„Senuose“ vadovėliuose ji dar vadinama „grandinės“ taisykle. Taigi, jei y = f (u) ir u = φ (x), tai yra

y = f (φ (x))

kompleksas – sudėtinė funkcija (funkcijų sudėtis) tada

Kur , po apskaičiavimo laikoma u = φ (x).

Atkreipkite dėmesį, kad čia mes paėmėme „skirtingas“ kompozicijas iš tų pačių funkcijų, o diferenciacijos rezultatas natūraliai priklausė nuo „maišymo“ tvarkos.

Grandinės taisyklė natūraliai apima trijų ar daugiau funkcijų kompozicijas. Šiuo atveju išvestinėje „grandinėje“ bus trys ar daugiau „nuorodų“. Čia yra analogija su daugyba: „turime“ išvestinių lentelę; "ten" - daugybos lentelė; „su mumis“ yra grandinės taisyklė, o „ten“ yra „stulpelio“ daugybos taisyklė. Skaičiuojant tokias „sudėtingas“ išvestis, žinoma, neįvedami jokie pagalbiniai argumentai (u¸v ir kt.), tačiau, patys pastebėję kompozicijoje dalyvaujančių funkcijų skaičių ir seką, atitinkamos nuorodos yra „surišamos“. nurodyta tvarka.

. Čia, naudojant „x“, norint gauti „y“ reikšmę, atliekamos penkios operacijos, tai yra, yra penkių funkcijų sudėtis: „išorinė“ (paskutinė iš jų) - eksponentinė - e  ; tada atvirkštine tvarka galia. (♦) 2 ; trigonometrinė nuodėmė(); raminantis. () 3 ir galiausiai logaritminis ln.(). Štai kodėl

Šiais pavyzdžiais „nužudysime porą paukščių vienu akmeniu“: praktikuosime atskirti sudėtingas funkcijas ir papildysime elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę. Taigi:

4. Galios funkcijai - y = x α - perrašant ją naudojant gerai žinomą „pagrindinį logaritminė tapatybė" - b=e ln b - formoje x α = x α ln x gauname

5. Nemokamai eksponentinė funkcija naudojant tą pačią techniką, kurią turėsime

6. Savavališkai logaritminei funkcijai, naudojant gerai žinomą perėjimo prie naujos bazės formulę, nuosekliai gauname

.

7. Norėdami atskirti liestinę (kotangentą), naudojame koeficientų diferencijavimo taisyklę:

Norėdami gauti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestis, naudojame ryšį, kurį tenkina dviejų tarpusavyje atvirkštinių funkcijų išvestinės, tai yra funkcijos φ (x) ir f (x), susijusios su santykiais:

Tai yra santykis

Būtent iš šios abipusiai atvirkštinių funkcijų formulės

Ir
,

Galiausiai apibendrinkime šiuos ir kai kuriuos kitus darinius, kuriuos taip pat nesunku gauti šioje lentelėje.

Nuo tada, kai atvykote čia, tikriausiai jau matėte šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą:

Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viskas yra tiesiog baisu. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį lėtai, stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet vis tiek reikia suprasti mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tarkime, jums reikia surinkti keletą smulkių daiktų, pavyzdžiui, mokyklinę rašymo medžiagą. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite į didelę dėžutę, o po to užsandarinate. Šis „sudėtingas“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, ką su tuo turi matematika? Taip, nepaisant to, kad sudėtinga funkcija formuojama LYGIAI TAIP pat! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \(x\), o „paketai“ ir „dėžės“ skiriasi.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname \(\cos⁡x\). Tai yra mūsų „daiktų krepšys“. Dabar įdėkime jį į „dėžutę“ – supakuokite, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, teisingai, bus „daiktų maišas dėžutėje“, tai yra „X kosinusas kubo pavidalu“.

Gautas dizainas yra sudėtinga funkcija. Nuo paprasto jis skiriasi tuo Vienam X iš eilės taikomi KELI „įtaka“ (paketai). ir pasirodo tarsi „funkcija iš funkcijos“ – „pakavimas pakuotėje“.

Mokyklos kurse yra labai nedaug šių „paketų“ tipų, tik keturi:

Dabar „supakuosime“ X į eksponentinę funkciją su 7 baze, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Dabar „supakuosime“ X du kartus trigonometrinės funkcijos, pirmiausia , o paskui:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze \(3\);
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia logaritmas iki bazės \(4\) , tada į laipsnį \(-2\).

Atsakymus į šią užduotį rasite straipsnio pabaigoje.

Ar galime X „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Jokiu problemu! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ \(4\) kartus:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Bet tokių formulių mokyklinėje praktikoje nerasi (mokiniams labiau pasisekė – jų gali būti sudėtingiau☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami grandinę su rodyklėmis, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į \(4\) laipsnį, po to rezultatas supakuotas į sinusą, o savo ruožtu į logaritmą į bazę \(2\) , ir galiausiai visa ši konstrukcija buvo sugrūsta į galios penketuką.

Tai yra, jums reikia išvynioti seką ATvirkštine tvarka. Ir štai užuomina, kaip tai padaryti lengviau: iš karto pažvelk į X – nuo ​​jo reikėtų šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra ši funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Mes žiūrime į X – kas jam atsitiks pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Seka bus tokia pati:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Kitas pavyzdys: \(y=\cos⁡((x^3))\). Išanalizuokime – iš pradžių kubavome X, o paskui paėmėme rezultato kosinusą. Tai reiškia, kad seka bus tokia: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur yra nuotraukos). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube yra x (tai yra \(\cos⁡((x·x·x)))\), o kube yra kosinusas \(x\) ( tai yra \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbi informacija jame): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aišku, kad čia jie pirmiausia atliko aritmetinius veiksmus su x, tada paėmė rezultato sinusą: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ir šis svarbus punktas: nepaisant to, kad aritmetinės operacijos savaime nėra funkcijos, čia jos veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime į šį subtilumą.

Kaip sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose ​​- dvi ar daugiau. Be to, bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas) taip pat yra paprasta funkcija. Pavyzdžiui, \(x^7\) yra paprasta funkcija, taip pat ir \(ctg x\). Tai reiškia, kad visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

\(x^7+ ctg x\) – paprastas,
\(x^7· lovelė x\) – paprasta,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – paprastas ir kt.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, ji taps sudėtinga, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, pirmyn dabar. Parašykite „vyniojimo“ funkcijų seką:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tai vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė – „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė funkcija – jau išorinė. Na, aišku kodėl – ji lauke, vadinasi, išorė.

Šiame pavyzdyje: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) yra vidinė ir
- išorinis.

Ir čia: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) yra vidinis ir
- išorinis.

Užbaikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir pagaliau pereikime prie to, dėl ko visi buvome pradėti – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Lentelėje užpildykite tuščias vietas:

Sudėtingos funkcijos išvestinė

Bravo mums, pagaliau priėjome prie šios temos „boso“ – tiesą sakant, išvestinio sudėtinga funkcija, o konkrečiai, prie tos labai baisios formulės nuo straipsnio pradžios.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinei sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į analizavimo diagramą pagal žodžius, kad suprastumėte, ką daryti su kuo:

Tikiuosi, kad terminai „darinė“ ir „produktas“ nesukels jokių sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ - mes jau ją sutvarkėme. Svarbiausia yra „išorinės funkcijos išvestinė, palyginti su pastovia vidine funkcija“. Kas tai yra?

Atsakymas: Tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, panaudokime pavyzdį.

Turėkime funkciją \(y=\sin⁡(x^3)\). Aišku, kad vidinė funkcija čia yra \(x^3\), o išorinė
. Dabar suraskime išorės išvestinį pastovaus interjero atžvilgiu.

Pirmas lygis

Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019)

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis; gyvenime mes naudojame jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba nukrisime skirtingu metrų skaičiumi, palyginti su jūros lygiu (palei y ašį).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tai tiesa, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės! Tai yra, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.

Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis nei pradžios taškas, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai nėra tiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

IN Tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Jūs tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar didesnį skaičių. Ir begalybė yra dar didesnė už tai, kas vyksta. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Bet leiskite man priminti, kad be galo mažas nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir yra žymimas Kiek pasikeitė funkcija (aukštis) judant į priekį išilgai ašies atstumu funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose ​​viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Tačiau tuo pat metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį pakeičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip su funkcijos padidėjimu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento prieaugiu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kai argumentas tam tikru laipsniu yra (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinė funkcija (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

1. . Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip tai? Kur yra laipsnis?“, prisiminkite temą „“!
   Taip, taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninė dalis: .
   Taigi mūsų Kvadratinė šaknis- tai tik laipsnis su rodikliu:
   .
   Išvestinės ieškome naudodami neseniai išmoktą formulę:

   Jei šiuo metu vėl pasidaro neaišku, pakartokite temą ""!!! (apie laipsnį su neigiamu rodikliu)

2. . Dabar eksponentas:

   O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
   ;
   .
   Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
   .

3. . Ankstesnių atvejų derinys: .

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija. Tai yra „tikslai“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi, gauname tokią taisyklę: sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

1. Pirmiausia suraskime išvestinę bendras vaizdas, tada pakeiskite jo reikšmę:
   ;
   .
2. Čia mes turime kažką panašaus į galios funkcija. Pabandykime ją atvesti
   normalus vaizdas:
   .
   Puiku, dabar galite naudoti formulę:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Kas tai yra????

Gerai, tu teisus, mes dar nežinome, kaip rasti tokių išvestinių. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios bet kurios reikšmės išvestinė yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas yra konstanta – ji begalinė dešimtainis, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli neikime, pažiūrėkime iš karto atvirkštinė funkcija. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes š tiesinė funkcija, Prisiminti?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti paprastesne forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to parašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu, .

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo iškirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos išgauname ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (dedame šokoladą į įvyniojimas ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo „išoriškesnė“ bus atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra darinys, koks jo fizinis ir geometrine prasme kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė prasmė išvestinė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis tam tikrą laiką:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Už nugaros trumpalaikis Padėsime išspręsti sudėtingiausius testus ir išspręsti problemas, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Ir sudėtingos funkcijos išvestinės teorema, kurios formuluotė yra tokia:

Tegul 1) funkcija $u=\varphi (x)$ tam tikru momentu $x_0$ turi išvestinę $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkciją $y=f(u)$ atitinkamame taške $u_0=\varphi (x_0)$ turi išvestinę $y_(u)"=f"(u)$. Tada kompleksinė funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minėtame taške taip pat turės išvestinę, lygią funkcijų $f(u)$ ir $\varphi () išvestinių sandaugai x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

arba trumpesniu užrašu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šio skyriaus pavyzdžiuose visos funkcijos turi formą $y=f(x)$ (t. y. mes nagrinėjame tik vieno kintamojo $x$ funkcijas). Atitinkamai visuose pavyzdžiuose išvestinė $y"$ imama atsižvelgiant į kintamąjį $x$. Norint pabrėžti, kad išvestinė imama atsižvelgiant į kintamąjį $x$, vietoj $y dažnai rašoma $y"_x$ "$.

Pavyzdžiuose Nr. 1, Nr. 2 ir Nr. 3 aprašomas išsamus sudėtingų funkcijų išvestinės paieškos procesas. Pavyzdys Nr. 4 skirtas išsamesniam išvestinės lentelės supratimui ir prasminga su ja susipažinti.

Patartina, išstudijavus pavyzdžių Nr.1-3 medžiagą, pereiti prie savarankiškai sprendžiamų pavyzdžių Nr.5, Nr.6 ir Nr.7. 5, 6 ir 7 pavyzdžiuose yra trumpas sprendimas, kad skaitytojas galėtų patikrinti savo rezultato teisingumą.

1 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=e^(\cos x)$ išvestinę.

Turime rasti sudėtingos funkcijos $y"$ išvestinę. Kadangi $y=e^(\cos x)$, tada $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. rasti išvestinę $ \left(e^(\cos x)\right)"$ naudojame formulę Nr. 6 iš išvestinių lentelės. Norėdami naudoti formulę Nr. 6, turime atsižvelgti į tai, kad mūsų atveju $u=\cos x$. Kitas sprendimas yra tiesiog pakeisti išraišką $\cos x$ vietoj $u$ į formulę Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Dabar reikia rasti išraiškos $(\cos x)"$ reikšmę. Dar kartą pereiname prie išvestinių lentelės, iš jos pasirenkame formulę Nr. 10. Pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 10, turime : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Dabar tęskime lygybę (1.1), papildydami ją rastu rezultatu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Kadangi $x"=1$, tęsiame lygybę (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Taigi iš lygybės (1.3) gauname: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natūralu, kad paaiškinimai ir tarpinės lygybės dažniausiai praleidžiami, išvestinės radinį užrašant vienoje eilutėje, kaip lygybėje ( 1.3) Taigi, rasta kompleksinės funkcijos išvestinė, belieka tik užrašyti atsakymą.

Atsakymas: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ išvestinę.

Turime apskaičiuoti išvestinę $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pirmiausia pažymime, kad konstantą (ty skaičių 9) galima išimti iš išvestinio ženklo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Dabar pereikime prie išraiškos $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Kad būtų lengviau pasirinkti norimą formulę iš išvestinių lentelės, pateiksiu išraišką klausiama tokia forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Dabar aišku, kad reikia naudoti formulę Nr.2, t.y. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šioje formulėje pakeiskime $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ir $\alpha=12$:

Lygybę (2.1) papildę gautu rezultatu, gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \žyma (2.2) $$

Šioje situacijoje dažnai daroma klaida, kai sprendėjas pirmame žingsnyje vietoj formulės pasirenka formulę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alfa \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Esmė ta, kad pirmiausia turi būti išorinės funkcijos išvestinė. Norėdami suprasti, kuri funkcija bus išorinė išraiškai $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, įsivaizduokite, kad skaičiuojate išraiškos $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ tam tikra reikšme $x$. Pirmiausia apskaičiuosite $5^x$ reikšmę, tada rezultatą padauginkite iš 4, gaudami $4\cdot 5^x$. Dabar iš šio rezultato paimame arctangentą ir gauname $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tada gautą skaičių padidiname iki dvyliktosios laipsnio, gaudami $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Paskutinis veiksmas, t.y. pakeliant iki 12 galios, – ir bus išorinė funkcija. Ir būtent nuo to turime pradėti ieškoti išvestinės, kas buvo padaryta lygybėje (2.2).

Dabar turime rasti $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Naudojame išvestinių lentelės formulę Nr. 19, pakeisdami joje $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Šiek tiek supaprastinkime gautą išraišką, atsižvelgdami į $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Lygybė (2.2) dabar taps:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Belieka rasti $(4\cdot \ln x)"$. Paimkime konstantą (t.y. 4) iš išvestinio ženklo: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Norėdami rasti $(\ln x)"$, naudojame formulę Nr. 8, pakeisdami $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Kadangi $x"=1$, tada $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Pakeisdami gautą rezultatą į formulę (2.3), gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Priminsiu, kad kompleksinės funkcijos išvestinė dažniausiai randama vienoje eilutėje, kaip parašyta paskutinėje lygybėje. Todėl rengiant standartinius skaičiavimus arba bandymai Visai nebūtina taip išsamiai apibūdinti sprendimo.

Atsakymas: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ $y"$.

Pirmiausia šiek tiek pakeiskime funkciją $y$, išreikšdami radikalą (šaknį) kaip laipsnį: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Dabar pradėkime ieškoti išvestinės. Kadangi $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Naudokime formulę Nr. 2 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ir $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Tęskime lygybę (3.1) naudodami gautą rezultatą:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Dabar turime rasti $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tam naudojame formulę Nr. 9 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildę lygybę (3.2) gautu rezultatu, gauname:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Belieka rasti $(5\cdot 9^x)"$. Pirmiausia paimkime konstantą (skaičius $5$) už išvestinio ženklo ribų, t. y. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Norėdami rasti išvestinę $(9^x)"$, taikykite išvestinių lentelės formulę Nr. 5, pakeisdami joje $a=9$ ir $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Dabar galime tęsti lygybę (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Vėlgi galime grįžti nuo galių prie radikalų (ty šaknų), rašydami $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ forma $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tada išvestinė bus parašyta tokia forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Atsakymas: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4 pavyzdys

Parodykite, kad išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 yra ypatinga bylašios lentelės formulės Nr.

Išvestinių lentelės formulėje Nr.2 yra funkcijos $u^\alpha$ išvestinė. Pakeitę $\alpha=-1$ į formulę Nr. 2, gauname:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Kadangi $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ir $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tada lygybę (4.1) galima perrašyti taip: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tai yra išvestinių finansinių priemonių lentelės formulė Nr.

Dar kartą pereikime prie išvestinių lentelės formulės Nr. Pakeiskime jį $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Kadangi $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ir $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada lygybę (4.2) galima perrašyti taip:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Gauta lygybė $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ yra išvestinių lentelės formulė Nr. 4. Kaip matote, išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 gaunamos iš formulės Nr. 2, pakeičiant atitinkamą $\alpha$ reikšmę.