При изучаване на алгебра в средно училище (9 клас) един от важни темие изучаването на числови последователности, които включват прогресии – геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на проблеми.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример № 3: съставяне на прогресия

Нека усложним проблема още повече. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дадени са две числа, например - 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, но е така рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека се даде числена прогресияот следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии е възможно да се реши този проблем, тоест да се добавят всички числа последователно, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че тази задача се нарича „Гаусова“, защото в началото на 18 век известният германец, все още само на 10 години, успя да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сбора на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и прекъсвам обща задачав отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Онлайн калкулатор.
Решаване на аритметична прогресия.
Дадено е: a n , d, n
Намерете: a 1

Тази математическа програма намира \(a_1\) на аритметична прогресия въз основа на зададени от потребителя числа \(a_n, d\) и \(n\).
Числата \(a_n\) и \(d\) могат да бъдат зададени не само като цели числа, но и като дроби. Освен това, дробно числоможе да се въведе като десетична дроб (\(2,5\)) и като обикновена дроб(\(-5\frac(2)(7)\)).

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на намиране на решение.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за ученици от гимназията средни училищав подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или свое обучение. по-малки братяили сестри, докато нивото на образование в областта на решаваните проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на числа, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на числа

Числата \(a_n\) и \(d\) могат да бъдат зададени не само като цели числа, но и като дроби.
Числото \(n\) може да бъде само положително цяло число.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Целите и дробните части в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака 2.5 или така 2.5

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При влизане числова дробЧислителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Вход:
Резултат: \(-\frac(2)(3)\)

Цялата част е отделена от дробта със знака амперсанд: &
Вход:
Резултат: \(-1\frac(2)(3)\)

Въведете числа a n , d, n

Намерете 1

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Числова последователност

В ежедневната практика номерирането на различни обекти често се използва за обозначаване на реда, в който са подредени. Например къщите на всяка улица са номерирани. В библиотеката читателските абонаменти се номерират и след това се подреждат по реда на присвоените им номера в специални картотеки.

В спестовна банка, като използвате номера на личната сметка на вложителя, можете лесно да намерите тази сметка и да видите какъв депозит има в нея. Нека сметка № 1 съдържа депозит от a1 рубли, сметка № 2 съдържа депозит от a2 рубли и т.н. Оказва се числова последователност
a 1, a 2, a 3, ..., a N
където N е броят на всички сметки. Тук всяко естествено число n от 1 до N е свързано с число a n.

Учи и математика безкрайни числови последователности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Извиква се числото a 1 първия член на последователността, номер а 2 - вторият член на последователността, номер а 3 - трети член от последователносттаи т.н.
Числото a n се нарича n-ти (n-ти) член на редицата, а естественото число n е негово номер.

Например в поредица от квадрати естествени числа 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... и 1 = 1 е първият член на редицата; и n = n 2 е n-ти членпоследователности; a n+1 = (n + 1) 2 е (n + 1)-ият (n плюс първи) член на редицата. Често една последователност може да бъде определена чрез формулата на нейния n-ти член. Например формулата \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) дефинира последователността \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Аритметична прогресия

Продължителността на годината е приблизително 365 дни. | Повече ▼ точна стойносте равно на \(365\frac(1)(4)\) дни, така че на всеки четири години се натрупва грешка от един ден.

За да се отчете тази грешка, към всяка четвърта година се добавя ден и удължената година се нарича високосна.

Например през третото хилядолетие високосни годиниса годините 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

В тази последователност всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен към същото число 4. Такива последователности се наричат аритметични прогресии.

Определение.
Извиква се числовата редица a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... аритметична прогресия, ако за всички естествени n равенството
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
където d е някакво число.

От тази формула следва, че a n+1 - a n = d. Числото d се нарича разлика аритметична прогресия.

По дефиниция на аритметична прогресия имаме:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
където
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), където \(n>1 \)

По този начин всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на двата съседни члена. Това обяснява името "аритметична" прогресия.

Имайте предвид, че ако са дадени a 1 и d, тогава останалите членове на аритметичната прогресия могат да бъдат изчислени с помощта на рекурентната формула a n+1 = a n + d. По този начин не е трудно да се изчислят първите няколко члена на прогресията, но, например, 100 вече ще изисква много изчисления. Обикновено за това се използва формулата на n-тия член. По дефиниция на аритметичната прогресия
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.н.
Изобщо,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
защото n-ти членна аритметична прогресия се получава от първия член чрез добавяне на (n-1) пъти числото d.
Тази формула се нарича формула за n-тия член на аритметична прогресия.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Намерете сбора на всички естествени числа от 1 до 100.
Нека запишем тази сума по два начина:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Нека добавим тези равенства член по член:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Тази сума има 100 члена
Следователно, 2S = 101 * 100, следователно S = 101 * 50 = 5050.

Нека сега разгледаме произволна аритметична прогресия
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Нека S n е сумата от първите n членове на тази прогресия:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Тогава сумата от първите n членове на аритметичната прогресия е равна на
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Тъй като \(a_n=a_1+(n-1)d\), тогава замествайки n в тази формула, получаваме друга формула за намиране сумата от първите n члена на аритметичната прогресия:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Книги (учебници) Резюмета на Единния държавен изпит и тестовете за Единния държавен изпит онлайн Игри, пъзели Построяване на графики на функции Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните образователни институции на Русия Каталог на руските университети Списък на задачите

Аритметична прогресияиме на поредица от числа (условия на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния с нов термин, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като посочите стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичното на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на една прогресия е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Използвайки това твърдение, е много лесно да проверите всяка последователност.

Освен това, чрез свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишете условията отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява с помощта на формулата

Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и доста често се среща в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k-ти член, тогава следната формула за сумата ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Това завършва теоретичния материал и преминава към решаване на често срещани проблеми в практиката.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според състоянието, което имаме

Нека определим стъпката на прогресия

Използвайки добре позната формула, намираме четиридесетия член на прогресията

Пример 2. Аритметична прогресиясе дава от неговия трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Нека запишем дадените елементи на прогресията с помощта на формулите

Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Заместваме намерената стойност във всяко от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия

Изчисляваме сумата от първите десет члена на прогресията

Без нанасяне сложни изчисленияНамерихме всички необходими количества.

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека запишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сумата на прогресията е 250.

Пример 4.

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Нека напишем уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и да ги определим

Заместваме получените стойности във формулата на сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Ние извършваме опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 отговаря на условията на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5.

Решете уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Нека напишем първия му член и намерим разликата в прогресията

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават в училищен курс по алгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук аз - сериен номерелемент от серията a i . По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Лесно може да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате проста специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n, както и общ брой n условия.

Смята се, че Гаус е първият, който се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на дадена задача. учител в училищезадача: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направим?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата на членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В този изглед месечен срок a m ще бъде първо и a n ще бъде номерирано с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален типподпоследователност. Следователно, преди да дефинираме аритметичната (и след това геометричната) прогресия, трябва накратко да обсъдим важната концепция за числовата последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което едно след друго се показват определени числа. Да кажем 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Този набор от числа е точно пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. свързано с едно естествено число)1. Числото n се нарича n-тият член на редицата.

И така, в горния пример първото число е 2, това е първият член на редицата, който може да бъде означен с a1; номер пет има номер 6 е петият член на редицата, който може да бъде означен с a5. Като цяло, n-тият член на последователност се означава с an (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. Следователно сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа за преномериране. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математически анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) равно на суматапредишния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметична прогресия).

Например последователност 2; 5; 8; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; 8; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с разлика равна на нула.

Еквивалентна дефиниция: последователността an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (независима от n).

Аритметичната прогресия се нарича нарастваща, ако нейната разлика е положителна, и намаляваща, ако нейната разлика е отрицателна.

1 Но ето едно по-кратко определение: последователност е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например, поредица от реални числа е функция f: N ! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкраен брой числа. Но никой не ни притеснява да разглеждаме крайни последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност е 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.

Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първият член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи необходимата формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека един

аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
По-специално, ние пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и сега става ясно, че формулата за е:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; 8; единадесет; : : : намерете формулата за n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Според формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

Свойство на аритметичната прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметична прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

	Доказателство. Ние имаме:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

което се изискваше.

По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) служи не само като необходимо, но и като достатъчно условие редицата да бъде аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формула (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

От това можем да видим, че разликата an+1 an не зависи от n, а това точно означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани под формата на едно твърдение; За удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия тогава и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (MSU, Стопански факултет, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и посочете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметичната прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогава получаваме намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не е подходящ.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Легендата разказва, че един ден учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал тихо да чете вестника. След няколко минути обаче едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математици в историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека запишем тази сума в обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скоби е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава, ако заместим формулата на n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, делими на 13.

Решение. Трицифрени числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първия член 104 и разликата 13; N-тият член на тази прогресия има формата:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, решаваме неравенството:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

И така, има 69 членове в нашата прогресия. Използвайки формула (4), намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2