Su šiuo internetinis skaičiuotuvas galite rasti atstumą tarp tiesių erdvėje. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami apskaičiuoti atstumą tarp linijų erdvėje, nustatykite linijų lygties tipą („kanoninė“ arba „parametrinė“), langeliuose įveskite linijų lygčių koeficientus ir spustelėkite mygtuką „Spręsti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama a/b forma, kur a ir b (b>0) yra sveikieji skaičiai arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Atstumas tarp linijų erdvėje – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxyz L 1 ir L 2:

.

(1)

,

(2)

Kur M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − taškai, esantys ant tiesių L 1 ir L 2, a q 1 ={m 1 , p 1 , l 1) ir q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 ) – tiesių krypties vektoriai L 1 ir L 2, atitinkamai.

Tiesės (1) ir (2) erdvėje gali sutapti, būti lygiagrečios, susikerta arba susikerta. Jei linijos erdvėje susikerta arba sutampa, tada atstumas tarp jų lygus nuliui. Apsvarstysime du atvejus. Pirmasis yra tas, kad linijos yra lygiagrečios, o antrasis yra tai, kad linijos susikerta. Likusieji yra įprasti atvejai. Jei skaičiuodami atstumą tarp lygiagrečių tiesių gauname atstumą lygų nuliui, tai reiškia, kad šios linijos sutampa. Jei atstumas tarp susikertančių tiesių lygus nuliui, tai šios linijos susikerta.

1. Atstumas tarp lygiagrečių tiesių erdvėje

Panagrinėkime du atstumo tarp linijų skaičiavimo būdus.

1 būdas. Iš taško M 1 tiesiai L 1 nupieškite plokštumą α , statmena linijai L 2. Rasti tašką M 3 (x 3 , y 3 , y 3) plokštumos sankirtos α ir tiesiai L 3. Iš esmės randame taško projekciją M 1 tiesiai L 2. Kaip rasti taško projekciją tiesėje, pažiūrėkite. Toliau apskaičiuojame atstumą tarp taškų M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

1 pavyzdys. Raskite atstumą tarp eilučių L 1 ir L 2:

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Pakeičiančios vertybes m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 iš (5) gauname:

Raskime tiesės susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α , tam sudarome parametrinę tiesės lygtį L 2 .

Norėdami rasti linijos susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α , pakeiskite kintamųjų reikšmes x, y, z nuo (7) iki (6):

Pakeičiant gautą vertę t(7) gauname tiesės susikirtimo tašką L 2 ir lėktuvas α :

Belieka rasti atstumą tarp taškų M 1 ir M 3:

L 1 ir L 2 lygūs d=7.2506.

2 būdas. Raskite atstumą tarp eilučių L 1 ir L 2 ((1) ir (2) lygtys). Pirmiausia patikriname linijų lygiagretumą L 1 ir L 2. Jeigu tiesių krypties vektoriai L 1 ir L 2 yra kolineariniai, t.y. jei yra toks skaičius λ, kad lygybė q 1 =λ q 2, tada tiesiai L 1 ir L 2 yra lygiagrečiai.

Šis atstumo tarp lygiagrečių vektorių skaičiavimo metodas pagrįstas vektorių vektorinės sandaugos koncepcija. Yra žinoma, kad vektorių ir vektorinės sandaugos norma q 1 parodytas lygiagretainio, kurį sudaro šie vektoriai, plotas (2 pav.). Kai žinote lygiagretainio plotą, galite rasti lygiagretainio viršūnę d, dalijant plotą iš pagrindo q 1 lygiagretainis.

q 1:

.

Atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 lygu:

,

,

2 pavyzdys. Išspręskime 1 pavyzdį naudodami 2 metodą. Raskite atstumą tarp eilučių

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) ir turi krypties vektorių

q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vektoriai q 1 ir q 2 yra kolineariniai. Todėl tiesiai L 1 ir L 2 yra lygiagrečiai. Norėdami apskaičiuoti atstumą tarp lygiagrečių linijų, naudojame vektorių sandaugą.

Sukurkime vektorių =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Apskaičiuokime vektorių sandaugą ir q 1 . Norėdami tai padaryti, sukuriame 3 × 3 matricą, kurios pirmoji eilutė yra baziniai vektoriai i, j, k, o likusios linijos užpildytos vektorių ir elementais q 1:

Taigi vektorių ir vektorinės sandaugos rezultatas q 1 bus vektorius:

Atsakymas: atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 lygūs d=7.25061.

2. Atstumas tarp susikertančių linijų erdvėje

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxyz ir tebūnie šioje koordinačių sistemoje nurodytos tiesės L 1 ir L 2 ((1) ir (2) lygtys).

Leiskite tiesiai L 1 ir L 2 nėra lygiagrečios (lygiagrečias linijas aptarėme ankstesnėje pastraipoje). Norėdami rasti atstumą tarp eilučių L 1 ir L 2 reikia sukurti lygiagrečias plokštumas α 1 ir α 2, kad jis būtų tiesus L 1 gulėjo lėktuve α 1 tiesiai L 2 – lėktuve α 2. Tada atstumas tarp eilučių L 1 ir L 2 yra lygus atstumui tarp plokštumų L 1 ir L 2 (3 pav.).

Kur n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − plokštumos normalusis vektorius α 1 . Kad lėktuvas α 1 pravažiavo tiesia linija L 1, normalus vektorius n 1 turi būti statmenas krypties vektoriui q 1 tiesiai L 1, t.y. šių vektorių skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui:

Sistemos sprendimas tiesines lygtis(27)−(29), su trimis lygtimis ir keturiais nežinomaisiais A 1 , B 1 , C 1 , D 1, ir pakeičiant į lygtį

Lėktuvai α 1 ir α 2 yra lygiagretūs, todėl gauti normalieji vektoriai n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) ir n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) šios plokštumos yra kolinearinės. Jei šie vektoriai nėra lygūs, galime padauginti (31) iš tam tikro skaičiaus, kad gautas normalusis vektorius n 2 sutapo su (30) lygties normaliuoju vektoriumi.

Tada atstumas tarp lygiagrečios plokštumos apskaičiuojamas pagal formulę:

(33)

Sprendimas. Tiesiai L 1 eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ir turi krypties vektorių q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Tiesiai L 2 eina per tašką M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) ir turi krypties vektorių q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Pastatykime lėktuvą α 1, einantis per liniją L 1, lygiagreti tiesia linija L 2 .

Nuo lėktuvo α 1 eina per liniją L 1, tada jis taip pat eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ir normalusis vektorius n 1 ={m 1 , p 1 , l 1) lėktuvas α 1 statmenai krypties vektoriui q 1 tiesiai L 1 . Tada plokštumos lygtis turi tenkinti sąlygą:

Nuo lėktuvo α 1 turi būti lygiagreti linijai L 2, tada turi būti įvykdyta ši sąlyga:

Pavaizduokime šias lygtis matricos forma:

(40)

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą (40) atžvilgiu A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Šiame straipsnyje, naudojant Vieningo valstybinio egzamino uždavinio C2 sprendimo pavyzdį, analizuojamas radimo metodas koordinačių metodu. Prisiminkite, kad tiesios linijos yra iškreiptos, jei jos nėra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, jei viena tiesė yra plokštumoje, o antroji linija kerta šią plokštumą taške, kuris nėra pirmoje tiesėje, tada tokios linijos susikerta (žr. pav.).

Rasti atstumai tarp susikirtimo linijų būtina:

1. Per vieną iš susikertančių tiesių nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią kitai susikertančiajai linijai.
2. Nuleiskite statmeną iš bet kurio antrosios linijos taško į gautą plokštumą. Šio statmens ilgis bus reikalingas atstumas tarp linijų.

Sutvarkykime šis algoritmas Sužinokite daugiau naudodamiesi Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 problemos sprendimo pavyzdžiu.

Atstumas tarp eilučių erdvėje

Užduotis. Vienetiniame kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Raskite atstumą tarp eilučių B.A. 1 ir D.B. 1 .

Ryžiai. 1. Piešimas užduočiai

Sprendimas. Per kubo įstrižainės vidurį D.B. 1 (taškas O) nubrėžkite tiesę, lygiagrečią tiesei A 1 B. Šios linijos susikirtimo su briaunomis taškai B.C. Ir A 1 D 1 atitinkamai žymimas N Ir M. Tiesiai MN guli plokštumoje MNB 1 ir lygiagrečiai linijai A 1 B, kuris slypi ne šioje plotmėje. Tai reiškia, kad tiesi linija A 1 B lygiagrečiai plokštumai MNB 1 remiantis tiesės ir plokštumos lygiagretumu (2 pav.).

Ryžiai. 2. Reikalingas atstumas tarp susikertančių linijų lygus atstumui nuo bet kurio pasirinktos linijos taško iki pavaizduotos plokštumos

Dabar mes ieškome atstumo nuo tam tikro linijos taško A 1 Bį lėktuvą MNB 1 . Šis atstumas pagal apibrėžimą bus reikalingas atstumas tarp susikirtimo linijų.

Norėdami rasti šį atstumą, naudosime koordinačių metodą. Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą, kad jos pradžia sutaptų su tašku B, ašimi X buvo nukreiptas palei kraštą B.A., ašis Y- palei kraštą B.C., ašis Z- palei kraštą BB 1 (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pasirenkame stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą, kaip parodyta paveikslėlyje

Plokštumos lygties radimas MNB 1 šioje koordinačių sistemoje. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nustatome taškų koordinates M, N Ir B 1: Gautas koordinates pakeičiame į bendrąją tiesės lygtį ir gauname tokią lygčių sistemą:

Iš antrosios sistemos lygties gauname iš trečiosios, po kurios iš pirmosios gauname gautas reikšmes pakeiskite į bendrąją tiesės lygtį:

Atkreipiame dėmesį, kad kitu atveju lėktuvas MNB 1 praeitų per ištaką. Padalinkite abi šios lygties puses iš ir gausime:

Atstumas nuo taško iki plokštumos nustatomas pagal formulę.

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Stereometrija Atstumas tarp susikertančių linijų

Bendrasis dviejų susikertančių tiesių statmuo yra atkarpa, kurios galai yra šiose tiesėse, kuri yra statmena kiekvienai iš jų. a b A B Atstumas tarp susikertančių linijų yra jų bendro statmens ilgis.

Atstumo tarp susikertančių tiesių skaičiavimo metodai. Atstumas tarp susikertančių tiesių yra lygus atstumui nuo bet kurio vienos iš šių tiesių taško iki plokštumos, einančios per antrąją tiesę, lygiagrečią pirmajai linijai.

Atstumo tarp susikertančių tiesių skaičiavimo metodai. Atstumas tarp susikertančių linijų yra lygus atstumui tarp dviejų lygiagrečių plokštumų, kuriose yra šios linijos.

Nr. 1 Vienetiniame kube raskite

Nr. 2 Vienetiniame kube raskite

Nr. 3 Vienetiniame kube raskite

Nr. 4 Vienetiniame kube raskite

Bendras dviejų pasvirusių linijų statmuo yra atkarpa, jungianti atkarpų vidurio taškus ir E - vidurio taškas F - vidurio taškas

Nr. 5 Vienetiniame kube raskite ~

Atstumo tarp susikertančių tiesių skaičiavimo metodai. Atstumas tarp susikertančių tiesių yra lygus atstumui tarp jų projekcijų į plokštumą, statmeną vienai iš jų.

Nr. 5 Vienetiniame kube raskite O – tiesės AC projekciją į plokštumą

Nr.6 Dana taisyklinga piramidė PABC su šoniniu kraštu PA = 3 ir pagrindine puse 2. Rasti

Stačiakampis - stačiakampis - stačiakampis

Nr. 7 Vienetiniame kube raskite atstumą tarp eilučių ir

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Kampas tarp susikertančių linijų

Pristatymas, kuriam reikia pasiruošti išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą matematikoje tema "Kampas tarp pasvirusių linijų"...

Sukurta kartu su 11 klasės mokiniais. Laikomas įvairių metodų spręsti problemas šia tema....

Straipsnio tikslas – koordinačių metodu rasti atstumą tarp susikertančių linijų. Bus svarstomas atstumo tarp šių linijų nustatymas, gausime algoritmą, kurio pagalba transformuosime atstumo tarp susikertančių linijų nustatymą. Užtvirtinkime temą spręsdami panašius pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia reikia įrodyti teoremą, kuri apibrėžia ryšį tarp duotųjų sankirtos linijų.

skyrius santykinė padėtis tiesios linijos erdvėje sako, kad jei dvi tiesės vadinamos susikertančiomis, jei jų vieta nėra toje pačioje plokštumoje.

Teorema

Per kiekvieną susikertančių tiesių porą gali praeiti plokštuma, lygiagreti duotajai, ir tik viena.

Įrodymas

Pagal sąlygą mums pateikiamos pasvirosios linijos a ir b. Būtina įrodyti vienos plokštumos laidumą per tiesę b, lygiagrečią duotai tiesei a. Panašus įrodymas turi būti taikomas tiesei a, per kurią eina plokštuma, lygiagreti nurodytai tiesei b.

Pirmiausia turite pažymėti tašką Q ant b linijos. Jei vadovausimės tiesių lygiagretumo apibrėžimu, pamatysime, kad per erdvės tašką galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotai tiesei, ir tik vieną. Tai reiškia, kad per tašką Q eina tik viena tiesė, lygiagreti tiesei a. Paimkime žymėjimą a a 1 .

Skyriuje apie plokštumos nustatymo metodus buvo pasakyta, kad vienos plokštumos perėjimas galimas per dvi susikertančias linijas. Tai reiškia, kad mes nustatome, kad linijos b ir a 1 yra susikertančios linijos, per kurias eina plokštuma, pažymėta χ.

Remdamiesi ženklu, kad tiesė lygiagreti plokštumai, galime daryti išvadą, kad duotoji tiesė a yra lygiagreti χ plokštumai, nes tiesė a lygiagreti tiesei a 1, esančia χ plokštumoje.

χ plokštuma yra unikali, nes tiesė, einanti per tam tikrą erdvėje esančią tiesę, yra lygiagreti jai. Pažiūrėkime į žemiau pateiktą paveikslėlį.

Judėdami nuo atstumo tarp susikertančių tiesių nustatymo, atstumą nustatome per atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos.

1 apibrėžimas

Atstumas tarp vienos iš susikertančių tiesių ir jai lygiagrečios plokštumos, einančios per kitą tiesę, vadinamas.

Tai reiškia, kad atstumas tarp tiesės ir plokštumos yra atstumas nuo duotas taškasį lėktuvą. Tada taikoma formulė, skirta nustatyti atstumą tarp susikirtimo linijų.

2 apibrėžimas

Atstumas tarp susikirtimo linijų vadinti atstumą nuo tam tikro susikertančių tiesių taško iki plokštumos, einančios per kitą tiesę, lygiagrečią pirmajai linijai.

Išsamiai pažvelkime į a ir b eilutes. Taškas M 1 yra tiesėje a, per tiesę b nubrėžta plokštuma χ lygiagrečiai tiesei a. Iš taško M 1 nubrėžiame plokštumai χ statmeną M 1 H 1. Šio statmens ilgis yra atstumas tarp susikirtimo linijų a ir b. Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Atstumo tarp susikirtimo linijų radimas – teorija, pavyzdžiai, sprendimai

Atstumai tarp susikertančių tiesių randami statant atkarpą. Reikalingas atstumas lygus šio segmento ilgiui. Pagal uždavinio sąlygas jo ilgį lemia Pitagoro teorema, trikampių lygybės ar panašumo ženklai ar kt.

Kai turime trimatę erdvę su koordinačių sistema O x y z su joje nurodytomis tiesėmis a ir b, tai skaičiavimai turėtų būti atliekami pradedant nuo atstumo tarp nurodytų susikertančių koordinačių metodu. Pažvelkime išsamiai.

Tegu pagal sąlygą χ yra plokštuma, einanti per tiesę b, lygiagrečią tiesei a. Reikalingas atstumas tarp susikirtimo tiesių a ir b lygus atstumui nuo taško M 1, esančio tiesėje a, iki plokštumos _ χ. Norint gauti normaliąją χ plokštumos lygtį, reikia nustatyti taško M 1 (x 1, y 1, z 1), esančio tiesėje a, koordinates. Tada gauname cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, kurio reikia norint nustatyti atstumą M 1 H 1 nuo taško M 1 x 1, y 1, z 1 iki χ plokštumos. . Skaičiavimai atliekami naudojant formulę M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Reikalingas atstumas yra lygus reikiamam atstumui tarp susikirtimo linijų.

Ši užduotis apima taško M 1, esančio tiesėje a, koordinates ir plokštumos χ normaliosios lygties radimą.

Nustatyti taško M 1 koordinates būtina ir įmanoma, jei žinote pagrindinius tiesės erdvės lygčių tipus. Norint gauti χ plokštumos lygtį, reikia atidžiau pažvelgti į skaičiavimo algoritmą.

Jei koordinatės x 2 , y 2 , z 2 nustatomos naudojant tašką M 2, per kurį nubrėžta plokštuma χ, gauname plokštumos χ normalųjį vektorių vektoriaus n → = (A, B, C) pavidalu. ). Remdamiesi tuo, bendrąją χ plokštumos lygtį galime užrašyti tokia forma: A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.

Vietoj taško M 2 galima paimti bet kurį kitą tašką, priklausantį tiesei b, nes per jį eina plokštuma χ. Tai reiškia, kad buvo rastos taško M 2 koordinatės. Būtina pereiti prie plokštumos χ normaliojo vektoriaus.

Turime, kad plokštuma χ eina per tiesę b ir yra lygiagreti tiesei a. Tai reiškia, kad plokštumos χ normalusis vektorius yra statmenas tiesės a krypties vektoriui, pažymėtam a →, ir tiesės b krypties vektoriui, pažymėtam b →. Vektorius n → bus lygus a → ir b → vektorinei sandaugai, o tai reiškia, kad n → = a → × b →. Nustačius duotųjų tiesių a ir b krypties vektorių koordinates a x , a y , a z ir b x , b y , b z , apskaičiuojame

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Iš čia randame normalaus vektoriaus χ plokštumos koordinačių A, B, C reikšmę.

Žinome, kad bendroji χ plokštumos lygtis yra tokia: A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.

Reikia išvesti lygtį į normaliąją formą cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Tada reikia apskaičiuoti reikiamą atstumą tarp susikirtimo linijų a ir b, remiantis formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.

Norėdami rasti atstumą tarp susikertančių linijų a ir b, turite vadovautis algoritmu:

• taškų M 1 ir M 2, atitinkamai esančių tiesėse a ir b, koordinačių (x 1, y 1, z 1) ir x 2, y 2, z 2 nustatymas;
• tiesių a ir b krypties vektoriams priklausančių koordinačių a x , a y , a z ir b x , b y , b z gavimas;
• suradus vektoriui n → priklausančias koordinates A, B, C plokštumoje χ, einančioje per tiesę b, esančią lygiagrečiai su a, lygybe n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
• įrašymas bendroji lygtis plokštuma χ forma A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
• gautą χ plokštumos lygtį suvedame į normaliosios formos lygtį cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
• apskaičiuojant atstumą M 1 H 1 nuo M 1 x 1, y 1, z 1 iki χ plokštumos, remiantis formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.

1 pavyzdys

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z yra dvi susikirtimo linijos. Tiesė a nustatoma pagal parametrinę tiesės lygtį erdvėje x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ, tiesė b, naudojant kanoninę tiesės lygtį erdvėje x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. Raskite atstumą tarp susikertančių linijų.

Sprendimas

Aišku, kad tiesė a kerta tašką M 1 (- 2, 1, 4) su krypties vektoriumi a → = (0, 2, - 3), o tiesė b kerta tašką M 2 (0, 1, - 4). ) su krypties vektoriumi b → = (1 , - 2 , 6) .

Pirmiausia turėtumėte apskaičiuoti krypties vektorius a → = (0, 2, - 3) ir b → = (1, - 2, 6) naudodami formulę. Tada mes tai gauname

a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →

Iš čia gauname, kad n → = a → × b → yra vektorius plokštumos χ, kuri eina per tiesę b lygiagrečiai a, kurios koordinatės 6, - 3, - 2. Mes gauname:

6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0

Randame normalizavimo koeficientą bendrajai plokštumos lygčiai 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0. Apskaičiuokime pagal formulę 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. Tai reiškia, kad normalioji lygtis bus 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.

Formule reikia rasti atstumą nuo taško M 1 - 2, 1, 4 iki plokštumos, pateiktos lygtimi 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0. Mes tai gauname

M 1 H 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4

Iš to išplaukia, kad reikiamas atstumas yra atstumas tarp nurodytų susikirtimo linijų, reikšmė yra 4.

Atsakymas: 4 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Geometrija. 11 klasė

Pamokos tema: Atstumas tarp susikirtimo linijų

Ter-Ovanesyan G.L., mokytojas aukščiausia kategorija, Sorošo fondo premijos laureatas

Maskva

Panagrinėkime atstumo tarp susikertančių linijų nustatymo problemą. Atstumas tarp susikertančių linijų yra bendrosios statmenos šioms linijoms ilgis.

Duokite mums kubą ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurio briauna lygi vienetui AB = 1. Turite rasti atstumą tarp tiesių AB ir DC 1: ρ(AB;DC 1) - ?

Šios dvi tiesės yra lygiagrečiose plokštumose: AB yra plokštumoje AA 1 B 1 B, DC 1 yra plokštumoje D 1 DC 1 C. Pirmiausia suraskime statmeną šioms dviem plokštumoms. Paveiksle yra daug tokių statmenų. Tai atkarpa BC, B 1 C 1, A 1 D 1 ir AD. Iš jų prasminga pasirinkti atkarpą, kuri yra ne tik statmena šioms plokštumoms, taigi ir statmena mūsų tiesėms AB ir DC 1, bet ir eina per šias tieses. Toks segmentas yra AD. Ji kartu yra statmena tiesei AB, nes statmena plokštumai AA 1 B 1 B ir tiesei DC 1, nes statmena plokštumai D 1 DC 1 C. Tai reiškia, kad AD yra bendroji statmenai susikertančioms tiesėms AB ir DC 1. Atstumas tarp šių tiesių yra šio statmens ilgis, tai yra atkarpos AD ilgis. Tačiau AD yra kubo kraštas. Taigi atstumas yra 1:

ρ(AB;DC 1)=AD=1

Panagrinėkime kitą problemą, šiek tiek sudėtingesnę, susijusią su atstumo tarp susikertančių linijų nustatymu.

Vėl duokime kubą, kurio kraštas lygus vienetui. Turite rasti atstumą tarp priešingų veidų įstrižainių. Tai yra, duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Briauna AB = 1. Turite rasti atstumą tarp tiesių BA 1 ir DC 1: ρ(A 1 B; DC 1) - ?

Šios dvi linijos susikerta, o tai reiškia, kad atstumas yra bendro statmens ilgis. Negalite nubrėžti bendro statmens, bet suformuluokite jį taip: tai yra statmens tarp lygiagrečių plokštumų, kuriose yra šios linijos, ilgis. Tiesė BA 1 yra plokštumoje АВВ 1 А 1 , o tiesė DC 1 yra plokštumoje D 1 DCC 1 . Jie yra lygiagretūs, o tai reiškia, kad atstumas tarp jų yra atstumas tarp šių tiesių. O atstumas tarp kubo paviršių yra krašto ilgis. Pavyzdžiui, šonkaulio ilgis BC. Kadangi BC yra statmena ir plokštumai АВВ 1 А 1, ir plokštumai DСС 1 D 1. Tai reiškia, kad atstumas tarp tiesių, nurodytų sąlygoje, yra lygus atstumui tarp lygiagrečių plokštumų ir lygus 1:

ρ(A 1 B;DC 1)=BC=1

Panagrinėkime kitą problemą, kaip rasti atstumą tarp susikertančių linijų.

Duokime taisyklingą trikampę prizmę, kurios visos briaunos žinomos. Turite rasti atstumą tarp viršutinio ir apatinio pagrindo kraštų. Tai yra, mums duota prizmė ABCA 1 B 1 C 1. Be to, AB = 3 = AA 1. Turite rasti atstumą tarp tiesių BC ir A 1 C 1: ρ(BC;A 1 C 1) - ?

Kadangi šios tiesės susikerta, atstumas tarp jų yra bendro statmens ilgis arba statmens lygiagrečioms plokštumoms, kuriose jos yra, ilgis. Raskime šias lygiagrečias plokštumas.

Tiesi linija BC yra plokštumoje ABC, o tiesė A 1 C 1 yra plokštumoje A 1 B 1 C 1. Šios dvi plokštumos yra lygiagrečios, nes jos yra viršutinė ir apatinė prizmės bazė. Tai reiškia, kad atstumas tarp mūsų tiesių linijų yra atstumas tarp šių lygiagrečių plokštumų. Ir atstumas tarp jų yra tiksliai lygus ilgiui šoninis šonkaulis AA 1, tai yra lygus 3:

ρ(BC;A 1 C 1)=AA 1 =3

Šioje konkrečioje užduotyje galite rasti ne tik bendro statmens ilgį, bet ir jį sukonstruoti. Norėdami tai padaryti, iš visų šoninių kraštų pasirenkame tą, kuris turi bendrų taškų su tiesia linija BC ir A 1 C 1. Mūsų paveiksle tai yra briauna CC 1. Ji bus statmena tiesei A 1 C 1, nes yra statmena viršutinio pagrindo plokštumai, ir tiesei BC, nes ji statmena apatinio pagrindo plokštumai. Taigi galime rasti ne tik atstumą, bet ir sukonstruoti šį bendrąjį statmeną.

Šiandien pamokoje prisiminėme, kaip rasti bendro statmens tarp susikertančių tiesių ilgį.