IN Vsakdanje življenje Pogosto moramo primerjati delne količine. Najpogosteje to ne povzroča težav. Pravzaprav vsi razumejo, da je polovica jabolka večja od četrtine. Ko pa je treba to zapisati v obrazec matematični izraz, lahko to povzroči težave. Z uporabo naslednjih matematičnih pravil lahko preprosto rešite ta problem.

Kako primerjati ulomke z enakimi imenovalci

Takšne ulomke je najprimerneje primerjati. V tem primeru uporabite pravilo:

Od dveh ulomkov z enakima imenovalcema, a različnima števcema, je večji tisti, katerega števec je večji, manjši pa tisti, katerega števec je manjši.

Primerjaj na primer ulomka 3/8 in 5/8. Imenovalca v tem primeru sta enaka, zato uporabimo to pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Če dve pici razrežete na 8 rezin, potem je 3/8 rezine vedno manjše od 5/8.

Primerjanje ulomkov z enakimi števci in drugačnimi imenovalci

V tem primeru se primerjajo velikosti deležev imenovalca. Pravilo, ki ga je treba uporabiti, je:

Če imata dva ulomka enake števce, potem je večji tisti ulomek, katerega imenovalec je manjši.

Na primer, primerjajte ulomka 3/4 in 3/8. V tem primeru sta števca enaka, kar pomeni, da uporabljamo drugo pravilo. Ulomek 3/4 ima manjši imenovalec kot ulomek 3/8. Torej 3/4>3/8

Če boste namreč pojedli 3 rezine pice, razdeljene na 4 dele, boste bolj siti, kot če bi pojedli 3 rezine pice, razdeljene na 8 delov.

Primerjava ulomkov z različnimi števci in imenovalci

Uporabimo tretje pravilo:

Primerjava ulomkov z različnimi imenovalci bi morala voditi do primerjave ulomkov z enakimi imenovalci. Če želite to narediti, morate ulomke zreducirati na skupni imenovalec in uporabiti prvo pravilo.

Na primer, morate primerjati ulomke in . Da bi določili večji ulomek, zmanjšamo ta dva ulomka na skupni imenovalec:

• Zdaj pa poiščimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Zapišemo ga nad drugi ulomek:

V tej lekciji se bomo naučili primerjati ulomke med seboj. To je zelo uporabna veščina, ki je potrebna za reševanje cele vrste kompleksnejših problemov.

Najprej naj vas spomnim na definicijo enakosti ulomkov:

Pravimo, da sta ulomka a /b in c /d enaka, če je ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, saj je 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, saj je 3 18 = 2 27 = 54.

V vseh drugih primerih so ulomki neenaki in zanje velja ena od naslednjih trditev:

1. Ulomek a/b je večji od ulomka c/d;
2. Ulomek a /b je manjši od ulomka c /d.

Pravimo, da je ulomek a /b večji od ulomka c /d, če je a /b − c /d > 0.

Za ulomek x /y pravimo, da je manjši od ulomka s /t, če je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Tako se primerjava ulomkov zmanjša na njihovo odštevanje. Vprašanje: kako se ne zamenjati z oznakama "več kot" (>) in "manj kot" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Razširjeni del kavke vedno kaže proti večji številki;
2. Oster nos kavke vedno kaže na nižjo številko.

Pogosto je v nalogah, kjer morate primerjati števila, med njimi postavljen znak »∨«. To je davka z nosom navzdol, kar kot da namiguje: večja številka še ni bila določena.

Naloga. Primerjaj številke:

Po definiciji odštejte ulomke drug od drugega:

Pri vsaki primerjavi smo morali zreducirati ulomke na skupni imenovalec. Natančneje, z uporabo navzkrižne metode in iskanjem najmanjšega skupnega večkratnika. Namenoma se nisem osredotočil na te točke, če pa kaj ni jasno, si oglejte lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov" - zelo enostavno je.

Primerjava decimalk

V primeru decimalnih ulomkov je vse veliko preprostejše. Tukaj ni treba ničesar odštevati - samo primerjajte števke. Dobro je, da si zapomnite, kaj je pomemben del števila. Za tiste, ki ste pozabili, predlagam, da ponovite lekcijo "Množenje in deljenje decimalk" - tudi to vam bo vzelo le nekaj minut.

Pozitivno decimalno mesto X je večje od pozitivnega decimalnega števila Y, če vsebuje decimalno mesto tako, da:

1. Števka na tem mestu v ulomku X je večja od ustrezne števke v ulomku Y;
2. Vse števke, višje od tega za ulomka X in Y, so enake.

1. 12.25 > 12.16. Prvi dve števki sta enaki (12 = 12), tretja pa je večja (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Z drugimi besedami, enega za drugim gremo skozi decimalna mesta in iščemo razliko. V tem primeru večje število ustreza večjemu ulomku.

Vendar ta opredelitev zahteva pojasnilo. Na primer, kako zapisati in primerjati decimalna mesta? Ne pozabite: kateremu koli številu, zapisanemu v decimalni obliki, je lahko levo dodano poljubno število ničel. Tu je še nekaj primerov:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (govorimo o o višjem činu).
2. 2300,5 > 0,0025, ker 0,0025 = 0000,0025 - na levi so bile dodane tri ničle. Zdaj lahko vidite, da se razlika začne pri prvi števki: 2 > 0.

Seveda je v navedenih primerih z ničlami ​​prišlo do očitnega pretiravanja, a bistvo je ravno to: dopolni manjkajoče koščke na levi in ​​nato primerjaj.

Naloga. Primerjaj ulomke:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

1. 0,029 > 0,007. Prvi dve števki sovpadata (00 = 00), nato se začne razlika (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Tukaj morate skrbno prešteti ničle. Prvih 5 števk v obeh ulomkih je nič, potem pa je v prvem ulomku 3, v drugem pa 0. Očitno je 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Prepišimo drugi ulomek kot 0000,99501 in na levo dodamo 3 ničle. Zdaj je vse očitno: 1 > 0 - razlika je zaznana v prvi števki.

Na žalost podana primerjalna shema decimalke ni univerzalno. Ta metoda lahko samo primerja pozitivna števila. V splošnem primeru je algoritem delovanja naslednji:

1. Pozitivni ulomek je vedno večji od negativnega ulomka;
2. Z zgornjim algoritmom se primerjata dva pozitivna ulomka;
3. Dva negativni ulomki primerjamo na enak način, vendar je na koncu znak neenakosti obrnjen.

No, ni slabo? Zdaj pa poglejmo konkretni primeri- in vse bo jasno.

Naloga. Primerjaj ulomke:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Ulomki so negativni, 2. števka je drugačna. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Pozitivno število je vedno večje od negativnega števila;
4. 19,032 > 0,091. Dovolj je, da drugi ulomek prepišemo v obliki 00,091, da vidimo, da razlika nastane že v 1. števki;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je v prvi kategoriji.

Od dveh ulomkov z enakima imenovalcema je tisti z večjim števcem večji, tisti z manjšim pa manjši.. Pravzaprav imenovalec kaže, na koliko delov je bila razdeljena cela vrednost, števec pa na koliko takih delov je bilo vzetih.

Izkazalo se je, da smo vsak cel krog razdelili z istim številom 5 , vendar so vzeli različno število delov: več kot so vzeli, večji ulomek ste dobili.

Od dveh ulomkov z enakima števcema je tisti z manjšim imenovalcem večji, tisti z večjim pa manjši. No, pravzaprav, če en krog razdelimo na 8 deli, drugo pa na 5 delov in vzemite en del iz vsakega kroga. Kateri del bo večji?

Seveda iz kroga, deljenega z 5 deli! Zdaj pa si predstavljajte, da niso delili krogov, ampak torte. Kateri komad bi vam bil ljubši oziroma kakšen delež: petino ali osmino?

Če želite primerjati ulomke z različnimi števci in imenovalci, morate ulomke zreducirati na njihov najmanjši skupni imenovalec in nato primerjati ulomke z enakimi imenovalci.

Primeri. Primerjaj navadni ulomki:

Zmanjšajmo te ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec. NOZ(4 ; 6)=12. Za vsakega izmed ulomkov poiščemo dodatne faktorje. Za 1. ulomek dodatni faktor 3 (12: 4=3 ). Za 2. ulomek dodatni faktor 2 (12: 6=2 ). Zdaj primerjamo števce obeh dobljenih ulomkov z enakima imenovalcema. Ker je števec prvega ulomka manjši od števca drugega ulomka ( 9<10) , potem je sam prvi ulomek manjši od drugega ulomka.

Ta članek obravnava primerjavo ulomkov. Tu bomo ugotovili, kateri ulomek je večji ali manjši, uporabili pravilo in si ogledali primere rešitev. Primerjajmo ulomke z enakimi in neenakimi imenovalci. Primerjajmo navaden ulomek z naravnim številom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci

Ko primerjamo ulomke z enakimi imenovalci, delamo samo s števcem, kar pomeni, da primerjamo ulomke števila. Če obstaja ulomek 3 7, potem ima 3 dele 1 7, potem ima ulomek 8 7 8 takih delov. Z drugimi besedami, če je imenovalec enak, se števci teh ulomkov primerjajo, to pomeni, da se 3 7 in 8 7 primerjata s številkama 3 in 8.

Pri tem velja pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci: od obstoječih ulomkov z enakimi eksponenti se za večje šteje ulomek z večjim števcem in obratno.

To pomeni, da morate biti pozorni na števce. Če želite to narediti, poglejmo primer.

Primer 1

Primerjaj podana ulomka 65 126 in 87 126.

rešitev

Ker sta imenovalca ulomkov enaka, preidemo k števcem. Iz števil 87 in 65 je očitno, da je 65 manj. Na podlagi pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci imamo, da je 87.126 večje od 65.126.

odgovor: 87 126 > 65 126 .

Primerjanje ulomkov z različnimi imenovalci

Primerjavo takšnih ulomkov lahko koreliramo s primerjavo ulomkov z enakimi eksponenti, vendar obstaja razlika. Zdaj morate ulomke zreducirati na skupni imenovalec.

Če obstajajo ulomki z različnimi imenovalci, morate za njihovo primerjavo:

• najti skupni imenovalec;
• primerjaj ulomke.

Oglejmo si ta dejanja na primeru.

Primer 2

Primerjaj ulomka 5 12 in 9 16.

rešitev

Najprej je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. To se naredi na ta način: poiščite LCM, to je najmanjši skupni delilnik, 12 in 16 . Ta številka je 48. Prvemu ulomku 5 12 je treba dodati dodatne faktorje, to število dobimo iz količnika 48: 12 = 4, za drugi ulomek 9 16 – 48: 16 = 3. Rezultat zapišimo takole: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 in 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Po primerjavi ulomkov dobimo 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

odgovor: 5 12 < 9 16 .

Obstaja še en način za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci. Izvaja se brez redukcije na skupni imenovalec. Poglejmo si primer. Da bi primerjali ulomka a b in c d, ju skrčimo na skupni imenovalec, nato b · d, to je zmnožek teh imenovalcev. Nato bodo dodatni faktorji za ulomke imenovalci sosednjega ulomka. To bo zapisano kot a · d b · d in c · b d · b . Če uporabimo pravilo z enakimi imenovalci, dobimo, da se je primerjava ulomkov zmanjšala na primerjave zmnožkov a · d in c · b. Od tu dobimo pravilo za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci: če a · d > b · c, potem a b > c d, če pa a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Primer 3

Primerjaj ulomka 5 18 in 23 86.

rešitev

Ta primer ima a = 5, b = 18, c = 23 in d = 86. Nato je treba izračunati a·d in b·c. Iz tega sledi, da je a · d = 5 · 86 = 430 in b · c = 18 · 23 = 414. Toda 430 > 414, potem je dani ulomek 5 18 večji od 23 86.

odgovor: 5 18 > 23 86 .

Primerjanje ulomkov z enakimi števci

Če imata ulomka enake števce in različne imenovalce, lahko primerjavo opravimo po prejšnji točki. Rezultat primerjave je mogoč s primerjavo njihovih imenovalcev.

Obstaja pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi števci : Od dveh ulomkov z enakima števcema je večji ulomek z manjšim imenovalcem in obratno.

Poglejmo si primer.

Primer 4

Primerjaj ulomka 54 19 in 54 31.

rešitev

Imamo, da sta števca enaka, kar pomeni, da je ulomek z imenovalcem 19 večji od ulomka z imenovalcem 31. To je razumljivo glede na pravilo.

odgovor: 54 19 > 54 31 .

Sicer pa si lahko ogledamo primer. Obstajata dva krožnika, na katerih je 1 2 pite in še 1 16 anna. Če pojeste 12 pit, boste siti hitreje kot le 116. Zato sklepamo, da je največji imenovalec z enakimi števci najmanjši pri primerjavi ulomkov.

Primerjava ulomka z naravnim številom

Primerjava navadnega ulomka z naravnim številom je enaka primerjanju dveh ulomkov, katerih imenovalca sta zapisana v obliki 1. Spodaj je primer za podroben pregled.

Primer 4

Treba je narediti primerjavo med 63 8 in 9 .

rešitev

Število 9 je treba predstaviti kot ulomek 9 1. Nato moramo primerjati ulomka 63 8 in 9 1. Sledi redukcija na skupni imenovalec z iskanjem dodatnih faktorjev. Po tem vidimo, da moramo primerjati ulomke z enakima imenovalcema 63 8 in 72 8. Na podlagi primerjalnega pravila, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

odgovor: 63 8 < 9 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Dva neenaka ulomka še dodatno primerjamo, da ugotovimo, kateri ulomek je večji in kateri manjši. Za primerjavo dveh ulomkov obstaja pravilo za primerjanje ulomkov, ki ga bomo oblikovali v nadaljevanju, ogledali pa si bomo tudi primere uporabe tega pravila pri primerjavi ulomkov z enakimi in neenakimi imenovalci. Za zaključek bomo pokazali, kako primerjamo ulomke z enakimi števci, ne da bi jih reducirali na skupni imenovalec, pogledali pa si bomo tudi, kako primerjamo navadni ulomek z naravnim številom.

Navigacija po straneh.

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci je v bistvu primerjava števila enakih delnic. Navadni ulomek 3/7 določa na primer 3 dele 1/7, ulomek 8/7 pa ustreza 8 delom 1/7, zato se primerjava ulomkov z enakima imenovalcema 3/7 in 8/7 zmanjša na primerjavo števil 3 in 8, torej za primerjavo števnikov.

Iz teh premislekov sledi pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci: od dveh ulomkov z enakima imenovalcema je večji tisti ulomek, katerega števec je večji, manjši pa tisti, katerega števec je manjši.

Navedeno pravilo pojasnjuje, kako primerjati ulomke z enakimi imenovalci. Oglejmo si primer uporabe pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci.

Primer.

Kateri ulomek je večji: 65/126 ali 87/126?

rešitev.

Imenovalca primerjanih navadnih ulomkov sta enaka, števec 87 ulomka 87/126 pa je večji od števca 65 ulomka 65/126 (če je treba, glej primerjavo naravnih števil). Zato je po pravilu primerjanja ulomkov z enakimi imenovalci ulomek 87/126 večji od ulomka 65/126.

odgovor:

Primerjanje ulomkov z različnimi imenovalci

Primerjanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko zmanjšamo na primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci. Če želite to narediti, morate primerjane navadne ulomke spraviti na skupni imenovalec.

Torej, če želite primerjati dva ulomka z različnimi imenovalci, potrebujete

• zreducirati ulomke na skupni imenovalec;
• Primerjaj nastale ulomke z enakimi imenovalci.

Poglejmo rešitev primera.

Primer.

Primerjaj ulomek 5/12 z ulomkom 9/16.

rešitev.

Najprej spravimo te ulomke z različnimi imenovalci na skupni imenovalec (glej pravilo in primere spravljanja ulomkov na skupni imenovalec). Kot skupni imenovalec vzamemo najmanjši skupni imenovalec, ki je enak LCM(12, 16)=48. Potem bo dodatni faktor ulomka 5/12 število 48:12=4, dodatni faktor ulomka 9/16 pa število 48:16=3. Dobimo in .

Če primerjamo nastale ulomke, imamo. Zato je ulomek 5/12 manjši od ulomka 9/16. S tem je primerjava ulomkov z različnimi imenovalci končana.

odgovor:

Oglejmo si drug način za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci, ki vam bo omogočil primerjavo ulomkov brez reduciranja na skupni imenovalec in vseh težav, povezanih s tem postopkom.

Za primerjavo ulomkov a/b in c/d ju lahko zreduciramo na skupni imenovalec b·d, ki je enak zmnožku imenovalcev ulomkov, ki jih primerjamo. V tem primeru sta dodatna faktorja ulomkov a/b in c/d števili d oziroma b, prvotni ulomki pa se zmanjšajo na ulomke s skupnim imenovalcem b·d. Če se spomnimo pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci, sklepamo, da se je primerjava prvotnih ulomkov a/b in c/d zmanjšala na primerjavo produktov a·d in c·b.

To pomeni naslednje pravilo za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci: če a d>b c , potem , in če a d

Poglejmo primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci na ta način.

Primer.

Primerjaj navadna ulomka 5/18 in 23/86.

rešitev.

V tem primeru je a=5, b=18, c=23 in d=86. Izračunajmo produkta a·d in b·c. Imamo a·d=5·86=430 in b·c=18·23=414. Ker je 430>414, je ulomek 5/18 večji od ulomka 23/86.

odgovor:

Primerjanje ulomkov z enakimi števci

Ulomke z enakimi števci in različnimi imenovalci lahko zagotovo primerjamo po pravilih, obravnavanih v prejšnjem odstavku. Rezultat primerjave takšnih ulomkov pa zlahka dobimo s primerjavo imenovalcev teh ulomkov.

Obstaja nekaj takega pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi števci: od dveh ulomkov z enakima števcema je tisti z manjšim imenovalcem večji, ulomek z večjim imenovalcem pa manjši.

Poglejmo primer rešitve.

Primer.

Primerjaj ulomka 54/19 in 54/31.

rešitev.

Ker sta števca primerjanih ulomkov enaka in je imenovalec 19 ulomka 54/19 manjši od imenovalca 31 ulomka 54/31, je 54/19 večji od 54/31.