune di queste frazioni in dettaglio:

Questa frazione appare più spesso nei problemi. Parte non periodica: 0; parte periodica: 3; durata del periodo: 1.

Parte non periodica: 0,58; parte periodica: 3; durata del periodo: ancora 1.

Parte non periodica: 1; parte periodica: 54; durata del periodo: 2.

Parte non periodica: 0; parte periodica: 641025; durata del periodo: 6. Per comodità, le parti ripetute sono separate l'una dall'altra da uno spazio: ciò non è necessario in questa soluzione.

Parte non periodica: 3066; parte periodica: 6; durata del periodo: 1.

Come puoi vedere, la definizione di frazione periodica si basa sul concetto parte significativa di un numero. Pertanto, se hai dimenticato di cosa si tratta, ti consiglio di ripeterlo - vedi la lezione “”.

Transizione alla frazione decimale periodica

Consideriamo una frazione ordinaria della forma a/b. Fattorizziamo il suo denominatore in fattori primi. Ci sono due opzioni:

1. L'espansione contiene solo i fattori 2 e 5. Queste frazioni possono essere facilmente convertite in decimali - vedere la lezione “Decimali”. Non siamo interessati a queste persone;
2. C'è qualcos'altro nell'espansione oltre a 2 e 5. In questo caso la frazione non può essere rappresentata come decimale, ma può essere convertita in un decimale periodico.

Per definire una frazione decimale periodica, è necessario trovare le sue parti periodiche e non periodiche. Come? Converti la frazione in frazione impropria, quindi dividi il numeratore per il denominatore utilizzando un angolo.

Accadrà quanto segue:

1. Si dividerà per primo intera parte, se esiste;
2. Potrebbero esserci più numeri dopo la virgola decimale;
3. Dopo un po' inizieranno i numeri ripetere.

È tutto! I numeri che si ripetono dopo la virgola decimale sono indicati dalla parte periodica, mentre quelli che precedono sono indicati dalla parte non periodica.

Compito. Convertire le frazioni ordinarie in decimali periodici:

Tutte le frazioni senza parte intera, quindi dividiamo semplicemente il numeratore per il denominatore con un “angolo”:

Come puoi vedere, i resti si ripetono. Scriviamo la frazione nella forma “corretta”: 1.733 ... = 1.7(3).

Il risultato è una frazione: 0,5833 ... = 0,58(3).

Lo scriviamo in forma normale: 4.0909 ... = 4,(09).

Otteniamo la frazione: 0,4141 ... = 0.(41).

Transizione dalla frazione decimale periodica alla frazione ordinaria

Considera la frazione decimale periodica X = abc (a 1 b 1 c 1). È necessario convertirlo in un classico “a due piani”. Per fare ciò, segui quattro semplici passaggi:

1. Trova il periodo della frazione, ad es. conta quante cifre ci sono nella parte periodica. Sia questo il numero k;
2. Trova il valore dell'espressione X · 10 k. Ciò equivale a spostare la virgola decimale a destra di un punto intero - vedere la lezione "Moltiplicazione e divisione dei decimali";
3. L'espressione originale deve essere sottratta dal numero risultante. In questo caso la parte periodica viene “bruciata” e rimane frazione comune;
4. Trova X nell'equazione risultante. Convertiamo tutte le frazioni decimali in frazioni ordinarie.

Compito. Converti il ​​numero in una frazione impropria ordinaria:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Lavoriamo con la prima frazione: X = 9,(6) = 9.666 ...

Le parentesi contengono solo una cifra, quindi il periodo è k = 1. Successivamente moltiplichiamo questa frazione per 10 k = 10 1 = 10. Abbiamo:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Sottrai la frazione originale e risolvi l'equazione:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Consideriamo ora la seconda frazione. Quindi X = 32,(39) = 32,393939...

Periodo k = 2, quindi moltiplica tutto per 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Sottrai nuovamente la frazione originale e risolvi l'equazione:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Passiamo alla terza frazione: X = 0,30(5) = 0,30555... Il diagramma è lo stesso, quindi mi limiterò a fare i calcoli:

Periodo k = 1 ⇒ moltiplica tutto per 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Infine, l'ultima frazione: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ancora una volta, per comodità, le parti periodiche sono separate l'una dall'altra da spazi. Abbiamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Succede che per comodità dei calcoli è necessario convertire una frazione ordinaria in un decimale e viceversa. Parleremo di come farlo in questo articolo. Diamo un'occhiata alle regole per convertire le frazioni ordinarie in decimali e viceversa e forniamo anche esempi.

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Considereremo la conversione delle frazioni ordinarie in decimali, seguendo una determinata sequenza. Innanzitutto, diamo un'occhiata a come le frazioni ordinarie con un denominatore multiplo di 10 vengono convertite in decimali: 10, 100, 1000, ecc. Le frazioni con tali denominatori sono, in effetti, una notazione più ingombrante delle frazioni decimali.

Successivamente vedremo come convertire le frazioni ordinarie con qualsiasi denominatore, non solo multipli di 10, in frazioni decimali. Si noti che quando si convertono le frazioni ordinarie in decimali, si ottengono non solo decimali finiti, ma anche frazioni decimali periodiche infinite.

Iniziamo!

Traduzione delle frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, 1000, ecc. ai decimali

Prima di tutto diciamo che alcune frazioni richiedono una certa preparazione prima di essere convertite in forma decimale. Che cos'è? Prima del numero nel numeratore, devi aggiungere così tanti zeri in modo che il numero di cifre nel numeratore diventi uguale al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, per la frazione 3100, il numero 0 deve essere aggiunto una volta a sinistra del 3 nel numeratore. La frazione 610, secondo la regola sopra esposta, non necessita di modifiche.

Consideriamo un altro esempio, dopo di che formuleremo una regola che è particolarmente comoda da usare all'inizio, mentre non c'è molta esperienza nella conversione delle frazioni. Quindi, la frazione 1610000 dopo aver aggiunto gli zeri al numeratore apparirà come 001510000.

Come convertire una frazione comune con un denominatore di 10, 100, 1000, ecc. al decimale?

Regola per convertire le frazioni proprie ordinarie in decimali

1. Scrivi 0 e metti una virgola dopo.
2. Annotiamo il numero dal numeratore ottenuto dopo aver aggiunto gli zeri.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1: conversione delle frazioni in decimali

Convertiamo la frazione 39.100 in un decimale.

Innanzitutto, guardiamo la frazione e vediamo che non è necessario eseguire alcuna azione preparatoria: il numero di cifre nel numeratore coincide con il numero di zeri nel denominatore.

Seguendo la regola, scriviamo 0, mettiamo dopo un punto decimale e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0,39.

Diamo un'occhiata alla soluzione di un altro esempio su questo argomento.

Esempio 2. Conversione di frazioni in decimali

Scriviamo la frazione 105 10000000 come decimale.

Il numero di zeri nel denominatore è 7 e il numeratore ha solo tre cifre. Aggiungiamo altri 4 zeri prima del numero nel numeratore:

0000105 10000000

Ora scriviamo 0, mettiamo un punto decimale dopo e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0,0000105.

Le frazioni considerate in tutti gli esempi sono frazioni proprie ordinarie. Ma come si converte una frazione impropria in un decimale? Diciamo subito che per tali frazioni non è necessaria la preparazione con l'aggiunta di zeri. Formuliamo una regola.

Regola per convertire le frazioni improprie ordinarie in decimali

1. Scrivi il numero che si trova nel numeratore.
2. Usiamo un punto decimale per separare tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore dell'originale frazione comune.

Di seguito è riportato un esempio di come utilizzare questa regola.

Esempio 3. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione 56888038009 100000 da una frazione irregolare ordinaria a un decimale.

Innanzitutto, scriviamo il numero dal numeratore:

Ora, a destra, separiamo cinque cifre con un punto decimale (il numero di zeri nel denominatore è cinque). Noi abbiamo:

La domanda successiva che sorge spontanea è: come convertire un numero misto in una frazione decimale se il denominatore della sua parte frazionaria è il numero 10, 100, 1000, ecc. Per convertire un tale numero in una frazione decimale, puoi utilizzare la seguente regola.

Regola per convertire i numeri misti in decimali

1. Prepariamo la parte frazionaria del numero, se necessario.
2. Scriviamo l'intera parte del numero originale e inseriamo una virgola dopo.
3. Scriviamo il numero dal numeratore della parte frazionaria insieme agli zeri aggiunti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 4: conversione di numeri misti in decimali

Convertiamo il numero misto 23 17 10000 in una frazione decimale.

Nella parte frazionaria abbiamo l'espressione 17 10000. Prepariamolo e aggiungiamo altri due zeri a sinistra del numeratore. Otteniamo: 0017 10000.

Ora scriviamo l'intera parte del numero e mettiamo dopo una virgola: 23, . .

Dopo la virgola decimale, annota il numero dal numeratore insieme agli zeri. Otteniamo il risultato:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversione delle frazioni ordinarie in frazioni periodiche finite e infinite

Naturalmente puoi convertire in decimali e frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10, 100, 1000, ecc.

Spesso una frazione può essere facilmente ridotta a un nuovo denominatore e quindi utilizzare la regola esposta nel primo paragrafo di questo articolo. Ad esempio, è sufficiente moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione 25 per 2 e otteniamo la frazione 410, che può essere facilmente convertita nella forma decimale 0,4.

Tuttavia, questo metodo per convertire una frazione in un numero decimale non può essere sempre utilizzato. Di seguito considereremo cosa fare se è impossibile applicare il metodo considerato.

Fondamentalmente nuovo modo convertire una frazione ordinaria in un decimale si riduce a dividere il numeratore per il denominatore con una colonna. Questa operazione è molto simile alla divisione dei numeri naturali con una colonna, ma ha le sue caratteristiche.

Durante la divisione, il numeratore viene rappresentato come una frazione decimale: viene posizionata una virgola a destra dell'ultima cifra del numeratore e vengono aggiunti gli zeri. Nel quoziente risultante, viene inserito un punto decimale quando termina la divisione della parte intera del numeratore. Come funziona esattamente questo metodo diventerà chiaro dopo aver esaminato gli esempi.

Esempio 5. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione comune 621 4 in forma decimale.

Rappresentiamo il numero 621 dal numeratore come una frazione decimale, aggiungendo alcuni zeri dopo la virgola decimale. 621 = 621,00

Ora dividiamo 621,00 per 4 utilizzando una colonna. I primi tre passaggi della divisione saranno gli stessi della divisione dei numeri naturali e otterremo.

Quando raggiungiamo la virgola nel dividendo e il resto è diverso da zero, inseriamo la virgola nel quoziente e continuiamo a dividere, senza più prestare attenzione alla virgola nel dividendo.

Di conseguenza, otteniamo la frazione decimale 155, 25, che è il risultato dell'inversione della frazione comune 621 4

621 4 = 155 , 25

Diamo un'occhiata a un altro esempio per rafforzare il materiale.

Esempio 6. Conversione di frazioni in decimali

Invertiamo la frazione comune 21 800.

Per fare ciò, dividi la frazione 21.000 in una colonna per 800. La divisione dell'intera parte terminerà al primo passaggio, quindi subito dopo inseriamo un punto decimale nel quoziente e continuiamo la divisione, senza prestare attenzione alla virgola nel dividendo finché non otteniamo un resto pari a zero.

Di conseguenza, abbiamo: 21.800 = 0,02625.

Ma cosa succede se dividendo non otteniamo ancora il resto 0? In questi casi la divisione può essere continuata all'infinito. Tuttavia, a partire da un certo passaggio, i residui verranno ripetuti periodicamente. Di conseguenza, i numeri nel quoziente verranno ripetuti. Ciò significa che una frazione ordinaria viene convertita in una frazione periodica infinita decimale. Illustriamolo con un esempio.

Esempio 7. Conversione di frazioni in decimali

Convertiamo la frazione comune 19 44 in un decimale. Per fare ciò, eseguiamo la divisione per colonna.

Vediamo che durante la divisione si ripetono i residui 8 e 36. In questo caso i numeri 1 e 8 si ripetono nel quoziente. Questo è il periodo nella frazione decimale. Durante la registrazione, questi numeri vengono posti tra parentesi.

Pertanto, la frazione ordinaria originale viene convertita in una frazione decimale periodica infinita.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Consideriamo una frazione ordinaria irriducibile. Che forma assumerà? Quali frazioni ordinarie vengono convertite in numeri decimali finiti e quali vengono convertite in numeri decimali infiniti?

Innanzitutto diciamo che se una frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1000..., allora avrà la forma di una frazione decimale finale. Affinché una frazione possa essere ridotta a uno di questi denominatori, il suo denominatore deve essere un divisore di almeno uno dei numeri 10, 100, 1000, ecc. Dalle regole per la scomposizione dei numeri in fattori primi ne consegue che il divisore dei numeri è 10, 100, 1000, ecc. deve, se scomposto in fattori primi, contenere solo i numeri 2 e 5.

Riassumiamo quanto detto:

1. Una frazione comune può essere ridotta a un decimale finale se il suo denominatore può essere scomposto in fattori primi di 2 e 5.
2. Se, oltre ai numeri 2 e 5, ci sono altri numeri nell'espansione del denominatore numeri primi, la frazione viene ridotta alla forma di una frazione decimale periodica infinita.

Facciamo un esempio.

Esempio 8. Conversione di frazioni in decimali

Quale di queste frazioni 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 viene convertita in una frazione decimale finale e quale - solo in una frazione periodica. Rispondiamo a questa domanda senza convertire direttamente una frazione in un decimale.

La frazione 47 20, come è facile vedere, moltiplicando numeratore e denominatore per 5 si riduce ad un nuovo denominatore 100.

47 20 = 235 100. Da ciò concludiamo che questa frazione viene convertita in una frazione decimale finale.

Fattorizzando il denominatore della frazione 7 12 si ottiene 12 = 2 · 2 · 3. Poiché il fattore primo 3 è diverso da 2 e 5, questa frazione non può essere rappresentata come una frazione decimale finita, ma avrà la forma di una frazione periodica infinita.

La frazione 21 56, in primo luogo, deve essere ridotta. Dopo la riduzione di 7, otteniamo la frazione irriducibile 3 8, il cui denominatore viene fattorizzato per dare 8 = 2 · 2 · 2. Pertanto è una frazione decimale finale.

Nel caso della frazione 31 17, fattorizzare il denominatore è il numero primo 17 stesso. Di conseguenza, questa frazione può essere convertita in una frazione decimale periodica infinita.

Una frazione ordinaria non può essere convertita in una frazione decimale infinita e non periodica

Sopra abbiamo parlato solo di frazioni periodiche finite e infinite. Ma è possibile convertire qualsiasi frazione ordinaria in una frazione infinita non periodica?

Rispondiamo: no!

Importante!

Quando si converte una frazione infinita in un decimale, il risultato è un decimale finito o un decimale periodico infinito.

Il resto della divisione è sempre minore del divisore. In altre parole, secondo il teorema di divisibilità, se ne dividiamo alcuni numero naturale dal numero q, allora il resto della divisione non può in ogni caso essere maggiore di q-1. Una volta completata la divisione, è possibile una delle seguenti situazioni:

1. Otteniamo un resto pari a 0, ed è qui che finisce la divisione.
2. Otteniamo un resto, che si ripete nella divisione successiva, risultando in una frazione periodica infinita.

Non possono esserci altre opzioni quando si converte una frazione in un decimale. Diciamo anche che la lunghezza del periodo (numero di cifre) in una frazione periodica infinita è sempre inferiore al numero di cifre nel denominatore della corrispondente frazione ordinaria.

Conversione dei decimali in frazioni

Ora è il momento di osservare il processo inverso di conversione di una frazione decimale in una frazione comune. Formuliamo una regola di traduzione che comprende tre fasi. Come convertire una frazione decimale in una frazione comune?

Regola per convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie

1. Al numeratore scriviamo il numero della frazione decimale originale, scartando la virgola e tutti gli zeri a sinistra, se presenti.
2. Al denominatore scriviamo uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale.
3. Se necessario, ridurre la frazione ordinaria risultante.

Consideriamo l'applicazione di questa regola con esempi.

Esempio 8. Conversione di frazioni decimali in frazioni ordinarie

Immaginiamo il numero 3.025 come una frazione ordinaria.

1. Scriviamo la frazione decimale stessa al numeratore, scartando la virgola: 3025.
2. Al denominatore scriviamo uno e dopo tre zeri: questo è esattamente il numero di cifre contenute nella frazione originale dopo il punto decimale: 3025 1000.
3. La frazione risultante 3025 1000 può essere ridotta di 25, ottenendo: 3025 1000 = 121 40.

Esempio 9. Conversione di frazioni decimali in frazioni ordinarie

Convertiamo la frazione 0,0017 da decimale a ordinaria.

1. Al numeratore scriviamo la frazione 0, 0017, scartando la virgola e gli zeri a sinistra. Saranno le 17.
2. Scriviamo uno al denominatore e dopo scriviamo quattro zeri: 17 10000. Questa frazione è irriducibile.

Se una frazione decimale ha una parte intera, tale frazione può essere immediatamente convertita in un numero misto. Come farlo?

Formuliamo un'altra regola.

Regola per convertire i decimali in numeri misti.

1. Il numero prima della virgola nella frazione viene scritto come parte intera del numero misto.
2. Al numeratore scriviamo il numero dopo la virgola decimale della frazione, scartando gli zeri a sinistra se ce ne sono.
3. Al denominatore della parte frazionaria aggiungiamo uno e tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola decimale nella parte frazionaria.

Facciamo un esempio

Esempio 10. Conversione di un decimale in un numero misto

Immaginiamo la frazione 155, 06005 come un numero misto.

1. Scriviamo il numero 155 come parte intera.
2. Al numeratore scriviamo i numeri dopo la virgola, scartando lo zero.
3. Scriviamo uno e cinque zeri al denominatore

Impariamo un numero misto: 155 6005 100000

La parte frazionaria può essere ridotta di 5. Lo accorciamo e otteniamo il risultato finale:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversione di infiniti decimali periodici in frazioni

Diamo un'occhiata ad esempi su come convertire le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie. Prima di iniziare, chiariamo: qualsiasi frazione decimale periodica può essere convertita in una frazione ordinaria.

Il caso più semplice è quando il periodo della frazione è zero. Frazione periodica con un punto zero viene sostituito da una frazione decimale finale e il processo di inversione di tale frazione si riduce all'inversione della frazione decimale finale.

Esempio 11. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Invertiamo la frazione periodica 3, 75 (0).

Eliminando gli zeri a destra otteniamo la frazione decimale finale 3,75.

Convertendo questa frazione in frazione ordinaria utilizzando l'algoritmo discusso nei paragrafi precedenti, otteniamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Cosa succede se il periodo della frazione è diverso da zero? La parte periodica va considerata come la somma dei termini di una progressione geometrica, che decresce. Spieghiamolo con un esempio:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Esiste una formula per la somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita. Se il primo termine della progressione è b e il denominatore q è tale che 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi utilizzando questa formula.

Esempio 12. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Prendiamo una frazione periodica 0, (8) e dobbiamo convertirla in una frazione ordinaria.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Qui abbiamo una diminuzione infinita progressione geometrica con il primo termine 0,8 e il denominatore 0,1.

Applichiamo la formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Questa è la frazione ordinaria richiesta.

Per consolidare il materiale, considera un altro esempio.

Esempio 13. Conversione di una frazione decimale periodica in una frazione comune

Invertiamo la frazione 0, 43 (18).

Per prima cosa scriviamo la frazione come somma infinita:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Diamo un'occhiata ai termini tra parentesi. Questa progressione geometrica può essere rappresentata come segue:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Sommiamo il risultato alla frazione finale 0,43 = 43 100 e otteniamo il risultato:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Dopo aver sommato e ridotto queste frazioni, otteniamo la risposta finale:

0 , 43 (18) = 19 44

Per concludere questo articolo, diremo che le frazioni decimali infinite non periodiche non possono essere convertite in frazioni ordinarie.

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In questo articolo vedremo come convertire le frazioni in decimali e considera anche il processo inverso: convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie. Qui delineeremo le regole per la conversione delle frazioni e forniremo soluzioni dettagliate ad esempi tipici.

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Conversione delle frazioni in decimali

Indichiamo la sequenza in cui ci occuperemo convertire le frazioni in decimali.

Per prima cosa vedremo come rappresentare le frazioni con denominatori 10, 100, 1.000, ... come decimali. Ciò è spiegato dal fatto che le frazioni decimali sono essenzialmente una forma compatta di scrittura delle frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ....

Successivamente andremo oltre e mostreremo come scrivere qualsiasi frazione ordinaria (non solo quelle con denominatore 10, 100, ...) come frazione decimale. Quando le frazioni ordinarie vengono trattate in questo modo, si ottengono sia frazioni decimali finite che frazioni decimali periodiche infinite.

Ora parliamo di tutto in ordine.

Conversione di frazioni comuni con denominatori 10, 100, ... in decimali

Alcune frazioni proprie richiedono una "preparazione preliminare" prima di essere convertite in decimali. Questo vale per le frazioni ordinarie, il cui numero di cifre nel numeratore è inferiore al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, la frazione comune 2/100 deve prima essere preparata per la conversione in frazione decimale, ma la frazione 9/10 non necessita di alcuna preparazione.

La “preparazione preliminare” delle frazioni ordinarie proprie per la conversione in frazioni decimali consiste nell'aggiungere a sinistra del numeratore tanti zeri da totale le cifre diventavano uguali al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, una frazione dopo aver aggiunto gli zeri sarà simile a .

Una volta preparata la frazione corretta, puoi iniziare a convertirla in un numero decimale.

Diamo regola per convertire una frazione comune propria con denominatore 10, o 100, o 1.000, ... in una frazione decimale. Si compone di tre fasi:

• scrivi 0;
• dopo di esso inseriamo un punto decimale;
• Annotiamo il numero dal numeratore (insieme agli zeri aggiunti, se li abbiamo aggiunti).

Consideriamo l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi.

Esempio.

Converti la frazione propria 37/100 in un decimale.

Soluzione.

Il denominatore contiene il numero 100, che ha due zeri. Il numeratore contiene il numero 37, la sua notazione ha due cifre, pertanto non è necessario preparare questa frazione per la conversione in una frazione decimale.

Ora scriviamo 0, mettiamo un punto decimale e scriviamo il numero 37 dal numeratore e otteniamo la frazione decimale 0,37.

Risposta:

0,37 .

Per rafforzare le capacità di convertire le frazioni ordinarie proprie con numeratori 10, 100, ... in frazioni decimali, analizzeremo la soluzione con un altro esempio.

Esempio.

Scrivi la frazione propria 107/10.000.000 come decimale.

Soluzione.

Il numero di cifre nel numeratore è 3 e il numero di zeri nel denominatore è 7, quindi questa frazione comune deve essere preparata per la conversione in un decimale. Dobbiamo aggiungere 7-3=4 zeri a sinistra nel numeratore in modo che il numero totale di cifre diventi uguale al numero di zeri nel denominatore. Noi abbiamo.

Tutto ciò che resta da fare è creare la frazione decimale richiesta. Per fare questo, in primo luogo, scriviamo 0, in secondo luogo, inseriamo una virgola, in terzo luogo, scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri 0000107, di conseguenza otteniamo una frazione decimale 0,0000107.

Risposta:

0,0000107 .

Le frazioni improprie non richiedono alcuna preparazione durante la conversione in decimali. È necessario attenersi a quanto segue regole per convertire le frazioni improprie con denominatori 10, 100, ... in decimali:

• annotare il numero dal numeratore;
• Usiamo un punto decimale per separare tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione originale.

Diamo un'occhiata all'applicazione di questa regola quando risolviamo un esempio.

Esempio.

Converti la frazione impropria 56.888.038.009/100.000 in un numero decimale.

Soluzione.

Innanzitutto scriviamo il numero dal numeratore 56888038009 e, in secondo luogo, separiamo le 5 cifre a destra con un punto decimale, poiché il denominatore della frazione originale ha 5 zeri. Di conseguenza, abbiamo la frazione decimale 568880.38009.

Risposta:

568 880,38009 .

Per convertire un numero misto in una frazione decimale, il cui denominatore della parte frazionaria è il numero 10, o 100, o 1.000, ..., è possibile convertire il numero misto in una frazione ordinaria impropria, e quindi convertire il risultato frazione in una frazione decimale. Ma puoi anche usare quanto segue la regola per convertire i numeri misti con denominatore frazionario di 10, o 100, o 1.000, ... in frazioni decimali:

• se necessario, eseguire " preparazione preliminare» parte frazionaria del numero misto originale, sommando importo richiesto zeri a sinistra nel numeratore;
• annotare la parte intera del numero misto originale;
• metti un punto decimale;
• Annotiamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti.

Consideriamo un esempio in cui completiamo tutti i passaggi necessari per rappresentare un numero misto come frazione decimale.

Esempio.

Converti il ​​numero misto in un decimale.

Soluzione.

Il denominatore della parte frazionaria ha 4 zeri, ma il numeratore contiene il numero 17, composto da 2 cifre, quindi dobbiamo aggiungere due zeri a sinistra nel numeratore in modo che il numero di cifre diventi uguale al numero di zeri al denominatore. Fatto ciò il numeratore sarà 0017.

Ora scriviamo la parte intera del numero originale, cioè il numero 23, mettiamo un punto decimale, dopodiché scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti, cioè 0017, e otteniamo il decimale desiderato frazione 23.0017.

Scriviamo brevemente tutta la soluzione: .

Naturalmente era possibile prima rappresentare il numero misto come frazione impropria e poi convertirlo in frazione decimale. Con questo approccio, la soluzione è simile alla seguente: .

Risposta:

23,0017 .

Conversione delle frazioni in decimali periodici finiti e infiniti

Puoi convertire non solo le frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ... in una frazione decimale, ma anche le frazioni ordinarie con altri denominatori. Ora scopriremo come è fatto.

In alcuni casi, la frazione ordinaria originaria si riduce facilmente a uno dei denominatori 10, o 100, o 1.000, ... (vedi portare una frazione ordinaria a un nuovo denominatore), dopodiché non è difficile rappresentare la frazione risultante come frazione decimale. Ad esempio, è ovvio che la frazione 2/5 può essere ridotta a una frazione con denominatore 10, per questo è necessario moltiplicare numeratore e denominatore per 2, che darà la frazione 4/10, che, secondo la regole discusse nel paragrafo precedente, si converte facilmente nella frazione decimale 0, 4 .

In altri casi, per convertire una frazione ordinaria in un numero decimale è necessario utilizzare un altro metodo, che ora esamineremo.

Per convertire una frazione ordinaria in una frazione decimale, il numeratore della frazione viene diviso per il denominatore, il numeratore viene prima sostituito da una frazione decimale uguale con un numero qualsiasi di zeri dopo la virgola decimale (ne abbiamo parlato nella sezione uguale e frazioni decimali disuguali). In questo caso, la divisione viene eseguita allo stesso modo della divisione per una colonna di numeri naturali, e nel quoziente viene inserito un punto decimale quando termina la divisione dell'intera parte del dividendo. Tutto ciò risulterà chiaro dalle soluzioni agli esempi riportati di seguito.

Esempio.

Converti la frazione 621/4 in un decimale.

Soluzione.

Rappresentiamo il numero al numeratore 621 come una frazione decimale, aggiungendo un punto decimale e diversi zeri dopo di esso. Per prima cosa aggiungiamo 2 cifre 0, poi, se necessario, possiamo sempre aggiungere più zeri. Quindi, abbiamo 621,00.

Ora dividiamo il numero 621.000 per 4 con una colonna. I primi tre passaggi non sono diversi dalla divisione dei numeri naturali per una colonna, dopodiché arriviamo alla seguente immagine:

In questo modo arriviamo alla virgola decimale nel dividendo e il resto è diverso da zero. In questo caso inseriamo la virgola nel quoziente e continuiamo a dividere in colonna, senza prestare attenzione alle virgole:

Ciò completa la divisione e di conseguenza otteniamo la frazione decimale 155,25, che corrisponde alla frazione ordinaria originale.

Risposta:

155,25 .

Per consolidare il materiale, considera la soluzione ad un altro esempio.

Esempio.

Converti la frazione 21/800 in un decimale.

Soluzione.

Per convertire questa frazione comune in un decimale, dividiamo con una colonna della frazione decimale 21.000... per 800. Dopo il primo passaggio, dovremo inserire la virgola decimale nel quoziente, e poi continuare la divisione:

Alla fine abbiamo ottenuto il resto 0, questo completa la conversione della frazione comune 21/400 in frazione decimale e siamo arrivati ​​alla frazione decimale 0,02625.

Risposta:

0,02625 .

Può succedere che dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione ordinaria non si ottenga comunque il resto di 0. In questi casi la divisione può essere continuata indefinitamente. Tuttavia, a partire da un certo passo, i resti cominciano a ripetersi periodicamente e anche i numeri del quoziente si ripetono. Ciò significa che la frazione originale viene convertita in una frazione decimale periodica infinita. Mostriamolo con un esempio.

Esempio.

Scrivi la frazione 19/44 come decimale.

Soluzione.

Per convertire una frazione ordinaria in un decimale, esegui la divisione per colonna:

È già chiaro che durante la divisione cominciarono a ripetersi i residui 8 e 36, mentre nel quoziente si ripetono i numeri 1 e 8. Pertanto, la frazione comune originale 19/44 viene convertita in una frazione decimale periodica 0,43181818...=0,43(18).

Risposta:

0,43(18) .

Per concludere questo punto, scopriremo quali frazioni ordinarie possono essere convertite in frazioni decimali finite e quali possono essere convertite solo in frazioni periodiche.

Abbiamo una frazione ordinaria irriducibile davanti a noi (se la frazione è riducibile, allora riduciamo prima la frazione) e dobbiamo scoprire in quale frazione decimale può essere convertita: finita o periodica.

È chiaro che se una frazione ordinaria può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1.000, ..., allora la frazione risultante può essere facilmente convertita in una frazione decimale finale secondo le regole discusse nel paragrafo precedente. Ma ai denominatori 10, 100, 1.000, ecc. Non tutte le frazioni ordinarie sono indicate. A tali denominatori possono essere ridotte solo le frazioni i cui denominatori sono almeno uno dei numeri 10, 100, ... E quali numeri possono essere divisori di 10, 100, ...? I numeri 10, 100, ... ci permetteranno di rispondere a questa domanda, e sono i seguenti: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Ne consegue che i divisori sono 10, 100, 1.000, ecc. Possono esserci solo numeri la cui scomposizione in fattori primi contenga solo i numeri 2 e (o) 5.

Ora possiamo trarre una conclusione generale sulla conversione delle frazioni ordinarie in decimali:

• se nella scomposizione del denominatore in fattori primi sono presenti solo i numeri 2 e (o) 5, allora questa frazione può essere convertita in una frazione decimale finale;
• se, oltre ai due e ai cinque, ci sono altri numeri primi nell'espansione del denominatore, allora questa frazione viene convertita in una frazione periodica decimale infinita.

Esempio.

Senza convertire le frazioni ordinarie in decimali, dimmi quale delle frazioni 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 può essere convertita in una frazione decimale finale e quali possono essere convertite solo in una frazione periodica.

Soluzione.

Il denominatore della frazione 47/20 viene scomposto in fattori primi come 20=2·2·5. In questa espansione ci sono solo due e cinque, quindi questa frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1.000, ... (in questo esempio, al denominatore 100), quindi può essere convertita in un decimale finale frazione.

La scomposizione del denominatore della frazione 7/12 in fattori primi ha la forma 12=2·2·3. Poiché contiene un fattore primo pari a 3, diverso da 2 e 5, questa frazione non può essere rappresentata come un decimale finito, ma può essere convertita in un decimale periodico.

Frazione 21/56 – contrattile, dopo la contrazione assume la forma 3/8. La fattorizzazione del denominatore in fattori primi contiene tre fattori pari a 2, pertanto la frazione comune 3/8, e quindi la frazione uguale 21/56, può essere convertita in una frazione decimale finale.

Infine, l'espansione del denominatore della frazione 31/17 è essa stessa 17, quindi questa frazione non può essere convertita in una frazione decimale finita, ma può essere convertita in una frazione periodica infinita.

Risposta:

47/20 e 21/56 possono essere convertiti in una frazione decimale finita, ma 7/12 e 31/17 possono essere convertiti solo in una frazione periodica.

Le frazioni ordinarie non si convertono in infiniti decimali non periodici

Le informazioni del paragrafo precedente fanno sorgere la domanda: “Dividendo il numeratore di una frazione per il denominatore si può ottenere una frazione infinita non periodica?”

Risposta: no. Quando si converte una frazione comune, il risultato può essere una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita. Spieghiamo perché è così.

Dal teorema sulla divisibilità con resto, è chiaro che il resto è sempre minore del divisore, cioè se dividiamo un intero per un intero q, allora il resto può essere solo uno dei numeri 0, 1, 2 , ..., q−1. Ne consegue che dopo che la colonna ha completato la divisione della parte intera del numeratore di una frazione ordinaria per il denominatore q, in non più di q passi si presenterà una delle due situazioni seguenti:

• oppure otterremo un resto pari a 0, questo porrà fine alla divisione, e otterremo la frazione decimale finale;
• oppure otterremo un resto già comparso prima, dopodiché i resti inizieranno a ripetersi come nell'esempio precedente (poiché dividendo numeri uguali si ottengono resti uguali su q, che segue dal già citato teorema di divisibilità), ciò risulterà in una frazione decimale periodica infinita.

Non possono esserci altre opzioni, quindi, quando si converte una frazione ordinaria in una frazione decimale, non è possibile ottenere una frazione decimale non periodica infinita.

Dal ragionamento fatto in questo paragrafo consegue anche che la lunghezza del periodo di una frazione decimale è sempre inferiore al valore del denominatore della corrispondente frazione ordinaria.

Conversione dei decimali in frazioni

Ora scopriamo come convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria. Iniziamo convertendo le frazioni decimali finali in frazioni ordinarie. Successivamente, considereremo un metodo per invertire infinite frazioni decimali periodiche. In conclusione, diciamo dell'impossibilità di convertire infinite frazioni decimali non periodiche in frazioni ordinarie.

Conversione dei decimali finali in frazioni

Ottenere una frazione scritta come decimale finale è abbastanza semplice. La regola per convertire una frazione decimale finale in una frazione comune consiste di tre passaggi:

• per prima cosa scrivere al numeratore la frazione decimale data, avendo precedentemente scartato il punto decimale e tutti gli zeri a sinistra, se presenti;
• in secondo luogo, scrivi uno al denominatore e aggiungi tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale;
• in terzo luogo, se necessario, ridurre la frazione risultante.

Vediamo le soluzioni degli esempi.

Esempio.

Converti il ​​decimale 3.025 in una frazione.

Soluzione.

Se rimuoviamo il punto decimale dalla frazione decimale originale, otteniamo il numero 3.025. Non ci sono zeri a sinistra che vorremmo scartare. Quindi scriviamo 3.025 al numeratore della frazione desiderata.

Scriviamo il numero 1 al denominatore e aggiungiamo 3 zeri alla sua destra, poiché nella frazione decimale originale ci sono 3 cifre dopo la virgola.

Quindi abbiamo ottenuto la frazione comune 3.025/1.000. Questa frazione può essere ridotta di 25, otteniamo .

Risposta:

.

Esempio.

Converti la frazione decimale 0,0017 in una frazione.

Soluzione.

Senza punto decimale la frazione decimale originale appare come 00017, scartando gli zeri a sinistra otteniamo il numero 17, che è il numeratore della frazione ordinaria desiderata.

Scriviamo uno con quattro zeri al denominatore, poiché la frazione decimale originale ha 4 cifre dopo la virgola.

Di conseguenza, abbiamo una frazione ordinaria 17/10.000. Questa frazione è irriducibile e la conversione di una frazione decimale in una frazione ordinaria è completa.

Risposta:

.

Quando la parte intera della frazione decimale finale originale è diversa da zero, può essere immediatamente convertita in un numero misto, ignorando la frazione comune. Diamo regola per convertire una frazione decimale finale in un numero misto:

• il numero prima della virgola deve essere scritto come parte intera del numero misto desiderato;
• nel numeratore della parte frazionaria bisogna scrivere il numero ottenuto dalla parte frazionaria della frazione decimale originale dopo aver scartato tutti gli zeri a sinistra;
• al denominatore della parte frazionaria bisogna scrivere il numero 1, a cui aggiungere tanti zeri a destra quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale;
• se necessario, riduci la parte frazionaria del numero misto risultante.

Diamo un'occhiata ad un esempio di conversione di una frazione decimale in un numero misto.

Esempio.

Esprimi la frazione decimale 152.06005 come numero misto

Frazione periodica

una frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo punto, c'è solo un certo gruppo di cifre ripetuto periodicamente. Ad esempio, 1.3181818...; In breve, questa frazione si scrive così: 1.3(18), cioè mettono il punto tra parentesi (e dicono: “18 nel periodo”). P. si dice puro se il punto inizia subito dopo la virgola, ad esempio 2(71) = 2.7171..., e misto se dopo la virgola ci sono numeri che precedono il punto, ad esempio 1.3(18). Il ruolo delle frazioni decimali nell'aritmetica è dovuto al fatto che quando i numeri razionali, cioè le frazioni ordinarie (semplici), sono rappresentati da frazioni decimali, si ottengono sempre frazioni finite o periodiche. Più precisamente: una frazione decimale finale si ottiene quando il denominatore di una frazione semplice irriducibile non contiene altri fattori primi oltre a 2 e 5; in tutti gli altri casi il risultato è una frazione P., e inoltre è pura se il denominatore di una data frazione irriducibile non contiene affatto i fattori 2 e 5, e mista se almeno uno di questi fattori è contenuto al denominatore. Qualsiasi P.D. può essere convertito in frazione semplice(cioè è uguale a un numero razionale). Una frazione pura è uguale a una frazione semplice, il cui numeratore è il periodo, e il denominatore è rappresentato dal numero 9, scritto tante volte quante sono le cifre del periodo; Quando si converte una frazione mista in frazione semplice, il numeratore è la differenza tra il numero rappresentato dai numeri che precedono il secondo periodo e il numero rappresentato dai numeri che precedono il primo periodo; Per comporre il denominatore, è necessario scrivere il numero 9 tante volte quanti sono i numeri nel punto e aggiungere a destra tanti zeri quanti sono i numeri prima del punto. Queste regole presuppongono che il dato P. sia corretto, cioè non contenga unità intere; altrimenti viene data particolare considerazione all'intera parte.

Sono note anche le regole per determinare la lunghezza del periodo di una frazione corrispondente ad una data frazione ordinaria. Ad esempio, per una frazione a/p, Dove R - numero primo e 1 ≤ UN ≤ P- 1, la durata del periodo è un divisore R - 1. Quindi, per approssimazioni note a un numero (vedi Pi) I periodi 22/7 e 355/113 sono rispettivamente pari a 6 e 112.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Sinonimi:

Scopri cos'è la "frazione periodica" in altri dizionari:

Una frazione decimale infinita in cui, ad esempio, a partire da una certa posizione si ripete periodicamente un certo gruppo di cifre (punto). 0,373737... frazione periodica pura o 0,253737... frazione periodica mista... Grande dizionario enciclopedico

Frazione, frazione infinita Dizionario dei sinonimi russi. sostantivo frazione periodica, numero di sinonimi: 2 frazione infinita (2) ... Dizionario dei sinonimi

Una frazione decimale in cui una serie di cifre vengono ripetute nello stesso ordine. Ad esempio, 0,135135135... è un p.d. il cui periodo è 135 e che equivale alla frazione semplice 135/999 = 5/37. Dizionario parole straniere, incluso nella lingua russa. Pavlenkov F... Dizionario delle parole straniere della lingua russa

Un decimale è una frazione con denominatore 10n, dove n è un numero naturale. Ha una forma speciale di notazione: una parte intera in sistema decimale numero, poi una virgola e poi una parte frazionaria nel sistema numerico decimale e il numero di cifre della parte frazionaria ... Wikipedia

Frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo punto, si ripete periodicamente un certo gruppo di cifre (punto); ad esempio, 0,373737... frazione periodica pura o 0,253737... frazione periodica mista. * * * PERIODICO… … Dizionario enciclopedico

Frazione decimale infinita in cui, a partire da un certo punto, la definizione si ripete periodicamente. gruppo di cifre (punto); ad esempio 0,373737... P. d. puro oppure 0,253737... P. d. misto ... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Vedi parte... Dizionario dei sinonimi russi ed espressioni simili. Sotto. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. frazione trifle, parte; dunst, palla, pasto, pallettoni; un numero frazionario Dizionario dei sinonimi russi... Dizionario dei sinonimi

decimale periodico- - [L.G.Sumenko. Dizionario inglese-russo sull'informatica. M.: Impresa statale TsNIIS, 2003.] Argomenti tecnologie dell'informazione in generale IT decimale circolantedecimale ricorrentedecimale periodicodecimale periodicodecimale periodico ... Guida del traduttore tecnico

Se un intero a viene diviso per un altro intero b, cioè si cerca un numero x che soddisfa la condizione bx = a, allora possono verificarsi due casi: o nella serie degli interi c'è un numero x che soddisfa questa condizione, oppure risulta,… … Dizionario Enciclopedico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

Una frazione il cui denominatore è una potenza intera di 10. Le frazioni vengono scritte senza denominatore, separando con una virgola tante cifre nel numeratore a destra quanti sono gli zeri nel denominatore. Ad esempio, in un disco del genere, la parte a sinistra... ... Grande Enciclopedia Sovietica