Espressioni logaritmiche, esempi di risoluzione. In questo articolo esamineremo i problemi relativi alla risoluzione dei logaritmi. I compiti pongono la questione di trovare il significato di un'espressione. Va notato che il concetto di logaritmo viene utilizzato in molti compiti e comprenderne il significato è estremamente importante. Per quanto riguarda l'Esame di Stato Unificato, il logaritmo viene utilizzato quando si risolvono equazioni, in problemi applicati e anche in compiti relativi allo studio delle funzioni.

Facciamo degli esempi per comprendere il significato stesso del logaritmo:

Identità logaritmica di base:

Proprietà dei logaritmi che vanno sempre ricordate:

*Logaritmo del prodotto pari alla somma logaritmi dei fattori.

* * *

*Logaritmo del quoziente (frazione) uguale alla differenza logaritmi dei fattori.

* * *

*Il logaritmo di un esponente è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base.

* * *

*Transizione ad una nuova fondazione

* * *

Altre proprietà:

* * *

Il calcolo dei logaritmi è strettamente correlato all'uso delle proprietà degli esponenti.

Ne elenchiamo alcuni:

L'essenza di questa proprietà è che quando il numeratore viene trasferito al denominatore e viceversa, il segno dell'esponente cambia al contrario. Per esempio:

Un corollario da questa proprietà:

* * *

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti si moltiplicano.

* * *

Come hai visto, il concetto stesso di logaritmo è semplice. La cosa principale è che hai bisogno di una buona pratica, che ti dia una certa abilità. Naturalmente è richiesta la conoscenza delle formule. Se l'abilità nella conversione dei logaritmi elementari non è stata sviluppata, quando si risolvono compiti semplici si può facilmente commettere un errore.

Esercitati, risolvi prima gli esempi più semplici del corso di matematica, poi passa a quelli più complessi. In futuro mostrerò sicuramente come si risolvono i logaritmi “brutti”: questi non appariranno all’Esame di Stato Unificato, ma interessano, non perdeteli!

È tutto! Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

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Istruzioni

Annotare il dato espressione logaritmica. Se l'espressione utilizza il logaritmo 10, la sua notazione viene abbreviata e assomiglia a questa: lg b è il logaritmo decimale. Se il logaritmo ha come base il numero e, allora scrivi l’espressione: ln b – logaritmo naturale. Resta inteso che il risultato di any è la potenza alla quale bisogna elevare il numero base per ottenere il numero b.

Quando trovi la somma di due funzioni, devi semplicemente differenziarle una per una e sommare i risultati: (u+v)" = u"+v";

Per trovare la derivata del prodotto di due funzioni, è necessario moltiplicare la derivata della prima funzione per la seconda e sommare la derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima funzione: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Per trovare la derivata del quoziente di due funzioni, è necessario sottrarre dal prodotto della derivata del dividendo moltiplicato per la funzione divisore il prodotto della derivata del divisore moltiplicato per la funzione dividendo, e dividere tutto questo tramite la funzione divisore al quadrato. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se dato funzione complessa, allora è necessario moltiplicare la derivata di funzione interna e la derivata di quella esterna. Sia y=u(v(x)), allora y"(x)=y"(u)*v"(x).

Utilizzando i risultati ottenuti sopra, puoi differenziare quasi tutte le funzioni. Quindi diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ci sono anche problemi che riguardano il calcolo della derivata in un punto. Data la funzione y=e^(x^2+6x+5), devi trovare il valore della funzione nel punto x=1.
1) Trova la derivata della funzione: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcolare il valore della funzione in dato punto y"(1)=8*e^0=8

Video sull'argomento

Consigli utili

Impara la tavola delle derivate elementari. Ciò farà risparmiare notevolmente tempo.

Fonti:

• derivata di una costante

Allora, qual è la differenza tra equazione razionale dal razionale? Se la variabile sconosciuta è sotto il segno radice quadrata, allora l'equazione è considerata irrazionale.

Istruzioni

Il metodo principale per risolvere tali equazioni è il metodo di costruzione di entrambi i lati equazioni in un quadrato. Tuttavia. questo è naturale, la prima cosa che devi fare è sbarazzarti del segno. Questo metodo non è tecnicamente difficile, ma a volte può causare problemi. Ad esempio, l'equazione è v(2x-5)=v(4x-7). Elevando al quadrato entrambi i lati ottieni 2x-5=4x-7. Risolvere una simile equazione non è difficile; x=1. Ma il numero 1 non verrà dato equazioni. Perché? Sostituisci uno nell'equazione invece del valore di x E i lati destro e sinistro conterranno espressioni che non hanno senso. Questo valore non è valido per una radice quadrata. Pertanto, 1 è una radice estranea e quindi questa equazione non ha radici.

COSÌ, equazione irrazionale si risolve utilizzando il metodo della quadratura di entrambe le sue parti. E dopo aver risolto l'equazione, è necessario tagliare le radici estranee. Per fare ciò, sostituisci le radici trovate nell'equazione originale.

Considerane un altro.
2х+vх-3=0
Naturalmente, questa equazione può essere risolta utilizzando la stessa equazione della precedente. Sposta composti equazioni, che non hanno radice quadrata, in lato destro e quindi utilizzare il metodo della quadratura. risolvere l'equazione razionale e le radici risultanti. Ma anche un altro, più elegante. Inserisci una nuova variabile; vх=y. Di conseguenza, riceverai un'equazione della forma 2y2+y-3=0. Cioè, il solito equazione quadrata. Trova le sue radici; y1=1 e y2=-3/2. Quindi, risolvine due equazioni vх=1; vх=-3/2. La seconda equazione non ha radici; dalla prima risulta che x=1. Non dimenticare di controllare le radici.

Risolvere le identità è abbastanza semplice. Per fare ciò, è necessario eseguire trasformazioni identiche fino al raggiungimento dell'obiettivo prefissato. Pertanto, con l'aiuto di semplici operazioni aritmetiche, il compito da svolgere verrà risolto.

Avrai bisogno

• - carta;
• - penna.

Istruzioni

Le più semplici di tali trasformazioni sono le moltiplicazioni algebriche abbreviate (come il quadrato della somma (differenza), la differenza dei quadrati, la somma (differenza), il cubo della somma (differenza)). Inoltre ce ne sono molti formule trigonometriche, che sono essenzialmente le stesse identità.

Infatti, il quadrato della somma di due termini è uguale al quadrato del primo più il doppio del prodotto del primo per il secondo e più il quadrato del secondo, cioè (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Semplifica entrambi

Principi generali della soluzione

Ripeti dal tuo libro di testo di calcolo o matematica superiore, che è un integrale definito. Come è noto, la soluzione di un integrale definito è una funzione la cui derivata darà un integrando. Questa funzione è chiamata antiderivativa. Sulla base di questo principio vengono costruiti gli integrali di base.
Determinare in base al tipo di integrando quale degli integrali della tabella è adatto in questo caso. Non è sempre possibile determinarlo immediatamente. Spesso la forma tabellare diventa evidente solo dopo diverse trasformazioni per semplificare l'integrando.

Metodo di sostituzione variabile

Se la funzione integranda è funzione trigonometrica, il cui argomento contiene un polinomio, prova a utilizzare il metodo di sostituzione delle variabili. Per fare ciò, sostituisci il polinomio nell'argomento dell'integrando con una nuova variabile. In base alla relazione tra le nuove e le vecchie variabili, determinare i nuovi limiti di integrazione. Differenziando questa espressione, trova il nuovo differenziale in . Quindi otterrai il nuovo tipo dell'integrale precedente, vicino o addirittura corrispondente a qualsiasi integrale tabulare.

Risoluzione di integrali di seconda specie

Se l'integrale è un integrale del secondo tipo, una forma vettoriale dell'integrando, allora sarà necessario utilizzare le regole per il passaggio da questi integrali a quelli scalari. Una di queste regole è la relazione Ostrogradsky-Gauss. Questa legge ci permette di passare dal flusso rotorico di una certa funzione vettoriale all'integrale triplo sulla divergenza di un dato campo vettoriale.

Sostituzione dei limiti di integrazione

Dopo aver trovato l'antiderivativa è necessario sostituire i limiti di integrazione. Innanzitutto, sostituisci il valore del limite superiore nell'espressione dell'antiderivativa. Riceverai un certo numero. Successivamente, sottrai dal numero risultante un altro numero ottenuto dal limite inferiore nell'antiderivativa. Se uno dei limiti dell'integrazione è l'infinito, allora quando lo si sostituisce in funzione antiderivativaè necessario andare al limite e trovare ciò a cui tende l'espressione.
Se l'integrale è bidimensionale o tridimensionale, allora bisognerà rappresentare geometricamente i limiti dell'integrazione per capire come valutare l'integrale. Infatti, nel caso, ad esempio, di un integrale tridimensionale, i limiti di integrazione possono essere interi piani che limitano il volume da integrare.

Oggi parleremo di formule logaritmiche e dare indicativo esempi di soluzioni.

Essi stessi implicano schemi di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule dei logaritmi da risolvere, ricordiamoci di tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostreremo esempi di risoluzione dei logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (indicato con log a b) è un esponente al quale a deve essere elevato per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione, log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 23 = 8

log 7 49 = 2, perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimale- questo è un logaritmo ordinario, la cui base è 10. È indicato come lg.

log 10 100 = 2, perché 10 2 = 100

Logaritmo naturale- anch'esso un logaritmo ordinario, un logaritmo, ma in base e (e = 2,71828... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È consigliabile memorizzare le formule o le proprietà dei logaritmi, perché ne avremo bisogno in seguito quando risolveremo i logaritmi, equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Esaminiamo nuovamente ciascuna formula con esempi.

• Identità logaritmica di base
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà della potenza di un numero logaritmico e base del logaritmo

  Esponente del numero logaritmico log a b m = mlog a b

  Esponente di base registro dei logaritmi a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transizione ad una nuova fondazione
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  allora log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule per i logaritmi non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver esaminato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: abbiamo deciso di scegliere un corso diverso di istruzione e di studiare all'estero come opzione.

1.1. Determinazione dell'esponente di un esponente intero

X1 = X
X2 = X*X
X3 = X*X*X
…
X N = X * X * … * X - N volte

1.2. Grado zero.

Per definizione, è generalmente accettato che la potenza zero di qualsiasi numero sia 1:

1.3. Grado negativo.

X -N = 1/X N

1.4. Potenza frazionaria, radice.

X 1/N = N radice di X.

Ad esempio: X 1/2 = √X.

1.5. Formula per aggiungere poteri.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula per sottrarre poteri.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula per moltiplicare le potenze.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula per elevare una frazione a potenza.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Numero e.

Il valore del numero e è pari al seguente limite:

E = lim(1+1/N), poiché N → ∞.

Con una precisione di 17 cifre, il numero e è 2.71828182845904512.

3. Uguaglianza di Eulero.

Questa uguaglianza collega cinque numeri che svolgono un ruolo speciale in matematica: 0, 1, e, pi, unità immaginaria.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Funzione esponenziale exp(x)

esp(x) = ex

5. Derivato della funzione esponenziale

La funzione esponenziale ha una proprietà notevole: la derivata della funzione è uguale a se stessa. funzione esponenziale:

(esper(x))" = esp(x)

6. Logaritmo.

6.1. Definizione della funzione logaritmo

Se x = b y, la funzione è il logaritmo

Y = logaritmo b(x).

Il logaritmo mostra a quale potenza deve essere elevato un numero: la base del logaritmo (b) per ottenere un dato numero (X). La funzione logaritmo è definita per X maggiore di zero.

Ad esempio: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logaritmo decimale

Questo è il logaritmo in base 10:

Y = Logaritmo 10 (x) .

Indicato con Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Un esempio dell'uso del logaritmo decimale è il decibel.

6.3. Decibel

La voce è evidenziata in una pagina separata Decibel

6.4. Logaritmo binario

Questo è il logaritmo in base 2:

Y = Logaritmo 2 (x).

Denotato con Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritmo naturale

Questo è il logaritmo in base e:

Y = Log e (x) .

Denotato con Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritmo naturale - funzione inversa alla funzione esponenziale exp(X).

6.6. Punti caratteristici

Loga(1) = 0
Logaritmo a(a) = 1

6.7. Formula del logaritmo del prodotto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula per il logaritmo del quoziente

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logaritmo della formula di potenza

Logaritmo a (x y) = y*Logaritmo a (x)

6.10. Formula per la conversione in un logaritmo con base diversa

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Esempio:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule utili nella vita

Spesso ci sono problemi nel convertire il volume in area o lunghezza e problema inverso- conversione dell'area in volume. Ad esempio, le tavole vengono vendute in cubi (metri cubi) e dobbiamo calcolare quanta area della parete può essere coperta con tavole contenute in un determinato volume, vedere Calcolo delle tavole, quante tavole ci sono in un cubo. Oppure, se si conoscono le dimensioni del muro, è necessario calcolare il numero di mattoni, vedere calcolo dei mattoni.

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