Primitívny a neurčitý integrál - Knowledge Hypermarket. Primitívna funkcia a neurčitý integrál

Jednou z operácií diferenciácie je nájdenie derivácie (diferenciálu) a jej aplikácia na štúdium funkcií.

Nemenej dôležité je inverzný problém. Ak je známe správanie funkcie v blízkosti každého bodu jej definície, ako sa potom dá rekonštruovať funkcia ako celok, t.j. v celom rozsahu jeho definície. Tento problém je predmetom štúdia takzvaného integrálneho počtu.

Integrácia je inverzná akcia diferenciácie. Alebo obnovenie funkcie f(x) z danej derivácie f`(x). Latinské slovo „integro“ znamená obnovenie.

Príklad č.1.

Nech (f(x))’ = 3x 2. Poďme nájsť f(x).

Riešenie:

Na základe pravidla diferenciácie nie je ťažké uhádnuť, že f(x) = x 3, pretože

(x 3)’ = 3x 2 Môžete si však ľahko všimnúť, že f(x) sa nenachádza jednoznačne. Ako f(x) môžete vziať f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 atď.

Pretože derivácia každého z nich je 3x 2. (Derivácia konštanty je 0). Všetky tieto funkcie sa navzájom líšia konštantným členom. Preto spoločné rozhodnutieúlohu možno zapísať v tvare f(x)= x 3 +C, kde C je ľubovoľné konštantné reálne číslo.

Zavolá sa ktorákoľvek z nájdených funkcií f(x). primitívny pre funkciu F`(x)= 3x 2

Definícia.

Funkcia F(x) sa nazýva primitívna pre funkciu f(x) na danom intervale J, ak pre všetky x z tohto intervalu F`(x)= f(x). Takže funkcia F(x)=x 3 je primitívna pre f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Pretože pre všetky x ~R platí rovnosť: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Ako sme si už všimli, táto funkcia má nekonečné množstvo primitív.

Príklad č.2.

Funkcia je primitívna pre všetky na intervale (0; +∞), pretože pre všetky h z tohto intervalu platí rovnosť.

Problémom integrácie je danú funkciu nájsť všetky jeho primitívne deriváty. Pri riešení tohto problému zohráva dôležitú úlohu nasledujúce vyhlásenie:

Znak stálosti funkcie. Ak F"(x) = 0 na nejakom intervale I, potom je funkcia F na tomto intervale konštantná.

Dôkaz.

Stanovme si nejaké x 0 z intervalu I. Potom pre ľubovoľné číslo x z takého intervalu môžeme na základe Lagrangeovho vzorca označiť číslo c nachádzajúce sa medzi x a x 0 také, že

F(x) - F(x0) = F"(c)(x-x0).

Podľa podmienky je F' (c) = 0, pretože c ∈1, teda

F(x) - F(x 0) = 0.

Takže pre všetky x z intervalu I

to znamená, že funkcia F ukladá konštantná hodnota.

Všetky primitívne funkcie f možno zapísať pomocou jedného vzorca, ktorý je tzv všeobecná forma priradení funkcie f. Nasledujúca veta je pravdivá ( hlavná vlastnosť primitívnych derivátov):

Veta. Akákoľvek primitívna derivácia funkcie f na intervale I môže byť zapísaná v tvare

F(x) + C, (1) kde F (x) je jedna z primitív pre funkciu f (x) na intervale I a C je ľubovoľná konštanta.

Vysvetlime toto tvrdenie, v ktorom sú stručne formulované dve vlastnosti primitívneho derivátu:

Akékoľvek číslo dáme do výrazu (1) namiesto C, dostaneme primitívnu deriváciu pre f na intervale I;
bez ohľadu na to, aká primitívna derivácia Ф pre f na intervale I sa vezme, je možné vybrať číslo C také, že pre všetky x z intervalu I je rovnosť

Dôkaz.

Podľa podmienky je funkcia F primitívna pre f na intervale I. Preto F"(x)= f (x) pre ľubovoľné x∈1, teda (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), t.j. F(x) + C je primitívna derivácia funkcie f.
Nech Ф (x) je jedna z primitív pre funkciu f na rovnakom intervale I, t.j. Ф "(x) = f (х) pre všetky x∈I.

Potom (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Odtiaľto nasleduje c. mocnina znamienka stálosti funkcie, že rozdiel Ф(х) - F(х) je funkcia, ktorá má na intervale I nejakú konštantnú hodnotu C.

Pre všetky x z intervalu I teda platí rovnosť Ф(x) - F(x)=С, čo bolo potrebné dokázať. Môže byť daná hlavná vlastnosť primitívneho derivátu geometrický význam: grafy akýchkoľvek dvoch primitív pre funkciu f získame navzájom paralelným prekladom pozdĺž osi Oy

Otázky na poznámky

Funkcia F(x) je primitívne deriváciou funkcie f(x). Nájdite F(1), ak f(x)=9x2 - 6x + 1 a F(-1) = 2.

Nájdite všetky primitívne deriváty funkcie

Pre funkciu (x) = cos2 * sin2x nájdite primitívnu deriváciu F(x), ak F(0) = 0.

Pre funkciu nájdite primitívnu vlastnosť, ktorej graf prechádza bodom

Definícia primitívneho derivátu.

Primitívna derivácia funkcie f(x) na intervale (a; b) je taká funkcia F(x), že rovnosť platí pre ľubovoľné x z daného intervalu.

Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že derivácia konštanty C sa rovná nule, potom je rovnosť pravdivá . Funkcia f(x) má teda množinu primitív F(x)+C pre ľubovoľnú konštantu C a tieto primitívne funkcie sa od seba líšia ľubovoľnou konštantnou hodnotou.

Definícia neurčitého integrálu.

Celá množina primitívnych derivátov funkcie f(x) sa nazýva neurčitý integrál tejto funkcie a označuje sa .

Výraz je tzv integrand a f(x) – integrandová funkcia. Integrand predstavuje diferenciál funkcie f(x) .

Akcia nájdenia neznámej funkcie vzhľadom na jej diferenciál sa nazýva neistý integrácie, pretože výsledkom integrácie nie je jedna funkcia F(x), ale množina jej primitív F(x)+C.

Na základe vlastností derivátu je možné formulovať a dokázať vlastnosti neurčitého integrálu(vlastnosti primitívneho derivátu).

Pre objasnenie sú uvedené medziľahlé rovnosti prvej a druhej vlastnosti neurčitého integrálu.

Na dôkaz tretej a štvrtej vlastnosti stačí nájsť deriváty pravých strán rovnosti:

Tieto derivácie sa rovnajú integrandom, čo je dôkazom prvej vlastnosti. Používa sa aj pri posledných prechodoch.

Problém integrácie je teda opakom problému diferenciácie a medzi týmito problémami je veľmi úzka súvislosť:

prvá vlastnosť umožňuje kontrolu integrácie. Na kontrolu správnosti vykonanej integrácie stačí vypočítať deriváciu získaného výsledku. Ak sa funkcia získaná ako výsledok diferenciácie ukáže ako rovná integrandu, znamená to, že integrácia bola vykonaná správne;
druhá vlastnosť neurčitého integrálu umožňuje nájsť jeho primitívnu deriváciu zo známeho diferenciálu funkcie. Na tejto vlastnosti je založený priamy výpočet neurčitých integrálov.

Pozrime sa na príklad.

Príklad.

Nájdite primitívnu vlastnosť funkcie, ktorej hodnota sa rovná jednej v x = 1.

Riešenie.

Vieme to z diferenciálneho počtu (stačí sa pozrieť na tabuľku derivátov zákl elementárne funkcie). teda . Pri druhej nehnuteľnosti . To znamená, že máme veľa primitívnych derivátov. Pre x = 1 dostaneme hodnotu . Podľa podmienky sa táto hodnota musí rovnať jednej, teda C = 1. Požadovaný priradený prvok bude mať tvar .

Príklad.

Nájsť neurčitý integrál a výsledok skontrolujte diferenciáciou.

Riešenie.

Použitie sínusového vzorca dvojitého uhla z trigonometrie , Preto

Uvažujme o pohybe bodu po priamke. Nech to trvá t od začiatku pohybu bod prešiel vzdialenosť s(t). Potom okamžitá rýchlosť v(t) rovná derivácii funkcie s(t), to jest v(t) = s"(t).

V praxi sa stretávame s inverzným problémom: vzhľadom na rýchlosť pohybu bodu v(t) nájsť cestu, ktorou sa vydala s(t), teda nájsť takúto funkciu s(t), ktorého derivácia sa rovná v(t). Funkcia s(t), také že s"(t) = v(t), volal primitívna funkcia v(t).

Napríklad, ak v(t) = аt, Kde A je dané číslo, potom funkcia
s(t) = (Át 2) / 2v(t), pretože
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funkcia F(x) nazývaná primitívna derivácia funkcie f(x) v nejakom intervale, ak pre všetkých X z tejto medzery F"(x) = f(x).

Napríklad funkcia F(x) = hriech x je primitívnym derivátom funkcie f(x) = cos x, pretože (hriech x)" = cos x; funkciu F(x) = x 4/4 je primitívnym derivátom funkcie f(x) = x 3, pretože (x 4/4)" = x 3.

Uvažujme o probléme.

Úloha.

Dokážte, že funkcie x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sú primitívne funkcie tej istej funkcie f(x) = x 2.

Riešenie.

1) Označme F 1 (x) = x 3 /3, potom F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Vo všeobecnosti platí, že akákoľvek funkcia x 3 / 3 + C, kde C je konštanta, je priradenou funkciou x 2. Vyplýva to zo skutočnosti, že derivácia konštanty je nulová. Tento príklad ukazuje, že pre danú funkciu je jej primitívna derivácia určená nejednoznačne.

Nech F 1 (x) a F 2 (x) sú dve primitívne derivácie tej istej funkcie f(x).

Potom F 1 "(x) = f(x) a F" 2 (x) = f(x).

Derivácia ich rozdielu g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sa rovná nule, pretože g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Ak g"(x) = 0 na určitom intervale, potom dotyčnica ku grafu funkcie y = g(x) v každom bode tohto intervalu je rovnobežná s osou Ox. Preto graf funkcie y = g(x) je priamka rovnobežná s osou Ox, teda g(x) = C, kde C je nejaká konštanta. Z rovnosti g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) z toho vyplýva, že F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Ak je teda funkcia F(x) primitívom funkcie f(x) na určitom intervale, potom všetky primitívne funkcie funkcie f(x) sú zapísané v tvare F(x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta.

Uvažujme grafy všetkých primitívnych prvkov danej funkcie f(x). Ak je F(x) jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), potom každý primitívny prvok tejto funkcie získame pridaním konštanty k F(x) nejakej konštanty: F(x) + C. Grafy funkcií y = F( x) + C získame z grafu y = F(x) posunom pozdĺž osi Oy. Výberom C môžete zabezpečiť, aby graf primitívnej funkcie prechádzal daným bodom.

Venujme pozornosť pravidlám pre hľadanie primitívnych derivátov.

Pripomeňme, že sa volá operácia hľadania derivácie pre danú funkciu diferenciácie. Zavolá sa inverzná operácia hľadania primitívnej funkcie pre danú funkciu integrácia(z latinského slova "obnoviť").

Tabuľka primitívnych derivátov pre niektoré funkcie sa dá zostaviť pomocou tabuľky derivátov. Napríklad vedieť to (cos x)" = -sin x, dostaneme (-cos x)" = hriech x, z čoho vyplýva, že všetky primitívne funkcie hriech x sú napísané vo forme -cos x + C, Kde S– konštantný.

Pozrime sa na niektoré významy primitívnych derivátov.

1) Funkcia: x p, p ≠ -1. Prvok: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcia: 1/x, x > 0. Prvok: ln x + C.

3) Funkcia: x p, p ≠ -1. Prvok: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcia: e x. Prvok: e x + C.

5) Funkcia: hriech x. Prvok: -cos x + C.

6) Funkcia: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Prvok: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcia: 1/(kx + b), k ≠ 0. Prvok: (1/k) ln (kx + b) + C.

8) Funkcia: e kx + b, k ≠ 0. Prvok: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcia: sin (kx + b), k ≠ 0. Prvok: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcia: cos (kx + b), k ≠ 0. Prvok: (1/k) hriech (kx + b).

Integračné pravidlá možno získať pomocou pravidlá diferenciácie. Pozrime sa na niektoré pravidlá.

Nechaj F(x) A G(x)– primitívne deriváty funkcií resp f(x) A g(x) v nejakom intervale. potom:

1) funkciu F(x) ± G(x) je primitívnym derivátom funkcie f(x) ± g(x);

2) funkciu аF(x) je primitívnym derivátom funkcie af(x).

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Antiderivát

Definícia primitívnej funkcie

Funkcia y=F(x) sa nazýva primitívna derivácia funkcie y=f(x) v danom intervale X, ak pre každého X ∈X platí rovnosť: F′(x) = f(x)

Dá sa čítať dvoma spôsobmi:

f derivácia funkcie F
F primitíva funkcie f

Vlastnosť primitívnych derivátov

Ak F(x)- priradená funkcia f(x) na danom intervale má potom funkcia f(x) nekonečne veľa primitív a všetky tieto primitívy možno zapísať v tvare F(x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta.

Geometrická interpretácia

Grafy všetkých primitívnych prvkov danej funkcie f(x) sa získajú z grafu ktorejkoľvek primitívnej derivácie paralelnými transláciami pozdĺž osi O pri.

Pravidlá pre výpočet primitívnych derivátov

Prvok súčtu sa rovná súčtu primitívnych prvkov. Ak F(x)- predchodca pre f(x) a G(x) je primitívum pre g(x), To F(x) + G(x)- predchodca pre f(x) + g(x).
Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie. Ak F(x)- predchodca pre f(x), A k- stály teda k·F(x)- predchodca pre k f(x).
Ak F(x)- predchodca pre f(x), A k, b- stály a k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- predchodca pre f(kx + b).

Pamätajte!

Akákoľvek funkcia F(x) = x 2 + C , kde C je ľubovoľná konštanta a iba takáto funkcia je primitívnou funkciou funkcie f(x) = 2x.

Napríklad:
F"(x) = (x2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, pretože F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, pretože F"(x) = (x 2 – 3)" = 2x = f(x);

Vzťah medzi grafmi funkcie a jej primitívnej funkcie:

Ak je graf funkcie f(x)>0 F(x) sa v tomto intervale zvyšuje.
Ak je graf funkcie f(x)<0 na intervale, potom graf jeho primitívnej funkcie F(x) v tomto intervale klesá.
Ak f(x)=0, potom graf jeho primitívnej zložky F(x) v tomto bode sa mení z rastúceho na klesajúci (alebo naopak).

Na označenie primitívnej derivácie sa používa znamienko neurčitého integrálu, teda integrálu bez označenia hraníc integrácie.

Neurčitý integrál

Definícia:

Neurčitý integrál funkcie f(x) je výraz F(x) + C, teda množina všetkých primitív k danej funkcii f(x). Neurčitý integrál sa označí takto: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- nazývaná funkcia integrand;
f(x) dx- nazývaný integrand;
X- nazývaná premenná integrácie;
F(x)- jedna z primitív funkcie f(x);
S- ľubovoľná konštanta.

Vlastnosti neurčitého integrálu

Derivácia neurčitého integrálu sa rovná integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Konštantný faktor integrandu možno vyňať zo znamienka integrálu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Integrál súčtu (rozdielu) funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov týchto funkcií: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Ak k, b sú konštanty a k ≠ 0, potom \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabuľka primitívnych a neurčitých integrálov

Funkcia f(x)	Antiderivát F(x) + C	Neurčité integrály \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) = 2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newtonov-Leibnizov vzorec

Nechaj f(x) túto funkciu F jeho svojvoľný priradený derivát.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Kde F(x)- predchodca pre f(x)

Teda integrál funkcie f(x) na intervale sa rovná rozdielu primitív v bodoch b A a.

Oblasť zakriveného lichobežníka

Krivočiary lichobežník je číslo ohraničené grafom funkcie, ktorá je nezáporná a spojitá na intervale f, Ox a priame čiary x = a A x = b.

Oblasť zakriveného lichobežníka sa zistí pomocou vzorca Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Existujú tri základné pravidlá pre hľadanie primitívnych funkcií. Sú veľmi podobné príslušným pravidlám diferenciácie.

Pravidlo 1

Ak je F primitívom pre nejakú funkciu f a G je primitívom pre nejakú funkciu g, potom F + G bude primitívom pre f + g.

Podľa definície primitívneho derivátu je F' = f. G' = g. A keďže sú splnené tieto podmienky, potom podľa pravidla pre výpočet derivácie pre súčet funkcií budeme mať:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Pravidlo 2

Ak F je primitívna funkcia pre nejakú funkciu f, a k je nejaká konštanta. Potom k*F je primitívna derivácia funkcie k*f. Toto pravidlo vyplýva z pravidla pre výpočet derivácie komplexnej funkcie.

Máme: (k*F)' = k*F' = k*f.

Pravidlo 3

Ak F(x) je nejaká primitívna derivácia funkcie f(x) a kab sú nejaké konštanty a k sa nerovná nule, potom (1/k)*F*(k*x+b) bude primitívna derivácia pre funkciu f (k*x+b).

Toto pravidlo vyplýva z pravidla pre výpočet derivácie komplexnej funkcie:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pozrime sa na niekoľko príkladov uplatňovania týchto pravidiel:

Príklad 1. Nájdite všeobecný tvar primitív pre funkciu f(x) = x^3 +1/x^2. Pre funkciu x^3 bude jednou z primitív funkcia (x^4)/4 a pre funkciu 1/x^2 jednou z primitív bude funkcia -1/x. Pomocou prvého pravidla máme:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Príklad 2. Nájdite všeobecný tvar primitív pre funkciu f(x) = 5*cos(x). Pre funkciu cos(x) bude jednou z primitív funkcia sin(x). Ak teraz použijeme druhé pravidlo, budeme mať:

F(x) = 5*sin(x).

Príklad 3 Nájdite jednu z primitív pre funkciu y = sin(3*x-2). Pre funkciu sin(x) bude jednou z primitív funkcia -cos(x). Ak teraz použijeme tretie pravidlo, dostaneme výraz pre primitívnu vlastnosť:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Príklad 4. Nájdite primitívnu funkciu pre funkciu f(x) = 1/(7-3*x)^5

Primitívna derivácia pre funkciu 1/x^5 bude funkcia (-1/(4*x^4)). Teraz pomocou tretieho pravidla dostaneme.